 اسلام علیکم، پھر سے ملاغات ہوتی ہے لیکچر نمبر 16 کے ساتھ ڈریوٹیفز کی بات کی تھی ہم نے پشتہ لیکچر میں تو اس میں ان کو مزیر develop کریں گے اس idea کو ڈریوٹیفز یا ڈریوٹیفز کے بارے میں ان کو دیکھیں کہ what can we do with them how to manipulate them اور فردہ جن کی details ان کو develop کریں گے اس فارے لیکچر میں ہم پشتہ لیکچر میں میں نے کہا تھا آپ سے کہ ڈریوٹیف یعنی کی جو importance تھی وہ یہ تھی کہ it's the basic idea of calculus یا ڈریوٹیفز کی ڈریوٹیفز کی بات کی تھی کہ میں نے بھی کہا تھا کہ آپ کو ایسے کچھ سے سمجھ نہ ہے cometics میں ڈریوٹیفز میں اور اگر آپ کو ڈریوٹیفز سمجھا جائے تو آپ کو بہت سواب ملے گا سواب سے مراد مرد میری یہ تھی کہ آپ کے ڈیچرے وغڈہ کافی خوشہوں گے آپ سے آپ کی of course it'll affect positively your grades and overall میں ابھی بہت خوشہوں گا ظاہر ہے which is most important ڈریوٹیفز جو مزیر کی بات کی ہے کہ کہنے کا جیسے کہ مصد یہ کہ جو ڈریورٹس تھے ان کی I hope you can see the there is a certain beauty to this idea یا نہیں مثیمتکس کے بارے میں میں آپ کو بتانا چاہ رہوں کہ مثیمتکس is not exactly a dry subject جس طرح سے ہم عام طور پے عام استلام میں کہتے ہیں سنہ ہوگا آپ نے میں بہت دفعہ سن چکوں تو it's a I don't think it is یہ نے اس میں یہ کہ اگر آپ سمجھ کے اس کو پڑھیں تو اس میں آپ دیکھتے ہیں کہ it's a philosophical subject یہ نے فلوسفی ہوتی ہے بعد میں اس کی formalization آتی ہے اور اس میں کیا یہاں سبیوٹیفل کہ آپ کچھ فلوسفیکل آئیڈیس کی باتشید کرتے ہیں اور پھر اس میں آپ کو بہت پڑھے جو ڈریورٹس ہوتے ہیں تو یعنی دو چیزیں آپ اس میں دیوعلب کرتے ہیں آپ اپنی جو انٹلیکٹ فلوسفیکلی سپییکنگ اور ساتھ ہی حیوم اندیوالپن بھی ہوتی ہے پرغرش جسے ہم کہتے ہیں آپ سانسیز کی طرف یہ اپلائیڈ انجنیرنگ کہلیں ہے اپلائیڈ مات کہلیجی تو یہ بہت ہی بہت ہی بہت کامنٹی ہے آپ کچھ آپ اس میں سامانیٹیگز میں بہت کسی ہے میں ایک انگلیش کے تیچر تھے میں پہلے شہت کہا چکا ہوں یہ کہ ان سے میں ایک دو ہاں پوچھا جب میں امریکہ میں تھا کہ بہی ماٹ شوٹا ہے ستڈی میں کمپیر سائنس پر نہیں گیا تھا پرگرامنگ میں اتنا چھانی تھا میں تو میں ایک بہت کسی ہم چاہتے ہیں سوال کیا ستڈی ہے تو انہوں نے کہا انہوں نے کہا میں نے کہا کہ آپ کو ایک بہت کسی ہے سب سے میں سوال سابقی روہ گیا تو انہوں نے کہا انہوں نے یہ سوالی ہے ایک سائنس ، ایک سبجیکت اگر میں سے سوال ہاں جو جانوانی نوپل تحضہ ملیگ تو یہ نوپل تحضہ کی پاتے ہیں انگلیش پرفیسر ایک دو ہاں پہلیش کے بہت کسی ہے یا اس کے جو ابھی ہم نے آپ سے کہانا چاہا رہا ہوں کہ جو دریفٹیف کی بات کی تھی بڑے بھائی کا کہنا تھا جب میں کہا ان سے کہ بھی میں مات پڑھوں تو کہتے ہیں کہ دیکھ لے کوں کہ you'll see a lot of dry math along the way یعنی آپ کو بہت سی احیہ سی چیز دیکھیں گے جو آپ کو پسند نہیں آئیں گی There are certain you know things which are very nice in math But to get to them you have to go through a lot of dry stuff Basic you know ideas جو ہم نے بھی دیکھ ریل نمبرز اغرار ان کی بھی اپنی ایک beauty ہے But I think there are some things that are more Immediately you can say that these are more beautiful in math You can see them more quickly than other stuff ہم جو زار MyAdea ہے لیکن بہت ہمافر ساتکے اور ہم آپ پر حق میں نہیں رہے ہیں ہمی تو پرواز سے ا täll اور ہم آپ ا seventy to because بات ا ا سٹا ا barley unity of درجت دریاڈو اس بات Catch پارے ہیں ا薄 ہیں یعنی functions ہوتے ہیں ابھی تک ہم نے دیکھا کہ derivative ہم نے slope of the tangent line سے شروع کر کے ایک function بنایا پچھلے لیکچر میں ہم نے دیکھا تھا اس کے بعد اس function کی اب چونکہ function کی بات کر رہے ہیں تو ہم نے کہا تھا کہ ایک given function ہے اس کے ساتھ ایک derivative function associate کیا تو اب functions کی بات چونکہ ہو رہی ہے تو بہت سی types کی functions ہوتے ہیں composition ہوتی functions کی division ہوتی یہ سام ہوتا ہے تو ہم یہ دیکھنا چاہتے ہیں کہ how do you differentiate how do you find the derivative of these several types of functions تو اس لیکچر میں اس کی بات ہم کریں گے آئیے start کرتے ہیں let me put some stuff on the screen preview کیا ہے آج کے لیکچر کا let's look at that آج کی جی topics ہیں techniques of differentiation بیسکلی اس میں یہ ہے کہ جو ابھی تک ہم نے پچھلے لیکچر دیکھیں اس میں ہم نے سب سے پہلے تو derivative معلوم کرنا شروع کیا by definition ہم نے definition دیتی دیتی derivative کی اور اس کو استعمال کرتے ہوئے ہم نے بہت سی derivatives معلوم کیے اس لیکچر میں ہم یہ دیکھیں گے کہ کچھ theorems develop کریں گے which will give us a shortcut بیسکلی a shortcut معلوم ہوگا کہ calculations جو ہم وہ short کیسے کی جائے for finding the derivatives of special functions بیسکلی ہم special functions شروع کریں گے اور اس کے بعد ice size could develop کریں گے towards more complicated functions اس کے لیے آج ہم دیکھیں گے the technique for finding the derivative of constant functions these are functions that are defined by numbers اس کے لیے آج ہم we will find we will look at derivatives of power functions power functions وہ ہوتے ہیں جن میں آپ کے پاس basically things that look like polynomials in a sense a single term کی جو تیں we will see what that means in a minute اور اس کے لیوہ ہم دیکھیں گے کہ derivative of a constant multiple of a function کیسے معلوم کرتے ہیں اور اس کے لیوہ کچھ ہور بہت سی چیزیں بھی ہوں گی جو میں we will look at them as we go along یعنی بیسکہ idea صرف یہ ہے اور اس کے بعد اس کو ہم further develop کرتے ہیں and let's continue and start the lecture سب سے پہلے ہم بات کر رہے تھے derivatives کی تو constant functions کی بات کر رہے تھے how do you find the derivative of constant functions تو اس کے بالے میں کچھ بات کرتے ہیں let me put some stuff down on the screen let's go to the screen یہ آپ کے سامنے ایک تھیورم ہے جس کو میں I guess I can read it it's basically about constant functions کی ان کا derivative کیسے معلوم کرتے ہیں the theorem says that if f is a constant function and let's call it f of x equals c یعنی basically it's a function that's defined by a number for all variable values یعنی جو بھی x کی values ہوتی ہیں بہت سارے جتنی بھی ہوں ان کے لیے defined ہے ایک number سے then the derivative of this function f prime of x جس کو اگر آپ کو یادہ ہم نے con rotation میں لکھتا d over dx of the function f of x will equal to d over dx of the function f of x which is defined as the number c it's a constant and they'll be defined as 0 تو یہ آپ کا ثیرم ہو گیا یعنی مخصص ثیرم کا کہنے کا صرف اتنا ہے کہ اگر آپ کے پاس کوئی function ہے constant function مثال کے طور پہ کہ لی جی f of x equals 5 یعنی ایک اس کی ہم نے یہ ہے پہلے بھی دیکھتے اس کو اگر آپ ڈروہ کریں گے تو it's basically going to be a straight line through the point y equals 5 یعنی اگر آپ کا یہ x ہے x ڈس ہے اور یہ y ویو x ڈس ہے تو یہاں پہ اگر آپ کی 5 value ہے y کی you just draw a horizontal line through it اور وہ آپ کا یہ function ڈفائن کرے گا f of x equals 5 یہاں پہ ہم اس کو اور جنارکلی لے رہنا چاہ رہے ہیں اس تیرم میں ہم کہہ رہیں کوئی بھی number of c it could be any number c اور اس کا اگر آپ derivative لیں گے the result will come out to be the number zero اس کا پروف دیکھ لیتے ہیں of course we have to look at the proofs so let's go to the screen and look at the proof proof اس طرح سے جناب کے کیسے آپ پروف کریں گے obviously derivative کی بات ہو رہیے تو proofs جب عام طور پہ mathematics میں ہوتے تو ہمیشہر definition سے start کریں تو I mean if all else fails کوئی اور کوئی cute ڈیکنی کر آپ کو سمجھ نہیں آری پروف کرنے کی go to the definition start with the definition and start proving things which is exactly what we'll do definition سے ہمیں پر چلتا ہے کہ جی f prime of x جو ہے وہ ہوگا limit as h goes to zero of f of x plus h minus f of x divided by h اگر آپ یہ hopefully آپ کو اب تک یاد ہو گیا گا this is the definition of the derivative of a function at any point x کی جی یہ اگر ہم اور یہاں پر یاد ہے آپ کو کہ limit کی جب derivatives کی بات ہوئی تھی تو ہم نے یہ بھی گا تھا کہ the derivative exists if the limit exists تو یہاں پر ہم limit یہ بھی چکھ کر لیں گے کہ exists بھی کرتا ہے کہ نہیں تو note کی جی کہ یہ اگر آپ اس کو استعمال کریں f of x plus h کیا ہوگا f of x جو ہے وہ c ہے اس میں جہاں پہ بھی x ہے وہاں پہ آپ x plus h سے رپلیس کر دیں ہوس x کو یہاں پہ صرف left-hand side پہ f of x میں x plus h دال دیں تو right-hand side پہ کیا ہوگا right-hand side پہ تو کوئی x ہے نہیں تو لہذا کوئی چینج نہیں ہوگی کوئی چیز اور آپ کی definition جو ہوگی x plus f of x plus h کی وہ c ہی رہے گی it'll still be c کیونکی اس میں کوئی x ہے نہیں تو nothing changes there's no change taking place therefore obviously if you look at it's a constant function so there's nothing changing right constant کا مطلب ہی ہوتا ہے لہذا you get c for f of x plus h from that you subtract the function itself which is c and divided by h and you take the limit as h goes to zero but if you notice there's no need to take the limit because اگر آپ لیمٹ لیں گے سب سے پہلے تو یہ کیا آپ کا denominator میں zero آجائے گا تیک جی تو you don't want to do that you don't want to replace h with zero instead without taking the limit notice that the top part involves a c minus c which is obviously equal to zero so without even taking the limit notice that you taking the limit as h goes to zero of zero over h which is just the same thing as taking the limit as h goes to zero of zero zero بھی ظاہر ایک نمبر ہے اور اس کا اب لیمٹ لیں گے as h goes to zero nothing changes and the result comes out to be zero تو جناب یہ آپ کا پروف ہو گیا very simple proof اس میں کوئی خاص کام کرنی کوئی ضرورت نہیں پڑی زیادہ constant function تھا very simple سا جمیٹرک انٹپریٹشن اس کی کیا ہے پروف کی یا اس تھیورم کی وہ یہ ہے کہ آپ خودی سوچی میں نے جیسے تصور بنای تھی ایک طرح کی کہ x اور y x کے اگر آپ کے پاس ہے اور کوئی y axis پر آپ کی کوئی value ہے c یہاں پہ آپ جو constant function دیفائن کر رہے ہیں f of x equals c بہل ری ممبر function در also representing the y value right so it's بیسک لی a line horizontal line through the number through the value of y which is equal to c کیونکہ x کی value آپ کوئی بھی دالیں گے اس کی اس کے اندر کوئی چین کی آئے گے y کی value میں لہاتھ آپ کو ساتھ لائن horizontal line ابھی ہورزونٹل لائن جو میں نے بنائے اس کی خاصیت کیا ہے؟ اس کی خاصیت یہ ہے کہ اس کا سلوپ زیرو ہے کوئی رائیز نہیں ہے۔ اس کا سلوپ زیرو ہے اور اگر آپ کو یادوں کے ڈریویٹف کیا رپرزنٹ کرتا ہے really چیومیٹرک انٹیپیٹیشن ہوتی ہے کہ یہ سلوپ کیا رپرزنٹ لائن کیا رپرزنٹ ہے اس کو پشہل لیکچنے میں بات کی تھی، اس کا سلوپ زیرو ہے لہاں تنجنٹ لائن کا سلوپ بھی زیرو آگا زہر ہے and that is exactly what this proof says اس تھیرم کہ آپ کے پاس کا کنسٹنٹ فنکشن ہے اس کا ڈریویٹف زیرو آتا ہے اور اس کی جومیٹرک انٹری پریٹیشن بھی آپ کو میں نے بھی بتائیں اس کو اگر آپ ڈراؤ کرکے بھی دیکھیں تو I think it'll convince you more but I think the idea is pretty straight forward آگے چلتے ہیں. اچھا جی تو یہ اس کی جومیٹرک انٹریپریشن بھی دیکھی ہم نے انٹریپریٹیشن اس کی تھیورم کی اور اس کو اب وہ تو ساعدے کافی کلیر ہو گیا ایک áلجی بریگ اگزامپل کر لیتے ہیں. ظاہر ہے کچھ ایکویجنز لکھے دیکھتے ہیں کہ what does it all mean. یعنی شارٹکٹ ہمیں point سالہ یہ یہ کہ ہم نے تھیورم تو پروف کر لی ہے ڈیفنیشن استعمال کرتے ہوئے ڈریویٹف کی. اب اس تھیورم کو استعمال کرتے ہوئے ہم آئندہ کبھی اس کو پروف نہیں کریں گے. یعنی مخصد یہ اس تھیورم کا کہ اگر مجھے آپ کوئی constant function دیں f of x equals c I shouldn't have to prove it all over again using the proof we just saw کہ بھائی اس کا ڈریویٹف جو ہے وہ 0 ہوگا. یعنی اب we just want to use the fact. تھیورم پروف ہو گیا we have done we have seen that it's provable it's a correct proof and we should you know just work with it میرےک تھیچہ تھے جب میں تھا یعنی وہ تھیورم لکتے تھے کچھ پروف کرنے کے لیے بڑے زبگہ سہوی دیوٹی کسم کے کو ہمولوجی ہمولوجی تھیوری کے تو ہم بڑے پریشان ہوتا ہے کہ یہ کیا ہوگیا مسیبت تو کہتے تھے کہ پریشان ہی پات نہیں ہے before we do anything else ایک تھیورم اس کو دیکھ لیجے this is the only time you will see it in your life and then you are convinced کہ this is true اور اس کے بعد آپ اس کو استعمال کرتے ہیں you don't have to prove it ever again تو وہی چیز ہم یہاں پہنے بھی کر رہے ہیں کہ اب اس کو ہم کبھی پھر سے پروف نہ پسند بھی کریں گے کرنا unless we are teaching this class actually ہم اس کو صرف use کریں گے تو let's use it on an example سکرین پر میں ایک سامپل لکتا ہوں ایک سامپل ہے جناب فنکشن ہے f of x equals 5 تو اب اس کا دربیٹف کیا ہوگا ہمیں f prime x معلوم کرنا ہے یہ جو f prime x ہوتا ہے تو یہ کیا ہوگا یہ ہوگا f prime x equals 0 کیا نہیں مقصد کہہنے کہ یہ کہ I didn't have to do anything I knew this is a constant function using the theorem which we just proved I know that the derivative will be 0 that's it and a story یہ ہم اس طرح سے facts develop کریں گے and we'll start using them and we'll get comfortable with them لیکن پروف ایک بار ضرور دیکھیں گے آئی آگے چلتے ہیں power functions کیا کر دربیٹف کیسے معلوم کرتے ہیں power function کیا ہوتے ہیں power function سے مراد میری یہ ہے کہ the function f of x equals x to the power n where n is a positive integer لیکن پہلے دیکھیں گے this is down on the screen اور اس کے بعد ہم دیکھیں گے اس کا derivative کیسے جلدی سے a shortcut method کیسے ہوسکتا ہے کیسے معلوم کر سکتے ہیں let's look at that یہاں پہ یہ a theorem ہے اس کو بھی ہم a theorem کے طور پہ لکھیں گے finding the derivative of a power function and we'll call this theorem the power rule لہاں زاب ہم کہتے ہیں کہ یہ مطلب a theorem کیا ہے a theorem کہتا ہے کہ if n is a positive integer then d over dx of x to the power n which is basically saying کہ basically you want to find your function is f of x equals x to the power n you're finding the prime function for that the derivative function that happens to be n times x to the power n minus 1 یہ آپ نے لکھ دیا اس کا پروف کر لیتے ہیں let's look at it for just once in our lifetime and then we'll just use this rule as a given thing and we won't actually bother with proving it the proof اس کا ایسے کچھ پروسیٹ کرے گا اچھا یہاں پر تھوڑا سا دل تھامنے والی بات ہے یہ پروف تھوڑا سا انوالگ دے لہاں زا let's be you know very careful کہ اس کو کیسے ہم کریں گے function ہے f of x equals x to the power n n is a positive integer then the claim is that the derivative is n times x to the power n minus 1 let's prove that d over dx of x to the n will be the same as the prime of x that's what the definition is of d over dx یہاں پر دیفنیشن سمال کرتے ہیں limit as h goes to 0 of f of x plus h minus f of x divide by h and that should equal to limit as h goes to 0 of x plus h to the power n minus x to the n divided by h یہاں پے function تھا x to the n لہاں جہاں پے بھی axis تھے وہاں پے x plus h replace کر دیے تو x to the n ہے وہ x plus h to the power n بن گیا ہے and from that I am subtracting x to the n divide by h تو یہ تو آپ کا سٹیٹمنٹ آگئی کہ جی ڈریویٹف ایسے آنا چاہئے اب مخصد یہ کہ جو last term میں نے لکھی تھی x plus h to the power n minus x to the n divided by h in the limit اس کو ہم expand کیسے کریں گے یعنی x plus h to the power 2 اگر ہوتا یہ ہم نے پچھلے لیکچر میں دیکھتا x plus h to the power 2 جو ہے وہ تو بڑے عام سے expand ہو جاتا ہے x square plus 2 x h plus h square power 3 اگر ہوتا بھی بڑے عام سے ہوتی ہے we can do something n کو کیسے کریں گے ہمیں تو پتا بھی نہیں n کیا چیز ہے یہاں پہ I hope you can recall something called the binomial theorem it's a very important theorem اور وہ یہاں پہاں ہم استعمال کرتے ہیں I hope you recall it if you don't recall it you can look it up it should be in the in your book actually somewhere in the appendix appendix of your book if it's not then you can find it on the internet یہ ہم بات چیت کر سکتے ہیں اس کے بارے میں we'll see it right now also let's go to the screen so we'll finish this proof تو بینومیل سیرم کو استعمال کرتے ہوئے x plus h to the power n کو میں اکسپینٹ کرنا چاہتا ہوں جس طرح x plus h to the power 2 کو اکسپینٹ کیا تھا اسی طرح سے میں اس کو اکسپینٹ کروں گا تو میں پاس یہ لمبی چاہڑیسی equation آتی ہے f prime x equals limit as h goes to 0 of the quantity x to the power n plus n times x to the power n minus 1 times h plus n times n minus 1 divided by 2 factorial کیا چیز ہوتی ہے اس کی بھی دیفنیشن آپ دیکھ سکتے ہیں you should already know this 2 factorial کا مطلب ہے 2 times 1 یعنی اور اگر میں کہوں کہ 5 factorial تو میرا کینڈے کا مقصد ہے 5 times 4 times 3 times 2 times 1 اور in general n factorial جو تھا وہ بیسیکلی رپریزن کرتا ہے the product of all the numbers starting from n down to the number 1 تو یہ بھیا بھیا بھیا یہ ترم آگے اس کے ساتھ ملٹپلائے ہو رہا ہے x to the power n minus 2 times h square plus اب یہاں پہاں دوٹس دالے میں اس کا مطلب یہ ہے کہ اسی پیٹرن کو use کرتے آپ ایک سکتے ہیں ایک طرم جو میں لکھی نہیں ہے میں بول دیتا ہوں وہ یہ ہوگی fourth term جو ہوگی اس اکپنچن کی وہ ہوگی n times n minus 1 times n minus 2 divided by 3 factorial times x to the power n minus 3 times h to the power 3 plus اور اس کے بعد دوٹس آجائیں گے مقصد یہ کہ آپ اس پیٹرن کو دیکھ سکتے ہیں اور اس کے بعد اسی طرح سے آپ لکھتے جائیں گے آخر میں جو ترمز آئیں گے آخر کی دو جو ہیں وہ ہوں گی n times x times h to the power n minus 1 plus h to the power n یہ کونٹرٹی آپ کی اسپانٹ ہوگی اور from this you're subtracting x to the power n all of that divided by h اور لیمٹ آپ آپ بھی بھی اس کا لے رہے as h goes to 0 اب اس کو تھوڑا سیمپلیفائے کر دیں if you drop the brackets from your expansion term you will get basically آپ کا یہ ہوگا کہ جو پہلا x to the n تھا اور جو last minus x to the n وہ کانسل ہو جائیں گے اور آپ کے پاس یہ ٹرم لکھی بھی آجائے گی جو میں پڑھوں گا نہیں it's pretty much the same thing you can see it on the screen مقصد یہ کہ اس میں سے اب ہم کہ ہمیں کسی طرح سے limit لینے یہ اب آپ ابھی تک میرے حال سے آپ یہ دیکھ چکیوں گے کہ اتھ جو بوتم میں ہوتا ہے and the denominator that is something you need to cancel when you take the limit one problem یہ ہوتی ہے کہ بوتم میں 0 آجاتا ہے which is not something you want to happen تو یہاں پہاں ہمیں کسی طرح سے h کو کانسل کرنا ہے the one that's at the bottom the only way you can do that is to factor an h from the numerator is a top term ہے اس میں سے factor کر لیجی اور پھر denominator کے h سے cancel کر دیں جب یہ آپ کریں گے تو result آئے گا limit as h goes to 0 of that term یہ آپ دیکھ لیجی آپ کے سامنے ہے اس میں نوٹ کریں گے کوئی دنومنیٹر میں h نہیں ہے اور اوپر نیموریٹر میں کچھ h ہے لیکن مجھے کی بات یہ کہ یہ بھی ایک پولونومیل تاپ کی چیز لگ رہی ہے اور بیسے بھی اوپر all اگر اس میں h کی جگہ 0 آپ دالنے تو کوئی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت پہلی بہت 7 اچھا جی تو یہ ایک سامبل بھی دیکھ لی ہم نے now we are done with that تھیورم مزیب اور آپ اس کے آگے کیا کر سکتے ہم آگے بڑے گے so guess what more تھیورم so let's look at them اب جو تھیورم ہمیں دیکھنا ہے وہ یہ ہے کہ what happens if you have the sum of two functions شروع میں یادہ آپ کو میں نے کہا تھا کہ ہم نے functions کی بات جب کی تھی اور derivatives ہم معلوم کر رہے ہیں functions کے اور ان کو بھی define کر رہے ہیں functions تو obviously functions تو ہم add بھی کر سکتے ہیں multiply بھی کر سکتے ہیں things like that ان کے derivative کیسے معلوم کریں گے so ان کے بارے میں ایک تھیورم ہے let's look at that تھیورم اور پھر آگے چلیں گے اس کے بارے میں اور بات کریں گے multiplication کی کیسے بات کرتے ہیں when we talk about derivatives right now let's look at the theorem that tells you how to find the derivative or how to differentiate of the sum of two functions basically if you have two functions f and g and you take the sum of them f plus g how do you find the derivative of f plus g so let me write it down on the screen تھیورم ہے جناب if f and g are differentiable functions at the point x x could be any point then so is the function f plus g so that's good it is but what is it how do you find the derivative or how do you differentiate f plus g اس کا طریقہ یہ ہے کہ d over dx of f of x plus g of x is equal to d over dx of f of x plus d over dx of g of x تو یہ ایک بڑا سیمپل سا رولہ بھی تک ہم دیکھ چکے absolute value سے شروع ہوا تھا یہاں پہ سم میں تو absolute value کی اوپر نہیں ہوا تھا actually apply لیکن a product میں ہوا تھا پھر کچھ اور چیزے limits میں ہم نے دیکھا تھا کہ اگر آپ کے پاس sum of two functions ہے اس کا limit لیتے ہیں it's equal to the limit the sum of the limits of individual functions تھی کہ وہی چیز یہاں پر بھی اور ہونی بھی چاہی ہے you get derivative obviously is defined in terms of limits you can see it already I hope کہ derivative جہاں وہ limits کی ترمز میں ڈیفائن ہوتا ہے so it must be that the sum can derivative can be distributed over the sum of two functions اس کا proof دیکھ لیتے ہیں let's go to the screen proof جناب اس کا ایسے پروسیٹ کرے گا کہ d over dx of f of x plus g of x آپ کو معلوم کرنے تو again میں already کیا چکا ہوں کہ derivative is defined in terms of limits so you're taking the limit as h goes to 0 of f of x f of x plus h plus g of x plus h یہ کونڈرٹی ہو گئی کیونکہ ظاہرہ وہ رپلیس کرنا ہوتا ہے آپ کو x plus h minus the quantity f of x plus g of x اب اس میں تھوڑی سی manipulations involve لیں algebraic manipulations میں یہاں پر لکتا ہوں limit as h goes to 0 of quantity f of x plus h minus f of x یعنی یہ minus f of x کہاں سے آیا well نوٹ کیجے کہ یہ اوپر میں نے لکھتا جو last term ہے f of x plus g of x لیکن ایک minus sign ہے اس کو اگر میں distribute کر دوں تو it gives me a minus f of x from there which I have suggestively written next to f of x plus h اس کی وجہ کیا ہے وہ ابھی ظاہر ہو جائے گی and then to that I add the term g of x plus h minus g of x یہ minus g of x کہاں سے آیا یہ بھی وہیس آیا جہاں سے minus f of x آیا تھا اور یہ سب کچھ divide ہو رہا ہے h سے چونکہ بیچ میں sum ہے تو یہ جو denominator میں h ہے اس کو میں distribute کر سکتا ہوں h ہے the common denominator سو I can distribute it اور چونکہ اور میں کروں گا تو میرے پاس رزالت آئے گا limit as h goes to 0 of f of x plus h minus f of x over h plus g of x plus h minus g of x over h یہ نہیں اس پوری چیز کام میں limit لیے رہوں لیکن آپ کو یا the limit is also distributable and you can distribute it over the sum right so you get limit as h goes to 0 of f of x plus h minus f of x over h plus the limit as h goes to 0 of the second term لیکن یہ the definitions are obviously these are the definitions of the derivatives of these functions respective functions تو لحظہ ملک سکتا ہوں d over dx of f of x plus d over dx of g of x تو یہ اس کا پروف ہو گیا ہمیں ایک rule اور مل گیا how to differentiate the sum of two functions اور آپ نے دیکھا پروف کتنا انٹرسٹنگ تھا it was so straightforward if you know the definitions you can do anything basically and that is what we are doing تو یہ ایک اورا ہمیں پس پاورفل ٹیکنیک آگئے of differentiating or finding the derivative of the sum of two functions let's move on تو move on کرتے ہیں لیکن یہاں پر ایک سالی ہوتا ہے کہ سم کا تو میں نے کر دیا what about the difference what if I had f of x minus g of x how do you differentiate that or how do you find the derivative of that تو سمپلسی بات ہے in the same fashion you can prove it yourself یہ ایک exercise کتاور پہاپ کو دیتے ہیں to show that ہم یہ خویوجا eyelids دیتے ہیں تو انہوں لیکن کے کسی غیر کیاologist won because� are you below some you اسی مثل ہوتا ہے کہ منزل آپ کے بار دایک میں chceیل越 because یا بھ gemacht two ар shouldt کیا جاتا ہے solution بات Kak Spelle کا ذریعال یہ لن تو بھا کر رہا ہوتا ہے میں مKA اپنے سام ہوتا ہے تو اس کو میں جنرل طور پر اگر لکھوں سکین پر تو ایسے لکھوں گا کہ d over dx of f1x plus f2x plus dot dot dot all the way to the function fnx many many functions ہیں ان کا دریویٹف جو ہے سام کا وہ بسکل some of the individual derivatives ہو جائے گا d over dx of f1x plus d over dx of f2x and so forth for the last one also تو جناب یہ آپ کا سام کا رول ہو گیا اب ظاہر ہے پروڈٹ کی بات بھی آنی چاہیے یعنی جو سام کا ہم نے دیکھا ساہا وہی چیز اپلائے ہوتی a difference پہ بھی a difference of two functions a difference of n functions تو وہ آپ خود کر سکتے ہیں as an exercise اب ہم پروڈٹ کی بات کرتے ہیں یہاں پر تھوڑا ساہاں فرق ہے it's not that simple یعنی دل تو یہ چاہے گا کہنے گا کہ د over dx of f of x times g of x should be d over dx of f of x times d over dx of g of x but things are not that simple things are a little bit more complicated this is called the product rule of differentiation or of finding derivatives so let me write it down for you on the screen یہ بھی تیرم کی فرم ہے the theorem says that if f and g are differentiable functions then so is the product f times g fine that's good that we know that the product is differentiable but what's the formula the formula is that d over dx of f of x times g of x equals the function f of x multiplied by the derivative of g of x plus the function g of x multiplied by the derivative of the function f of x یہ تا ستیٹمٹ ہوگے تھیرم کی یہ تھوڑا سا ڈیفرنٹ ہے یعنی سم میں تو یہ تھا کہ سیمپل سی باتی کی تصوید ہو گیا جیسے نمبرز ملٹپلائی ہوتے ہیں over the sum اسی طرح سے ڈریویٹف سم پر تصوید ہو جاتا ہے لیکن پروڈرٹ نہیں ہوتا پروڈرٹ کا ایک اپنا ہی نیرالا سا ایک طرح کہتے ہیں وہ ہے ایرٹیوڈ ہے ایک انداز ہے لکتو دیہ ہم نے ایک ویزن اس کو پروف کرنا ہے ہم کیا ہے کیا ہے لیکن پروڈرٹ ہے پروڈرٹ یہ کرنا ہے کہ ڈیوبرڈ ڈییکس of f of x times g of x is equal to that formula we just saw تو اس کو by definition کریں گے ظاہر ہے ڈیوبرڈ ڈییکس of f of x times g جو ہوگا وہ ہو جائے گا ڈیوبرڈ ڈییکس of f of x plus h times g of x plus h minus f of x times g of x over h اچھا یہاں پہ وہی بات ہے کہ clever manipulations کرنی ہوتی ہیں یہاں پہ بہت ہی clever کیسم کی manipulations ہوگی کیونکہ جس طرح کی form میں میرے پس definition نے مجھے form دیے I can't do anything with it basically I don't see anything happening تو now I'm going to act like a proper mathematician and I'll make something happen and we all like when that happens obviously that's why we are all such good magicians also as mathematicians if we add and subtract the term f of x plus f of x plus h times g of x in the numerator then we can do something with it تو اب یہ سوال یہ بھی اٹھا ہے کہ یہ ترم کیوں add or subtract کی جاری ہے اس کا جواب یہ ہے کہ just look at it continue with the proof and you'll see why we need to do this any way problem یہی تھی کہ definition میں کوئی خاص مزا نہیں آ رہا تھا I couldn't do anything with it so now if I add this term and subtract it from the numerator I'll be able to do something نوٹ کی جے کہ add اور subtract کرنے کا مطلب بیسکلی ہے کہ میں 0 ہی add کیا یعنی I've written 0 in a very exotic way یعنی f of x plus h times g of x کو میں subtract اور add کر دوں تو it's the same thing as 0 I haven't done anything لیکن اس exotic طریق سے 0 کو لکنے سے بہت کچھ ہو سکتا ہے result کافی interesting آئے گا تو اس کو دیکھتے ہیں کیا ہوگا جو ترم تھی جو limit کی ترم تھی ہمارے پاس وہاں بن جاتی ہے limit as h goes to 0 of f of x plus h times g of x plus h minus f of x plus h times g of x plus f of x plus h times g of x minus f of x times g of x divided by h اب اس کی next لین میں میں cleverly چیزے کلیکٹ کروں گا اور distribute کروں گا اور اس کا طریقہ یہ ہے کہ جو top جو first part ہے پشلی لائن کا اس میں نوٹ کی جیے کہ f of x plus h کو میں کومن لے سکتا ہوں اور اگر میں کومن لیتا ہوں تو میرے پاس results آتا ہے f of x plus h times g of x plus h minus g of x divided by h چیک جی کومن لیے اور کچھ نہیں کیا پس جو لاتھ سیکن ٹو ترمز ہے ان میں سے میں g of x کومن لے سکتا ہوں تو میرے پاس result آتا ہے g of x times f of x plus h minus f of x over h اور یہ سب کچھ میں لیمٹ لیے رہوں اس کا تو لیمٹ دسریبیٹ ہو جائے گا آپ کے پاس آئے گا لیمٹ is h goes to 0 of f of x plus h اور all the rest of the following لائنز آپ دیکھ سکتے ہیں کیا ہیں یہ اور اس میں نوٹ کیجئے کہ جو لیمٹ as h goes to 0 of f of x plus h اس کو ابھی ہم تھوڑی دیر میں دیکھیں گے لیکن اس کے اس کا کیا results نکلتا ہے لیکن اس سے پہلے دیکھیں کہ جو g of x plus h minus g of x over h ترم ہے اس کا لیمٹ میں لے رہا ہوں as h goes to 0 that is the same as d x of g of x اور اسی طرح سے جو last term ہے it is the same thing as d over d x of f of x یعنی derivative of f of x اور اب یہ جو بیچ میں terms لائنگی لیمٹ as h goes to 0 of g of x اس میں کوئی h ہے نہیں ظاہر ہے it goes to just g of x itself تو g of xی results آئے گا اس کا اور لیمٹ as h goes to f of x plus h کیا ہوگا ظاہر ہے h کی جگہ آپ 0 دالنے تو it is just f of x کیا کہ now we can write ڈاون what we wanted to بیسکل کی جو ڈرویڈیو ہے پروڈکٹ کا it is basically دی first term ملٹپلائٹ by the derivative of the second any second function plus the second function times the derivative of the first تو یہ آپ کا تھیوریم پروف ہوگیا اس میں کچھ manipulation see آپ کو مرکمنٹ کروں گا you look at them again and convince yourself that they do work out ایک چیز اور آئے یہاں کہتا چلوں کہ اس results ڈرویڈیو ہے پرائم نوٹیشن میں بھی لکھ سکتے ہیں we can write ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی پھر اس کا رزلت آئے اس کا ڈریوڈیو لے لیں لیکن وہ ہم کیوں کریں وہ تو آسان طریقہ ہمہیں زندگی مشکل کرنی چاہئے تو اگر ہم زندگی مشکل کرتے ہیں تو یہ ڈرلرسے مشکل نہیں بلکہ انٹرسٹنگ کرتے ہیں تو اس میں پھر ہم یہ ابھی جو ہم نے ڈیورن پروف کیا وہ استعمال کرتے ہیں اور دیکھیں کہ 4 x square as it is آ جائے گا multiply that by the ڈریوڈیو of 3 x اور اس کی next term ہوگی to that you add 3 x times the ڈریوڈیو of 4 x square result آپ کے سامنے ہے 4 x square times the ڈریوڈیو of 3 x which is just 3 or 3 x multiplied by the ڈریوڈیو of 4 x square which is 8 x تو یہ result eventually 36 x square آ جاتا ہے اچھا جی ڈیزامپل ہو گئی ایک اور ڈریوڈیو کی ٹیکنیک ہے یعنی اگر آپ کے پاس function کی division ہے how do you find the ڈریوڈیو of that this is getting even more and more ڈریوڈیو of 4 x square ناو کیونکہ آپ یہ درہ سا اور کمپلکیٹی ایک فارمیلہ ہوگا آپ کو کیا آپ کو آپ کو ناو کے لیتے ہیں یہ بھی ایک تیرام کی فارم ہے ہے کہ اگر اگر اف اور گی function ہے اگر آپ ہم جو اف اور گی and اف اور گی and اف اور گی and they are more differentiable function at the point x and ڈیوڈیو of x is not equal to 0 then the quotient of these two functions اف over گی is also differentiable and it's given by the formula دی over دی x of f of x over g of x equals g of x times the derivative of f of x minus f of x times the derivative of g of x divided by g of x quantity squared اچھا جی اس کو میں پروف نہیں کروں گا ٹھیک کافی لمبا چڑا پروف ہے اس کا مزے کی بات یہ کہ it's all done by the definition یعنی جو ابھی ہم نے پروف کیا تھا اسی طرح سے یہ بھی پروف ہوگا just use the definition of derivatives, differentiability اور اس میں تھوڑی سی manipulations شدہ پوکنی پرے I'll leave this as an exercise for you I'll do an example اور اس کو ہم پرائم کی فرم میں بھی لکھ دیتا ہوں تاکہ یاد کرنے میں ایسا نہیں رہے پرائم کی فرم میں کیا یہ کیا ہے گا تھیورم it says basically that f over g prime is equal to g times f prime minus f times g prime divided by g squared تو یہ آپ کی پرائم نوٹیشن آگی اس تھیورم کی ایک اجامبل کر لیتے ہیں involving this تھیورم let's go to the screen again یہاں پر دیکھئے کہ آپ کے function ہیں 3x divided by 5x squared یعنی دو function ہیں دونوں کا derivative نکال سکتے ہیں they're both differentiable اور ان کا آپ کو derivative لینا ہے اس ان کے quotient کا تو formula کے ساتھ سے یہ لکھا ہوا ہے I think I won't read this یہ آپ کے سامنے لکھا ہوا you can follow it I'll leave it on the screen for a few seconds and of course you have to do this by yourself also on a piece of paper تاکہ پرپرلی کنبنس ہو جائے یہ اجامبل ہو گئی اس کو آپ دیکھ لیجے گا you can do it next تھیورم کرتے ہیں involving the reciprocal of functions how do you find the derivative of a reciprocal of a function so let me write that down also یہ بھی ایک تھیورم کی فرم میں ہے derivative of a reciprocal of a function if g is a differentiable function at the point x and g of x is not equal to 0 then 1 over g of x is also differentiable at x and is given by the formula d over dx of 1 over g of x equals minus d over dx of g of x divided by g of x quantity squared اچھا اس کا تھیورم کا پروف میں نہیں کروں گا کیوں کہ اگر آپ ابھی تک آپ نے دیکھا quotient rule مجھے کی بات یہ ہے کہ you can prove this تھیورم using the quotient rule so I'll let you do it as an exercise بڑا سیمپلس آئے 1 جو نمبر ہے یہاں پے 1 over g of x میں treat that as a constant function اور آپ نوٹ کیا اتنا رکھیں گے constant function کی derivative 0 ہوتے تو this is actually not too much work بہت سی چیزے جو ہوں گی automatically 0 ہو جائیں گی اور اب ہم اس کو so I'll leave this to you ہم آگے چلتے ہیں اچھا یہ تو ہم نے کر لیا جو آپ کا quotient sorry reciprocal جو rule تھا وہ بھی ہم نے دیک لیا اب اس کو ہم سمال کرتے ہوئے اپنا جو power rule تھا ہمارا اس کو generalize کر سکتے ہیں how do we do that let me write something down for you on the screen اور اس کے بارے میں بات کرتے ہیں پھر basically the idea is that using the reciprocal rule we can generalize the تھیورم we saw from positive integers یعنی power rule کی جو بات ہو رہی کہ اس کے اندہ ہم نے کہا تھا کہ it's applicable to only positive integers in the power یعنی n جو تھا وہ positive integers تھا اب ہم اس کو change کر لیتے ہیں to all integers بیسکلی all سے مطلب یہ کہ اس میں negative بھی ہو سکتے ہیں positive بھی ہو سکتے ہیں اور اس کم کیسے کریں گے we'll do it using the reciprocal rule تو as a theorem I'll state this if n is any integer then d over dx of x to the power n is equal to n times x to the power n minus 1 and basically it's exactly the same thing as we saw earlier تو اس کو کیسے پروف کریں گے اس کو بھی I will leave this as an exercise یہ بھی پروف ہو سکتا ہے برای رام سے کیونکہ مینشن کیا ہے کہ I can generalize I am writing this theorem down using the reciprocal rule تو اس میں reciprocal rule کی اندر اگر آپ سوچیں کہ how am I doing it ریسیپروکل کا مطلب یہ ہوتا ہے کہ جب آپ اس کو one over something لکھتے ہیں it's also something you can also write that as like for example if I write one over x اس کو میں لکھ سکتا ہوں it's x to the power minus 1 یہاں پر negative integers انوالپ ہو گئے اور وہی idea ایدر بھی انوالپسا in terms of functions so again ریسیپروکل رول سمال کرتے ہوئے I generalized it I leave it as an exercise for you to prove it also تو یہاں ہمارا آخری طوک تھا آخری چیس تھی ہماری جو ہم نے بات کی rules of differentiation یہ جو ٹیکنیکس تھی اس کے بارے میں تو یہ سب ہو چکا ہے اب اس کے بارے میں کوئی سوالات ہوں so we can all this talk on e-mail لیکچر یہیں بھی ختم کرتے ہیں تو آچ کی لیکچر میں ہم نے کیا باتے کی basically techniques of differentiation constant functions کی differentiation ہم نے کی how did we basically find found the derivative of the constant function پھر ہم نے power rule define کیا اس کے بعد quotients products sums کی بات کی functions کی اور ان کے derivatives معلوم کرنے کے طریقے دیکھے تو وہی بات ہے کہ ہم نے theorems سکیے you must be feeling کہ بھئی اس لیکچر میں تو theorem ہی theorem آتے گئے بالکل ٹیک بات ہے آتے گئے لیکن وہی بات ایاد رکھیں جو ہمارے teacher کہتے تھے کہ یہ once in a lifetime چیز ہے آپ نے آچ دیکھ لے theorem آج کے بارہ آپ کو پھر دیکھنے کی ضرورت نہیں ہے کافی پرانے theorems ہیں they are correct لیکن یہ ہے کہ ان کے جو formلہ تھے وہ ہم یاد کر لیں we learn them by heart and use them again and again whenever we see them fit to use تو یہ آچ کی لیکچر ہو گیا next time پھر باتے کریں گے اور derivative کے بارے میں اور اس کی techniques کی تو تب تک کیلے جارت دیجیے I'll see you next time Thank you خود آفس