 En 1924, Stéphane Bannard et Alfred Tarski publient sur la décomposition des ensembles de points en partie respectivement congruentes. Un article où les deux mathématiciens démontrent que l'on peut découper une boule en cinq morceaux de façon à ce qu'il soit possible de recomposer à l'aide de ces morceaux deux boules toutes de parfaitement inantiques à la boule avant son découpage. Ça tombe bien, j'ai deux minutes pour en parler. On considère une boule, c'est-à-dire une sphère pleine de l'espace 3D. Ce qui annonce le théorème de Bannard Tarski, c'est qu'il existe un découpage de cette boule en cinq morceaux qui, après recomposition, peut former deux boules identiques en tout point à la boule initiale. La recomposition ne fait intervenir que des isométries, c'est-à-dire des déplacements et des rotations. En particulier, les pièces ne sont à aucun moment déformées. Comme son nom l'indique, ce théorème est un théorème. C'est une propriété mathématique qui a été démontrée en bonne et due forme. Malgré son caractère paradoxale, ce théorème est absolument impossible à contredire. Ainsi, il est tout à fait raisonnable pour un mathématicien de découper pour deux invités un gâteau sphérique en cinq parts de façon à ce que chacun des invités reçoivent la totalité du gâteau. Si ce théorème semble paradoxal au premier abord, c'est qu'il contredit une réalité de notre monde physique. Quand on coupe un objet en plusieurs morceaux, le volume de l'objet initial se doit être strictement égal à la somme des volumes de ces morceaux. Dans le monde mathématique, cette propriété est elle aussi évidemment vraie, mais à l'unique condition que l'on puisse attribuer à ces morceaux un volume. Cette notion est difficile à définir, mais quand on le fait proprement, on s'aperçoit que certains objets mathématiques ne peuvent tout simplement pas être mesurés. Si cette propriété défie autant l'attuition, c'est qu'au coeur de sa démonstration se cache deux détails assez perturbants. Le premier point troublant est la présence de paradoxes liés à l'infini, puisque l'on va utiliser plusieurs fois le paradoxe de l'hôtel de Hilbert, à savoir que deux ensembles infinis de tailles différentes au premier coup d'œil peuvent en fait être équivalents. Je vous renvoie ma vidéo sur le sujet. Le deuxième point, encore plus dérangeant, est l'apparition dans la démonstration de l'axiome le plus polémique de la théorie des ensembles, l'axiome du choix. Le découpage de l'énoncé est mathématiquement parfaitement défini, mais il est malheureusement impossible à réaliser en pratique. Désolé, mais dans la réalité physique du monde, telle qu'on le connaît, on ne peut pas dupliquer les objets en les découpant. Une théorie mathématique repose toujours sur ce que l'on appelle des axiomes, c'est-à-dire des énoncés mathématiques les plus simples possibles que l'on postulera comme vrai et qui serviront de point de départ à toutes les démonstrations. La théorie dans laquelle se place implicitement la très grande majorité du monde mathématique est la théorie des ensembles appelée théorie ZF, Z pour Hans Zermelo et F pour Abraham Frankel. Cette théorie possède, suivant la façon dont elle est présentée, de 8 à 10 axiomes. On peut citer par exemple l'axiome de l'ensemble vide ou l'axiome de l'infini, qui énoncent, comme leur nom l'indique, l'existence d'un ensemble vide et celui d'un ensemble infini. On peut parler aussi de l'axiome de la paire, qui permet de construire un nouvel ensemble à partir de deux ensembles donnés, ou de l'axiome des parties, qui permettent fabriquer à partir d'un ensemble donné l'ensemble de ces parties. Les axiomes de la théorie ZF permettent de fabriquer l'immense majorité des objets mathématiques et de démontrer les théorèmes qui s'y rapportent. Par exemple, pour fabriquer les nombres entiers, une des constructions classiques est de partir de l'ensemble vide, qui fera office de zéro. Avec l'axiome de la paire, on peut fabriquer un ensemble rassemblant l'ensemble vide et lui-même, ce qui donnera un ensemble contenant un unique élément. Cet ensemble fera office de 1. Pour le nombre 2, on fabrique grâce à l'axiome de la paire un ensemble à deux éléments distincts, 0 et 1. En continuant ce processus, on obtiendra tous les entiers naturels. Ainsi, dans la théorie des ensembles, tous les objets mathématiques sont des ensembles. Par exemple, un triangle dans le plan est un ensemble de points, un point est un ensemble ordonné de deux nombres réels, et les nombres réels se construisent à partir des nombres entiers, qui eux-mêmes ont été construits à l'aide des actions. Bien sûr, il n'y a pas besoin de prendre tout cela en compte pour faire des mathématiques qui tiennent la route. On peut sans problème calculer le résultat de 6x7 sans avoir à repasser par la définition ensemble liste des nombres entiers. Il n'empêche que n'importe quel résultat mathématique repose à sa base, sur moins d'une douzaine de vérités admises. Enfin bref, tout ça c'est pour la théorie des ensembles ZF. Mais il existe un axiom apparu en 1904 que l'on adjoint parfois à cette théorie et qui prend alors le nom de ZFC, l'Action du choix. Ressaut modo, cet axiom est nonce que si l'on dispose d'un ensemble composé d'ensemble non vide, on pourra fabriquer un nouvel ensemble à l'aide d'éléments provenant de chacun des ensembles intérieurs. Pour illustrer, on peut dire que si l'on dispose d'une commode possédant plusieurs tiroirs non vides, l'axiom est nonce qu'il est possible de sortir un objet de chacun des tiroirs. Cela semble évident quand on pense à la commode de son salon. Cela devient plus compliqué quand celle-ci possède une infinité de tiroirs et que chaque tiroir possède une infinité d'objets indissernables. Cet axiom est plutôt contesté et c'est d'ailleurs pour cela qu'on le place toujours à l'écart des autres actions de la théorie des ensembles. Une première raison de le contester, c'est que contrairement aux autres axioms, il n'est pas complètement évident. Le principe à l'obstacle, c'est que lorsque les ensembles en présences sont infinies, l'Action du choix énonce l'existence d'ensemble qui se rend en pratique impossible à construire. Et ça, c'est plutôt gênant. Une illustration classique, due à Bertrand Rossol, fait intervenir une infinité de paires de chaussures. Existe-t-il un moyen de choisir une chaussure dans chacune de ses paires ? Étant donné que deux chaussures d'une paire sont distinctes, il suffit de dire que l'on prend à chaque fois la chaussure en droite et le tour est joué. Mais la même question posée pour une infinité de paires de chaussettes n'amène pas à la même réponse puisqu'il est impossible de distinguer une chaussette droite d'une chaussette gauche. Il faudra alors choisir une chaussette par paire au cas par cas, ce qui n'est pas possible sur un ensemble infini, à moins d'utiliser l'axiom du choix. Le deuxième point qui soulève des débats chez l'axiom du choix, c'est que les théorèmes qui l'impliquent sont parfois choquants pour l'intuition. Il y a non seulement le théorème de Bernard Tarski, qui permet de dupliquer des objets géométriques par simples découpages, mais on va aussi évoquer les ensembles de Vitaly, des sous-ensemble de la droite où la notion de longueur n'existe plus. Parlons justement de cette notion de longueur, ou, plus généralement, de la mesure. Pour des objets unidimensionnels comme des bouts de segments, ce que l'on appelle mesure sera alors la longueur du ou des segments. Pour les objets bidimensionnels, leur mesure correspondra à leur air ou à leur superficie. Pour les objets 3D, leur mesure correspondra à leur volume. En réalité, la notion de mesure est un peu plus subtile que ça, mais gardons en tête qu'il s'agit d'un nombre positif qui est égal suivant le contexte, à une longueur, une air ou un volume. Prenons par exemple ce segment unité, correspondant à l'intervalle des nombres compris entre 0 et 1. Cette intervalle étant de longueur 1, sa mesure est donc égale à 1. Si je découpe cette intervalle en deux parties égales, j'obtiens deux segments de longueur 0,5. La mesure totale est donc de 2 x 0,5, donc toujours de 1. Mon découpage n'a pas touché à la mesure de cet objet. Autre découpage, je mets de côté le point d'apsis 0,5, et de l'autre côté le reste. Puisqu'un point n'a pas de longueur, sa mesure est donc égale à 0. De l'autre côté, on a deux segments de longueur 1,5, donc leur mesure, c'est-à-dire la longueur totale, est toujours égale à 1. En fait, retirer un unique point à un intervalle ne change en rien sa longueur. Cet objet reste donc de mesure 1. Si je retire un deuxième point, la même chose arrivera. Je peux donc retirer n'importe quel nombre fini de point à un intervalle. Cela ne change en rien la mesure. Un tas de points a toujours une mesure totale égale à 0. Mais si on met de côté un nombre infinit de point, là, les choses se compliquent un peu. Découpons donc l'intervalle de façon un peu plus subtile. Mettons d'un côté tous les points de l'intervalle qui correspondent à un nombre décimal, c'est-à-dire les nombres pouvant être écrit avec un nombre de chiffres après la virgule fini, comme 0,25, 0,55 ou 0,42. De l'autre côté, il reste les points ne correspondent pas au nombre décimo, comme 1 tiers, pi moins 3 ou racine de 2 moins 1. On a alors d'un côté un ensemble de points décimaux. Cet ensemble est appelé dénombrable, c'est-à-dire qu'il est possible d'illister les éléments. En effet, il existe une façon d'ordonner les nombres décimaux, de façon à avoir un premier, un deuxième, un troisième, etc. La théorie de la mesure indique qu'un ensemble dénombrable de point a toujours une mesure égale à 0, car on peut intuitivement voir un ensemble dénombrable comme un ensemble rempli de trous. Les points sont donc tous en sorte isolés les uns par rapport aux autres, si bien que la longueur totale de l'ensemble est la somme des longueurs des points, puisque la mesure de chaque point est de 0, la mesure totale est de 0. On peut formaliser tout ça, mais je ne rentrerai pas dans les détails. Le second ensemble est quant à lui pas dénombrable, les points ne peuvent en quelque sorte pas être décollés les uns des autres. Les trous de cet intervalle ne sont là qu'en apparence, et il ne suffise pas à diminuer sa mesure. Cet ensemble a alors une mesure strictement égale à un. Bref, un ensemble dénombrable a toujours une mesure égale à 0 et retirer une partie dénombrable d'un intervalle ne change pas sa mesure. Continuons alors le découpage. On a d'un côté les points décimaux et de l'autre les non décimaux. Extrayons un nouvel ensemble infini dénombrable, celui des nombres non décimaux de la forme 1 t plus x ou x est un nombre décimal. Cela correspond au nombre dont les décimales terminent par une infinité de 3. On va appeler cet ensemble la classe d'équivalence de 1 t, qui contient des nombres comme 1 t plus 0, 1 ou 0, 1 de 4, 3, 3, 3, etc. On dira que 1 t est un représentant de cette classe. Il reste alors une infinité de points qui correspond au nombre non décimaux qui n'appartiennent pas à la classe de 1 t. Cet ensemble est toujours de mesure 1, puisque c'est une partie dénombrable que l'on a retiré. Extrayons à présent la classe d'équivalence de racine de 2 moins 1, c'est-à-dire les points correspondent au nombre de la forme racine de 2 moins 1 plus x ou x est un nombre décimal. Il reste toujours une infinité de points, les non décimaux n'appartenant ni à la classe de 1 t ni à celle de racine de 2 moins 1. Une nouvelle fois, cet ensemble a pour mesure 1. On peut continuer à retirer des classes d'équivalence de nombres autant de fois que l'on veut. On épuisera jamais l'ensemble initial, qui ne diminuera alors jamais en mesure. En fait, si, mais il faut le faire un nombre infinit de fois, et cet infinit doit être indénombrable. Sauf que pour faire cela, il faut être en mesure de choisir un représentant de la classe à chaque étape. Et il n'y a aucun moyen de créer explicitement cette liste. Le seul moyen de le faire est d'utiliser l'action du choix, c'est-à-dire reconnaître que la liste existe, mais sans pouvoir dire à quoi elle ressemble. L'action du choix permet donc de choisir un représentant de chaque classe d'équivalence, mais ne donne pas explicitement cette liste. On vient d'utiliser l'action du choix, c'est donc précisément à ce moment-là que les choses partent en vrille. Cette liste des représentants, quelle est sa mesure exactement ? Je ne vais pas rentrer dans les détails, mais il est possible de démontrer que cet ensemble n'a pas pour mesure 0. Mais aussi, démontrer que cet ensemble n'a pas une mesure strictement plus grande que 0. La seule issue est de dire que la notion même de mesure n'est pas applicable à cet ensemble. Cette liste de représentants, appelée ensemble de vitalies, ne peut donc pas être mathématiquement mesurée. Il s'agit de ce qu'on appelle un ensemble non-mesurable, et c'est l'existence de ces objets qui rendent si compliqué l'étude théorique du calcul des R et volume. Bref, il est possible de fabriquer des objets où la notion même de longueur, d'R ou de volume ne peut pas exister. Sans encore, ça ne serait pas trop grave si Banar et Tarski ne s'en étaient pas emparés. Ils ont remarqué qu'en associant convenablement plusieurs objets non-mesurables, il est possible de fabriquer de nouveaux objets qui, eux, sont bien mesurables. C'est ainsi qu'ils sont parvenus à découper une boule, selon 5 pièces dont 4 non-mesurables, qui permettent d'en fabriquer 2 nouvelles identiques à la première, en en prenant 2 d'un côté et 3 de l'autre. À quoi ressemblent exactement ces pièces ? N'ayons pas peur et construisons-les. Déjà, il nous faut une sphère, celle-ci fera l'affaire. Ensuite, il nous faut 2 axes de rotation de cette sphère. Prenons par exemple celui-ci, qui permet une rotation d'ouest en est, et inversement, prenons également celui-là, qui permet des rotations de la sphère vers le nord ou vers le sud. En plus de ces axes de rotation, il nous faut un angle de rotation. On peut choisir l'angle de son choix, mais pas n'importe lequel. Il faut que cette angle soit tirationnelle, de façon à ce qu'il soit impossible que la sphère ne retrouve sa position initiale après plusieurs rotations autour de l'un ou l'autre de ses axes. Un angle de 90° par exemple, n'est pas acceptable puisque la succession de 4 rotations d'angle 90° ramènerait la boule dans sa position initiale. Au contraire, ce problème n'arrivera pas si on prend un angle irrationnel comme racine de 2°. La succession de rotations qui suivent cet angle ne ramèneront jamais la sphère dans sa position initiale. Cela marcherait tout aussi bien en prenant n'importe quel autre angle irrationnel comme logarithm de 42° ou arcosinus de 1° radian. Si on a besoin de tout ça, c'est pour attribuer à chaque point de la surface de la sphère une adresse. Pour cela, il nous faut un point origine, celui de son choix. Disons, celui-ci, que j'appellerais A. Depuis ce point, on peut accéder à 4 autres points. Selon que l'on fasse une rotation de l'angle choisi vers le nord, le sud, l'est ou l'ouest. Chaque point donne accès à 3 autres points et ainsi de suite. On a donc de cette façon accès à tout un tas de points que l'on pourra représenter par leur adresse, c'est-à-dire la succession de rotations à suivre pour tomber sur leur position en partant de l'origine. Par exemple, l'adresse nnOS correspond au point obtenu en procédant à une rotation de la sphère vers le nord, puis le nord, puis vers l'ouest et enfin vers le sud. Bien que composé des mêmes lettres, l'adresse sonnN correspond à un autre point, celui obtenu en tournant la sphère vers le sud, puis le ouest, puis le nord, puis le nord. Attention cependant, certaines adresses ne sont pas valides lorsque ce succès de rotation opposait l'une à l'autre. Ainsi, l'adresse snon n'est pas valide, puisqu'elle peut être simplifiée en l'adresse on. Des rotations successives vers le nord et le sud se simplifiant. Finalement, l'ensemble des points accessibles par rotation depuis le point origine A possède une adresse simplifiée unique. Ce n'est pas complètement vrai, mais j'y reviendrai plus tard. Classons tous ces points selon quatre ensembles. Un premier composé des points dont l'adresse se termine par N, un deuxième où les adresses se terminent par S, un troisième où les adresses se terminent par O et un dernier par E. Il reste le point origine A que nous mettrons tout seul dans un cinquième ensemble. Regardons de plus près l'ensemble numéro 1, celui des ensembles dont l'adresse se termine par N. Puisqu'il s'agit d'adresses simplifiées, on ne pourra jamais y trouver une avant-dernière lettre égal à S. Que se passe-t-il si l'on tourne cet ensemble d'un cran vers le sud ? Eh bien, cela revient à ajouter S à la fin de l'adresse de chacun des points qui s'y trouvent. Puisque toutes les adresses se terminant N, elles se retrouvent simplifiées. On obtient alors des adresses se terminant par O, par E, par N, mais jamais par S. A noter que nous n'y retrouvons également le point origine obtenu après simplification du point d'adresse N. Bref, après une rotation vers le sud, l'ensemble 1 est composé maintenant de l'ensemble des points issus des ensembles 1, 3, 4 et 5. On peut donc reformer la sphère initiale à partir de seulement 2 morceaux, l'ensemble numéro 2 et l'ensemble numéro 1 ayant subi une rotation vers le sud. Je peux faire la même chose en prenant l'ensemble 3 et en tournant l'ensemble 4. Cela me donne une seconde version de la sphère. Bref, on vient de découper la sphère en 5 morceaux. Les ensembles 1 et 2 peuvent former une première copie de la sphère initiale et les ensembles 3 et 4 forment une deuxième copie. On vient donc bien de transformer une sphère en 2 sphères en tout point identique à la première et ce, simplement par du découpage. C'est l'argument clé qui fait fonctionner le théorème de Bernard Tarski. Bon, il reste quand même pas mal de détails. Déjà, il y a ce cinquième morceau composé uniquement du point origine A. On peut s'en débarrasser mais il faut auretahiller les ensembles 1 et 2. Ce que l'on va faire, c'est déplacer du premier au deuxième ensemble tous les points dont l'adresse et le symbole N répétaient une ou plusieurs fois. On ajoute aussi le point origine dans l'ensemble 2. Ainsi, on peut se convaincre qu'après une rotation vers le sud, ce nouvel ensemble 1 devient la réunion 1, 3 et 4 dont le complémentaire est bien le nouvel ensemble 2. Bref, on vient de découper la sphère en 4 morceaux qui, réarrangez de la bonne façon forme de copie identique de cette sphère. La démonstration que l'on vient de faire ici rappelle l'histoire de l'hôtel de Hilbert lorsque l'on a réussi à faire rentrer un bus infini de client dans un hôtel infini pour Templin. Il y a en effet autant de points dans un ensemble infini que dans 2 copies de cet ensemble. Malgré tout, la preuve que je viens de faire n'est pas du tout satisfaisante puisque ce n'est pas la sphère complète que j'ai découpé mais un sous-ensemble de celle-ci, celui des points accessibles depuis l'origine par une succession de rotations. Ces points-là sont en quantité dénombrable, si bien qu'il reste encore une quantité infini indénombrable de points inaccessibles. Ce n'est pas grave, choisissons l'un de ces points inaccessibles et désignons-le comme étant le nouveau point origine disons B. Celui-ci donne accès à une infinité de nouveaux points. En réutilisant notre système d'adressage, on peut donc ajouter dans notre morceau 1 tous les points issus de B et un adresse terminant N. Dans le morceau 2, les adresses terminant S sans oublier les petites modifications qui permettent d'ajouter le point origine B dans le morceau 2. Comme précédemment, ces 4 morceaux permettent bien de recréer 2 sphères. Ce n'est pas encore satisfaisant. Les 4 ensembles contiennent toujours une infinité dénombrable de points et il reste toujours une quantité indénombrable de points non accessibles sur la sphère. On peut donc poursuivre la construction en y choisissant toujours des points jusqu'à ce que chacun des points de la sphère appartiennent à l'un des 4 morceaux. Pour procéder à un tel choix, on ne pourra pas faire autrement que d'utiliser l'action du choix. C'est donc à cet instant que l'on passe du côté obscur de l'action du choix. Jusqu'ici, les morceaux étaient infinités dénombrables, donc de mesures zéro. Maintenant que l'action du choix a été utilisée, on se retrouve avec 4 morceaux qui permettent de reconstituer 2 sphères mais qui ne possèdent aucune mesure. Il est donc possible qu'en les associant 2 à 2, ils forment des nouveaux morceaux de mesures strictement plus grandes. Le paradoxe de Banartarski ne parle pas de la sphère vide mais de boule pleine. Pour obtenir un découpage satisfaisant, il suffit de prendre non plus les points à la surface de la sphère mais les rayons de cette boule. On obtient alors un découpage de la boule en 4 morceaux qui permettent de reconstituer par puzzle 2 exemplaires identiques de cette boule. J'avais pourtant parlé de 5 morceaux et j'en ai construit ici que 4. Il reste en effet un problème avec le centre de la boule qui n'appartient pour l'instant à aucun des 4 morceaux. On va donc devoir extraire un 5ème morceau pour le combler. Pour cela, on considère un cercle à l'intérieur de la boule et qui passe par son centre. On va y appliquer un tour de passe-passe en hôtel de Hilbert pour combler le trou. Pour ce faire, nous avons besoin d'une nouvelle fois d'un angle irrationnel. Disons, rassine de 200 degrés. Puisque rassine de 200 est un angle irrationnel, répéter des rotations d'angle rassine de 200 degrés ne fera jamais tomber deux fois sur le même point. Prenons justement l'ensemble des points du cercle obtenu à partir du point manquant en appliquant la rotation, une fois, deux fois, trois fois etc. Cet ensemble est infini et il n'y a pas de dernier point. En procédant à une rotation de cet ensemble par un angle de moins rassine de 200 degrés, le trou présent au centre de la boule sera comblé sans qu'aucun autre trou n'ait été déformé. C'est donc cet ensemble de points qui vient former le cinquième morceau du découpage paradoxal de Bannard et Tarski. Il y a un dernier détail que je ne développerai pas, celui des points fixes des rotations qui rendent non unique l'adresse de certains points de la sphère. Prenons par exemple ce point-là, en lui appliquant une rotation vers le nord puis vers le west, je reviens à mon point de départ. Il existe donc plusieurs façons différentes d'adresser ce point, ce qui est problématique. Il y a une infinité dénombrable de points qui présentent ce défaut de passer sans augmenter le nombre de morceaux. Bref, grâce à Bannard Tarski et à l'action du choix, on dispose d'un moyen mathématique et parfaitement défini de dupliquer des boules. Après tout ça, on peut être tenté de complètement rejeter cet action qui met tellement à mal l'intuition première que l'on peut se faire des objets mathématiques. De nombreux débats ont eu lieu à ce sujet dans le milieu des mathématiciens au début du XXe siècle et ont donné naissance à plusieurs courants de philosophies mathématiques. On peut citer par exemple intuitionnisme qui rejette tous les objets mathématiques qui ne sont pas préalablement explicitement. En particulier, les intuitionnistes n'acceptent ni les démonstrations par l'absurde, ni le principe du tiers exclu. Le point de vue se défend, mais cette position est malgré tout assez rigoriste. Une autre démarche que l'on peut avoir face à un tel paradoxe est de se demander si celui-ci est réellement contradictoire. Bien sûr, il surprend l'intuition, mais il ne les réfute sur aucun point le moindre autre théorème. En fait, cela a même été démontré en 1938 par Kurt Goddoll, qui a prouvé que si les actions de la théorie ZF ne sont pas contradictoires par les uns avec les autres, alors l'ajout de l'action du choix ne pourra pas y apporter de contradiction. Il n'y a donc pas d'argument purement mathématique qui permettrait de refuser cette action. Il empêche que, aujourd'hui, l'utilisation de l'action du choix par les mathématiciens reste toujours sujette à caution. Il convient de préférer les démonstrations qui s'en passent et, si l'action s'emménévitable, d'indiquer clairement au lecteur dans quoi ils sont en train de s'embarquer. Plus de 100 ans après sa première formulation par Zermelo, forcée de constater que l'action du choix et ses conséquences ont encore beaucoup de mal à passer.