 آسلام علیکم آج لیکچر نمبر 17 شروع کرتے ہیں اور آج بیٹ کے کریں گے یعنی میں بیٹ ہروں گا اور آپ لوگ کھڑے رہے ہیں چاہی بیٹ ہیں یہ آپ کی مرزی ہے پیچھل لیکچر میں حسن میں تھک بہت گیا تھا میں تو میں نے گلائیں چلیں ایک نئی ٹیکنیکس سمال کرتے ہیں پیچھلی صرف ہم نے ٹیکنیکس آف دیفنسیئیشن کی بات کی تھی this time i am using a different ٹیکنیک آف لیکچریں تو اس میں کوشش میں رہی ہے کہ میں بیٹ کی سارہ لیکچر دوں تو دیکھتے ہیں کس حتک میں اپنے آف و قابل میں رکھ سکتا ہوں کیونکہ اگر زیادہ کبھی کبھی میات میں ہوتی خاص بات خاص و جب کالکلس کی بات ہوتی ہے کہ پیپل کے لیکچریں جو لیکچر ہیں تو اگر میں زیادہ اکسائل ہوگا تو may be then i can move around ہوں سکتا ہوں میں کھڑا ہوں کہ move کرنا شروع کر دوں لیکن کوشی جی ہے کہ میں بیٹ کی کروں سارہ لیکچر تو let's see what how this goes لیکن یہ کہ آپ شروع کرتے ہیں لیکچر کی بات تو آج کے لیکچر میں بیسکل ہم بات کریں گے ٹیکنیکسی کی بات ہوگی of differentiation i.e. finding derivatives of particular kind of functions اور وہ particular kind of functions کون سے ہوں گے وہ ہوں گے جناب آپ کے trigonometric functions تو ابھی پیچھلے لیکچر میں ہم نے جو بات چیتی تھی پہلے تو یہ یہ کہ ابھی تک ہم نے derivative کا idea count define کیا ہے اس کو formalize کیا ہے تھوڑا سب اور پیچھلے لیکچر میں ہم نے دیکھا کہ ایک خاص قسم کے functions کو کیسے ان کو differentiate کیا جا سکتا ہے ان کا derivative معلوم کیا جا سکتا ہے اور اس کے کچھ theorems تھے کچھ ان کو ہم نے proof کیا وہی بات ہے کہ ایک بات proof دیکھ لیتے ہیں اس کے بعد we'll just use those proofs those formulas in those proofs تو وہ ہم نے کر لیا تھا اور power rule کی بات کی تھی کہ how do you differentiate functions that look like x to the n اور اس کے علاوہ ہم نے اور sums کی بات کی تھی کہ functions کا یہ difference تھی ہوا ہے تو ان کو differentiate کیسے کریں تو وہ ساری بات چیت ہو چکی ہے I hope اس کے بارے میں کافی clarity ہو گیا آپ کو concept کی کوئی مسئل ہے تو of course اس پہلے بھی میں نے کہا تھا کہ email کر لیجے یا ہم بیسے بات چیت کر لیں گے and we can elaborate on those ideas تو اب ہم اس لیکچر میں مزید یہی کرتے ہیں کہ شروع کرتے ہیں بات چیت about start talking about differentiation or differentiating you're finding the derivatives of trigonometric functions تو سکرین پی دیکھ لیتے ہیں کہ کیا ہے آچ کی جو topic سے وہ کیا ہے so let's go to the screen and see what they are topic جناب آچ کا ہے derivatives of trigonometric functions اور اس میں اچھے خاصی لمبیسی لیسٹ ہے کافی straight forward ہے اس لیے مرے حاصل میں لیسٹ بنائی تھی اس میں basically derivative ہم معلوم کرنا چاہیں گے trigonometric functions کیا وہ کون کون سے functions ہے basically پہلے ہم دیکھیں گے derivative of the function f of x equals sine x یہ پہلے اس کے بارے میں دیکھیں گے اس کا derivative کیسے معلوم کرتے ہیں پھر ہم derivative of the function f of x equals cosine x دیکھ لیں گے یہ functions basically ہم دیکھ چکے ہیں پہلے اور وہی بات ہے کہ ان کو functions کی طور پر دیکھیں گے یعنی ratios کی طور پر define ہوتے ہیں but we look at them from a functional point of view اس کے بعد جناب ہے derivative of the function f of x equals tangent x یا tan x جیسے کہتے ہیں اس کے بعد ہے جناب derivative of f of x equals secant x جس کو sec x لکھا ہے میں نے شورٹ فرم اس کی اس کے لیوہا derivative of the function f of x equals cosecant x اس کو cosac لکھا ہے اور اس کی شورٹ فرم جو دی اور آخر میں derivative of f of x equals cotangent x اس کو ہم cot بھی پڑھتے ہیں cot x اس کے لیوہاں یہ بھی دیکھیں کہ how to find the derivative of functions that are made up of the functions that we've just looked at look at یا ان کی کومبینیشن کو ایسی ہو جن کو ہم استعمال کر کے ان کے بارے میں باچیت کر سکیں تو جناب یہ ہوگیا آج کا جندہ ہمارا بیسکل of this lecture کے derivatives کی بات کرنی ہے of trigonometric functions کون سے والے جو ابھی ہم نے دیکھے ان کے اور ان کی کومبینیشن کے یا ان کے کوئی mixture ہے in functions اس کے مال کرتے وی ہم کوئی composition اگر آپ کو یاد ہے اگر تو استعمال کرنے نہیں چاہئے آپ کو یاد ہونی چاہئے composition of functions تو اس میں ہم نے دیکھا تھا کہ نئے functions کیسے بنائے جا سکتے ہیں by composing functions تو اس کو ان میں اگر یہ functions استعمال کریں اور ہم دیکھتے ہیں ہم دیکھتے ہیں کہ ہمیں پس نئے functions آسکتے ہیں تو ان کو کیسے differentiate کریں گے وہ بھی ہم دیکھیں گے تو یہ پہلہ بات چیز شروع کرتے ہیں sinex کی function f of x اس سے پہلے کہ شروع کریں تھوڑا سب اسی میں کہنا چاہوں گا کہ جو تھوڑے پہلے بھی میں نے کہا تھا کہ ان کو you just sine cosine وغیرہ ہیں sine cos وغیرہ ان کو ابھی تک ہم نے جو functions کی طور پہ دیکھا ہے کچھ پچھلے لیکچرز میں we did look at them from a function point of view but again تھوڑا سکتے ہیں کہ these are the identities that you get from right angle triangles یعنی ایک right angle triangle اگر آپ کے پاس ہے اور اس میں ایک angle involved at theta جسے theta بھی کہہ سکتے ہیں وہیں پرانانسیشن کا تھوڑا سا فرق ہے لیکن میں theta ہی کہوں گا آج کے باس سے theta اگر function ہے تو اس کی آپ ریشوز بنا سکتے ہیں opposite side base hypotenuse جو انوالس کرتی ہیں یعنی مثال کے طور پر اگر آپ کے right angle triangle جس کا angle central angle theta تو اس کا sine جب لیں گیا یعنی sine theta جو ہوتا ہے opposite side divided by hypotenuse opposite سے opposite and hypotenuse جو انوالس side right angle triangle جو تو یہ چیزیں ہیں یہ ریشوز کے طور پر ہم اس طرح دیکھتے ہیں جب functions کی بات ہوتی ہے تو basically idea ہوتا ہے کہ اب ہم basically functions کی طور پر ان کو define کرنے x or y axis اور اس کا process کیا ہوتا ہے وہ تھوڑا سا لمبا ہے لیکن میرا سے previous ایک کسی لیکچر میں نے کہا تھا کہ idea ہوتا ہے کہ آپ کا right angle triangle ہوتا ہے اور concept کی ہوتا ہے کہ if you cut that circle into like you know from some place and unravel it and you can put it on an x and y axis تو وہ آپ کا function بن جاتا ہے sign x کا یعنی اگر sign تھا تو آپ کی value تھی کوئی you can convert it into a functional value value on the graph of the function sign x خیر یہ تھوڑا سا preview تھا اس کے بارے میں آپ خود بھی معلومات حاصل کر سکتے ہیں point یہ ہے کہ we are going to deal with the function part of it and let's start talking about the function f of x equals sign x and it's derivative so let's go to the screen تو اس کا مخصد یہاں پر یہاں ہے کہ we want to find the derivative of the function f of x equals sign x or basically اس کو یہ کال تانا سکتے ہیں کہ we want to differentiate sign x یعنی ایک تانا سے differentiate کبھی مطلب وہ ہوتا ہے اب ہم اس کو کیسے معلوم کریں گے how do we find the derivative we do it by definition of derivative یعنی ایک function آپ کے پاس ہے اس کا derivative معلوم کرنے کے لیے ایک definition تھے ہمار پاس اس کو ہم استعمال کریں گے تو یہاں بھی دیکھئے کہ d over dx of sign x اگر ہے میرے پاس تو by definition of derivative it should be equal to limit by h تو یہ بیسکلی this follows from where this follows from obviously the definition of derivative اب اس میں یہ ہے کہ sign x plus h کیا چیز ہے یہاں پہلے کچھ previous lectures میں میں بات کی تھی وہ آپ کو یاد بھی ہوں گی اور یہاں آپ دیکھ لیے تو اس کو کیا کریں اس کو اکسپینٹ کر سکتے ہیں ظاہر ہے we can expand sign of x plus h as sign of x times cosine h plus cosine x times sine h یہ ایک trigonometric identity ہے sign x plus h کی یہاں expansion h کی اور اس میں سے آپ سپٹر کر دیجیے sign x and you divide the whole thing by h and you taking the limit پشلے لیکچر میں آپ نے کچھوں manyplations دیکھی تھی یہاں پہ بھی دیکھ لیجی کہ what I will do now is collect things that look like that look like they can help me with some stuff تو بیسکل یہاں آپ انوٹ کریں گے جو پہلی term تھی اس میں sign x میں common لے سکتا ہوں یعنی بیسکل sign x اور cosine h کے ساتھاگر میں minus sign x کو لگ دوں تو میرے پاس آتا ہے limit as h goes to zero of cosine x times sign h divide by h تو اس کا ساری کونٹی کا لیمت لے رہا ہے as h goes to zero یہاں manyplations جو یہاں اس کو of course I would expect you to look at this yourself also and convince yourself کہ ہاں واقی یہ ہوسکتا ہے زیادہ اس کند کوئی خاص ہو نہیں ہے manyplations just a very simple collecting is minus sign of x times 1 minus cosine h over h چیزہ تھوڑی سی اولٹ پولٹ ہو گئی ہے کیسے ہوئی ہے کچھ بھی بڑی بات نہیں ہوئی ہے سیمپل سی بات یہ کہ جو cosine x اور sign h over h ترم تھی وہ آخر میں لکھی تھی previous لین میں اس کو میں نے پہلے لکھ لیے اور جو cosine h minus 1 h minus 1 1 minus cosine h کیونکہ minus 1 fact out ہو چکے divide by h اچھا جی تو یہ ابھی تک جو یہ کافی لمبی سرین تھی اس میں کافی بہت کچھ لکھا کافی چیزہ لکھیں اس میں اب یہ last term جو آئی ہمارے پاس اس کے ساتھ ہم کیا کر سکتے ہیں اس کے ساتھ اب ہم اس میں کی۔ی بات کی گی cooperate ہم ہم یہاںillah این کو سوا پربی جو اس میکنے آپسمک جو الفے ایک ایجگوز ایک ایک ایک ایک لیکن کو سینکس اور سینکس جو ہن دونہ اتر اس کے اندر انوالگت اس طرح پوری ترم میں ان میں ایچ کوئی نہیں لہذا از ایچ گوز تو زیروں اس میں کوئی فرق نہیں پڑھائے گا کو سین اور سین کے اندر کیونکہ ذاہرے وہ دونہوں کو کسٹرنٹ رہنگی because they don't have any h's in it. تو باقی کیا چیز رہ جائے گی باقی وہ چیز رہ جائیں گی جو ایچ کو جس میں ایچ انوالگت ہے تو ان کو ہم جب لیمٹ لیں گے تو کیا ہوگا آئی دیکھیں اس پر مزید تھوڑا سا کام کرتے ہیں کہ first of all limit as h goes to zero of sin x جیہا وہ sin x رہ گا یہ میں نے بھی تھوڑا دیر پہلے گا کہ بیسیقی کونسٹنٹ ہے h ہے نہیں تو it's going to stay کونسٹنٹ similarly cosin x کاگر آپ لیمٹ لیں گے as h goes to zero اس میں بھی کوئی h نہیں ہے لہذا اس کا رزل بھی cosin x آجائے گا اب بات یہ ہے کہ sin x جو ہے جو باقی ترمز ہیں یعنی جس میں sin h over h انوالگت ہے اس کا آپ اگر لیمٹ لیتے ہیں as h goes to zero تو وہ آتا ہے one recall this from a previous lecture اس کے بارے میں ہم نے کافی بات کی تھی یہ one آ جائے گا اور جو one minus cosin h over h کا ہے limit as h goes to zero وہ کیا آتا ہے اس کی value اگر آپ یاد کریں کہ وہ آتی ہے zero تو یہاں پر رزلت بیسکلی آپ کے پاس آتا ہے cosin x times one minus sin x times zero which is equal to basically cosin x تو یعنی ہم نے کیا پروف کر لیے we have proved that d over dx of sin x is equal to cosin x اچھا جی تو یہ آپ کا sin x کا ہو گیا a derivative اب ہم next کی بات کرتے ہیں cosin x کی so you want to find the derivative of cosin x اور f of x equals cosin x اس کا derivative function معلوم کرنا ہے تو کیسے کریں گے definition of course we will use the definition of the derivative وہی process ہے جیسے پہلے کیا تھا اور آپ تک کرتے آ رہے لیکن calculations are the things that matter تو آئیے اسپین پر کچھ لکنا شروع کرتے ہیں تھوڑا سا یہاں پر یہاں کہ وہی process ہوگا یہاں پر لکنا ہے کہ we want to find d over dx of cosin x well that by definition should be equal to cosin x plus h minus cosin x divided by h اس کو تھوڑا سا expand کریں گے تو we will get our derivative لیکن we won't do it اس میں یہ ہے کہ calculation جو اس کی ہوگی involved it will be the same thing as the calculation we saw for sin x یہاں پر ایسا کرتے ہیں کہ آپ کے لیے میں چھوڑ دیتا ہوں as an exercise کہ proof کرنا کہ derivative of cosin x equals minus sin of x تو یہ میں آپ کو بتا دیا ہے کہ derivative کیا ہے derivative of cosin x is equal to minus sin x but you have to prove it yourself as an exercise or definition میں لگ دیتی of course اس کیا انوالڈ ہے اس کیا انوالڈ ہے cosin of x plus h basically اس کی ایک trigonometric ڈرنتی ہے کیا ہے وہ آپ معلوم کر سکتے ہیں I'll leave it up to you as an exercise ہم آگے چلتے ہیں we'll start looking at the next function derivative of tangent x here the function y equals f of x equals tangent x تو tangent x میں کیا انوالڈ ہے اس میں کچھ بھی انوالڈ نہیں ہے سولان تو یہ ہے کہ it's a similar kind of function کوئی خاص problem نہیں ہونی چاہیے just by applying the definition we should get the answer right تو اچھا چلنے ٹھیک ہے اگر definition استعمال کرنی ہے تو let's do it سکین پیلکنہ شروع کرتے ہیں by definition d over dx of tangent x should be equal to limit as h goes to 0 of tangent of x plus h minus tangent of x divided by h اچھا جی simple right look simple لیکن مجھے کی بات یہ کہ it's not that simple کیونکہ مجھے تو بالکل یاد نہیں get tangent of x plus h کی کیا expansion ہونی چاہیے I mean of course there must be an expansion work out کی جا سکتی ہے lakin I don't recall it کافی uncommon see an expansion لیکن ایک یہاں پر ٹرکی جا سکتی ہے یعنی یہاں کہ سوال یہ ہے کہ by tangent of x plus h کی expansion کیا ہے یعنی ایک trigonometric identity ہے کی کوئی جیسے ہم نے sign میں دیکھکی تھی sign of x plus h کی ایک expansion تھی similarly میں نے کہا تھا کہ cosine of x plus h کی بھی expansion ہے I left it as an axis x to you اسی کافی اسانسی expansion ہے وہ ابھی ہلکہ ہم دیکھیں گے پھر سے اسی طرح سوال یہ ہے کہ tangent of x plus h جو ہے can we expand that somehow مجھے میں نے کہا بالکل یاد نہیں کہ کیسے کرتے ہیں لیکن let's do something mathematical کچھ mathematical thinking کرتے ہیں اگر آپ کو نہیں معلوم کوئی چیز تو what can you do you can go back to some more basic things which is the point of mathematics one way of you know going further making more progress in math you go down to the basics now tangent x plus h کی بات ہو رہیے the tangent function جو اس کے بارے میں مجھے اتنا ضرور پتا ہے کہ it's the ratio of the sign function and the cosine function یعنی if I had tangent of x I could write that as tangent x equals sin x over cosine x let me write it down on the screen for you یہ مجھے ضروری یاد ہے کہ tangent of x جو ہے اس کی identity یہ ہے کہ tangent x equals sin x over cosine x یہاں پہاں ہمارے پاس x نہیں ہے x plus h ہے so maybe but still we can still use this identity which I just wrote down on the screen اس کو استعمال کر کے instead of x we'll use x plus h اور دیکھیں کہ maybe we can get somewhere so let me write down some stuff on the screen for you یہاں پہاں دیکھئے کہ tangent of x plus h جو ہے is what we are talking about اس کے بارے میں بات چیٹ کرنا چاہ رہے ہیں کہ اس کی کوئی identity ہے which will actually let us do something in terms of the definition of derivative جو ہم استعمال کر رہے ہیں involving a limit تو آپ یہ دیکھیں کہ tangent of x plus h جو ہے اس کو میں لکھ سکتا ہوں as sine of x plus h divided by cosine of x plus h یہ ابھی تھوڑی در پہلے میں نے identity کی تھی اس کو استعمال کی ہے x کی جگہ x plus h استعمال کر رہے ہیں کوئی فرق نہیں پڑھتا اب اس کو مجھے sine of x plus h کی تو ہم نے ابھی دیکھی تھی identity وہ کیا تھی وہ یہ تھی کہ sine of x plus h جو ہے برابر ہوتا ہے sine of x times cosine of h plus sine of h times cosine of x کے برابر ہوتا ہے یہاں پہاں آپ کو کچھ bonus مل رہا ہے یہ پریویس جو میں آپ سے کہا تھا cosine of x plus h cosine of x کا دریویٹف معلوم کرنا تھا اس میں cosine of x plus h انوالف تھا تو وہ bonus یہاں پہاں آپ کو میں بتا رہتا ہوں کہ اس کی expansion کی ہے لیکن وہی بات ہے کہ بک میں بھی آپ کو مل جاتی ہے اپنی لیکن یہاں پہاں دیکھ لی جیے کہ cosine of x plus h جو ہے اس کی expansion ہوتی ہے cosine x times cosine of h minus sine of x times sine of h یہ بیسک identity سینٹردنویٹر کی کچھ ہم دیک چکیں پہلے اور آپ ہم پھر سے دیکھ رہے ہیں تو ان کو اب ہم میں نے بیسکل یہ کیا ہے کہ tangent of x کی میرے پاس ایک expansion آگی ایک طرح کی تو اگر اس کو میں استعمال کرتے ہوئے اپنی definition میں ڈریویٹف کی ڈال دوں تو کیا ہوگا آنے دیکھتے یہ ہم اپنہا پاس c k g d over dx of tangent x equals limit as h goes to 0 of tangent of x plus h minus tangent of x divided by h اچھا جیئے یہ دو ڈیفنیشن تھی کہنا چاہئے کہ اپنہا دل تھام کے رکھیں ہم بیک کالکلیشن اس کمیں گا لیٹس look at the screen یہاں پہ اس کی جگہ بوئی بات ہے کہ میں tangent x plus h کی جگہ لکھوں گا sine of x plus h over cosine of x plus h اور tangent x کی جگہ لکھوں گا sine x over cosine x just by using a basic identity جو ابھی تھوڑی در پہلے دیکھی تو یہ ایکویشن بن جائے گی limit as h goes to 0 of sine of x plus h over cosine of x plus h minus sine x over cosine x all of that divided by h یہاں پہ آپ دیکھ لیے کہ ابھی کوئی زیادہ کمپلکیشن نہیں ہوئے لیکن we already have a division within a division یا نیکوشن کے اندر ایک کوشن بن رہے which in itself is a complicated process اچھا اب اس کو اب میں further expand کروں اگر تو کیا آتا ہے رزال آتا ہے جناب limit as h goes to 0 of sine of x times cosine h plus sine of h times cosine x divided by cosine x times cosine h minus sine x times sine of h یہ ایک one this is just one quantity اور اس کے لیوہ اور کیا ہے اس کے لیوہ اس کے لیوہ امہ پر سیک سپٹریکشن تھی minus from this quantity sine x over cosine x divided by h اور اس کا آپ limit لیے رہیں as h goes to 0 ہاں جی کیا خیال ہے اس کے بارے میں پھر ٹھیک تھا it's a big formula right میں نے کہا تھا problem یہ ہے کہ ٹھیک ہے اس one of those cases جاں پہ مات can look very tedious and very intimidating پہلے بھی ایک کچھ ایسے formula دیکھے دے but there's always a way out یعنی ضروری نہیں ہے کہ اگر ہم نے یہی چیز دیکھی ہے یہ formula لکھا ہے تو ہم اسی کو استعمال کریں what would be interesting اور یہ آپ کی ایک exercise ہے کہ ابھی جو میں نے یہ ابھی پچھلی سرین پر ہم نے دیکھی آخر کی جو equation ہے بہت بڑی سی اس میں ایک limit involved تھا اور ساتھ میں ایک لمبی چوریسی equation تھی نیموریٹر میں اور پھر ایک bottom پہ ایش تھا اس کو اگر آپ فردر کسی طرح سے مینوپلیٹ کریں algebraically اور اس میں سے limit کی پھر value ڈال کے دیکھیں گے result کی آتا ہے تو وہ واقی that would be something very remarkable اگر ہو سکتا ہے I'll let you do it as an exercise what I will do is I'll take the easy way out وہی مات میں وہی بات ہوتی ہے میں ہاں سکتا ہوں میں نے کہا تھا میرے ایک teacher تھے a good mathematician is a lazy mathematician تو میں تھوڑا سا lazy ہوں گا یہاں پہ and I'll use something different ایک اور تکنیق سمال کر سکتے ہیں and let's look at that also let's go to the screen اچھا screen پہ دے میں a quotient rule کی بات کرنا چاہ رہا تھا کہ جو quotient rule ہم نے پسلے لیکچر میں دیکھا تھا for finding the derivatives وہ ہم استمال کریں گے یہاں پہ بجائے جو definition and derivative کی اس کے کیونکہ definition ہم نے دیکھا کہ that involves a huge calculation اس میں آپ کرکے دیکھلیجے میں نے کہا تھا کہ leave it as an exercise for you do try it اگر ہو جاتی ہے تو بہت ہی اچھی بات ہے لیکن here's the shortcut method quotient rule کی حصہ میں استمال کروں گا اور وہ یہ تھا کہ اگر quotient rule کہا تھا کہ اگر آپ کے پاس دو function کا quotient ہے f over g and if you take the derivative of d over dx of f over g well that's the same thing as g times derivative of f minus f times the derivative of g divided by g square یہ یہاں پر میں استمال کروں گا کیس طرح سے اس طرح سے استمال کروں گا کہ tangent x جو ہے وہ ہم نے دیکھا کہ it's equal to sin x over cosine x لہذا when I say d over dx of tangent x I am also saying the same thing as d over dx of sin x over cosine x sin x میرا f function ہو جائے گا cosine x جو g function ہو جائے گا اور یہ استمال کرتے بہت ہی definition دیکھیے کہ کالکلیشن بڑی اسان ہو جاتی ہے because now I have cosine x multiplied by the derivative of sin x d over dx of sin x minus sin x times the derivative of cosine x or in other words d over dx of cosine x all of that divided by cosine squared x which is now going to equal to cosine x times derivative of sin x کیا چیز ہوتی ہے یہاں ہم نے ابھی سب سے پہلے چیز دیکھی تھی this is going to be cosine x so I have cosine x times cosine x minus sin x times the derivative of cosine x یہ ہم نے آپ کو پروفت نہیں دیا تھا لیکن میں آپ کو بتایا تھا کہ derivative of cosine x is equal to minus sin x لہذا I have sin x minus sin x times minus sin x and all of that divided by cosine squared x اس کو further simplify کریں تو ہمارے پاس آتے ہے result cosine squared x plus sin squared x divided by cosine squared x اس میں اگر ایک ڈینٹی آپ کو یاد ہے سب سے بیسک جو اور کو اگر یاد نہ ہو آپ کو تو یہ یاد ہونی چاہئے اور وہاں ڈینٹی ہے کہ cosine squared x plus sin squared x equals one یہاں پہاں اگر وہ میں سب چیٹ کرتا ہوں تو I get one divided by cosine squared x آپ یہاں پہاں ایک اور سمبل سی ڈینٹی کے 1 over cosine x جو ہوتا ہے وہ سیکنٹ x کی برابر ہوتا ہے اگر سیکنٹ x کی برابر ہوتا ہے تو یہ جناب آپ کا ہو گیا یہ کالکلیشن آپ نے بھی دیکھی یہ آپ کا ڈیوٹیپ ہو گیا ڈینٹیٹ ڈیکس کا آپ نے نوٹ کی ہے کیسے instead of using the definition I use some other trick تو یہاں پہاں ڈیوٹیپ ہم سیک رہے ہیں We are finding out about ڈیوٹیپs or how to find the ڈیوٹیپ of ڈینٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ ڈیوٹیپ لیکن ایک زمبیل ہوتی ہے جس میں جب دل چاہتا ہے وہ کوئی ایک مزدارسی چیز نکال لیتے ہیں ٹریک اور وہ کالپلیشن سے سمفلیفہ کرتے ہیں یعنی جہاں پہلے ایک بڑی کمپلکیرٹسی ایکویشن میں پھز گئے تھے وہاں پہ میں نے کہا بھی کوئی مسئل نہیں میں اپنی زمبیل میں گیا، میں نے اپنی مثمیٹکل زمبیل کیلیجے وہاں سے ایک ٹریک نکالی، ایک پیسک ایڈیا نکالا جو بہت پہلے کیسے زیادہ سمفلیفہ ہوگی، یہ کالپلیشن ساری اور ہمیں وہ سارا لمجھ اورا کام کرنے ہی ضرورت نہیں پڑی تو at the basic level we are also seeing how to do مات یعنی مات میں کیسی ٹریک استعمال کی جا سکتی ہیں اور you're allowed to be as tricky as possible as long as your logic is consistent اور آپ کے جو rules already known ہے ان کوہاں ویلیٹ نہیں کر رہے یہاں بھی دیکھیں کہ اس کالپلیشن میں میں نے استعمال کی تھی ایک جو فکٹ استعمال کیا تھا یہ تھا ہے کہ derivative of sine x جو وہ cosine x ہے اور cosine کا جو derivative ہے was minus sine x ہے یہ ایک وہ سٹیپ سے جو میں پہلے پہلے پہلے تو ابھی اسی لیکٹر کے شروع میں آپ کو بتا چکا تھا تو I'm basically using what I already know to build further more mathematics تو some basic ideas کے مات ہوتی کیسے تو یہ آپ کی اس میں یہ بھی ہم نے سیکا کہ مات ہوتی کیسے اس کے اندھا کیا ٹرکس ہوتی ہیں اس کے لیٰہ ہوا یہ کہ what is the derivative of the function f of x equal tangent x تو اب ہم اپس تین functions ہیں جنکہ ہم اپس derivative آ چکیں and we can of course اب جب آگے باقیوں کے معلوم کریں گے تو we can use these things of course and we'll see that we can simplify things a lot ایک چیز اور سے پہلے کہ ہم آگے بڑھیں میں نے آپ تھوڑے دیر پہلے کہا تھا جو لمبی والی کالکلیشن ہم نے دیکھی تھی جب ہم نے tangent x کا derivative معلوم کرنا تھا تو ایک بہت لمبیسی equation آئی تھی لیمٹ کی انولف کرتی تھی وہ لیمٹ کو یہ by definition of the derivative ہم نے drive کی تھی تو اب مزے کی بات یہ ہوئی کہ ابھی ہم نے جو کیا یہ سب logically consistent اس کے اندر سارے ہم نے rules تمال کر لیے جو کرنے چاہیے تھے اور ہم آپس result آیا کہ tangent x کا derivative ہے وہ ہوتا ہے sec and square x اب آپ کی exercise ایک ہی ہے کہ اگر آپ پہلے والی جو ہم نے definition کو تمال کرتے ہوئے ایک equation منائی تھی derivative کی لیے اس کو اگر آپ simplify کر لیں اور کسی طرح سے manipulate کر کے تو یہ دیکھنا ہے کہ اس میں سے بھی result کیا sec and square x ہی آتا ہے یا نہیں اگر آتا ہے then you are on the right track آپ نے بالکل سی manipulations کییں اور اگر نہیں آتا ہے تو اس کا مطلب ہے آپ کی manipulations غلطیں لیکن یہ نہیں ہو سکتا ہے کہ جو بھی ہم نے دیکھا وہ غلط ہو کیونکہ جیسے میں نے کہا کہ ہم نے جو بھی استمال کیا tangent x کا derivative معلوم کرنے کے لیے وہ بالکل ہم پروف کر چکیں ابھی تک اور اس کا جواب اس کو استمال کرتے ہوئے جو آیا ہمارے پاس وہ بالکل صحیح ہے تو at least we know what the tangent what the derivative of tangent x is and now all we have to do is to use the other calculation and see if we can get the same answer from that it's a good exercise so good luck with that ہم آگے چلتے ہیں آگے چلتے ہیں تو بسرہ جو next function آتا ہے وہ has secant x function f of x equals secant x اس کا derivative کیسے معلوم کرنا چاہیے تو آئیے سکین پہ چلتے ہیں کچھ چیزیں لکھتے ہیں equation ہے جی کہ d over dx of secant x یہ ہمیں معلوم کرنے آپ وہی بات ہے کہ definition اگر میں استمال کروں تو جیسے tangent میں استمال کی تھی تو ایک لمبیسی کالکلیشن آجائے گی اس کو اب ہم اویٹ کریں گے tangent x کا جو ہم نے معلوم کیا تھا derivative اس میں جو pattern accept کیا تھا وہ استمال کرتے ہیں or let's reduce this problem of finding the derivative of secant x to the problem of finding the derivative of something we already know namely the function cosine x how do we do it well remember that secant x is the same as 1 over cosine x so basically d over dx of secant x is equal to d over dx of 1 divided by cosine x اب اس کو ہم کیسے کریں گے معلوم فردہ سیمپلیفائی یہ معلوم کیسے کریں گے derivative یہاں پہاں آپ quotient rule again استمال کریں for finding derivatives آپ کا جو top function ہے f function وہ constant function 1 ہے bottom میں g function جی ہے وہ cosine x ہے تو اس کے حوارے سے آپ اگر آپ اپلائے کریں quotient rule you get the equation cosine x times 0 minus 1 times minus sine of x divided by cosine squared x تو یہ سب کہاں سے آئے ہے basically quotient rule سے آئے ہے جو آپ نے ابھی اپلائے کیے اس کے اوپر تو اب اس کو فردہ سیمپلیفائی اگر آپ کریں گے تو کیا آئے گا cosine x times 0 کیا ہوتا ہے 0 ہوتا ہے ظاہرے minus 1 times minus sine x کیا ہوتا ہے sine x ہوتا ہے ظاہرے minus 1 times minus minus minus plus ہوجاتا ہے تو یہ آپ کے پاس آپ آگیا sine x divided by cosine x times 1 over cosine x یعنی cosine squared جو ہے میں نے کہا تھا کہ cosine squared x جو ہے وہ اس کو break کرنے as cosine x times cosine x تو وہ رزل یہاں پہاں آپ سمال کرنے کہ اس کو آپ نے as a product ہی لکھا ہے sine x times 1 top میں or bottom میں cosine x times cosine x still gives you the same thing اور اس کو یہ لکھنے کا مخصد کیا ہے اس کا مخصد یہ ہے کہ now you get something more interesting I mean in a sense not interesting interesting of course but also more compact یعنی sine x over cosine x کیا ہوتا ہے یہ ہوتا ہے جناب tangent x یہ تو ابھی ہم نے دیکھا تھا اور secant x کیا ہوتا ہے یہ بھی ابھی obviously دیکھا کہ it's the same as 1 over cosine x تو جو 1 over cosine x اس کو میں secant x کے طور پر لکھلتا ہوں اور جو sine x over cosine x وہ آپ لکھلیں as tangent x تو آپ کا رزلت آتا ہے d over dx of secant x equals secant x times tangent x تو یہ آپ کا derivative ہوگیا ایک اور function trigonometric function کا کافی کتنے چار ہو چکے میرے خال سے a few more to go we'll do those also تو ٹیکنیکٹ بیسکلی I think ان سب کی ساری ایک سی ہے but let's just do them anyway اور آپ کو now تھوڑا سنس ہو رہا ہوگا کہ how to actually use the derivative how to use it smartly and how to use the rules you already know to actually take to find the derivatives of more complicated functions instead of using the definition all the time یعنی by definition تو بڑی اچھی بات ہے derivative معلوم کرنا but you don't have to do it always کیونکہ calcration's ہوتھ انوالڈ ہو سکتی ہیں but you can always use some tricks simple tricks too and some rules you already know to find the derivative تو اب next function کرنا next function ہے جناب آپ کا f of x equals cosecant x اس کا derivative معلوم کرنا cosecant x کیا ہوتا ہے remember it's the same thing as 1 over sin x تو یہ 1 over sin x equals cosecant x تو آپ کے پاس آئے گا identity سکو استعمال کریں گے let's go to the screen and do this derivative of f of x equals cosecant x معلوم کرنا ہے لہذا what we are trying to do is basically find d over dx of cosecant x well that's the same thing as d over dx of 1 divided by sin x یہاں پہ اب ہم quotient rules استعمال کر لیتے for finding derivatives آپ quotient rules استعمال کریں گے تو آپ کے پاس آئے گا bottom function کا as it is so you get sin x times the derivative of the top function which is a constant function again 1 تو اس کا derivative 0 آجائے گا minus the top function 1 as it is multiplied by the derivative of the bottom function which is sin x sin x کا derivative ہمے معلوم ہے cosine x ہوتا ہے so we get cosine x there divided by the bottom function squared well now that's just going to be cosine x اچھا بس کو سیمپلیفائے کریں گے تو آپ کے پاس جو sin x times 0 تھا وہ تو 0 ہوجیا اس کے top numerator میں آپ کے پاس آجائے گا minus cosine x divided by sin squared x ابھی جو sin squared x ہے again اس کو میں break کر دوں گا as sin x times sin x and write the top as جو numerator تھا اس کو میں break کر گا as minus cosine x times 1 تو جب ایسے divided by sin x multiplied by 1 over sin x کیا مقصد ہے مقصد یہ کہ you can write this in a compact form now using trigonometric identities تو اس کو product کو جب میں لکھوں گا تو I can write this as minus cosecant x times cotangent x چونکہ product ہی تو it doesn't matter where you put the minus sign عام طور پہ یہ ہے convention کے minus جو ہوتا ہے وہ شروعا لکھتے ہیں so basically we can write کو سیکنٹ x equals minus کو سیکنٹ x times کو ٹینجنٹ x تو جناب یہ بھی آپ کا ہو گیا کو سیکنٹ x کا فنکشن اس کا بھی ڈریوڈیف معلوم ہو گیا آخری فنکشن کون سا رہتا ہے آپ کا آخری فنکشن جو رہتا ہے وہ ہے ٹینجنٹ x اس کا ڈریوڈیف معلوم کر لیتے ہیں تو اس میں identity کون سی اب تک تو آپ کو میں حال سے احساس ہو گیا ہوا کہ how do we do this اس میں سمال کرنے ڈریوڈیف معلوم کرنے کی لیے ڈریوڈیف تو again بہتلن بھی کوپیڑیڈ آگی کہ ایکویشن آپ کے پاس ایک ایک اکسپرشن آگی لہذا ہم کوئی ٹرگ نومیٹرک ڈریوڈیف سمال کرتے ہیں آپ بھی کو سیکنٹ ٹریوڈیف کو سمال کرتے ہیں تو ٹرگ ڈریوڈیف کون سی ہونی چاہیئے آپ کی ڈریوڈیف ہونی چاہیئے جو ہمیں پتا ہے ابھی دیکھا تھا ہم نے پچھلی ڈیمپل میں it's equal to cosine x divided by sine x so we'll use that and the quotient rule for finding derivatives so let's do this on the screen derivative of f of x equals cotangent x that's what we want to find out اچھا جی تو یہاں پہ اب آپ لکھیں گے d over dx of cotangent x equals d over dx of cosine x divided by sine x اچھا بجائے اس کے کہ میں اچھا یہ جو میں نے لکھا cosine x over sine x اور اس پر میں d over dx لگا رہا ہوں یعنی I'm trying to find the derivative of this quotient of two trigonometric functions we can do that اور بلکہ ایسا کرتے ہیں کہ I will let you do this one yourself اور میں آپ کو ایک اور اب یہاں پہ وہی والی بات ہے کہ میں آپ زمبیل نکال رہوں میں ابھی تھوڑی دے پہلے اپنی زمبیل میں جھانکہ دیکھا تو میرے پاس ایک اور ٹریک رکھی بھی تھی اور وہ میں یہاں پہاں آپ کے سامنے استعمال کر رہوں I will instead of using the definition cotangent x equals cosine x over sine x I will use the identity cotangent x یا cot x equals 1 over tangent x تو سری فالی جو میں نے ابھی تھوڑی دے پہلے لکھی تھی وہ I will leave that to you to simplify and solve اور ظاہر ہے سوال اس کا جواب جو آئے گا وہ بھی وہی ہوگا جو ابھی میرے پاس آئے گا اس identity کو استعمال کرتے ہیں تو ایک طرح سے ہمارے پاس ایک اچھی بات ہے کیونکہ ہمارے پاس آئے گا can compare the answers of the two methods وہی بات ہے کہ result ایک ہی آنا چاہیے تو میں جو استعمال کروں گا وہ ہے d over dx of cotangent x یا cot x equals d over dx of 1 over tangent x وہی بات ہے کہ سیمپلیفائی کرنی ہوتی calculation one اس لیے میں استعمال کرنا چاہوں گا کیونکہ جب میں top function کا derivative لوں گا تو وہ a constant number ہے one ہے اور اس کا derivative zero آئے گا the things will be simpler تو according to this then basically I will get tangent x times zero minus one times secant squared x see secant squared x کیا چیز ہے it is the derivative of the function tangent x تو یہ آپ کے پاس secant squared x آگیا یہ ابھی ہمیں تھوڑی دیر پہلے بلکے معلوم کیا تھا so we know what that is اب ہم استعمال کریں گے اب ہم اس کو divide کرتے ہیں tangent squared x سے just by using the definition of the quotient rule اور اس کو simplify کریں تو you get minus secant squared x divided by tangent squared x well what is that equal to اس کو اگرہاں فرزا simplify کریں گے تو اس میں secant squared x جو ہے وہ ہو جاتا ہے one over minus one over cosine squared x کی برابر bottom پہاں آپ کے پاس sine squared x over cosine squared x cancelation کی جی بیسکل جبرا استعمال کر کے تو آپ دیکھیں گے کہ اس کا result simplify ہوکے آتا ہے minus cosecant squared x یا جس کو ہم یہ بھی کہ سکتے ہیں کہ it's equal to one over sine squared x جناب یہ ہوگیا آپ کا last trigonometric function اس کا derivative معلوم کر لیا ہم نے تو that was a good thing اس میں وہ بات ہے کہ جو پہلے والی میں نے definition آپ کو بتائی تھی کہ tangent x is also equal to cosine x divided by sine x وہ آپ کو that's your responsibility to actually complete the computation using that definition finding the derivative وہ آپ ضرور کیجے آپ جب کریں گے تو note کریں گے کہ وہی جواب آئے گا آپ کے پاس بھی جو میں نے ابھی ہم نے میں نے آپ کو دکھایا ہے screen paper کی ہم دونوں نے دیکھا سب نے دیکھا تو وہ جواب اور جواب کے پاس آئے گا from your own exercise will be the same and that's the whole point of math اگر دو different جواب آجائیں تو پھر تو ہماری mathی کا کوئی مقصدینہ ہونا تو that's the point یہاں پے اب یہ سارے جو ہمارے بیسک trigonometric functions ہیں ان کے ہم نے derivatives معلوم کر لیا ہے اور یہ بھی دیکھا کہ ضروری نہیں ہے ہم ایسا کہ آپ derivative کی definition استعمال کریں to find the derivative کبھی کبھی اور کچھ manipulations بھی استعمال کی جا سکتی ہیں جو ہم نے ابھی دیکھیں تو آئیے اب آگے چلتے ہیں تو یہ ایک ایک ازمپل کر لیتے ہیں اب ایک اور اس جس میں ہم دیکھیں گے کہ how do we use what we have done so far یعنی اس کے اندر ہم نے ابھی تک دیکھا کہ derivative جو بیسک trigonometric functions ہیں ان کے derivatives کیا ہیں ہم نے معلوم کیا ہے اب ان کی کوئی کامبنیشن بناکے کچھ دیکھیں کہ maybe some kind of combination of these functions can be we can find the derivative of them using the rules we have seen already تو ایک complicated یہ ایک word ازمپل کر لیتے ہیں جو عام طور پر complicated ہوتی ہیں کیونکہ اس میں آپ کو word problem کو convert کرنا ہوتا into a mathematical symbolic problem تو آئیے سکین پر دیکھتے ہیں کہ problem ہے کیا example ہے جناب a problem ہے suppose that the rising sun passes directly over a building there is 100 feet high and let theta be the angle of elevation of the sun find the rate at which the length x of the building's shadow is changing with respect to theta when theta equals 45 degrees express the answer in units of feet per degree تو یہ آپ کی جو ابھی ہم نے word problem دیکھی اس کا ذارہ word problem ہے تو it's kind of hard to understand it تو ایک تصویر بنا کے آپ کو دکھا دیتے ہیں کہ what exactly is happening let's go to the screen یہاں پے فگر آپ کے سامنے اس میں دیکھ لی جی ہے کہ یہ ایک building ہے ایک سورج ہے جو رائس کر رہا ہے اور جو rising sun ہے اس کا ایک angle بنتا ہے from the ground basically جو ground جہاں پر آپ کھڑے ہیں اس سے جو آپ اپر دیکھتے ہیں سورج کی طرف that's called the angle of elevation that is theta اور یہ building ہے چونکہ سورج چمک رہا ہے تو ایک shadow cast ہو رہا ہے مخصد یہ سوال یہ پوچھنا ہے کہ how fast is this shadow changing the length of the shadow as the sun actually goes up یعنی basically theta change ہو رہا ہے اور at a given certain point یعنی theta آپ کو بتایا ہے کہ 45 degrees ہو تو اس وقت کتنی تیس سے یہ shadow کی length change ہو رہی ہوگی تو آئے اس کا solution دیکھتے ہیں from the figure we see that the variable theta and x are related by a certain equation what is that equation that equation is tan theta a tangent theta equals 100 over x یہ ایکویشن کسی ہے یہ بیسکلی تصویر میں دیکھیں کہ you get a right angle triangle جس میں بیسیک trigonometric ڈرنٹی استعمال کرتے وے ہمارے پاس یہ result آتا ہے 100 divided by x اب اس کو اگر تھوڑا سوان وینی پلیٹ کریں ہم algebraic لی تو ہمارے پاس x کے لی ہم solve کر سکتے ہیں x کی value آجاتی ہے 100 times cotangent theta تو آپ سوچ رہنگے کہ کوٹنجنٹ کس ہے آگے یا cot کی درسے آگے اس میں وہی باتے کہ algebraic manipulation جب میں نے کی تو اس میں میں tangent theta کا رسپرکل لیا تھا اور وہ بیسکلی کوٹنجنٹ x کی برابر ہوتے I'm sorry کوٹنجنٹ theta کی برابر ہوتے تو x is going to equal to 100 کوٹنجنٹ of theta تو اب ہمیں مخصد یہ ہے کہ we want to find the rate of change of x with respect to theta یا کہلی جی کہ instantaneous rate of change کہا سکتے ہیں اس کی slope کے حوالے ساگہ interpretation لیں تو وہ بھی یہ کہ we want to find the slope of the function defined by the function we just saw with respect to theta اچھا تو یہ ایک ہاں پر ایک fact میں استعمال کرنا چاہوں گا جو ابھی تھوڑی دے پہلے ہم نے دیکھا وہ یہ تھا کہ ڈی رہے تو یہ ایک ہاں پر ایک fact میں استعمال کرنا چاہوں گا جو ابھی تھوڑی دے پہلے ہم نے دیکھا وہ یہ تھا کہ ڈی اوبر ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی تا یہ ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی تا ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی تا جو ہوگا وہ ہوگا ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی ڈی تا ڈی تا کی برابر تو لیکن اس میں مدے کی بات یہ کہ یہ function کی notation میں ہم نے function کے حوالے سے context میں ہم نے بات کی تھی کہ جب یہ derivatives معلوم کیئے تھے ہم نے تو یہ functions کے حوالے سے کیئے تھے یعنی جو functions کی تھیوری ہے وہ ہم نے استعمال کی تھی ہمیں تو اگر آپ کو یاد ہو کہ functions, trigonometric function ہم ڈیفائن کرتے ہیں تو جو variable ہوتا ہے x ہوگیا یا theta ہوگیا وہ ہم radian سے مجر کرتے ہیں یعنی radians کی جب بات ہوتی ہے that corresponds to trigonometric functions یعنی جو trigonometric functions ہیں وہ radian سے کورپوڑن کرتے ہیں اور جو عام ratio's ہوتی ہیں جو مینجن کی تھوڑی در پہلے شروع میں لیکچر کے بات کی تھی sin theta equals opposite side over high partners وغیرہ وہاں پہ تھیٹا جو ہے وہ degrees میں بیشر ہو رہا ہوتے ہیں تو یہ بہت براہ فرق ہے یہاں پہ اب یہ چکے میں معلوم کرنا چاہوں گا یہ derivative تو مجھے یہ function notation میں ہونا چاہے functional context میں ہونا چاہیے میرے پاس تو اس کو ہمیں ذہن میں رکھنا ہوگا یہ جو ابھی identity دیکھی ہم نے d over d theta of cotangent theta equals minus quo secant square theta we will use it keeping in mind that theta is in radians لیکن ہمارے پاس theta degree میں دیوے ہوا 45 degrees well that's no problem ہم degrees کو radians میں کنورٹ کر سکتے ہیں how do we do it let's go to the screen یہاں پہ دیکھیں کہ جو radians ہوتے ان کی اور degrees کی relationship کچھ اس طرح ہوتی ہے کہ آپ کے پاس ایک radian میں I'm sorry pi radians میں 180 degrees ہوتے تو ان کو اگر آپ اس relationship کو اگر آپ استعمال کریں تو آپ سالف کر سکتے ہیں اور آپ کے پاس result آتا ہے کہ 45 degrees میں کنے radians ہوں گے کہ یہ بیسکل سی بات ہے کہ آپ کے پاس 45 degrees میں یہ جو ابھی میں آپ سے کہا کہ pi radians میں 180 degrees ہوتی ہیں اس سے relationship کو استعمال کرتے ہیں آپ کنکلوٹ کر سکتے ہیں کہ 45 degrees equals pi over 4 radians so we will use this fact آپ بات یہ کہ جہاں تک سالف کرنے کی بات ہے تو ہم کرتے ہیں جو problem تھی اس کو اب یہ ہے کہ ہمیں معلوم کرنا ہے dx over d theta فنکشن ہمارا جو ہمیں دیا تھا وہ تھا x equals 100 cotangent times cotangent theta اس کا derivative آپ اگر لیں گے تو آپ کے پاس result آتا ہے minus 100 cotangent square theta یہاں پہ اب آپ کو یہ آپ کے پاس result آ گیا آپ کر سکتے ہیں کیونکہ آپ نے theta کو degrees radians میں convert کر لیے اب اس میں آپ معلوم کرنا چاہتے ہیں کہ یہ dx by d theta جو ہے اس کی کیا value ہے this rate of change کی when theta equals 45 degrees یا actually more appropriately pi over 4 radians بڑی سیمپل سی بات ہے you evaluate your derivatives that you found at that theta value and you get minus 100 cotangent square of pi over 4 radians that comes out to be minus 200 feet per radians یہ تو آپ کے پاس result آ گیا لیکن مجھے کی بات یہ کہ سوال جو آپ سے پوچھا گیا تھا اس میں یہ تھا کہ آپ کا جو result آئے وہ feet پر جو اس میں جو result آئے گا وہ degrees میں آنا چاہے ہمہاں پاس feet پر radians آئے how do we go back where easily آپ اس کو convert کر سکتے back into degrees تو یہ I believe this as an exercise to you to convert minus 200 یہ جو result آئے تھا آپ کے پاس feet per radians into feet per degrees تو this is going to be your exercise او اس میں یہاں اس example میں ہم نے دیکھا کہ ہمہاں پاس ایک function تھا جو ذراسہ complicated تھا it involved it was not a basic trigonometric function but it involved other things also but we used what we learnt about derivatives of trigonometric functions to solve to find the derivative of this function which was actually representing something in this example تو یہاں پہ ہم یہاں کا آچ کا لیکچر ختم کرتے ہیں کیا آچ ہم نے بات کی basically وہی کہ to find how to find the derivative of trigonometric functions اس میں وہی بات میں پھر سے کہتا چاہوں کہ زمبیل کی تھوڑی در پہلے میں بات کی دی تو اس لیکچر میں اور کچھ نہ سیکاؤ آپ نے گو کہ آپ کو سیکنا چاہئے تو یہ ضرور سیکلی جے کہ I hope you saw کہ how mathematics can be fun یعنی ضروری نہیں ہے کہ ایک بار آپ کو ایک دیفنیشن دے دی گئی تو وہی ہر بار استعمال ہو ہم نے بلکہ دیکھا کہ کئی بار وہ استعمال ہم نہیں کر سکتے تھے لیکن یہ ضرور ہے کہ بہت سی چیزیں جو ہمیں پہلے کی معلومیں ان کو ہم استعمال کر کے creatively or properly logically ہم کافی سیمپلیفائ کر سکتے ہیں کالکلیشن ضرور life کو بھی کافی سیمپلیفائ کر سکتے ہیں تو that is the beauty and essence of mathematics تو یہاں پھر ہم ختم کرتے ہیں اس لیکچر کو next time پھر ملاقات ہوگی practice makes perfect اور کوئی سوال ہوں تو please do email me I'll see you next time Thank you Allah Hafiz