 Bueno, muy buenas tardes y muy buenos días a quienes estamos por acá sean todos y todos muy bienvenidos y bienvenidas. Esta es la clase número cuatro del minicurso de superficies racionales sobre un cuerpo y es para mi un gusto presentar esta vez a Tony Vario y Alvarado. Bienvenido Tony. Gracias Plinio, un placer estar aquí con ustedes y pues sí, bueno, entonces yo voy a retomar más o menos donde Damiano terminó ayer, pero antes de repasar un poco el teorema del cono que es como la herramienta central del curso, quiero ser un ejemplo de muy clásico de geometría algebraíca para ilustrar algunas de las construcciones que hemos estado haciendo. Entonces vamos a empezar de una forma relativamente concreta. Ok, entonces lo que voy a usar es un blow up que está descrito en la nota, es la construcción 1.2 y voy a empezar por fijar un punto P en el plano proyectivo sobre un cuerpo K cualquiera, este va a tener coordenadas X y Z y este punto lo voy a tomar como el punto 001, esto va a ser que las ecuaciones sean un poco más bonitas y el blow up es una variedad, el blow up en un punto de P2 es una sub variedad de P2 por P1, entonces vamos a tener puntos X y Z, U, V, entonces un par de puntos, el primero en P2, el segundo en una línea proyectiva P1, y van a satisfacer la creación X, V menos yu igual a cero, es bien sencillo, pero tiene un montón de propiedades increíbles que les quiero enseñar, este blow up viene con una proyección, lo hemos situado adentro de un producto, entonces puedo hacer una proyección a cualquiera de los dos factores, entonces este va a ser la proyección al P2 que también la voy a llamar P1 aquí para que quiera un poco más claro. Lo primero es que si me fijo en la imagen inversa de mi punto P, ¿qué sucede? Bueno el punto P tenía coordenadas 001, entonces eso significa que X y Z son cero y entonces si X y Z son cero, esta relación automáticamente se cumple para todo U y para todo V, entonces eso quiere decir que mi U y U es tan libres adentro de este P1 y entonces lo que veo es una línea proyectiva P1, y esto se llama el divisor excepcional. Entonces este blow up es una superficie y este es una curva, es un P1, entonces es un divisor. Y otra cosa increíble es que fuera de este divisor excepcional el punto P, esto es un isomorfismo de variadas algebraicas, entonces si tomo X-C, esto es un isomorfismo con P2 menos el punto P y eso es relativamente sencillo. Una propiedad un poco más difícil que está mejor explicando en las notas es que la autointersección de este divisor excepcional es menos uno y esta es una, parece casi como algo paradójico, pero sale por ejemplo de la linealidad de la forma de intersección, entonces eso está en el ejemplo 1.3 de las notas, el cálculo está hecho en mucho detalle y en este caso un divisor tenónico va a poner igual a menos 3L más E donde esta L es lo que sucede cuando tomo la preimagen de una línea cualquiera en P2 que no pase por el punto P, entonces esto hace una recta que no pasa por P. Entonces ese va a ser el divisor canónico y esta recta, este L y E no se intersejan en el sentido que si tengo una recta en P2 y tengo mi divisor excepcional E, entonces no hay intersección y eso se puede hacer de forma algebraica, pero la intuición que uno tiene es correcta y entonces uno puede calcular. Por ejemplo, que la intersección de E con este divisor canónico es E por menos 3L más E y E y L no se intersejan, pero E por E es menos 1, entonces esto es 0 menos 1. Entonces este divisor excepcional tiene dos propiedades, tiene una autointersección que es menos 1 y tiene una intersección con el divisor canónico que también es menos 1 y es una línea, es una variada geometricamente íntegra, una curva geometricamente íntegra. Entonces este es un ejemplo de un tipo de curva muy especial que forma parte de los ladrillos, como dijo Damiano, cuando uno trata de construir mapas irracionales entre superficies, entonces voy a codificarlo esto en una definición. Entonces el divisor excepcional va a ser un ejemplo de la siguiente definición. Si yo tengo C una curva en una superficie, entonces vamos a decir que esta superficie es una superficie tuanis sobre acá y este C va a ser una curva geometricamente íntegra adentro de X y si esta curva cumple que su autointersección es igual a la intersección de C por KX y los dos son iguales a menos 1, esto se llama una menos 1 curva. Entonces el divisor excepcional de un blog es como el ejemplo primordial que es un arquitecto digamos de una menos 1 curva. Estas cosas realmente suceden de forma muy natural y al principio parece una patología pero en realidad son de las curvas más importantes que vamos a ver. Son curvas sumamente rígidas porque tener una autointersección que es negativa significa que no puedo mover mi curva para calcular la intersección. Entonces son muy muy útiles y lo que quiero hacer ahora es usar este ejemplo para repasar el espacio vectorial de curvas y el cono efectivo y luego repasamos el teorema del cono. Recordemos, entonces vamos a tener una X para ser una superficie tuanis y en el caso de superficies vamos a tener el N1X sub-R que estaba representado por curvas que va a ser isomorfa divisores porque dimensión 1 y codimensión 1 son lo mismo en una superficie y estos estaban los divisores estaban definidos como los los divisores de X con coeficientes reales hasta la equivalencia numérica. Entonces esos son los dos espacios vectoriales que vimos ayer y en el caso de que X es el blow up sobre un punto de P2 pues resulta que quizá el sea un poco más natural decirlo de esta forma. Si para la gente que ha visto por ejemplo la equivalencia lineal esto va a ser el grupo de picar de X tensorizado al R el cual es R2 y está generado por la línea L que es la imagen inversa de una línea que no pasa por el punto al cual le dice el blow up y el divisor excepcional. En el plano proyectivo todas las líneas son equivalentes numericamente por ejemplo y linealmente y lo que hemos hecho es una operación como de cirugía donde hemos introducido una curva rígida más y me da una nueva dirección en mi espacio vectorial eso es lo que termina sucediendo entonces el espacio vectorial que tengo es el plano R2 en este caso no es una cosa tan tan difícil y lo que vamos a tener en este caso lo que voy a decir es un poco más difícil de verificarlo pero está hecho en las notas y toma un par de páginas y en mucho detalle está hecho quizá es este cono cerrado de curvas de X este es el objeto que vimos ayer y que recordemos entonces está adentro de que en el blow up en un punto es este cono es generado por E y L menos E este es un poco extraño porque lo que estoy diciendo es que el menos e adentro de este cociente tiene un representante efectivo y eso es un poco extraño porque los divisores efectivos supuestamente son combinaciones no negativas de curvas que aquí veo un signo negativo entonces lo que eso significa es que yo puedo reemplazar este L menos E por una curva que es numéricamente equivalente donde todos los signos van a ser positivos y hecho es una curva muy concreta si yo tomo una curva que una línea que sí pasa por el punto al que le dice el blow up y tomo la pre imagen en la pre imagen me ha quedado una recta y la curva es opcional y si quito la curva es opcional la recta que queda es este L menos E entonces ese es el existe una curva concreta efectiva que representa esta clase el menos E es este el la acerción de que este cono está generado por estos dos elementos somos ejemplos el 4.14 y 4.15 en las notas entonces ahí los pueden ver con más detalles y quieren ver el detalle pero pero lo que quiero hacer es es dar un poco más el el big picture de estructura digamos de lo que está sucediendo entonces este cono decir que está generado por E y L menos E lo que estamos diciendo es que vamos si tomo el rayo real en la dirección de E y el rayo real en la dimensión en la dirección de L menos E estos son los rayos extremales del cono entonces quiero quiero hacer un dibujo para enseñarles o sea estos estamos haciendo primitría convexa y realmente no puede por lo menos en dimensión en dimensión 2 y 3 puede ver estos conos de forma muy concreta ok entonces vamos a voy a bajar aquí un poco necesito espacio para para ser este diagrama a ver vamos a empezar aquí ok entonces en en el ananjado esto va a ser el n1 x siempre que recordemos era un hebre 2 o sea entonces el dibujo de verdad el caza por otro lado recordemos a bueno entonces ya vamos a decir que éste éste es el recordemos que el y generaban el n1 entonces estos son las las dos en direcciones dijimos que el divisor canónico era menos 3l más e entonces el divisor canónico vamos a ver más e entonces esto va a estar como por aquí vamos a ver si esto bien ok entonces en esta es la dirección del el divisor canónico entonces estos error por kx y entonces las las curvas que van a tener una intersección cero con este kx van van a ser el ortogonal de de de este de esta línea que va a ser un hiper plano entonces esto va a ser vamos a ver si va a ser más o menos ok entonces esto va a ser un hiper plano entonces estos son los divisores que tienen en intersección cero con divisor canónico y lo que estamos entonces aquí vemos el divisor canónico me permite formar un hiper plano en el espacio vectorial de los los divisores hasta que valen el médico y lo que dijimos es que nuestro bueno entonces por en por este lado entonces vamos a tener la parte que voy a digamos el cono primero dijimos que el cono iba a estar generado por e y por lm no sé entonces y la dirección de e en verde y la dirección de lm no sé entonces va a ser una ya con arreglo estamos tratando de realmente o sea esto es yo no probé arte en el séptimo grado esto es el mejor dibujo bueno hay un dibujo que es que lo hace después que el cual estoy muy orgulloso pero el menos enos no estaría margen en el otro cuadrante e lm no sé si se menos sí perdón esto ok entonces lm no sé está aquí gracias ok muy bien entonces y esto no si efectivamente segundo el no sé tiene una intersección bueno es correcto que entonces este va a ser el cono efectivo de curvas pero el este el canónico está en un lugar equivocado siempre cuando de porque no me gusta que el el cono debería estar todo de un solo lado de este kx el perpendicular de kx debería estar en la parte negativa digamos por ejemplo e por kx es negativo y el y por kx es negativo entonces creo que lo que está fallando es creo que es está en el lugar equivocado y por la forma intersección es un poco más complicada la forma intersección no es la intersección normal de euclidiana ese es el problema porque si no no tendría que e intersección es menos uno exacto exacto ok eso es lo que está mal ok bueno entonces leemos este ejemplo aquí por un momento hasta el canónico luego tengo que encontrar el perpendicular del canónico pero con respecto a la forma de intersección que tengo que es un poco diferente de la intersección euclidiana normal porque por ejemplo he cuadrado es menos menos uno y normalmente si tomó el vector e1 como a cero en el euclidano y tomó su producto el total product me saldría uno y no menos uno entonces tengo que tener un poco más de cuidado al dibujar el en esta otra parte ok bueno pero bueno parte de lo que quiero decir es que esto es un objeto muy concreto digamos es un cono de verdad en un espacio vectorial real ok muy bien ok entonces lo que vamos a utilizar por ejemplo es la geometría convexa este cono estos son los que se llaman los rayos extremales que están al extremo digamos del del cono y vamos a utilizar estos rayos extremales para tratar de clasificar por lo menos entender cuáles superficies son equivalentes desde el punto de vista de geometría racional vibracional a por ejemplo este blog ok entonces ok es la única el único slide que ya está escrito todo lo demás o escribir pero en parte es porque Damián escribió este teoremal la vez pasada entonces si no es algo digamos totalmente mejor entonces ahora sí en una generalidad vasto digamos el lo que dice el teoremal cono es que si tomamos una variedad toanis sobre un cuerpo cualquiera entonces existe un número bueno una familia numerable de curvas tales que pues el cono tiene la parte kx negativa del cono esta parte está generada por unos rayos extremales con con ciertas propiedades entonces no vamos a decir nada de la parte kx negativa de kx no negativa digamos del cono el teoremal cono lo que dice es que los las curvas que tienen intersección negativa con kx tienen una estructura muy particular entonces en particular bueno lo único que Damián no dijo la vez pasada es que los estos rayos de hecho generalmente son discretos y sólo se pueden acumular cuando uno empieza a llegar cerca del hiperplano de kx entonces pues bueno eso es algo extra que de hecho no vamos a utilizar y por eso en parte de mi alma lo dijo pero lo que si podemos decir es que cada uno de estos rayos que genera el el la parte negativa del cono cerrado de curvas de x es un radio extremado y si tomo cualquier componente en uno de estos rayos extremales y tomo un componente que es hométricamente íntegro o sea el quiebro todas las curvas son los componentes y entonces de hecho estas estos componentes van a tener un una intersección con y con el anticanónico que está acotada por debajo se tiene que ser una intersección positiva con el anticanónico o sea una intersección negativa con cada x lo cual es bueno porque estos rayos están en la parte negativa kx negativa del cono y pero este producto también es a lo sumo la dimensión de x más uno entonces por ejemplo para una superficie la dimensión de x más uno es tres y eso me va a decir que estas curvas se tiene intersección con el anticanónico que es uno dos o tres que es hay muy pocas posibilidades y parte de la magia del problema del cono es que estas posibilidades entonces como son tan poquitas uno puede empezar a ver qué sucede cuando estas curvas tienen una intersección particular ahora sí ahora les les enseño el dibujo del del teorema el cono me encantaría decir que este dibujo fue mi creación artística pero en realidad simplemente lo que lo busqué y lo reproduje aquí este es el lo que dice el teorema el cono que es una representación del teorema el cono vamos a pensar en el espacio negro aquí como todo el espacio vectorial en el uno de x serve en este caso sería como el tres por decirlo así en mi tensor canónico me da un hiper plano que es el hiper plano adentro del espacio vectorial cuyos vectores tienen producto cero con kx y de la parte kx positiva no vamos a decir nada esto de hecho este cono puede ser muy redondo en esta parte pero lo que lo que el teorema del cono nos dice es que en la parte kx negativa hay una estructura casi boliedral del del cono y que vamos a tener rayos que están generados por divisores efectivos y cuyos componentes geométricamente íntegros satisfacen propiedades de rigidas muy muy importantes y lo único que puede pasar es que estos rayos se acumulan conforme me acerco al hiper plano de kx aparte si yo tomo estipartano y me levanto un epsilon entonces ahora sirve una estructura discreta tengo tengo esa garantía de ver una estructura discreta no no vamos a decir que el cono está finitamente en nada puede haber un número infinito pero numerable de rayos que se acumulan en este hiper plano ok preguntas ok muy bien entonces en nuestro ejemplo para volver un segundo al ejemplo ok mañana mañana les dibujo el ejemplo nada más tengo que hacer el cálculo pero no quiero perder cinco minutos haciendo el cálculo y vamos lo que debe pasar es que más o menos por aquí si exacto debe estar bien es ok perfecto muchas gracias entonces más o menos por aquí debe estar el kx es que simplemente teníamos que usar el producto de intersección correcto para encontrar esto y entonces vemos que tenemos el como prometido de hecho la parte kx no negativa del cono no existe es solo un vértice no hay una parte no hay una parte redonda del cono en este caso y tenemos la parte kx negativa que está generada por dos rayos extremales si si fueras a dibujar la manera exacta tendrías que acercar tu kx perpendicular un poco ahí para que pase por uno de los puntos en la redícula pero no importa todo ok perfecto gracias y lo único que iba a decir es es si nos fijamos tenemos ya sabemos aquí concretamente cuáles son los rayos extremales entonces y tenéis sabemos cómo calcular la forma de intersección entonces por ejemplo ya sabemos de hecho que e por kx es igual a menos uno y el menos e por kx esto es igual a bueno es el menos e kx era menos tres el de más e entonces esto va a ser menos tres y luego más uno o sea menos dos y entonces eso significa que si tomo c por menos kx efectivamente esto es mayor que cero y menor igual que tres cuando c es e o el de menos e en uno los casos me da uno y en el otro los casos me da dos ok entonces el ejemplo que hemos visto realmente cumple todos los propiedades del teorema del cono en el curso ni en el curso ni en las notas vamos a mostrar el teorema del cono la demostración no es tan difícil de hecho pero pero realmente o sea nos tomaría que casi todo un curso solamente demostrar el teorema del cono entonces lo que queremos hacer es algo más utilidad y vamos a vamos a usar el teorema del cono y quizás esto sea un motivante digamos para ver cómo es que se demuestra después ok entonces este ejemplo cumple vemos todo lo deseado en el teorema del cono entonces ahora lo que quiero ver es utilizar el teorema del cono para ver qué puedo decir sobre superficies por ejemplo entonces lo que quiero hacer es hablar de rayos extremales en superficies ok entonces si x es una superficie tuanis sobre un cuerpo k cualquiera y eso es parte de lo que estamos tratando de hacer en estas notas y en este curso es no asumir que k es un cuerpo agraricamente cerrado muchos de los libros que tratan el teorema del cono usan que k es un cuerpo agraricamente cerrado porque están están escritos digamos con gente que hace geometría algebraica compleja en mente entonces r r va a ser un rayo extremal del cono pero quiero quiero un rayo extremal en la parte kx negativa porque ahí es donde el teorema del cono me dice algo y vamos a tener una una tricotomía de la tricotomía obviamente en cierto sentido y es que pues bueno el recuadrado puede ser mayor que cero el recuadrado puede ser cero o el recuadrado puede ser menor que c una de estas tres cosas sucede y lo que vamos a hacer hoy es simplemente explorar qué sucede en estos tres casos que podemos decir sobre superficies y cuales quieran y mañana vamos a especializar y decir ok qué pasa si si tomo superficies que son vibracionales al plano proyectivo son superficies mucho más simples entonces puedo decir un poco más y llegamos a un teorema de clasificación muy satisfactorio y a yo ok entonces ese es el plan entonces vamos a empezar son van a ser tres casos el recuadrado mayor que cero es el primero de los tres casos vamos a tener una proposición no voy a poder demostrar todo hoy pero si hay demostraciones de todo esto en el en las notas este es el de más 6.8 este si voy a tratar de demostrar y bastante entonces si si tengo c en x recordemos que es una superficie planes sobre un cuerpo k cualquiera entonces esto va a ser una curva tal que de cuando tomo el el rayo generado por esta curva y me encuentro en la parte de hecho en mente tengo el caso de la parte kx negativa pero en este lema en particular no tengo que explicar que hacer esa hipótesis si si esto es un rayo extremado del del cono tal que se cuadrado es mayor que cero o sea es un rayo generado por una curva que tiene autointersección positiva entonces mi cono es increíblemente sencillo la dimensión real del espacio de curvas es 1 ok es una línea es una recta es f1 ok es este esta dimensión tiene varios nombres y generalmente se nota que lo de x se llama ese número de picar en el ejemplo que vimos del blog en un punto número de picar de ratos porque la dimensión era estamos en un reloj ok entonces eso significa que si yo tengo un rayo extremado que está generado por una curva con intersección positiva entonces mi espacio vectorial es unidimensional y eso significa que pues mi cono de curvas va a ser un rayo nada más en ese en esa recta va a ser un caso que verdaderamente sencillo entonces vamos a mostrar esto y ésta como dije es la demostración que hacíamos hacer lo que voy a hacer es tomar un rayo cualquiera y enseñar que este rayo tiene que pasar con el que ya conozco ok entonces sea y el mayor igual que cero te se prima y con efectivo de curvas un rayo cualquiera ok y primero puede ser una sesión que es la parte difícil luego vamos a mostrar esa sesión y es que existe un natural grande ok tal que si tomo mi curva de cuadrado positivo que genera un rayo y le resto se prima esto es un divisor efectivo o sea recordemos que esto significa lo que estoy tratando de decir es que la clase de esta curva adentro de n1 xr puede ser representada por una curva cuyos coeficientes son todos positivos ok hay otra curva que es numéricamente equivalente a n por c menos se prima donde todos los coeficientes son son positivos eso es lo que significa tener este divisor efectivo o sea es algo que de verdad parece como una curva sobre mi superficie donde le asigno ciertas multiplicidades reales a los componentes de la curva dependiendo de los coeficientes que he usado ok entonces lo primero voy a asumir que que esta sesión es es correcta entonces de ser el caso que eso sea pues usamos la geometría convexa si si este es el caso tomo c prima más nc menos c prima lo cual es nc ok y pues bueno es nc es un múltiplo de c o sea esto está en el rayo en el rayo extremar en el mayor o igual que cero de c y cuando tengo la suma de dos vectores en un rayo extremar por definición del rayo extremar cada uno de esos vectores tiene que estar en el rayo extremar entonces ahí es donde estamos utilizando la geometría convexa entonces esto significa que c prima tiene que estar en el mismo rayo extremar ok y por lo tanto mi cono tiene el solo un rayo extremar y pues bueno porque porque termino bueno porque el el espacio vectorial es algo que es un poco más grande pues está generado por elementos efectivos elementos de inconcebrado entonces eso significa sólo puede tener dimensión uno porque solo un rayo entonces es la demostración claro todo esto depende de esta acerción de que puedo construir un divisor efectivo de esta forma entonces quiero hacer esta la demostración de esta acerción para para enseñarles que varias de las cosas que hizo Damiano tenían su razón de ser entonces el el el herramienta principal para demostrar esta acerción es el teoría entonces voy a voy a hacer la demostración entonces prueba la acerción ok y recordemos la acerción es que existe este natural tal que un gran múltiplo de ser menos se prima para cualquier se prima va puede ser representado por un divisor efectivo como hacemos esto entonces la la idea es que si yo tengo un un divisor este divisor es efectivo si sólo si la dimensión de las secciones globales del fibrado o xd es mayor es positiva y este esta sección es un grupo de comología de estas xd entonces tengo que tener secciones globales para poder construir para poder ver mi divisor como algo como algo efectivo entonces la idea es que la efectividad digamos el hecho de que yo puedo ver la curva sobre mi superficie es algo que puedo calcular de forma comodológica entonces puedo utilizar teoremas de comología para tratar de demostrar que este divisor es efectivo ok entonces lo que tenemos que hacer es demostrar que este grupo de comología y no es cero tiene algo y entonces para eso sirve mucho el tema de mi mano entonces qué dice el tema de mi mano dice que si tomo la característica de hoyler de mi divisor esto es mi divisor por mi divisor menos el canónico todo dividido entre dos más la característica de hoyler de las estructuras y eso es lo que dice el tema de mi mano ok pero aquí tengo una variable tengo n mi n puede crecer que puede de crecer también lo que quiero que ven es y el c el c primo y el que es todos están fijos la característica de hoyler de la superficie es un número fijo también pero mi n valía entonces yo puedo escribir esto como c cuadrado sobre 2 por n cuadrado vamos a pensarlo como un polinomio en n entonces y un polinomio en n de grado a lo más uno es posible que el el término en frente de n termine siendo cero pero entonces puede utilizar mi hipótesis de que c cuadrado mayor que cero para ver que si n es suficientemente grande entonces mi característica de hoyler de el as que corresponde a mi curva es positiva ok entonces voy a para brevier un poco voy a tomar esto ok entonces por otro lado la característica de hoyler es es la suma internante de ciertos grupos de comología entonces por otro lado y como estamos en una superficie vamos a tener un h0 menos un h1 más un h2 entonces voy a ignorar el h1 y entonces lo único que puedo decir es que mi característica de hoyler es menor igual que el h0 más el h2 porque estoy ignorando el término de h1 que viene con signo negativo entonces pago el precio de tener en vez de una igualdad va a tener una desigualdad y entonces esto va a ser un h0 de x o x en el c menos de prima más h2 de x o x en el c menos de prima ok por otro lado y esto es igual al h0 de x o x de kx menos en el c más c prima y por qué esto se llama la dualidad de ser que es una o sea es totalmente diferente pero pero nos recuerda un poco el tipo de la actualidad de poncare por ejemplo en comología se llama dualidad de ser y lo que voy a tratar de mostrar es que entonces este término desaparece y como demuestro que este término desaparece bueno es un h0 entonces lo que quiero demostrar es que este divisor que acabo de escribir aquí no es efectivo porque si el divisor no es efectivo usando el mismo principio que tenía antes si el divisor no es efectivo el h0 tiene que ser ser entonces lo que voy a tratar de hacer es demostrar es que este divisor no es efectivo entonces como como demuestro eso bueno mi superficie es proyectiva eso significa que tiene por lo menos lo que se llama un divisor amplio entonces sea en x y un divisor amplio por ejemplo el el divisor si tengo mi superficie en un espacio proyectivo lo que puedo hacer es empezar a cortar con hiperplanos hasta que me quede solo una curva y si mis planos son generales de esta curva que voy a tener en manos va a ser un divisor amplio va a ser un poco más pero eso es un buen ejemplo entonces ¿por qué utilizamos un divisor amplio? porque los divisores amplios en geometría el jerayca tienen un apropiado excelente y es que si yo tomo un divisor amplio y lo interseco con una curva me algo positivo ok para toda curva y aquí estoy hablando de una curva de verdad en x no no una suma formal de curvas sino una curva en x ok entonces vamos a tomar este divisor amplio y lo que vamos a hacer es vamos a calcular la intercesión de este divisor amplio con esta es este otro divisor y vamos a demostrar que si n es suficientemente grande es negativo entonces el divisor no puede hacer una curva en x entonces esta es esa va a ser la idea entonces tenemos que a por kx menos nc más c prima porque esto es igual a a por kx menos n a por c más a por c entonces a c se prima kx todo eso está fijo el n puede variar y lo importante aquí es que a por c es mayor que cero porque porque a es un divisor amplio y c era una curva cuando empezamos el denunciado c era una curva de verdad entonces a por c es positiva entonces eso significa que si si n es suficientemente grande entonces el a por este divisor c más c prima es negativo y entonces como a es amplio eso significa que mi divisor kx menos nc más c prima que no es efectivo lo cual implica que el h0 de este divisor es cero entonces aquí estamos usando un montón de ideas digamos de geometría algebraica en realidad ok porque completa esto la demostración bueno porque eso implica y recordemos que mi h0 entonces de x o x nc menos c prima voy a volver aquí arriba un segundo entonces hemos demostrado que este término es cero o sea que este término es cero y lo que sé entonces es que el h0 es mayor o igual que la característica de hoyler si n es suficientemente grande pero también sé que la característica de hoyler es positiva si n es suficientemente grande entonces y esto es mayor o igual que la característica de hoyler que es mayor que cero si n es suficientemente grande o sea n tiene que ser suficientemente grande dos veces la primera vez para garantizar que la característica de hoyler sea positiva y la segunda vez para garantizar que el h2 se vaya y eso significa entonces que nc menos c prima es efectivo y eso era lo que queríamos demostrar y esto termina la demostración de la sección entonces casi todo estaba la demostración realmente estaba sobre la sección pero que bien señales esto si no viste este tipo de cálculo antes es sé que fue un montón de cosas pero que es que es lo importante aquí o sea estamos demostrando propiedades de curvas haciendo simplemente cálculos homológicos y entonces eso nos permite utilizar herramientas como el entorno de miro en rojo y y también usamos la positividad por ejemplo de los divisores amplios entonces eso es algo sumamente valioso entonces eso es esa es la idea si tengo si tengo una superficie con un rayo extremado con un generador de corado positivo entonces mi espacio vectorial es r mi conefectivo de curvas es un rayo en r o sea no hay mucho que está sucediendo es va a ser algo muy muy sencillo de hecho entonces los casos que los los que nos tenemos que preocupar son los casos donde el recuadrado es igual a cero o el recuadrado es menor que cero esos casos no son tan difíciles de hecho diría que este que acabamos de hacer es uno de los casos más difíciles pero bueno entonces voy a pasar aquí a decir que sucede si el recuadrado es igual a cero esta es la segunda y lo que tenemos es una proposición ok y esta proposición va a tener un hipótesis va a decir si la característica de hoyler de las estructurales de mi superficie es mayor igual que uno cosa que va a ser cierta para los superficies racionales para los superficies racionales veremos mañana que esta característica de hoyler es uno entonces podamos aplicar esta proposición y si tomo de en x una curva íntegra y con de cuadrado igual a cero y de por kx menor que cero o sea esto es una curva que está en la parte negativa del conefectivo y tiene cuadrado cero entonces por eso estamos en esto del calza con la idea del de un rayo que el cuadrado es cero entonces y tenemos lo siguiente y antes de decir que tenemos exactamente voy a decir nada más que este es el lema 6.8 ok la demostración es más o menos igual de larga que la y la otra entonces no obviamente no voy a tener tiempo de hacerlo y pero están las notas espero que lo puedan ver y lo que tenemos es que yo puedo utilizar este divisor para construir un morfismo a un espacio proyectivo de alta dimensión que eso es una construcción estándar de en geometría libraria si tengo un divisor efectivo puedo usar ese divisor efectivo para construir un mapa hacia un espacio proyectivo y lo que vamos a decir extra es que este morfismo de hecho se factoriza a través de una curva y es esto es lo importante con c una curva tuanis de hecho y para cada punto geométrico de c o sea si si veo un punto sobre la clausura geograica y en c un punto general o sea y hay un número finito de puntos en mi curva que voy a dejar de lado y pero para un punto general tenemos que la fibra de este punto es isomorfa a una recta sobre sobre el cuerpo y cabar ok entonces y esto es cierto para una superficie tuanis sobre un cuerpo cada cualquiera ok esto no utiliza nada de superficies racionales en el caso de superficies racionales vamos a ver que esta igualdad es uno y vamos a demostrar que este también es un peuno ok entonces lo que nos va a quedar es un fibrado en conicas vamos a tener una base que es un peuno cuyas fibras todos son peuno ok entonces estos estos increíbles del tema del cono nos nos da una organiza en verdad esta clasificación de manera muy bonita ok ahora mi tiempo se ha acabado quedó un caso más de en Roberto maré mañana y que es el caso que he recordado es menor que cero y luego especializaremos a las superficies racionales donde podamos decir un poquito más y vamos a tener el teorema discos kim lano con el que vamos a terminar el curso así que bueno muchas gracias muchas gracias a preguntas comentarios y una pregunta este hay algún ejemplo no muy complicado de alguna variedad en el que la dimensión de n1 sea 3 y la parte poliedral de este cono digamos sea un poliedro usual muchas gracias por ejemplo si la pregunta por ejemplo si no tomó una superficie cúbica en p3 y estos creo que a mí han habido hablado al en la primera clases sobre que tenían 27 las 27 líneas o las 27 rectas sobre la superficie cubica o que esas 27 rectas generan el n1 de re pero tienen relaciones entre ellas o sea no no vamos a tener un error a 27 de hecho solo tenemos un error a las 7 ok y es porque una superficie cubica en realidad es el bro de p2 sobre 6 puntos entonces vamos a tener la dirección de la recta de p2 y los 6 puntos del que hicimos el bro entonces va a parecer un poco como el ejemplo que hemos hecho pero en más alta dimensión y vamos a obtener algo y poliedral digamos de que va a tener bueno pues tendrá varios rayos extremales tal vez unos unos siete rayos extremales y todo va a estar en la parte que hay aquí es negativa del cono y pues sí va a estar en p7 de hecho para hacer algo más sencillo podríamos simplemente hacer el blog de p2 en dos puntos y si hacemos el blog de p2 en dos puntos entonces el n1 de hacer que p3 y el cono efectivo va a estar generado por los dos divisores excepcionales y luego la clase de una recta que pasa por los dos puntos de los cuales hicimos el blog entonces vamos a tener una una pirámide digamos como había hecho como había dibujado en Damiano en p3 en ese caso y aunque no está escrito de la forma explícita que acabo de decir unas notas en las notas si usamos hacemos el caso del blog de p2 en dos puntos y con lo que están las notas uno puede construir este cono y ver que de verdad es esa pirámide y lo único que va a decir es si uno si hacemos el blog de muchos puntos en p2 por ejemplo hacemos si hacemos 9 puntos en p2 entonces uno empieza a obtener esta acumulación de rayos extremales que hacia el hiperplano de kx igual 0 que de hecho se deduce un poco pero sí entonces los blogs dan muchos muy buenos ejemplos ok muchas gracias yo creo que vamos a dejar las preguntas para la sesión de mañana de problemas que va a estar toni en ella entonces muchas gracias de nuevo una pregunta muy corta bueno