 اسلام علیکم آج لیکچر نمبر 41 شروع کرتے ہیں اور ختم بھی کرتے ہیں تو اس میں یہ ہے کہ اب آج تھوڑا سا میں نے جو کچھ لیکچر پہلے کہا تھا کہ کچھ ہیوٹی سٹف دیکھیں گے ہیویٹس کے بارے میں بات کریں گے تو ان کے بارے میں آج بات چید شروع کرتے ہیں اور وہ بیسکل کیا ہے وہ ایسی چیزیں ہیں جو آپ پہلے دیکھ چکے ہیں یقینن دیکھی ہوں گے آپ نے پشلی کلاسیز میں اپنی ماثیمیٹکز کی یہ چیزیں ہیں جناب سیکونسز اور سیریز اور اس کے بارے میں کچھ ہم بات چید کریں گے ہو سکتا ہے کچھ ٹوپکس ایسے ہوں سیکونسز کے بارے میں یا سیریز کے بارے میں جو ہم جس کے بارے میں بات چید کریں گے لیکن ہو سکتا ہے آپ نے نہ دیکھی ہوں پہلی تو اس حوالے سے ایک طرح کی نئی ایک ٹوپک آپ سیک لیں گے اس کے بارے میں جان پہچان کر لیں گے آپ اور ساتھی میں ہم یہ کریں گے کہ جی جو باتیں ہم نے کالکلس سے سی کی ہیں ابھی تک وہ ہم اپلائے کریں گے سیکونسز پے اور سیریز پے اور مخصد یہ ہوگا کہ جہاں پہلے ہم نے اور آپ نے بلکے بات چید کی ہوگی اس کے لئے پڑھا ہوگا آپ نے سیکونسز کو اور سیریز کو ایک الجبریگ point of view سے تو اب ہم اس کو دیکھیں گے کالکلس کے point of view سے فائدہ یہ ہوگا کہ جہاں پہ الجبریگ چیزیں کچھ دیفکل تھیں پہلے تو وہ اب کافی سیمپلیفائی ہو جنگی کیونکہ اب ہمارے پاس کالکلس کے ٹویلز ہوں گے ڈریویٹیوز ڈیگریلز جنگ کے ذریعے ہم کافی ڈیٹیل میں بات کر سکیں گے ان سیکونسز کے بارے میں اور سیریز کے بارے میں ان کی پروپٹیز کو ہم زیادہ گہری نظر سے دیکھ سکیں گے اور ساتھ ہی ساتھ یہ ہوگا کہ جو کچھ پیسک وہی جو idea پہلے آپ دیکھ چکے ہوں گے ڈیگریلز ان کو اب کالکلس کے point of view سے دیکھیں گے تو جہاں پہ کچھ نئی چیزیں بھی ہم دیکھیں گے from a ڈیگریلز point of view تو آئی آپ شروع کرتے ہیں آج کا لیکچر اور اس میں topic دیکھ لیتے ہیں آج کا کیا ہے اور اس کے اندکہ کیا topics آج ہم کور کریں گے تو آئی آپ ان کو لکھ لیتے ہیں جناب topic ہے آج کے لیکچر کا sequences and monotone sequences یہ monotone sequences کیا ہوتی ہیں جو سیکونس کا لبز ہے میرے خالصے یہ کچھ بیسے ہی انٹویٹیولی آپ سمجھ گئے ہوں گے کیا ہوتے ہیں لیکن اجندہ کے حوالے سے ہم اگر دیکھیں تو سب سے پہلے چیز جو ہوگی وہ definition of a sequence ہوگی جو یقینن ہم properly define کریں گے انٹویٹیولی تو ہم اندازہ ہے کہ sequence کیا ہوتی ہے لیکن mathematically ہم دیکھیں گے کہ sequence کیا چیز ہوتی ہے اس کے لیوہ ہم graphs دیکھیں گے سیکونس اس کے ان کے بارے میں تھوڑی سی بات چیٹ کریں گے اس کے بعد ہم دیکھیں گے limit of a sequence تو یہاں پہ وہی بات آتی ہے کہ میں نے جیسے کہا تھا کہ ہم ایک نیا topic ایک طرح سے پہلے آپ نے یہ نہیں دیکھا ہوگا جب sequence کی بات کی ہوگی کہ limit کیا چیز ہوتی ہے سیکونس کی یہ بھی ہم دیکھیں گے اس کے بعد ہم دیکھیں گے recursive sequence کیا چیز ہوتی ہے how do you define a sequence that is recursive اور recursive کیا ہوتا ہے اس کے بعد ہم پہلے تو define کریں گے کہ monotone sequences کیا ہوتی ہیں اچھا پھر جب ہم monotone sequences define کر لیں گے تو پھر ہم دیکھیں گے کہ ہم test کیسے کرتے ہیں کہ کسی sequence کو کہ وہ monotone ہے یا نہیں اس کو ہم کہیں گے testing for for monotonicity of the sequence اس کے بعد پھر ہم دیکھتے ہیں کہ eventually monotonic sequences کیا ہوتی ہیں اس کے بعد ہم دیکھیں گے of a monotonic sequence کیا idea ہے convergence کیا ہوتی ہے اور پھر تھوڑے سی اس کے بعد ہم intuitive level پر کچھ convergence کی بارے میں مزید بات چیت کر لیں گے تو یہ ہے جناب اچھ کا جنڈہ اور topic لیکچر کا تو اس میں اب ہم تھوڑا سا detail ہے لنبا سا لیکچر ہے تو اس کے بارے میں right away بات چیت چرو کر دیتے ہیں اور سب سے پہلے sequence کو define کرنے ہی کوش کرتے ہیں کہ mathematically sequence کیا ہوتی ہے تو سب سے پہلے کچھ اس کے بارے میں لکھتے ہیں اور ایک چیز لکھتے ہیں اس کے بارے میں پھر بات کرتے ہیں یہ جو maths میں جسے ہم sequence کہتے ہیں جس چیز کو وہ بیسکلی ایک اس کی ایک طرح کی intuitive definition وہ یہ ہے کہ a sequence in math is a succession of numbers تو مثال کے طور پہ یہ ہمارے سامنے سیکونس اس کو چھائے ہیں numbers لکھے میں تو اس میں یہ ہے کہ 2, 4, 6, 8 اگر میں لکھتا ہوں تو یہ ایک succession میں نمبرز اور succession کیا ہمتلاب اس succession سے مراد یہ کہ ایک طرح کی پیٹرن ہے کہ فکس پیٹرن ہے جس کے حوالے سے succession میں آ رہے ہیں یعنی 2, 4, 6, 8 جو میں لکھتا ہے یہ even numbers کی succession ہے اور اس میں نوٹ کریں کہ آخر میں 8 کے بعد میں نے کچھ dots ڈالے میں تو یہ تو ہم پہلے دیکھ چکیں کہ dots کا مطلب ہوتا ہے that this pattern goes on for infinity اس کے لعا جو numbers ہوتے ہیں سیکونس میں ہم کہتے ہیں کہ we call them terms of a sequence تو جیسے 2, 4, 6 وغرہ تھے یہ terms سے سیکونس کی اور ہر جو term ہوتی ایک sequence میں اس کا ایک positional نام ہوتا ہے اس کی position کے حوالے سے اس کو نام دیا جاتا ہے یعنی مثال کے طور پے یہاں پر 2, 4, 6, 8 اگر ہے تو 2 جہاں وہ first term ہے 4 جہاں وہ second term ہے 6 جہاں وہ third ہے اور similarly یہ pattern چلتا رہے گا اور in general اس کو ہم اس طرح بھی لکھ سکتے ہیں کہ یہ جو ہم نے کہا کہ 2 جہاں first term ہے وغرہ وغرہ تو اس کو ہم ایسے بھی کہہ سکتے ہیں کہ 2 جہاں وہ first term ہے تو اس کو ہم لکھ دیں گے notation کے طور پے کہ a1 تو a1 جہاں represents the first term a2 جہاں represents the second term کو اور in general اگر ہم کہاں کہ جہاں an جہاں وہ represent کرتا ہے nth term کو تو یہ چیزیں ہم پہلے دیکھ بھی چکے ہیں ان کے بارے میں تھوڑی سی بات چید integrals کی جب تھیوری ہم develop کر رہے سے تب کی تھی اور اب بھی دیکھ رہے ہیں اچھا جہاں تو یہ کچھ باتے تھیں زرہ دیٹیل میں جو elementری باتے تھیں جو ہم نے لکھ لیں دیکھ لیں دیٹیل میں کیا ہیں تو اس میں یہ کہ ابھی جو ہم نے کہا اور اس کے بعد ان کو ہم نام بھی دے سکتے ہیں تو اسی کو استعمال کرتے ہوئے ہم ایک compact form میں کسی sequence کو لکھ سکتے ہیں تو آپ نے نوٹ کیا گا کہ sequence جو ابھی تک ہم نے لکھا ہے ایک طرح سے کہ mathematics میں succession of numbers کو کہتے ہیں تو اس کے حوالے سے ظاہر ہوتا ہے جیسے even number کی ایک sequence لکھی ہم نے ابھی پھر ہم نے کہا کہ اس کے اند terms ہیں first, second, third ان کو نام دیے a1, a2, a3 ڈسٹرہ تو یہاں پہ یہ ہے کہ ڈسٹرہ ہم نے کہا اس کا بھی کوئی نام ہونا چاہیے اس کے لیے کوئی expression ہونی چاہیے تو ڈسٹرہ ہم عربیٹری طور پہ لکھ سکتے ہیں a n اگر میں a n لکھتا ہوں تو مطلب یہ کہ وہ طرح جو ڈسٹرہ پوزیشن میں لیکن اگر مجھے sequence کا pattern پتا ہے جیسے یہاں پر مثال کے طور پر ہم نے دیکھا کہ even number pattern even number وہ pattern ہے sequence کا تو اس میں nth term کو لکھا جا سکتا ہے اس کے لئے ایک expression لکھی جا سکتی ہے اور یہاں پر وہ expression ہوگی 2 times n where n is any natural number و ظاہر اسی بات ہے کہ even number لکھنے تو 2 سے میں ہر natural number کو اگر ملٹری پلائے کر دوں تو I get a sequence of even numbers تو اب یہ جو 2n میں نے formala ایک expression لکھی formala تو نہیں کہنا چاہیے expression کہنا چاہیے for the nth term in the sequence of even numbers اس کو استعمال کرتے ہوئے میں ایک compact form میں لکھ سکتا ہوں اپنی ساری sequence کو جو even numbers کی sequence ہے تو وہ ہم کیسے لکھیں گے اس کو لکھلتے ہیں اور دیکھلتے ہیں کہ یہ جو 2,4,6,8 اور all the way to infinity کی sequence ہے اب ظاہر ہے infinity تک تو میں سارے numbers نہیں لکھ سکتا کبھی بھی چاہے قائنات ختم ہو جائے لیکن یہ ہے کہ mathematically میں اس کو compact form میں چھوٹی سے طور پر لکھ سکتا ہوں چھوٹی سے compact form میں اور وہ ہے جناب ایک formula کی سورت میں اور وہ formula ہے 2n surrounded by curly brackets اور اس کے ساتھ ہم نے limits لکھے میں n equals 1 to positive infinity تو یہ ایک notation ہے بیسیکلی ایک formula تو ہے ہی لیکن ساتھ میں اس میں نئی notation بھی ہے کہ nth term کو لکھے آپ نے اس کے اوپر parameters دے دییں کہ n وہ کہاں سے کہاں تک ویری کر سکتا ہے تو 2n مجھے پتا ہے nth term ہے تو ایک طرح جنرل term بتا رہا ہوں میں کہ اس سیکونس کی جنرل term کیا ہوگی اور اس پر اگر میں limits لگا دوں تو میں ساری سیکونس کو جنرلیٹ کر سکتا ہوں یا ایک concept develop کر سکتا ہوں کہ اس سیکونس کہاں سے لے کے کہاں تک جائے گی اس سال کے طور پر یہاں پر یہاں ایک even numbers تھے تو n equals 1 to positive infinity کا مطلب ہے کہ یہ سارے یہ جنا پہلی example ہے list the first five terms of the sequence 2 to the power n where n equals 1 to plus infinity اس کا مخصص سلوشن یہ ہے کہ جنا basically substitute کر دیجے n equals 1 سے لے کے 5 تک سال کے طور پر a problem یہ ہے کہ n جو ہے وہ 1 سے infinity تک جاتا ہے لہذا ہم infinity تک سارے numbers پلاگن نہیں کر سکتے ہیں لیکن کچھ چندے کر لیتے ہیں اور یہاں اسے لے کہ 5 تک اگر کرتے ہیں تو اس فورملے میں پلاگن کرتے ہیں 2 to the n میں تو result آتا ہے 2 to the power 1 comma 2 to the power 2 all the way to 2 to the power 5 اور of course this continues اور equiblantly ہم اس کو اگر simplify کریں تو result آتا ہے sequence جو ہوگی explicitly وہ ہوگی 2, 4, 8, 16, 32 تو مطلب یہ ہے کہنے کا کہ جو sequence ابھی ہم نے دیکھی یہ power of 2 کی sequence تھی اس کا pattern جو تھا power of 2 ہم لے رہے تھے اور ان کو ہم نے sequence کی form میں expanded form میں بھی لگ دیا اور ساتھ میں یہ بھی کہا کہ جی ہم اس کو compact form میں بھی لگ سکتے ہیں فورملے کے طور پہ جس میں 2 to the power n فورمیلہ تھا آپ کا اور parameters دیئے وہ تھے n equals 1 to positive infinity اچھا اب اگر یہ تو ہم نے SPECIFIC sequence دیکھ لیں اب اگر ہم کوئی general sequence دیکنا چاہتے ہیں یعنی مثال کے طور پہ میں نے جیسے کہا کہ a1 جو ہوگا وہ پہلی term ہوگی a2 اور a n nth term ہوگی تو بجائے اس کے کہ میں کوئی SPECIFI کروں اس sequence کی لے FORMULAR میں a n کی term میں ایک FORMULAR لکھ سکتا ہوں اور وہ آپ کے سامنے دیکھ لیجے کہ اگر میرے پاس کوئی sequence لکھی بھی ہے a1,a2,a3, all the way to some number یا infinitely many terms in here تو اس کو میں لکھ سکتا ہوں ایک کامپیکٹ فرم میں as a n Curly brackets n equals 1,2 plus infinity meaning کہ a n زائنگے بہت سارے one سے لیکن infinity تک اس کی n کی value ہوگی اس میں ٹیک ہے جی یہ تھوڑی سی کچھ بات چیت ہو گئی اب اس میں اب ایسا کرتے ہیں کہ یہ تو ہم نے تھوڑا سا ایک intuitives idea develop کیا کہ mathematics میں sequence کیا چیز ہوتی ہے یعنی عام لائف میں تو sequence ہم کچھ بھی ہو سکتے ہیں کہ جی anything is a sequence یہاں پہ ہم کہہ سکتے ہیں ہمارے mathematics میں just numbers کی ہم کہتے ہیں sequence ہوگی تو یہاں پہ چونکہ اب ہم نے جس طرح سے intuitively define کیا in sequences ابھی تھوڑی در پہلے اس سے ایک definition زہن میں آتی ہے جو اگر ہم لکھیں اور دیکھ لیں پہلے تو ہم سمجھ آ جائے گی کہ یہ کہاں سے آئیے definition یہ وہاں سے آئیے جیسے جس کی ان چیزوں کے ذریعی آئیے جو ابھی ہم نے تھوڑی در پہلے definition ہے جناب جو formal definition ہے اس کی اپنے sequence کی وہاں ہے جی a sequence or infinite sequence اگر sequence infinite ہے تو اس کو infinite sequence کیاں گی is a function whose domain is the set of positive integers that is a n n equals 1 to infinity which is an alternative notation for the function f of n equals a n equals 2 3 and so forth تو یہ آپ کی formal definition ہے mathematical definition sequence کی اور کوئی surprising بات نہیں ہے کہ اس کو ہم نے ایک function کی طور پر define کیاں اور بڑی natural سی بات ہے کہ ہم نے جیسے دیکھا کہ sequences میں subscript جو تھا that was what was telling you something about the sequence along with the pattern of course ایک pattern بھی involved ہے اس میں تو یہاں پر وہاں بات ہے کہ جو domain اس کی sequence کی تو جو ابھی ہم نے نوٹیشن لکھی تھی a n n equals 1 to positive infinity اس کو function نوٹیشن میں ہم لکھیں گے f of n equals a n where n equals 1, 2, 3 and so forth تو بیسکلی a n جو ہے وہ آپ کو وہ جو nth term ہے آپ کی sequence کی وہ آپ کو function define کر رہی ہے وہ اس کا formula جو ہے وہ آپ کی sequence کی define کر رہے اور n کیا پر جو parameters ہیں وہ بیسکلی آپ کی domain بنا رہی ہے اس function کی 1, 2, 3, 4 all the way to infinity possibly اگر infinite sequence ہے then تو اب اس کے اندر ہم نے definition تو دیکھ لی تو example کے طور پر آپ وہی reference دیتے ہیں کہ جو even numbers ہم نے ابھی دیکھتے تو even numbers کی جو sequence کی infinitely many even numbers جو ہم نے list کیا تھے اس کی sequence بنای تھی تو اس کا nth term جو تھی وہ تھی to n اور ہم نے کہا تھا کہ یہ جو nth term ہے اس سے ہم اس کا مطلب جو for expression تھی اس سے ہم نے derive کیے تھے پھر terms of the sequence n کی value اس کے اندر ہم نے ڈالی تھی اور ہم اپس terms آگئیں تھی sequence کی تو وہی بات ہے کہ جو 2n ہے even number کی sequence میں جو ہم نے 2n nth term لی تھی اس کو میں function کے طور پر بھی define کر سکتا ہوں as f of n equals 2n ٹھیک ہے جی domain ہوگی natural numbers اور جو اس کی وہ ہے output وہ تو خیر جو بھی ہوگی in this case it's the set of even integers تو یہ آپ کے پاس ایک طرح سے sequence کو function form میں میں لکھے بتا دیئے تو یہ definition ہم استعمال کریں گے for sequences اچھا اب ہم نے چونکے sequence کو ایک function کے طور پر define کیا ہے تو function کے ساتھ ایک natural idea جو develop ہوتا ہے جناب ایک graph کا ظاہر ہے ابھی تک جو ہم نے functions دیکھے بہت بڑا major topic تھا شروع میں اس course کے کہ ہر function کے ساتھ ہم نے کچھ graphs اس کے دیکھتے analytic trigonometry geometry right تو لہذا بگ a sequence کو function کے طور پر define کیا ہے تو اس کا بھی a graph ہونا چاہیے تو graphs کے بارے میں بات کرتے ہیں sequences کے تو right away ایک examples سے شروع کرتے ہیں اور اس کے بارے میں کچھ لکھ لیتے ہیں ایک ایک sequence notation میں لکھتا ہوں compact form جو ہم نے بنائی تھی bracket notation curly bracket notation اس میں دیکھیں کہ یہ ہے one over n where n equals one two positive infinity تو اس کا جو graph ہے وہ کیا ہوگا تو graph بنانے کے لیے سب سے پہلے کرتے ہیں کہ one over n کو جو میں نے sequence کو bracket کی form میں لکھا ہے اس کو function کی form میں لکھیں تو function کی form میں یہ بن جائے گا y equals one two three and so forth to infinity تو یہ آپ کا جو sequence ہے آپ کی وہ function form میں لکھ دیے اب اس function کو graph کرنا بڑا سان ہے اس کو بلکہ چونکہ point اس کی جو domain domain کے point جن کو ہم horizontal line پر mark off کریں گے وہ integers ہیں تو ایسا کرتے ہیں کہ graph بنالتے ہیں اس کا figure ہے آپ کے سامنے اس میں y equals one over n for integers n equals one over graph بناو ہے اور چونکہ n integers ہے تو ہمارے پاس ایک bunch of points آجائے گا اگر x n اور y کی correspondence میں ہم ایک جیسے پہلے ہم x y plane بناتے تھے اب ہم y n plane بناتے تو اس میں دیکھئے کہ corresponding to each n there is some value of y تو یہ discrete points ان کے اندر کوئی continuity نہیں ہیں لیکن اگر compared کرنا چاہیں تو یہ دیکھلیجے کہ y equals one over x جو ہے اس کا گراف دیا ہے جہاں پہ x جو ہے وہ ایک real number ہے greater than equal to one real number سے مرات یہ کہ اس میں ساری continuity آجاتی ہے real numbers کی اور ہمارے پاس ایک پوری continuous لائن ہم دعو کر سکتے ہیں جو کے پچھلے سیکوانس کے function میں نہیں کر سکتے تھے تو یہ ہمارا ہو گیا concept of graphs of sequences کافی سیمپلسا اب ہم ایسا کرتے ہیں کہ next جو concept سیکوانس اس کا وہ ہے ایک limit limit of a sequence تو اس کے بارے میں بات کرتے ہیں تو limit کیا ہوتا ہے سیکوانس کا intuitively کلیرسی بات ہے کہ جیسے function کا limit ہوتا تھا اسی طرح سیکوانس کا limit ہوگا اور کیوں ہمارے لیے اسان ہوگا limit of a sequence کیا بات کرنے کیوں ہوگی اس لیے ہوگی ہمارے لیے سیکوانس کو ایک function کے طور پر ڈیفائن کیا جس کی domain integers ہوتی ہے تو ایک دو تصیرے بنائے دیکھتے ہیں کہ limit کا مخصت کیا ہوتا ہے آئے کچھ فگرز دیکھتے ہیں یہ آپ کے سامنے کچھ گرافز بنے اور اس میں دیکھیں کہ جو سیکوانس اس ہیں ان کے گرافز ہیں یعنی جس کی ابھی ہم نے بات کی تھی کہ گراف of a sequence سیکوانس لکھی وی ہے اور اس کا جو چار گرافز سے ان میں سے جو پہلا والا اس کی جو dots بنائے ہم نے گراف of n plus 1 سیکوانس n plus 1 وہ بیسکل ایک ایسا گراف ہے جو unbounded انکریز کرتا ہے without any bound یعنی ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا ڈیفائن کیا لیمٹ کی کچھ ہم نے تھوڑی سی بات کی. تو اب لیمٹ میں پہلے بھی جیسا ہم نے بات کی تھی لیمٹ کی تو یہاں پہ بھی ایک idea ہونا چاہیئے کہ یہ جو گرافس ہم نے بناے اس میں ظاہر ہو رہا ہے کہ لیمٹ ایک ایسی value ہوتی جس پہ سیکونس اوانچلی کنورچ کرتی ہے. جیسے میں نے کہا کہ لیمٹنگ value ہے 1 کی تو سیکونس جہاں یعنی گراف کے طور پر اگر ہم دیکھیں تو ہم کہہ رہے ہیں جو سیکونس کی سیکونس کے ساتھ وہ سیکونس کی جو y values ہیں وہ کنورچ کر رہے ہیں to a certain point. جیسے پہلے بھی ہم نے دیکھا تھا continuous function میں اگر ہم سیکونس کی بات کر رہے ہیں تو y values are defined in terms of the sequence so we can say that the sequence is converging to a limit and we can call that limit l if that limit exists اور اگر limit l exists نہیں کرتا تو ہم کہتے ہیں کہ سیکونس جہاں وہ diverge کر رہی ہے. یعنی لیمٹ نہیں exist کرنے سے مطلب یہ ہے کہ کوئی finite number نہیں ہے جس پہ آپ کی سیکونس جہاں وہ کنورچ کر رہے ہیں تو ہم کہتے ہیں سیکونس diverge کر رہی ہے. اچھا اب ہم definition لکھ لیتے ہیں ان بات یہ سب باتوں کو مدرز رکھتے ہوئے ایک limit کی of a sequence کی تو اس کو دیکھ لیتے ہیں کیا ہے definition ہے جی کہ a sequence a n is set to converge to the limit l if given any epsilon greater than zero there is a positive integer n such that absolute value of a n minus l is less than epsilon for every for n greater than equal to n in this case we write limit as n goes to positive infinity a n equals l and a sequence that does not converge of course to some finite limit is said to diverge تو کہنے کا مقصد وہ ہے کہ یہاں پر اچھا یہ بھی نوٹ کریں کہ یہاں پر ہم نے limit میں n goes to infinity لکھ ہے کیونکہ ظاہر ہے ڈomain ہماری integers کیے تو لہذا integers ہمیشہ positive integers کیے تو it has to go to positive infinity اور کوئی value شہد نہ ہو اس کی لیکن یہ کہ جب ایسا ہوتا ہے تو وہی definition ہے کہ آپ eventually آپ کی جو سیکونس ہے وہ ایک کسی given neighborhood میں ایک نمبر کے آسپاس آ جاتی ہے تو وہ concept بیسکل ہے اس لیمٹ کا سیکونس کا تو کچھ ازامپل کرتے ہیں اس سے مزید کلیر ہو جائے گا کہ ہم کیا باچیت کر رہے ہیں تو جنا اب یہ اگزامپل آپ کے سامنے ہے کہ لیمٹ as n goes to plus infinity of n over n plus 1 is equal to 1 یہ ہم نے اس کا بیسکل گراف بھی دیکھتا بھی تھوڑی دیر پہلے تو اس سے بھی ظاہر ہو رہا تھا کہ 1 کی برابر ہے اور جہ دوسری تھی ایک اور جو تھی جو کنورچ کر رہی تھی سیکونس وہ ہے n goes to positive infinity of 1 plus minus 1 half to the power n equals 1 تو یہ جناب ایک اگزامپل ہو گئی یہاں پر ایک فگر میں بناتا ہوں جس سے شہر تھوڑا اور کلیر ہو جائے کہ لیمٹ of a sequence کیا ہوتا ہے مطلب میں پتا تو ہے کہ جیسے فنکشن کا لیمٹ ہے اسی طرح یہ ایک لیمٹ ہے سیکونس کا بھی فرق صرف اتنا ہے کہ فنکشن زمارے کنٹنیوز فنکشن سے سیکونس سے جہاں وہ تسکریٹ ویلیوز لیتی ہیں انٹیجر ویلیوز پوزیٹر انٹیجر ویلیوز تو آئی اس تصویر کو دیکھ لیتے ہیں دیکھئے کہ اس میں جو دیفنیشن ہے اس کے ساب سے یہ تصویر ہے کورسپورن کرتی ہے کہ کوئی ایسا نیبر ہوڑ آپ کے پاس ایل اگر ایک نمبر ہے اس کے آس پات کوئی نیبر ہوڑ بناتے ہیں آپ for any epsilon bigger than zero تو مقصد یہ ہے کہ ایوانچلی آپ کی سیکونس اس نیبر ہوڑ میں لایک کرنی چاہیے اور اگر کرے گی تو ہم کہیں گے ال is the limit of this سیکونس چیکے جی تو یہ بھی بات ہو گئی تھوڑا سا ہوفلکلیر ہو گیا ہوگا اب کچھ بیسک تھیورمز ہیں لیمٹs کے بارے میں سیکونس کے جو لکھ لیتے ہیں اور پھر ہم اس کے بارے میں دیکھیں گے کیا بات چیت کر سکتے ہیں تو آئی دیکھتے ہیں یہ تھیورمز آپ کے سامنے جناب کے آپ کے پاس سیکونس اس ہیں اور دونوں کنورچ کرتی ہیں to limits l1 and l2 respectively اور c جو ہے کنسٹنٹ ہے تو یہ following جو 5 6 چیزیں ہیں یہ true ہیں they are facts اور ایسا کرتے ہیں کہ یہ میں آپ کے سامنے تھوڑی در ہم لکھا رہنے دیتے ہیں آپ خود دیکھ لیجے simple facts ہیں جو functions کے لیمٹ میں بھی استعمال ہوئے تھے اور یہاں پہ بھی ہو رہے اچھا جی تو یہ ہم نے دیکھ لیے کچھ بیسک facts ٹیک ہے جی تھیورم کی فورم میں اب ایک اجامپل اور کر لیتے ہیں جہاں پہ اجامپل سپلائے کر لیتے ہیں تو آئی اجامپل کرتے ہیں اجامپل ہے جی determine if the sequence converges or diverges if it converges find the limit تو یہ سیکونس آپ کے سامنے ہے کہ جی n over 2n plus 1 where n equals 1 to positive infinity تو اس کا ہم پہلے دیکھنا چاہے کہ کنورچ کرتی ہے اور ہے تو اس کا limit کیا ہے اگر اس پت بیسک algebra کریں تھوڑا سا جیسا ہم نے functions میں بھی کیا تھا تو جو limit ہوگا وہ calculations آپ کے سامنے ہیں کہ n over 2n plus 1 کو میں لکھ سکتا ہوں as 1 over 2 plus 1 over n if I divide the numerator and the denominator by n and then if I distribute the limit over the fraction I get limit of 1 and limit of 2 plus 1 2 plus 1 over n which is equal to just 1 over 2 plus 0 which is equal to 1 half تو یہ آپ کی ایک سیکونسی جو کنورچ کرتی ہے اور اس کا limit ہے 1 half تو یہ کنٹسپٹ ہے بیسکلی ایک سیکونس کے limit کا اچھا جی تو یہ اب ایک اور چیز جو سیکونس اس کے بارے میں ہے وہ یہ ہے کہ ہم نے کہا تھا ریکرسیف سیکونس اس کیا چیز ہوتی ہے تو ریکرسیف سیکونس اس ایسی سیکونس اس ہوتی ہے جن میں آپ پہلی یا دوسری یا کچھ چند ایک شروع کی terms کو دفعین کرتے تھیں اور اس کے بعد ہر جو follow in term ہوتی ہے سپسیکونٹرم ہوتی ہے وہ دفعند ہوتی ہے in terms of those initial terms تو ایک طرح کر ریکرسیف سے یہ نہیں ایک action اس طرح کا ہاتو کا کریں تو کلیر ہو جائے گا کہ ریکرسیف کوئی ایسا action ہوتے ہے جس میں پہلے جو چیزیں دفعند ہے ان کی terms میں باکی چیزیں دفعند کی جاتی ہیں تو اس کی ڈیمپل دیکھ لیتے ہیں جناب ڈیمپل ہے کہ let a n be the sequence defined by a 1 the first term جو اس کی ہے اس کو ہم دفعند کرتے ہیں 1 and then a recursion formula which is a n plus 1 equals 1 half multiplied by the quantity a n plus 3 divided by a n تو مقصد یہ ہے کہ اس جو formula لکھا ہم نے sequence کا اس میں ہم نے left hand side پہ جو values ہیں وہ n plus 1 کیلے define کیا ہے یعنی یاد رکھیں کہ input جو domain ہوتی ہے sequence کی وہ سارے positive integers ہوتے ہیں تو one سے start کرتے ہیں right لیکن اگر ہم یہاں پر a n plus 1 لکھ رہے ہیں تو n کی value 0 ہوگی تب اور صرف جب آپ کے پاس a1 آئے گا left hand side پر لیکن چون کے domain کا حصہ نہیں ہے n equals 0 لہذا ہمیں ایک force fully definition دینے پڑتی ہے کہ جو first term ہے وہ one ہے باکی جتنے بھی sequence جو terms ہیں sequence میں وہ ایک formula سے define ہے starting at a2 تو اب دیکھیں کہ formula تو ہم نے define کر دیے اس میں اگر کچھ values ڈالیں گے تو next terms کی value کیا ہوگی a1 تو ہمیں پتا ہے کہ one کی برابر ہے یہ continue کرتے ہیں اس میں دیکھیں کہ یہ define ہے اچھا یہاں پی a define بھی ہے for n greater than equal to 1 of course has to be it's a sequence the values of a2 a3 a4 and so forth can be obtained by successively substituting n equals 1 2 3 and so forth in the formula for the sequence and we get a2 equals 1 half times the quantity a1 plus 3 divided by a1 اور اب آپ کو ظاہر ہو گیا ہوگا کہ یہ جو پہلی definition دینی تھی a1 کی وہ کیوں ضروری تھی کیوں کہ اس کے بغیر کچھ چارہ نہیں تھا تو a1 ہمیں پتا ہے one ہے لہذا جواب آتا ہے 2 a3 جو ہے a2 جو ہے وہ 2 کی برابر ہے a3 جو ہے اب ہمارے پس چونکہ a2 آگیا تو formula میں اب a3 کے ہمارے پاس آئے گا 1 half times a2 plus 3 over a2 equals 7 fourths اور پھر یہی pattern چلتا رہے گا اور ہم دیکھیں گے کہ ہم اپس ساری values آسکتی ہیں تو یہ جناب ایک recursive sequence ہو گئی جس میں ایک initial term ڈیفائنڈ ہے اور باقی جو terms ہے ان کو ایک formula کے طور پر ڈیفائن کر دیتے ہیں in terms of the initial preceding terms اور those preceding terms میں یہ ہے کہ پہلی condition جو ہے وہ ہمیں پتا ہونی چاہیے اچھا جی تو اب ہم آگے چلتے ہیں اور اب بات کرتے ہیں monotone sequences کی تو یہ کیا ہوتی ہیں تو اس میں یہ کہ right from the start ایسا کرتے ہیں یہ کچھ terminology create کرتے ہیں اور اس کے ذریعے ہم monotone sequences کی بات کر سکیں گے اور وہ terminology basically ڈیفائنڈ کی form میں ہم لکھ لیتے ہیں تو آئیے دیکھتے ہیں کیا ہے وہ definition تو یہ جناب definition ہے آپ کے سامنے a sequence an bracket notation میں is called increasing if a1 is less than a2 a2 is less than a3 is less than a4 and so forth to an which is less than all the terms proceeding from it it's called non decreasing if a1 is less than equal to a2 is less than equal to a3 and so forth all the way to less than equal to an which is less than equal to all the terms following it it's called decreasing if a1 is greater than a2 is greater than a3 and so forth if a1 is greater than a2 is greater than a3 and so forth non increasing if a1 is greater than equal to a2 is greater than equal to a3 and so forth اچھا جی تو یہاں پہ اب یہ تو کچھ definition ہو گئی terminology ہو گئی sequences کے لیے اب یہ سوال کے monotone sequence کیا چیز ہوتی ہے وہ ہمیں define کرنے تو اس کا جواب یہ ہے کہ a sequence that is either non decreasing or non increasing is called a monotonic sequence یہ کہہ سکتے ہیں کہ it's called monotone ایک دفعہ پھر سکتے ہیں کہ sequence that is either non decreasing or non increasing is called a monotone sequence اور ساتھ میں یہ بہے کہ کوئی ایسی sequence جو انکریزیں ہو یا دیکریزیں ہو تو اس کم کہتے ہیں strictly monotone ان کو لکھ لیتے ہیں دیفنیشن کو آپ کے سامنے دیکھ لی جی کہ a sequence that is either non decreasing or non increasing is called monotone and a sequence that is increasing or decreasing is called strictly monotone نوٹ کیجئے کہ a strictly monotone sequence is monotone but not the other way around تو یہ جناب آپ کی دفعیشن ہو گئی تھوڑی سی ٹیکنیکل ہے تھوڑا ٹائم لے گئے اس کو سیتنا یاد کرنے میں لیکن اتنی دیفکلٹ نہیں ہے سیمپل سے facts ہیں کہ definition increasing, decreasing, non increasing, non decreasing کیاگر ہے آپ کے پاس تو monotone اور strictly monotone sequences کو ہم define کر سکتے ہیں تو یہ ایک ایک ایک سیمپل کر لیتے ہیں یہ جناب ایک سیمپل ہے کچھ سیکونٹ سے لکھی می ہے اور اس میں دیکھنا ہے کہ کون سی سیکونٹ ہے monotone اور نہیں ہے تو پہلی جو ہے وہ ہے one-half comma two-thirds three-fourths all the way to the general term n over n plus one تو اس کو نوٹ کیجئے کہ this satisfies the criterion of being an increasing sequence number two جو ہے وہ ہے one one-half one-third or general term have one over n تو یہ satisfy کرتی ہے decreasing sequence سے criterion کو اس کے بعد ہے one one two two three three and so forth تو یہ a non decreasing term سیکونٹ ہو گئی اور اس کے بعد one one one-half one-half one-third one-third جو ہے وہ ایک non increasing sequence ہو گئی اب اس میں چارو جو ہے وہ monotone ہے اور ساتھ میں جو پہلی اور دوسری sequence ہے وہ strictly monotone ہے لیکن ایک sequence جو یہ ہے آپ کے سامنے one comma minus one-half comma one over three all the way to the general term minus one to the power n plus one times one over n یہ جو ہے یہ monotone نہیں ہے اس کو آپ چیک کر سکتے ہیں کہ خریٹیریہ میٹ کر رہی ہے کہ نہیں کر رہی ہے for being monotone or not اچھا جی اب سوال یہ ہے کہ اس اجامبل میں ہم نے دیکھا کہ یہ ایک sequence جو بہت ساری تھی جو تھی monotone اور ایک تھی جو نہیں تھی تو how do you test for monotonicity of a sequence تو یہ ایک بڑا topic ہے اس کو آپ دسکس کر لیتے ہیں کچھ facts and which we directly لکھ لیتے ہیں اور وہ آپ کو بتائیں گے کہ sequence کیسے determine کرتے ہیں کوئی sequence monotone ہے یا نہیں ہے تو لکھ لیتے ہیں آپ کے سامنے ہے tables کہ جی difference between successive terms اگر آپ دیکھیں تو اس کے ذریعے کلاسیفکیشن کی جا سکتی ہے کہ اگر n plus first term اور an کا difference لیں اور وہ اگر zero سے بڑا ہے تو آپ کی sequence جا وہ increase ہیں اگر n plus first اور nth term کا difference less than zero ہے تو decreasing ہے اگر greater than equal to zero ہے تو nondecreasing ہو گیا اور اگر less than equal to zero ہے تو nondecreasing ہو گیا یہ کلاسیفکیشن ہو گئے اس کے لیوہا کچھ اور کلاسیفکیشن بھی ہیں جو monotone sequence کو determine کرنے میں help کرتے ہیں کرتے ہیں ان کو بھی دیکھ لیتے ہیں یہ آپ کے سامنے آرین تیبل کی form میں یہ جناب ہے test جس کو ہم ratio of successive terms کہتے ہیں اس کے ذریعے بھی کلاسیفائی کیا جا سکتا ہے کہ کوئی sequence increase ای decreasing ہے یا نہیں ہیں اور اس کے ذریعے پھر ہم determine کر سکتے ہیں کہ monotone yet strictly monotone ہے کہ نہیں ہے تو یہ ہے جناب کہ اگر آپ n plus first term اور nth term کا ratio لیتے ہیں اور وہ one سے بڑا ہے تو آپ کے پاس result آتا ہے کہ آپ کی sequence increasing ہے اور less than one ہو تو decreasing ہے grr than equal to one ہے تو non decreasing ہو گئی less than equal to one ہے تو non increasing ہو گئی یہ آپ کا ratio والا classification ہو گئی increasing اور decreasing sequences کی اور اس کے ذریعے ہم determine کر سکتے ہیں کہ sequence monotone ہے کہ نہیں ہیں اور کونسی strictly ہے کونسی نہیں ہیں ایک اور ہے classification scheme وہ بھی آپ کے سامنے لکھ دیتے ہیں یہ scheme جناب involve کرتی ہے derivatives کو تو اس میں یہ ہے کہ آپ سب سے پہلے تو اپنا your sequence ہے اس کو ایک function کے طور پر treat کریں اور اس کو ایک function کے طور پر لکھ لیں in terms of x جیسے اس کی example ابھی کر لیں گے پہلے اس کی classification لکھ لیتے ہیں اس میں ہے کہ جی اگر f prime of x 0 سے بڑا ہے تو آپ کی sequence جو ہے وہ f of n وہ increasing ہے اگر less than 0 ہے تو decreasing ہے grid than equal to 0 ہے تو non decreasing ہو گئی اور آخر میں اگر less than equal to 0 ہے تو non increasing ہو جائی گئی تو یہ تو classification ہو گئی ان سب کی ایک ایک example کر لیتے ہیں تاکہ سمجھا جائے کہ یہ کیا سارہ سلسل ہے تو پہلی example دیکھتے ہیں جناب کے first example ہے کہ show that the sequence one-half, two-thirds, three-fourths all the way to n over n plus one is an increasing sequence تو یہاں پہ دیکھیں کہ کچھ بیسی کلیر ہے کہ ظاہر ایک increasing ہے intuitively it's clear لیکن اگر proof کرنا چاہتے ہیں تو اس میں general term ہے a and equals n over n plus one n plus first term کیسے معلوم کریں گے یہ بڑا سیمپلسی بات ہے کہ nth term کے اندر n کی جگہ n plus one ڈالنے تو next term آجائے گی تو یہ result آتا ہے a n plus one is equal to n plus one divided by n plus two اور اب n اگر one سے بڑا یا بڑابر ہے تو دیکھیں کہ ان دونوں terms کی difference جو ہوگا وہ ہوگا یہ سامنے آپ کی calculations ہے اور اس کا result آتا ہے one divided by n plus one times n plus two اور چونکہ n one سے بڑا یا اس کے بڑابر ہے تو یہ جو term آئی یہ difference کی یہ بھی zero سے بڑی ہوگی definitely تو اس سے prove ہوتا ہے کہ this sequence increasing ہے اور چونکہ increasing ہے تو it's also strictly monotone تو یہ ایک example ہو گئے آپ کی جس میں classification آپ نے کرلی اور پھر determined کیا کہ یہ کس طائف کی monotone sequence ہے آپ ایک اور example کرتے ہیں جس میں ریشو تیس استعمال کرتے ہیں تو یہ جناب example ہے کہ show that the sequence جو ابھی ہم نے دیکھی already وہ increasing ہے لیکن اس میں ریشو کے ذریعے معلوم کریں تو دیکھیں کہ اگر n plus first term اور nth term کا ریشو لیتے تو result آتا ہے intermediate calculations آپ کے سامنے ہیں n square plus 2n plus 1 divided by n square plus 2n اب دیکھیں کہ چونکہ numerator اس میں بڑا ہے denominator سے ظاہر اسی بات ہے کہ denominator میں one add کیا تو numerator آگئے تو simple سی بات ہے کہ ریشو جہاں one سے بڑی ہوگی کیونکہ جب بھی کوئی fraction ہو اور اس میں numerator بڑا ہو تو ہمیشہاں one سے بڑا جواب آتا ہے لہذا یہاں یہاں پر ریشو جہاں وہ greater than one آگئے for n greater than equal to one اور یہاں سے پروف ہوتا ہے کہ again this sequence is increasing تو اس میں بھی ہم نے show کر دیا کہ یہ تست بھی ہمیں صحیح جواب دیتا ہے increasing and decreasing terms کا ایک اور تست دیکھ لیتے ہیں یہ جو third والا ہے بلکہ ایسا کرتے ہیں کہ جو third test تھا derivative test آپ کو اندازہ ہوگی ہوگا کہ I'm going to leave that as an exercise اور آپ try کر لیجے اسی سیکونس کو try کریں and show that using the derivative test کہ یہ increasing ہے strictly monotone ہے اب ہم آگے چل کے آگے باچیت کرتے ہیں جو باقی topics ہیں ان کی اچھا جی اگلہ topic ہے eventually monotonic sequences کا تو یہ کونسی سیکونس ہوتی ہیں ان کے بارے میں کیا کہ سکتے ہیں تو اس کے بارے میں جو definition پہلے لکھ لیتے ہیں definition کیا ہے تو یہ دیکھتے ہیں یہ ہے جناب کے a sequence a n is eventually monotone if there is some integer capital N such that the sequence is monotone for all domain values n small n greater than equal to capital N. تو یہ اس کی definition ہے again it's a little bit dry لیکن یہ کہ اگر example کرتے ہیں تو I think clear ہو جائے گا کہ ہم کہنا کیا چاہر ہیں تو example کر لیتے ہیں آئی دیکھتے ہیں example ہے جی کہ show that the sequence 10 to the power n divided by n factorial for n goes from 1 to positive infinity is eventually decreasing تو اس میں یاد رکھیں n factorial جو ہوتا ہے it's just the product of all the numbers starting from n all the way to 1 یعنی 3 factorial ہوگا 3 times 2 times 1 4 factorial ہوگا 4 times 3 times 2 times 1 or in general n factorial ہوگا n times n minus 1 n minus 2 all the way to 1 Keeping this in mind اب ہم سب سولف کرتے ہیں اپنے problem کو اس میں یہ ہے کہ جی ان جو ہے nth term وہ تو ہو گئی 10 to the power n divided by n factorial اور جو n plus first term ہے وہ ہو گئی 10 to the power n plus 1 divided by n plus 1 factorial اگر میں رشو لیتا ہوں ان دونوں terms کی تو یہ کالکلیشنز آپ کے سامنے ہیں اس میں کالکلیشنز کریں تو result آتا ہے final result is 10 divided by n plus 1 اب اس میں نوٹ کریں کہ این رشو ہے n plus first term کی اور nth term کی یہ 1 سے چھوٹی ہوگی for all numbers n greater than equal to 10 so basically we can say that the sequence is eventually decreasing اچھا جی تو یہ ہم نے بات کر لی eventually decreasing eventually increasing ایسی کہ سمجھلرلی concept ہوگا eventually increasing eventually non decreasing terms کا اس میں مخصد یہ ہے کہ eventually monotone sequence کی بات ہمیں کرنی تھی اور جو monotone sequence ہوتی ہیں وہ دپنٹ کرتی ہیں increasing decreasing کے اوپر تو اخز ہم خود کر سکتے ہیں کہ corresponding ideas کیا ہوں گے یہاں پہ اب ہم بات کرتے ہیں جناب convergence کی of monotonic sequences تو اس میں straight forward کچھ theorems ہیں جو آپ کے سامنے لکھ دیتے ہیں اور پھر اس کی با example کر لیں گے تو آئیس تھیرم دیکھتے ہیں تھیرم ہے جناب if a1 is less than equal to a2 and so forth is a non decreasing sequence than there are 2 possibility one is that there is a constant number m called an upper bound for the sequence such that an is less than equal to m for all n in which case the sequence converges to a limit l which satisfies the inequality l is less than equal to m and the other cases that no upper bound exist in which case the limit as n goes to positive infinity of the sequence is positive infinity ساتھ میں ایک دوسرہ تھیرم ہے جس میں جو corresponding ہے basically non increasing sequence کا اس میں concept ایک آتا ہے lower bound کا which is basically in front of you I think it's pretty straight forward symmetric ہے to the theorem we just saw earlier اس میں lower bound آتی ہے اور آپ کے سامنے یہ تھیرم ہے اور اب ہم اس کی example کرتے ہیں اس تھیرم کی تھیرم نے لکھیا آپ کے سامنے ابھی اس کو سمجھنے کے لئے example کر لیتے ہیں اور پھر دیکھیں گے کہ example سے کلیر ہو جائے گا کہ تھیرم کیا کیا رہا ہے example دیکھیں example ہے جی کہ use theorem the theorems we just saw to show that the sequence n over n plus 1 from 1 to infinity converges اس میں دیکھیں کہ examples 2 اور 3 جو ہم نے کیتے ہیں اس میں ہم نے show کیا تھا کہ جو given sequence ہے یہ increasing ہے which means it's non decreasing it is evident that the number m equals 1 is an upper bound for the sequence since nth term جو ہے وہ ہے n over n plus 1 اور یہ less than 1 ہوگی for n equals 1 to and all the way to infinity لہا جا بھی ہم نے تھیرم دیکھا اس کے ذریعے ہم کہہ سکتے ہیں کہ یہ sequence کنورج کرتی ہے to some limit l which is less than equal to 1 and that is certainly true اگر آپ لیمٹ لیں اس کا sequence کے nth term کا n over n plus 1 n goes to infinity تو basic algebra یا لوپٹالز رول اپلائے کریں تو result آتا ہے 1 تو یہ جناب ایک اگزامپل تھی جس کے ذریعے ہم نے دیکھا کہ convergence کیسے معلوم کی جاتی ہے ایک monotonic sequence کی جناب یہ آپ کا لیکچر ہو گیا آج کا لیکچر number 41 جس میں ہم نے sequence کی بات کی heavy weights اندازہ ہوئی گیا ہوگا آپ کو یہ تھیرم زاخر کے دیکھے کہ now we are talking about some heavy duty math اس میں تھوڑی سی dry ہے یہ لیکن وہی بات ہے کہ اتنی dry ہوگی جتنی آپ اس کو dry رکنا چاہیں گے اگر اس کو appreciیٹ کریں گے تو it will be very clear cut تو please اس کے اندازرہ زیادہ محنص سے ہمور کیجئے گا اور آپ سے اب اگلے لیکچر وملاقات ہوگی than you