 Oui, donc je ne vais pas revenir à l'échec du proof de la théorème que j'ai avancé à la fin, parce que c'était juste une illustration. Mais il y a un couple de choses que j'aimerais accomplir. La première c'est que je vous donne une description de l'infinité par séquence, mais une description très populaire de l'infinité par séquence, c'est-à-dire que les balles clés sont compactes. Les espaces hyperbolic, les espaces géodésiques sont propres. On peut aussi décrire l'infinité par visuel. On fait x0 en x, et l'infinité visuelle de x sera le set géodésique qui est questionnée par l'équivalent de la relation restant à une distance. Et c'est l'infinité visuelle de x0. Donc la picture est peut-être plus familiale ou intuitive. Elle est de x0. Le point à l'infinité correspond à l'infinité géodésique. Mais parfois, deux de eux restent clos à l'un de l'autre. On compte seulement un point à l'infinité. Et parfois ils se divergent. Et c'est un autre point. C'est un autre moyen de voir la fondation de l'espace hyperbolic. C'est facile de voir que la fondation de H2 est la S1 avec cette définition. Et que la fondation de la réglage de la nulle binary est, en effet, un set de comptes. Oh, je n'ai pas mis la topologie sur ça. C'est une topologie de compacte. Parfois, dans des situations très délicates, vous pouvez avoir des séquences qui vont à l'infinité alors que vous ne pouvez pas extraire une séquence de géodésique. Si l'espace est propre, vous pouvez l'arguer avec Ascoli, et que c'est d'ailleurs le même. Un autre point que je vais dire, mais je n'ai pas dit, est la classification de l'isométrie de l'espace hyperbolic. L'isométrie de l'isométrie de l'isométrie. Il y a trois types de l'isométrie. Si l'H2 est hyperbolic et l'Alpha est dans l'isométrie, alors que si l'Alpha a un orbitier bondé, alors on s'appelle l'élyptique, ou l'Alpha a un point un seul fixé à l'infinité, et dans ce cas, il y a une quantité, on s'appelle le norme de l'Alpha, qui est par définition le limit de 1 over n par la distance de x alpha n de x, ce sera 0, et on s'appelle l'Alpha parabolique, ou l'Alpha a deux fixés à l'infinité, exactement deux fixés à l'infinité. L'infinité signifie l'infinité. Je dois le faire. Et dans ce cas, le norme de l'Alpha est strictement positif, et l'Alpha est appelé, ou bien, ça dépend, l'oxodromique ou hyperbolic. On peut voir ces trois, donc un orbitier bondé à l'intérieur, ou un point un seul fixé à l'infinité, ou deux fixés à l'infinité, exactement, et un point un seul fixé à l'intérieur. Oui. Si l'infinité n'est pas préparée, si l'infinité est relativement compacte, ou si l'infinité n'est pas préparée, si l'infinité est relativement compacte, ou si l'infinité est relativement compacte, ou si l'infinité est juste bondé. Oui, juste bondé. On peut faire un simplex, prendre un groupe infinit, et faire tous les points, tous les éléments de ce groupe infinit à la distance 1, prendre à l'intérieur, donc c'est un grand simplex, c'est un orbitier bondé, mais il n'y a pas de capacité. Il réacte, il réacte en ce moment. Qu'est-ce que vous pensez ? Je suis désolé. Oui. Donc ce limiter existe par subéditivité, et il ne dépend pas de x. C'est une check. Observation. Le limiter existe par subéditivité de la distance subéditivité. Et il ne dépend pas de x. Si vous choisissez un autre x' vous utilisez l'inéquité triangulaire pour aller de x' à x. Et pour aller de l'arrière à l'arrière. Les distances de deux bandes sont là, et elles sont divisées par n. Tout le monde se débrouille. Donc je ne dépend pas de l'inéquité triangulaire de x. Le premier aussi est de l'inéquité triangulaire. Mais de toute façon. En h2, nous avons déjà vu ces trois phénomènes. En h2, nous avons cette matrice 0, 1, minus 1, 0. Qu'est-ce que ça fait? Je l'ai fait très vite. Mais ça envoie z2, 0z plus 1 par minus 1z plus 0. Donc 1 par minus z. Donc ça envoie i2i en particulier. Donc ça envoie l'inéquité triangulaire dans l'espace. La rotation sur l'inéquité triangulaire. Qu'est-ce que tu veux dire? Ok. La map 1110 qui envoie z2z plus 1 n'a pas l'inéquité triangulaire en h2. Mais a un point fixé à l'infinité, qui est le point à l'infinité. Rémiens, en h2, la boundaries, la whole circle, sont l'union de l'infinité. Mais ce point-là est parabolique. Et bien, beaucoup d'autres sont luxodromiques. C'est bizarre de le mettre. Donc, pour exemple, lambda 0, lambda inverse envoie z2, lambda square z, ok. lambda z plus 0 over 0 plus lambda inverse, c'est-à-dire lambda square z. Qu'est-ce qu'il fait? Qu'est-ce qu'il fait? Dans la boundaries, il fixe 0 et l'infinité. Donc, il fixe l'unique géodésique entre 0 et l'infinité. Il change jusqu'à lambda square E Aie, et c'est un élément luxodromique. Donc, leurs normes corrompent vers les displacements au moralisme, c'est vraiment vrai. sur un joint géodésique entre les deux points fixés. Dans un groupe hyperbolique, il ne peut pas y avoir un élément parabolique. Peut-être que dans la chute d'exercice, je ne m'en souviens pas, il devrait être. Sur les arbres, il ne peut pas y avoir un élément parabolique. Mais dans beaucoup d'autres situations, il y a un élément parabolique. Donc je ne vais pas prouver ce théorique. Je voudrais aller au-delà d'autres soucis paraboliques et juste paraboliques. Les généralisations, pas vraiment paraboliques, sont toujours dans le monde des espaces hyperboliques, mais les généralisations de groupes paraboliques. Donc le cas d'interesse est le cas de groupes paraboliques relativement paraboliques, je crois. Je pense qu'on est en 4e place. Nous allons commencer par décrire les principaux exemples que nous voulons prendre dans cette situation. La première est le cas d'un produit libre. Pourquoi nous voulons prendre ce cas ? Parce que pour un produit libre, nous avons un fruit. Nous avons un fruit de serre. Un autre fruit de serre, mais le fruit de serre. Je dois dire peut-être le fruit de serre ou le fruit de serre. Mais pour un fruit de serre, je crois que c'est le fruit de serre. C'est le fruit de serre. Comment décrire ? Comment décrire ce groupe ? Topologically, c'est très simple. Tu prends un espace topologique qui est un groupe fondamental A. Tu prends un espace topologique qui est un groupe fondamental B. Tu prends des points basés dans les deux, et tu as juste un étage entre les deux. Quand tu regardes la couverture universelle de cet espace, tu verras un fruit de espaces. La couverture universelle de X, liée par un orbit d'études de copies de la couverture universelle de Y, etc. La couverture universelle de Z, c'est... Ok, pardon. On donne un nom à cet espace. C'est Z, je suppose. La couverture universelle de Z sera un fruit de couverture universelle de X, liée par une couverture universelle de Y, etc. Et puis X, encore une fois. Si tu penses qu'il y a un espace de pass, c'est assez clair. Tu peux avoir un pass en A, puis tu vas au pass en X, puis tu vas au Y, tu as un pass en Y, etc. Donc, la couverture universelle de 3 producteurs est la couverture universelle de ces 3 espaces. C'est la couverture universelle de espaces. Et donc, la couverture universelle de Z acte sur la couverture sous la couverture simple. Je dois dire. Il y a un vertex pour A, qui est fixé par A. Puis, comme beaucoup d'études ont des éléments dans A, puis un vertex pour tous les conjugates de B, etc. Donc, la couverture universelle est un espace de hyperbole et nous espérons que nous pouvons prendre advantage de cette situation, même quand nous relaxons un peu la condition d'être une couverture. Donc, c'est l'un des principaux exemples de pouvoir couverture pour dire quelque chose sur 3 produits parce que les actes ont des truises. Un autre, un autre exemple principal, un autre exemple principal, c'est plus géométrique. Ça serait un groupe fondamental. Ça serait, pardon, un gamin. Un groupe de géométrie de HN, pas co-compact. Si c'était co-compact dans HN, c'était un groupe hyperbole mais avec un volume de cofinite. Ok. Donc, la question HN par gamma serait quelque chose comme ça. Ici, une partie de la manifold, on assume que c'est une très belle réaction, donc ça serait un manifold. Ici, une partie de la topologie, je ne peux pas le faire si l'HN est plus grande que 2. Et, possiblement, un ou plusieurs cospes vont à l'infinité. Ils sont dans la question, ils vont à l'infinité, mais ils contiennent seulement le volume de cofinite. Donc, c'était le cas de PSL2Z. Donc, un exemple plus concret est PSL2Z. Vous vous souvenez d'une partie que j'ai trouvée à l'infin de la première lecture, c'était l'orbitage de cet arc. Quand vous trouvez que c'est vraiment une partie, vous trouvez quelque chose plus, vous trouvez que cet arc est le domaine fondamental de la réaction de PSL2Z. C'est le cas dans la question, donc cette partie infinitive est collée à celui-là. Donc, par exemple, par la matrice 1101 qui est avancée par 1, cet arc est collé à celui-là par la matrice 01-10. Et c'est pour ça qu'il y a ici un point où je peux seulement voir un angle Pi. Donc, c'est un peu un point singular et ici un point où je peux seulement voir un angle 2 Pi over 3. Et ici, j'ai deux arrays. Ils semblent parallèles. Mais si vous computez la distance hyperbole, vous voyez que la distance entre ces deux points quand vous vous appelez, ça diminue très vite. Donc, j'ai l'impression que c'est comme ça pour montrer que ça diminue très vite. C'est pas très bon. OK. Deuxièmement, et nous avons un espace qui tient c'est un peu plus compliqué que le manifold parce que ça tient des points singular qui arrivent du groupe ici et là et ça tient un volume finitiel. C'est le même volume que celui-là. OK. Donc, ce serait une photo similaire, mais dans une dimension plus grande. Donc, nous allons penser un peu et nous demandons d'abord ce qui se passe dans l'HN. Donc, dans l'HN, je peux avoir le même model d'espace à l'extérieur mais dans la dimension dans la dimension dans la dimension N dans la RN. Et ce qui se passe ici c'est quand quand je regarde pour exemple, la section horizontale. Donc, quand je regarde la section horizontale dans la dimension N ce qui se passe c'est que vous pouvez avoir un groupe euclidean une groupe euclidean donc je suis désolé je prends ce que je veux dire. Je veux dire que dans le casque de l'HN module gamma on peut trouver un torre incompressible de dimension N donc on peut trouver des subgroupes de la forme Z to the N de la dimension N-1, merci Z to the N-1 embedé en gamma donc ici, si je couche le manifold et je regarde ce qui se passe ce que je peux trouver c'est que la section est la section de la torre donc je ne suis pas très heureux parce que et c'est probablement l'un des exercices si gamma est un groupe hyperboli alors la square ne peut pas être embédée en gamma donc ce ne sera pas un groupe hyperboli mais il y a encore une action géométrique dans les spécifiques hyperboli donc c'est un temps très high pour moi d'aller aux définitions et ces deux situations seront des situations où le groupe sera hyperboli relativement à l'équipe de la cospe ou les facteurs il y a plusieurs définitions de groupes hyperboli il n'y a pas de prix pour payer parce que c'est un peu technique ou parce que ce n'est pas facile à travailler avec donc je vais commencer avec celui-ci c'est le boudic donc géométrique relativement relativement à ce groupe p si géométrique acte les propriétés suivantes finitiellement beaucoup d'orbitage d'orbitage stabilisateurs de finite les stabilisateurs de vertex peuvent être infinitifs stabilisateurs d'eux finitifs ou peuvent être infinitifs quand ils sont conjugés à p et la dernière condition ce que j'appelle le boudic s'appelle un fin graph donc laissez-moi mettre des mots sur ça je dirais que c'est régulièrement finitif dans la littérature vous trouverez le mot fin qui peut-être n'est pas le meilleur mot à utiliser dans cette situation mais qu'est-ce que ça veut dire être régulièrement finitif donc d'abord je define l'angle entre deux edges avec la même origine l'angle d'un e1 et d'un e2 d'un e1 et d'un e2 à x0 sera le minimum ou l'infimal l'angle de pass d'un d'autres points donc t d'un e1 d'un t de e2 pas pour x0 c'est juste la picture vous avez x0 deux edges des points terminaux et vous êtes en train de joindre des pass mais bien sûr je peux voir un pass de length 2 je n'ai pas utilisé et l'angle entre ces deux deux edges à x0 c'est la définition et pour être régulièrement finitif c'est à dire pour tous l'angle l'angle d'un e1 d'un e2 d'un e1 d'un e2 d'un e2 d'un e2 d'un e2 d'un e2 d'un e2 d'un e2 et l'angle d'un e1 d'un e2 d'un e2 est finitif ok oui je viens de ça dans un second donc le problème avec la première définition c'est que vous pouvez aller le graphon n'a pas un nom peut-être je devrais donner le nom donc c'est probablement pourquoi je n'ai pas donné le nom mais on va donner le nom le graphon x peut être pas localement finitif peut être pas propre et vous avez entendu beaucoup de fois que les choses sont meilleures quand les espaces sont propres et la première heure mais x peut être pas localement finitif vous juste relaxez pour être ok peut-être localement finitif mais sur le niveau de l'angle il faudra être localement finitif let's me let's take the tree as an example a tree might not be locally finite a tree t for the free product a star b the tree t for the free product a star b so if a is infinite we see in the picture that since on the vertex of a we have as many edges as elements of a already we are done it's not locally finite but let's try to apply this definition so the path from two edges in a tree not going to their common point do not exist the set of path is empty and as convention which I did not write because it's a general convention the infimum of the empty set is plus infinity so the angle is plus infinity and so the graph is fine for all e the set of e prime so that the angle is less than theta is finite so it's not empty actually it's just finite it contains only e so t is fine it's angularly locally finite let's take an observation here which I will not prove oh an observation is that when we do have a group that is hyperbolic relative to p to a subgroup t is hyperbolic relative to p then actually we can choose what x is exactly the same way when a group was hyperbolic we can choose to take the space with to be its calligraph we can choose x to be a cond of calligraph over and I will explain the left coset so what does it mean I take the calligraph of G for a certain finite generating set so it's a complicated graph and somewhere I have a subset corresponding to the neutral element and I have a subset corresponding to p and I have its left coset and we add a vertex for each left coset and edges to all its elements so now it has diameter 2 let's see and you can one can show that's a theorem of Bodich that the cond of the cond of calligraph is hyperbolic and finite if and only if there exists a graph x with this property hyperbolic and angularly located in finite ok there is a second definition oh yeah so if you do this construction on the construction of the tree of the free product I try to illustrate here the calligraph correspond to the universal cover of this construction it's quasi isometric to it and the pieces of the tree of spaces correspond to the left cosets of A and of B when in that case I can collapse them it's much stronger and can cause much much more damage but I can collapse those left cosets and find the tree of the free product so it's the same it's a similar situation it's the same situation but in a coarser way let me illustrate the second definition so far we don't see why it covers the finite volume hyperbolic manifolds second definition it's closer to the one appearing in the essay of Gromov is that G is hyperbolic relative to P if there exists a proper hyperbolic length space should call it differently curly X with an action of G by isometries et so it begins better because we have a proper hyperbolic length space a space we like more we can work with visual boundary for instance but except of a cocompact action well you assume that there is an invariant system of horribles and H and H an invariant systems of separated horribles I will explain what it means such that well on the complement of this system the action is cocompact and stabilizer of horribles are conjugates so what is the picture in this case well it's this picture on suppose let me erase it to redo it so in order to do the correct picture maybe I need to define what is an horrible so take a point in the boundary take and array a geodesic ray to this point then the busman function associated to that is as a function H from X to R which at a point X associates the quantity D of rho of T oh sorry it's a limit so the limit of D of rho of T X minus T so what's the picture you have somewhere a point X a ray rho that goes to X and you look at a point X well you can approximate the situation like that to go to X from X you have to make a thin triangle so you project on the ray rho and then you follow and and here is an arbitrary base point and so this is on the ray when I am rho of T I'm measuring distance of rho of T to X and I'm restoring T so I'm measuring this ok so what should I say for the moment it's all I should say what's the whole robot is a set such that H of X is larger than minus D1 in B and less than D minus D or D D1 D2 so it will count points that have a large busman function so what does it mean is it in the correct sense I'm always confused sorry did I write it in the correct direction I hope so but maybe not so it has to count points that are deep in projection to rho so the other way around right isn't it maybe this one ok I tell you what it is and then we'll see what are the inequalities it should be it should be this kind of set a neighborhood of XI which correspond to points that are deep projection on the ray rho and you see there are two parameters how deep it is as a projection in rho and how far it is from rho from the projecting point the projection is deep and the elaps is not larger than the depth so a point will be in the rho ball if the projection is at distance T from the base point and the elaps is less than T is that clear it's not very clear I was right this is wrong so I was right saying that I was wrong yeah so whatever the inequalities are X is in B if the distance for X to rho is not larger than the distance to some base point on rho and the projection of X on rho yes I can write but the inequalities I can't so once again I have XI I have rho there is some cut of rho of T0 and you want that the projection is deep and the elaps is smaller than this but you allow some variability for some constants ok oh so why did I say that because that's exactly the situation we had before in the one I just erased here for PSL2Z so examples in H2 horribles at the point at infinity are half spaces I mean slightly upper half spaces yes it's a choice it's a choice of base point you have different parameters to define a horrible so here T0 will be this point T0 will be such that rho of T0 is this point but you could change it and have a deep or horrible if you wanted it corresponds to changing this constants and or changing T0 is that answering your question ok j'ai nonce les nonces j'ai nonce les nonces pardon ok so fortunately and maybe anticlimatically those two definitions would keep are equivalent so that's a theorem of Bodich the two definitions of relative hyperbolicity are equivalent so I intended to sketch the proof but I don't have the time for that just in two words in one direction you have these horribles that you want to cone off and find the right graph and the other direction you have those vertices of infinite that you want to blow up and make hyperbolic overalls instead of them and there is a little bit of work control the collapsing of hyperbolic spaces and control the hyperbolicity of spaces that you have enlarged so that are locally hyperbolic in some sense and I wanted to finish on some kind of philosophy of hyperbolic groups I do have one minute or no take it the situation so general remark the situation is good for permanent properties so what I mean is that if you have a property that is satisfied for hyperbolic groups and that is satisfied by P and that G is hyperbolic relative to P satisfied by G as well if P satisfies a property exotique property that I would call like that so that there is no bigity there does not exist in the literature and all hyperbolic groups satisfy little house then one expects that if G is hyperbolic relative to P G satisfies this property little house there are many examples where we know what's going on so for instance the most basic one if P is hyperbolic and G is hyperbolic relative to P then G is hyperbolic that's actually not so trivial result but it's due to a scene if P is finally presented and G is hyperbolic relative to P then G is finally presented actually it's even if and only if if P has a finite k pi one then G also if P has solvable word problem or conjugacy problem then G also all those are results of fab boom again sometimes myself if well and other if P acts properly on some LP space then G also a lot of results go this way but not all and life would be a little boring if all results of a relative publicity will go this way fortunately not all are like that