 Tout d'abord, je veux remercier les organisateurs du workshop parce que c'est une grande opportunité d'être ici et de rencontrer les gens de cette communauté parce que je n'ai pas commencé sur ces issues. Mais j'ai dû travailler sur cela quand je faisais mon postdoc à Courant avec Pierre Germain, qui est partie de tout ce que je vais parler de. Et il y a aussi Joachim Empatso-Glou, qui est aussi à Courant. Ok, donc mon parler va être de la derivation de l'équation de la kinétique wave. Et cela s'éteint comme une équation effective de l'équation non-inertienne de la chaleur. Donc, en tout cas, ce sont mes équations et mes données. Je vais regarder deux types d'équations en fait. Donc, cette équation, il y aura une relation dispersion qui ressemble à la relation dispersion. Et ensuite, il y aura des termes non-inertaires. Donc, je vais être dans le cas cubique, ou je vais être dans le cas quadratique. Donc, ici, il y a plusieurs annotations que je dois expliquer. Donc, premièrement, je ne vais pas toujours regarder la relation dispersion. Donc, ici, ce infourier, c'est u hat xi, qui est multiplié par omega xi. Et j'ai un paramètre lambda qui est tombé pour assurer ce qui s'appelle le régime non-inertien de la chaleur. J'ai une notation additionnelle, qui est ce capital M ici. Donc, en fait, parfois, je vais avoir des problèmes avec mes effets non-inertiens de la chaleur. Et, ok, je vais chier un petit peu, je vais utiliser M pour les tomber. Ok, donc, maintenant, j'ai expliqué toute la notation dans mes équations. La chose est que je vais considérer les données qui sont rendues. Donc, u0 peut être de la forme suivante. Donc, je peux avoir a of k e to the i x k. Ok. Ou je peux avoir ce type d'initiales. Ok, je vais maintenant avoir mes notes. Donc, u0 of x est equal à epsilon to the d over 2 a of x. Et ici, j'ai v over… Ok, je vais le mettre de cette façon. C'est bon. Avec cette normalisation, v over epsilon dot x. Ok, et ici, j'ai dw of v. Ok, donc, basically, these are random Gaussian fields. Here, it's if I'm working in the homogeneous case. So, x lives in the torus. And here, if it's I'm working in the inhomogeneous case. So, x is in rd. So, I have several timescales for my equation. You can check that u0 is roughly of size 1. So, that's my non-linear effect. Yeah. So, the w there doesn't have to do something with the w there. Or is it could… I mean, there's a w in the… It's omega. It's omega. So, omega is my dispersion relation. So, this is a v0 interval. Yes. Thank you. Ok. So, thank you for that. So, I have some particular timescales. So, since u0 is roughly of size 1, then I have a non-linear timescale, which is either lambda to the minus 2 for the cubic case or lambda to the minus 1. This is the time at which I can see some non-linear effects like these terms, they start to produce something. And now, you can see that with this specific initial data, if I look at in Fourier, I have a Fourier spectrum, which lives at scale epsilon minus 1, which takes small values. And my Fourier coefficients, basically, they are taken randomly. And I have some specific envelope for them, which is given by a. So, my linear effects, they are kicking in. Ok, so I did not put yet a formula for omega, but omega think of it as the Laplacian. So, my linear effects, they are kicking in at time epsilon square. And so, the weekly non-linear regime that I wanted to enter here, basically requires a condition on epsilon and lambda so that my linear time scale is much smaller than my non-linear time scale. And, ok, so basically, my non-linear effects, they accumulate, but they are filtered with the linear effects. And then, I have some cancellations that I can think happen because my data are chosen randomly. So, we expect that, maybe at a statistical level, only a certain information remains. And we want to study how this thing will evolve. The point energy spectrum, which is, so, ok, I'm sorry, I will use W, even if W is up there, but it's not the same W, yet another one. I'm sorry. So, W of K will be equal to this thing here. I take the average value of U hat epsilon K to the square. So, this is, if I'm working on the torus. And if I'm not working in the torus, then I was explained in the previous talk. I'm going to study the vignard transform of my solution. Define this way. Ok. And so, what you have to think, basically, if I do a little drawing, is that if I'm in the inhomogeneous case, so, ok, I will take initially everything to be, say, compactly supported in space, even if I'm looking at all Rd. And so, I have a function U which oscillates very fast at scale epsilon. And its local Fourier spectrum, near any point X, is somehow well described for the initial data distribution A. And after that, by this vignard transform W, at least in the modulus. Ok. And so, there is a conjecture. So, here, I'm going to put. So, there is a conjecture which is that, as epsilon goes to zero, so you have to think about it as being a large and larger number of degrees of freedom. And you ensure that you are in the weakly non-linear regime. Then, W converges to rho. The solution to... So, here, if I'm in the homogeneous case, so, if I'm working on the torus, then I have dT rho which is equal to this expression. So, here, I'm not going to write down explicitly what C is, but this is some non-linear cubic convolution. While if you are working, so, this is for the torus, while if you are working on the whole space, then you expect to see this equation that I'm going to write in full details. So, here, this convolution operator is given by the following formula. It's an integral where you have some restriction on some set which represents Kirchhoff Law described in the previous talk. Then we have some resonance set and we have some quadratic term with gain and loss terms. There is another. So, I'm going to say what are these things right after, but the thing to notice is that if I'm working on the torus, then I should see something which departs from linear evolution. I mean, if I'm just solving my linear equation, my Fourier spectrum, it does not move, right? The energy does not move, but here it describes, okay, when you add non-linear effects, even if they are very small, if you wait long enough, then you will see something and this something will be described by this convolution operator. And if I'm on the whole space, so, here, this is for x in Rv, then my wave packets, they start to move and they move with my expected speed. Okay. So, this resonance set here are given with the following formulas. And when I put row one or row two, this means that I evaluate row at different variables. So, here, I have a V1, V2, here I have a V1, V2. Okay. So, the fact that there exists an effective equation which describes my system statistically, it has a long history. So, there is some very early work by Peierls, 29, then by Hasselman, in 63. And already, like the physical systems are not the same, like this is more quantum dynamics and this is what a waves. So, this kinetic framework, it has a wide range of applicability somehow. So, we can find it in different situations. And the theory has been revived by Zaharoff exactly to fit the diversity of all the possible framework could be used in. And so, you have a famous book by Zazaroff, Elvov and Falcovitch, a famous book by Nazar and Co, as well, et cetera. Can you say what you mean by that it converges to this equation when epsilon goes to zero because you still have a factor of one more epsilon? Okay. So, it converges, it depends on the time scale, right? Yeah, but if epsilon goes to zero, this equation, so, everything will go to infinity because... So, everything will go to infinity, but I can still expect okay, it's just that I didn't want to renormalise my time for row because I have two timescales. So, of course, thank you for this remark. So, here, this equation is not really defined at the limit, right? Yeah. And so, the idea is that I have two timescales. I have epsilon, which is the time I have to wait to see my wave packets to move. And I have my kinetic time, which is the time I have to wait to see non-linear effects. And in fact, different things can happen. Maybe my wave packets, they move way faster than the kinetic time, in which case, somehow, this term I should not see any effect. Or maybe it's the opposite. Maybe my kinetic time, it happens way before the time needed for my wave packets to start to move. And so, this is interesting when both times are equal, when the kinetic time is equal to my time epsilon, in which case, I can define a renormalised time and I just renormalise the time for this row here to be the time being my kinetic time. And so, what I'm just saying is that maybe this solution, it only lives on a very short interval of time. But still, I can define it for any epsilon on this short interval of time. And maybe on this short interval of time, it's true that they agree to leading order. This means that it's not really a limit. Is this just the assumption you can do here as epsilon plus 0? Yeah. Well, unless maybe it could happen that row does not depend on X, yeah. In which case, you derive homogeneous equation, homogeneous equation. Yeah. I just meant to say that it may happen that for some reason, row does not depend on X, in some limits, in which case, you derive a space homogeneous equation. OK. It may be the case, but this is not the thing I'm looking at. No, really, the thing I'm thinking here is more of, OK, it's maybe, the warning is not maybe correct, but what I want to say is that this equation, you can at least solve it for a short time. And you can compare this and W. And maybe, they are close one to another, even if the typical time for which you have a solution to this is like going to 0 as epsilon goes to 0. So maybe, if you want converges, I should say it's close. If you want, is it better? Yeah, because this is still different from epsilon. Yes, kind of minding it. Yeah, OK, so the convergence is, I mean I wanted to, there will be a CRM after with precise things and here I just wanted to do something a bit informal. So W is close to, OK, so I'll put this way. OK, so why is this true? So you see, we start with the non-inertial danger equation and at the end we arrive to some equation which is more of a kinetic type. What are the ingredients responsible for that? So basically, we have seen them in the previous talk and I will just quickly review them. So the first thing is that I repeat it, non-linear effect, they accumulate but they are filtered by linear effects and only particular interactions they will appear as statistical. So what you have is that you can use VIX rule as was used in the previous talk and that when you have some non-linear products and you go to the average value and if for example these are Gaussians then this is the same thing as computing all pairwise products and this can be represented graphically in the sense that here maybe this is the formula that explains the diagrams that were made before that when I do that I'm saying that if I want to compute this product of four Gaussians I need to look only at three configurations I can draw my Gaussians as dots and so the first configuration I put them 2x2 this way second configuration I put the first one with the third one and the second one with the fourth one and my last configuration I put the first one with the fourth one and the second one with the third one ok so this is at the same time some things that should tell you that only certain particular interactions will remain but at the same time that there is a way to compute them ok it's something you can use to compute actually then I was afraid of introducing Feynman diagrams but hopefully there was this lecture just before so maybe you will be able to understand that if you've never seen that before that the iteration of the Duhamel formula should converge on a larger scale and really I mean the idea that we use the Duhamel formula is because since to the linear effects they act at a time scale which is much shorter than the non-linear effects non-linear effects they are somehow a bit destroyed by the linear effects and you really need to understand the linear filtering which is well understood by Duhamel formula so once you start to do that you want to expand your solution to write it as the linear evolution of your initial data then the non-linear correction induced by that first piece so for example here I'm just gonna write for my quadratic equation higher order terms this I can represent as Feynman diagrams so my linear evolution I just put a line then here I have already four terms depending on whether I was taking the complex conjugate or not so here I can draw it this way so if I don't take any complex conjugate I put this like this then maybe when I develop this product I have some complex conjugation showing up and so where is the thing on top of the table on your favorite no ah ok it wasn't the thing to erase it's the thing to go and catch the one you see that oh ok thank you ah yeah but I'll do that after thank you just put it here ok so I can give a formula for this specific guy it will be similar to the formula we've seen in the last talk so this guy here is equal to this of course since I have a non-linear product in Fourier it's transformed into a convolution then I have some oscillatory integral showing up due to the non-linear interaction and the linear évolution and I have my initial data here this quantity I can compute it and this integral is equal to this and so when I have this oscillatory integral there can be two cases either omega is very small so if omega is smaller than 1 over T then this is of size T which is some growth or if this is ah the opposite way this is of size 1 over omega which in the end will give lower order times so this is what I I repeat it again I have my linear effects which act on a timescale which is much shorter so in this filtering the non-linear effects they will be mostly located in the resonance set which is where I have my growth and I see that if I want to have my growth omega must be close to 0 right and so this is why there is this thing here at the limit I only see the resonant configurations ah ok so I hope that I gave a few ideas so maybe I sum up so there is a way to understand products of gauchans and in the end you can understand when you go to multilinear expansion how one can talk to another there is a way you can do computations using a diagrammatic expansion and when you do so you end up with oscillatory integrals which will locate your non-linear effects close to the resonance set we have several results on the validity of the kinetic wave equation so this ends my first part my second part is going to be devoted to the results so first I'm going to talk about the cubic homogeneous case and the first idea is ok before I can try to prove whether or not my kinetic wave equation will describe my Fourier spectrum is it true that my solution will at least live on the time scale of my kinetic wave equation so I can do some drawing like that here I will put the non-linear effects so the further I'm on the right the smaller lambda is so non-linear effects are really small and so here homogeneous I really recall this will be very important c'est ce que je veux dire et ici je le mets dans une base epsilon la période que je veux atteindre donc je veux avoir une solution sur le time t donc tous les théorèmes que je vais parler de la forme donc ici je vais juste parler de la partie du théorème qui est qu'il existe une solution sur le time t et sur un set suitable de données initiales donc on a eu le premier résultat avec Pierre en 2019 nous pouvons atteindre ces températures donc il y a des températures particulières ici si je atteins ces températures j'ai besoin d'améliorer le plus j'améliorerai le plus long que ma solution est donc sur le temps t bien sûr ma solution je sais qu'elle existe jusqu'à ce moment après ça j'ai le temps non-linear mais sur le temps non-linear même si les effets non-linear sont en train je n'ai pas atteint mon temps kinétique donc mon temps kinétique est en fait plus loin et j'ai un autre temps que peut-être j'ai un temps pour parler de ce qui est le temps que je vois seulement les configurations résonantes parce que je travaille sur le théorème donc ok basiquement c'est un temps à lequel vous voyez vraiment que vous n'êtes pas dans le cas inhomogénial mais que vous êtes dans le théorème et vous voyez que si vous n'avez qu'à prendre l'amplation et l'amplation c'est-à-dire que l'inforier, l'homéga peut seulement prendre les valeurs d'intègre et le temps kinétique c'est celui que vous voulez atteindre donc c'est Pierre nous pouvons faire cela on ne pouvait pas en fait atteindre le temps kinétique à ce point mais nous sommes habituellement plus loin ok, c'est une très spéciale configuration où le temps kinétique est equal à 1 ok puis inépanelment il y avait un travail par Deng et Hany et ils pouvaient basicement faire la solution de euh jusqu'à le temps non résonant et ici il y a vraiment quelque chose qui arrive quand le temps kinétique est 1 c'est que vous voyez qu'ici c'est discontinu c'est-à-dire donc ils pouvaient presque atteindre le temps kinétique est equal à 1 mais ils ne pouvaient pas n'importe quoi et puis c'était pour l'usule la plation donc avec Pierre, nous avons dit ok, peut-être il y a quelque chose à faire si nous prenons une autre relation dispersion donc en 20 nous avons pris cette relation dispersion donc c'est une matrice self-adjoint close à l'identité et H dans un dans un set de mesures fulles donc maintenant si je commence à jouer un petit peu avec ma relation dispersion nous avons pu obtenir quelque chose comme ça donc nous avons pu presque atteindre le temps kinétique et toujours pour des temps qui sont plus je veux dire dans des configurations où le temps kinétique est plus grand que l'un et enfin ici dans un travail très impressionnant Dan et Annie ils pouvaient atteindre le temps kinétique donc ils pouvaient prouver que cette équation ok, donc le temps kinétique est equal à 1 donc ce n'est pas le problème que Laure mentionne parce que ce n'est pas le terme ce terme n'est pas ici parce que je suis en homogène donc la limite est bien définie et en fait vous avez converti ok maintenant mon travail voulait focuster principalement sur pardon le dernier résultat c'est pour cette relation dispersion ah merci beaucoup c'est pour la relation dispersion diagonale donc à nouveau, ils doivent jouer un petit peu avec la relation dispersion donc c'est h i psi i square donc ici, bien sûr, j'ai un minus et à nouveau avec h dans un set de mesures et donc dans le cas d'imaginaire ici, je vais réveiller les statements donc c'est un travail joint avec en pateau bleu germain c'est que si vous travaillez en dimension de plus de 2 j'ai mis mes données initiales qui étaient déclarées avec cette fonction A et je le prends ok, c'est un autre quill mais je le prends comme je l'ai supporté c'est l'infinité puis il existe capa je prends ça et capa donc il existe epsilon star et capa comme ça pour epsilon small enough je peux faire ma solution aller jusqu'à ce moment donc vous voyez que je ne peux pas atteindre le temps kinétique je l'ai mis par par un pétard petit polinomial loss donc il existe ce et il existe E un set de probabilité qui est presque un sur lequel il existe une solution unique sur mon intervalle 0 t pour n'importe t dans cet intervalle j'ai une convergence dans l'infinité l1 dans ce sens donc je prends la transformation de l'infinité il y avait des expériences que j'ai besoin de prendre des averages mais je ne sais pas peut-être au-delà de l'E que j'ai une solution donc je restreite mon avantage pour le set E c'est pourquoi ce qu'est-ce que l'E dénote donc la transformation de l'infinité de l'E si je compare avec la solution à ma équation kinétique qui reste aussi jusqu'à ce moment capital T puis ce est plus petit que ce donc basiquement ce n'est pas vraiment la derivation de l'équation kinétique ce que c'est que de toute façon si je fais seulement l'expérience de l'expérience de l'équation kinétique alors il va s'agir avec ma transformation de l'infinité dans le sens que la erreur que je génère je dois avoir des epsilon à la prime de la capteur donc la erreur va être de l'ordre plus petit donc ce n'est pas juste si je la équation kinétique c'est plutôt juste si je suis le set de l'équation kinétique ok je suis désolé, je suis un peu plus dans tous ces décalations donc l'E était supposed à être petit parce que cette mesure est la dimension de l'infinité oh donc je n'ai pas mis à quoi pour l'E donc bien sûr ici je dois dire que l'E est plus petit que epsilon-2 donc si ah, donc ce n'est pas très petit c'est certain oui mais la chose c'est que mes effets linéaires ils actent dans un timetable qui est tellement petit avec ma normalisation ils actent à un timetable epsilon-square donc si vous voulez les effets linéaires ils sont tellement fortes que je peux permettre lambda vous savez, lambda est petit en comparaison avec ok, donc peut-être que je peux référer ma question et de toute façon pourquoi avez-vous besoin de deux paramètres? parce que c'est en fait ma impression ici c'est que ce qui est important c'est ce ratio entre lambda et epsilon-square vous savez, c'est mais donc si ce minimum serait juste epsilon-square et donc vous ne pouvez pas voir ce petit timetable oui, mais le problème que j'ai c'est que j'ai somehow un paramètre qui est le nombre de mon domaine initialement donc ici j'ai fixé A avec des supports compacts donc si vous voulez ma initiale data elle sera supportée dans le domaine de size 1 oscillant à la scale epsilon donc si j'ai voulu somehow renormaliser pour que je mette epsilon equal à 1 et puis je vois ce que juste j'ai une nouvelle lambda le problème est que je ferai le nombre de mon data c'est-à-dire que le domaine va à l'infinité donc somehow j'ai 3 paramètres j'ai le nombre de mon domaine j'ai le nombre de ma je veux dire le nombre de la scale spéciale de l'enveloppe la scale spéciale de l'oscillation et la force de la non-lineurité donc je peux toujours renormaliser pour quitter un de ces paramètres mais je dois toujours donc si vous mettez tout sur le data vous avez l'oscillation en termes d'amplitude de la data, oui? oui donc je pouvais aussi mettre lambda equal à 1 et puis je n'aurai qu'à c'est-à-dire vous pouvez dire que il y a 2 paramètres l'amplitude de l'initial data et la oscillation oui oui, exactement je veux dire que c'était le moyen que j'avais en fait écrit ma non-lineurité d'enveloppe de l'enveloppe c'est-à-dire que vous commencez de l'enveloppe l'équation de l'enveloppe de l'initial data et vous avez juste dit que votre solution U est lambda v où v est de l'enveloppe de l'initial data et puis vous avez terminé oui merci ok donc j'ai juste 10 minutes ce qui est un peu fort pour essayer excusez-moi je vais résister à un point peut-être c'est-à-dire que toujours lambda on peut penser que c'est un pouvoir de l'absidon, non? ou non? je veux dire dans l'analyse on peut toujours penser que lambda c'est un pouvoir de l'absidon oui et un pouvoir non plus négaté le deuxième paramètre sera quelque chose de quel pouvoir c'est ce qui n'est pas exactement un petit paramètre mais c'est un petit paramètre et un petit paramètre ce qui n'est pas un petit paramètre oui ce qui est exactement la picture que j'ai mis ici c'est que j'ai epsilon ici quand j'ai mis le epsilon de lambda c'est exactement le pouvoir c'est-à-dire que lambda est equal à epsilon c'est un petit paramètre et un petit paramètre oui oui merci ok et donc pour prouver cette théorie peut-être je veux dire si vous vous souvenez la parole il y avait ce unitaire estimate depuis Manfred avec une équation linéaire vous saviez que de toute façon vous pouvez proposer une bande de la taille 1 ici je veux dire on n'a pas vu n'importe quel type de choses que vous pouvez utiliser comme l'énergie n'était pas aidante la constellation de la masse n'était pas aidante donc en fait vous vous inquiétez dans en fait prouver la bande sur votre remainder donc la idée vous commence de la même manière donc vous faites une expérience sérieuse où votre première pièce c'est juste votre évolution linéaire et puis vous solvez l'éterative cette équation donc si je définis ma première n-1 l'éterrite ma n-s va prendre en compte toutes les interactions qui sont avec une histoire d'interaction de la saison n-1 et à l'initialité c'est 0 donc de toute façon une n je peux représenter comme graphique de la dépte n n donc je n'ai pas des références ici grâce au talk de Manfred avant ce type d'expansion a été bien utilisé et bien sûr nous avons inspiré par le travail par la explication de l'administration de l'éterrière d'administration de l'éterrière de S&M dans le contexte de l'équilibrium et ici nous ne sommes pas dans l'équilibrium Et maintenant vous voulez récomposer votre solution neuve avec une partie approximé plus une étape et votre partie approximée avec une moindre C'est cette série que tu tronques à un grand n. Ensuite, tu veux montrer les liens sur l'erreur. Et la philosophie est que, à chaque fois que tu éterriques ta formulae d'UML, donc plus tard, tu vas avec un grand n. Ensuite, ta solution devrait être meilleure et meilleure. Donc, ce type d'idées, c'est de retourner au travail de Bourguin. C'était utilisé par Burke et Zetkoff, et c'était utilisé aussi dans un travail que je devais mentionner, par Buckmaster, Germain, Annie et Chata, qui apparaissent juste avant notre travail avec Pierre, et que l'on actually improve le résultat. Donc, l'idée c'est que tu veux contrôler l'UML, qui va résoudre ce type d'équation. Donc, tu as des termes linéaires, tu as des termes bilinaires, et enfin, tu as des erreurs, qui ont été générées par ta solution approximée. Donc, d'abord, tu dois savoir le nombre de tes erreurs. Est-ce que c'est petit ? Est-ce que c'est grand ? Et la chose est que ta erreur est faite d'explicites termes, pour qui tu peux faire des computations diagrammiques. Donc, tu peux bounder ta erreur dans en fait, n'importe quel espace que tu aimes, le bagage, le bourguin, le sauvage, etc. Donc, pour bounder les erreurs termes, nous utilisons les expansions diagrammiques. C'est-à-dire, je pense que je ne veux pas finir le temps, parce que l'un d'entre vous peut être un peu dur. Je voulais dire quelles sont les novolteurs avec la case inhomogéniale. Donc, pour exemple, ici, tu veux bounder l'en, et donc, ta erreur est faite de ces brics qui sont ma un. Donc, ma erreur, en fait, sera une un qui a une histoire d'interaction. Donc, c'est une un. Interactant avec des uk, ici. Et tu veux savoir si ce diagramme, en fait, d'avantage, représente une fonction qui est petite ou pas. Donc, ce que tu fais, c'est que tu mets le même diagramme sur la droite. Donc, ici, c'est ça, mais avec un bord, c'est le même. Donc, pour simplifier ma discussion, je mets le L2 norme de un. Donc, je mets un bord ici, un ici. Je les mets dans 4U. Puis, je fais une convolution pour que ma fréquence à l'outre soit 0. Et ce diagramme, qui est similaire à celui que mon ami m'a mentionné. Et ici, chaque fois que j'ai une ligne, le facteur de l'autorité, chaque fois que je mets un vertex, j'ai une interaction non linéaire avec des résonances modulées en omegas. Et chaque fois que je fais une expectation, j'ai besoin de paier tous mes vertices initiales. Et ici, c'est les interactions. Et donc, ici, je mets l'autorité, c'est que quand vous travaillez sur l'omegas, quand vous paier, il faut que la fréquence ici soit equal à la fréquence ici. Ici, ce n'est pas encore le cas. Donc, vous avez des variables qui sont souvent grandes. Et une additionnel de l'autorité, c'est que chaque vertex vient avec des temps s. Donc, vous avez plusieurs fois. Mais ils ne l'aiment pas jusqu'à tout le temps t. En fait, vous avez des constraintes plus complexes. Ici, pour exemple, mon temps s4, il doit être plus grand que s3. Mais s3 peut être plus grand que s2 ou s2 peut être plus grand que s3. Donc, nous avons utilisé l'idée exacte que mon ami m'a mentionnée. C'est que vous avez un estimate résolvant qui a une variable alpha mais ici, nous avons une variable alpha par constrain de temps que je vois dans mon graph. En fait, nous avons besoin de faire des analyses de résidus et d'introduire beaucoup de ces alphas. Et donc, après cela, vous avez à estimer le nombre de vos intégres oscillataires mais en main, constrain senior graph. Et en particulier, il y avait juste un problème c'est que ces vertices où vous avez ces types de configurations et similaires si j'ai une output fréquence qui est psi, et quand psi est petit, c'est beaucoup plus petit mais quand c'est petit, c'est bien plus petit. Donc, vous pouvez estimer cela séparément et donc l'idée que nous avons est que nous le mettons dans des clusters. Nous décompose le graph avec des clusters dans lesquels, c'est que quand vous avez compris cette function constrain de temps si vous mettez un vertex bad par exemple ici alors ceci ici est OK donc vous pouvez avoir une sorte de configuration où vous avez OK bad et OK vous pouvez avoir une configuration dans laquelle les deux sont bas mais en fait, ceci ne peut jamais être mal c'est ceci, ce que j'ai dit c'est que nous partageons le graph les clusters, ils ont une section émette donc chaque fois nous rencontrons un vertex qui est normal, nous avons des estimations que nous pouvons faire qui poursuivrent un t au vertex dans le facteur et chaque fois que nous rencontrons un vertex qui est dans ces clusters nous devons faire quelque chose nous perdons quelque chose ici nous continuons à estimer mais quand nous arrivons à ce point nous reviendrons quelque chose et ce type d'analyses c'est ce que vous voulez faire si vous voulez atteindre la table de temps kinétique ce qui est quelque chose que nous ne pouvons pas faire depuis que nous avons mis la table de temps kinétique par un t au vertex donc je vais juste s'améliorer avec 1 minute je pense que peut-être que c'est quelque chose que nous avons ajouté au travail précédent d'une équation linéaire c'est de comment s'améliorer la termine erreur et comment s'améliorer la analyse non-linéaire donc après ça, nous avons des compétitions pour montrer l'équation de la table de temps kinétique mais c'est comme standard et si vous voulez vraiment aller dans les détails et pour atteindre la table de temps kinétique donc basicalement vous devez faire ce qui a été fait par Manfred et ses collaborateurs c'est que vous analysez tous les graffes possibles et vous identifiez les graffes que vous avez identifiées en ce cas, ils vont être liés à l'équation kinétique ou contribuer ou à la sublédation mais il y a beaucoup de graffes sublédées que vous devez prouver très particulièrement pour eux et c'est ce que Deng et Honey ont fait et ils ne pouvaient que faire pour le cas où la table de temps kinétique est equal à 1 donc je pense que maintenant tout le monde espère que cette analyse peut être carried-on pour le problème quadratique pour une grande range de relations dispersion et tout je vous remercie pour votre attention si vous avez des questions pour la table de temps kinétique excusez-moi, nous avons des analyses très compliquées et j'aimerais vous demander si vous avez des informations globales ou si vous avez des informations conservatives ou si vous avez des informations variantes ou si vous avez des informations variantes dans toutes ces analyses c'est très évoluant mais c'est local on n'a pas de informations globales non, on n'a pas d'informations globales d'informations conservatives on n'a pas je veux dire, c'est si je peux le dire ce type d'informations conservatives qu'ils vivent à un niveau de régularité qui ne vous permet pas de fermer quelque chose c'est un randomness qui est utilisé seulement en bloc c'est pas utilisé en bloc global non non j'ai une seconde question il y a eu beaucoup de questions sur la dérivation de Boltzmann c'est très clair qu'il y a eu des mesures empiriques d'une certaine partique et puis elle a dit que ces mesures empiriques comme des hautes rambes d'une certaine partie de ces mesures convergent à la question de Boltzmann peut-on interpréter les résultats comme ça par exemple, tu prends les particules pour faire des compétitions et puis on va définir des mesures empiriques et puis, juste la question de la langue on peut voir deux paroles de la même philosophie mais le formalisme est tout différent donc peut-on définir les mesures empiriques comme dans ta lecture juste les choses dans cette façon pour ces résultats est-ce possible ? en fait, les physiciens font les mesures empiriques donc vous pouvez réévaluer les mesures empiriques comme dans ta lecture vous avez perdu la lecture oui, j'ai perdu la lecture mais pas parce que c'est à cause de RERB une autre question c'est de voir ce qui s'occupe d'une question réelle avec la question de Boltzmann avec la question de Boltzmann avec la question de Boltzmann avec la question de Boltzmann avec la question de Boltzmann jusqu'à maintenant, je ne pense pas qu'il y a un résultat même pour une longue période je veux dire c'est ce que je veux dire si vous comparez avec le cas classique d'une sorte de limiter les problèmes nationaux c'est de voir ce qui s'occupe pour l'analyse quantum du cas classique donc cela signifie que vous devez commencer avec la question de Boltzmann avec la question de Boltzmann appliquer la question de Boltzmann et voir ce qui s'occupe et je pense que c'est un résultat c'est un résultat c'est un résultat je veux juste revenir à cette question je suis désolé dans le cas de Deng et Annie ce que je comprends c'est qu'en fait la taille de leur boxe est plus petite que le pass de limiter en fait c'est un mécanisme qui n'est pas une interaction de douleurs mais une interaction d'autres douleurs qui sont déjà mises et dans votre cas ma impression est que vous avez écrit la question avec ce transport qui est plus rapide que la condition et donc dans le cas de Boltzmann si vous avez cette personne qui est assez vite et votre opérateur de condition qui est local et je dirais que avec les paquets ils vont juste à l'infinité très vite alors je ne comprends pas on peut avoir beaucoup d'interactions donc je dirais que le suivant c'est que ici notre résultat montre que dans le cas où nous ne sommes pas dans la configuration que vous avez mentionnée donc dans le cas où en fait notre timetable est plus rapide que l'escape de temps donc quand les paquets ils restent en train donc ils interagent et puis vous voyez cette équation kinétique vous pouvez argumenter que Deng et Hani, ce qu'ils font c'est ils travaillent sur la boxe et ils font la timetable pour être les paquets ils travaillent ils travaillent pas donc vous avez des mécanismes avant de les interagir mais ici c'est l'opposé à un moment vous avez ce transport qui est aussi beaucoup plus vite et donc à un moment les paquets doivent aller à l'infinité avant d'interagir parce que votre temps kinétique est typiquement de l'ordre de 1 donc pour moi l'équation kinétique est de l'ordre de 1 ok et puis vous avez 1 au niveau epsilon ce qui est beaucoup plus dur et donc le transport est un peu spinoleur donc si vous êtes dans un espace si vous avez un transport très vite et tout le temps vous allez à l'infinité donc vous avez un couple d'interactions mais beaucoup d'eux mais en fait ce que Deng et Hani colecturent c'est que leurs résultats doivent aussi s'assurer pour un petit temps kinétique donc pour les régimes dans lesquelles le temps kinétique est plus petit pour qu'ils n'ont pas de faim beaucoup ils aussi espèrent qu'ils ont une équation kinétique pour être à la limite donc je ne peux pas entrer dans les détails mais en fait quand vous faites ces expériences diagrammiques vous avez des ennemis avec Pierre on les appelle diagrammes et Deng et Hani on les appelle les irrégulaires et quand nous avons fait notre travail avec Pierre la deuxième nous avons prouvé que certaines diagrammes ont un très mauvais size et ils sont dans un sens mais en fait ce que Deng et Hani ont montré après c'est que vous avez des constellations donc ici je sais que ce que je parle c'est juste très technique mais c'est-à-dire que Deng et Hani ils pensent vraiment que leurs résultats devraient être valides pour les temps kinétiques qui sont plus courtes et la façon dont j'interprète c'est que vous n'avez pas besoin d'agriculture je ne sais pas vous n'avez pas besoin à ce moment la technique est très compliquée donc c'est très compliqué de comprendre quel sont les mécanismes physiques mais juste en écrit la question je ne suis pas si sûre que nous sommes vraiment avec ce qu'on veut ok c'est la question je pense sur ça mais vraiment il n'y a pas de contradiction c'est vraiment ce que je ressens c'est que de toute façon vous n'avez pas besoin d'être assez longs pour que vos waves linéaires s'interactent mais si ce n'est pas le cas ils devraient rappeler ou ils devraient s'interacter c'est juste encodé juste dans ce temps kinétique et ce n'est pas nécessairement d'avoir des références entre ce de la taille de l'Association non je ne pense pas je pense qu'il y a d'autres questions donc aujourd'hui nous sommes prêts et demain matin on va commencer avec la sélection merci