 Bonjour et merci de m'avoir invité. Puisque c'est une conférence en l'honneur de l'École de Paris, de France, de Thermautomorff, et de Roger Gaudemand, je pense qu'il faut que je dise quelques mots là-dessus. Bon, l'École des Thermautomorff, c'est l'école dans laquelle j'ai fait ma thèse, avec Laurent Closel, qui est un de ses membres, avec lequel j'ai appris les maths. Bon, c'était une très bonne période pour moi. Je n'étais pas très sérieux à l'époque. Je n'étais pas souvent là, je ne venais pas au séminaire, je ne l'en faisais qu'à ma tête. Je n'étais un peu insupportable. Donc je voudrais remercier l'École de Thermautomorff de m'avoir supporté pendant ces années-là. Et malgré tout. Et... Et bon, Roger Gaudemand, beaucoup de gens ont parlé de l'influence mathématique qu'il a eue sur tout le domaine et sur eux personnellement. Bon, je pourrais dire aussi que j'ai lu sa livre et je l'ai même parlé une fois. On a été diner ensemble, mais on a parlé de politique, pas de maths. Mais il a eu une influence sur moi aussi, peut-être encore plus existentielle, parce que mes parents se sont rencontrés dans un cours de Gaudemand. Donc, voilà. Euh, ce que je peux dire. Euh... OK. Bon. Le sujet dont je vais parler aujourd'hui, en plus, un autre... Et un peu à l'écart du sujet de la conférence, puisque on ne para pas de formes automorphes sur des groupes de rangs supérieurs ou du prendre de l'anglance, en général, mais plutôt d'objets, enfin, qui sont des formes automorphes, bien sûr, les formes modulaires, mais le plus simple, l'exemple et le plus ancien est assez, finalement, sur des questions qui sont restées éloignées de celles des formes modulaires. Et précisément, les questions dont je vais discuter aujourd'hui, bon, c'est un travail qui... Je voudrais préciser que c'est un travail qui est un tout petit peu ancien. Je vais déjà parler, euh... sur d'autres continents et dans d'autres langues. Euh... Mais pas ici. Euh... Donc... Donc, voilà. C'est un... Le sujet dont je veux parler, c'est les propriétés asymptotiques, c'est un peu de la théorie analytique des nombres, des coefficients des formes modulaires quand on les réduit aux modulaires. Donc, je vais commencer par rappeler le contexte quelques résultats relativement récents, mais qui fixent ce conseil. Et après, je voudrais parler d'un théorème particulier sur les formes modulaires modulaires. Et ensuite, je vais parler de sa preuve qui nécessitera et qui s'appuiera sur un théorème général, sur l'image des familles de représentation d'un groupe profini, en particulier le groupe de Galois, mais le théorème est général. Bon, alors commençons par rappeler un peu le contexte sur les formes modulaires modulaires au P, sur les co-effichies. Voilà. On part d'un nombre 1er P, qui peut être 2 ou un Père, et, d'accord fini, F du caractéristique P. Et je considère une forme modulaire, F, que je vois comme un développement de fourrier, j'écris ça en summe des a-n-q, excusez-moi, en summe des a-n-q à la puissance a-n, pour n à l'an de 0 à l'infini. C'est un élément de F de q. Les coefficients sont dans le corps fini F que j'ai choisi, qui est une forme modulaire, au l'homophone, enfin, si je puis dire, mais mode P, de poids k entier, et d'un certain niveau, que je ne vais pas noter, gabarins de vanne. C'est-à-dire que c'est là, au sens de serre, je peux aussi prendre le sens de 4, ça n'a pas d'importance ici, c'est-à-dire que je prends une forme olomorph au sens le plus naïf du terme, une fonction olomorph sur le 209.4, et je suppose que ces coefficients sont de fourriers à l'infini, sont dans une question de corps des nombres, et je réduis le modulo à un ideal premier, et je tombe les coefficients, tombe dans un corps fini F, et c'est une forme comme ça qui m'intéresse. D'une forme modulaire, mode P, de poids k entier. Et la question que je me pose ici, c'est, si on regarde les coefficients à n, donc ils varient dans un corps fini F, il y en a une infinité, combien de fois ils sont nuls, combien de fois ils sont non nuls, on pourrait se poser la question plus générale, mais aussi combien de fois ils prennent chaque valeur dans F, mais je vais me limiter à la question de la valeur 0, qui est la plus fondamentale, et je vais donc introduire une notation pour le nombre de coefficients qui sont non nuls. Si de Fx, c'est simplement le nombre de coefficients pour être, dans l'indice, jusqu'à x, qui est un entier quelconque, ou en réel, même si vous voulez, tel que le coefficient n'est pas nul. Voilà, et les questions dont je veux parler, c'est estimer, si de Fx, c'est des questions reliées à ce genre de questions. Bon, alors je vais commencer par appeler un théorème qui, relativement récent, que j'ai prouvé avec Sun Dhararajan en 2015, à peu près, qui donne un équivalent de psi de Fx, du nombre de coefficients non nuls jusqu'à x. Cet équivalent, c'est une constante, si, c'est ce que j'ai dit moi, excusez-moi, x divisé par log x à la puissance d'une autre constante, que j'appelle alpha, et multiplié, finalement, par log log x par une autre constante que j'appelle h. Alors ces constantes sont, pour c, un réel positif, strictement positif. Pour alpha, un rationnel est compris entre... Pardon. Compris entre 0 strictement et 3 quarts, largement, et h à un entier positif. Un élément de n, qui va être 0, 1, 2, 3, etc. Ce sont des constants qui, bien sûr, dépendent de F, dépendent de la ferme modulaire, et qui sont, en plus, effectives, c'est-à-dire que la preuve donne moins en théorie, probablement pratique aussi, si on prenait la peine de les programmer, un moyen de calculer exactement h, de calculer exactement alpha en temps fini, et de calculer la constante c avec une précision arbitraire en temps fini aussi. Donc voilà, on sait, on a un équivalent pour le nombre de coefficients qui sont non-nul. Juste pour parler de l'histoire de ce résultat, ça faisait longtemps qu'il y avait eu des travaux sur psychothéatix. Il avait commencé par serre dans l'année 1970, qui avait donné une bonne supérieure en X, divisé par log X, à la puissance quelque chose, qui était positif, mais qui ne pouvait pas estimer. Il y avait eu des bornes inférieures qui étaient assez loin des bornes supérieures, et donc ça, ça donne un équivalent, donc à la fois une brandie inférieure et supérieure, qui sont égales. Mais excuse-moi, le papier classique de serre, c'est pas mode P ? Il y a deux papiers classiques de serre. Il y a le papier classique de serre à l'IHES, qui n'est pas mode P, effectivement. Il n'y a pas de mode P, ils sont plus faciles. Je n'en parle pas ici parce que ça prendrait trop de temps, mais j'aurais pu commencer par ça, par rappeler ça. Il y a un deuxième papier qui est à l'enseignement mathématique, qui fait sa mode P. Et autre question, il n'y a absolument aucune condition sur F ? Alors j'ai oublié une condition, mais effectivement, il y a une condition sur F. Si F n'est pas une constante, c'est la seule condition, et elle est évidemment nécessaire, donc il ne faut pas que F soit juste A0 et que tous les AN soient nul. Donc le KCM n'est pas différent ? Non, le KCM n'est pas différent. Non. Il n'y a aucune différence à ce niveau-là. Ok, mais il n'y en aura plus tard des différences avec le KCM. Mais pour ce résultat-là, non. Bon. C'est un résultat qui n'est pas très dur. Je ne vais pas parler de la preuve. Bon, c'est... C'est l'agèbre de VQ qui agit sur l'espace engendré par F, l'agèbre de VQ sous l'opérateur. Et qui utilise un retour de marche aléatoire dans cet agèbre de VQ, dans le groupe d'éléments inversibles. Mais ce n'est pas le résultat dont je veux parler aujourd'hui. Je voudrais parler de quelque chose qui est beaucoup plus difficile, en fait, et qui est essentiellement complètement ouvert, même comprendre ce qui se passe de manière conjecturale et pas complètement claire. En tout cas, dans la littérature, ce n'est pas complètement clair. Je voudrais parler de ce qui se passe si on considère maintenant une forme modulaire que je lui ai appelée G, que j'ai créé aussi SOME... Oui, d'accord. Bon, maintenant, on prend une forme G qui est SOME de A N Q N, et cette fois-ci, qui peut avoir des pôles au point parabolique, donc à l'infini et puis aux autres points paraboliques, en particulier à l'infini. On lui permet d'avoir des pôles à l'infini et qui peuvent être de poids. Avant, on prenait un poids entier et maintenant, je prends un poids qui, en général, a un demi-entier. Et avant, le poids était nécessairement positif, sinon, oui, il était nul. Maintenant, il peut être négatif aussi, puisque on permet des pôles, il y a aussi des formes de poids négatifs. Donc, il y a beaucoup plus de formes, comme ça que des formes de la première catégorie. Et elles sont intéressantes du point de vue arémétique et combinatoire. Par exemple, un exemple de base de formes modulaires de ce type-là, c'est la série génératrice de la fonction de partition. Sommes de P2NQN ou P2N de partition. Multiplié par une puissance de Q, ça donne une forme modulaire de poids à moins d'un demi. OK. Et... Bon, il y a un certain niveau que je précise pas. Donc, je considère des formes comme ça. Et pour savoir ce qui se passe pour des formes comme ça, en général, trouver ce qu'il fasse pour PSI de GX est assez compliqué. Alors, je vais pas... Je pourrais... Mais... Non, je suis toujours en caractéristique zéro. C'est-à-dire que je prends une forme à priori définie en caractéristique nul, mais à coefficient dans un an de dentier, je l'ai réduit, de la même façon qu'au début. Je vais pas parler de tous les résultats conjecturaux, en caractéristique zéro et en caractéristique P. J'ai rédigé un petit texte qui met toutes les conjectures ensemble que j'ai trouvées et puis d'autres que j'ai faites. Et conjecturalement, on comprend à peu près ce qui se passe, mais c'est un peu... Il y a beaucoup, disons, de cas à considérer. Mais juste pour donner un exemple de choses qu'on conjecture, parce qu'on a énormément d'évidence numérique pour parler, pour utiliser un onglicisme en faveur de cette conjecture, c'est que 6K est un demi entier mais un vrai demi entier, pas un dentier, et négatif. Et si j'ai né pas constante, si j'ai né pas constante, là, on s'y pose un comportement complètement différent de celui qu'on avait pour des formes modulaires olomorphes. On conjecture qu'on a 6 de gx, qui est équivalent à beta x pour une constante beta, qui est strictement positive. C'est-à-dire qu'on considère cette fois-ci qu'il y a une proportion positive des entiers, tel que le coefficient an est non nul. Alors qu'ici, la proportion est 0, à cause du thermologue, qui fait que quand on dégise par x, ça t'envers 0. OK. Donc c'est une conjecture qui est largement ouverte. Par exemple, elle implique que la fonction partition p2n, quand on la réduit au modulo p, est non nul, une proportion positive du temps. Et c'est quelque chose qui n'est pas du tout connu, mais sur lequel il y a eu beaucoup de travail qui a été fait et dit, bon, vraiment beaucoup d'articles. OK. Je vais juste mentionner... Il y a eu beaucoup de théorèmes sur ce sujet, dans des cas particuliers, pour certains g et en général. Je vais mentionner juste un théorème. Un théorème récent, voilà, disons publié en 2018, que j'ai fait avec Ben Green et Sudhararajan, qui dit que si le poids K, comme avant, est un vrai demi-entier et négatif... Non, je ne vais pas vous antiposer négatif. Négatif, excusez-moi. On a... et j'ai n'ai pas constante. C'est un résultat qui est risiblement faible, en fait. On a que si de gx est plus grand de x que resin carré de x sur log log x. Bon, je crois... C'est apparemment le meilleur résultat qu'on a dans ce genre. En général, et pour chacun des cas particuliers qui ont été considérés. Mais c'est quand même très, très loin de ce qu'on espère, particulièrement dans le cas négatif, où on espère vraiment x. Et ici, on n'a que x en demi. Même pas x en demi, puisqu'il y a un log log x. Mais voilà. Je ne vais pas, évidemment, le prouver, mais je ne veux pas parce que ce n'est pas mon objet, non plus aujourd'hui. Je vais juste donner l'idée de la méthode pour motiver ce qui va suivre, pour voir comment on pourrait améliorer ce résultat et prouver quelque chose de mieux. Disons si on est un peu optimiste. Je veux juste l'idée de la preuve. Je la donnais juste en cas où p est plus grand que 2. Ça marche aussi quand p égale 2, mais il faut un peu modifier. Et l'idée, c'est... En fait, il départ, elle est très ancienne, elle a été utilisée déjà il y a 30 ou 40 ans. C'est de considérer, par exemple, on a un peu le choix ici, mais par exemple, la fonction Teta, somme de Qn au carré, comme qui est aussi une forme modulaire, comme on pourrait dire moduloper, qui est une forme modulaire de point à nits. Et... Et ensuite, de définir une forme F, en partant de la forme G qui nous intéresse, pour laquelle on peut vous démontrer le résultat, il y en a multipliant, par Teta, à la puissance P et à la puissance M, où M est un entier assez grand, et qu'est-ce qu'on... Si on multiplie F, j'implie G par Teta P puissance M. Qu'est-ce qu'on obtient, en obtient une forme modulaire F, qui a plein de propriétés agréables, parce que, maintenant, elle a plus de pôle. Si on a choisi M assez grand, en tout cas, Teta tue tous les pôles, donc elle est holomorph, elle a plus de pôle à l'infini. Elle est de point entier. Pourquoi s'attuent les pôles aux autres points ? Ok, je simplifie un petit peu, il faut modifier quand il y a assez long le niveau, mais disons, en gros, on veut s'arranger pour s'attuiter tous les pôles. Donc F est holomorph, elle est de point entier. On peut s'arranger si G était non constante, et donc on peut appliquer le premier théorème, qui est là, et le premier théorème. Et on obtient un équivalent d'opsies de Fx. Et maintenant, si on veut revenir à G, c'est vraiment pas dur, parce que G et F ne sont pas très différents. Finalement, Teta, c'est une forme qui déjà n'a pas beaucoup de coefficient d'onule. Il y a les coefficients d'onule seulement au carré. Et quand on l'élève à la puissance P puissance M, on les écarte encore plus les coefficients d'onule, parce qu'essentiellement, ça devient somme de Q. On est en carteristique P, rappelez-vous. Donc ça devient somme de Q à la puissance N2 fois plus puissance M, et les coefficients d'onule sont très rares. Alors ensuite, il faut encore pas mal travailler pour trouver le résultat précis. Pour trouver ce résultat précis, il faut utiliser de la théorie nettique des nombres et plus précisément de la... Comment on dit ça en français, combinatoire, rythmétique ou quelque chose comme ça, additif, combinatorique, combinatorique, combinatoire, additif pour arriver à ce résultat. Mais voilà, on arrive par cette méthode. Voilà, donc c'est une vague, c'est vraiment l'idée de la preuve. Mais la question que je veux poser maintenant, c'est comment est-ce qu'on peut aller plus loin ? Est-ce qu'on peut espérer, par ce genre de méthode, prouver quelque chose au moins pour certains G, telles que si le GX soit plus grand que X puissance, une certaine puissance qui soit plus grande qu'une anemie, qu'on dépasse cette barrière de toutes les méthodes qu'on connaît jusqu'ici, de racines de X. Alors, pour faire mieux, l'idée, il faudrait, si j'écris, est-ce que j'écris assez gros, je pense pas, mais j'écris un peu plus gros, pour faire mieux, il faudrait, oui ? La poisson d'État, elle s'agit pas à la signiflée, comment tu te rends le nom, quand elle était finie par un puissant de la poisson d'État ? Si, ça n'est pas... Non, parce qu'il y a un... Je vous dis, alors. Attends. Excuse-moi. Oui. Non, ok. Je me suis dit, ok, je suis désolé. Ce n'est pas cette fonction d'État-là qu'il faut considérer. C'est une fonction d'État. Ok, j'ai un peu simplifié cette idée d'argument. Je voulais pas rentrer dans les détails. Il faut trouver une fonction d'État, il y en a des exemples. On le donne dans notre paquet. Non, je pense pas que c'était un moisson, ça marche. Mais il faut que ce soit une forme modulaire, quand même, d'un certain poids. Mais... On peut la plus stabiliser, par exemple. Oui, on peut la plus stabiliser, par exemple. Oui. Voilà. Donc voilà. Donc, pour faire mieux, il faudrait... faire varier. Ici, on a pris un M assez grand, et on n'a pas choisi lequel. En fait, la méthode marche pour n'importe quel M assez grand. Mais pour faire mieux, il faudrait faire varier M en fonction de X. C'est-à-dire, on veut, vous vous rappelez, trouver une borne inférieure, par exemple, pour psi de GX, et pour chaque X. Et le meilleur truc, ça serait d'avoir un M qui donne le meilleur résultat pour un X donné. Et bien sûr, quand l'X tendrait vers l'infini, M tendrait vers l'infini, il faudrait voir à quelle vitesse il faut faire tendre M vers l'infini en fonction de X. Et bon. Mais alors, si on veut essayer de faire ça, si on va voir que... Disons qu'on a choisi de manière intelligente un M en fonction de X, et on a cette forme F qui dépend de M, on a notre théor M qui nous donne l'équivalent de psi de Fx. Mais vous voyez, il y a des constantes que j'ai pas explicité et qui vont dépendre de F, donc de M. Il faudrait comprendre comment elle dépend de M. Il faudrait aussi comprendre le terme d'erreur. Il faudrait avoir quelque chose d'uniforme en psi de Fx. Donc pour faire mieux, il faudrait faire varier M en fonction de X, et il faudrait aussi avoir une version uniforme en F du premier théor M. Théor M qui est là. Je vais lui donner un nom. Théor M1. C'est-à-dire si on avait une estimation de psi de Fx, une borne inférieure de psi de Fx, où on contrôle les constantes en fonction de F, donc en fonction de M, parce que F, ce recette-forme qui dépend du choix de M, alors on pourrait démontrer quelque chose peut-être de mieux. Et j'ai pas de résultat complet dans cette direction, mais j'ai des résultats partiels que je vais expliquer. Ok, donc allons-y. Je vais mettre les choses ici et disons appellons ça à 2. Je vais dire appellons ça comme ça, estimer uniforme. Ok, donc je voudrais expliquer un théor M qui donne quelque chose, plus ou moins d'uniforme pour psi de Fx, une borne inférieure plus ou moins uniforme pour psi de Fx, plus ou moins uniforme en F. Bon, quand est-ce que ça rire ? Pour expliquer le théor M, il faut que je vous introduise un peu de notation. Il y a certaines notions, elles seront familières à la plupart d'entre vous, je pense. Donc, d'abord, le premier truc, c'est que psi de Fx, c'est compliqué, parce qu'on compte tous les coefficients N, AN, qui sont non nulles. Pour N, un entier quelconque. En fait, on pourrait se limiter, puisque pour le moment, disons en première approximation, on pourrait se limiter aux coefficients AN ou N est 1er, parce qu'après tout, on perd que log de X, quand on se limite au nom 1er, et pour l'instant, on n'est pas un log de X près, on essaie d'augmenter la puissance de X, donc ce ne serait pas une grosse perte pour le moment. Donc on va introduire une nouvelle notation, psi de Fx, pour le nombre de nombres premiers, tel que le coefficient est non nulle. Et c'est ça qu'on va essayer d'estimer. Bien sûr, on a psi de Fx, qui est plus grande que le psi de Fx, donc une barne inférieure pour psi de Fx donnera une barne inférieure pour psi de Fx. Ok, je vais introduire quelques notations. Disons M de F, c'est l'espace des formes modulaires olemorphes de tout poids. Je ne fixe plus le poids, je le laisse varier, c'est un entier quelconque, de tout poids k, et d'un niveau fixé. Bon, le niveau, je ne le mets pas dans la solution, parce qu'il ne jouera aucun rôle, en tout cas de gré de précision, où je vais expliquer mes résultats, mais l'important, c'est que le poids est variable. Donc maintenant, c'est un espace de dimension infinie. Et en fait, cet espace est un peu trop grand pour ce qui nous intéresse. On va considérer un sous-espace, où toutes les choses intéressantes se passent, que je vais appeler F caligraphique de F, que je peux définir rapidement, comme l'intersection, pour tous les noms premiers L, qui divise N, ou qui sont P, de l'opérateur UL, qui est un opérateur qui envoie M de F, sur lui-même. Ou bien, une autre manière de définir F de F, qui est clairement la même chose, c'est que ce sont les séries formelles, sommes de ANQQ à la puissance N, qui sont dans M, et qui ont la propriété que si AN est non nul, alors N est premier ANP. Relativement, N et grand ANP sont premiers. C'est-à-dire, les seuls coefficients non nul sont ceux qui n'ont pas de facteurs premiers, qui divisent NP. Bon, c'est la même chose. Dans la deuxième formule... Ici, là, il n'y a plus de L. Non, il n'y a plus de L. Oui. Bon, c'est facile de voir que, en fait, si on a des résultats pour les formes dans cet espace, on a dû très facilement avoir des résultats pour les formes dans cet espace, parce que les formes dans cet espace s'obstiennent à partir des formes-là par l'opérateur qu'on appelle VL, dans la théorie des formes modulaires modulopées, qui est très simple, qui fait agir très simplement sur le coefficient, donc c'est suffit d'étudier cet espace. Les résultats sont plus simples si je suis dans cet espace. Ok, le premier résultat est facile à énoncer. Ça va être une proposition, simplement. C'est que, pour F, qui est dans F dans cet espace, P2Fx est équivalent à une certaine constante delta2F, qui est rationnelle, entre 0 et 1, x sur log x. Bon, ce résultat-là est très facile. C'est simplement chez Votaref. En fait, ce qu'on démontre et ce qui est facile à voir, c'est que cet ensemble, le nombre premier, qui est ici, est un ensemble qu'on appelle Frobenian. Il est défini par certaines conditions que le Frobenius en elle appartienne dans un certain groupe par une certaine classe de conjugaison ou une autre classe de conjugaison. Donc il a une densité, delta2F, et on appuie de Fx équivalent à delta2Fx sur log x. Ça, c'est même pas un résultat, c'est juste pour énoncer. Mais le résultat, c'est que, en fait, delta2F est quasiment toujours positif. En fait, il est positif, sauf si F est égal à 0. Ou alors, il y a un autre cas, mais c'est juste un caractéristique 2, ou si P égale 2 et F a les mêmes valeurs propres. F est un vecteur propre qui a les mêmes valeurs propres que delta. Donc je vais dire F et delta, la fonction de Ramanjan, ou la fonction de delta. On a les mêmes valeurs propres pour l'interprateur de Eq. Ce sont tous les deux des vecteurs propres. F, F, on a les mêmes valeurs propres. Donc essentiellement, si P est différent de 2, delta2F est toujours positif, c'est aussi F égale 0. Et en P égale 2, il y a une petite exception. Et ça veut dire, c'est une corollaire triviale, ça veut dire qu'une forme modulaire modulopée est déterminée par l'ensemble des premiers... Ça devrait être L, en fait. Excusez-moi, puisque P, c'est déjà utilisé pour la caractéristique. Une forme modulaire modulopée est déterminée par cet ensemble de nos premiers tels que L, et l'un des tels que F est différent de 3, 0. C'est suffi d'appliquer le résultat à la différence de des formes. Et on voit que si ces deux ensembles sont les mêmes, P2F-G, X sera 0, ça veut dire que F-G sera 0. Sauf qu'en caractéristique 2, il faut modifier un peu le denoncer. Bon, ça, c'est le premier résultat qui n'est pas très dur. Et maintenant, je vais denoncer le deuxième. Pour ça, j'ai encore besoin d'un peu de notation. Je vais introduire l'algebra de Eq, qui va être un algebre semi-local et de la décomposer. Donc, je vais définir l'algebra de Eq que je vais appeler A. Je vais être l'algebra de Eq dans ma situation. Je la définis comme la clôture, comme on dit, la dérangece de la sous-algebra. Excuse-moi, dans ce qui est présent, tu ne pourras pas que ce soit des formes propres de nouveau ? Non, je ne sais pas. Je ne sais jamais que c'est des formes propres. Comment tu dis que l'ensemble est Probegnat ? L'idée, c'est que pour une forme propre, il y aurait une représentation galoisienne sur un corps attaché à la forme F, et donc, ça sera Probegnat. Et pour une forme qui n'est pas propre, on n'aura peut-être pas de représentation galoisienne sur un corps, mais on aura une pseudo-representation sur un anneau, toujours, attaché à F. Quelle forme ? N'importe quelle forme. Juste parce que c'est juste l'idée de Weis, si tu veux, depuis... Enfin, sur l'algebra de Eq elle-même, la grosse algebra de Eq, c'est le coup que j'ai en train de définir ici, en fait. Il y a une pseudo-representation. Et si on prend une forme F, elle définit un quotient fini de cet agit de Eq, et il y a aussi une pseudo-representation qui descend de celle-là. C'est juste un homme qui n'est pas d'anneau, mais de l'une ou quoi ? Un homme linéaire. Et que va en homme linéaire cette fois-ci ? Oui. Je peux le penser que c'est ça que je dis. Enfin, je base... OK. Bon, adhérences de la sous-algebra de... La sous-algebra de l'algebra des endomorphismes de mon espace F engendré par les T... Ils sont interdus avec Tl, et je prends juste les bons L. C'est-à-dire que je suppose qu'L ne divise pas Np. Donc, bien sûr, les Tl commutent. Donc, ils engendrent une sous-algebra qui est commutative de cet algebre. Cet algebre, c'est... Rappelons que cet espace a une dimension infinie. On peut le mener d'un topologie discrète, et après, on peut mener en de la topologie compact ouverte. C'est ce que je fais. Et donc, je prends l'adhérence. C'est l'algèbre de l'EQ. C'est une manière rapide de définir l'algèbre de l'EQ. Il y a d'autres manières comme une limite projective qui reviennent au même. Mais... OK. Donc, ça, c'est l'algèbre de l'EQ attaché à mon espace F. Et le fait bien connu que je ne vais pas reprouver, bien sûr, c'est que A est semi-locale. A est profini. L'algère profini est semi-locale. C'est-à-dire précisément que A a une décomposition qui est facile à décrire, au moins quand le corps F est suffisamment gros. Et je me suis posé, même sans l'écrire, que le corps F est suffisamment gros, parce que ça ne coûte rien de le faire grossir s'il faut. A est un produit fini de danneaux locaux, profini, que je vais appeler arrobarre, et qui sont paramétrés par... Voilà. On peut dire deux choses. Je veux dire de deux manières différentes. On peut dire qu'ils sont paramétrés par les systèmes de valeur propre d'ETL apparaissant dans cet espace, ou alors, en utilisant la conjecture de serre, par les représentations galoisiennes, au rebarre ou d'audience certaine de représentation, je n'ai pas envie de dire exactement toutes les propriétés, du groupe de galois, de Q, non ramifié hors de NP. Les danneaux locaux, ils sont complets, oui. Oui, ils sont complets. Ils sont complets pour leur idéologie maximale et aussi pour... Ils sont aussi profinis. Ce n'est pas évident que les deux topologies soient les mêmes. C'est évident dans le cas nettairien. On sait que c'est nettairien presque tout le temps, mais il y a des cas où je ne sais pas que c'est nettairien. Par les textes, c'est lié que bien sûr. Oui. Donc, A est un produit arrobarre paramétré par certaines représentations semissimples, parce que ce qui compte, c'est juste la trace qui donne le système de valeur propre, arrobarre. Et ceux-là sont locaux, locaux et complets, de profini. OK. Et bien sûr, une fois qu'on a une décomposition de A comme ça, on a aussi une décomposition de F, de l'espace F, comme produit ou comme somme directe, de l'espace que je peux appeler arrobarre, paramétré par les mêmes arrobarres. Et arrobarre de F, on peut juste le définir, par exemple, comme arrobarre x F. Il y a quand on finit de arrobarre, exactement. Donc, c'est une décomposition finie. C'est pour ça qu'A est semi-locale. C'est pas complètement évident, d'ailleurs. Enfin, c'est bien connu, mais c'est pas complètement tautologique. Donc, on a une décomposition de F. Et bien sûr, cette décomposition, on pourrait la définir de manière plus directe. Les arrobarres de F sont les espaces propres généralisés pour les différents systèmes de valeur propre, simplement. Bon. Et maintenant, je peux enfin énoncer le théorème, le théorème 3, disons, sur ce résultat. Donc, on prend en rebarre, fixe rebarre parmi 7 ensembles finis. Et en fait, je vais énoncer de la méthode de manière un peu imprécise. Je dirais plus tout à l'heure. Je vais dire, il existe un sous-espace naturel. C'est là que c'est... Je suis désolé, mais c'est très imprécif, parce que je ne dis pas en quel sens, c'est naturel. En fait, il y a une définition simple, mais qui dépend des cas de rebarre, et je vais expliquer au moins dans un cas ce que c'est. Il existe un sous-espace naturel que je vais appeler F-rebarre spéciale. Je vais lui faire comme ça. Deux F-rebarres. Permettez-moi, s'il vous plaît, de laisser tomber le corps fini F. Dans les annotations. Il existe un sous-espace naturel F-rebarre spécial de F-rebarre qui est petit au sens où il est de co-dimension infinie. Donc vraiment petit. Il y a une chance zéro de tomber dedans. Quelque... Bon, et une constante C, positive, strictement positive, quelque pour F, appartenant à F-rebarre, mais n'étant pas spéciale, n'étant pas dans le sous-espace spécial. Cette densité delta de F de l'ensemble provenien ici, c'est-à-dire ce nombre delta de F telle qu'au pied de Fx et delta de Fx sur log X, et non seulement strictement positif, mais plus précisément, plus grand que C. C'est-à-dire est positif et borné inférieurement par une constante qui est différente de zéro. Et qui ne dépend pas de F. Et qui ne dépend pas de F. Voilà, exactement. Donc, ce qui est uniforme. C'est pas complètement uniforme parce qu'il y a un sous-espace d'exception d'épargne spéciale, mais il est petit et en fait on peut le contrôler. Je vais expliquer ce que c'est dans certains cas particuliers. Ça, c'est là que ça sera les formes C.M. dans certains cas, les formes abéliennes dans d'autres cas. Bon, ça dépend de ce que rebarre. Mais c'est un espace qu'on peut non seulement décrire, mais en général, on peut dire si une forme appartient à cet espace ou non. Enfin, pas toujours, mais dans beaucoup d'eux-cars. Voilà. Que y ait besoin de faire d'exception, c'est un fait. Sinon, ce sont des termes faux, si il n'y avait pas effrobarse spéciale, sinon, on ne le supposait nulle. Et en fait, j'ai oublié une hypothèse qui est simplement qu'il y ait une hypothèse technique, si on veut, mais vraiment, je ne sais pas, on m'en débarrassait. C'est que, je suppose que P n'est pas 2, à partir d'ici. Quand P égale 2, il y a plein de choses dans la preuve de cette théorème qui ne marche plus. Cela dit, numériquement, P égale 2, c'est le premier cas que j'avais vérifié, et ça a l'air de marcher parfaitement pour P égale 2. Mais je ne sais pas le prouver. Est-ce qu'il est premier ? Oui. Oui, c'est vrai. Bon. Voilà. Si je veux revenir à ce qui était ma motivation pour cette question, cette question d'avoir des bornes uniformes, juste très rapidement, je regarde un peu cette partie-là du tableau. On voit que ce n'est pas tout à fait suffisant d'avoir ça. Même en oubliant ce problème de Froubert Spécial, qui en fait, en pratique, n'en pose pas de problème, le truc, c'est qu'on a que, si E fx est équivalent à... Pardon. Delta 2 fx sur log x, puis d'E fx, c'est équivalent à Delta 2 fx sur log x, Delta 2 f est plus grand que le consent de C, mais on n'a toujours pas de truc uniforme parce qu'on n'a un équivalent et on ne sait rien sur le terme d'erreur. C'est un terme d'erreur dans un diagramme de Chebot Taref. C'est quelque chose sur lequel il y a beaucoup de travail, sur lequel j'ai aussi travaillé un peu. Et mon espoir, c'est qu'on peut arriver à aussi contrôler de manière uniforme le terme d'erreur, mais pour le temps, je n'en suis pas là. Si on y arrivait de manière assez bonne, alors on pourrait prouver plus ou moins cette conjecture ou s'en rapprocher, en tout cas. Bon, mais là, en tout cas, pour la partie pas termes d'erreur, mais termes principales depuis d'E fx, c'est-à-dire l'équivalent en x sur log x, il faut avoir une constante. On sait que la constante est positive et ne s'approche pas de zéro, en tout cas quand f reste en dehors d'un ensemble effrovar spécial. Ok, je vais réparler un peu de la preuve de ce CRM, mais sans avoir le temps d'entrer dans les détails. Mais ça concerne la deuxième partie de mon exposé et c'est sur l'image des familles de représentation. Pour prouver ce CRM, il va y avoir essentiellement deux étapes. La première, c'est de prouver un résultat qui décrit, de manière générale, les images des familles de représentation. En fait, on n'a même pas besoin de savoir que c'est un groupe de galois. C'est un CRM, comme vous verrez, assez général. Et ensuite, une fois que l'on aura ce CRM, il faudra étudier cette image. Cette image définira, comment dire, sous variété analytique, si on veut, de f à la puissance grantaine. Et si on regardera des cautions finies de cet espace, on aura des variétés algébriques sur ces corps finis et on cherchera à compter les points dessus. La première étape est de démontrer un théorème d'images des familles de représentation. La deuxième étape est de compter des points sur des variétés. Mais je ne parlerai pas de la deuxième étape, je n'aurai pas le temps. Et même la première, je vais essayer d'en parler, mais probablement sans donner tous les détails. Oublions un peu toute la première partie et les formes modulaires. Maintenant, on va se placer dans un contexte assez différent. La seule chose qui est commune, c'est que F est comme avant, encore fini de caractéristique P. Et je prends A, un an olocal, un an olocal profini avec M comme idéal maximale et F comme caution. Excusez-moi. Je vais le considérer des familles de représentation d'un groupe. Et ce groupe, je vais l'appeler Pi, et ça va être un groupe profini. Dans les applications, bien sûr, ça va être un groupe de galois. Mais je n'ai pas besoin pour renoncer au problème de théorème. Et je vais aussi partir de la donnée d'une représentation résiduelle, c'est-à-dire au bar qui va être un peu comme avant, ça va être une représentation maintenant du groupe Pi, à valeur dans F, semi-simple. Et je fais une hypothèse dessus que les gens qui connaissent mon travail gaitant depuis longtemps connaissent bien, c'est qu'elle est sans multiplicité. C'est-à-dire que ce n'est pas la somme de caractère identique. Elle peut être irréductible ou réductible, mais si elle est irréductible, ce n'est pas la somme de caractère identique. Bien sûr, c'est une représentation continue, je ne vais pas écrire ce genre de choses. Voilà, donc ça, c'est les données de départ. Et maintenant, je vais considérer une famille de représentations de Pi qui déforme au bar. Et je vais ensuite essayer d'écrire son image. Bon, alors pour définir une famille de représentations de Pi qui déforment au bar, on sait bien que pour définir des familles de représentation, il ne faut pas utiliser la notion de représentation, mais celle de pseudo-representation, qui est beaucoup plus générale et qui est ce que donne la nature. Donc, je vais considérer une pseudo-representation ou un déterminant en sens de chêne vieille, c'est-à-dire en Dimension 2. Je travaille ici en Dimension 2 parce que ça va être appliqué à des formes modulaires. C'est-à-dire, ces deux fonctions continuent de Pi vers F et d'E aussi de Pi vers F star. Et je pourrais écrire les propriétés, mais je ne vais pas le faire, je vais simplement dire qui se comporte comme la trace et le déterminant d'une représentation qui vérifie les mêmes formules. Je pourrais écrire les formules, bien sûr, il n'y a que T2y, quelle T2yx, comme la trace, que D est un morphisme de groupe et puis une autre, plus un peu plus compliquée, mais pas très compliquée. Et c'est ça qui définit une pseudo-representation en Dimension 2. En Dimension 2, bien sûr. En Dimension 2, exactement. Et vraiment, sinon, il y aurait d'autres choses. Non, c'est juste pour la Dimension 2. Et bien sûr, une des propriétés qu'on demande, c'est que T2y1 égale 2. Ça c'est... Bon, voilà. Et je fais faire quelques hypothèses sur cette pseudo-representation, si je veux prouver des choses en image. Finalement, c'est des hypothèses assez légères. La première hypothèse que je fais, c'est que A est engendrée... Oui, je suis désolé. Excusez-moi. Oui, je déferme, donc j'avais la valeur d'un A, excusez-moi, bien sûr. Il est donc la première. Évidemment, si on veut étudier l'image d'études de représentation, il ne faut pas choisir un A qui est beaucoup trop grand. On pourrait toujours grandir A. Et l'image sera petite par rapport à A, si on grandit A, mais quand on ne change pas tes dés. Donc il faut supposer qu'A est juste comme il faut. Qu'A est engendrée par T2y1 comme un anodopologique. Puisqu'on est en caractéristique différente de 2, ça change rien, ce n'est pas la peine. Voilà. Et la deuxième condition, c'est que le déterminant D est constant. Alors constant, qu'est-ce que ça veut dire ? C'est peut-être un peu ma manière de dire, je ne sais pas si c'est vraiment standard comme façon de dire. Je veux juste dire que, oui, on veut que D déforme le déterminant de rebars, d'être rebars. Mais si je prends l'élément de PI, dès que cet élément va être un élément de A star, et je voudrais que cet élément, ce soit le relèvement de tâche mulaire, d'être de rebars de mon élément de PI. Et bien sûr, si D n'est pas constant, on peut twister pour qu'il le soit. Donc ce n'est pas vraiment une restriction. Mais en fait, dans le cas où je veux l'appliquer, je peux le dire tout de suite, je vais l'appliquer bien sûr à rebars, A va être à rebars, un annon local. Et qu'est-ce que ça va être? Bon, rebars va être rebars, PI va être le groupe de Galois. Et qu'est-ce que ça va être TD? Et bien, comme je disais tout à l'heure à Laurent, on a une pseudo-répétation naturelle sur A, donc sur chacun des rebars, qu'on construit en recollant l'absence que vous avez attaché avec Enform, en caractère X0, puis après, en réduisant modulopé. Et c'est un T qui envoie le Frobenus en L, dans GQNP, sur l'élément TL d'un rebars. Ça le caractérise. Bon. Ok, c'est bon, on a nos données, on a une pseudo-répétation, mais maintenant, qu'est-ce que c'est que l'image d'une pseudo-répétation? Tout le monde sait ce que c'est que l'image d'une représentation, mais on sait pas ce que c'est que l'image d'une pseudo-répétation. On voudrait un groupe et ça va dans A, et c'est pas ça qui m'intéresse, c'est vraiment un groupe, et je voudrais décrire son image. Bon. Ce qu'on sait qu'il y a un résultat... Maintenant, bien connu. Et qu'il existe ce qu'on appelle une algèvre de matrice généralisée. Si on peut l'initial, ça fait AMG, et si on s'amuse juste à changer l'ordre comme ça, ça fait GMA. Il existe une GMA, une algèvre de matrice généralisée, R. Donc, je vais rapidement rappeler ce que c'est pour ceux qui ne savent pas. C'est simplement une algèvre, une algèvre, R, qu'on écrit comme un espace de matrice, A, B, C, A. C'est-à-dire que c'est les matrices qui ont premier coefficient d'orat, dernier coefficient d'orat, et puis des coefficients non diagonaux dans B et dans C, où B et C sont deux à module. Et on a, pour définir l'addition d'envers, c'est juste par terme, pour définir la multiplication, on utilise le produit des matrices, et des fois, on doit multiplier un élément de B par un élément de C. Et dans ce cas-là, on utilise quelque chose qui fait partie de la donnée. On utilise une application bilineaire, A bilineaire de B dans C, dans A, qu'on appelle la multiplication équivée... A écombitatif. A écombitatif, oui. Mais R, non. Et bien sûr, cette multiplication doit satisfaire des propriétés que je ne vais pas écrire pour couvrir sur une algèvre. C'est ça l'addition d'une GMA. Bon, c'est très simple. Et en fait, il existe une GMA R telle qu'on a une représentation que je vais appeler O du groupe Pi dans les éléments inversibles de R, R star, tel que d'être O égale D et tracer O égale T. C'est-à-dire que ma pseudo-representation D est T. En fait, viennent d'un déterminant et d'une trace d'une vraie représentation, mais pas à valeur dans GL2A, à valeur dans un rétoile qu'on verra à ce type-là. Bien sûr, ça contient le cas GL2A, ça va être le cas quand Robert est irréducible, on va juste prendre B égale C égale A, et pour ça, la multiplication. Mais des fois, il faut prendre d'autres B et d'autres C pour que ça existe. Et en plus, on peut dire... Si A est inétérien, dans le cas où A est inétérien, en fait, dans les cas où je vais me placer après A va être inétérien, on sait que B est ses anti-finies. On peut prendre B est ses anti-finies. Il existe une unique GMA qui soit fidèle. Et sans s'insister, fidèle, ça veut dire que ce produit scalaire et ce produit... Cette forme linéaire est non dégénérée. Si on fixe fidèle, ça devient unique. Donc, ça permet de définir. On peut définir maintenant l'image de l'euro, l'image de la rotation. Je vais l'appeler G, simplement. Juste une notation. G, ça va être l'image de l'euro. Et en fait, le but, c'est d'étudier G. Alors là, je vais être très rapide. Il me reste peut-être trois minutes pour expliquer le théorème au moins dans un cas particulier. D'abord, on ne va pas considérer G exactement. On va considérer un autre groupe, Gamma, qui est simplement G. Mais je vais prendre son intersection avec les matrices qui sont de la forme 1 plus une matrice dans le radical de R et qui, en plus, ont déterminant égal à 1. C'est-à-dire, peut-être le cas, pour comprendre cette définition en général, il faut réfléchir une minute, si on n'a pas une minute, mais simplement quand R est l'algèvre M2A, on travaille dans GL2A et ce groupe-là, un plus radère d'Atégal 1, c'est le groupe des matrices qui sont congruables à 1 de l'identité et qui sont spéciales, c'est-à-dire de déterminant 1, simplement. Et on prend l'intersection, c'est quelque chose qu'on fait souvent. Et il se trouve avec les hypothèses de déterminant constant que Gamma est d'index fini d'enger. En fait, l'index, l'image de Robar, le cardinal de l'image de Robar. Donc essentiellement, si on connaît Gamma, on sait que j'ai une extension du Gamma par l'image de Robar, on peut même décrire cette extension, mais je ne veux pas rentrer dans ces détails-là. Le but est de décrire Gamma. Comment je vais décrire Gamma ? En fonction de quoi ? Je vais utiliser une théorie, un peu tard pour introduire une nouvelle théorie, mais très vite, qui est la théorie des algètes de l'I, des sous-groupes de GL2, de A, ou A est comme je le considère, ou alors d'algètes de matrices généralisées, la théorie des algètes de l'I de Pink. Je vais introduire la algètes de l'I de Pink de Gamma, et je vais la décrire. OK. Le premier truc, c'est qu'on va travailler avec des sous-groupes de ce groupe-là, si vous voulez, dans le cas où R est juste une algète de matrice, c'est les matrices dans l'SL2, qui sont grouillées en un modulo de l'idéal maximale, et on va introduire une algète de l'I, qui est radicale de R, c'est une algète de l'I pour le crochet technique et l'implication, et même ça reste une algète de l'I si je prends des matrices de trace nulle. Et entre ces deux objets, ce groupe et cette algète de l'I, on a une application, et je dis bien une application, je ne dis pas que c'est amorphisme de quoi que ce soit, qui envoie X sur X moins trace de X divisé par 2. Il faut aller l'identité. Alors on a besoin d'être en classique différent de 2, ce que je suppose, et pour définir cette application. C'est donc l'application de Pink, si on veut, une sorte de logarithm, mais qui n'a pas satisfait à prioriser aucune propriété. Et maintenant je peux définir L, l'algèvre de l'I de gamma, de la manière suivante, c'est le sous-groupe additif fermé, engendré par theta de gamma. J'applique theta à gamma, j'obtiens un sous-ensemble ici, juste un sous-ensemble, je prends le groupe qui l'engendre, je prends sa clôture, son adhérence, et c'est une algète de l'I, c'est-à-dire un indom de l'I, c'est stable par crochet de l'I, c'est vraiment très facile à vérifier, je ne fais pas la preuve, mais elle fait moins d'une ligne. Et c'est ça ce qu'on appelle l'algèvre de l'I de Pink. Alors pourquoi c'est l'algèvre de l'I de Pink qui est intéressante ? Elle serait intéressante si, par exemple, on pouvait déterminer gamma à partir de L. En fait, on ne peut pas toujours, mais quelque chose qui est comme un vrai, c'est que si je considère, si j'appelle, si je définis L prime, comme l'algèvre dérivé, L L, et gamma prime comme le groupe dérivé, gamma gamma, alors L prime détermine gamma au sens où gamma prime, c'est simplement l'image inverse par theta de L prime. C'est-à-dire qu'on aimerait bien que, par exemple, gamma soit l'image inverse de L par theta, elle déterminerait theta, ce n'est pas vrai toujours, mais au niveau des groupes dérivé, ça devient vrai. Et pas que ce groupe dérivé n'est pas très grave puisqu'on perd juste quelque chose essentiellement d'abélien qu'on peut contrôler par d'autres méthodes. Donc voilà, ce résultat est complètement non trivial, enfin, pas hyper dur, mais quand même, il prend 5 ou 6 pages à démontrer, et je ne connais pas de plus simple que celle des pincques, qui est d'ailleurs très jolie. Bon, je vais devoir m'arrêter là, sauf que je vais dire un mot, à quoi ressemblent les théorèmes qui décrivent les agettes de l'I, L. En fait, il y en a plusieurs, il y en a 5 parce que ça dépend du type de rebars. Il faut vous distinguer si ce rebars est irréductible, avec grand image, ou alors, comme on dit, diadral, ou alors est réductible, et même dans le cas diadral et réductible, il y a deux cas dégénérés quand l'image est très petite. Bon, si on considère un cas, par exemple, le cas où rebars est réductible, ça me donne deux caractères, qui est un et qui deux, qui sont différents, ça c'est dans les hypothèses de départ, et qui en plus sont de carré différents. C'est une hypothèse qui s'implifie un petit peu. Donc, j'vais décrire. Si rebars est de la forme qui un plus qui deux, avec qui un au carré est différent de qui deux au carré, on peut décrire L et on peut dire qu'L a tout le temps cette forme. Bon, en gros, ça va être L, quoi le tout ? A, pardon, I, I, C, I, je vais dire ce que c'est, B, C, B, C, ils sont déjà définis. C'est, il est B, C de mon agèvre et de réqueux. I, c'est un sous-groupe de, c'est un sous-groupe additif, sous-groupe additif de A, qui vérifie des propriétés. La première propriété, propriété, c'est que B, C contient I. La deuxième propriété, c'est que I cube, quoi ? C'est un inclus dans I. Ah oui, excuse-moi, c'est inclus dans I. La deuxième propriété, c'est qu'I cube est aussi inclus dans I. C'est une propriété un peu inhabituelle. Ce n'est pas le carré, ce n'est pas stable par multiplication. C'est stable par multiplication de trois éléments. Et la troisième propriété, c'est qu'en fait, il n'y en a pas. Bon, et en fait, donc tout seulement on peut prouver qu'il y a un I comme ça, tel quoi là ce type, mais en plus on peut prouver que c'est le thérème optimal. C'est-à-dire qu'à chaque fois qu'il y a un I satisfaisant ça, je peux trouver une représentation, raw depuis satisfaisant toutes les hypothèses que j'ai écrite ici, qui donne ce L. Donc, c'est optimal. Si il y a I cube inclus dans I, ce n'est pas parce qu'on n'est pas capable de prouver I qu'il n'y a rien inclus dans I, c'est parce que ce n'est pas vrai. Mais c'est vrai que l'I cube est inclus dans I et c'est ça qu'on peut dire. Bon, ça, ça concerne le cas rebar et qui, en plus, qui deux. Il y a quatre autres théorèmes comme ça dans les autres cas de rebar. Voilà. Et même, juste pour rajouter un dernier mot, c'est que quand je dis que pour toute situation où on a un I satisfaisant ces propriétés, on peut trouver une déformation qui donne exactement cette adjette de l'I. Non seulement c'est vrai pour des représentations abstraites ou un PI abstrait, mais je peux même trouver des cas où I cube est inclus dans I, mais pas I carré est inclus dans I, par exemple, ou vraiment, ma représentation en toute façon du couple de Galois qui apparaît dans l'action sur un espace de forme modulaire du type que j'ai considéré plus haut. Bon, alors, pour démontrer la fin du théorème, on applique ce résultat général de représentation à rebar et ensuite, comme je disais, il y a un travail de comptage de point dont je veux parler. Et ça permet de démontrer l'autorème 3 sur l'uniformité de delta 2F. Voilà, merci. Quelques questions. Il y a déjà beaucoup. Nous avons une question complètement bête, naïve, sur la famille des coefficient monul. Quelle est la relation avec la situation générique pour une courbe ? C'est-à-dire si je prends une courbe sur Fp, les différenciels, un point de la courbe, et je prends une différenciel et je développe. Qu'est-ce qu'on peut dire ? Je localise un point et puis je prends le développement assez réformé. Donc là, c'est ça que tu as dans le théorique, en particulier les formes de poisson. Quelle est la différence avec ce qu'on peut dire de façon dans la situation totalement générale ? Je ne sais pas. Il faut que je réfléchisse à ta question. L'autre question qui est plus spécifique, c'est si on prend une courbe qui n'est pas donnée par un groupe de congruences, donc là, on sait qu'il y a de grandes différences sur le comportement des développements. Qu'est-ce qui se passe pour vous ? On peut choisir un modèle entier, ça existe, il n'est pas naturel et plus réduit ? Il faut un groupe qui n'est pas un groupe de congruences. On ne sait plus rien parce que toutes nos méthodes se reposent sur l'éparateur de véqueux, et on n'en a pas. En fait, toutes nos méthodes reposent sur l'âge de véqueux. Pour tous les théorèmes, les trois que j'ai énoncés, essentiellement, c'est l'étude de l'âge de véqueux. C'est pas assez une question favorite de serre. Pour le développement en puissance de culs et des formes modulaires, normalement, il y a une grande différence qui caractérise les groupes de congruences, et donc là, on peut se poser le même genre de questions. C'est vrai, ça serait intéressant, mais... Les médecques sont des des congruences, non ? Oui, bien sûr. Tu dis que c'est ça. Ah, si tu arrives aux médecques et que tu n'as pas... Ah, c'était... Oui, disons, on l'a pas fait, mais je pense que ça va être difficile, parce que la théorie des ouvertures de l'écroupe n'est pas du tout aussi. Et on a aussi besoin d'existence de version galoisienne. Alors on a des choses partielles, alors on a le résultat de Scholl et d'autres... Scholl, non ? Mais je ne suis pas sûr que ça suffise, il faudrait voir. Je pense, oui, ça serait intéressant, mais il faudrait voir, il faudrait déjà avoir numériquement... Quelque chose qui est rigolo dans cette théorie, dont je n'ai pas été mentionné, c'est que, comme les choses objets sont très élémentaires, c'est des formes modulaires modulopées, n'importe quel logiciel avec sage, par exemple, et faire beaucoup de calculs, et vérifier tous ces CRM. Je les ai vus plus ou moins avec... par des calculs d'abord, par ordinateur. Et donc on pourrait peut-être essayer de voir dans ce cas-là ce que ça donne, mais je ne sais pas. Et les coefficients rationnelles, les alphas, c'est des alphas de théorie analytique des membres, en fait ? Oui, oui, oui, oui. Ce n'est pas dépendre d'être comme ça ? Non, mais en fait, excuse-moi, le alpha ici, non, c'est même pas un alpha de théorie analytique des membres. C'est juste le rapport de la taille d'un groupe fini, par un autre groupe fini, explicit, qui sont des images de robot, ou des choses comme ça. Le alpha, il est vraiment simple, en fait. Ce qui est plus compliqué, c'est le H, et puis surtout le C. Le alpha, c'est Frobenia, et les exposants, c'est de l'ange. Voilà, exactement, c'est ça. Et la Constance, elle vient d'une série, c'est une valeur de quelque chose qui ressemble à une fonction zeta, mais je ne sais pas exactement ce que c'est.