 اسلام علیکم سٹورنٹس، ایم وزیم ایکرام یہ ایک لیکٹر دیسیریز میں 45 لیکٹرزوں میں دیجٹر لوجک دیزائن ہے کیسے آپ آج انچھالا اچھے ہوگلتا ہے؟ پشتی دفعہ ہم نے کچھ بولین ایلجابرہ کے رولز، لوز اور تیرمز کی بات کی تھی جیاد ہیں کچھ پڑیں آپ نے کچھ جاد ہوئے آج ہم مزید باتیں کریں گے بولین ایلجابرہ پہ اس سے پہلے کہ آج نئے طوپکس پہ بات ہو لیکن آپ کو رزیز اور روز کے ایک کچھ بہتا ہے پہلے حالے میں بولین ایلجابرہ بولین ایلجابرہ بولین ایلجابرہ ہم دیلتے ہیں جس طرح بولین ایلجابرہ ہوتا ہے ہر بہتر میں کچھ رولز ہوتا ہے جس طرح بولین ایلجابرہ کی رولز اور تھیرمز ہیں لیکن ہی آملاہ کا بہت عملی دراگی ہے کہ ہم اس درسیبہ ہونے کے لیگہ کا بہت عملی دراگی ہوگا ہے لیکن ہی بہت عملی دراگی ہے ہم بہت عملی contro 10 کیا ہے جو ایک بہت سے مجھہ ہونے کیا ہے ہے تو اس پر میں ہوا گا آدم ہے کہ معلومہ مجھے کیا ہے جو اپنے بھلوں کو یہ possible convey tours ، بار کیا ہے جو آدم کیا ہے تو بھی یہاں گا ہے اس پر معلومہ مجھے مجھے جو جیسے بار کسی پر بہلے اس کے لیے ہم نے بات کی تھی دیمورگنز تھیورمز دو تھیورمز ہے تھیورم number one and تھیورم number two. Again وہ ہمیں بتاتے ہیں کہ ایک فام میں اگر expression ہو اس کو چینج کیا جا سکتا ہے کہ product form میں ہوتا some form میں آ جاتی ہے اگر some form میں ہوتا product form میں آ جاتی ہے after having studied the rules we talked about analyzing Boolean circuits logic circuits جو ہیں ہم نے بتایا تھا کہ اگر اس کو mathematical form میں لکھا جائے ایک سپیکس کیا جائے تو ان کو سمجھتنا analyze کرنا ان کی output معلوم کرنا بڑا سام ہو جائے گا as compared to implementing a circuit. So we did analysis of two or three circuits. Then we talked about simplifying Boolean expressions. We said if you have a large circuit اس کو آپ simplify کر سکتے ہیں پر اگر دیکھنے سے آپ اندازہ کریں کہ بھی چھوٹا سرکٹ کیسا بنے گا تو وہ تھوڑا سا مشکل ہو جائے گا. So the proper step would be to express that circuit in the form of a Boolean expression. جب Boolean expression آ جائے گی اس کے بعد یہ جتنے بھی laws rules and theoreals apply کریں گے آپ کو ایک سمپل form میں ایک سپیشن مل جائے گا اس سے آپ اگر a circuit بنائیں گے it would of course be very small. It would be a simple circuit as compared to the original circuit. Last thing ہم نے جو بات کی تھی it was representing these expressions in two forms. ہم نے کہتے کہ دو standard forms ہیں جس میں ہم expression لکھ سکتے ہیں described کر سکتے ہیں. ایک تھی some of products کوئی بھی expression ہو اس کو آپ simplify کریں some of product form میں آج ایک some of product form کیا ہے well you have products different product terms جو کیسے آتی ہیں آپ کو and get کے through آتی ہیں and get کے inputs پر کچھ variables لگائیں وہ آپ output آپ کو دیں گے so you have different product terms ان سپ کو جب add کر دیں through an OR gate وہ آپ کو ایک some of product term or form کی expression ایک آجا دیں then we talked about the the the product of some forms جو ایک alternate طریقہ ہے to represent expressions product of some form یہ ہے کہ آپ کے or gates ہیں جن پہ آپ different variables اپلائے کر رہے ہیں ان کے output پہ some terms آ رہے ہیں some terms اگر آپ ساروں کو and کر دیں تو بیسیک لی آپ کے پاس آ کیا گئے پروڈکٹ آگیا of some terms so you have two forms of expressions some of products form and product of some form equations last time we talked about different topics انالیس کی بات کی تھی سمپلیفکی کی بات کی تھی then we said you can represent expression in different forms rules کی پہلے بات کر چکیں now these are not separate things بیسیک لی آپ پس میں سارے related ہیں جب آپ سمپلیفائے کر رہے ہیں تو of course آپ سارے وہ rules اپلائے کر رہے ہیں اس میں theorems اپلائے کر رہے ہیں laws اپلائے کر رہے ہیں when you ultimately simplify an expression you get the simplest form of an expression وہ سمپلیفکی ہوگی وہ یا تو sop form میں some of product form میں ہوگی یا product of some form میں ہوگی جب آپ بولی ان expression کو analyze کر رہے ہیں again you look at those rules you use those rules so ہی آپ پس میں سارے connected ہیں and during the study of this digital logic design course when you are analyzing expressions when you are simplifying expressions you relate them to so p's and p o s forms and of course rules and theorems today i'm going to start by looking at two examples جسٹا ہم نے پیشی دفعہ ایک سامل کی تھی آج بھی میں ایک دو مزید examples کرنا چاہ رہا ہوں we would have we would be looking at two circuits one of the circuits would again be analyzed اس کی ہم تو تیبل نکالیں گے اس میں اور اس کے بعد we would be simplifying that same expression using the different rules اور وہ ایک سامل کیا ہم دیکھیں گے it would be represented in some of product forms اس کا جو تو تیبل آگا it would be identical to the original expression جس کو ہم نے analyze کیا جو آپ سیمپلیفائے کر کے جو سیرکٹ بنائیں یا ایک چل جو اس کو آپ دیکھیں دونوں ایک چیز دے ہیں سیکن ایک سامل میں we would again be analyzing the circuit اس سرکٹ کو اس کا تو تیبل بنائیں گے then we would be simplifying the expression representing that circuit جو ایک سپیشن امیر پاس آئے گا وہ آئے گا the product of some form میں some of product form نہیں product of some form میں آئے گا جو اس کا تو تیبل آئے گا جو اس کو دیکھیں گے دونوں کو کمپیر کریں گے we would see that بوث تو تیبل دا دی سیم so that verifies that you can simplify an expression into either some of product forms or product of some forms تو آئے دیکھیں دونوں ایک سامل سکو کسیڈر دی لوجک سرکٹ کمپریزنگ اف نور گیٹس ڈینگیٹس ڈینگیٹس ڈینگیٹس ڈینگیٹس and اوٹپٹ of three input nand gate five is a bar b bar cd whole bar and output of two input نور گیٹ six is a b bar plus a bar b bar cd whole bar and both terms have an entire bar over them so the term a b bar and the term a bar b bar cd whole bar have an have a bar now consider the expression which has two terms the term a b bar and the term a bar b bar cd whole bar assume that the term a b bar is represented by the literal x also assume that the term a bar b bar cd whole bar is represented by the literal y thus the expression is now represented as x plus y whole bar what is the output for this or rather for which condition does the expression output a one اگر آپ کو یاد ہو x plus y whole bar یہ کیا رپزنٹ کر رہے یہ بسکلی رپزنٹ کر رہے نور گیٹ کو اپریشن نور گیٹ اگر تو ان پٹ نور گیٹ ہو تو کیا ان پٹ کومنیشنز آ رہی 0 0 0 1 1 0 1 1 کب 1 ہوگا نور گیٹ کے جمعے دونہ انپٹز 0 0 ہوں only then the output is 1 شو دیفور when terms x and y are both 0s only then the output is a 1 the term x equal to a b bar is 0 when literal a is 0 or literal b bar is 0 or b is 1 term y کب 0 ہوگی well term y as we said is equal to a bar b bar cd whole bar it is 0 when the term a bar b bar cd is equal to 1 if you just remove the whole bar from this term therefore a bar b bar cd is equal to 1 the term a bar b bar cd is 1 when literals a bar equals to 1 b bar equals to 1 c equals to 1 and d equals to 1 these can also be represented as when a is equal to 0 b equals to 0 c equals to 1 and d equals to 1 only then y term would be equal to 0 now let us define the conditions for the output of the سرکت to be a 1 considering the term a b bar the conditions are a equals to 0 or b equals to 1 considering the term a bar b bar cd whole bar the conditions are a equals to 0 and b equals to 0 and c equals to 1 and d equals to 1 now for both terms a has to be 0 otherwise the اوٹر is not equal to 1 b also has to be 0 otherwise the second term is equal to 1 and the output is 0 similarly c and d variables have to be equal to 1's otherwise the second term is equal to 1 and the output is 0 the true table describes the function of the logic circuit and the expression where all outputs are equal to 0 except for the input combination of a equals to 0 b equals to 0 c equals to 1 and d equals to 1 now let us verify the analysis of the logic circuit by simplifying the original Boolean expression representing the logic circuit and obtaining the true table of the simplified expression the two true tables should be identical now the expression is simplified to a b bar whole bar ended with a bar b bar cd double bars by applying demorgans a bar b bar cd double bar by applying demorgans second theorem now by applying demorgans first theorem and rule number 9 to the two terms results in a bar or b double bar ended with a bar b bar cd the term a bar or b double bar simplifies to a bar or b you remove two double bars applying the distributed law the expression simplifies to a bar b bar cd now let us have a look at the condition's the condition's a equals to 0 b equals to 0 c equals to 1 d equals to 1 are identical to the original expression that was analyzed the true table representing the function represented by the simplified expression is identical to the function represented by the true table prepared earlier as a result of analyzing the Boolean expression we've just looked at an example example کی جو simplified ہمارے پر سکشن آئی تھی a bar b bar cd a bar b bar cd کو اگر دیکھیں یہ کنسی form ہے basically ایک product term ہے کیسے آئے گی if you use a 4 input and gate اس کے 4 inputs پے a bar b bar through inverters کنک کر دیں اور cd direct input کنک کر دیں تو آپ کے پاس یہ output آ جائے گا تو ایک product term آ رہی ہے اگر مزید اس کسم کی product terms ہوتی تو ان کو اگر اور کے ساتھ آئید کر دے تھے some of product form آ جاتی تو ایک سمپلسٹ آپ کہہ سکتے ہیں کہ ایک product term آگی گی next example جو ہم دیکھیں گے again we are going to be analyzing a circuit analyze کر کے اس کا ایک ہم function table بنائیں گے again اس کو verify کرنے کے لیے we will simplify the expression which represents that original circuit اب جب آپ سمپلی فائی کریں گے ہم دیکھیں گے کہ وہ جو ہمارے پاس simplify term آ رہی وہ product of some form آ رہی some of product form میں نہیں آ رہی دوسرے ایک جو انٹرسٹنگ تیز ہم دیکھیں گے the original circuit which we are going to be talking about right now has 4 variables اسی طرح a b c d inputs ہیں 4 variables ہیں جب ہم اس کو simplify کرتے ہیں then we will see that we do not require the fourth variable دی ویریبل اس کی ضرورتی نہیں ہے ہماری جو سمپلی فائیٹ ایک سپلیشن ہے اس میں صرف تین ویریبلز a b c ہوں گے اس میں so as you can see i mean it's a very simple circuit 4 ویریبلز کے جگہ چار ویریبلز کے جگہ تین ویریبلز ہم ہمارے پاس استعمال ہو رہے ہیں اس میں so let us have a look at the second example before I talk about the second example پہلی ایک سمپل میں آپ نے دیکھا we applied دی مارگنز تھیورمز ہم نے دیکھا روز اپلائے کی اس کو سمپلی فائیٹ کرنے کیلے اس کو انلائز کرنے کیلے اسی طرح ایضر بھی ہم بلاؤز روز اور باقی جو ہم نے تھیورمز پڑے تھی وہ اپلائے کریں گے اس میں so let us have a look کنسیٹر دی لوجک سرکٹ امپلیمنٹت use nought gates and gate or gate and an gate دی سرکٹ can be represented by a Boolean expression let us define the Boolean expression representing the logic سرکٹ starting from the left-hand side of the سرکٹ output of nought gate 1 is a bar output of nought gate 2 is c bar output of 3 انپرٹ and get 4 is a bar b c bar output of 2 انپرٹ or get 5 is c bar plus d plus means or output of 2 انپرٹ nought gate 6 is a bar b c bar this is the first term ended with the second term c bar plus d the two terms are ended together and inverted so you have a whole bar over both the terms now consider the expression which has two terms the term a bar b c bar and the term c bar plus d assume that the term a bar b c bar is represented by the letter x also assume that the term c bar plus d is represented by the letter y thus the expression is now represented as x y whole bar now if you remember x y whole bar what type of a gate are we using well it's a nought gate now if you remember for a 2 انپرٹ nought gate you have 4 انپرٹs 0 0 0 1 1 0 and 1 1 0 0 پے output کیا ہوتے it's a 1 0 1 پے output کیا ہوتے 1 1 0 پے output کیا ہوتے 1 1 1 پے output کیا ہوتے 0 so اس کو summarize میںان کو پہنstad کریں گے if any input is 0 the output is 1 so shirts for when and term x or the term y is 0 the output is a 1 now the term x equals 2 a bar b c bar i's 0 when little a bar 0 or rather a easy equal to 1 little b is 0 یا بھرشک فرمان اور قل程 میں سی نہیں contamشتی سی تو م Wh آفسی темحumbles ml ا сделали ا کے why ڈییہ ڈی کیمان کیا چاہتے выз وekt سی بار ای کوس to one or b equals to zero or c equals to one for the term c bar plus d c equals to one and d equals to zero the true table outputs corresponding to the input condition a equals to one b equals to zero or c equals to zero are marked as ones for the first term the true table outputs corresponding to the input conditions c equals to one and d equals to zero are marked as ones for the second term the four variable true table shows that for all input combinations of variables a b c and d the output only depends on the inputs a b and c d does not play any role in the function output for example for the input combination a equals to zero b equals to one c equals to one the output is one if d is zero or d equals to one it doesn't matter the output is one similar is the case for other inputs thus a simpler three variable true table can represent the same function as the four four variable truth table the three variable truth table is shown it only has the variables a b and c let us verify the analysis of the logic circuit by simplifying the original boolean expression representing the logic circuit and obtaining the truth table of the simplified expression the two truth tables should be identical now the boolean expression is simplified to a bar b c bar whole bar plus c bar plus d whole bar we obtained this expression by applying de Morgan's first theorem now applying de Morgan's first and second theorems to the two terms respectively we get a double bar plus b bar plus c double bar this is for the first term plus c double bar d bar this is for the second term now the double bars can be removed so the expression simplifies to a plus b bar plus c for the first term and for the second term c d bar the simplified version is a plus b bar plus c in the circuit that we just discussed the simplified expression has the form a plus b bar plus c d variable ہم جیسے دیکھا مسنگ ہے اس کی ضرورت ہی نہیں ہے now a plus b bar plus c یہ کنسی term ہے some term ہے product term ہے basically it's a some term some term کیسے آری ہے you have a three input or get ایک انپٹ پے a variable کنک کریں گے دوسرے پے b کو invert کر کے کنک کریں گے اور تیسے پے c کو کنک کر رہا ہے اگر ہمارے پاس مزید اس قسم کی some terms ہوتی اور ان کو and کر دیتے تو ہمارے پاس کیا آنا تھا product of some right تو یہ سیمپلسٹ form ہے product of some form کی equation کی so we have a single some term now let us go back to some of product form and product of some form of expressions some of product form ہونے بتایا تھا we have different products and they are all summed up جو ہم نے examples پیشی دفعہ کی تھی وہ standard some of product form کیا ہے standard some of product form کیا ہے let's consider an example you have a b plus c ٹھیک ہے so you have the first term a b it is a product term and the next term is c وہ کسی سے multiply نہیں ہو رہے جو expression ہے یا جو circuit بنے گا اس کے کتنے variables ہیں بسکلی تین a b and c so the domain of the expression is 3 a b and c پہلی جو product term ہے اس میں a and b آیا in complete ہے because c نہیں ہے اس میں پہلی جو second term ہے اس میں صرف c ہے اور a b نہیں ہے right so this particular form of some of product expression is not considered to be a standard form standard کرنے کے لیے you use the rule a plus a bar equals to one so we are going to be using that rule to make a non-standard form of an expression into a standard form similarly when we talk about product of some form product of some forms آپ کے پاس let's say a plus b ایک تم ہے some تم ہے and then you have another term c plus d ان کو اپس میں and کر دیا what do you get you have product of some form again یہ جو ہے by definition کی standard form نہیں ہے پہلی تم میں کسے ویریبز ہیں a and b دوسری تم میں کسے ویریبز ہیں c اور d ایک دومین کیا ہے یا کتنے ٹوٹل ویریبز ہیں six version میں a b c and d چاہر ویریبز ہیں سو ہر تم میں بسکل چاہر ویریبز ہونے چاہیں چاہر لٹرلز ہونے چاہیں ضروری نہیں کہ a plus b plus c plus d ہو a plus b plus c bar plus d bar بھی ہو سکتا ہے so when you need to change a product of some ان سے کس� Alt expression ہم بن personasbuster اپنے ش سے ان muse a and a bar بھی начина between Doo ا Reportsمن فرمذہ بھی ر SendRem ان بیران پرک کیا رہا ہوتا ہے اپنے完ک نم Heil's or ڈرو اپنی میکن some dating اپنی میکن۔ t than یا اپنے ان nue لیے ہوتا ہوتا ہے امج أو پریشکل جہ جب ڈرو اپنے اِک بھوچوٹال نکی جانteok own any one day n twenty an اُن repairing۔ ، ، ، ، ، ، ، انہوں کے Developers نحارت schlecht او کرکو flowers ۔ ہاں گوہی تھی یہوصال پر vari Shoes آ Wherever ۔ permeagu이를 دنạtکارہ نہیں ، اس کا ساتھ کے ذکر کی آج ہوomb UM نھی تھیahl سوچ بود ہے ، ایک ری ہول یہ دہست ، ، ، ۔ Hol counted הסندfight and psy ۔ نے انہوں کے وقت توati قفل یہاں Yes ہے اس اس طرف ب!!!!!!!! عق mading başka د axle درم neur typed اسفصید ہے ہونکہ میں پر دولار ہے آپ سے پر اللہ کے اجچی طgasps潮 چکھناивет محاولی ہے themselves급 ہومکم ہے سو آئیں事件 ہے محاول ہے اiksi 개اندی جور جس Jeb بھی ہے جو اند معاقق ااء دعا یہ ایک نو result ذکرے گا رب انہوں کے ساتھ ہے قاعدے میں ک waldad سوکرنے کی بہتکبی باری ہے، جاتاں بحض جو ساکنے کی باری ہے بلد مطلب ہے۔ بہتکبی باری ہے ایک باری کی باری ہے۔ ساکنے کی flaming کارنے کی باری ہے کارنے کا تمام کی مصروقتی حالات ہے۔ ساکنے کی پہلے سوکرنے کی طرف کی تک 3 کارنے کی پہلے ہیں، آی پلس بی بار پلس سی the سیکن ترم آی پلس بی پلس دی بار and the third ترم آی پلس بی بار پلس سی بار پلس دی are not a standard پی و اس فام as the domain of the expression has variables a b c ڈ and دی therefore all the three terms should have all the four variables to convert the non-standard product of some form into a standard product of some form from the rule a into a bar equals to zero is used applying the rule to expression it converts it into a standard product of some form each of the five some terms have the four variables a b c and d considering the first term a plus b bar plus c d plus d bar is added to this کارش mein levelлаہ انٹر طریقہ ہے ajudar Wet ایک جو ایک متہ لیئے بھی تا ایک باتر ہے شستان پہلے ہوں سے towards مرگ آ لذاative تانم 김 کے انگزان آپ ہوبہ ایک باتی ہے آپ شروع کے اس حق니 کہ۔ ہے بعد کہ م滴ن يعصب دے کیا round like رہا ہے چاہر انٹور44ть ہون جاگ greenhouse اس انٹورسبوز کےemetery بات تو بات정انر بھیداز بلک Hyun تین terms آجائیں. So, if you implement the circuit using the product of some form, آپ کا circuit simpler ہوگا. اگر وہ SOP form سے کریں گے ہو سکتا ہے circuit آپ کا زیادہ complex ہو. So, if you have these standard forms, you can easily convert from SOP to POS from POS to SOP. یہ آگے conversion ہم دیکھیں گے کیسے convert کرتے ہیں اس میں. دوسرح فیضہ یہ ہے کہ یہ جو 기본 کو simplify کرنا ہے. How do we simplify them? Basically we apply all the rules, the theorems and the laws which we have learned. یہ بسکلی آپ کا ابیلٹی پہ دیپن کرتا ہے کہ آپ کتنا اچھا اس کو پرسیف کر رہے ہیں آپ کو rules کتنے یاد ہیں، آپ کو terms آپ ہو سکتا ہے، کچھ terms آپ کو نہیں نظر آ رہیں، پlebrily آپ نہیں سمجھ بارہ. بسکلی, these simplification of these expressions by applying these rules depends on your ability. اور مہوسکتا ہے آپ بہت زیادہ اکسپیرینسٹ ہو تو آپ اچھی طرح سیمپلیفائے کر سکے۔ Now, there are other methods to simplify these expressions and they basically provide you a systematic way of simplifying the expressions. A car of maps کا ایک method ہے جو ہم بعد میں ابھی دسکت کریں گے تو اس میں ایک سیسٹمیٹک طریقہ جس کے تاہت آپ سیمپلیفائے کر رہے ہوتے ہیں. جو اگن کی مپ میں ایک سیمپلیفائے کو رپزنٹ کرنے کے لیے you need to have them in a standard form. بعد میں بات کریں گے اگر نون سیمپلیفائے میں تو بھی ہو جاتا ہے but to do it properly you need to have it in a standard form. تیسرا فائدہ for having these expressions in a standard form is that if you remember پہلی لیکٹر میں ہم نے بات کی تھی programable logic devices کیا تھے ہم نے کہتا ہے کہ ہم کسی basically a device its a general purpose device اس کی جو implementation ہے اس کے اندر جو گیٹ سیمپلیمینٹ ہوئے وہ ایک general طریقے سے implement ہونا ہے so you can program that device to perform any function تو آپ کے خیال میں کس طریقے سے نہیں ہے کس طرق گیٹ کو نکت ہوئے ہوں گے well generally they are connected in that sum of product form بہت سارے آپ کے پاس انگیٹس ہوں گے انگیٹس کی ایک basically array ہوگی اور پھر آپ کے پاس ایک or gates کی array ہوگی اور inverters کی array ہوگی remember we taught in the earlier lectures that you can represent or implement any logic circuit using these basic functions an gate or gate inverters ہے سب کچھ ابھنا سکتے ہیں so these PLDs ہمیں بھی basically in 3 gates کی arrays ہوتی ہیں so now if you can convert an expression into a standard sum of product form or standard POS product or sum form وہ ایسیلی آپ implement کر سکتے ہیں or rather with PLD devices so these are the three things we will see later now when you have these standard sum terms and product terms ان کو ایک کسے نام سے ہم logic design میں دسکتے ہیں so you have MINT terms and you have MAX terms جو standard product terms سم of product form کی ایک سپیشن میں ان کو آپ MINT terms کہیں گے جو standard sum terms ہے product of some form میں ان کو آپ کہتے ہیں MAX terms کتنی آپ کے خواہ میں MINT terms ہو سکتے ہیں کتنے MAX terms رپریزن کر سکتے ہیں ایں ایک دو ویریبلس کو جو اس وaiل由 دے ہیں مدانتی ہیں these MINT terms جو ہوا will be A bar B bar اوہ اللہ کی مدانتی ہے آی بی بار پھر آی بار بی اور آی بی چار منٹمز آگے میکسٹمز کیسے ہوں گے well one of the میکسٹمز is a plus b there would be a plus b bar تیسرہ جو ہوگا a bar plus b اور چاہتھا جو ہوگا a bar plus b bar so two variable expression جو ہے اس کے چار ہی منٹمز ہوں گے اور چار ہی میکسٹمز ہوں گے and منٹمز and میکسٹمز کی بنوری values کیا ہوں گی so let's consider the منٹم ای بار بی بار بنوری values کیا ہوں گی a 0 بی 0 تب ہی a bar بی بار آئے گا a b bar let's suppose بنوری values کیا ہوں گی a b bar ہے a should be 1 b should be 0 and similarly میکسٹمز کو دا دیکھیں a plus b بنوری values کیا ہوں گی basically یہ زرہ جاہد رکھے گا میکسٹم کے اوپر جو ہے a plus b جو ہے this is supposed to be میکسٹم it is some term اگر بار لگا دن that means آپ نے انورٹ کر دیا اس کو if you solve کریں تو کیا آئے گا we demorgans اگر لوپ لائے کرنے you get a bar into b bar so یہ انورس ہے of the منٹم a bar b bar a bar b bar کی بنوری values کیا تھی and a and b کی 0 and 0 similarly for میکسٹم a plus b the بنوری values would be 0 and 0 let us have a look at a تیبل having 3 ویریبلے آ بی نسی so let us list all the منٹمز and the میکسٹمز país دیتے بل لھوک سیسا رہے ہیں تیبل having 3 ویریبلز a b and c so we have 8 بہترینanks ہمارے کیا ساہتے بہت زرہ سی روز آ کنندیکٹ 1111 since we ہم 8 ہی مرحلات ل Edition ہم 8 مرحلات لہیں ، بھی کہاں کیا ، بھی کہاں کیا ، اور اگر یہاں کیا ای بی سی ڈم000 ہے ، لہذا گھر ہے ڈم000 وہاں کیا ڈم0000 ہے للہ دن ایک right نسم-) nghĩد the maximum A plus B plus C is consider to be maximum zero andami maximum andabar plus Bbar plus Cbar is considered to be maximum seven. نا lief Practice looking at the binary values of each of these , and maximum hindsight we maximize the argument of genes come together to make the beer-maximum مجھیہ صرف識 کہ اس کے دوandır اور مجھیہ صرف識 کہ ش روح��을 دھو دھو دا ہیں جبominMER بی بار is 0 or rather a would be 1 b equals to 1 and c is 1 now considering the maximum a plus b plus c bar the binary values for the maximum are a equals to 0 b equals to 0 and c equals to 1 we have looked at an example of three variables so we said a three variable expression can have a maximum of eight min terms and eight max terms let us now talk about converting from standard sop to a standard pos form well کیسے کریں گے ایک standard expression ہے جو منٹوم کی form میں express ہوئی ہے اس کو ہم ہم نے بتایا تھے کہ convert کر سکتے ہیں اور اس کو represent کر سکتے ہیں in the form of product of sums right now pos form میں now looking at mint terms and max terms let's suppose three variables ہیں اور جو expression ہے جو ایک circuit کو represent کر رہا ہے اس میں mintum one two and three ہے باقی four five six and seven mintums نہیں ہے پہلے تین mintums ہیں پہلے تین mintums کیا ہوں گے well a bar b bar c bar a bar b bar c اور a b bar c یہ تین mintums ہوں گے okay اگر اسی ایک سپرشن کو آپ نے max terms کی form میں یا product of some form میں express کرنے تو کیا کریں گے basically جو تین mint terms some of product form میں تھے وہ product of some form میں نہیں ہوں گے right so product of some form میں کون سے max terms ہوں گے basically four five six and seven so four five six and seven جو max terms ہم نے وہ table میں دیکھے تھے اگر آپ وہ لکھ دیں that word represent an expression or a circuit which is equivalent to that original circuit represented by the three mintum expression let us again have a look at an example in which we represent two forms of expressions one written in terms of mintums and the other written in terms of max terms اگر اگر ان دونہوں expression کا solve کریں equate کریں او اس کو analyze کریں result آپ کو ایکی ملے گا so let us have a look the five some terms standard اس و پی expression has the binary values 0000 010 011 101 and 111 the expression is represented in canonical some form where the variables a b and c define the domain of the expression the numbers 0 2 3 5 and 7 represent the mint terms present in the sop expression so as you can see the mint terms are a bar b bar c bar plus a bar b c bar plus a bar b c plus a b bar c plus a b c they represent the mint terms of course 0 2 3 5 and 7 now what are the missing binary values the missing binary values are 001 which is a 1 or mintum 1 100 mintum 4 and 110 mintum 6 thus the equivalent p os expression or product of some expression has the corresponding missing three terms as some terms 1 4 and 6 the expression is represented in canonical product form where the variables a b and c define the domain of the expression the numbers 1 4 and 6 represent the max terms present in the product of some expression the three terms the max terms are a plus b plus c bar the second max term is a bar plus b plus c and the third max term is a bar plus b bar plus c these three max terms are one four and six respectively if the three some terms are multiplied together and the expression is solved it results in the five some term sop expression so both the expressions are equivalent the circuits implemented using either of the two expressions would be giving the same results we've just looked at converting sop forms of expression into p os form and again p os product of some form of expression into sop forms یہ ہم نے گیا تھا in terms of mint terms and max terms سیدہ سا رول جو ہے یہ یاد رکھنے کے لیے sop میں جو mint terms available ہیں وہ والے نمبر کے max terms جو ہے p os form میں نہیں ہوگے so دوسے والے نمبر جو ہیں let's say 1 2 3 4 جو ہے sop میں ہیں 5 6 7 8 p os میں ہوگے so that's the simple rule to remember when you convert from one form to the other okay بہت سارے ہم نے فائدہ لسکتی ہے کبھی آپ جو ہے آسانی سے convert کر سکتے ہیں جب پیر دیز میں function program کریں گے تو اگر standard form میں ہو تو وہ آپ کر سکتے ہیں اس میں ایک اور فائدہ جو ہے by having expressions in standard sop or p os form is that you can directly map them to a true table true table ہم نے بات کی تھی کوئی بھی جو سرکٹ ہے اس کا جو function ہے that is defined by a true table so what is the output of a circuit so basically جن انپرٹس کے لیے output 1 ہے اوزر ہم output میں 1 لکھ دیتے ہیں اس میں so اگر آپ کے پاس expression ہو so expression جو ہے آپ درک لی ماب کر سکتے ہیں true table میں so جو بھی آپ کے پاس men terms ہیں standard sop expression کی میں بات کر رہوں so جو standard آپ کے پاس men terms ہیں وہ آپ function table میں corresponding output پے once مارک کر رہے گے اسی طرح اگر p os form میں آپ کے پاس expression ہے standard p os form میں expression ہے جو max terms ہیں وہ آپ output میں corresponding جو inputs کے لیے corresponding outputs میں zeros مارک کریں گے one نہیں مارک کریں گے so just remember this men terms کے لیے output میں you mark once for max terms اگر آپ کے expression max terms کے form میں than in the outputs you mark zeros so let us have a look at representing these expressions in the form of function tables the steps involved in representing an sop or a sum of product expression in a truth table format are to first convert the non standard a sum of product expression into a standard some of product expression in the next step the men terms present in the standard some of product expression are marked as once in the truth table output the remaining are not present in the sum of product expression ان کا پردیکٹ اکثر تک أنی مجھنے سے دلاعہ لائے۔ صرف کیا جو ان کا بھی آپ کو س consecutive اکثر حالی ہی دیتے ہیں۔ انکرامی았어요، ایکثر اکثر ، اسکے اپنے بھوبا کس کے لئے کیا ۔ آپ کو اپنے بھوبا کس کے ساتھ بہت بہت ساتھ بہت بہت بہت انکرامی میں مجھنے کے لئے احرامی اکثر ہے۔ اس整ہ عبار ایک بارک بھی ناکہ بھی ناکہ سی بارک بھی ناکہ بھی ناکہ بھی ناکہ جو خلال بھی ناکہ ایک اکل داریک آرہ ہے جو یہ گھائی سب پہلی ایک 4 سعیر دینیت جاتا ہے۔ لہذا ہم کمیار میں ایک 3 4 5 اور 7 عبارہ سنججد ہیں۔ سورمین originust نہائی تمام کا مفت any as 1EEP 1 which represents the Binary Combination 5 and 111 which represents the Binary Combination 7 or 느낌 3455 4 4 5 7 They are marked as 1's the remaining input combinations do not occur in the expression therefore they are marked as zeros. Similarly by looking at the function table you can extract or determine the expression پر آنکار پر Pushureنڈا ہے پر کے پر پر پہلے سام beside1 ہوا keer رہس کیا ؟ پر پہلے سامدي کے داس اگر اگر اگر اط vanilla وہ으�vie اگر اطụ ل plague کو پل کیلی食وائی کے چیز ہوا forecast چیز大概 وہ ہوا کیا کام ہے بعد جjug겨 dataset ملاحفظ اسی اٹھنے ہیں روح�무�د جانتے ہیں لہذا ایک کجا اس طرح پر کتابیہ گا کتابیہ کا میکنی خودوں کے برحل کرتے ہیں. کتابیہ گا کتابیہ گا چاہتے ہیں شخص میں سوچ نشوک نشوک سیکے کے برحل کرنے کا اُنہوں ایک مخصصان سے مجھے غیرہی نہیں ہے۔ کیا اسی عمل میں ایک ا کالا کی اککل مہارہ ایک ہواہ کے마ス اندرین کو میہورت ہوتی ہے۔ لیکن جب اککل مہارہ اککل مہارہ ایک خاص براہشنہ میں مہارہ ہوتی ہے ، لее لیکن نئے اس تاہب اککر مہارہ بہت ہواہری ، عمل جانیں کے بارے میں مہارہ مہارہ مہارہ اککل مہارہ ہوتی ہے۔ اککل مہارہ مہارہ اککل مہارہ can be determined from the 2 جانتی ہے جماعا疫ربہ جہلانیوں کو کی درجیعیس دہ گہتے ہیںrin تنادی Perhaps ببار مجبgrunts میں بی بھسن iyی بھی با Teaching دادہ كل وہی دہن کچھ دادہ بی بھسنclicklighح while جو تعمالہ جو تعمالہ نہیں ہے جو تعمالہ نہیں بہت سے سکتے ہیں اور fundamental just before now these maximum are represented by maximum one two three and five so in the function table the maximum one represented by 001 is 레�ف کر تے غلی مکشن ناraph the maxim 2었어요 آ کے buenasràش 010 is gehe ا کے غلی مکشن تے makes them 3 are presented by the خطر میختری طریقے 0 1 1 ہ clouds کیا ہے اور کامل کو ہی رہے ہیں لہذا ڈوک کردا ہے ڈوک کردی جو جو ڈوک کردے ڈوک ہے رہے ہی مقام نہیں ہی ہی wär مقام ہے ڈوک Ting معجمہ ڈوک��نگ جسمustہ ہے ڈوک ہے ڈوک ہی ہی ہی جواقعی ڈاکٹرین زیادہ ڈوک ہوتا ہے ڈوک کامل کو پر تی پیش 있고요like to week n if we have true table we can extract an expression an expression in the product of some form will be produced اگر آپ نے لکھنی ہے from the truth ٹیبل اگر ایکسٹریک کرنی ہے تو output column میں جتنے بھی once لکھیں جتنے بھی once ہیں وہ terms اگر آپ لکھنے ہیں of course mint terms لکھیں گے آپ کو some of product form کی expression مل جائی سیمرلی اگر آپ نے product of some form کی ایک expression لکھنی ہے extracting or determining from the truth ٹیبل سو کیا کریں گے output پہ جتنے zero's ہیں basically وہ جو zero's ہیں وہ جو zero's ہیں they represent the max terms so corresponding max terms اگر آپ لکھنے you have a standard product of some expression now earlier we said that one way of simplifying Boolean expressions is by looking at the expression then of course if you remember the rules and the laws and the theorems you just apply them sometimes it is difficult to perceive or to understand the expression so perhaps the simplified version is not the actual simplified version which you could get if you had applied the rules and the laws properly so there should be some systematic way of analyzing or simplifying the expressions so the systematic way which we use to simplify expressions is the Karnaugh map method or the K map method basically the Karnaugh map method can be used to simplify expressions of two variables which is very simple you can easily simplify expressions of two variables it is useful to apply Karnaugh map method to simplify expressions of three variables four variables and five variables تین چار اور پانچ ویریبل کی اگر اگر ایک اپرشن آپ خود سے کرنے جو نورمل طریقہ بھی ہم نے کیئے تو اسے تھوڑا سا غلطی کے چانس ہیں so Karnaugh map is the appropriate way now what is a Karnaugh map basically it is an array of cells so let's say تین ویریبل کی ایکشپرشن ہے آپ نے اس کو سیمپلفائے کرنے you would use a Karnaugh map of three variables three variable Karnaugh map would have eight cells okay so eight cells each of the eight cells would represent each of the eight min terms of the max terms ہم نے بات کی تھی تین ویریبل کی اگر function ہے تو اس کے اٹھ منٹمس ہو سکتے ہیں اٹھ ماکسٹمس ہو سکتے ہیں اسی طرح تین ویریبل کا جو کارناف مپ ہے اس کے اٹھ سیلز ہوں گے ہر سیلز جو ہے ایک منٹم کو یا ایک ماکسٹم کو رپزنٹ کر رہا ہے اس میں سیمریلی ای فور ویریبل کارناف مپ is going to be used to simplify a 4 ویریبل expression جو کارناف مپ ہے اس کے 16 سیلز ہیں and each of those 16 سیلز would be representing 16 منٹم and 16 ماکسٹم اسی طرح اگر آپ 5 ویریبل expression کو سول کرنا چاہ رہے ہیں you would use a 5 ویریبل کارناف مپ a 5 ویریبل کارناف مپ ہم دیکھیں گے بعد میں اس کو زرہ ڈروہ کرنا رپزنٹ کرنا تھوڑا سا مشکل ہو جاتا ہے اس میں so basically ہم اس کو دیکھیں گے اس کو ایک ایک 2 دیمینشنر آرے کے طور پر ہم دیکھیں گے so k map of 5 ویریبل would have 32 سیلز 5 ویریبل اگر آپ ایک expression ہو تو کتنے انپرٹس ہوں گے basically 5 ویریبل سہیں so 2 raise to power 5 32 انپرٹس ہو سکتے ہیں اس میں so k map کے 32 سیلز ہوں گے so to solve expressions of 3 4 and 5 ویریبل 3 ویریبل 4 ویریبل or 5 ویریبل کارناف مپ سارے جوست for higher ویریبل اگر آپ کی expression جو ہے جس میں 6 7 یا 8 ویریبل جانت تو پھر اوڑر کارناف مپ سے بھی solve کرنا زرہ مشکل ہو جاتا ہے تو پھر اگین ایک اور مطرد ہے جو وہ بھی ہم بات میں ستڑی کریں گے اس میں so inshallah next لیکچن میں ہم کارناف مپs والا جو مطرد ہے اس کو دیکھیں گے اس کو کیسے use کرتے ہیں اور کیسے expressions کو simplifier کرتے ہیں and you would realize that it is a very easy method in order to use the carnaf map method it is essential that you have expressions basically in the sum of product form or the POS product of some form جب آپ کے پاس جب آپ یہ سانی سے کرنا شروع کر دیں then you would realize کہ ضروری نہیں ہے کہ POS یا SOP form میں ہو جس طرح بھی expression ہے اب straight away carnaf مپ میں مپ کرنا شروع کر سکتے ہیں so let us stop for today inshallah we will meet again in the next lecture but before we leave let me remind you that we have today discussed different topics mint terms max terms standard forms of product of some expressions and some of product expressions یہ ساری چیزیں اپلائے کریں گے use کریں گے carnaf مپs میں so please revise till we meet again next time حدا ہفز اور اسلام علیکم