 Dedicaremos los próximos minutos a ver cómo es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales de manera eficiente a través de lo que se conoce como eliminación de Gauss. Para ello comienzo lanzando la siguiente pregunta ¿Cuál de estos dos sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas creéis que es más sencillo de resolver desde un punto de vista algebraico? Pese a que posiblemente algunos de vosotros habéis barajado que esta opción de aquí resultaba sencilla. Al tener coeficientes enteros espero que vuestra elección haya sido ésta de aquí. Efectivamente se puede realizar lo que se conoce como sustitución hacia atrás y que quiere decir sustituir el valor de z una vez se ha encontrado en esta ecuación en ésta de aquí para hallar la y y sustituir en la primera los valores de y de z encontrados para hallar finalmente la x. Observar cuál sería la matriz asociada a este sistema de ecuaciones lineales que acabamos de comentar que tiene una resolución más eficiente. Si calculamos la matriz de coeficientes observar que la matriz de coeficientes es una matriz triangular superior. De aquí que en muchas ocasiones diremos que este sistema lineal es también triangular. Dos sistemas de ecuaciones lineales decimos que son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. Podemos manipular los sistemas de ecuaciones lineales para producir al final un sistema equivalente. Las operaciones que están permitidas son las siguientes. Por un lado intercambiar dos ecuaciones. También podemos multiplicar una ecuación por un elemento no nulo del cuerpo al que pertenecen los coeficientes del sistema lineal y la última de las operaciones es añadir un múltiplo de una ecuación a otra ecuación. La aproximación que seguiremos es utilizando las operaciones anteriores reescribiremos un sistema de ecuaciones en un sistema de ecuaciones equivalente que sea triangular y por lo tanto más sencillo de resolver. Esta aproximación es la que se conoce como eliminación de Gauss puesto que fue este matemático que nos ha acompañado ya varias veces durante el curso el primero que la propuso. La eliminación de Gauss tiene una interpretación equivalente en términos de matrices. Así los ejemplos los veremos directamente en la interpretación matricial por lo tanto el siguiente paso será clarificar en qué se traducen las operaciones que hemos mencionado antes que permiten construir sistemas lineales equivalentes. Son lo que se conocen como operaciones elementales de las filas. Intercambiar re ecuaciones corresponderá a intercambiar dos filas de la matriz ampliada. Multiplicar una ecuación por un elemento no nulo del cuerpo será equivalente a multiplicar una ecuación por una constante no nula del cuerpo y finalmente añadir un múltiplo de una ecuación a otra corresponderá a añadir un múltiplo de una fila a otra fila. Entre sumidas cuentas aquello que podemos hacer con una ecuación lo podemos hacer también con una fila recordar una fila de la matriz ampliada y recordar que el objetivo está claro utilizando estas operaciones elementales entre las filas queremos encontrar una matriz ampliada donde la parte correspondiente a la matriz de coeficientes sea una matriz triangular. Aunque las operaciones con las filas de la matriz son sencillas involucran considerables cálculos por lo que es relativamente sencillo realizar errores por eso recomendamos que os acostumbréis a notar las operaciones que se llevan a cabo en cada uno de los pasos de la eliminación de Gauss con el claro objetivo de que luego sea más sencillo comprobarlo. Fijaremos una notación de las muchas que existen para notar las operaciones entre las filas. Veámoslo. Para comenzar notaremos las filas con una F mayúscula indicando con un subíndice la posición que ocupa esa fila respecto a las otras filas de la matriz. Notaremos con un superíndice los diferentes pasos de la eliminación de Gauss que realizemos. Así a la matriz original no le añadiremos superíndice pero después de realizar un paso de la eliminación de Gauss añadiremos a la notación de las filas un superíndice 1, un 2 a las filas de la matriz resultante después de aplicar el método de Gauss un par de veces y así sucesivamente. Consideremos los siguientes tres pares de matrices. Observar que no están relacionando no estamos haciendo Gauss sino simplemente fijando la notación. En el primer par la segunda matriz lo obtenemos al intercambiar la primera y la segunda filas. Lo notaremos de la siguiente manera con este símbolo de aquí puesto que no tenemos la igualdad indicaremos que la fila 1 después de realizar un paso de la eliminación de Gauss es la fila 2 anterior y lo mismo con la fila 2. En el segundo par lo que hemos hecho es multiplicar la tercera fila por un medio y lo indicaremos de esta manera. En el tercer par lo que hacemos es sumar a la tercera fila un múltiplo de la primera. En este caso el múltiplo es directamente ella misma la primera fila y lo notaremos así. Así es pues como notaremos las operaciones elementales que hemos comentado anteriormente. Pesa que vimos que los sistemas lineales pueden no tener solución tener una o bien tener infinitas soluciones nos centraremos en este módulo en aplicar el método de Gauss a matrices que tengan una única solución así buscaremos matrices de coeficientes triangulares para sistemas que sean equivalentes y que tendrán además elementos no nulos en la diagonal. Estos serán los casos que utilizaremos en el reto de este módulo y continuamos con un ejemplo aplicaremos el método de Gauss para resolver este sistema lineal comenzaremos buscando la matriz ampliada será esta matriz de aquí la matriz de coeficientes ampliada observamos que el primer elemento de la diagonal es diferente de cero con lo cual no realizaremos ninguna operación sobre esta fila pero cambia el segundo es diferente de cero también y estamos buscando una matriz triangular superior con lo cual lo que haremos será intentar convertir este uno en cero para ello realizaremos esta operación a la segunda fila le restaremos la primera con lo cual la primera fila la dejaremos tal cual y la segunda realizaremos esto a cada elemento de la segunda fila le restaremos la primera obtenemos un cero otro cero un menos 2 y un menos 1 podríamos dejar la tercera fila tal cual y volver a realizar otro paso de la eliminación de Gauss o directamente aquí un 2 en 1 viendo que este elemento también es diferente de cero y estamos persiguiendo obtener un cero para tener la matriz triangular lo que podemos hacer es a la tercera fila le restamos la primera así pues la nueva tercera fila será la obtenida al restar la tercera restarle la primera la primera columna tiene pues forma de una matriz triangular inferior con lo cual vamos bien miremos la segunda si miramos el elemento de la diagonal de la segunda columna vemos que es un cero y hemos dicho que estábamos buscando matrices que sean triangulares superiores los elementos de la diagonal han de ser diferentes puesto que la tercera fila el elemento de la segunda columna es diferente de cero lo que podemos hacer es intercambiar las filas segunda y tercera lo notaremos de esta manera que hemos comentado anteriormente y lo que haremos será directamente esto intercambiar la segunda y la tercera fila observamos que ahora tenemos la matriz de coeficientes de esta matriz ampliada es una matriz triangular superior sólo nos quedará realizar sustitución hacia atrás para poder obtener los valores de las incógnitas x y y ceta comenzaremos pues por la ceta puesto que sabemos tal y como nos indica la matriz ampliada que menos 2 zeta es igual a menos uno por lo que es lo mismo ceta es un medio pasamos a la segunda de las ecuaciones y tendremos que 2 y menos 2 zeta es igual a cero pero puesto que ceta es un medio sustituimos sabemos que 2 y será igual a uno o lo que es lo mismo y también vale un medio y miremos ahora la primera de las filas que nos dará esta ecuación de aquí ahora sabemos que y vale un medio podemos sustituir que ceta vale un medio también podemos sustituir y de aquí obtenemos que x vale uno por lo que tenemos las soluciones de x y y ceta del sistema lineal del cual partíamos veamos cómo resolver el siguiente ejemplo notar que los coeficientes los consideraremos en el cuerpo de los enteros módulo 23 dado este sistema lineal utilizaremos la eliminación de gauz para encontrar las soluciones de las incógnitas x y y ceta comencemos calculando la matriz ampliada de este sistema lineal el primer elemento de la diagonal es no nulo con lo cual buscamos el segundo que no lo es y persiguiendo el cero la operación que llevaremos a cabo será restar a la segunda fila la primera así obtendremos esta matriz donde la primera fila quede intacta y a la segunda le hemos restado la primera realizamos lo mismo con la tercera fila y persiguiendo el cero en esta posición que acabamos de marcar calculamos la tercera fila le restamos la primera obteniendo así esta fila de aquí recordad que estamos en el cuerpo finito de los enteros módulo 23 así pues menos uno será la clase de equivalencia de 22 en la primera columna tenemos pues la matriz en forma triangular veamos la segunda de las columnas el segundo elemento de la diagonal es diferente de cero pero en cambio en la tercera fila la segunda columna el elemento es diferente de cero persiguiendo el cero la operación que realizaremos será multiplicar por 3 la segunda fila y restársela a dos veces la tercera así pues la primeras quedará tal cual la segunda también tal cual la teníamos y la tercera realizaremos esta operaciones que hemos comentado hace un segundo el primer elemento es cero tal y como teníamos el segundo lo acabamos de hacer cero y el tercero calculamos dos veces por 15 y le restamos 3 por 8 obteniendo así este 6 para calcular este otro elemento multiplicamos 2 por 22 y le restamos 3 por 3 así pues 44 menos 9 será 35 pero recordad que estamos en el cuerpo de los enteros módulo 23 con lo cual con lo cual su clase de equivalencia será 12 y ahora ya tenemos aquí la matriz triangular que perseguíamos con lo cual lo que deberemos hacer será sustitución hacia atrás para resolver el sistema lineal hago énfasis una vez más que todas las operaciones aritméticas estarán realizadas en el cuerpo de los enteros módulo 23 la primera de las ecuaciones nos dice que 6 por z será igual a 12 con lo cual z será el producto del inverso de 6 por 12 será el inverso de 6 módulo 23 puesto que 6 por 4 son 24 que módulo 23 es 1 el inverso de 6 será 4 así pues z valdrá después de hacer todas las multiplicaciones y encontrar la clase de equivalencia correspondiente z será 2 módulo 23 ahora que conocemos z utilizamos la otra ecuación para sustituimos z por su valor y obtendremos que 2 y es menos 13 pero menos 13 módulo 23 es 10 con lo cual ahora despejamos y obtenemos que y será el inverso de 2 por 10 módulo 23 y el inverso de 2 módulo 23 será 12 puesto que 12 por 2 son 24 que módulo 23 es 1 si ahora realizamos el producto serán 120 y módulo 23 obtendremos 5 y finalmente la primera fila nos permitirá hallar la solución para x efectivamente de la primera fila deducimos que x más y más z al de ser 9 sustituimos los valores de z por 2 de y por 5 que acabamos de encontrar y obtenemos que x es congruente con 2 módulo 23 así pues estas son las tres soluciones de las incógnitas que planteaba nuestro sistema de ecuaciones permitidme remarcar que esta la la matriz de coeficientes es lo que se conoce como matriz de bandermón esta matriz tiene la peculiaridad de que sus elementos son de esta manera la primera columna es todo a unos la segunda columna son elementos todos diferentes 2 a 2 la tercera columna son los elementos de la segunda columna pero elevados al cuadrado esto sería una matriz de bandermón 3 por 3 se pueden definir matrices de bandermón de cualquier dimensión y para finalizar os properemos resolver el siguiente sistema lineal encontraréis en un vídeo anexo una solución utilizando el método de iluminación de gauz para resolver este sistema lineal