 Il n'y a pas de mot de passe, voilà. Donc, je suis désolée, on ne voit pas la partie de Jean-Pierre, donc si vous voulez, je pourrais vous le montrer. Donc ça, c'était des notes d'un exposé de Jean-Marc Montaigne. Je pense que c'était au Coloc, c'était à Padoo et en l'honneur de Barcautie. Et donc, je trouvais qu'il y avait un tableau qui était assez représentatif de ce qu'il fallait faire. Si on avait Cabars, si on avait C, si on avait B-HT, B-de-Ram, voilà. Donc c'est juste terminé pour ça. Donc, il faut j'allume la lumière. Et dans ce Jean-Pierre, il y avait ce que vous n'avez pas pu voir, parce que c'était en... voilà. Je vous conseille de prenez vos notes en noir et pas en bleu, parce que si vous voulez les utiliser plus tard, c'est beaucoup mieux. Voilà. Donc, j'éteins ça. Donc, je vais vraiment parler d'une... Je vais parler de promenade, mais c'est vraiment ça. C'est-à-dire, bon... J'ai travaillé avec, enfin, avec ou à côté de... En parallèle avec Jean-Marc, en particulier sur un sujet qui m'a... Je vais pas parler de ce qu'on a fait ensemble, mais sur les fonctions LPA-DIC, qui était le sujet qui, depuis ma naissance, m'intéresse. Et donc, ce qu'il m'a toujours intéressé dans les fonctions LPA-DIC, c'est aussi le côté concret. Donc, j'ai envie de dire le côté théorie des nombres, et pas je me trie à rythmétique. C'est un petit peu... C'est-à-dire, le fait qu'on puisse vérifier des choses, un peu comme, d'ailleurs, John a fait hier, qu'on puisse vérifier, éventuellement, des conjectures, qu'on puisse aussi vérifier des résultats, parce que quelquefois, on a des formules, bon, elles sont vraies à plus ou moins un prêt, plus ou moins deux prêts. Et quand on les vérifie, on est obligé d'avoir des résultats corrects. Et donc, quand je me suis remis à... Donc, j'ai toujours fait des calculs, avec des gens d'hiver, donc Dominique, qui vient d'arriver. Et donc, quand j'ai repris vers les années 2011, j'ai voulu mettre tous ces calculs que j'avais fait sur les fonctions LPA-DIC, toutes les idées que j'avais sur les fonctions LPA-DIC dans le logiciel Paris-GP, un logiciel que vous connaissez peut-être, vraiment de théorie des noms. Et donc, pour faire ça, je suis allée prendre un peu partout des choses, je me suis remis au courant, puisque j'avais arrêté pendant ça tout le temps. Et puis, je me suis remis à... à comprendre des choses finalement naturelles, qu'on avait bien connues, quelques fois oubliées, et pour pouvoir avoir le côté pratique de mettre dans... Voilà. Donc, j'avais prévu de pas gemmer, je vais arrêter là. Et donc, au départ, c'est vraiment une promenade, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de... il y a plusieurs sujets qui vont arriver. Et puis, puisqu'on est en domaine Paris-Londe, je vais dire que c'est plutôt un jardin à l'anglais, et donc, il n'y a pas de ligne droite, c'est plutôt des... Voilà, j'ai quand même fait ma plaisanterie, je suis arrivée. Donc, on avait les fonctions LPADX qui m'intéressaient aussi, c'était surtout le cas super singulier, à l'époque, c'était parce que personne ne s'intéressait. Donc, il fallait falloir mieux prendre des choses pour que personne s'intéresse. Et dedans, il y avait un espace de dimension 2, c'était clair, il y avait 2 fonctions LPADX, et quand j'ai vu un petit peu au début, quand j'ai commencé à regarder ce qu'avait fait Jean-Marc, c'était ça qui me motivait, j'avais l'impression justement qu'on pouvait utiliser son dé de rames, son dé crisis, comme... enfin, pour faire vivre les fonctions LPADX dans un espace de dimension 2. Alors... Et à l'époque, il était très frustré, parce que je me souviens, parce que je trouvais que ce qu'il faisait n'était pas reconnu. Depuis ça a beaucoup changé. Voilà. Donc, quand j'ai repris, il y avait eu des travaux de Stevens Pollack, qui permettait... Alors, dans le cas supersingulier, quand on l'avait programmé, on prenait des sommes de Riemann et qui sont absolument super inefficaces. C'est-à-dire que ça donne... Il y a des dénominateurs en pépiscence 2N. Donc, quand vous prenez N, il y avait 10, ça fait du pépiscence 20. Et donc, c'est des choses qui sont... Algorithmiquement, ne sont pas très bonnes. Et donc, il y avait un article, donc il y a eu Stevens Pollack, qu'on travaillait, et qui donnait une nouvelle méthode pour calculer ces fonctions, enfin, pour calculer les numériques, enfin, il n'y a pas que les numériques, mais enfin, en particulier, sur les fonctions, ces fonctions. Et donc, je me suis mis à regarder ça. Et donc, je vais vous dire... Enfin, je vais en parler maintenant. Alors, la première chose que je vais introduire, c'est les symboles de Faray. Alors, qu'est-ce qu'on fait ? On va prendre gamma à un sous-groupe de SL2Z, en fait, de PSL2Z. Bon, très vite, enfin, souvent, en tout cas, dans l'implémentation, on prendra gamma et gamma 02N, c'est-à-dire les matrices qui sont... Bon, je n'ai peut-être pas la peine que je vous rappelle, qui sont, comme ça, moduloïdes. Mais, il y a beaucoup de choses qui marchent en général, donc, mais pas dans les... pas toujours. Donc, ce qu'on veut, c'est trouver, en fait, leur idée, c'était de trouver un domaine fondamental pour la courbe. Donc, la courbe, parce qu'il est créé à droite ou à gauche, enfin, on prend h sur gamma 02N, donc on prend gamma. Donc, on prend h le demi-plan de Coacaré. H sur gamma, c'est une courbe modulaire. On rajoute, éventuellement, des points. On complète le demi-plan de Coacaré par P1Q. Et puis, on a une courbe, une surface que je ne fais pas décrire ici. Donc, la cassante, c'est de trouver un domaine fondamental. Donc, il y a plein de manière de trouver des domaines fondamentaux. Il y en a plein. Il y en a des plus ou moins jolies, des plus ou plus symétriques. Bon, je ne l'ai pas fait de dessins-là. Mais, ce qu'on veut, c'est... il faut avoir en tête, ce qu'on veut, c'est étudier les fonctions épéadiques. Et les fonctions épéadiques, très vite, ce qu'on fait, c'est qu'on regarde des intégrales de ce type-là. On va dire à l'infini, mais en fait, la bille sur Pépis sans scène, par exemple. Donc, en tout cas, d'un rationnel à un autre rationnel, de... d'une forme différencienne. Je ne sais pas. Je dirais un peu plus tard. Donc, ce qui est intéressant, c'est vraiment d'avoir quelque chose dans P1Q. Donc, on s'intéresse uniquement. Donc, ce qu'on veut, c'est d'avoir un domaine fondamental qui s'appuie sur... dont les... comment dire, c'est un polygône. Et dont les sommets, ça appuie sur le plus possible sur P1Q. C'est-à-dire sur la droite. Voilà. Bon, je vais dire ce que c'est. Et puis, comme on vous fait... comme on veut implémenter, il faut être le plus combinatoire possible. Donc, je vais donner la définition de ce que c'est un sable de faré. Quand j'ai commencé, j'ai... ça, c'est aussi quelque chose dont je me suis rendu compte. C'est qu'on part des articles les plus récents. Bon, c'est très bien. Puis, petit à petit, on se rend compte qu'il y a d'autres articles avant. Et donc, c'est bien aussi de remonter sur les... Donc, là, c'était... de la manière dont je me suis appuyée sur Steven Spolack. Et puis ensuite, après, je me suis rendue compte. Il y avait des... et c'était... tout le monde, que ça avait peut-être savé, mais c'est pas... ça avait été fait en le Colcarni. C'était côté de... voilà. Et puis, je pense même qu'on peut pouvoir remonter, aussi, après le faré. Si on veut vraiment... il y a déjà les prémices dedans. Bon, il te dit ce qu'il y a des fautes, mais ça, je ne sais pas. Donc, qu'est-ce que c'est qu'un sable de faré ? Bah, c'est très simple. C'est juste... comment je vais dire ? Donc, c'est à donner d'un polygon. Alors, je vais l'écrire comme ça, d'un polygon hyperbolique, convex, dont les sommets sont donc les sommets rn-rn sont dans pnq, chacun est dans pnq. C'est-à-dire qu'en fait, ce qu'on se donne, c'est... bon, je vais entrer un, comme ça. Voilà. Hop. Bon, alors, il n'est pas du tout réel, celui-là. Après. Mais là, on a... on a donc... pardon, il ne faut pas que je dépasse. Là, on a donc r, pnq, et on veut un domaine un polygon, convex, comme ça. Donc, la donnée, c'est... alors, en fait, en tout de fois, les rn-rn, on se donne les... les... les arcs. Donc, je vais appeler a, a, n. Enfin, il n'y a peut-être pas le même nom, mais le n ici n'est pas forcément le même que là. Il va y en avoir un de plus. Mais que ce sont les arcs ici. Donc, par exemple, 1 et là, il va de l'infini à 2, à 3, à 4, à 5. Alors ça, c'est pas forcément un domaine fondamental. Puis de toute façon, ça ne suffit pas pour déterminer le groupe. Donc, il faut se rajouter quelque chose. Et pour se rajouter, il faut savoir, il faut se rappeler qu'est-ce que c'est que les surfaces de Riemann et comment est-ce qu'on... enfin, comment on trouve la X de gamma par rapport à ce qu'on a le même fondamental, il faut recoller un certain nombre d'arcs. Donc, on recolle, par exemple, on va recoller ça avec ça. Enfin, il faut recoller certain nombre de choses. Donc, il faut dire dans la donnée combinatoire, il faut dire ce qu'on recolle. Donc, on va donner une application, une evolution. Donc, l'ensemble des arcs, je vais l'appeler V, de V dans V, qui va dire quel arc je recolle avec quel autre. D'accord. Voilà, une evolution. Puis, il faut se disque donner des points fixes parce qu'il se trouve que c'est une evolution qui peut avoir des points fixes. Alors, les points fixes, ils viennent du fait que la cour peut être ramifiée et il peut avoir des points égyptiques. Donc, les points fixes sont des points égyptiques d'ordre 2 ou 3. Mais bon, pardon. Il faut faire attention parce qu'il ne faut pas que je confonde les chemins et les points. Donc, là, c'est des points fixes de cette evolution mais qui vont correspondre à des... Enfin, je vais le voir tout à l'heure à des points fixes d'ordre 2 ou 3 pour... Bon, pour gamma 0, 2N, par exemple. Bon, c'est pour gammas. Voilà. Bon, et puis il faut... Voilà. Donc, à l'aide de ça, bon, il faut aussi dire un petit peu ce qui se passe au point égyptique. Je vais faire des dessins mais je ne vais pas le dire formellement ici. Donc, là, il y aurait peut-être quelque chose. Comment ? Voilà. Bon, et puis, à partaire de là, on peut, en fait, à partaire de là... Bon... Ça, ça doit... Pardon, ça va se raccoler avec ça. Ce qui fait dire qu'il faut que je... Enfin, à partir de ces arts, je vais pouvoir calculer la matrice de SL2Z qui permet de les raccoler. Donc, je vais avoir des données, gamma A. Donc, A. Alors, l'involution, je vais l'appeler étoile. Donc, je vais avoir quelque chose du type A, égal gamma A, étoile. Et puis... Bon, il faut que j'inverse. Oui ? Parce que moi, 2 donne 3, non ? Comment ? Si c'est les arts fixes. Ah, je ne sais pas. Là, je l'ai dessiné n'importe quoi. Donc, je ne sais pas... Si il y a 2, là, si il y a l'involution, qu'il y a bien les arts qui sont fixes. Si j'ai 2. Là, à gauche. Ici ? Non. Non, je ne dis pas que... Je dis que certains arts que de l'involution sont fixes, mais peut-être pas tous, enfin, bien sûr. Oui, mais c'est pas une donnée de plus. Non, c'est pas une donnée de plus. Ce qu'il y a une donnée de plus, c'est... Bon... Non, ça raison. C'est pas une donnée de plus. C'est pas une donnée de plus. Mais, bon, je n'ai pas tout dit qu'il y aurait de données un peu plus, donc... Bon, non. Et en fait, quand on se donne ça, on peut lui associer un groupe, gamma. Donc, je ne dis pas non plus... En fait, dans le cas des points fixes, gamma A, il faut faire un peu attention. Donc, ce n'est pas... ne se calque pas comme ça. Et donc, je ne ciblirai peut-être pas exactement ce que ça fait. Enfin, je le vois. Et donc, gamma, ça va être le sous-groupe engendré par les gamma A. Donc, bien sûr, il y a 2 solutions. Soit on part de gamma A et on essaie d'en construire un. Soit on en prend un et puis on essaie de regarder le sous-groupe engendré par les gamma A. C'est juste une merde peinture. Comment ? Est-ce qu'on sait qu'il y a toujours un domaine fondamental d'essai ? C'est ça que je vais nous pousser. J'allais le faire. Donc, théorème. Alors, là, je n'ai pas décrit le domaine fondamental. J'ai décrit une donnée combinatoire un polygon hyperbolique avec un nombre de propriétés. Donc, si on prend gamma à un sous-groupe de... un sous-groupe d'essai, je veux dire, on va dire un sous-groupe de congrès, il existe un tel symbole de Paris. Alors, je n'ai pas tout dit sur le symbole de Faray. En fait, dans la première définition de Goulcarni, on peut imposer que les A1 sont ce que je vais appeler unimodulaire, c'est-à-dire, sont l'image par un élément de SL2Z de zéro l'infini. Bon. Et puis ensuite, bon ben, enfin, je verras, on peut... Mais en fait, cette... Donc, il existe un tel de symbole. Bon. Alors, unimodulaire associé à gamma. Alors, non seulement il existe, comme disais, je n'aime pas trop il existe, ça ne veut pas dire grand-chose, mais non seulement il existe, mais il y a un algorithme pour le calculer. C'est pareil, associé à un... un sous-groupe de... un sous-groupe de... un sous-groupe de... Bon. Alors, je vais dire de congrès, parce que je... pour être sûre, mais je pense que... Alors, en fait, le domaine fondamental, c'est pas... bon, on peut dire, c'est ce que j'ai tracé, donc c'est exactement la partie. Alors, c'est pas tout à fait vrai. Il y a une... il y a une recette pour associer à ça un domaine de... un domaine fondamental. Donc, je vais pas commencer par essayer le 2Z, parce que c'est le plus compliqué. Donc, je vais commencer pour prendre gamma 022, par exemple. Bon, donc là, c'est... qu'est-ce qui se passe dans ce cas-là? Ben, un domaine fondamental en question, c'est ça. Donc, je me mettrai toujours 021, et puis, les points, je ne le dirais pas. Et puis, mais là, c'est un... Bon, si vous me souvenez, il y a un point illypique d'ordre 2. Donc, on va le noter en mettant un petit rond comme ça pour dire que là, en fait, là, on a... l'involution, c'est celle qui envoie 01 sur 1, 0. Vous pouvez trouver la matrice. La matrice en question, c'est 1, moins 1. Je ne vous le dirais pas pour les autres. Donc, c'est bien une matrice qui est dans gamma 022. Vous vérifiez qu'elle envoie 0 sur 1 et 1 sur 0. Et... voilà. Alors, le... le deuxième... ce qu'est un exemple que je vais... c'est gamma 03. Alors, gamma 03, le système de Faré, c'est le même que celui-là. Non, mais après, il y a une fois la matrice qui... qui... il y a une certaine évolution. Donc, il y a le A1 et A3, c'est-à-dire les deux côtés. Je... je n'ai pas donné... il y a... il y a A1, A2, on va dire, et là, c'est A1 et Toile. Donc, en fait, il y a aussi... je n'ai pas donné l'involution, en effet. Mais l'infinie 0 s'envoie toujours sur 1, 1, l'infinie. Donc... voilà. Je n'ai pas, en effet, donné l'escription complète. D'accord. Alors, pour gamma 023, le symbole, en fait, donc les symboles, enfin, ça, c'est plus... on le note comme ça. Donc, là, je mets... je le netterai comme ça et puis je... donc je mets un rond pour dire que c'est un point elliptique. Donc, il y a quelque chose de spécial. Puis, gamma 023, il l'allemène symbole. Mais je vais mettre un point... un... un peu plus difficile, un point plein. Pour dire, quand là, là, là, c'est un point elliptique d'ordre 3. Et donc, quelle est le... donc, je vais le toucher au 6, 0, 1. Et puis, bon, il faut que j'introduise... c'est un point elliptique d'ordre 3. Donc, le... le... le domaine fondamental, c'est pas ça. Ici, le domaine fondamental, c'est vraiment cette partie-là. Là, c'est pas ça. Et donc, alors, il faut que j'arrive à faire le dessin, sans me tromper. C'est pas très difficile, mais donc là, on a un demi. On a un point, ici, qui est l'image du point d'ordre 3, qui est moins en demi, non, moins en demi, plus irracide de 3 sur 2. Et puis, je vais attendre, qu'est-ce que c'est ça ? Et puis là, il y a quelque chose comme ça. J'ai ça. Je vais te tracer. Et, qu'est-ce que j'ai oublié encore ? J'ai dû oublier ça. Bon. Alors, donc, je trace ça. Et en fait, vous voyez, le symbole indirect, c'est ça. 0, 1, je me suis trompée. J'ai mal fait mon truc. Puis, je ne vous marque pas l'infini, mais... Et là, c'est pareil. Oui, c'est ça. 0, 1. Bon. Enfin, c'est pas ça. Excusez-moi. Je ne vais pas mélanger tout. Voilà. Donc, le domaine fondamental, il a obtenu en prenant, en fait, là, on a un triangle. Vous voyez le triangle. Et donc, on en prend qu'un tiers. Le domaine fondamental, il est tenu comme ça. Donc ça, c'est le... Non, c'était bien ça. C'était bien 0, 1. Excusez-moi. C'est bien 0, 1. Je... Dominique, comment ça dit ? C'est bien 0, 1. Mais on a introduit un point. Là, c'est le point unique, qui est supplémentaire, qui correspond à... Voilà. Donc là, c'est bien 0, 1. Mais avec un point ellipique d'ordre 3. Et donc, le domaine fondamental qu'on obtient, c'est celui-là. D'accord ? Maintenant, je vais mettre le PSL2Z, parce qu'il est plus... Voilà. Donc PSL2Z, c'est plus difficile de voir comment on coupe les triangles, parce qu'il y a un triangle qui va à l'infini. Mais là, on a 0. Là, on a un demi plus 1 racine de 3 sur 2. Donc on est arrivé à ce que les points du domaine fondamental sont sur PNQ. Mais pas tous quand même. Il y a quand même quelques petits points. Là, on a un point qui n'est pas dans PSL2Q. Donc on a l'image des points ellipiques. Bon. Alors... Alors ce qu'on... Voilà. Donc ça, ça va nous servir pour ensuite calculer des formes modulaires, d'avoir comme ça une représentation du domaine fondamental. Alors... j'aurais dû... Alors, je vais vous en montrer un autre, mais je vais pas faire le dessin. Je vais juste faire le dessin comme ça. Bon, je ne sais pas pourquoi je l'ai fait dans ce sens-là. Là, je vais le faire donc l'infini. Il faut que j'arrive à lire ce que j'ai écrit. Zéro. Alors, là, j'ai A1. A1 étoile. Bon, je commence à A1, l'infini. Attendez. Donc là, j'ai zéro. Oui, c'est ça. Un tiers, un demi, deux tiers et un. Alors celui-là, il n'y a pas de points ellipiques. Donc c'est vraiment le symbole de pareil. Il y a une évolution. Il faut que je dise que j'ai dit que ça, c'était en lien avec ça. Et puis, là, j'ai A2, A3, A3 étoiles et A2 étoiles. Bon, mais ça, si vous savez un peu de surface de Riemann, je ne sais pas vraiment, mais vous savez, c'est pas une présentation canonique de la surface de Riemann. Ce qu'on aime bien, c'est voir apparaître les torres pour avoir les torres. Alors, pour apparaître les torres, là, je ne vais pas le voir apparaître, mais et pour ça, il faut avoir quelque chose qui mettraient A2 et A2 étoiles à côte à côte et avoir quelque chose du type. Alors, c'est pas pour celui-là. Donc, alpha 1, alpha 1 étoile. Par exemple, si j'ai un symbole comme ça, on va mettre A1, celui-là, pour si je le recupie, je ne vais pas y arriver, donc je me mets un au hasard. Je ne sais pas s'il existe vraiment. De toute façon, il existe. Il y a un sous-roupe qui va avec, vous pouvez lire là-dessus. Vous pouvez lire que j'ai visiblement une pointe. C'est une surface de Riemann qui n'est pas compact. Il y a un bord. Donc là, j'ai une pointe. Là, j'en ai une autre. Là, j'en ai une autre. Et puis là, j'ai oublié quelque chose. C'est une courbe de, ça correspond à une courbe de genre 1, parce que j'ai le symbole qui apparaît A, B, A étoiles, B étoiles qui correspondent à... Ça, c'est pour avoir un peu de surface de Riemann et la représentation de la surface de Riemann. Où ça ? Ici ? Alors, ça, ce sont des geodésiques, mais celle-là, c'est une geodésique mais qui va dans un point du mi-plan, point de carré. Ce que j'ai dérasé, normalement, c'est des geodésiques. Bon, ça se voit pas, peut-être, parce que le dessin n'est pas correct, mais... Excuse-moi, mais ici, qu'est-ce que tu dis ? Donc, que tu encadres au milieu, ça te donne le... Ça, ça me donne, ça me dit, j'ai quelque chose du type, là, j'ai un tord. Mais, qu'est-ce que ça veut dire sur la surface totale ? La surface totale, ça dit qu'elle a... C'est à une surface de genre 1 et elle a 3. Alors, les points correspondent à des... Je sais pas comment ça s'appelle. Ah, c'est des pointures. Voilà, des pointures. Je sais pas comment... Voilà. C'est une surface de Riemann qui n'est pas compact, voilà. Et donc, vous voyez que si ceci correspond à un gamme à zéro ou de quelque chose, je vais pas dire quoi, parce que là, je l'ai écrit un peu au hasard, mais ça correspond à une courbe de genre 1 et qu'il y a, alors qu'il y a 1, 2, 3, en fait, qu'il y a 4 points. Parce que chaque... chaque élément, là, donne une pointe et tous les... mon calphane, c'est une extrémité comme ça. Et donc, là, c'est une des points et là, tous les points qui sont là sont équivalents. Enfin, bon, bref, il y a une pointe de plus mais pour faire ça, alors, pourquoi ça s'appelle un symbole de Faray, au départ, je pense que c'est justement parce que les symboles sont minimes modulaires. C'est-à-dire que quand on a un système de Faray, vous savez, c'est des p... c'est-à-dire des... enfin, c'est des fractions p1 sur q1, p2 sur q2 et ce qu'il faut, c'est que le déterminant soit égal à plus ou moins 1, on va dire. Et donc, bon, par contre, si on veut avoir une représentation système de Faray entre guillemets jolis au niveau des surfaces de Riemann, ben, là, on est obligés de perdre la propriété d'être un immodulaire. Donc, bon, la promenade, ça a été que j'ai commencé ça, puis j'ai... je ne connaissais rien en surface de Riemann, donc je ne sais pas tout le cas, mes connaissances étaient très lointaines et donc, je suis allée voir l'article de Bost, l'article de Bost qui est très bien et puis je suis allée voir aussi l'article de Siegel et ben, il faisait ce qu'il appelle une dissection, alors qu'il n'est pas une dissection au sens de Faray, mais qu'il est une dissection de la surface pour pouvoir obtenir ça et que sa... enfin, sa démonstration était vraiment un algorithme qui pouvait être implémenté. Donc, on l'a fait. Alors, j'ai essayé de perso décariner que c'était utile. Donc, il a bien voulu le mettre dans Paris GP et puis après, mon argument était faux et c'est absolument pas utile. C'est pourquoi je voulais me servir. A part que c'est joli, pourquoi je voulais me servir ne pouvait se faire sans ça. Or, c'est quand même coûteux cette version de dissection. Bon, enfin, je ne vais pas vous la raconter. Alors, maintenant, je ne sais pas où je suis. Non, je ne sais pas pourquoi j'ai remonté ça. C'est pas une bonne idée. Ouf! Non, je ne peux y arriver. Donc, est-ce que c'est le... Bon, je vais me limiter à ça. Oui, je veux bien. Voilà, je vous en donne. Je vais le descendre un petit peu. Voilà. Merci. Attends, passe vite. Donc, je vais aller un peu plus vite maintenant. Donc, maintenant, qu'est-ce que c'est que les symboles modulaires maintenant? Alors, je prends la définition non pas Cremona ou... Enfin, je ne sais pas le manier au départ, mais la définition qui a été donnée par Paul Axe Stevens. Bon, qu'est-ce qu'on te fait? On a besoin de Delta et simplement z auquel je rajoute p1q. Donc, c'est la logite de groupe z de p1q. Je mets un 0 pour dire que je prends juste les diviseurs de degré 0. Donc, si on a un diviseur comme ça, ben, r-s ou un diviseur de degré 0, toujours comme ça, ben, je vais lui associer l'arc SR. Donc, il y aura une identif... enfin, il y aura un peu une... une identification avec les a, a, n qui sont là, r, r, n. Donc, je vais avoir besoin de ça. Je vais avoir besoin de... Alors, vk. Donc, j'ai k qui sera toujours paire et supérieur égal à 2. Tout le monde nul. Qui est formé de... bon, des... des polynômes en xy. Homogène de poids k-2. Donc, je vais l'écrire comme ça. Donc, homogène de poids k-2. Donc, là-dessus, il y a une action de gl2 de Q. Vous l'avez décrit pas. Ça, c'est... La grosse difficulté, c'est de prendre la bonne action et d'être consistant. Et puis... Eh bien, en fait, c'est... Delta 0 suffit pas. Si on veut regarder... ce que j'avais envie de regarder, c'était les... les séries d'Alta 0. Donc, si on veut garder les formes par boliques, Delta 0 suffit pour la description. Mais si on veut regarder quelque chose de... enfin, les séries d'Alta 0. Ça suffit pas. Et donc, on prend... Alors, ça, c'est une version de Stevens un peu... un peu différente, mais en gros, c'est ça. Donc, je vais appeler P P de Q. P de Q. Alors, c'est... c'est pas tout à fait... c'est pas les rationnels, c'est des couples. Donc, comment on va dire ça? Donc, c'est... P de Q, ça va être l'ensemble des... Alors, on va le noter comme... je fais ça. Pi RS. Je vais faire un dessin. Donc, RAS, c'était deux rationnels. Éventuellement, infini. Donc, ça peut être P de Q. Donc, c'est P de Q. Mais je suppose que R est différent de S. Donc, je vais vous expliquer. Voilà. Donc, je prends des symboles comme ça, Pierre de S. Et puis, je regarde, pareil, les... les... la jette de groupes associées. Et puis, le... les diviseurs de degré zéro. Là-dessus. Alors, à quoi ça correspond? Ben, je vais... je vais faire un dessin. Donc... Donc, si je veux aller... de... Alors, attendez. Bon. Je vais pas suivre mon dessin, je me suis mis sans me trouper, mais on va voir. Donc, si je veux aller de RAS, c'est comme ça. Alors... voilà. J'ai deux arcs comme ça. Si je veux intégrer... Bon, il y a une forme modulaire, on n'en a pas parlé. Enfin, il faut l'avoir en tête. Si je veux intégrer de RAS, j'ai aucun problème. Si RAS sont paraboliques, parce que ça s'annule au point, et... et donc, ça... ça converge, c'est parfait. Par contre, c'est plus vrai si... si on a une forme de dessin. Donc, ce qu'on fait, c'est que, alors, je vais faire un... Je vais faire un peu plus gros pour qu'on y voit quelque chose. Donc, là, je vais regarder, je vais regarder avec une loop, ce qui se passe en R, et je vais regarder les... les... donc ici, j'aurai le point... je suis basée en R et je viens de S. Donc, là, j'ai le point Pierre de S. Voilà. De toute façon, c'est un peu les directions d'où on vient, et... donc, c'est la représentation imagée de ce que vous dire Pierre de S. Donc, quand je vais intégrer là, ça veut dire que j'intègre, mais j'intègre en venant de S, ce qui est... Quand on est parabolique, bah, combien de S ou qu'on vienne d'ailleurs, c'est la même chose, mais c'est pas vrai, parce qu'on n'est pas parabolique. Bon, donc ici, ici, qu'est-ce que c'est le point ? Alors, on est en S et on vient de R, donc on appelle pi S de R et là, le point ici, c'est... je vais mettre à l'intérieur, pi S de... Bon. Donc, ça, je vais pas l'utiliser tout de suite, mais je le disais tout à l'heure. Donc, je vais quand même déjà regarder le résultat de Polac, qui fait le lien entre les... entre les symboles de Faray et ce... et ce delta zéro. Donc, le théorème dit que delta zéro, c'est donc un SL2Z module et sa structure, on la connaît. Donc, c'est... Donc, je me donne F, un système... un symbole de Faray, ceci à gamma. Et qu'est-ce que c'est que delta zéro ? En tant que... donc, c'est un gamma module. Alors, pardon, excusez-moi, j'ai... c'est... si c'est delta zéro, que je fais, c'est bien ça. Et donc, quels sont... il est engendré par... donc j'avais dit F, c'est V, c'est un ensemble d'arques, une evolution et puis il y a quelque chose pour dire où sont les points inhypiques. Donc, il est engendré par les... les A appartenant à V. Je dis qu'un élément de... un arc, je peux le voir comme un élément dans delta zéro. Donc, il est engendré par les A appartenant à V. Et puis, avec des relations, quand même, bon ben, les relations, elles sont assez simples. Elles sont... la relation, elle est que... si on fait tout le tour, on va tournir zéro. Si on fait le tour le tour de tous les arcs. Donc, la somme sur A pourra appartenant à V et qu'à la zéro. Donc, là, c'est dis simplement que... que je peux faire le tour. Et puis, j'ai des relations évidentes qui sont celles que j'appelle les données de recollement qui sont que donc A égale... Alors, je vais les cas... uniquement dans le cas... à étoile moins. Voilà. Donc, j'ai des relations, j'ai une evolution et je sais que j'ai des relations de ce type-là. Donc, ça, c'est une relation avec gamma A étant dans le groupe. Donc, c'est bien une relation dans le groupe. Et puis, j'ai des relations aussi que je vais pas écrire dans le cas inhypique. Bon, qui sont... très simples. Mais voilà. Donc, finalement, c'est assez facile de calculer delta 0 en tant que gamma module. On a des générateurs. On a des relations. Alors, les relations, on peut les diviser par deux parce que là, j'ai dit je fais cette somme-là pour que ça soit plus simple. Mais bien sûr, celle-là, cette relation, elle se résout très facilement. Il suffit que j'en place à étoile parrain. Elle se résout très facilement. Bon. Bon, donc maintenant, si j'ai envie de regarder hommes, les hommes en fils de delta 0 gamma à valeur d'un vk, ça, c'est... Je connais vk. Je connais des data 0. Donc, je peux vraiment calculer. Calculable. Bon, alors pour que ça soit calculable, il faut bien il faut dire aussi qu'est-ce que ça calcule. Donc, on a une suite exacte. Quand on a un élément comme ça, on va lui associer un cosycle. Et en fait, bon, un cosycle et un covort, pardon, et sa classe. Voilà. Et donc, qu'est-ce que c'est ? C'est simplement que si je me donne un homomorphisme, ça, il fit. Je vais lui associer le covort gamma, donc gamma est dans gamma, qui est phi2. Alors, il faut prendre un point bas. Donc, le point bas, on va dire que c'est l'infini. Gamma moins 1. Donc ça, ça me donne un covort, un cosycle. Et ça, ça me donne un cosycle. Bon, les gammas, les gammas moins 1, ça, c'est pas les actions à droite, à gauche, il faut faire attention. Donc, en fait, on a une navigation. On sait que ça, je vais reprendre un peu du côté, ça, par les isomorphismes de la Cherchy-Moura, on sait que c'est relié aux formes paraboliques. Je vais reprendre tout à l'heure. Enfin, en tout cas, une partie. Là, on a un noyau, et en fait, l'image est dans la partie parabolique du H1. Et il y a un noyau. Et le noyau, c'est l'homme de Gamma dans Delta. Delta, il n'y a pas de... Bon, alors, il y a un noyau, puis il y a encore un petit noyau. Sika est égal à 2, il y a encore un terme ici. Très simple, c'est juste Q. Mais... Voilà. Alors, cette partie-là, en fait, si on regarde là-dessus, il y a l'algette qui agit. Et en fait, cette partie-là, bien, l'algette de Hecke agit sur cette partie-là comme sur les séries de Einstein. On a les mêmes valeurs propres, les mêmes systèmes de valeurs propres. Donc, l'occasion va donner quelque chose qui est... donne quelque chose qui est isomorph. Je suis un peu imprécise. Au... au formid... au formidulaire parabolique de Poick. Et donc, ça se calcule. Donc, on a des fonctions. Alors, si vous les regardez dans Paris, vous regardez les fonctions qui commencent par MS. Il y a un préfix MS de calculer complètement. En particulier, si on a une comédie qui qu'on peut regarder le symbole modul... enfin, calculer, avoir en main le symbole modulier qui lui est associé qui va se faire des calculs. Voilà. Donc là, j'ai trouvé la partie parabolique. Mais... je voudrais quand même dire un peu plus... Là, je vous dédié en agitant les mains que c'était lié au formidulaire parabolique. Je vais quand même être un petit peu plus précise. Donc... Bah, si je prends une forme M même pas parabolique, une forme modulaire. Alors, pour un second de congruence, gammar, 2.4. Bon, je vais dire explicitement quelle est, en fait, enfin, l'objet qu'on regarde. Le symbole modulaire qu'on peut lui associer, c'est à... on prend un chemin. Alors, delta, ça va être un chemin. C'est un élément dans delta 0, en fait. Je vais pas prendre delta 0. Comment je vais faire ça ? Bon, je vais définir... je vais faire... donc je vais pas la supposer parabolique. Donc je vais définir ce que je pense, c'est l'intégral, ce qu'on lui joue, l'intégral de Heichler. Je ne suis pas totalement sûre. Donc, qui est l'intégral de, alors, i∞ à taux de f2t moins le terme constant dans le cul développement à l'infini. Ça, c'est pour que ça converge. Tx plus y puissance k-2. Donc là, on voit le polinome en xy qui apparaît, dt et plus à 0 de f. Comme on l'a ajouté, il faut quand même le retrancher. Donc, l'intégral de 0 à taux de Tx plus y puissance k-2 dt. Alors, ça, c'est un élément qui est dans le vk... enfin, qui n'est pas topé dans vk2c, qui est dans... C'est un polinome en xy, qui a co-efficient dans des fonctions l'omore fantaux. Et donc, qu'est-ce qu'on sait ? C'est que... Bon, le théorème, ça, c'est un théorème, je veux dire, je ne sais pas qui il est dû, mais il est dû très ancien, qui dit que cette intégrale, elle converge, qu'elle vérifie que dw de f sur des taux bassés, f de taux taux x plus y puissance k-2 je me laisse faire le calcul et surtout, que... et donc, maintenant, on a de quoi... et en particulier... voilà, c'est un peu dans la douche rien, en particulier, et maintenant, si gamma appartient... alors, là, je suis à revanger l2 de plus, je ne suis pas spécialement dans gamma, c'est après que je vais... pour le moment, je n'utilise pas le fait que c'est une forme dure pour gamma. Donc, si je regarde ça, si je regarde dw de f comment je vais dire, si je regarde gamma don dw de f alors, moi, je n'ai pas défini les actions et je ne vais pas le faire, mais pour les actions qu'il faut, ceci est, en fait, un co-cycle et c'est exactement... c'est un co-cycle et si on regarde maintenant, donc, je vais reprendre ça... ah, il faut que je fasse... ah, je me suis mal pris, en cas que j'ai un tableau sur le côté, je ne sais pas si j'y ai droit... f, c'est une forme modulaire, en fait... pas parabolique, non, pas parabolique. Parce que, si elle était parabolique, on va régler dw de f, ce serait nul. Donc, ça a un sens, si elle est parabolique, ce terme-là disparaît et on a ce qu'on appelle souvent enfin, intégrale de l'infinietto. Et après, on a un co-cycle sur quel groupe, sur le tout. Alors, on a... c'est ça que je vais être plus précise, ça, je vais l'effacer. Donc, c'est un co-cycle sur GL2 de Q. Gamma, il est dans GL2 de Q. Ou GL2 de plus de Q, peut-être dire. Et donc, le théorème, bon, qui est... enfin, celui-là, il existe une unique GL2 de plus en Q au monophysme. Alors, j'appelle Père, parce que... c'est pour ferriottes. Je me suis rendu compte de ça, mais c'est vraiment... c'est pas fait exprès. Qui va de... donc, MK, c'est toutes les formes du laire de poids K. Bon, pour un seconde du congrès, peut-être, mais MK, dans les homomorphismes de... Alors là, je prends C0 avec A4C, tel que... si je regarde sept homomorphismes de période impliqués, alors, j'ai pas dit que c'était... tant pis. Je vais... bon, j'ai... je ne voulais pas dit 10 que c'était que ça, mais tant pis. Ça, soit égal. Donc, je prends la valeur sur... ça, c'est un élément dans C0, qui est défini à partir de l'image par gamma, à moins 1, depuis infinie 0. Donc, ceci est égal au COSIC que j'ai défini là, que je n'ai pas donné le nom. W2F, non. Alors, c'est le principe de la comologie, c'est le seul principe que j'ai retenu moi. Et derrière, c'est que pour trouver un COSIC, il faut trouver un espace plus grand dans lequel on a un co-bord et quand on restreint, on se débrouille. Il n'y a pas de F, j'ai oublié le F. Merci. Voilà. C'est une tournion de tous les MK pour ce groupe de congruences, on va dire. Bon alors, maintenant, si je me restreins à des formes modulaires de poids K, donc, si F est... pardon, si F est formes modulaires pour gamma, c'est facile de voir que ceci va donner un co-cycle de gamma à valeur d'en fait K. Donc, ceci, je vais l'appeler pour CF gamma. Bon, si je restreins si F est une formes modulaires invariante par gamma, si je restreins ce co-cycle à gamma, je vais trouver un élément d'abord un co-cycle, puis un élément dans la chaîne gamma. Mais c'est important ici de garder le co-cycle et de pas prendre de classe, parce que si on prend la classe, on perd un certain nombre de choses. Comment? Le co-cycle, il est vraiment à valeur dans VK de C ou il est à valeur dans les fonctions Ceci est indépendant de taux. Donc, c'est justement, je l'ai pas dit, j'aurais dû le dire, oui. Je l'ai pas dit, c'est la propriété. Si vous dérivez, c'est pas très difficile. Si tu dérives, tu vas te voir que ça vaut zéro. La dérivée, donc c'est une bonne critère pour dire que c'est indépendant de taux. D'accord? Bon, alors là, je me suis pas préoccupé des problèmes de convergence, mais c'est ça. Voilà. Et en fait, pour connaître ça, il suffit de le connaître, il suffit de le connaître sur, donc, PR2F. Comme on a travaillé à l'hygèle de plus-Q, donc aussi avec SL2Z, pour connaître, en fait, SL2Z, on sait que ça engendrait par deux matrices, qui sont sigma 0, moins 1, 1, 0 et la transition, qui est 1, 1, 0, 1. Bon. Donc, je ne vais pas trop m'occuper de passer de là à ça. Pour connaître le COSIC, pour connaître cet homomorphisme, il suffit de le connaître sur deux éléments qui sont, alors, c'est là que j'ai, j'ai, donc ça, c'est le chemin qui va de pil infini de 0 à pise 0 de l'infini, mais qui est simplement le chemin où on a oublié ce qui se passait au point. Donc, il suffit de le connaître là-dessus et je ne vous donne pas la formule, mais la formule, vous la trouvez, enfin c'est assez facile et il suffit aussi de le connaître sur, comme ça, j'ai oublié de le dire, tout à l'heure, sur quelque chose comme ça. Alors ça, c'est par définition, c'est le chemin qui, qui est en l'infini, qui, qui vient de 0, on est en train de venir de 0 et on repart vers l'infini, vers 1. Donc, en fait, il suffit de le connaître comme ça et si on regarde la littérature, c'est souvent, les gens font, souvent des choses uniquement pour SL2-2Z, donc, si on n'a pas de sublime d'anema, il faut connaître ça là-dessus, bon, et mais en fait, ça s'étend, voilà. Bon, alors, voilà, donc ça se revient, enfin j'ai passé très bien, mais c'est comme ça. Alors pourquoi on s'est mis à regarder ça, c'est parce que, donc, j'avais dit que je vous dirais les motivations, les motivations algorithmiques. Et bien, quand je vous ai dit que les hommes, dans les hommes de delta 0, dans VK, il y avait un sous-module, qui était mon sous-module des paraboliques, ben, il faut le calculer. Donc pour le calculer, la première idée qu'on a eue, c'est qu'on s'est dit, on va prendre les opérateurs de VK, on va couper, on a une action d'opérateurs de VK, on sait que les valeurs propres sur les paraboliques, ça agit, il y avait des valeurs propres spécifiques de valuation, voilà. Et puis, et puis, ailleurs, on va prendre la partie dans les hommes de delta 0 dans VK pour lequel la jepe de VK a le comportement qu'on attend. Sauf que, Marie Melovas m'a dit, oui, c'est coûteux, ça, il faut factoriser des polynômes, etc. Est-ce qu'il n'y a pas une autre méthode? Ce serait mieux si on pouvait avoir cet espace comme un noyau d'une application linéaire. Alors, quelle application linéaire vous voyez? Eh ben, moi j'en connais une, c'est le produit Peterson. Donc, le produit de Peterson, bon, je crois que je vais scuiser un petit peu, le produit de Peterson, je vais quand même redéfinir, parce qu'on a deux formes, FG. Alors, je vais le redéfinir, mais bon, après il y a plein de, c'est l'intégrale. Bon, je vais prendre ta définition avec les machins. Attends, j'ai mis des lentets. Alors, L de taux, j'appelle les variables taux, J de taux bar, les X des Y sur Y2, et puis je dois avoir oublié Y, puis sans SK. Bon, là, je mélange les taux et les taux bar, et bien les tempis taux, Y, Y. Donc, aider, c'est un domaine fondamental pour, si on a FG de formes modulaires pour gamma, je fixe là, maintenant gamma, j'ai ça. Donc, la question, c'est, qu'est-ce qu'on fait avec ça? Bon, il doit y avoir des définitions sur les symboles modulaires de ce produit de Peterson, parce que moi, j'ai que des objets algébriques, voilà. Donc, il y a des formules, alors, dans l'interature, donc quand on l'a parlé, on a dit, il y a des formules d'Aberland qui donnent en effet des formules, et puis, mais qui, enfin, ils ne regardent toujours que, enfin, c'est un peu l'école de s'agir, donc ils ne regardent toujours que des formes modulaires pour A celles de Z. Ce qui simplifie, parce qu'on a exactement deux générateurs ST. Et donc, bon, et puis je me suis dit, mais maintenant qu'on a des symboles de Faray, des générateurs, on a tout ce qu'il faut, on devrait pouvoir écrire le produit de Peterson à l'aide du symbole de Faray. Alors, donc voilà, j'étais toute contente. Bon, puis au bout d'un moment, j'ai pris, enfin, j'ai trouvé, on a fait un peu la théorie. Bon, puis j'ai remonté, j'ai quand même regardé la littérature, et j'ai trouvé un article de Chimura de 1959 écrit en français qui donne, en fait, la formule, enfin, qui donne l'idée de la formule qu'il faut prendre, c'est clair. Et en fait, si on regarde ça, c'est vraiment on utilise, enfin, on utilise cette involution de gamma, d'un à étoile, et il n'y a rien de surprenant. Mais, je vais donc quand même le dire. Donc, alors, j'ai, donc, j'ai excusé un, un, un paragraphe qui s'appelait, qui définissait les séries d'Azhamstein, et qui, donc, je vais simplement dire, ou pas le résultat, mais dire, bah, si on, enfin, je vais le faire un peu à la, entre guillemets, à la 4, dire, si on a une fonction, donc, je prends une fonction sur z, sur nz, au carré, un valeur dans, dans q, bon, ou dans c, ou dans, enfin, là, je vais le prendre la valeur dans q, dans n'importe quoi, mais la valeur dans q. Et bah, on peut définir, nous font tout, une séries d'Azhamstein. Donc, je vais écrire ce que c'est, mais pour des raisons qui, en fait, sont totalement naturelles, une fois qu'on a compris la chose. Je ne prends pas la séries d'Azhamstein, je ne parle pas la séries d'Azhamstein, bah, ça c'est, on somme sur c, il faut faire un peu attention, parce que, c'est aidé non nul, et puis, pour q, il y a le 2, ça converge pas toujours, mais on se débrouille pour que ça converge, donc là, j'apprends pas, et ce qu'on prend ici, c'est f chapeau, f chapeau, qu'est-ce que c'est, comment? Tu ne prends pas q à égalant. Non, non, je le sens en cas pour moi, et, supérieur ou égal à 2. Bon, je pense que pour q à égalant, on doit pouvoir faire quelque chose, mais, il y a plus de problèmes de convergence, de toute façon, donc il faut faire. Pour ça, je pense que q à perne n'est pas utile, pour d'autres endroits, c'est utile, donc, dans l'exposé q à éperne. Voilà. Donc, qu'est-ce que c'est q à f chapeau? Bah, c'est la transformée de fourrier, et la transformée de fourrier, elle est définie par somme de f de x, y, exponentielle, enfin, c'est une transformée de fourrier visuelle, comme je l'ai appelée avec bonnement. Il y a très, très longtemps, sauf que je vais me tromper de signe, enfin, c'est pas grave, x, d, moins, y, c, et puis, il faut mettre un sur n. C'est très casse-pied, parce que, transformée de fourrier a une variable, il faut mettre un sur un sur un sur un, mais comme on est enterré des nombres, il est hors de question de mettre une racine. Donc, on a du petit problème, il faut bien gérer les n, mais là, il n'y a pas de problème, comme sur dimension 2, on peut mettre le sur n. Voilà. Alors, pourquoi est-ce que c'est celle-là qu'on prend, et finalement, pas d'autres, et c'est ce que font les gens, depuis toujours, hein, c'est pas... C'est... Bah, parce que si on garde l'homomorphise des périodes que j'ai définie là, et bien, on s'aperçoit que, si on fait le père, l'homomorphise des périodes 2, aise et de f, alors, il y a un k, là, parce que je... ça dépend de k. Et bien, ça s'exprime, en fonction de... Je ne vous écriverai pas la formule, c'exprime, en fonction des nombres de Bernoulli, Bernoulli, et surtout, c'est rationnel. Donc, c'est f et rationnel, c'est f à l'ordre en Q, bah, toutes les... enfin, tout ce qu'on obtient après est rationnel. Enfin, rationnel, c'est rationnel. Donc, je prends sa valeur sur les... Je prends sur les... Je prends sur les... sur les... sur les 0 à l'infini et sur l'infini 0. Bon, j'ai une formule, je ne vais pas écrire. Mais, tout est rationnel. Alors, ce n'est pas tout à fait vrai. Donc, ça, c'est... si vous voulez vous me poser la question, comme on l'a dit les autres. Donc, je vais... voilà. Donc, je vais quand même donner le... donc, ce n'est pas tout à fait vrai que tout est rationnel, c'est assez intéressant. Mais, je ne vais pas y arriver. Donc, je vais quand même vous donner la définition du produit de Peterson, si je la retrouve. Je ne sais pas bien si je la connais. Voilà. Donc, maintenant, quand j'ai... j'ai phi et... phi 1 et phi 2, on va dire, qui sont des éléments qui sont dans Homme, invariant par gamma de... bon, je vais prendre de phi 0 à valeur dans VK. Je vais me supposer qu'il y en a un des deux qui est, en fait, qui se factorise par delta 0. Et, le produit de Peterson, si la chaine de phi 1 et de phi 2, eh bien, c'est bon. Alors, je suis désolé pour le 1,5. Somme. On prend le A. Alors, je vais vous un peu vous expliquer, mais pas tellement. De phi 1. Alors, celui-là, on le regarde. On garde le co-bord qui est associé. Donc, ça fait phi infinity 0, gamma, phi infinity 0. Voilà. On prend sa valeur là-dessus. On prend la valeur de phi 2 sur le A en question. Attendez, je ne sais pas. Donc, là, c'est le gamma qui est associé à A. Je m'appelle A. Il y avait une évolution et il y a un donné de recolement. Donc, on prend le gamma qui est associé à A. Et puis, là, il faut prendre un produit sur VK. Et on en prend un naturel, puis un variant par gamma. Par contre, je peux vous donner la définition. Donc, là, c'est un produit sur V. En fait, ce qui vérifie, c'est qu'il faut peut-être être arresté. C'est que tau x plus y contre tau prime x plus y devait, c'est égal à tau, c'est quoi déjà ? Tau moins tau prime, c'est ça ? Puissance k. Alors, c'est pas ça. C'est k sur 2, c'est k. Dominique. Je vais le retrouver dans mes notes. C'est lequel ? C'est k-2. Voilà. De toute façon, c'est k-2 le vrai point de tout ça. Et puis, il y a les puissances k-2 partout. Voilà. Il faut avoir des polynômes de degré k-2. Merci. Bon, ça, ça le caractérise à peu près. Je pense, c'est donc... En prenant ce produit, il y a des bonnes propriétés par rapport aux actions, bien sûr, de gel de deux cures. On a une formule comme ça. Puis, il se calcule très bien. Et si vous prenez PSL2-2Z, finalement, comme arc dans V, il y a juste PSL2-Z. On va de l'infini à zéro. Et puis, on revient à l'infini. Donc, il n'y a qu'un salarque. En fait, bon, il y en a un qui est un arc électrique d'entre 2 et d'entre 3. Donc, on peut vraiment écrire une formule explicite et on retrouve les formules d'Aberlande en particulier. Voilà. Alors, qu'est-ce qu'il vérifie ? Il vérifie que... Bon, j'ai passé d'une minute. Donc, je peux encore parler d'une minute. Donc, il vérifie que... Je ne sais pas une réponse. Bon, il vérifie... Donc, je vais vous le dire. Il vérifie surtout qu'il est... Je vous ai quand même parlé. Il y a deux choses, vous voudrez dire. C'est qu'il vérifie qu'il est... Enfin, on peut vérifier qu'il est indépendant de Faray, du symbole de Faray, parce que là, tel que j'ai fait, j'ai un symbole de Faray. On est très malheureux, parce que moi, je suis très malheureuse, parce qu'on n'est pas arrivés à le démontrer directement. On a été obligés de voir son interprétation, parce que, bien sûr, ceci a un lien avec le produit de Peterson, une formule. Donc, on a été obligés de prendre l'interprétation en tant que polypéterson, alors qu'on aurait aimé le démontrer algebraiquement, enfin, comme ça, simplement. On peut voir qu'il est invariant par équeux. Enfin, qu'il se comporte bien plutôt par rapport à équeux, par rapport à tant d'équeux. Alors ça, on est arrivés modulons, la dépendance, on est arrivés à le faire directement. Et la raison que j'en parle, c'est que finalement, on est tombés sur des problèmes intéressants. Bon, souvent, quand on regarde les livres, ça semble évident que ça va être vrai. Donc, on se dit, bon, c'est évident que c'est vrai, mais quand on regarde, on se trouve sur des problèmes intéressants. Donc, j'en parlerai pas. Et puis, au départ, je vous ai dit pourquoi est-ce que j'ai voulu construire C'est-à-dire que c'est bien connu que les séries des Einstein sont orthogonales par le produit de Peterson aux symboles paraboliques, aux formes paraboliques. Donc, maintenant, on va avoir les symboles paraboliques, comme étant l'orthogonal des symboles des Einstein que j'ai là. Et donc, ça fait un noyau d'une application linéaire. Sauf que des fonctions, vous en avez un au carré. Des fonctions d'alturaine au carré, vous en avez un au carré. Alors, bien sûr, on va pas prendre toutes les fonctions, on va prendre celles qui sont invariantes par gamma, il y a l'élection de gamma, mais même en prenant les fonctions d'arrivée par gamma, il y en a beaucoup trop. Et donc, eh bien, en juin, quand on avait ça, on avait implémenté tout. Et puis, on a regardé, moi, j'avais bien vérifié pour différentes deux. Puis pour K égale 2, je l'avais pas fait. Et puis on a vu que pour K égale 2, ça marchait pas du tout. C'est-à-dire que ce qu'on obtenait n'était pas du tout un noyau qu'on voulait. Et c'était les fonctions de la junction, enfin, les F qu'on avait pris. On avait pris bêtement les fonctions qui sont non une sur les éléments primitifs de Z sur NZ. C'est-à-dire, les éléments AB tels que ABN est égal à les premiers. Eh bien, ça marchait pas pour K égale 2. Ça marchait pas. Donc, on a cherché sur la plage, presque. Et on a cherché. Et puis, je suis tombée sur un article de Coubert Langue, qui est bien connu. Enfin, c'est vraiment bien connu des spécialistes de théories des noms, mais qui étaient moins connues à un moment, dans lequel il dit, en effet, l'application F donne ASK2F. Enfin, il ne dit pas dans cette petite lame, mais c'est une distribution universelle au sens de Coubert. Deux poids. Alors, comme j'ai pris F chapeau, c'est 2 poids K-2 ou 2-4. Voilà. Et pour K égale 2, les éléments qu'on pensait à des générateurs n'en sont pas. Et c'était dit explicitement. Comment trouver des générateurs. Mais on trouvait que c'était... Et en fait, on a... Donc ça, si je voulais raconter, mais je n'ai pas le temps, bien sûr, c'est qu'on a trouvé finalement un système de générateur vraiment, enfin, optimal au sens... un système de générateur indépendant, donc, enfin, une base, ça s'appelait d'une base, je crois. Une base de fonction avec optimal au sens algorithmique, c'est-à-dire, bon, quand on regarde la matrice de F dans ceci, dans Z sur NZ, on a envie qu'il y ait le moins de... qu'il y ait le plus de zéro possible. Ça s'appelle des matrices creuses en algorithmique. On a envie que ça soit le plus creux possible. Alors si on prend un élément climitif, enfin, l'élément caractéristique de 1, 1, il est absolument épauvantable parce qu'il est... son orbite est très grande. Donc on a... Voilà. Donc, enfin, je suis un peu vague, c'est un peu... Puis j'ai déjà dépassé de 5 minutes, mais c'est pour dire que le va-et-vient avec... avec le... avec les programmes, c'est souvent très... très... fructueux. Voilà. C'est... bien mort à pas dire. Mais... Non, mais j'ai... Il y a des trucs qui n'ont pas... tout l'intérêt, c'est de construire des choses qui respectent la culture rationnelle, c'est-à-dire. Oui. Alors, prends le produit de... Je sais pas. Le produit de série de l'ASM. Je sais pas. Je sais pas. Je sais pas. C'est-à-dire, je me suis posé la carte. Je pense que j'ai... Oui. D'accord. En fait, quand je prends le produit de 2 formes, avec les symboles de... bon, la raison pour laquelle Paul Axtiven dans... C'est ça, j'ai pas dit, c'est pour construire des formes... Non, mais je... je vais... je vais... je vais la redire en... enfin, je pense que je vais la redire du bien. L'intérêt de... Paul Axtiven, enfin, c'est ma motivation au départ, c'est de construire des fonctions LPA-diques. Donc, en fait, après, on passe de VK, un espace de distribution, enfin, des séries formelles, des choses comme ça. Mais, maintenant, en faisant des faits demandés, de manière générale, tu prends 2 formes paraboliques, à Einstein ou n'importe quoi, tu en prends une de poids K1 et une poids K2. Bah, qu'est-ce que c'est que le produit, il y a un produit naturel qu'on connaît, une forme ou l'air de poids K1 plus K2, ben ça, je ne sais pas comment ça se traduit au niveau des symboles modulaires. Donc, en particulier, si tu prends une série d'Agenstein, de poids K1 et de poids K2, enfin, ça sera la même chose. Ça, c'est quelque chose qui doit être dans un espace K1 plus K2-1. Mais, on parle de 2 polynômes de degré K1-1 et K2-1 et on doit récupérer un polynôme de degré K1 plus K2-1. Et, l'opération en question, je ne sais pas, c'est quelqu'un à une idée, je suis... Est-ce que c'était ta question ? Non. Alors, vas-y. Vas-y. Mais, je pense quand même que... Oui. Non, ma question, c'est que, à partir de 2 séries d'Agenstein, on peut calculer, la relation du système de la vocato. Oui. Et, du coup, je me demandais si avec ses implementations rationnelles et algorithmiques, vous pourriez calculer des classes de comologie du système de la vocato, vu comme classes de comologie dans... Oui, mais je crois que le problème, il est là. Je pense que ça, à peu près, c'est pas si loin. Oui, mais c'est pas tout. C'est pas tout. Dans le système du cato, il y a les unités d'Eagle. Justement, ce que j'ai dit là, enfin, ce que j'ai pas le temps de vraiment raconter, mais le fait qu'on ait trouvé un système générateur Programme A0-2N est vraiment optimal dans mon point de vue, enfin, de point de vue qu'on a. Je sais pas si ça peut être intéressant aussi pour calculer les unités d'Eagle, parce que finalement, on prend des fonctions de Z sur NZ au carré dans Q, bon, sur le propriété. Enfin, quelles sont les bonnes... Voilà. Mais ça, je sais pas répondre. Il me supposait la question et ça m'intéresse, mais ça sera pendant 4-5 ans, vu la lutte que je vais, à moins que quelqu'un ait une idée, je serai rachite. D'abord, j'avoue que je ne sais pas, mais il y a des gens qui savent dans la salle comment on construit les fonctionnaires de ranking, un PADIC pour un compte de formes modulaires. Mais enfin, je ne sais pas, mais la question c'est qu'est-ce qu'on peut faire ? C'est justement ça. Je ne sais pas... Au départ, il faudrait que, ayant à la fin, il y a des... Enfin, je ne sais pas comment il y a des produits de formes modulaires dans les symboles modulaires. Et là, tu as... tu dis que tu as le planiscalaire de Peterson ? Oui. Mais le planiscalaire de Peterson, c'est pas... C'est parce que le membre de droite, ici, il y a... Oui, mais ce que je vais avoir, c'est... je vais avoir A, F1 et F2 étant des séries d'Asenstein, des fonctions, etc. Je vais pouvoir que, dans le produit de ranking, il y a d'une part, il y a F, et d'autre part, il y a le produit de deux choses, des Asenstein et un A, un G, etc. Mais quand j'ai F1, F2, quand j'ai le produit, je ne... à ça, je suis associée à un symbole modulaire, à celui-là aussi, mais au produit, je ne sais pas ce que ça veut dire. Et donc, du coup, je ne peux pas le mettre dans cette formule, pour le moment. Mais pourquoi vouloir refaire l'astuce de ranking ? Pourquoi on ne peut pas partir directement de l'expression de droite ? Oui. Mais à ce moment-là, je... bien sûr, je peux calculer les intégrales de... Tout à fait. Et ça y arrive... Il y a des propriétés de distribution, à ce moment-là ? Eh bien, je... je pense que oui, je pense que... je... oui, mais je... je l'ai pas fait. Je... je l'ai pas fait, mais ça fait... Bon, en fait, mon but, maintenant, c'est de ne plus me faire détourner par... par Karim... parce que je n'ai pas dit aussi. Dans les... dans les chemins de travers, on est allés, on peut calculer avec ça les constantes de manines. Voilà un, je sais, donc, c'est pas... passionnant, mais quand même, c'est bien de pouvoir les calculer, d'avoir... on ne le veulent pas tout le jour un, mais... contrairement à ce qu'on... à ce qu'on dit rapidement. Mais... donc on peut le faire, mais... bon, je voudrais revenir au fonctionnel péadique, j'ai oublié le programme, c'est ça, et donc, de voir ce genre de choses, en effet, comment... comment récupérer ça. Et en particulier, je pense que ce produit de Peterson, il faut qu'il ait un... enfin, il faut que, quand on introduise l'espace des polynomes, part des séries formelles, enfin, donc des distributions, enfin, le transformé de cochis d'une distribution, il doit y avoir un moyen d'utiliser pour faire des choses, mais je ne sais pas faire. Mais... c'est intéressant. Merci encore pour l'exposé.