 C'est magnifique d'être ici. C'est un endroit fantastique. C'est un grand honneur de parler ici. Ok, donc, d'abord, j'ai voulu stresser que cet enficiateur est l'assignement d'un enficiateur. C'est le même gyme de l'assignement qui a créé ces chairs de maths plastiques dans l'U.S. et beaucoup d'autres choses que nous avons discutées. C'est un mathématicien. C'est un très grand enficiateur. Il a créé beaucoup d'interessants structures dans l'U.S. et du monde. Ok, donc, cet enficiateur est sur un système dynamique au point de vue. Donc, c'est aussi un enficiateur, comme dans l'aujourd'hui. Mais, ce sera dans les médias, dans des différents secteurs. Et c'est un enficiateur avec Miromit Aji Mirsadegi qui est en Théoran, dans le maire du département de Sharif. Ok, donc, c'est le plan. Donc, d'abord, j'ai commencé avec les motivations, parce que les motivations sont vraiment... C'est un projet qui s'est créé depuis des questions très pratiques dans les réseaux wireless. Donc, je vais commencer avec ça. Et ensuite, je vais traverser un peu des topics sur le point de vue et des probabilités de paix parce que je ne l'ai pas fait pour grandit. Tout le monde serait assez familier avec ça. Ensuite, nous allons regarder l'équation de Meckel's Invariant Measures. Nous allons définir point maps, qui sont ces sortes d'algorithmes et puis, nous allons discuter les deux nouvelles choses principales qui sont les probabilités de point maps et la foliation de point maps. Et l'islande, en temps de loi, j'espère, avec la thème de la classification générale. Ok, la motivation va comme ça. Donc, on s'appelle la navigation du point de vue. Donc, quel est le point de vue sur la mesure? Assume que dans le point de vue, vous voyez la configuration, qui est la mesure d'account autour de vous. Et, basé sur ce que vous voyez, vous décidez de bouger à un autre point. C'est aussi simple que ça. Et donc, c'est le plus simple, peut-être, la navigation, sur le point de vue, qui pourrait être appelé le nez-nez, la route géographique. Ces choses sont utilisées en pratique, dans beaucoup d'algorithmes. Donc, c'est la source, la destination, et vous éterrez un algorithme. Vous êtes à point X de ces algorithmes et vous faites la chose la plus basée que vous pouvez penser. La prochaine hope, sur votre route à la destination, est de aller au plus près, entre les notes qui sont plus près de la destination que d'où vous êtes. Donc, vous êtes ici, vous regardez seulement sur cette balle, qui est la centre D, et qui est au point de l'abandon de cette balle, et vous piquez le plus près de la balle à l'intérieur, ce point à l'intérieur de cette balle, qui est cet endroit, et vous éterrez cet algorithme. Donc, vous décrivez la distance à D. Il n'y a pas de ties dans le processus de poisson, par exemple, et il confère le four dans un nombre final de steps à la destination. Donc, ce sont des algorithmes très simples de la structure. C'est le terrain de l'incarnation qui s'appelle la direction de la route. Donc, vous voulez aller à Novosibirque, vous êtes en Paris, et vous... Oh, désolé, ici, dans cette picture, vous voulez aller à Austine, vous êtes en Paris. Et donc, ce que vous faites, c'est une sorte de petite balle donc vous éteignez le point qui est le plus près de vous, qui est, par exemple, à la plaine du sud, donc vous êtes en X, vous allez à Y. Ok, et ici, j'ai eu une sorte de pré- vue de ce que nous allons faire, regardez ce que ce point va faire, mais aussi, nous allons à Y, et ce point va aller à ce point, et vous allez envoyer des paquets par ce point de vue, en regardant des informations très locales, qui sont typiques, dans des networks pour des destinations. Ok, et c'est le slide qui est vraiment l'incarnation de l'incarnation juste pour d'autres informations. Assumez-vous que vous avez un transmetre d'attaque, vous avez un certain nombre de receiveurs, ok, qui sont typiques avec des couleurs, que nous allons expliquer. Donc, nous utilisons, c'est une networks mobile, où vous voulez envoyer des informations de cette note, ce transmetre d'attaque, à l'extérieur, en ce cas. Donc, vous utilisez Aloha, pour ceux qui ne savent pas que l'Aloha ne t'intéresse pas, c'est juste une motivation, donc je ne vais pas l'utiliser plus tard. Avec le poisson-point processus dans deux catégories, ceux qui sont transmetres, incluant les transmetres d'attaque et ceux qui sont potentiellement receiveurs. Ok, et donc vous choisissez Channon's theory pour décider de la réception, donc ce sera un signaux basé. Donc, si je vous donne un set de transmetres, il crée un field d'interference, qui va s'attacher à un note qui est un potentiel receiver, qui recevra un signaux transmettit par l'antenne omnidirectionale du transmetre d'attaque. Donc, ce sera, par exemple, entre ceux qui sont potentiels et ceux qui recevrent sur le basis de l'SI&R, donc, le fait d'une théorie d'information de cette paquette, transmettie par cet transmettage. Et vous choisissez, comme sur les relais, de l'Université de Novosibirsk parce que celui-ci va vers l'Ouest. Ok, donc quels sont les questions ? Structures de routes Qu'est-ce qui se passe sur les longs routes et la classification de routes dans les algorithmes ? Et nous les adressons dans le plus simple de l'application mathémicale qui est celle de point-chiffes sur le processus stationnel. Ce qui signifie qu'actuellement, comme vous le voyez, point-chiffes sont juste un système dynamique sur la mesure d'account et il n'y aura pas de belles et de risques. Il n'y aura pas d'informations extrêmes. Nous regardons la configuration comme nous l'avons dans cet état. Par exemple, sur celui-ci, nous regardons la configuration de point-chiffes pour décider d'une point-chiffes à la prochaine point-chiffes. Et il y aura un peu de conditions pour décider des points-chiffes. Pour cela, je dois introduire les processus de point-chiffes. Ce sont les mesures d'account. Les mesures de radon sur les Rd sans accumulation. Les mesures de radon sont localement finées. Les valeurs d'intagère. On peut représenter la mesure de ce type de summe d'Irak à certains points Tn et parfois le processus de point-chiffes est un summe d'Irak ou parfois le support qui est le set de point-chiffes qui met la masse. C'est ce que la mesure d'account est. On regarde la mesure d'account. C'est un très bon espace. On peut mettre facilement un sigma algebra. C'est même un espace topologique. C'est quand vous équipe un n avec une vague topologie. Et on peut mettre le sigmar sur la mesure d'account. Vous définissez la mesure d'account. C'est un processus de point-chiffes avec des valeurs à la mesure de la mesure d'account. C'est un processus de point-chiffes. Et le processus de point-chiffes qui a appuyé dans plusieurs paroles aujourd'hui, est un exemple très simple. Qu'est-ce que le processus de point-chiffes ? Dans ce set de main, je vais équiper le espace de probabilité avec une flore, une action d'RD, d'un groupe additionnel sur cet espace de probabilité. Ce sont les propres propres que je regarde au processus de point-chiffes. Si j'attends la mesure d'Omega par T à T, et regarde les valeurs que l'on fait sur B, c'est comme prendre le feu de Omega sur le set B transjeté par T. Donc, c'est ce qui sera le set. Donc, si vous avez un processus de point-chiffes ce sera une intensité qui sera le nombre de point-chiffes par un espace. On l'appelle lambda, si vous voulez. Ok, donc maintenant, il y a un très important chose pour comprendre ce que nous suivons, qui est la probabilité de point-chiffes de la processus de point-chiffes. Donc, quand vous avez un processus de point-chiffes de point-chiffes, vous avez un nombre de points-chiffes et vous ne pouvez pas faire le sens de ce que c'est un point typique. Si vous étiez le nombre de points-chiffes vous pourriez prendre la permutation du point-chiffes et regarder ce point-chiffes. Ce que vous faites est de vous exprimer la probabilité de point-chiffes qui est la vue de la processus de point-chiffes ou la loi de la processus de point-chiffes de un point typique. Vous avez pris cette définition qui s'appelle la probabilité de point-chiffes d'une événement A. C'est une événement pour un processus de point-chiffes de configuration de point-chiffes. Vous vous faites un set B qui n'est pas la mesure de la majeure de la majeure de B. Vous vous faites tout le point dans ce set B. Vous vérifiez la configuration de ce point-chiffes à la propre A. A, comme je l'ai dit, est de la propre en ennemi calligraphique N. Et vous vous divisez par le nombre de points dans ce set. Vous pouvez montrer que cela ne dépend pas du set B. La majeure de point-chiffes n'est pas la majeure de la majeure de B. Et c'est appelé la probabilité de point-chiffes pour définir le processus de point-chiffes de la majeure de point-chiffes de la majeure de B. Et donc le support de P0 est contenu en N0, qui est la majeure de la majeure de la majeure avec un atome à la majeure de B. Parce que vous bougez la majeure de point-chiffes pour tous les points de TN qui sont dans le set B. Et la majeure de point-chiffes comme je l'ai dit peut être la majeure de point-chiffes de la majeure de B. La majeure de point-chiffes est la majeure de point-chiffes par rapport à la majeure de point-chiffes en quelque cas le point de point-chiffes fait de la majeure de point-chiffes et la multiplication aiglotique une multiplication aiglotique est la distribution empirique de la majeure de TN pour tous les points de TN de 5 dans un grand point. Ok, donc bien enough. Et donc maintenant je peux définir points-chiffes sur les processus de point-chiffes de l'algorithme routier. Il matche chaque point de feu à un point de feu à un autre point de feu, un autre atome. Donc le terme a été pointé par Hermann Thorison et c'est assez utilisé dans le recent travail d'Holoide et de Pérez, qui a commencé en 2005 et qui va sur la nouvelle caractérisation de palmes en utilisant la route d'allocation. Ok, c'est suffisant. Donc, j'ai dit que je devais ajouter l'initiel motivation de Thorison, de Holoide et d'autres, et de Joseph Mecker, qui sont essentiellement des problèmes internals pour palmes et calculus. Alors, ici, la motivation que j'ai décrochée sur ces algoritmes routiers a été décrochée. Donc, il y a une nature légale avec ce type de motivation. Ok, donc, nous allons introduire quelques exemples, et nous allons expliquer ce qu'il y a. Donc, la première chose va comme ça. C'est un point de feu routier, ou point de feu routier. Il a été introduit dans ce paper par Pablo Ferrari, Claudio Landy et Hermann Thorison. Donc, vous avez des palmes, vous avez un point typique, vous êtes ici et vous voulez aller à nouveau Sibir. Ok, donc, vous faites une strip de wheat stew, centrée sur le point, ok, qui vous pouvez mettre à l'origine. Vous regardez ce strip et vous piquez le premier point dans ce strip. C'est le point de feu routier, et c'est là où vous allez. Et ensuite, vous vous éterrez. Donc, il y a des trajectories que je vais illustrer plus tard. Donc, celui que j'ai mentionné, ou la symétrie de l'une symétrique, la symétrie non symétrique de l'une que j'ai mentionnée, c'est le point de feu routier. Donc, vous incisez un point centré ici, jusqu'à un point sur l'un de l'autre, et c'est là où vous allez, et vous éterrez. Mais ici, il y a d'autres et d'autres surprises. Le point de feu routier, un point, il y a un point comme celui-ci, ok. Donc, celui-ci admite un point de feu routier, celui-ci, et celui-ci est le même. Celui-ci admite un point de feu routier, celui-ci. Donc, j'ai une évolution, celui-ci va à celui-ci et celui-ci va à celui-ci. Ok, c'est une évolution. Et ces points qui n'ont pas de moutons de closures, vous mettez une identité, ok. Donc, c'est un point de feu routier. Vous voyez que vous décidez sur la configuration locale, la scène de votre configuration, et vous décidez d'où vous allez. Ok, c'est un point de feu routier. Et c'est un point de feu routier, qui est utilisé dans la littérature. Donc, c'est le grapho supercritique en géométrique. Donc, ce serait comme le modèle dans le précédent talk. Mais dans le cas de percolation, vous avez un composant géométrique, ok. Et vous appliquez sur ce grapho, l'algorithme, qui est appelé le point de direction, c'est-à-dire, dans un point biologique, vous allez au point de feu routier, qui est, disons, l'est de vous, et donc, comme vous savez, le composant géométrique est un objectif très complexe, avec beaucoup de branches et des choses qui peuvent arriver, comme celui-ci, et dans cet algorithme de routier, vous allez avoir des trappes, c'est-à-dire, la route, parce que c'est ma pick, et je ne sais pas la structure globale, c'est trappé à ce point, où il n'y a basically personne dans la moitié de l'est de vous, ok. Ok, c'est suffisant. Donc, ce sont quelques exemples, qui vous donnent le réel, et maintenant, il y a une définition, et ce sont des définitions dynamiques, donc des facteurs, et donc, c'est un point géométrique, je dis que c'est un mape du support du point de feu routier, c'est-à-dire, il traite une route, directe l'est de beaucoup de points, à un autre point de feu routier, peut-être ça-même, ok. Et vous êtes intéressés dans des choses qui sont en variant de translation, ok, qui sont des facteurs de ces tits-à-tits des choses que j'ai décrit avant. Donc, et c'est le formalisme, donc un facteur point-shift, un point-shift est un facteur point-shift, il y a une fonction F, un petit F, qui s'appelle le point de mape, l'association du point de mape, qui s'associate à chaque point dans le support du feu routier, ok, donc F s'associate à la configuration de feu routier, un certain point dans le support, ok, et donc ce sera l'image de 0, ok, vous êtes sous, ce F sera défini sur le pal, c'est suffisant, il y a un point à 0, vous voyez où l'image, où 0 est sentée, ok. Et ce que vous faites, c'est la construction de facteur, pour voir où point TN est mappé par ce capital F, ce que vous faites c'est que vous portez point TN à 0, par appliquer F composé par TN, ok, puis ce point est à 0, vous appliquez F, et puis vous portez le point à TN, ok, c'est cette construction, et donc le résultat est que, en fait, l'image d'un point est un autre point, et si vous bougez dans une façon rigide, le process de point par une translation, puis les images bougent avec ce point, ok, c'est un facteur dans le point de vue dynamique. Ok, donc, je vais ajouter une autre chose ici, qui est le cas d'ordre iterate de F. Maintenant, pensez sur le process de point, donc ce que vous avez vu, c'est que, je l'ai fait sur la purpose, quand j'étais en train de faire la picture directionale, ok, vous pouvez avoir une picture comme celle-ci, ok, donc, je prends ces deux points, ils ont la même image, ok, et je vais voir le process de point qu'on appelle F d'ordre 2, ou F d'ordre 1 pour le temps, ou FI, qui sont le set de points, qui ont au moins une pre-image. Il y a des points sans pre-image, ok, et plus généralement, FK est un set de points qui ont au moins des images de FK, ok, et ce est le process de point, ce process de point sera stationnel, namely TITATI compatible, ok, et ce process de point est un facteur qui nous utiliserons dans les fonds. Ok, donc, ici est un théorème de la 17e par Joseph Mecker, qui prouve que si F est une plus sûre facteur bijectif, alors que tout le process de point s'accueille, la map de point associé préserve la probabilité de point de point. C'est un résultat assez amusant. Donc mathématiquement, si je pousse la probabilité de point de point par TITATI, je garde la probabilité de point de point. Donc, dans les exemples que j'ai donné, seulement un de ces points de point était bijectif sur toutes les trajectories, c'était le nez plus close. Ok? Donc, je suis ici, si j'assume que je suis un point typique, Mérouane est mon plus close neighborhood, c'est peut-être plus close que vous, de votre neighborhood. Et puis, si je vois le palme, j'attends à vous, vous voyez le palme. Ok? Donc, aucun point de point bijectif préserve le palme. Ok? Donc, c'est... Ok. Donc, question maintenant. Dans tous ces algorithmes intéressants, ceux qui s'attendent à Novosibir ou à Austin, vous n'avez pas de bijectif, donc vous n'avez pas de palme. Et la question... c'est la première question de la question que j'ai questionnée. Qu'est-ce qui se passe en long route? Ok? Donc, question, si je prends F, qui est un point typique factor, c'est-à-dire une roule navigation sur le process de point, qui est une fonction seulement sur le process de point. Ok? Ce sont les facteurs sur le point. Qu'est-ce qui est le set de mesures de probabilité qui sont en variante par la map pointe ou par la teteur du petit F? Ok? Donc... Ok. Donc, le mecha-séramme dit que si le capital F est bijectif, donc le palme, la mesure de palme de tout process de point se solide cette question. Mais ce qui se passe dans les cas intéressants qui étaient minés, comme la teteur ou la teteur directionale. Effectivement, si tu prends la teteur de point, c'est clair que dans cette picture, tu vois que, je veux dire, tu n'as pas de bijectif. Donc, tu peux avoir deux points et tu n'as pas la même image par F. Ok. Donc, maintenant je peux introduire les systèmes dynamiques et la réponse à cette question. Donc, je vais appeler M1 la sete de mesures de probabilité sur N, la sete de mesures de comptabilité et M1 de M0, la sete de mesures de probabilité sur les mesures de comptabilité avec un automatique 0. Ok. J'ai déjà introduit ce processus de point image avec la multiplicité. Ok. Il y a deux systèmes dynamiques. Le premier est celui qui regarde par N, ce système dynamique, à la time N. C'est le processus de point image quand tu as éterré la map theta FN times. Ok. Tu as éterré N times et tu regardes le processus de point image de ta point image. Ok. La theta fait ça. Donc, ça remet ce point FN à l'origine. Et le deuxième est celui des lois de la lettre. Ok. Donc, tu te puisses si tu prends une initiale loi, tu te puisses cette loi par theta FN et ce sera une distribution sur N, et c'est ton système dynamique. Ok. Donc, le système dynamique est la configuration que je vois à la fin de la étape, vue de là où je suis et le système dynamique 2 est le lois de la lettre. Ok. La distribution de la lettre. Ok. Donc, donc ici c'est un très intéressant et une importante définition maintenant. Donc, le point de vue est dit pour être périodique sur la fée de la compétition. Si il existe un integer P qui peut dépendre de la fée, comme ça pour K large enough, tu as la classique called periodicity equation. Donc, theta theta F over the head of phi est theta F over the end plus P. Et le deuxième est peut-être plus important. Donc, l'exemple serait pour exemple un cas de périodique qui étaient les trappes que je l'ai mentionnée. Ok. Donc, vous vous souvenez quand je rentre sur le quand je rentre sur le critiquant sur le sur le graph de random geometry qui est super critiquant je serai en point où je ne verrai pas l'image et dans ce cas depuis que j'ai besoin de l'image je serai un self loop et faire le point d'être un périodique de l'autre. Donc, ce sont les trappes. Et le deuxième, qui est peut-être plus important est la notion de l'évaporation. On dit qu'il y a une évaporation si cette image point processus de l'ordre K quand K va à l'infinité tend à la mesure de l'empte. Ok. Donc, asymptotiquement, il n'y a pas de points avec l'infinité de l'image. Et tous les exemples que je vais dire que je l'ai mentionnée comme strip ou directionnel ont l'évaporation. Donc, cette mesure est la sorte de non-bisjectivité de la map, la map F. Ok. Donc, ça concentrera. Si ça concentrera, vous avez moins et moins de points avec peut-être plus de masse si vous gardez la multiplicité. Mais au final, vous n'aurez pas de points avec l'infinité de la multiplicité. Et je vais utiliser cette property. Ce set, A est le set de configuration sur n'aute comme ça, c'est-à-dire que pour tous les n'intagères non négatifs, il existe au moins une preuve de l'image sur n'aute. C'est A. Je veux ça pour tous les n'aute. Et la première proposition c'est que pour tous les points facteurs et tous les processus stationnels, il y a une évaporation, une sorte d'évaporation de l'infinité sous F, même si la probabilité de cette évaporation est 0. Ok. Donc, cette sorte de... Ok. So, examples of periodicity, I've already mentioned, closes-closest, two directional, one and example of evaporation, so strip and directional evaporate a Poisson point process in art. Ok. Now I can define the dynamical systems and I want to say a few things on them. The first one is that the first dynamical system is... it looks very nice at first glance because it's a dynamical system and it's a long counting measure which is a very good topological space. It's a... as I said, you can... there is a... you can equip it with the vague topology therefore you can... you have a very nice topological space. Unfortunately, this map is not continuous. TTIF is not continuous unless you are in dimension one. Ok. So, therefore you can't use and at all the machinery of topological dynamics and it's why we concentrated on... for more than 2 or equal to 2 there is no point map such that TTIF is continuous on the whole of N0. Therefore you have to concentrate on dynamical system 2 which is that of the law and to study its asymptotic dynamics so you push P0 by TTIF call it PF1 so this is the view of the point process seen from points which have pre-images of order one or more with multiplicity. Ok. And more generally if you push PFN-1 by TTIF you define something which is called P0FN and the same interpretation goes. Ok. And so now we are... we have a good dynamical system and we will go to the direction of measure preserving dynamical systems by this... Ok. And so for that we define the omega limit set of P0 under the action of... of this TTIFN star and any element of the omega limit set namely every converging subsequence in this set of measures will be called F probability or point map probability of P0. In particular if the sequence converges and it does in the two examples of this strip and directional routing then it will call D point map probability of P0. Ok. And I will denote it P0F. Ok. So in words so you... the top... it's not a good topological dynamical system but if you look at how the law is pushed by the... by the shift TTIF so unfortunately on... on counting measures are not a compact set probability measures on counting measures are not a compact set so space so you have to be careful it may be that no limit exists but if any limit exists you collect F probability. Ok. Any subsequence. So there are examples of no converging subsequences so it's sort of clear you go to our balls with more and more points around them. Ok. So let me now give results of this F probability. So if the map is periodic then actually you don't go way beyond palm probabilities. Namely for instance if F is one periodic then the F probability of P0F P0F of P0 exists in that case it's absolutely continuous with respect to P0 and this is the radon decodim derivative. So in that case so I call a phi F infinity D so as I told you in that case you look at the images these images of order K decrease and the limit you call F infinity and this F infinity is not degenerate in that case it's going to be called of one periodicity and this is the radon decodim derivative so you look at the multiplicity of the point at the origin of this F infinity point process divided by which would be one if your point process would be simple initially. And in addition in that case but it's not very surprising P0F which is this thing absolutely continuous with respect to P0 solves maker's equation. Fair enough I know it's an interesting case because this is the case with evaporation so this is the second theorem if you assume that P5 evaporates under the action of F assumes that the F probability exists assumes that it satisfies maker's equation then necessarily P0F is singular with respect to P0 and the proof relies on exactly what we have seen namely that under P0F I is of probability 1 whereas under P0 it is of probability 0 ok ok so what it exists in many interesting examples it's an object which is completely different from the PAN probability. ok and so let me now answer the environment measure equation the solution of that so for that you introduce the Cesarosum with respect to the measures I defined ok and so if the Cesarosum do converge then I will call P0 tilde F the limit of the Cesaros averages and the theorem states that if there exists a subsequence within this Cesaros averages which converges to a certain P0F tilde and if theta F star is continuous at P0F tilde then this Cesaros average subsequence solves maker's equation ok ok so let me say a few words so we have done this construction on the strip point shift and directional point shift for Poisson on R2 using the strong Markov property of Poisson point processes and in that case so the probability in question the point map probability exists there is evaporation it's uniquely defined and it solves maker's equation but it's something completely different from a PAL measure so you have to understand that the thing goes along the lines so you have to progress infinitely on this path to see this configuration this limiting configuration which is given by a weak limit and you cannot see this weak limit at any local point on the point process so it is really a property that you see at infinity ok so I can now define the foliation which is the second and most intriguing object so I come back to the initial distribution p0 so I look at the point process so now I stop looking at what happens at infinity and I will look at something different which is the equivalent of a stable manifold of this dynamic ok so let me define a little bit what I mean assume I have a major space xf and the map g which is measurable on x ok so I will introduce the equivalence relation I will bear essentially play with discrete sets so my notion of equivalence will be very simple so x will be say to be g equivalent to y if there exist a common integer n such that if applied the map g n times to x or to y end up at the same point ok so this is this equation and so the g foliation of x e called l script g of x is simply the quotient of x by this equivalence relation each equivalence class will be called a foil and actually if you think a little bit about it a foil is the analog of the stable manifold the foil of x the stable manifold of x with respect to g ok so this is the set of points I take x I look at this set of points of my space such that if I apply the dynamic at the same number of times to both points I end up at the same they have the same fate they end up at exactly in that case exactly at the same point so in the stable manifold usually for smooth dynamics you would like that the limit of the different stands to 0 but here we will be on discrete spaces and we will take this assumption ok so actually there is another equivalence relation another partition so you may say that x and y are in the same g connected component if there exist 2 integers now you don't insist that they meet at the same time but you want to say that they are in the same component if there exist 2 integers m and n such that gm of x is gn of y ok and so this defines another partition which is called a set of connected components and the partition of foil is a refinement of the partition of components so it's a very classical graph theoretic so you can define if you want more use to that a graph which we call capital G we set of vertices x hgs between x and g of x and this will be the connected component of that graph and the foliation is a sub partition of the connected components based on what I said ok so lg of x will be the foil of x and cg of x the connected component ok so there are two foliation associated with the point map I will use both of them so the first one is a partition of the support of phi so you have phi and you will decompose the support of phi which is a discrete set into its foils with respect to the capital F map and these connected components but you can also work on n0 known configuration and split n0 which is a huge space into its TTF foliation or its TTF component ok so these are the foliation that we will study let me illustrate a little bit the first foliation on the support of a Poisson point process so Poisson on R2 strip point shift foliation of the support of phi the first and foil of the origin this is this object so the red object so this is the point this is the origin so you see the map that goes to this strip point shift so you go along the strip you always find the next point because it's how it's defined ok and if you look at the foil then you see a set of points which have exactly so two points are in the same foil if by applying the same number of time that may depend on a pair of points a dynamique you end up to a common point in the future and so here you see the straight lines that go from points of the foil to point of the foil it's a foil of zero right so it's a sub point process and there is a complete partition of the whole point process in that case there is only one component in two such foils and so this is what the foliation is all about let me skip that and go to perhaps how much much time do I have 10-15 minutes ok so perhaps I will give this classification before going to more details ok so this is the this is the perhaps most important result on that part which is a classification of if you want routing algorithm or point maps into three categories each you take it's a property of components so in on the example that I took namely Poisson point process in R2, strip and directional there is only one component you can prove that using a bronion motion ideas but I won't prove that ok but the general the theorem is general for each component C of this graph that I just mentioned this is the graph that you saw actually on the strip point shift ok this graph is or the foliation of this graph or the foliation of the point map is in one of the three classes which are following first class it is the finite-finite class so C is finite and each of its foils is finite and there is un un this is the first case and so I will give example in a second and a more precise terms the second class is IF C is infinite and each of these foils is finite so which means that actually there will be an infinite number of foils necessarily and the last class is the II case which is the most surprising one C is infinite and all its foils are infinite Laissez-moi exprimer ce que ce théorème dit et donner un peu d'exemples. FF class. Dans l'FF case, comme je l'ai dit, c est finite et chaque fois que c est finit, et en fait, il existe un integer n, qui sera le nombre de foils, et vous pouvez prouver que c a un unique cycle de langues n. Un exemple serait typiquement le plus près du quartier. F infinity of C est le set de vertices de ce cycle. Vous voyez qu'il n'y a pas d'évaporation en ce cas, et c est ce que l'on a dit dans la dernière ligne. Si vous pensez de plus près de point shift, ou de plus près de point shift aussi entre dans cette classe, sur un poisson, de plus près de point shift entre dans les paires de plus près, qui sont les cycles limités, et vous avez des armes finées qui arrivent à cette involution, qui est le final cycle. Et depuis que sur le processus de poisson, il n'y a pas de chaine de descendance infinitaire. En fait, vous pouvez prouver qu'il n'y a pas d'évaporation. Donc ce cycle limité est ce qu'il reste dans le processus de point shift quand vous interrète F infinity often. Ok, donc dans un sens, c'est un cas classique. C'est un cas où vous allez arriver à quelque chose qui est p périodique pour quelque chose de p. Et pour cela, vous allez arriver à quelque chose qui est essentiellement en palme, qui n'est absolument pas au part du palme. Et donc, il n'y a pas de point de faire quelque chose de plus en ce cas, ok ? Le deuxième cas est beaucoup plus intéressant déjà. Ce n'est pas le plus intéressant, mais il y a F. Donc la deuxième possibilité est que C est infinit et chaque fois qu'il y a F, c'est finit. Dans ce cas, C est nécessairement assez cliquée. Chaque fois qu'il y a un foil junior qui n'est pas granté. Donc dans l'ordre du set de foils, c'est Z et pas N, ok ? F infinity of C est le unique pass de B infinity. Il y a un unique pass de B infinity. Donc il y a toujours un pass de B infinity qui va vers la route de la tré. Mais dans ce cas, c'est un pass de B infinity. Et il n'y a qu'une, c'est un pass de B infinity. Et ce n'est F infinity of C. Et F n'est pas le cas de C, car F infinity of C n'est pas élevé, ok ? Et bien, un bon exemple de ça, c'est difficile de voir. Mais en fait, basé sur le point de point de point, vous pouvez prouver que le point de point de point est un component single. Alors, le point de point de point est un tré. Et vous pouvez prendre un tré traversal. Donc ce tré va mentionner comme un end single, ce qui est le sort du point de point, la route de la tré, qui est à infinity, vous ne le voyez pas. Mais tous les autres branches sont finies, ok ? Et pour cela, vous pouvez traverser ce tré par un ordre de vos. Je veux dire, vous avez une succession royale de ligne ou un tré traversal de la tré. Et vous avez donc un pass qui traverse tout le point de point, qui est une bijection, qui est un tré traversal de la tré. Ok ? Donc c'est une bijection. Et pour cela, en ce cas, tout le foil est limité à un point single. Et cet objet F infinity of C, c'est juste de se voir, ce qui est le tré pour tout le point de processus. Ok ? C'est un exemple. Ok ? Et c'est le plus intéressant de ce cas, parce que c'est vraiment, en ce cas, les choses que vous ne voyez que l'infinité, le cas de l'Ii, c'est l'infinité. Tout le foil est l'infinité. Puis, c'est le C-click. Et l'infinité de C est l'entrée. Donc il y a une évaporation. Ok, donc, maintenant, des choses qui sont assez surprises pour moi, à la fois, le théorème 6, le point de tré évaporeur C, si et seulement si c'est de l'Ii. Ok ? Donc... Et... Donc, cela signifie la prochaine chose. Donc, je dis, si et seulement si, donc... Donc, l'invaporation, dès que vous avez l'invaporation, vous prouvez que nécessairement, si il y a un seul component, disons, il y a un numéro d'infinité et chaque foil est nécessairement l'infinité. Ok ? Et vous pouvez aussi montrer que, en ce cas, le numéro de tré-image de point, c'est la notion. Donc, c'est exactement la notion. L'invaporation est équivalente à deux choses. Vous vous souvenez ? C'était soit que l'infinité de point de tré-image est émplique, ou que vous avez des prémages de l'ordre final. Ok ? Donc, ça signifie que vous avez un seul tré. Ce tré-image a seulement un end à plus de l'infinité et tous les branches sont finales. Ok ? Donc... l'invaporation est équivalent. L'invaporation dit tout ceci. L'invaporation dit que l'invaporation a seulement un end à plus de l'infinité. Et c'est vrai, en ce cas, dès que vous avez ça, vous savez qu'il y a beaucoup de foils avec l'ordre que j'ai mentionné. Et chaque foil est l'infinité dans la cardinale. Ok ? Ok, donc, je vais conclure avec le dernier résultat, ce qui est... le résultat, je veux dire, que tous les foils sont de la même dimension. Et ce sera un statement dans le cas de l'IAC. Et pour ça, j'ai dû revenir à quelque chose que j'aurais peut-être mieux dit par les mots. Parce que c'est assez amusant quand vous le voyez sur cette photo. Donc, ceci dit le suivant. Donc, vous regardez maintenant ce path. Donc, il va de ce point, à ce point, à ce point. Et ces points sont les points de la foie. Ok ? De 0. 0 est la foie, qui est une foie stable de 0.0. Ok ? Et en fait, ce qui se passe, c'est que p0 est préservé par une motion, par une bijection sur le foil. Et particulièrement, par la motion, il y a une motion bonne, qui est créée par l'ordre pour aller d'un point à l'autre dans un certain ordre. Donc, vous regardez à votre frère. Donc, si vous dites que f est pour aller à votre père, vous regardez à votre frère, puis vous regardez à votre première cousin, puis vous regardez à la deuxième cousin. Et cela crée un ordre sur le foil. Ok ? Et donc, le facteur incroyable est que p0 est préservé par cette motion que l'on appelle l'effort de Gondol. L'effort de Gondol est la motion sur le foil. Ok ? Ce qui signifie que si l'effort de Gondol est ergotique, et que l'exemple où l'effort de Gondol est, en fait, l'ergotique, vous pouvez appliquer l'ergotique sur le foil et reconstruire le p0. Et pour ceux qui connaissent l'ergotique, vous connaissez probablement la théorie des groupes aménables et convaincre les séries d'avarage pour faire des séries d'avarage, vous avez besoin d'une très fatiguée séries. Mais ce que le CRM dit, c'est que vous pouvez, en fait, une fois que vous avez un objectif non bijectif II class object, trouver une transformation qui ressemble à un pass très thin, ce qui est ce foil, et si vous faites une avarage empirique sur ce foil, vous vous rendez avec une solution de Birkhoff's ergotique CRM. Bien, si c'est ergotique, vous trouverez l'expectation. Si ce changement de théorie de Gondol n'est pas ergotique, vous trouverez l'expectation conditionnelle avec respect à l'invariant sigma-field. Donc vous pouvez appliquer Birkhoff's CRM dans la forme sur le foil, ce qui est assez surprise. Ok, et donc, le dernier résultat que j'ai voulu mentionner, j'ai mentionné ce que le orthogonal est, c'est la motion sur ce foil, et le résultat est ici. C'est dans les mots, tous les foils sont dans la même dimension. Donc, nous allons le mettre de cette façon. Donc, pique 2 configuration phi et psi, et let's call n, assume que ces deux configurations sont dans le même foil, si vous appliquez tf-orthogonal n pour la première, vous avez la deuxième. Et ce f-orthogonal c'est ce que j'ai député sur ma picture. Et donc, ce que vous regardez c'est que vous regardez votre cousin de l'ordre n sur le foil, et puis vous regardez les images de l'origine et l'image par f du cousin de l'ordre n sur le prochain foil. Et vous laissez-le aller à l'infinité, et le theorem, l'avantage de Birkhoff theorem, qui l'a élevé aussi, dit qu'il existe un limiter et que ce limiter n'est pas dégénéré, c'est positif et final, c'est même en l1 de p0. Alors, donc, ces objets sont très complexes, objets, mais dans le sens, ils ont la même dimension. Donc, si vous regardez leurs cardinalités sets, ce sera combien de personnes sont en-between les images de 2 points séparés de n, vous regardez leurs images et vous trouverez un limiter qui n'est pas dégénéré. Ok, donc, je pense que mon temps est à plusieurs prouves, mais je pense que ce sont les 2 articles et si vous êtes intéressés dans ce topic. Les questions ? Oui, je pense que les résultats sont un peu rouges, mais bien, je sais que vous êtes dans deux départements dans le U.S. Comment vous regardez les applications sur ces objets ? Ok, donc... Vous avez vu des applications dans le design de l'objet de celles et les objets de la Suisse ? Oui, donc, comme je l'ai dit, par exemple, une conjecture donc, c'était pour... vous devez voir que ces points maps sont très puissants dans les systèmes dynamiques. Vous n'avez pas de randonnés. Il n'y a rien de randonnés que vous travaillez autour de votre medium. Ok, donc, vous regardez ces points, vous faites quelque chose, ok ? C'est comme si vous avez une séquence de bits sur le système dynamique vous multipliez par deux et vous obtenez quelque chose, et vous obtenez... C'est exactement l'analogue de ça, il n'y a pas de randonnés. Mais si vous regardez l'exemple, donc, nous avons prouvé avec Bartek et MiroMid que cette incarnation wireless de la route directionale quand vous étudiez à l'aloha dans la bonne façon, à la vitesse positive et quand vous étudiez à l'aloha dans la bonne façon, à la vitesse 0. Ok ? Et nous travaillons à comprendre pourquoi et je pense que avec ce tool nous pouvons, dans le futur, d'extender ça aux points de processus, avec marques nommés des randonnés nous allons avoir une main-d'œil pour répondre à cette question. Je pense que l'answer pour l'exemple, où la vitesse est 0 c'est le cas où la probabilité point-map de Shannon au maximum progrès de l'histoire de Novosibir aurait une structure où, à la droite, vous voyez pas de points et à la gauche, vous voyez quelque chose très spécifique pour construire c'est l'I-set l'I-set, donc il y a quelque chose d'un point de processus un trajectoire qui implique l'I-set c'est-à-dire que vous avez une histoire qui est infinie mais à la droite, il n'y a pas de moyen de bouger il n'y a pas de points à bouger donc ces sont les situations un peu comme donc ce serait quand la fédération de l'Israélée dans la fédération alors il n'y a pas de manière de quoi vous attendez même si vous ré-samplez la fédération et vous disiez comment bouger donc ce serait la picture c'est une conjecture de la probabilité point-map pour ce problème de wireless ok on sait bien la probabilité point-map quand nous avons des structures wireless c'est difficile de prouver ça et nous n'avons pas fait ça mais nous avons un très bon handling à quoi est la probabilité point-map de dire la route directionale sans wireless ok c'est-à-dire que j'ai utilisé ça ok donc je vais vous donner une trajectoire pour répondre à votre question de la route directionale si la fédération est épaisse et je suis là je vais bouger ici puis j'interrète prendre une fédération centrée ici je sais que c'est déjà épaisse et non pas à mon prochain point de ici je prends une fédération mon prochain point sera ici mais cette partie est épaisse ok donc ça vous dit il y a un nombre de temps et beaucoup de temps vous verrez une distribution stationnelle et il y aura un plein de joueurs et il y aura un certain nombre de boules qui sont entiers de point et vous allez être à la bordre d'un d'eux qui protège il n'y a pas de points donc quand vous buildez votre boule vous allez faire un progrès et ce progrès sera plus grand que ça du palme vous allez être à l'infinité et ça vous permet d'améliorer ce que nous avons fait la vitesse sous la probabilité de fédération la vitesse asymptotique est la probabilité de fédération ok c'est ce genre de histoire et dans ces cas-ci, pour Poisson dans R2, Strip ou direction de route il y a des photos comme type où vous pouvez, d'abord, vous faire prouver que l'objet existe et pour ceux où vous n'avez pas de progrès où la vitesse est 0 la probabilité de fédération on expecte d'avoir des objets de ce type ok donc la probabilité de fédération c'est un objet très concret la deuxième chose, la classification c'est juste parce que c'est beau parce que ça vous donne la structure générale il n'y aura pas d'autres points de point que dans ces 3 catégories et c'est complètement général donc dans ce point de point il n'y a que ces 3 catégories et quand vous connaissez ça quand vous commencez à jouer avec objets point de point, il y aura beaucoup de critères vous trouvez des choses fantastiques juste parce que l'étudie de la classification donc je ne pense pas que c'est pratique mais c'est plus que pratique ça donne l'exemple de structure qui aide à� former un nombre fantastique et d'ailleurs, c'est-à-dire maintenant nous ayons l'extension de la classification Vous avez des graphes modulaires ? Est-ce que vous êtes familiar avec les graphes modulaires ? Ok, donc je veux dire qu'il y a d'autres variantes de ces graphes. Mais oui, les résultats classiques sont pas sûrs à quel point ils sont pratiques. Je dirais que la première partie était peut-être avec plus de conséquences potentielles. Si vous comprenez la probabilité de la probabilité, vous comprenez la vitesse asymptotique de l'algorithme. Et la vitesse asymptotique, même si quelqu'un ne serait pas malade, que dans le cas de Weyles, la vitesse asymptotique serait nulle si vous ne l'étiez pas correctement. Personne ne serait pas malade. Vous avez réellement obtenu ces résultats par les simulations ? Non, non, c'est sûr. Nous avons prouvé que ça s'accroche. Vous avez réellement attiré. Vous allez à un point qui vous progresse de votre destination. Vous avez réellement attiré, Allora. Dependant sur comment vous attirer Allora, il y a une transition de phase. Si l'Allora est trop agressive, la vitesse asymptotique est nulle. C'est un théorème. Mais pour comprendre pourquoi, c'est beaucoup plus compliqué. C'est parce que c'est un algorithme sur les médias. Vous évolvez sur le medium. Et quand vous évolvez sur le medium, le medium change. Parce que vous avez sélectionné certaines parts du medium. Et vous êtes dans des zones très spéciales. Et c'est une très spéciale chose. Ce n'est pas un point de point de poisson. D'abord, il y a une histoire qui n'est jamais vu dans le poisson. C'est le théorème que j'ai raconté. Et si vous êtes bloqué, la seule possibilité, et Allora, il n'y a pas de point de poisson. Et il n'y a pas de lien entre ces résultats et les choses de percolation de la théorie de Massimian ou... Francescetti. Francescetti. Il n'y a pas de lien sur cette percolation. Non, je ne pense pas que ça. Parce que c'est... C'est vraiment un dynamique. Un dynamique de paquets. Et donc, ce n'est pas vraiment... Ce n'est pas la première percolation de la théorie de Massimian. C'est... C'est vraiment un dynamique. Et c'est plus pour étudier les dynamiques de paquets. Initialement, c'était la motivation. C'est la vitesse et où se concentrent les paquets. Et la chose, c'est qu'ils vont arriver, donc ils ne sont pas visibles à tout, parce qu'ils ne sont pas visibles à la fin de la distance. Dans l'infinite passée, tous les paquets vont arriver à un point comme celui-ci. C'est une sorte de... C'est comme dans Massimian. Donc, vous voyez une picture très rire de ce qui se passe. Et ce week-limit, c'est... Ok, mais ces paquets de paquets, ces paquets de paquets de paquets sont intéressants dans beaucoup d'applications, incluant une wave millimètre. Parce que vous n'aurez pas de visibilité. Et donc, typiquement, vous allez prendre des décisions basées sur la information locale. Et le long pass de la wave millimètre pourrait être approché par les objectifs de ce type, je suppose. La seule chose, c'est qu'on doit trouver un sens pour la classe AI. La classe AI s'occupe bientôt comme vous avez une bonne non-béjectivité. Et donc, si il n'y a pas de contrôle et il n'y a pas de procès, vous serez dans la classe AI. Donc, la classe AI, qui, je pense, est la meilleure objectif de cette ligne de pensée, c'est une chose incroyable. Et ce sera la norme. Les autres algorithmes ne peuvent pas être locales. Ils sont locales, mais c'est donc maitre qu'ils ne progressent pas. Si vous voulez progresser, vous devez être non-béjectifs. Si vous êtes non-béjectifs, dès que vous êtes vraiment strictement non-béjectifs, vous venez dans la classe AI quand vous êtes dans le processus de poisson et que vous n'êtes pas non-béjectifs. Donc, c'est une métassur. Je ne serai pas... Je devrais ne pas couper cette partie de mes paroles, mais c'est mon belief, ok ? Oui. J'ai une petite question. La poisson a-t-il des ressources similaires au processus de poisson ? Est-ce que vous avez besoin d'une connexion de ce phénomène de poisson ou d'applications ? C'est un point très important pour... En fait, ce objectif qui est très proche n'est pas tout le processus de poisson, ok ? Mais il y a beaucoup de choses communes pour exemple, vous piquez un point j'ai piqué un point ici dans le milieu et vous regardez la descendance donc j'ai appelé ce qui se passe sur le droit des ancêtres et Adam est très loin et donc dans le cas de l'Ii ce que vous savez c'est qu'il y a un nombre finitif de descendances ok ? Mais la poisson est éternelle donc il y a Adam et Adam est à l'infinité ok ? Mais c'est ça qui se passe si vous regardez le nombre de points typiques ce nombre de points de la descendance directe et en fait plus généralement le nombre de descendances de l'ordre n est aussi 1 ok ? donc c'est en termes de juste d'expectation palme il n'y a pas d'indépendance, il y a une correlation spéciale c'est extrêmement complexe mais il s'agit d'un processus de poisson critique avec paramètres 1 et c'est pourquoi tout est possible et c'est un statement général selon les statistiques et ce que vous regardez donc ce cas-là parce que nous sommes dans le cas de l'Ii il n'y a pas d'indépendance il n'y a pas d'indépendance parce qu'il y a une correlation spéciale non plus il a tous les caractéristiques en termes de means d'indépendance avec d'expectations exactement 1 c'est pourquoi selon les statistiques finaires il peut survivre ou mourir dans le cas de l'Ii il mourra pour sure dans le cas de l'indépendance et pour cela, vous n'aurez jamais mouru votre décennie n'aura jamais mouru et c'est pourquoi vous avez le bîton mais c'est une extension de la théorie des processus de poisson critiques mais avec une structure spéciale parce que c'est pour un point de point mais vous pouvez le dire donc vous regardez les processus de poisson ou les processus de poisson spatiales qui sont construits vous avez seulement un père tout le monde a seulement un père et vous avez une chaleur de la théorie avec une tendance de certaine order et vous savez que vous allez si ce n'est pas un c-click à Adam qui vit dans le très plus tard à l'infinité et donc il y a une classification de processus de poisson entre ces trois classes c'est ce que ça dit si vous voulez, vous voulez regarder le grapho et voir le processus de poisson mais c'est une très bonne analogie pour regarder le grapho unimodular et par exemple le grapho éternel Galton Watson 3 c'est un grapho unimodular mais c'est une théorie plus générale parce qu'il couvre toutes les dépendances plus de questions ok, très bien