 Je vais vous donner quelques lectures sur la récursion topologique. Qu'est-ce que c'est la récursion topologique ? J'aimerais être illustré par cette photo. C'est juste une photo. En fait, nous aimerions trouver un sens géométrique de l'entraînement géométrique. La récursion topologique est juste un moyen d'améliorer certaines quantités et elles sont utilisées en pratique. Mais c'est encore quelque chose de progressif et il y a encore beaucoup de choses à comprendre. Ce qui est vraiment amusant, c'est comment ça fonctionne. C'est ce que ça fonctionne. C'est ce que ça fonctionne très souvent dans beaucoup de situations. C'est mon plan. Je vais commencer par une introduction très générale avec quelques exemples. Et puis je vais donner les définitions de ce que j'appelle la récursion topologique. Je vais commencer par donner quelques propres et expliquer comment faire des computations en relation à les espaces modulaires. J'ai mentionné qu'il y a une récente approche par Concevichon Seubelman, qui est un peu différent. Et le lien entre les deux approches n'est pas très bien compris. Et aussi, la troisième partie sera sur les déformations étudiant. C'est vraiment où vous avez les systèmes intégrables. Et puis je vais donner quelques applications. Certains de elles sont conjectures, comme les applications non théoriques. Donc, cela dépend de combien de temps on a. Alors, qu'est-ce qu'on parle de? La récursion topologique a beaucoup à faire avec la simétrie. La simétrie a deux côtés. L'une est souvent appelée le A-module, qui est, en fait, une géométrie animerative. Et sur ce côté, le but est d'avoir un certain espace modulier. Je suis très général à ce moment. On a un certain espace modulier, j'ai appelé le MGN, qui dépend des paramètres. J'ai appelé les Z1, ZN, ou quelque chose, pour le moment. Ils sont juste moduliers. Ce qui est un espace qui est typiquement une surface avec des bandes N, de la géométrie G, et des bandes Z1, Z2, ZN. Donc, c'est un set de surfaces décorées, donc, de la géométrie G, avec des bandes N, décorées avec des moduliers. Il peut être un espace modulier, que je n'ai pas écrit, ou quelque chose. Et l'idée est que nous voulons compter le volume de cet espace. Donc, la question dont nous voulons répondre est, donc, nous allons dire que le WGN de Z1, ZN, serait le volume de cet espace. Donc, ça veut dire que nous devons définir une forme que nous pouvons intégrer, une forme de volume que nous pouvons intégrer. Il peut être une forme simple, il peut être une mesure, il peut être ce que vous voulez, mais nous voulons compter le nombre d'espace, et ça sera la fonction de Z1, ZN. Pour le moment, c'est totalement abstractif. Il n'a pas besoin d'être compact c'est juste une introduction générale de la période de ce que nous voulons faire. Nous avons un espace certain, et nous voulons intégrer une forme sur cet espace, et nous assurons que tout de suite ça fait sens. case-by-case, nous allons avoir quelque chose de précis, soit compact, ou avec des fonctions qui diminuent à l'infinité, ou quelque chose. Ou parfois, il y a un espace discret, donc le espace est en fait un espace finitiel, ou quelque chose comme ça, et vous pouvez avoir un bruit pour faire une série formale, ou quelque chose. Nous voulons juste compter ces volumes, et l'idée d'une récursion typologique est d'imaginer que nous avons une certaine structure, d'imaginer que nous avons une certaine structure, d'imaginer que, d'imaginer seulement le W01, qui est le bruit, donc, par contre, je vous en referai l'amplitude, ce serait juste un nom pour le moment. Donc, si vous connaissez l'amplitude du bruit et du cylindre, imaginez que vous avez une procédure récursive qui permet de compter tous les autres et cela correspond à cette picture. Donc, c'est possible de compter Wgn par récursion sur ce numéro, qui est 2g-2n qui est la caractéristique de toute façon. Imaginez que vous pouvez compter ces volumes par récursion sur la caractéristique. Je vais vous donner un exemple précisement. Sorry. 2g-2n, sorry, la caractéristique de l'objet qui est à l'intérieur de l'espace. Et les nombres complexes ne sont pas... Pour le moment, ils sont lesquels vous voulez. Si ces cycles ne sont pas typologiques, non, par exemple, dans le bruit du cylindre, il y a des cycles. Pour le moment, je ne dis pas ce qu'ils sont. Donc, vous dites que le volume est un genre de caractéristique. Si vous voulez. D'accord à la définition. Non, non, non. Mais je n'ai pas dit que c'est la mesure que vous intégreriez, c'est quelque chose d'abstractif. C'est juste des notations. Je veux juste donner le spirit. Mais je vais donner un exemple très précis où vous verrez ce qui se passe. Donc, maintenant, on a le b-model de l'arrière, qui doit faire avec les structures complexes, structures complexes, curves complexes. Bon, je vais me dire que c'est des curves complexes. Et vous avez quelque chose qui semble être totalement inédit à ça. Il semble être totalement inédit à ça. Je vais vous donner un exemple. Imaginez que vous avez un certain curve algebraique par son équation, p xy est 0. Les curves sont toujours en surface. Les curves sont toujours en surface. Pour le moment, c'est juste une équation polynomial p xy est 0. En fait, je considère une immersion de la surface en c xy. Par exemple. Ça définit une immersion de la surface en c xy. Ce sera juste un simple exemple de ce que je vais donner un curve spectraux. Donc, si vous vous pliez, vous avez quelque chose comme ça. L'infinité n'est pas inclusif. Pour le moment, ce n'est pas important pour ce que je vais dire. Donc, vous avez un objet qui est un complexe, quelque chose avec une structure complexe qui est 2D, qui est sur ce curve. Vous avez une forme qui est juste y dx. Encore une fois, ce n'est pas vraiment important. Il n'y a pas d'importance comme xy est 0. Oui, c'est possible. Et qu'est-ce qu'il y a d'informations ? Ah, c'est possible. Il y a d'importance. Oui, c'est possible. En fait, ce n'est pas la façon dont je vais le définir plus tard. Mais c'est juste pour fixer l'idée pour la introduction de ce qu'on a. Donc, sur ce côté, on a un objet avec une structure complexe. Et on a des formes sur ça. On a une forme, qui est y dx. Je vais me coller omega 0 1. C'est une forme. C'est la surface qu'on appelle sigma. Sigma est immerse par chaque point de sigma comme un x et chaque point, ici, xy, j'ai une projection et une projection y. Et il y a une forme y dx, qui vit sur la curve. C'est une forme. C'est normal de choisir aussi deux formes sur... Donc, c'est une forme sur sigma. Sur sigma x sigma. Et on va prendre ses symmétries. Et ce sera le produit tensor. C'est-à-dire omega 0 2. Je ne vais pas dire beaucoup plus que ça pour le moment, mais c'est une forme symétrique sur sigma x sigma. Sorry, une forme symétrique sur sigma x sigma. Je vais dire plus que ça plus tard. Et on définit... Je vais dire ça plus tard. Je ne vais pas dire ce que c'est pour le moment. Je vais dire que vous avez des formes méromorphiques. Diffines formes méromorphiques. Diffines par recurs sur 2g-2 plus n. Des formes n formes méromorphiques sur sigma n. La assumption de méromorphique est sur deux formes ou seulement deux formes méromorphiques? Non, c'est méromorphique aussi, parce que les formes méromorphiques sont méromorphiques. Toutes sont méromorphiques. Et typiquement les résidus. Je vais écrire toutes les définitions précises. Mais pour le moment, ce que je veux dire, c'est que sur l'une side, vous avez un problème de géométrie animatif. Sur l'autre, vous avez un curve complexe. C'est un problème de géométrie. Et ce que nous voulons voir est que pour un type de espace de géométrie animatif il y a une certaine curve complexe pour laquelle cette computation donnerait exactement la même quantité que ici. Ou vice-versa, est-ce un espace modulé que ces quantités que nous sommes computés ici sont définies par la recursion donc nous les appelons omega-gn qui sera des résidus de quelque chose. Je ne vais pas écrire ce que c'est. Donc sont-ils ces formes pour ces amplitudes? Et surprisement l'answer dans de nombreux types de problèmes l'answer est oui. Et l'idée est que sur ce côté, la computation est assez facile vous avez juste à compter les résidus vous pouvez mettre ça sur un software et ça compute automatiquement pour vous, vous avez juste à presser le bouton et ça compute donc c'est assez facile et ça donne l'answer à l'autre côté. Et c'est très surprise. Donc ce que je vais vous montrer dans cette lecture ce que je vais vous montrer dans cette lecture c'est que selon ce que je vais appeler un curve spectra qui est un curve complexe avec une structure extra embêtie en 2cxc donc let's call it S nous allons construire un espace modulé MGN et une forme homologique une forme tautologique que je vais appeler Lambdav S comme ça l'Omega-GN il y a un MGM Lambdav S des let's call it PSI Z1 PSI hat ZN mais il y a aussi des classes homologiques PSI hat Z mais il y a aussi des classes homologiques elles sont typiquement liées à les bundles de la ligne donc nous allons les construire explicitement les bundles de la ligne sur le curve spectra ou sur le surface les bundles de la ligne sur le espace modulé ce sont les points de la curve spectra donc c'est juste pour donner une idée de ce que nous voulons nous voulons rappeler 2 choses qui semblent totalement inégalées un problème de la géométrie et un problème de la compétition des formes sur un curve et les paramètres sont homologiques est-ce qu'il correspond ou il y aura des transformations il y aura peut-être des transformations bon ok nous allons faire un exemple nous allons faire un exemple ce qui sera mon 1, 2 exemple Mirzharani pour le moment je n'ai pas donné aucune définition je vais essayer de donner une idée générale de ce que nous voulons faire donc maintenant nous allons considérer MGN de L1 LN c'est le espace modulé de hyperbolic donc surfaces bon ok SGN et Omega où SGN est la surface de G-G orientable avec N-boundaries il y aura toujours une positive et il y aura toujours une positive ici il peut être 0 il y a un peu d'interpolations aussi oui il y aura un peu et Omega c'est une métriques hyperbolic donc c'est le espace de métriques hyperbolic sur SGN comme ça donc hyperbolic c'est le curl le curl est constant et il s'agit de minus 1 et comme ça les boundaries sont géodésiques de lengths L1 LN modulo isomorphism qui sont en fait isométriques ok c'est un espace très étudiant et pour exemple si tu prends un un un M13 tu aurais quelque chose comme ça surfaces comme ça avec 3 boundaries L1, L2, L3 et c'est bien connu mais il y a un espace de coordinates un set de coordinates de Fentiel, Nielsen qui sont définies comme suivants c'est possible donc chaque surface de recherche par géodésiques par closés géodésiques donc ce sont closés géodésiques en fait tu peux vérifier qu'il y a toujours 3G-3 plus N qui coudent la surface en 2 pertes de pente donc ici tu as 3 pertes de pente cette façon de coudre un géodésique qui coudent la surface en 2 pertes de pente n'est pas unique je n'ai pas compris qu'est-ce que tu veux dire par 2 pertes je n'ai pas compris le mot pente c'est un espace c'est un espace donc tu as 1 pente 1 pente ok si tu les colles ensemble tu peux reconstruire la surface si tu les colles par géodésiques tu ne les colles pas mais tu as la même surface que les pente de géodésiques donc les coordonnées que tu as sont les pente de géodésiques L1, L2, L3 par exemple mais ce n'est pas suffisant parce que un peu de pente il y a des points spéciaux sur la surface il y a des points spéciaux sur la surface et quand tu colles ensemble tu n'as pas besoin de mettre les points à la même place tu peux roter par un angle oui, tu peux roter par un angle et en fait, si tu records tous les angles collés donc les coordonnées des coordonnées sont les toutes les pente géodésiques sur les angles collés pour I equals 1, 2 3G minus 3 plus N elles sont les coordonnées du espace donc pour chaque pente si tu fixes les angles collés sur les angles collés tu trouves un élément du espace sur vice versa chaque élément du espace est localement uniquement uniquement récupéré par ça la raison est que si tu fixes les angles collés il y a un pente unique hyperboli avec ces angles collés donc ce sont les coordonnées locales elles ne sont pas les coordonnées globales parce que il y a des différentes manières de la surface donc par exemple la même surface ou je vais vous donner un exemple très simple cette surface, donc en M04 tu peux prendre cette pente ou tu peux prendre celle-ci il y a deux différentes manières sur les coordonnées mais elles représentent le même point les deux représentent le même point dans le espace modulé mais tu as différents coordonnées parce que c'est seulement des coordonnées locales mais ce qu'il y a prouvé c'est que les deux formes sont de 3g-3 plus n dli c'est appelé la forme de Vypeterson et cette forme est bien définie du espace modulé et est indépendante du choix de coordonnées est indépendante de la façon dont tu cutes c'est la forme de Vypeterson forme c'est la forme 2 donc on le appelle omega c'est la forme 2 c'est aussi parfois dénoté comme 2pi2 kappa1 je ne vais pas dire ce que c'est kappa1 pour le moment c'est la classe mème4 c'est en fait contactifié c'est la classe mème4 c'est la classe mème4 non, vous pouvez le constater c'est juste une notation pour le moment mais donc ces deux formes permettent d'améliorer le volume donc c'est un très ancien problème et alors ici les lis sont les vrais nombres les vrais nombres positifs vous vous souvenez que les lis ici belongent au R+, nous sommes les vrais nombres positifs ok et ce que nous voulons compter maintenant c'est le volume Vgn de L1 Ln nous voulons compter l'intégration de Mgn de Ln de ces deux formes pour le bon power comme ça, ça devient un volume form et le pouvoir est bien, let's me call that Dgn et Dgn est juste une notation pour ce numéro qui va arriver à tout le monde 3g-3n donc vous voyez que ce n'est une dimension 2xDgn est la dimension de l'espace modulé c'est le nombre de coordonnées et donc si vous raisez ces deux formes à cette puissance c'est un maximum c'est une forme maximale de dimension et divise par 1 dgn factorial donc c'est les volumes que vous vouliez compter et ce n'est pas si facile while some of them are quite easy so as I said M03 remark that M03 of L1 L2 L3 I said there is a unique power point so it's a point there is a unique element in that space ok, so by definition you will say that the volume Vgn of L1 L2 L3 ok more difficult people have computed people have computed V11 of L1 and the answer is 1 over 24 2 pi square plus 1 half of L1 square what's that space sorry so it's something with one one boundary on genus one so it's something like that so one possibility for instance is to cut to cut here ok and the volume is that ok it's what it is another example V04 of L1 L2 L4 is sorry is 2 pi square plus 1 half of L1 square plus L2 square plus L3 square plus L4 square you see that it is always a polynomial of the LI squares it's not obvious at all from the definition but it's always a polynomial of the LI squares that's what you get after computing this has been computed by a method of hyperbolic geometry it's quite complicated and the idea is is there an easier way to find the same quantities well first in fact instead of so in 2004 Maria Mirzani discovered a recursion relation to compute all those volumes by recursion on 2g minus 2 plus L and that's why she got the field method it was and it really allows to compute in a rather easy way all those volumes by recursion excuse me in fact Mirzani's method is somehow to make the sum of all possible ways to cut and somehow divide ok it uses what's called the max chain formula I don't want to enter the details but her proof is a long proof and and somehow the way it works is you have to take into account all the possible ways to cut ok and somehow avoid double countings so I'm not going to write Mirzani's recursion for the volumes m vgn I'm going to first Laplace transform so vgn it depends on the way we cut no no no no no this is the definition so the definition is you compute the volume with the vile-patterson form the vile-patterson form in a local patch of coordinate can be written it depends the way you write it depends on the way you cut but the form is in fact independent of how you cut so the volume form is independent the volume is independent so this space has a certain volume and you want to compute it and it's hard and the reason why it's hard it's precisely because the local coordinates do depend on the way you cut but it's only local so let me first Laplace transform and define wgn of z1 zn is just integral from 0 to infinity of L1 dL1 e to the minus z1 L1 Ln dLn e to the minus zn Ln times this volume vgn of L1 Ln so you just Laplace transform ok oh sorry it was here v03 of course so if you do this Laplace transform it's easy to see that w03 of z1 z2 z3 is just 1 over z1 square z2 square z3 square we just compute the Laplace transform of 1 basically w11 of z1 is let me write it this way 1 over 24 times 3 over z1 to the power 4 plus 2 pi square over z1 square this is to the power 4 another example is w04 of z1 z4 equals 1 over z1 square z2 square z3 square z4 square times 2 pi square plus 3 times 1 4 1 over zi square so if the volumes are polynomials in the Li squares it's quite easy to see that the Laplace transform forms are polynomials of the 1 over zi squares it's kind of obvious and so if you write Mirzarani's recursion for the volumes and Laplace transform it you will get a recursion for the WGNs and that's what we did with my student Laurentin in 2006 so we just Laplace transform Mirzarani's so Mirzarani so this is the CRM my Mirzarani in 2004 plus Laplace transform that we did with Laurentin in 2006 so this is just Laplace transforming Mirzarani's recursion and in the WGN what do you get you get the WGN of z1 zN so this is for N larger than 1 equals residue 1 z goes to 0 of let me write it this way z1 square minus z square 2 pi over sine 2 pi z times W G minus 1 N plus 1 of z minus z z2 zN plus sum G1 plus G2 equals G et let me write it this way I1 so this means you should take the set Z2 to the N you should split it into 2 complementary subsets in all possible ways and WG1 1 plus cardinal of I1 z I1 WG2 1 plus cardinal of I2 minus z I2 et c'est tout et let me put what I will call sum prime here sum prime means that you exclude the case where G1 I1 is 0 and empty ensemble and the case where G2 I2 is 0 and empty ensemble so you exclude those terms from the sum let me show you that it's so I cheated a little bit a residue is in fact an integral residue is an integral it does not mean just picking a coefficient in a series expansion very often people don't write the integration variable in residues because somehow very often this is assumed I mean you have no there is no ambiguity on what is integration variable and you very often people don't write it but it should be written you can only compute residues of forms not residues of functions and the residue is an integral and this is particularly useful to write it when you are going to make changes of variables otherwise you forget the Jacobian and it changes the residue so and provided that we define so which is not a volume sorry all those volumes were defined only so hyperbolic volumes are defined only for 2G-2 plus N strictly positive so for instance 01 or 02 are not defined there is no M01 of hyperbolic surfaces there is no M02 of hyperbolic surfaces there is no so which means that GN must be different from 00, 01, 02 and 10 these are the 4 cases where hyperbolic volumes are not defined and they are called the unstable well see if you have a surface with a constant curvature minus 1 the Euler characteristic is sorry 2 pi times the Euler characteristic is the area of the surface sorry is the integral of the curvature so it must be negative so for a hyperbolic surface the curvature sorry the Euler characteristic must be negative strictly negative yes yes the whole modular space is not defined so Mgn is not defined so for this Mgn not defined does not exist would you care please tell me I do not understand this so I'm going to give I'm going to do the example of computation so sorry I didn't say provided we define 002 of Z1Z2 so we define it it's not a volume but we just define it as 1 over Z1 minus Z2 to a square let's define it that way so let me let me do the computation so let me example of computation W11 so let us apply the formula so Z is a new variable yes do you want to put Z1Z2 sorry no not yet not yet for the moment these are just functions later I will define forms I will multiply by Z1Z2 and so on to make them forms differential forms but for the moment it's just functions so DZ times Z1 square minus Z2 times 2pi over sin 2pi Z times and what do we have in this bracket in this bracket we have here G equals 1 N equals 1 that means you want to put W02 of Z and minus Z plus on the priori there could be this big sum on this big sum you would like to have G1 plus G2 equals 1 and I1 equals well equals the empty set that's what you would like to have in that case in that sum and you see that either G1 equals 1 on G2 equals 0 or G1 equals 0 on G2 equals 1 so which means that all the terms that could arise in that sum are excluded terms so in fact there is no extra terms so this is just what you have excuse me no no no no no I started with Z2 so Z1 is here and here that big term contains only Z2 up to Zn somehow it's related to that picture here one remains on the left side so one seems to play a different role from the others and what is not obvious at all indeed is that what you will get in the end will be symmetric in all of them it's not obvious at all from the picture or from this residue computation it's not obvious at all that what you get is symmetric but it will always be symmetric so let's compute that residue sorry the residue is taken at Z equals 0 so if you want to compute a residue you have to compute the Taylor expansion near Z equals 0 well first this one so let me write it this way Z1 squared minus Z squared 2pi over sin 2pi Z and this one is just 1 over Z minus minus Z so it's 2 Z so it's 4 Z squared I have maybe made a mistake sorry it was just pi I'm not 2pi ok so let me put that 4 in front so it's residue so let me put that 1 over 4 residue when Z goes to 0 dz so here you have a Z squared coming from there ok this one let's me write it as 1 over Z1 squared plus Z squared over Z14 plus O of Z4 so adjust this 1 over Z1 squared minus Z squared Taylor expanded at Z equals 0 this pi over sin 2pi Z is just 1 over 2 Z minus 1 over 6 2pi over 2pi squared Z squared let me put 1 over 2 Z in front so 8 Z cubed so plus O of Z4 ok so this is 1 over 8 Q1Z goes to 0 dz over Z cubed times 1 over Z1 squared well let me put the 1 over Z1 squared in front 1 plus Z squared over Z1 squared plus O of Z4 times 1 plus so 4pi squared over 6 Z squared O of Z4 ok and the residue picks the coefficient of 1 over Z so it's quite easy to see it's 1 over 8 Z1 squared times 1 over Z1 squared plus 2pi squared over 3 ok so this is the end of the computation so you see very easy you can put it on computer and it computes automaticaly every WGN you want in a finite number of steps it's quite easy the first two are doable by hand in just like 4 lines ok and indeed it gives the correct result so you can check that this is equal to that but if everything is like pi then we don't have to buy the form well the white Peterson volume form is defined this way yeah yeah you could of course yeah yeah of course of course there is a lot of homogeneity properties in everything but that's how things are usually normalized so this is what you find and this is the correct result and I encourage you to compute 004 by the same method le résultat correct, et si il y a quelque chose que vous voulez, vous trouverez le résultat correct. Avec ce méthode, vous voyez que c'est très facile d'utiliser en pratique. Donc, cette recursion de Mirzharani a tout de même essayé le problème. Cela permet de compter tous les volumes par une recursion très simple. En fait, Mirzharani's recursion a été réveillée dans la lente réelle. C'est un intègre, mais réveillé dans la place transforme, cela devient un résidu. Et c'est en fait plus facile de compter. En général, ce n'est pas le volume de quelque chose, c'est la place transforme. Oui, tout de même. Mais c'est encore un autre genre de surfaces avec des décorations. Vous avez une motivation pour cette formule que vous avez pullée d'une haine, pour W02 ? Oui ou non. Vous n'aurez pas de 0, si ce n'est pas défis, c'est un moyen logique de définir cela à 0. Oui, bonne question. Non, tout de même, ce n'est pas le cas. Et aussi, pour vous dire, pour le signe 2 pi z, initialement, quand Mirzharani's recursion a été formée en 2004, j'ai trouvé une recursion pour compter la grande expansion dans les matrices de lente. Les deux recursions étaient un peu similaires. Regardez comment elles sont similaires. Il doit y avoir un moyen d'y matcher. Qu'est-ce que l'on devrait utiliser ? Et initialement, on ne savait pas qu'on devrait choisir le signe 2 pi z. Et on a fait beaucoup de prises. Et de toute façon, on dit, OK, on va prendre une fonction arbitraire, comme le signe 2 pi z, plutôt que le signe 2 pi z. Et nous avons compété les premières deux tk, comme elles ont été matchées. Donc, nous avons trouvé 1 à 6 x 2 pi z à la cube. La prochaine, c'était 1 à 5 factorials x 2 pi z à la 5, etc. Et nous avons wenté jusqu'à 15 avant qu'on décide, bien, nous devons essayer le signe. Et puis, c'était très facile de prouver après. C'est juste la place transformée. Mais donc, ce n'est pas objeu à tout. Vous devez faire des sujets. Et cela correspond à ce que j'ai dit dans l'introduction. Dès un problème de géométrie numérative, vous devez imaginer un curve complexe pour lequel la compétition de la recursion topologique donnera la même réponse. Vous devez faire des sujets. Et ce n'est pas objeu à tout. Qu'est-ce qu'il devrait être un sujets ? Il n'y a pas de recipe générale. Qu'est-ce que c'est complexe ? Alors, maintenant, c'est cette fonction, signes 2 pi z. Je vais le dire. Ce n'est pas algebraique, bien sûr. Dans cet exemple. Donc, maintenant, je vais voir comment définir la génération de cette formule. Qu'est-ce qu'on peut générer dans cette formule comme cela peut être appliqué à d'autres cas. Alors, je vais commencer de nouveau. Est-ce que c'est ok ? Pas encore. Je vais juste... pas encore. Je vais juste dire, ok. C'est la recursion de Mirzara. Et vous voyez qu'il y a des ingrédients qui sont très spécifiques pour la compétition des volumes hyperboliques. Et par exemple, qu'est-ce qu'on peut... Donc, comment pouvons-nous générer cette formule pour qu'elle compétisse des autres choses que les volumes hyperboliques. Pas seulement les volumes hyperboliques. Comme je l'ai dit, initialement, la façon dont nous avons trouvé que nous avons orienté c'est parce que nous avons eu une récursion très similaire dans les matières rondes. Mais dans les matières rondes, cette fonction signes était quelque chose d'autre. Ce n'était pas la fonction signes. C'était quelque chose d'autre. Il y a quelques choses qui étaient différentes. Le dénominateur était un peu différent. Mais la même structure, cette pièce ici était exactement la même. Bien, pas exactement ici. En fait, cette fonction n'était pas minus z, mais quelque chose d'autre. Et les résidus n'étaient pas à zéro, mais à d'autres points. Donc, de toute façon, ce que nous essayons de faire c'est de trouver un moyen commun pour écrire la formule, une formule qui contient le Mirzarni dans le cas de Model Matrix et d'autres cas, deux, pour exemple, un qui était found pour avoir ses numéros. Et est-ce qu'il y a un moyen d'écrire une formule générale qui pourrait matcher pour plusieurs exemples? Et je vais remplacer les choses. Donc, la première étape sera de en fait, ce que nous avons réalisé que en fait, quand vous changez les variables, les WGNs ne transforment pas en fonction de z1, z2, zn. Ils transforment en formule différente. Donc, en fait, c'est utile de définir des formules différente. Donc, des formules différente. Donc, omega gn de z1, zn sera WGN de z1, zn x dz1, dz2, dzn. En fait, c'est un produit tensor. Mais très souvent, je vais oublier les cross. C'est un formule symétrique. Donc, c'est un formule symétrique sur la surface, qui sera... Donc, ici, les zi sont juste des numéros complexes. Donc, c'est juste... et ça, je vais l'appeler sigma. Donc, sigma à la n. Donc, c'est un produit tensor, qui signifie que c'est un formule dans la première variable, qui est une combinaison dans les premières variables, dont les coefficients sont des formules dans les secondes variables, etc. Donc, c'est juste un produit tensor. Ce n'est pas un produit extérieur. Et c'est symétrique. Donc, donc, premièrement, nous l'avons deux formules différentes. Donc, donc, nous allons prendre cette équation et multiplier par dz1, dzn sur les deux côtés. Donc, ici, pour exemple, nous allons multiplier ici par dz2, dzn, et dz1, je vais le mettre ici. Parce que dz1 n'applique seulement là-bas. Ok? Donc, sur les deux côtés, par multiplier par ici, nous devons changer ça à la n° n°. Sur les deux côtés, ici, ce n'est pas encore exactement la n° n° dg1, plus 1. Parce qu'on a dz1 sur les minus dz qui sont mises. Donc, nous allons multiplier par dz1 par minus dz1 et diviser par dz1 par minus dz1. Ok? Donc, maintenant, si nous, donc, le dénominateur 1 par dz1 par minus dz1, donc, minus 1 par dz1 par dz1 par dz2, je vais le mettre en front. Et maintenant, vous voyez que c'est effectivement la n° n°. Et la même chose, ici, c'est que tout le monde est en n° n°. Ok? Il peut sembler étrange d'avoir un dz dans le dénominateur, alors, pour observer qu'ici, nous avons un dz dans le numérateur, qu'on appelle un dz1. Mais, n'oubliez pas maintenant qu'il contient un dz1 par dz1. Donc, ça fait sens. C'est un dz1. C'est, vous pouvez compter la résidue d'un dz1. Donc, ça a l'air étrange d'avoir un dz dans le dénominateur. Mais, n'oubliez pas que vous avez deux dz dans le numérateur. Ok. Donc, c'était la première étape. On tourne tout le monde. Donc, maintenant, bien sûr, omega02 devient dz1 dz2. La première étape, c'est intégrer d'un dz1 dz1 dz1 dz2 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 dz1 sql sql dz1 dz1 dz1 dz1 plus dz1 dz1 dz1 dz1 times 2z. Donc, let's me write it this way. vz1 2z. So it's this integral. Minus z2z of omega02 of z1. And let me put a dot for the variable which is integrated. I'm not going to write it. So which means let me replace that quantity by this one. So here I will write from minus z2z of omega02 of z1 divided by 2z. In fact, this dz, let me put it here. Let me put minus in front. So it's just a rewriting for the moment. It's just a rewriting. Now let me introduce another quantity. Let me introduce 2 functions. Introduce 2 functions. x of z, what will just be z2, and y of z, that will be minus sin2 pi z over 4 pi. Ok. Why not? Observe that zx equals 2z dz. Ok. First thing, it's the same quantity that appears here. And second thing is that it vanishes at z equals 0. Let me call this point a. So, and another property is that x of minus z equals x of z. A function sigma of z equals minus z. So sigma is the function that maps z to minus z. It's an involution. It's an involution such that x of sigma of z equals x of z. Ok. So let me now replace everywhere where I had this minus z. Let me replace it by sigma of z. Sigma of z and sigma of z. So they act on a spectral curve or on a c. On a spectral curve et on a n'aie beaucoup. So the spectral curve from the moment I've not really fully defined what is a spectral curve but basically the space where z lives z. So this variable z lives for the moment in the complex plane. On the spectral curve somehow it's the complex plane plus some extra structures which are those functions, 3 functions are defined on the complex plane and somehow the spectral curve will be the data of all that. Complex plane plus a function x and a function y on the form omega 0 2. So this will be what I will call a spectral curve. It will be the data of all those things later. So and so when I take z so here I said that I will write that as dx of z. Okay. The residue I take it at the point where dx vanishes so which is a so where such that dx of a equals 0. Okay. And so let me put the minus here let me observe that this denominator is nothing but 1 over 4 y of z. This 4 let me write it this way 2 times 1 half yeah. Sigma also vanishes at 0 a. In fact sigma of a equals a. Sigma of a is the fixed point of sigma. Sigma of a equals a which is 0 in that case. So sigma is indeed the involution that permutes the different branches that correspond to the same x. So what will happen is that the map so you have the complex plane sigma will be c it's the complex plane. Okay. And you map it by the function x also to the complex plane so but somehow this is a curve and this is a base curve and x is a projection from one to the other and the points the x vanishes vanishes are the branch points and and also sigma is a locally involution that permutes the different sheets. So yes sigma permutes the branch the different branches of the covering so that will be the here in that case there is only one so this for this function x there is only one fixed point but indeed we decided to introduce those generalizations because for matrix models typically you have two fixed points or more or more than two fixed points but in matrix models usually there were more than one fixed point so that's why yes so then we shall sum over all sum over all all a such that the x of a equals 0 you get the Euler characteristic sorry so you get the Euler characteristic no no sorry you don't have this type of theorem yeah summing over fixed point it's not compact okay it's not compact yeah so and just let me say that here you have I wrote 2 times y of z but let me be more subtle and write it this way y of minus z which is sigma of z okay let me do it this way so in that case y is an odd function so it does not change anything but there are many examples that we shall consider where y is not an odd function and making this difference is crucial so let me now say the following so now choose so so it will be the definition of my so it will so for the moment what I've done is just no sorry excuse me there is one more step let me there is one more step is define omega 0 1 of z because y of z dx of z so it's a one form so basically omega 0 1 is a form y dx okay let me define this so let me put this y together with this dx observe that dx of sigma of z equals dx of z observe that you have that and so so now replace this so put the dx together and here define omega 0 1 of z minus omega 0 1 of sigma of z okay so you see that now in this way all the ingredients you need so it's just a rewriting of Mirzhani's recursion but in a way that we could hope to apply to other choices of x y and so on okay so now let me let us make a true definition corresponding to that so what are the ingredients we need we need to have a omega 0 2 we need to have a function x that realizes a covering of surface remand surface by another remand surface you need to have a covering for which you have that has branch points and for which locally there is an involution that permits the branches that cross at the branch point okay so we need that we need a one form omega 0 1 we need an omega 0 2 and you see it was quite important that it had a double pole so it needs to have a double pole it needs also to be symmetric and and apart from that that's more or less all what we need another remark is that since we are going to compute residues all what we need to be able to do are the Taylor expansions near the branch points basically everything which is far away from the branch points does not matter at all so in fact and also residues will pick a finite number of terms in the Taylor expansion so in fact if you have a true convergent so if you have a true analytic function whose radius of convergence is larger than 0 or if you just do not make any difference in computing the residue the residue only picks a finite number of terms so if your radius of convergence is 0 that does not matter you can still compute this so in fact what we shall generalize why we not need to be a function of Z a mermorphic function of Z it will just need to be a formal series of Z a germ of analytic function no in fact you need X and W01 and indeed you don't really need X you just need the involution you just need to know that there are branch points and involutions in fact that's all what you need but for my I prefer to introduce really a function X there has been a lot of debates about that do you really need a function X locally in fact what you really need is a kind of polarization procedure ok so somehow a function X is a little bit too much sorry because when I will consider the deformation theory of all that I like to consider the deformation of the moduli of a function X but ok I mean this is not a fully established thing basically there are still probably improvements that can be made but so let me define what I will call a spectral curve so 2 1 so this will be my part 2 2 definitions and so 2 1 will be spectral curves so my definition will be that a spectral curve S equals spectral curve will be the data of a remand surface so omega 0 1 and omega 0 2 so a spectral curve will be the data of 4 things ok sigma is a remand surface what in fact people like to call local remand surface means that it does not need to be not necessarily connected compact or connected typically all what you want is that it contains some vicinities of a branch points so all what is needed is that it contains some vicinities of branch points so it can be just a union of small disks it can just be a union of small disks that contains a branch points and whether there is a general dimension whether all those disks can be put together into a curve does not matter at all sometimes they can sometimes they can't and if they can that means basically that the mirror in your the problem is really a curve if they can't it means it's not a curve but typically higher dimensional space well ok definition of topology curve to run the recursion all what you need is that it contains some small vicinities of a branch points that's all what is needed ok so second thing is that x is a map from sigma to let's say cp1 and such that dx has a finite number of simple 0 in fact you can generalize this notion of finite numbers if you have a way to take sums so for instance if you have some gradings or for instance introducing a q parameter so if you have a way to define sums of infinite numbers then it's possible to get rid of that assumption and the fact that they have simple 0s it's only for the moment I will later give the definition when the 0s are not simple so let me for the moment say that this is a regular regular spectral curve so a regular spectral curve means that the 0s are simple and so if a a is a 0 of dx there exists local sorry and it must be holomorphic or let's say meromorphic there exist a local involution sigma a in a vicinity in a neighborhood of a such that x of sigma a of z equals x of z in fact what you need is involution rather than the function x and it can be defined only using the differential form dx so z belongs to sigma sorry z belongs to sigma yes z belongs to sigma in a neighborhood of a z belongs to a neighborhood of a in a neighborhood of a on such that sigma a of a equals a on sigma a is of course different from the identity you choose the other excuse me formal sorry holomorphic yeah yes it's holomorphic if x is holomorphic locally when sigma is holomorphic you know it's unique it's unique if x has if dx has simple 0s yes if dx has simple 0s it's unique omega 0 1 is a meromorphic one form non sorry it's a germ a formal germ of meromorphic in the neighborhoods of a of branch points so typically locally so locally a good local variable is is zeta a of z which which is just x of z minus x of a ok this is a local variable and the involution is just zeta goes to minus zeta changing the sign of the square root but this is defined only locally it cannot be defined globally in general so so typically omega 0 1 will be sum sum of t a k zeta to a 2k plus 1 so 2 zeta d zeta so times dx on dx 2 zeta d zeta let me 2k equals in principle from 0 to infinity but let me in fact choose the coefficient from 1 to infinity and let me call the first coefficient 1 over t a 0 and this is only the odd part plus even part ok but since I'm going to take the difference you see I'm going to take a difference omega 0 1 of z so it means that only the odd part matters and in fact it's customary to normalize things slightly differently and put a 2 to the power k over 2k plus 1 double factorial define those coefficients t a k so that defines the coefficient t a k and t a 0 is here they are the coefficients t is used kind of inverse to t a 0 notation is not yeah I agree but it's because if you do that you will get only polynomials in the t's nothing in the denominator if you put the t a 0 in the numerator you will have it will appear in the denominator in the amp so these are just the Taylor series coefficients and see it's a formal series it does not need to have radius of convergence so why cp1 why not high dimension could be another or it could be another Riemann surface sigma 0 doesn't matter at the moment but since everything locally so since in fact you just look at neighborhoods a neighborhood of a Riemann surface is always a neighborhood of cp1 or c yeah could be just a disk in fact on omega 0 2 is a meromorphic 1 tensor 1 form on sigma cross sigma this one I like it to be defined in a full neighborhood so not only a formal series again I'm not sure it's absolutely necessary but let me assume that it's really now not just a formal series but we with a double pole on the diagonal on the diagonal so which means that omega 0 2 should be f's and it must be symmetric it's crucial omega 0 2 in any local coordinates should behave like d z1 so for instance you could use the coordinates so here this notation means plus analytic when z1 goes to z2 so the leading coefficient is 1 in fact you can generalize that also so this is the simplest case but this can be generalized let me write it here in fact when you have several branch points so imagine you have so sigma is a kind of cover and here you have your sigma 0 over by x ok you have one branch point here let's call it a1 another branch point here let's call it a2 ok the local involution sigma a1 is the involution that exchanges those two points you see that over a given point here x you have several pre-images you have let's say here and the local involution exchanges these two but does not touch that one it's not defining the other one but here the local involution would exchange these two branches ok so if you have two neighborhoods so if you take two neighborhoods so if you take two neighborhoods what you need really is that omega02 so if you take omega02 of z1 z2 if you want to study it in neighborhoods so when z1 goes to is close to to let's say to a branch point a on z2 is close to a branch point b it can be the same or it can be different ok well in the local variables square root of x minus x of a on square root of x minus x of b basically you would like it to be like delta a b d zeta a of z1 d zeta b of z2 of zeta a of z1 minus zeta a of z2 to a square plus and again we shall compute the Taylor expansion plus some of our k and l let's call the coefficient b a k b l this way zeta a of z1 to the power 2k zeta b of z2 to the power 2l d zeta a of z1 d zeta b of z2 ok to the power k d zeta b of z2 to the power 2l so these are just the Taylor leave some space here because I like to put a 2 to the k plus l plus 1 over 2k plus 1 double factorial 2l plus 1 double factorial it's just a normalization so yes plus plus even parts you see this is odd because there is 2k times 2k plus 1 so this is somehow this is odd or in fact so in the coefficients you can add odd parts but the coefficients the Taylor expansion coefficient of odd parts will play no role so are you saying that leading part after evolution get re-parameterized and the parts remain the same so the leading leading terms so after you introduce this involution then it re-parameterizes and then the leading terms remain the same yes so because everything will be invariant by this involution so only the part of the Taylor expansion which is invariant by the matters non invariant parts will be cancelled out well just a remark here you could replace this delta A B can be replaced by let's let me write it one half of k A B and in fact it's interesting to take a carton matrix here this is a nice generalization it's when you put a carton matrix instead of delta A B yeah but in this case you have to identify local coordinates it's different so and it's useful for instance for heating systems so in this case you have two different local coordinates and they are identified by this matrix so but I will stay with delta A B but you could generalize by putting your carton matrix so this is the definition of spectral curve so now that we have defined a spectral curve then we shall define the topological recursion and the formula is written here in fact so it's my part 2 2 so 2 2 definition of TR and so the definition define omega GN by this formula si if I give you a sequence of T any sequence do you call it a spectral curve? do you call it a spectral curve? yes basically that's what I did here any sequence of T defines an omega 01 well regarding omega 0 I like it to be really to have a finite radius of convergence I think it's not necessary but I like to have this property sorry K and L are positives yes so without any restrictions on this TK you are uniquely determining this omega yes yeah yeah I mean the data of omega 01 is exactly the same as the data of the TKs it contains exactly the same information yeah ok excuse me it's also arbitrary numbers B so those B AKs BLs are more or less arbitrary but I like to have that this series is convergent in a disk ok I like this to really be an analytic function in a disk with finite radius of convergence so which puts some restrictions on the Bs that you can choose but they are not very strong restrictions you include the omega 02 in the definition of the spectrum yes yes yes omega 02 is included in the definition of the spec rocker so the spec rocker is the data of the four things sigma X no no no why did you include it it's in the definition of the spectrum of the deformation theory properties of the future ok we'll see that in the next lecture but in fact there are some deformations of omega 02 and omega 01 that can be totally independent yes yes yes I agree ok I agree but for the moment this is my definition this is my definition so now this is well defined so you define omega GN by a recursion on N on 2G minus 2 plus N it's a recursion on that number because you see that to express the left hand side you need to have already computed some omega G prime N prime with a smaller value of this number so it's a recursion on it's a recursion and in fact it means that you can compute omega GN in exactly 2G minus 2 plus N steps yes yes so in the first step you determine omega 03 and omega 11 in the second step you can compute omega 04 and so on so let me state some property oh sorry the definition is not yet so that's for N larger than 1 and the definition let me also define omega G0 well omega G0 contains so basically N is always the number of variables here omega G0 contains nothing omega G0 is what I will call FG of my spectral curve is defined as 1 over 2G minus 2 times sum over all branch points residue at the branch point of omega G1 of Z times a function that I will call F01 of Z where the differential of DF01 is omega 01 and that's defined for G larger than 2 so it's a definition there is a definition for F1 and F0 that I'm not going to write I'm not going to write them and in fact it's not only see the literature there are some subtleties in fact F1 can be defined you see that this formula does not make sense for F1 because there is 1 over 2G minus 2 ok but there is a way to define F1 it's just basically it involves not only residue but there are logs and things like that I don't want to enter the details but for F0 there is a fundamental difficulty to define F0 and I will talk about that in the next lectures there are some important subtleties about F0 so some properties so let me state a few theorems about the properties so first of all there are many many examples where you have a spectral curve and you run this and it confuse some things that are useful in random matrices in random matrices if you take as spectral curve you take the large n limit of spectrum of random matrix then basically you compute all the large size expansion large n expansion of correlation functions so miraculously with this procedure so let me just say a few properties I'm not going to enter the details I don't want to we can discuss that later but just to say that this formula does indeed compute interesting things in many cases in Mirzani's case you see it computes the hyperbolic volumes if you start with another if you start with a curve ok I'm going to give examples but so just let me state some properties so technically omega gn is a symmetric so that's a theorem omega gn is a symmetric that's not trivial from the definition n form on sigma to n it's not obvious from the definition because z1 seems to play a role totally different from z2 up to zn it seems to play a totally different role but it's always symmetric it can be proved by recursion I'm going to write it so in fact the true so it's meromorphic with poles only at ramification points of order the order of the poles is at most 2 times 3g minus 3 plus n plus 2 non except omega sorry for 2g minus 2 plus n positive they have no poles on the diagonal only omega 02 has a pole on the diagonal on omega 01 can have pole anywhere ok but all the stable ones have poles only at the ramification points and so technically I will write that omega gn belongs to h0 of sigma n to k sigma of let me call it this way so this notation means that this is the canonical bundle of sigma raised to the tensor product of n copies and each copy corresponding to one of the factors of sigma to the n what this square box means r is the set of ramification points so which is the set of a such that dx of a equals 0 and r means that there can be any degree in fact the degree is bounded by that so another part of the theorem so the really true important statement in that theorem well no there are several important statements but one thing that is not trivial is that it is symmetric another thing which is not so trivial but quite easy to see and the definition is that the poles can be only at the ramification points and it's because we take residues at ramification points that's the only places where you can generate poles and in fact no I should have said branch points because the poles can be on any pre-image of the ramification points in case where you have this carton matrix okay well and so at the poles that are at ramification points there is also one important property is that the residues of omega gn are 0 at any ramification point if you take the residue in any of the variables the residue is 0 so they are poles without residues and this is why this definition here is well defined because you see f01 is one integral of omega01 so it could be it's defined up to an additive constant but because the residue of omega g1 is 0 the additive constant plays no role so this is well defined because of that property so it does not depend on the choice of primitive you take for f01 so let me state two more so let me state another theorem which is nice which is that now if you take omega gn of z1 zn equals 1 over 2g minus 2 plus n sum over a of residue at z goes to a omega gn plus 1 of z1 znz and f01 of z so for every in fact for n equals 0 this was the definition but for n larger than 1 this is a theorem in fact this is the theorem which motivated the definition it is often called for it's the way it appears in string when you look at applications to string theories in the spirit of module spaces of surfaces it means that if you have some surfaces of gnzg with n plus 1 boundaries and you glue a disc to one of the boundaries you get surfaces with n boundaries somehow it's the way to close the boundary to glue a disc on the boundary so another property that is useful I define the rescaling of spectral curves it's a homogeneity property definition if you take lambda belongs to c star you shall define lambda times a spectral curve so if so if you take s a spectral curve sigma x omega 0 1 and omega 0 2 you shall define lambda times your spectral curve as just rescaling omega 0 1 lambda omega 0 1 omega 0 2 so just rescaling omega 0 1 then the theorem is that omega gn computed for a spectral curve is lambda to the 2 minus 2 g minus n omega gn so basically the omega gn of degree 2 minus 2 g minus n and this is obvious from the definition because omega 0 1 appears on me there basically it's the number of times you apply the recursion which is 2 g minus 2 plus n ok so let me just finish by showing a few examples of a few examples of spectral curves let me just give you a few small examples of spectral curves so so an interesting example is the following take s so s equals cp1 x of z equals the map z cube minus 3z y of z equals z4 minus 4 z minus 4 z2 plus 2 notice that these are the Chebyshev polynomials of degree 3 and 4 and sorry yes so in fact omega 0 1 is y dx so this one is especially useful you see x is of degree 3 is a degree 3 covering there are 3 branches and there are in fact 2 branch points so if you write dx dx is 3 times z2 minus 1 dz so there are 2 branch points a equals plus on minus 1 there are the 2 branch points ok c they satisfy the equation y cube minus 3y minus x4 plus 4x2 minus 2 equals 0 so they satisfy a polynomial equation p of xy ok the 2 satisfy a polynomial equation so there are 2 branch points and if you want to compute the sigma a of z it can be written explicitly minus z a times square root of 12 minus 3z square so you see you have 2 involutions so basically you have sigma plus and sigma minus that correspond to choosing different branches of a square root and this one is very useful to compute well to compute things about the Ising model it's related to the Ising model I will not say how so if you compute all the omega g n's of that it's very closely related to the Ising model I'm not going to say how but it's a very useful very interesting case another interesting case is consider the equation y square equals 4x cube minus g2x minus g3 so a typical elliptic curve typical elliptic curve so it can be parameterized as follows so s will be the torus of some modulus tau which is related to g2 and g3 and the function x of z will be the wire truss function p of z and the function y of z will be p prime of z and they satisfy this equation omega 0 1 is as usual dx and for omega 0 2 of z1 z2 you want something that has a double pole on the diagonal so let's take the wire truss function of z1 minus z2 it has a double pole you can add any constant to it dz1 dz2 this curve is very useful and is related to cyber written su su2 you are calling it a cyber written curve yes, more or less yes, it's more or less cyber written curve so there are plenty of other examples another example which I like is the case where s is c minus r minus x of z is minus z plus log z y of z equals z and omega 0 2 is the one I usually choose for the complex plane dz1 dz2 over z1 minus z2 to the square ok you can check that e to the x equals y e to the minus y which means that y is the Lambert function e to the x it's often called the Lambert curve and this is the definition of the Lambert function this is the very definition of the Lambert function and if you look at if you plot x, y it will look like that ok, there is one branch point your second example does compute ground 15 variance for result point? no in fact in fact if you really want to see that it computes yes it's related to some in fact to re get the topological string partition function you need to take x equals log of that and y equals log of that but so basically it's when you go to the exponential variables that you re-compute topological strings but this one that computes a matrix model a certain matrix model what is the function for this variable ? it's related to a class of partition function I'm not sure which one this one is oh, this one no this yes it's related to a class of partition function it's very closely related well no, not exactly that one but something that looks like that indeed so the idea is that for every topological strings on the Toric Calabiaus for instance there is a spectral curve and it's basically the mirror and that's what I wanted to point out so for instance imagine that you take imagine indeed for instance the result conifold and imagine that you take the equation so e to the minus x sorry e to the x plus e to the y plus e to the minus x minus y plus q equal 0 ok, take this equation and you see that it's the curve that is the mirror of the result conifold in fact the sigma is the torus sigma is the torus and this defines two functions x and y on the torus this defines one form y dx but basically the fact is that e to the x and e to the y are mirror morphic functions so x is the log of a mirror morphic function and y is the log of a mirror morphic function so which means that the form y dx has logarithmic singularities but that doesn't matter because the logarithmic singularities are not at the branch point so you can still compute everything and then this computes all of the gram of written invariance for the result conifold this has been proved can you take any curve than what you compute is the b-model function of collab v v plus somehow, yeah or some generalization of that but that's the idea, yes the idea is that you are always computing the b-model side of the gram of written invariance so so let's stop here for today so excuse me oh sorry Lambert curve computes the habits numbers I can even write the full definition for Lambert curve so yes, indeed that's an interesting example for for the Lambert curve I can write what the Lambert curve omega gn r so for Lambert curve so omega gn of z1 zn is some of let's call that hgn of mu some of our mu such that of length n over 2g minus 2 plus n plus mu factorial mu of e to the x1 where x where xi equals x of zi so with this function x minus zi plus log of zi ok on mu mu our partitions on so on of length at most n so which means that some of the mu i's can be 0 ok on hg mu hgn of mu1 mun is the number of ways of factorizing permutation sigma whose class of class so cmu is the set of conjugacy classes of permutations sorry the conjugation class of a permutation is just the length of these cycles so a permutation sigma with cycles of length mu1 to mun and you want to factorize it as a product of 2g minus 2 plus n plus mu transpositions so if you take a given permutation with cycles of length mu1 up to mun in how many ways can you factorize it into a product of transpositions with that number of transpositions it's a certain number this hg mu this hgn of mu is a certain integer number and this is called how it's numbered I should maybe product of transpositions so it's in principle it's time to stop but let me just give you an example h01 of mu1 of mu so it's the number of ways of factorizing permutation with a simple cycle so take the permutation so take the permutation 1 2 n so that's the cycle so that's the cycle 1 2 3 and so on n so this is the permutation in how many ways so sigma equals that in how many ways can you write it as the product of mu-1 equals product of tau1, tau2 tau sorry it's not n it's called let me call that number k sorry this is the number mu tau mu-1 it's like relation fundamental group of punctured sphere not a chi Activist curve so that it's like relation fundamental group butHamcha word butstanding because but for functions b because it should add product of ai eibii Yeah, you can consider representation of you 여기서 Mais pour la surface, il n'y a pas de groupes de 3, il s'agit d'une pièce 1. Quand l'ingénierie est plus grande que 0, c'est plus compliqué. Oui, je pense que c'est un petit erreur. Ok, mais... Ok, pour l'ingénierie, vous agreesz, mais c'est mal. Ok, pour l'ingénierie, vous agreesz, mais c'est mal. Donc, par exemple, quand une mu est 2, pour la mu est 2, c'est juste la transposition 1, 2, et il y a un unique moyen de décomposer comme un produit de 1 transposition. Non, je veux juste dire, juste parce que l'ingénierie doit être de différentes manières, ce n'est pas un produit, c'est parce que vous avez besoin de relations pour le groupe mental du produit de la surface. Bien, ici, c'est défendu comme quelque chose d'un groupe symétrique. Je suis très sûr que c'est la définition correcte. Je pose une question sur cette notation. Vous avez dit que l'Omega-GN, c'est l'H0, c'est-à-dire l'homologique H0. Donc, c'est la section de l'homogénieuse, de l'homogénieuse, de l'homogénieuse, de l'homogénieuse, de l'homogénieuse, de l'homogénieuse, de l'homogénieuse. Donc, cette théorie, vous trouvez que c'est de l'ingénierie de 2G-2+, et ça devrait être suivi par l'homogénieuse, que l'Omega-GN est de l'ingénierie de la section. Non, non, non, non. Non, pourquoi non ? Parce que c'est aussi une section homogénieuse. Non, non, non, c'est la procédure. On a aussi une procédure homogénieuse, et la procédure homogénieuse, c'est une procédure homogénieuse. Donc, nous aussi, on a aussi une procédure homogénieuse, avec cette procédure homogénieuse. Non, non, non, mais c'est... Je pense que nous ne parlons pas de la même chose. Non, nous ne parlons pas de la même chose, pas de la même homogénité. Je vous dis que la homogénité que je vous ai mentionnée était la homogénité, avec respect à la forme de l'Homega-01, mais c'est pas la même chose que vous ne parlez pas de ça. Donc, si... Ok, nous avons donné la bonne définition des nombres de Harvard. C'est prouvé que les nombres de l'Homega-01 qui sont définies par la réculture topologique pour ce curve spectraux puissent accomplir les fonctions de l'Homega-01. C'est l'un des nombres de l'Homega-01 ? Non, non, non, c'est le nombre de couvres avec différentes modifications. Oui, c'est l'un des nombres de l'Homega-01. Donc, en fait, c'est la compétition de l'Homega-01. Donc, vous avez... Vous avez un certain nombre de K, qui est le weight de la partition de nouveaux chevaux, pour couvrir... Vous avez des couvres, et vous avez un point spécial, à l'infinité, vous avez un point avec un certain profil de ramification. Donc, ici, vous avez, il y a deux branches, il y a deux branches, donc ce serait par cette partie, à l'infinité. Ok ? Donc, c'est simple, vous avez des nombres. Et la façon dont vous voulez factoriser cela comme un produit de transposition, cela veut dire que dans combien de manières pouvez-vous mettre des points de branche, qui sont des points de branche simple, vous voulez que tout soit connecté, pardon, je n'ai oublié de dire connecté. C'est appelé un produit transitive. Transitive signifie connecté. Une action transitive, il y a une action groupe, il y a une action transitive. Une action transitive. Donc, dans combien de manières que la surface de la genus sera G ? Donc, cela veut dire que c'est le nombre de classes homotopiques de ces compositions. Ah, pardon, ce n'est pas une mixture de séparations de séparations de la genus, c'est des séparations de la genus. Oui, donc je pense qu'il n'y a pas de problème. Voilà, dans combien de manières pouvez-vous mettre des séparations de la genus avec des petites chètes dans un moment où vous avez quelque chose de la genus G et c'est connecté. Donc, la genus G n'est juste un nombres d'intègérité. Donc, vous voulez, Ici, c'est la fonction monoméole-symétrique, la fonction monoméole-symétrique-pollinoméole. Cela définit une série de z1, z2 et zn, et la théorème c'est que c'est la même chose que la compétition que l'appel de la compétition topologique. C'est la théorème. C'était la première conjecture de Bouchard et de Marignot, et nous l'avions prouvé avec Moulassé et Saphnuc en 2008. Mais ensuite, on réalise que c'est juste un sub-case d'une chose plus générale. C'est-à-dire que ça fonctionne pour tous les invariants de théorique, calabiaux, troisfold et orbifold. Et donc la théorème générale est que si tu prends une courbe, si tu prends une courbe spectra, c'est le mirrore de quelque théorique, calabiaux, troisfold, ensuite, la compétition topologique appellée à cette courbe compétit les invariants de théorique. C'est aussi la théorème. C'est aussi établi pour orbifold. Mais ce n'est pas connu si tu peux aller au lieu de théorique. Mais ce n'est pas connu si c'est toujours vrai, si ce n'est pas théorique, pour exemple, pour Wukwintyk. C'est connu que c'est vrai, que ça continue à s'occuper, mais il n'y a pas de prof de ça. Et aussi, un autre chose intéressant, c'est qu'il n'y a pas de prof de théorique. Un autre chose intéressant que je vais mentionner c'est que si tu prends une courbe, la courbe de la courbe de la courbe, la conjecture est qu'à un moment, tu commutes les coefficients dans l'expansion de la courbe de la courbe de John, ou de la courbe de la courbe de Humphrey. Donc, c'est une extension de la courbe de volume. Mais c'est une courbe de courbe. Même si l'ordre de la courbe n'est pas prouvé. Donc, c'est supposé être difficile, mais on a checké quelques ordres pour des notes simples, comme la figure de la courbe de la courbe. Et ça fonctionne parfaitement. Et ce n'est pas un cas de théorique. Ce n'est pas des notes théoriques. Je ne sais pas si... Je sais qu'il y a des ordres sur ça. Je ne suis pas spécialiste, mais je ne suis pas sûr de ce que c'est. Le modèle de Calabiil est pas de la courbe de la courbe de 5, il ne devrait pas attendre la courbe de la courbe. Il devrait attendre la courbe de la courbe de la courbe qui est très dimensionnelle. Je l'agissais, mais ça fonctionne. Je ne sais pas pour quelle courbe de Calabiil, mais si tu prends une courbe spectro-curve à la courbe de la courbe de la courbe, ça fonctionne. Mais la courbe de la courbe de la courbe de la courbe n'est pas de la courbe de la courbe de la courbe de Calabiil, comme je le sais. Mais ça fonctionne. Mais c'est une conjecture. C'est beaucoup plus grand que la conjecture de la courbe de la courbe de la courbe. Donc, c'est la fin pour aujourd'hui. Donc, ce que je veux montrer la prochaine fois, c'est que nous avons une définition récursive. Et la bonne façon de faire des récursions, c'est de les écrire graphiquement. C'est la picture. En fait, beaucoup de théoriques que je m'ai mentionnées, par exemple, le fait que tu fasses quelque chose qui est symétrique, peut être prouvé graphiquement. Et il y a un bon moyen combinatorial pour représenter cette récursion. Et juste en utilisant les récursions combinatoriques, avec lesquelles tu trouves très rapidement... Donc, il y a un nouveau formalisme introduit pour cette récursion topologique par Maxime et Yann Soybelmann. Et une bonne façon de voir ça est d'utiliser la représentation graphique. Cette représentation graphique est très utile pour compter des choses. Et c'est aussi ce qui permet de trouver un espace modulé et une classe homologique sur ce espace modulé comme la récursion topologique de l'Omega-GN sont, en fait, intergrosses de classes homologiques dans cette MGM. Et la formule est amazingly simple. Et je vous donnerai un proof de la récursion de Mirzarani. Je vous appelle ça un proof de 4 lignes de Mirzarani, mais 4 lignes c'est vraiment parce que j'expand tous les détails de la compétition. Et c'est tout de suite l'imprové que la forme de la forme de la function de l'Omega-GN est, en fait, une function très simple. Et aussi, pour le cas de l'Omega-GN, la compétition est assez simple. Il y a un autre formulaire qui dit que c'est aussi, on s'appelle l'ELSV formulaire. C'est aussi un indigo de la barbe de MGM de la classe Hodge. Je vais l'aider de cette façon. Par exemple, un produit de l'Omega-GN de 1 à 1, minus mu psi i, mu psi i, et parfois, quelques facteurs de l'Omega-GN de la barbe de mu psi i, mu psi i, et probablement quelque chose de mu psi i à la barbe de mu psi i divisé par la barbe de mu psi i, quelque chose comme ça. Si quelqu'un m'a rappelé l'ELSV formulaire de l'Omega-GN, c'est quelque chose de cette sorte de la barbe de mu psi i. Et basiquement, je vais vous montrer ce que cela correspond à pour les curve spectacles en général. La idée est que, au lieu de la classe Hodge, il y aura une autre classe qui dépend de la curve spectacle, et je vais vous donner un formulaire explicite pour cette classe qui génère la classe Hodge. Et pour la barbe de Lombard, je vais vous montrer par une computation très simple que nous avons récouru de la classe Hodge. Et pour le cas de Mirzharani, au lieu de la classe Hodge, vous devez juste prendre l'exponential Kappa 1. Et pour le Calabio 3-fold, c'est une combination de produits de 3 classes Hodge. Je ne peux pas arrêter ici.