 La dernière fois que j'ai étaté les deux théorèmes pour vous et là ils sont, il y avait seulement deux théorèmes la dernière fois. Donc la première était sur la structure des matrices de densité pour bosons et fermions et en particulier pour bosons. Donc je vais vous rappeler que la matrixe de densité K est ce qui réplique les fonctions de corrélation dans les mécaniques quantes. Donc ils sont des opérateurs plutôt que des fonctions. Mais d'ailleurs ils sont très bien les mêmes. Et laissez-moi vous rappeler que la matrixe de densité K de densité de la fonction d'autorisation Psi est définie par la suivante formulae. Et je vous donne ici le kernel intérieur. Ce que vous faites c'est que vous vivez des variables K dont vous ne vous intégreriez pas et ensuite vous intégreriez tous les autres variables, comme pour la fonction de corrélation, et que, ici, depuis que vous travaillez avec Psi, au lieu de la probabilité, vous pouvez mettre différents variables ici et là et ça vous donne un kernel. Mais si vous avez tous les Ys equal à tous les Xs, vous avez les fonctions de corrélation, les normes, les normes classiques. Puis j'ai discuté un peu la différence entre fermions et bosons, ce que vous pouvez déjà voir par les propriétés de ces matrices de densité. Et j'explique à vous que la norme d'opérateur de gamma K est moins que l'enjeu de K, donc c'est de l'ordre de l'enjeu de K et la question naturelle était si c'est optimal. Je vous ai dit que pour les bosons, c'est définitivement optimal parce que si vous mettez tous les particules dans le même état U, peut-être qu'il y a un espace ici pour ajouter un peu. Donc si j'ai pris le signe pour être U tensor N, je mets tous les particules dans le état U, puis le gamma K de cet état sera précisément l'enjeu de K et puis l'enjeu de K sur l'enjeu de U tensor K. Donc l'enjeu de K est définitivement optimal pour la norme d'opérateur et est saturée pour l'enjeu de K qui sont des fonctionnalités de cet état. La question était si c'est la seule façon d'assurer l'enjeu de K et l'answer était oui si vous me permettez à regarder les limites de week. Il y a peut-être d'autres manières, mais si vous regardez les limites de week, c'est la seule façon et c'est cette quantité de finitie que nous avons prouvée dans cette version avec la phantaname Nicolas Rougerie, en disant qu'il n'y a pas de séquence de l'opérateur bosonique. C'est une très structurelle, vous n'avez qu'à regarder un système concrète, vous avez une séquence. Vous divisez par l'enjeu de K et vous assumez qu'il converges weekly pour quelque chose qui vous pouvez toujours faire par compagnie. Vous assumez qu'il converges weekly, puis il existe probablement une mesure P sur l'unité de balle de votre espace qui est l'avantage de l'U tensor K pour cette P, qui est indépendante de K. Donc, vous devez avoir une combinaison connexion d'enjeu de bosonique. Ok, donc ça disait qu'à la fin de l'enjeu de K, c'est essentiellement la seule chose qui peut arriver. J'ai également mentionné une banque pour fermions que la norme est essentiellement la fin de l'enjeu de K2. C'est important de vous dire que c'est optimal. On a des exemples de fonctions qui donnent exactement le comportement que je vous ai dit, mais nous ne savons pas le constat optimal. C'était la première théorie. Et puis, ce que j'ai fait c'était de décrire les 3 quantes gazes dans le climat thermodynamique parce que j'ai pensé que si je n'avais jamais vu que c'était possible de suivre un peu plus avantage de l'alimentation, mais je ne peux pas voir cela encore, ou peut-être même pour la première fois. Donc, c'est ce qu'il s'agit de ? C'est seulement la laplation. Il n'y a rien, pas d'interaction. C'est juste de regarder la laplation et comment les choses se comportent avec respect à la symétrie de ces particules. C'est un peu un mélange entre des constraintes algébres, c'est-à-dire la symétrie antisymmétrie de la laplation. Donc, on prend un domaine Omega de volume 1, un bon domaine vous pouvez jouer avec la régularité et tout ça, je ne vais pas faire ça. Donc, on prend un domaine Omega de volume 1 et puis vous scalez pour le faire grandir et grandir et occuper juste couvrir l'espace et dans ce Omega vous mettez juste n particules et vous choisissez vous choisissez n en termes de L pour faire sure que la densité des particules, c'est n sur le volume, est fixée. Donc vous mettez tant de particules sur le volume et vous espérez qu'ils vont occuper tout l'espace plus ou moins uniformement. Et vous voulez savoir quelle est la distribution de la velocité. C'est le goût. Ok? Donc, vous fixez aussi la température T, qui est 1 over beta. Et puis vous regardez l'état de gestion de la correspondance de ce problème, qui est l'opérateur d'exponential minus beta H, H being the Hamiltonian. Vous computez le 1 particule et la matrixe d'intérêts. C'est beaucoup plus court pour faire le traitement partiel mais c'est quelque chose comme ça où en addition, vous utilisez des... parce que Gamma est un opérateur, vous vous rappelez, c'est cette définition de mixtes states. Et puis vous vous demandez qu'est-ce que c'est la limite? Qu'est-ce que c'est Hn? Hn est le Hamiltonian pour le système, qui est juste une énergie kinétique. C'est la seule chose qu'ils font, c'est de bouger mais ils ne le voient pas. Ils sont indépendants. Bien indépendants, pas assez, parce qu'ils sont symétriques. Donc, nous avons... Par exemple, fermions, ils sont indépendants mais ils ne l'ont pas. Donc, ils ne sont pas indépendants, mais... Ok? Donc, le Hamiltonian c'est juste le sum de l'amplation sur le domaine L-Omega dans chaque variable Xj sur l'espace L2 de Rd à la force N qui est restrictée à l'anti-symétrique ou à l'amplation symétrique. Et je prends l'amplation directement. Très bien. Et puis, il y avait une longue théorème. Et je pense que je vais prendre un peu de temps en parlant de la théorème de nouveau, parce que j'avais beaucoup d'interessants et de questions et je serais heureux d'avoir plus. Alors, c'est juste le temps de discuter sur ces 3 gaz. Je pense que c'est utile. Et vous verrez, c'est en fait pas grave. C'est surprisant que c'est si intéressant en un sens. Mais je pense que les 3 gaz sont très compliqués. Donc, ce qui se passe, si je regarde les fermions, c'est-à-dire que je restricte l'amplation symétrique à l'anti-symétrique des fonctions. Je prends seulement les traces sur les fonctions de l'anti-symétrique partout. Je discute tout. Et puis, quand je regarde l'une particularité de l'amplation symétrique, il y a des résultats similaires pour les autres. Mais quand je regarde l'une particularité de l'amplation symétrique, il se convertit à une translation en variant d'amplation d'amplation symétrique. Donc, un multiplier 4 qui est donné par cette distribution ferme directe 1 sur l'exponential beta k² minus mu plus 1. Ok? Et mu est lié à mon paramètre. Donc, j'ai déjà fixé la beta. Mu est le paramètre de l'amplation symétrique, et c'est le rhum. Ok? Donc mu est le potentiel de l'amplation symétrique qui est la variable duale de rhum dans le sens de la forme de l'amplation de l'amplation symétrique. Donc, mu est choisi d'assurer que j'ai exactement le rhum de l'amplation symétrique de l'amplation symétrique. Ok? Et si vous computez combien de particules, je veux dire, si vous computez quel est le nombre de particules local pour cet homme, vous verrez exactement cet intégre ici. Vous devez ajouter le 1 sur le d. Et donc mu est le unique mu qui donne du rhum. Le rhum que vous avez fixé. Ok? C'est le frein fermé de l'amplation symétrique. Je dois vous dire que, bien sûr, si vous travaillez à 0 température, ce que vous pouvez faire, alors le même résultat est vrai. Mais bien sûr, à 0 température, vous devez remplacer ceci par la limites. Quand beta va à l'infinité, c'est la limites. Vous voyez quand beta est extrêmement large, ça dépend de le signage de k²-mu. Donc quand c'est négatif, vous avez 1 et quand c'est positif, vous avez 0. Donc vous avez 1k² moins que mu quand t est 0. Ok? Donc c'est comment vous devriez interpréter times u, bien sûr. Ok? Et mu est square of the Fermi momentum that Marcello had yesterday in his talk. So you see you get the Fermi sphere, you get the projection over the ball of radius squared with mu in Fourier space and squared with mu is called the Fermi momentum. And that's also called the Fermi sphere. Ok? So that's the free Fermi gas. For bosons, things are much more complicated and depend really very much on the value of rho. So you have to introduce the following critical density which depends on the temperature which is given by the following integral which is the same as here when mu is 0 and mu is the same as here when mu is 0 and you put a minus instead of a plus. And you see that in dimensions 1 and 2 at infinity no problem but at 0 this integral is not always convergent it behaves like 1 over k squared and so this will be infinity in dimensions 1 and 2 and finite in higher dimensions and it behaves like beta 1 over t ok so that's the critical density and depending on the value of the initial rho something very different will happen so if your rho is not too high so if rho is less than this critical density then you get the same result as for fermions so you get an infinite gas perfect guy no problem everything is of order 1 nothing special is happening except that you have a minus 1 and mu has to be chosen so that this holds ok and this mu will be strictly negative always ok so that's the bozer gas in case the density is not too large or the temperature is not too small ok and now when the density is too large so here I'm thinking of fixing the temperature and moving the density but you can fix the density move the temperature it's the same so when the density is large then there will be a completely different behavior namely you will really get an eigenvalue of order n popping up in your system I wrote it slightly differently I think I wrote the volume instead of n last time but it's the same ok and this eigenvalue of order n is going to be of multiplicity 1 there's just one eigenvalue of order n no two eigenvalues just one of order n in this limit and it's given by rho minus the critical rho divided by rho and the corresponding eigenfunction is just the first directly eigenfunction over the big domain ok so that's the guy so it has suddenly an eigenvalue of order n and if you you would compute gamma 2 and so on they would all have exactly one eigenvalue of order n to the k as predicted by this theorem ok and then in the limit you get your thermal cloud if you like so that's the thermal cloud that's the Wasser Einstein condensate here ok which is just the same as for fermions but with a minus and mu equal to 0 which is the maximum you can go this only happens in dimension 3 and higher because in dimension 1 and 2 rho is infinite so you are never in this second situation if rho is fixed ok so you have to give a meaning to this quotation Marx there are several ways so for instance what you can do is to really check that there is only one eigenvalue of order n so you take gamma 1 you divide it by n you subtract this thing and you look at the operator norm you have to be careful using the right norm alright and then this goes to 0 ok what you can also do is to be more in a microscopic setting so you take a nef you test against gamma 1 you compute and then let me remind you maybe let me remind you that the first directly eigenfunction is just a rescaled it's just a rescaling of the first directly eigenfunction of omega with the obvious scaling ok and then when you pass to the limit here you see u1 of 0 that's because you somehow look what's happening here close to 0 why did you click at the boundary don't have a condensate or why did you click at a function oh because I started with a directly Laplacian ok ok so so you see and that's very important that this part here the thermal cloud doesn't see the boundary condition you always get the same however the Boser-Einstein condensate depends very much on the shape of omega and even on the boundary condition because it depends on u1 I would like to so to insist on on something that it's so this limit here really has two scales right so they are two not independent but two different scales in the problem for this Boser-Gas and these two terms really don't live at the same scale and you have to play and always treat the two scales treat both the two scales if you work at only one scale you will miss the details of the other scale ok so this here is a limit at the microscopic scale where you see the thermal cloud but then the Boser-Einstein condensate you only see this term here and there was this picture so what is the velocity distribution in a momentum space so that's so here it's essentially a Boltzmann right and here it's 1 over beta k square and then you get a huge delta at 0 at k equals 0 which is this term so rho minus rho c of t divided by rho times 2 pi to the d delta k equals 0 ok so if you work at the microscopic level in momentum space you see this huge delta ok and I mean you don't see much of the oh, I forgot the u and then you see the value of the corresponding first eigenfunction of the region where you are working ok but so since I got the question I would like to emphasize so if you divide by n and do the weak limit now you try to apply this theorem what do you get you get 0 because u1 tends weakly to 0 and so this will disappear weakly you should divide by n why? but that's because you're not at the right scale the Boltzmann Einstein does not live at the microscopic scale it lives at the macroscopic scale so in order to see it you have to rescale everything ok so be careful ok so to see the BEC you have to work at macro scale so you have to rescale length and everything which is a unitary operator so it doesn't I mean you can still apply the theorem at the new scale and now this is just going to be fixed you will get just a projection of a u1 and then you will even get strong convergence, not weak ok and then the theorem can apply so this tells you that the weak convergence is very I mean that's the weakness of the weak convergence it doesn't always tell you something because if you don't work at the right scale you may miss something because the eigen function goes weakly to 0 ok so if you work at the scale so you rescale everything then you are in omega ok then the new rescale gamma1 divided by n and you are even strongly now to a rho minus rho c of t divided by rho and then u1 u1 and that's Boser-Einstein-Connorsate which takes place at the macroscopic scale ok so the picture is the following I try to maybe I do another picture here ok so here you got the curve so that's t and rho here you have the curve which is like rho to the 2 of d and here is the BEC that's the BEC region it's the phase diagram of the free Boser gas questions happy, tired both so at some point you said that it was a theorem that everybody knew that no one knew where it was written so here I'm going to give references so the next step is to give you references and then discuss a little bit I'm not gonna do the proof could take well maybe even more than 2 hours it's not so easy but I will give references and give you the vague hint should we do that now ok so that's the end of the recap part so now references no I think it's ok so references so I think theorems of that kind are really due to Kat 71 except that apparently he gave a lecture about it which was never really published but there is a later paper with Ulin Beck where some parts of the lecture are repeated but many of the later papers refer to Kat's some lectures he gave about this problem ok so I think the first proof that you can find so we'll find many many proofs about a team with many different combinations of authors Louise Poulet Anderberg et Redknoff also in the 70s there are several papers if you just look for free boson Louise Poulet you will find many however many of those works they would only work in the grand canonical case which I will define afterwards ok so the canonical case which is the theorem I've presented so I found a reference by a guy called Canon Tony I think it's but anyway so Canon studied the canonical case I mean Kat's also but it's hard to say exactly what was in there but he was not looking at density matrices so he had a different notion of convergence I mean he was looking at vile observables as one likes to do for bosons so his result strictly speaking does not imply the theorem I wrote but anyway and then you no should I mention something else I don't know so then there's a beautiful work by Deuscher, Sieringer and Inverson in 2018 you see it's a big jump in years where they actually study the interacting case and I think that when looking at the interacting case they had the same problems that I had when I had to prepare this lecture that it was hard to find references so they wrote an appendix about the free boson guys where they provide a very nice argument which is actually a bound well I'm not going to be too precise which is a bound on the canonical density matrix in terms of the grand canonical one universal bound which if you use it then everything becomes much simpler ok and then the theorem I think can easily be proved with your bound otherwise I would not be able to give you a reference for a proof of this theorem before so I think this theorem was kind of known but do you know a reference Andreas? No ok good so then I strongly advise to use this method which is a very efficient and elegant but I mean you have to mix these arguments maybe with older arguments ok you can read lots of things in the book by Bratelli-Rubinstone if you are not allergic to operator algebras the second volume there's a whole section about Fermigase about the boson gas but it's all grand canonical so let's define the grand canonical model just from the theorem you understand immediately it's easier to work grand canonically than canonically which you know if you do statistical mechanics I guess but maybe it's not so obvious to you if you are not used to to that just because everything is so easy with new you see if I would have to write these limits in terms of row then I have to invert this crazy function this integral I did not even compute I mean I can compute it with special functions maybe the zeta function or something it's not explicit ok so fixing row I mean sounds very natural but it's actually mathematically not easy it's much much easier to fix mu so the proof goes by rather fixing mu and study the grand canonical limit and then prove that the canonical problem has the same limit as the grand canonical corresponding mu which can be not so easy sometimes anyway so grand canonical model we let n vary or the number of particles becomes random if you like fluctuate you want to formulate it and then we work in fox space don't leave don't be afraid it's gonna be fine you've seen many fox spaces already I know I know it's not fun but it's not that complicated so we work in a fox space which is just a way of putting all all these possibilities together so what is the fox space well there are two because there is the fermionic one and the bosonic one so it's just the direct sum of all the possibilities of having zero particle when I have zero particle I'm going to model this by c ok it's a and then I put the space for one particle the space for two, the space for three so on and so forth so I do the big sum n larger equal one of l2 maybe I put directly omega to the power n because that's where we and then either symmetric or anti-symmetric I want to insist there is no n factorial so if I compute the norm of a big psi this is really the norm of the psi n square this n factorial as a long history ok you know if you work in a classical mechanics then you don't work in a Hilbert space but you work in the convex maybe let's recall so in a classical fox space how is that called in classical mechanics does it have a name Grand Canonical Grand Canonical ok it's not a space phase space ok so classical case what's the classical case there you work in a convex state and that's a collection of positive measures right each n is a symmetric measure of omega n and then the sum of the integral of pn divided by n factorial must be one ok now you will tell me it doesn't matter whether I put the n factorial or not because I can always include it in pn that's what you will tell me but I would disagree because this n factorial plays a big role once you look at entropy so the entropy will be pn of pn and you put again an n factorial and if you don't put the n factorial right then the free energy will not be of the order of the volume ok and as soon as you talk about entropy then it makes a difference whether you you put the n factorial like that or whether you include it in p ok why do you put an n factorial that's because you are counting things too much too many times you have n particles and you don't want to distinguish when they are like that and when I exchange labels so I just divide by n factorials because I have all these simplicity so I'm just integrating over one simplex if you like ok but in the quantum case we don't have to do that because we have already taken into account the symmetry by restricting to the symmetric or anti symmetric subspace ok so due to the fact that we will take a trace in a very small subspace the n factorial is already here in a sense so then I should not put it it's better ok good so on this space there's a number operator I mean you can always put it but then you have to correct the entropy appropriately so the number operator is just 0 plus n ok so this is giving me the number of particles and then I have my Hamiltonian which is just 0 plus hn there you go and then I have the state the Gibbs state which is just 0 minus 1 exponential minus beta h in fox space it is z minus 1 and then there is 1 plus and then plus e minus beta hn ok so I'm just taking a collection of everything and what is z z is the sum of the tracies without an n factorial ok so z is 1 plus the sum and larger than 1 the trace of e minus no n factorial ok so and I sorry I forgot the mu now I have to put the mu because I want to play with mu in order to get the desired density so I will shift everything with mu ok sorry minus mu n so here I have an exponential beta mu n which people in statistical mechanics like to write z to the n ok so that's the fox space you see it's the generating function of the partition functions for our canonical problem very good so why do people use the I mean why is the one canonical easier that's because the fox space the quantum these quantum fox spaces they have a very specific algebraic structure which you don't see here it looks very innocent ok but these fox spaces they actually represent some very specific operator algebras and this is very useful to do computations ok so many complicated computations become extremely easy to get the hidden algebra behind this construction the algebras are the commutation ah sorry canonical anti commutation relations and canonical commutation relations these annihilation creation operators and so forth let me not enter into the details ok so what I want to tell you is there is a very simple algebraic structure and this structure is a little bit like an exponential so I mean you see that's a little bit like an exponential some one over factorial blah blah it's the same in the quantum case so there is a very specific very specific structure so the lemma is the following you can compute z so this is well defined if you like so we have that z so I'm going back to our problem so I'm taking a domain omega et then this is well defined if z is finite I need z to be finite when is z finite? well we have z finite for all mu in the family case and mu negative at least in the bosonic case ok and actually there's a formula for z which I'm going to write down which is the following it's the product over y of 1 plus or minus exponential minus beta the eigenvalues minus mu to the plus or minus power 1 where the plus are for fermions and the minus for bosons ok so you see that the z is a product of these eigenvalues and then if you take the log y it's finite and not finite ok let me let me tell you that the trace of exponential minus beta the Dirichlet Laplacian over a domain omega is always finite if omega has formed as a finite volume ok due to the values they tend to infinity polynomially so this is enough there's a formula for the partition function exact formula and there is also a formula for the corresponding gamma 1 ok so the groin can only call density matrix of this Gibbs state ok which is 1 over exponential beta minus Laplace on the domain L omega minus mu plus ok so that's the lemma so in the groin can only call case you can compute everything in the can only call case you can't I mean if you start trying to compute you will get crazy formulae and it's not easy but groin can only call is just explicit is there a physical reason why you take all the coefficients to be 1 in front of the I understand that from the mathematical point of view there is a reason with this algebraic computation that you put 1 in front of each side and the square because I have already taken into account yeah but not necessarily 1 over factor and not say any other coefficients well in principle you can do whatever you like but it's only when you do something non linear that you will see the difference so the entropy which is a p log p or trace gamma log gamma there you will see a difference it's the only case that's why you will see the difference so if you put an n factorial in the quantum case then the free energy will not be over the n I could do also that when you do some computation you are projecting on finite dimensions so you know that's the matrix there are some things which are easier I don't know but my question is from a physical point of view what is the reason to take this specific choice oh, I mean actually I have the same question for the chron canonical I don't have the answer in a way I mean you can think of this z to the n as a change if you like it's just that I am reinterpreting the z to the n as changing the Hamiltonian and then inserting the mu so so if you are going to change the same as changing mu so you change the Hamiltonian instead of changing your norm it's maybe better I don't know does somebody have a better answer ok if you start to I mean this lemma is just a computation but it can be messy if you don't do it the right way so I'm not going to do the proof but you can do the proof using the algebraic properties of your fuckspace Andreas I mean it's maybe natural by one things of probabilities it's still the most natural thing right try not to wait why would one wait we have to choose one ok it's more natural but say say there is no reason what you choose one specific key by why would we wait the probabilities for different particles ok so let me just give you the main property which makes this proof easy the main property is that the fuckspace behaves like an exponential so if you have a Hilbert space which is a sum of two Hilbert spaces a direct sum then the fuckspace behaves like the tensor product that's the main property it's exactly like an exponential of spaces a bit ok so I mean that's up to some isometry ok so that's the main property you have the same in the classical case I mean if you think if you take two domains omega 1 omega 2 and you look at C of omega then this is really like the tensor product of C of omega 1 and C of omega 2 because you can look whether the particles are in omega you can look how many are in omega 1 and how many are in omega 2 and you can make the distinction ok and you will find the C of domain omega is a omega 1 union omega 2 is essentially C of omega 1 tensor product we see omega 2 ok so there is an exponential structure behind and why does this make things easier ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ou les gars, c'est comme le produit, l'attention du produit. Et vous computez une trice. Et donc la trice devient un produit. Donc ce que je veux dire, c'est que vous avez à comprendre comment manipuler les choses seulement dans l'unidimensionale case. Et ce qui se passe dans l'unidimensionale case. Donc je vais travailler maintenant dans l'unidimensionale case. Donc ensuite, j'ai juste une fonction eigen, UIL, et une valeur eigen lambda IL. Et rien d'autre. Donc je vais travailler dans l'unidimensionale case. Un, ce qui se passe. Bien, qu'est-ce que le Hamiltonian? Bien, qu'est-ce que l'espace? Donc le foc espace dans l'une dimension de fermions est très dur. Parce que je peux décider de mettre 0 particules, ou 1 particule, mais je ne peux jamais mettre 2. Parce qu'ils doivent être dans différents états, fermions. Donc le foc espace dans l'unidimensionale case 2. Vous devez décider de mettre 1 ou 0 ou 1 particule, OK? Et on va faire des fermions ici. Et le H, qu'est-ce que le H est? Donc le correspondant H, je ne sais pas comment vous le callez. Donc H restrictif à UIL. Donc la énergie est 0 si je ne le mets pas. Et la énergie est lambda I si je mets 1 gars. Donc qu'est-ce que l'exponential minus beta H minus mu? C'est la suivante matrice. 1 et l'exponential minus beta lambda IL minus mu, OK? Donc quand je compute la trace, je prends 1 plus ça. Et c'est le 1 plus ça. Et puis je prends le produit, parce que la structure du produit que j'explique à vous, OK? C'était pour les fermions et les bosons. Donc je n'ai qu'une mode. Donc ce qui se passe pour les bosons, c'est que même si c'est l'unidimensionale, le foc espace est infinidimensionale, parce que je peux mettre autant de bosons que j'aime. Donc le correspondance H pour juste une mode sera 0, OK? Quand je mets 1 boson, je prends lambda IL. Si je mets 2, je dois les mettre dans le même état, parce que je n'ai que 1 état. Et puis la énergie est 2 lambda IL, et puis je prends 3 et ainsi. Donc je prends cette simple matrice diagonale. Et puis quand je prends l'exponential, je prends juste 1 et puis l'exponential minus beta minus mu N lambda IL minus mu N minus mu et puis 2 et ainsi. Et puis vous voyez que quand je confuse la trice dans cette mode 1, le foc espace, je prends une série géométrique. Quand je soumette, je prends 1 par 1 minus l'exponential, blabla, qui est exactement ce que ce sont les réitens ici. Vous avez 1-éguile-gai à la minus 1. OK? Donc les bosons, vous avez une série géométrique parce que vous pouvez mettre beaucoup de bosons en juste 1 état. La ferme, vous avez deux termes avec un plus. Et puis la computation pour la lambda1 est assimilaise. OK? Et c'est pourquoi vous obtenez cette étang ещё d'un sur l'exponential beta x plus ou minus 1. Donc 1 est une série géométrique et l'autre n'est pas. Donc, c'est ce que vous computez dans l'étude de l'anglais canonique en utilisant la structure de l'algebra. Vous avez juste réduit tout à une dimension 1, et puis c'est juste une série géométrique. C'est très bon. Maintenant, vous voyez que le problème de l'anglais canonique est réduit à étudier cet opérateur. Je vais finir avec cela avant le break. Donc maintenant, vous devez comprendre ce qui se passe à 1 sur l'exponential beta, le direct éclat, la plage, minus mu plus ou minus 1. C'est juste que vous avez cet opérateur sur un domaine de dimension n, et puis vous enlargez le domaine. Donc, vous pouvez très... C'est très clair, à moins intuitivement, que ce soit converti à une série géométrique similaire dans l'ensemble de l'espace pour une fixation de mu. Donc, si j'incrude le domaine, je convertirai à la limite. Donc, vous pouvez immédiatement comprendre ou avoir l'intuition que le théorème va être très facile si mu est fixé, pour que cette fonction soit bien définie. Donc, mu, tout pour fermions et pour bosons, mu est très négatif pour s'assurer que le dénominateur ne vane. Et puis, c'est juste... C'est juste une limite facile. Mais il faut... Oui, donc, je vais vous donner un petit exercice. Ok? Donc, take any function continuous which goes to zero at infinity on R. Then I claim that f of the Dirichlet Laplacian apply to the function u converges to f of the Laplacian apply to u in L2 for all u in L2. And that's exactly the statement which was in the theorem and that was for any function of the Laplacian and if you try to prove this lemma recommendation start with... not with this f which is crazy but start with f of x which is x minus z to the minus 1 with imaginary part of z not zero because then you reduce the problem to studying the following easy... what you have to study is the behavior of this solution when L goes to infinity ok, so u is fixed you troncate u then you solve this problem here ok, and you have to show that v converges strongly to the unique solution of the same thing in the whole space namely minus Laplacian minus z minus 1 u simple exercice ok and once you know it for all z then by some stone by our stress whatever you get it for all f and therefore you get it for these functions ok, so that's how you prove the theorem in the grand canonical case at fixed mu and when there's no BEC now I have to soon make a break I'm still looking at the time yes so how do you handle the BEC case well, it's not easy but now imagine I have fixed a row which is above this critical row ok so what is happening for this guy ok if I compute the row that I get at a given mu ok, so I am picking a mu and then I compute how many particles I have in average the trace of this gamma so this is just if you like the sum of 1 over exponential beta lambda i l minus mu minus 1 for those ones ok, it's just this sum over there what is happening you see that even if l is fixed I can't get any row that I like ok, it's just that I have to take mu converge to the lambda 1 which is the first that mu will see ok, so when I compute this series here then when mu goes to a lambda 1l this is divergent because of the denominator ok, so I can always pick a mu which will now depend on l ok, so there exist mu l so that this is equal to rho the claim is that this mu l converges to a nice negative mu if rho is below the critical density and this mu l will go to the first eigen value if you are above ok, so the exercise is to prove that mu l behaves like lambda 1l minus rho minus rho c on va peut-être le faire let me check this yeah got it completely wrong so it's 1 beta l to the d rho minus rho c plus litelo of l to the minus d ok, so that's what you can prove or what you have to prove ok, so let me remind you that this guy goes to 0 ok, but this guy goes to 0 like 1 over l squared so mu has to approach the eigen value at speed 1 over l to the g so has to build rho which is subcritical then what you have to do is to study the limit of the corresponding operator which obviously will have an eigen value of order n because if you look at the the largest eigen value of gamma 1 will be 1 over exponential beta and then 1 over l to the d beta rho minus oh, so I got it wrong as you can see this is in the numerator no oh no no, it was fine minus 1 ok, so that's the largest eigen value of gamma 1 and this goes to 0 so this is exactly like l to the d rho minus rho c which is what we want ok, so let me summarize now before we make a small break maybe I summarize with a picture which I put here and that's gonna be the end of what I wanted to tell you about the free gases and then we will look at the cases in the next hour so here I have lambda 1l ok, so if I stay away of lambda 1l by a step minus 1 there I will build rho less than the critical rho ok if I want to build a sub critical rho then I have to approach this guy and go below by something minus constant over l to the d let me remind you that this guy behaves like 1 over l squared so there is definitely and then there's the next eigen value which is also 1 over l squared so clearly something is happening when d is 2 because then they behave and that's why dimension 2 is critical in this problem but if we are in dimension 3 then this distance here is smaller than that distance which plays a role in the proof to estimate things ok, because there is a kind of a gap ok, so in this region where I work a distance 1 over l to the d of lambda 1 then I can construct subcritical rho and the BEC so let me mention let me make some advertisement that tomorrow Nicolas Rougerie on va voir le cas où mu est 1 over l squared ok, ce qui est un peu un peu avant ok, donc toute cette région ici est un peu près de la transition parce que là vous êtes sur la transition ici vous êtes avant donc quand vous allez à 0 plus lentement que l à d vous êtes à plus de la transition Nicolas explique que quand vous allez à 1 over l squared vous voyez comment le boson Einstein se forme donc vous expliquez la formation de la BEC et cela peut être compris en termes de des mesures gauches des mesures gauches des mesures gauches, je ne sais pas comment vous voulez le dire en fait vous verrez minus la place plus c c'est une question massive comment vous l'avez dit les mesures gauches en fait dans toute la dimension mais c'est d largeur que 3 si vous voulez c'est bien, vous allez à 1 over l squared dans une dimension aussi la même chose qui va arriver donc, à friday Nicolas explique ce que nous avons fait dans le cas interactif mais dans le cas interactif vous voyez ces mesures gauches ils expliquent que le condensé est formé quand vous approchez la transition et cela correspond à prendre des mesures gauches pour les 1 over l squared je ne sais pas si quelque chose est intéressant quand vous êtes à la gauche ici ou à la droite vous voyez que les 3 les 3 gauches n'ont pas d'interaction c'est très riche il y a beaucoup de choses mais après la paix oh non, je dois vous dire une fois et puis après la paix donc, quand vous étudiez le canon grand canonique vous devez prouver que le canon canonique est le même que le canon grand canonique qui a le mu qui donne le correct tour ce n'est pas fun je veux dire, ce n'est pas il doit être vrai mais ce n'est pas nécessairement facile et c'est là où le boulot d'Euse, le Boulot d'Euse c'est très utile parce que cela vous permet d'utiliser des convergence dominates une fois que vous avez un boulot universal entre le canon canonique et le canon canonique après la paix nous allons regarder les systèmes d'interaction et je vais essayer de vous expliquer les limites de minfield on a pris beaucoup de temps sur le système de non-interaction mais je n'ai pas de regret pour vous, dans 5 minutes 5 minutes alors après cette paix non-interaction let's go pour les systèmes d'interaction peut-être le masque merci peut-être qu'il ne peut pas vous dire ce que nous aimerions prouver même si nous n'avons pas de clous pour prouver des problèmes pour les systèmes d'interaction je ne vais pas faire une longue vue mais on va voir si on s'agresse sur le theorem donc on a vu que sans interaction il y avait un diagramme de phase et on espère que si les interactions sont assez petites les mêmes devraient arriver on doit décider donc si les interactions sont petites ou moins, je ne sais pas comment dire moins, peut-être c'est mieux alors il y a un régime où vous avez aussi BC donc maintenant il y a beaucoup de différentes manières que les interactions peuvent être moins et on peut toujours regarder tous ces manières et décider quel est le meilleur physique c'est une autre question une grande classe de modèles qui ont été étudies et c'est pareil dans un cas classique donc le premier est le régime donc le régime du régime vous faites la interaction en un sens donc vous mettez un petit numéro devant cela et puis vous mettez ce constant pour faire sure que l'interaction est lente mais ça fait le rôle d'appuyer dans les résultats donc typiquement, ça serait de replacer W par quelque chose comme W over N qui serait en sens ou vous pouvez aussi penser de travailler immédiatement avec un gas infini donc vous voyez, nous avons beaucoup de limites donc j'ai parlé d'un limites thermodynamiques et maintenant vous voulez faire un autre limites où les interactions sont moins donc ça dépend d'où vous faites d'un à l'autre donc si vous avez déjà fait le limites thermodynamiques alors ça correspond à replacer W par W over O donc ça serait un limites de limites ok donc un limites de limites est généralement plus facile d'un peu moins relevant physiquement je vais expliquer en fait je vais parler de limites de limites donc je vais vous dire ce qui est bon et ce qui n'est pas question oui vous pouvez aussi faire un range ? donc c'est un bon remarque donc un limites de limites est moins relevant physiquement parce que vous semblez modifier l'interaction de vous-même par les paramètres et il y a des casques où c'est justifié en particulier pour les potentiels de long range ok donc un limites de limites c'est usually une meilleure signification physique pour le potentiel de long range je ne sais pas si c'est ce que vous voulez me dire vous avez dû remplir le limites de limites mais maintenant vous dites qu'il est parfait pour un limites thermodynamique et vous pouvez aussi imaginer peut-être deux limites en plus d'un point de vue d'augmenter le nombre de potentiels oui oui c'est ce que vous avez fait non non, ici j'ai juste remplir le potentiel par un petit coéficient si vous voulez ok, le autre limites est plus physique c'est les limites dilutes donc le dilute est juste ok, donc dans le premier cas vous faites l'interaction petit juste par un petit coéficient dans le limites dilutes vous faites l'interaction rare ce n'est pas le même les limites dilutes sont vraiment petites c'est que c'est rare donc c'est certainement plus physique et vous pouvez avoir un limites dilutes juste par prendre le roi à 0 ok, donc vous faites que les particules interagent seulement un petit peu si vous regardez un gaz infinit et vous faites le roi à 0 si vous faites pour exemple la interaction repulsive vous espérez avoir PEC mais ce n'a pas été prouvé donc je pense qu'on peut imaginer que si nous prenons le roi petit et vous faites un fixe un bon potentiel alors il doit y avoir un théorème un peu de la même manière que le autre théorème pour l'interaction système ou quelque chose de similaire le roi petit mais fixé ok, donc ce que les gens peuvent faire donc rien comme ça pourrait être fait mais ce que les gens peuvent faire donc vous n'êtes pas toujours dans le canon ou quelque chose ? oui, parce que c'est plus facile de formuler oui donc ce que les gens peuvent faire c'est d'expérer l'énergie à un petit roi et montrer que c'est exactement l'expérience correcte que vous espérez si il y a une condensation de Poser-Einstein ok, donc ce que nous ne savons pas mais ce que nous savons c'est que l'énergie s'étendait comme expected pour un petit roi et je pense toujours de fixer le potentiel donc le roi est fixé ce fixe est de la longue scale de toute façon et puis si vous faites ce roi fixé et vous regardez de toute façon l'infinite gaz fait un petit roi puis il y avait une condensation de Poser-Einstein donc il y avait une grande activité dans les dernières 20 ans même un petit peu plus sur ce problème avec des résultats très fameux qui ont commencé et ce qu'il y a été mentionné par Serena qui a commencé par Dyson qui a regardé les sphères et puis il y avait un fameux travail par Liban Invasan en 1998 qui était exactement dérivant le premier terme de l'énergie qui est exactement la même que si il y avait une condensation de Poser-Einstein quand le roi s'étendait à 0 pour un gas il y avait un résultat similaire à la température positive par Robert Zieringer ce qui était tout pour le premier ordre et puis beaucoup d'activités pour le prochain ordre qui s'appelle Li Wang Yang formula qui est le prochain ordre dans l'énergie qui a finalement été éprouvé d'ici ou de l'année dernière par Fournay et Solovay ok donc vous voyez d'un sens étudiant juste la énergie et non le state est plus facile ok et nous verrons ça dans un moment maintenant il y a beaucoup de travail pour la scale ce que vous avez entendu d'hier qu'est-ce qui est le limit de la scale ? il dépend de comment vous confinez votre système mais philosophiquement speaking ce que vous faites c'est que vous portez le roi à 0 à la même température que vous faites le limit et alors vous faites les deux limites ensemble à une certaine scale qui est donc que vous pouvez prouver quelque chose et dans ce limit ainsi que dans le limit dilute vous espérez que le potentiel donc W va essentiellement être répliquée par Fournay Delta où A est la length de scatch donc c'est juste que depuis que vous êtes dans un limit dilute c'est la seule interaction par pairs qui se matèrent mais quand ils se matèrent vous vous souvenez de l'histoire de cette rencontre et l'histoire de cette rencontre est visible dans cette petite déplication dans l'équilibre des particules qui est la scatch ok donc c'est un problème très compliqué beaucoup de gens ont travaillé sur ça et encore, je veux dire le BEC est encore non donc ce que j'aimerais oh non si vous êtes intéressé à savoir plus je peux recommander la revue par Nicolas Rougerie qui l'a écrit récemment dans l'EMS Surveil c'est ceci ? vous ne savez pas, 21 ok, où je pense que c'est dommage pour coller la revue pour moi c'est une lecture ok donc il explique très clairement tous ces limites c'est la façon dont vous pouvez prouver avec quel genre de tools si vous voulez vraiment savoir plus j'ai fortement l'advice à cette référence et bien sûr, il y a aussi le livre par Syringer Solovai Livre Vassan qu'est-ce que c'est ? je l'ai oublié mais c'est en 2004 ok, merci c'est la première série ok donc je ne vais pas vous parler plus et en fait, vous avez déjà eu plusieurs talks en particulier I mean Serena elle a très bien fait cette conférence je voudrais être beaucoup plus basé et vous dire pour la dernière partie sur la limites de Minfield ok donc laissez-moi faire des théorimes et puis on peut discuter et puis je pense que nous devons arrêter ok donc je vais considérer la suivante Hamiltonian c'est le summe de minus la plage xj plus vxj j equal 1 to n plus lambda c'est le même le même exact same Hamiltonian que je l'avais fait avant excepto que je ne suis pas mis un petit constant devant mon potentiel ok et comme d'habitude en limites de Minfield je vais prendre lambda à 0 en même temps que je prends n à l'infinité la question naturelle est donc si lambda va à 0 très vite je serai le cas libre donc comment est-ce que la lambda va à 0 très vite et c'est bien sûr que la lambda va à 1 à l'infinité donc c'est la limites de Minfield juste parce que c'est à l'infinité c'est à l'infinité squarede si j'ai juste fixé et donc j'arrête par 1 à l'infinité donc le but c'est de comprendre le comportement de ce problème et j'arrête moi-même à la grande state et donc je regarde la première valeur de l'agent de cette h ok et en fait, pour faire des choses très simples je vais juste prendre 1 à l'infinité minus 1 vous verrez pourquoi cette chose spécifique je veux dire que tout va être la même si je prends une lambda à l'infinité comme 1 à l'infinité mais c'est plus facile que ce qui se passe quand il s'agit donc peut-être que je dois commencer avec l'agent donc vous devez vraiment penser que ici nous travaillons à la scale macroscopique je veux dire ok, c'est la scale macroscopique juste parce qu'on va prouver la connexion de Beaux-Reinstein à cette scale donc si vous commencez ok, donc ici vous devez penser que ma omega est fixée maintenant et c'est pourquoi ce n'est pas si physique si vous pensez à ça parce que à la scale macroscopique vous ne devriez pas avoir W parce que W est une quantité macroscopique ok, donc c'est un modèle macroscopique et normalement je ne devrais pas mettre W vous voyez je vais expliquer ça un peu donc je vais prendre la case V est infinité au-delà d'un domaine vous savez ce que je veux dire donc à l'aide de mettre un potentiel V je vais maintenant restricter un domaine avec Dirichlet exactement comme nous l'avons fait donc si je prends mon Hamiltonian sur le grand L omega et j'ai mis mon n particule dans ça ensuite j'ai le suivant Hamiltonian, qui nous étudiez acceptons que maintenant j'ai l'interaction et il n'y a pas lambda ok, donc c'est c'est le modèle, le modèle macroscopique dans un grand box, oui Excusez-moi, dans ces modèles vous avez mentionné l'interaction de long range vous avez dit que l'interaction de mean field est justifiée mais est-ce que c'est aussi raisonnable que les W vivent sur la scale macroscopique ou est-ce que c'est sort de l'immersion oui, oui, donc si W est pour exemple un Coulomb qui est long range, puis par scale je peux généralement je pense de travailler dans un box puis je peux généralement de travailler sur la même scale faire ça comme ça il n'y a pas de long range qui est plus tôt que le long de l'interaction ou le long de l'interaction je veux dire, il y a beaucoup de longs mais on va faire l'assumption que W a cette forme et je ne vais pas expliquer que c'est pas très physique et puis je vais vous expliquer ce que nous devons faire pour vous expliquer un peu un petit question mais vous avez fait quelque chose mais vous vous faites des bosons ? les bosons, oui, je ne vais pas discuter de fermions donc seulement les bosons il y a des résultats similaires pour fermions mais vous devez mettre l'un à l'autre et l'autre à l'autre de toute façon, vous devez que c'est un modèle naturel pour un modèle macroscopique pour un gaz comme ça si je réscale ce modèle et je travaille en omega ce qui se passe vous voyez, ça il y a une square et ça il y a une ligne ici si je travaille à la scale macroscopique c'est un autre modèle que je dois considérer et je peux faire ça donc vous voyez que à la scale macroscopique c'est vraiment un modèle macroscopique alors je dois plutôt le prendre de cette forme qui est compliquée mais vous voyez que si je prends l'un à l'autre si je fais ce choix l'un à l'autre alors je peux vraiment faire ça comme 1 à l'autre et puis le summe de l'un à l'autre de l'un à l'autre qui a un peu comme un limiter except que mon w est réscale en même temps comme un n qui va à l'infinité où il y a un w et c'est le gros ptayevsky scale en 3D donc c'est un régime plus physique où je dois réscaler l'un à l'autre et si je veux faire sure que c'est vraiment venu de mon système macroscopique qui va à l'infinité et vous voyez que la densité va à l'infinité c'est comme 1 à l'un à l'autre donc c'est le gros ptayevsky limit que les gens ont étudié et on ne va pas étudier ça, on va étudier ce limiter ici c'est beaucoup plus simple mais vous pouvez toujours apprendre de développer des outils sur des modèles plus simples vous pouvez parfois apprendre comment attaquer les modèles plus compliquées je vais maintenant étudier les théorèmes dans le limiter de l'infinité qui est beaucoup plus facile avec, si vous voulez, un potentiel très long range donc on va vouloir prouver la condensation donc je vais compter l'énergie pour la condensation peut-être que je mettrais le lambda je vous dis ce que je vais prendre mais laissez-moi mettre le lambda donc si vous faites cette computation pour un état tensor ce n'est pas difficile je veux dire que beaucoup d'intérêts sont cancerés et qu'est-ce que vous trouverez ? vous trouverez n times l'intérêts de grade u² plus v u² plus lambda n-1 ou 2 le double intérêts u² vx-y dxdy ou yn-1 c'est parce que vous avez nn-1 par 2 pairs donc il y a un nn-1 par 2 et puis, si vous avez choisi les pairs, comme x1, x2 quand vous computez contre votre état tensor vous avez cet état donc vous voyez y1-1 c'est mieux parce que maintenant c'est 1 pour moi et puis c'est complètement indépendant d'eux mais ça ne change rien si je prends quelque chose qui se passe comme un autre donc je suis ici il s'appelle l'énergie d'hôpital d'énergie d'hôpital et je vais dénoncer son état comme ça pour ça je n'ai pas donné l'assumption sur v et w pour faire sure que c'est fin mais maintenant je vais mettre un peu d'assumptions et d'eux, e, n et e, gp il sera finit il sera finit pardon, Mathieu n'est-ce pas le ? j'aime ça oui, oui bon, bon, bon c'est vrai donc les gens souvent appelent Gros Pitaevski l'NLS c'est le 1 qui tient à la 4 et la 3 cette 1 mais j'ai changé ma main et j'ai décidé que c'est mieux comme ça parce que quand vous ouvrez les autres papiers est-ce Gros Pitaevski ? j'ai oublié Pitaevski alors en fait, ils ont mis un W mais c'est un infil c'est un infil, oui je peux l'appeler Hartree si tu l'aimes je n'aurais pas aimé mais je pense que historiquement il n'y a pas donc on l'a appelé Hartree dans nos papiers mais ensuite j'ai décidé que Gros Pitaevski donc let me call it Gros Pitaevski donc un théorème donc je vous ai dit que c'est toujours plus simple pour prouver que l'énergie s'élève de la façon que vous pensez puis prouver que les États s'élèvent de la façon que vous pensez ok ? et on peut en fait prouver la convergence de l'énergie et il y a des très, très grandes assumptions du potentiel donc donc let me assume que la partie positive de V est dans l'1 c'est dans l'1 la partie positive peut faire quelque chose je n'aime pas bien sûr la partie négative ne peut pas faire quelque chose parce que je veux faire sure que tout est bandé d'au-delà donc let me assume que la partie négative de V ainsi que de W est dans l'1 plus l'infinité où P est equal à 1 en dimension 1 P est plus que 1 en dimension 2 P est equal à d'au-delà 2 en dimension 3 et plus ok ? c'est le meilleur que vous pouvez jeter si vous utilisez le Sable F ou quelque chose comme ça pour juste contrôler et faire sure que tout est bien défis euh... V d'au-delà d'au-delà d'au-delà va au EGP ok ? donc si je prends un condensateur je conduis l'énergie je trouve EGP je ne sais même pas si il y a un grand state sous ces assumptions mais je ne sois pas peut-être qu'il n'y a pas de grand state mais l'énergie grand state fait le sens là je l'ai écrit parce que le spectrum est toujours toujours clos donc je sais que c'est atteint mais ce n'est pas nécessairement une valeur eigenaise et ce que je dis c'est que vous avez le même je veux dire l'énergie c'est comme n fois l'énergie grand state donc il y a un condensateur si vous voulez ok ? je ne pense pas que vous puissiez je ne sais pas que vous puissiez le faire plus général d'assurer que l'EGP plus soit infinie au-delà d'un set si vous voulez ce que vous pouvez faire pour traiter ce problème confiné à un domaine omega c'est le même pourquoi avez-vous dit qu'il y a un condensateur ? juste l'énergie ? non non je veux dire ce n'est pas clair pour vous dire ce qui se passe mais l'énergie est exactement la même ok ? donc c'était le théorème 3 le théorème 4 donc le théorème 4 va être celui que vous espérez maintenant d'exception j'ai besoin d'un peu plus d'assumptions sur les potentiels donc pas pas pas beaucoup donc ce théorème est vraiment dans notre paper 2014 donc je vais prendre un psi n qui a la bonne énergie si vous voulez psi n h n psi n c'est e n plus e n ok ? donc je vais prendre quelqu'un il n'a pas besoin d'une fonction néanmoins ou quelque chose je vais prendre quelqu'un qui donne l'énergie la plus faible possible jusqu'à un peu plus bas et maintenant j'ai besoin d'assumptions donc je vais considérer 2 cases je vais considérer le cas confin donc dans le cas confin je vais assumer que v plus c'est à l'infinité à l'infinité donc cas confin vous pouvez même prendre v plus l'infinité au-delà de notre domaine ok ? donc maintenant c'est confin ok ? euh puis à un sub-séquence nous avons que le gamma k de psi n divisé par n choisit k converti fortement pour ce que vous pensez u tensor k u tensor k dp de u donc je dois emphasiser que nous savons que c'est toujours converti du week-end quelque chose comme ça mais je vais vous dire que ce p n'est pas quelque chose où p concentre sur ce m qui est le set de minimiser pour e gp ok ? donc ça dit qu'il y a une condensation sur le gp minimiser donc maintenant il y a une condensation pour l'instant ok ? avec ce très long-range potentiel sur les minimiser sur cette chose mais depuis que je n'ai pas mis toutes les assumptions sur v et w vraiment ces minimiser ils existent parce que c'est confiné donc ils ont toujours existé ok ? je ne peux pas avoir plus de compagnies mais ils ne doivent pas être uniques donc le set de minimiser n'est pas nécessairement réduit à un point donc je sais donc si c'est pas réduit à un point je peux convertir à une combination de ces minimiser et en fait vous pouvez construire une science qui convertirait pour quelque chose comme ça pour np une majorité de probabilité qui concentrera sur ces minimiser ok ? ok ? donc il dit ce que vous auriez prévu qu'il y a une condensation dans ce régime et donc la condensation est une solution de cette question non-linear parce que c'est pas un fonctionnel quadratique c'est un quartique donc vous avez une équation non-linear qui est celui-ci ok ? donc c'est un peu comme une équation non-linear mais avec ce potentiel W Est-ce que ces minimiser ont un point ? Non, non, non vous pourriez avoir un whole circle vous pourriez avoir un symétrie dans lequel vous pourriez avoir un whole c'est peut-être un manifold c'est peut-être un range et si vous avez un manifold vous pourriez avoir une condensation oui, oui donc vous devez être careful donc ici c'est très vague dans le sens que je regarde d'autres states qui donnent moi l'énergie correcte pour l'ordre correspondant et puis je vais vous dire je peux construire d'autres avrailles de ces minimiser dans les limites une autre question c'est let's take the ground state for bosons, the cyan will actually be unique what is it, I mean what is it doing so it will converge to some p but which p this I don't know because that would require to be more precise maybe look at the next order so this I'm not answering this question what is the ground state doing I don't know but I know it concentrates there will be condensation on the set of but I don't know which one for which p even the ground state could behave differently up to sub sequences which will probably be the case if there is some symmetry breaking so I don't know Jacob why isn't the minimiser so to say the the minimiser what would be solution of the actually equation of unique what makes the uniqueness of or the w so if w has a positive Fourier transform it's always going to be unique because then that's a convex function of u squared but if you take a nattractive w you could then no reason you have some general yeah it is extremely general I'm not assuming anything okay yes I take do there exist examples where you have symmetry breaking oh I think yes you can always cook up example with a v which has to I mean a w so we or even a v with two waves right yeah there's a paper by Ash Bartha Follich and co-worker but if you take two waves in an nattractive interaction of them yeah all the mass wants to be in one wave it's a curve two there's nothing like that it's a Follich and co-worker I think okay okay yes can you say again what kind of convergence is it oh yeah yeah so it's trace norm okay so let me be more precise you take the trace you do minus and this goes to zero so it's very strong that's because it's confined you cannot have any particle escaping so let me look at what I like to call v confined case which may be might could be un confined but so what is it so now I will assume that v and w go to zero at infinity both okay so I'm taking the same assumptions oh sorry I mean yeah I mean I'm assuming that v plus is in the same lp plus l infinity and that they go to zero so now far away the particles are completely free but there might be some kind of well somewhere which maybe traps only a few of them or maybe there's no well at all maybe it's completely translation invariant v0 possible okay then same result with weak limit weak star limit in the trace class okay and m is not the set of minimizers but that's the set of weak limits of minimizing sequences for eGP so it's a little bit more complicated right so you look at the you look at the Rospitaevsky problem you look at all minimizing sequences how they behave actually using concentration compactness you can describe how they behave but I'm just avoiding this here to make the statement simpler okay so they could actually split like you have n over 2 particles staying and over 2 escaping but maybe the n over 2 staying they actually attract each other and the n over 2 they also form a cluster and then maybe you are unlucky and you are looking in the middle then you just don't see anything okay so it depends where you are you are looking and so on and so forth anyway so you look at all the possible weak limits and then you will have the same result 6 stars and I mean that's the best you can expect in such a general situation okay so these are the the three results okay which kind of solve the problems concerning boson Einstein conversation in this mean field regime and they are very large assumptions on the potentials so I have to give you maybe a more references so so theorem 3 was not stated like that in our paper I think we did not put L1 log we had this they were merged the two and therefore we only consider either confine or locally confine even for the energy but there's no need to do that and actually using a proof which is due to Leville Leblanc as well as Leib and Yao so they were considering special systems actually gravitational systems but they have an argument which actually one can generalize one can prove theorem 3 and this I wrote in my ICMP 2015 proceedings and you will also find it in the EMS survey of Nicolas okay so I don't think this theorem has been published as such before this survey and proceedings the proof is actually very easy I mean you don't need to know anything I will try to sketch the first part if I have time I have something like 15 minutes so I have to decide what to do in these 15 minutes after we finish in discussing the theorems so it's really in our paper our advances paper but I have to tell you that the confine case you can, I mean so there were older papers by I mean so there were older papers now suddenly I can't remember the names because I'm getting tired in this c-star algebra there's one by Kisling, that's true no is it a Werner I mean not Wendelin, Werner but another Werner and I can't remember the names Werber, yeah thank you, thank you Werber, there were also Schpo and actually did something where actually so it was it was never really stated this way but they were using some definitive argument and I mean so our real contribution was more the case of lack of compactness when you can lose particles and this really requires a fine analysis and actually you cannot just use definitive, you have to look precisely what the particles are doing in a sense you want to use definitive locally only when you're sure that you have a cluster of particles which converges but you have to keep track of who is leaving where they are going just to make sure that you don't leave I mean you don't miss any energy so you have to do a kind of concentration compactness on n particles with n going to infinity and not losing anything it was a little bit complicated I would like to finish this lecture by doing a simple proof which everybody should know and I'm sure many actually already know it of theorem 1 after all I didn't do any proof so proof of theorem 1 when w is positive type there was this question was it yesterday or the day before yesterday why is it important that w that the Fourier transform is non-negative was it too much yellow ok I'm going to tell you why ok I mean somehow it's not clear why repulsive is easier and it's even less clear why repulsive I mean why Fourier transform I mean you see the theorem is always valid but the proof in this case is just a few lines so let's do it in 10 minutes no no 3 3 oh sorry ok this one I mean convergence of the energy ok so I'm just going to do this extremely simple proof just to relax a little bit before the end I hope I can manage to do it ok so I'm going to assume that w has positive Fourier transform I will try and it's very well known in our community I'm not sure it's so well known in other communities I'm sure the trick is known but let me anyway do it can't hurt so I'm going to assume I'm going to do as a positive Fourier transform and I'm also going to assume that this Fourier transform is in L1 and if it's not in L1 just an approximation argument will allow you to prove the theorem but when w hat is in L1 I will get explicit bounds easy bounds ok so how does this go let me introduce the function rho of x which is the density divided by n ok so if you like the marginal rho psi dx2 dxn ok so it's the one particle correlation function divided by n because now we work at the scale of the Baudelaire Einstein condensate so now we divide by n ok if you compute the gradient of rho ok well I mean let's assume everything is nice real part and then psi psi bar grad psi I'm not writing the variables just differentiate ok now do Cauchy Schwarz so you do Cauchy Schwarz so you get 2 and you see when you do Cauchy Schwarz in x2, xn ok there will be one term which will be rho again ok so you get square root rho and then you get square root of the gradient of psi squared so that's the gradient in x1 ok and dx2 dxn ok just Cauchy Schwarz but let me know that the left hand side is also 2 square root rho psi guard square root rho ok so if I simplify I deduce that I have proved the following pointwise bound that the gradient square root rho psi is less than the integral of the grad x1 psi x square that's a pointwise bound that was just Cauchy Schwarz this we usually call the Hoffman-Ostenhof inequality because to our knowledge they are the first who used it but it's just Cauchy Schwarz ok why did I do that well I did that because if I look at the first part of my energy ok that's the first part of my Hamiltonian this first part is n times the gradient of psi squared plus v psi squared ok where I do v of x1 and here I do the gradient in x1 by symmetry and now you see that if I integrate my bound I get that this is bigger than n and then the gradient of square root rho plus v rho so I get a lower bound I should emphasize that this is an rd to the n and here it's just an rd ok so I have reduced an n particle into a one particle integral by Cauchy Schwarz and that's the beginning of the Gross-Pitevsky energy and I'm going to try to get e of square root rho ok so that was step one how to handle the first part is just Cauchy Schwarz so now let's handle the second part so let's look at the sum w of xi minus xj oh sorry xj minus xk ok and this applied to psi so this we would like to get a lower bound how do we do that well we make the remark that if I integrate d mu of x d mu of y w of x minus y against some measure u then this is a constant which depends on your definition of the Fourier transform w hat of k dk right cause it's a convolution so when I pass to Fourier I get this ok and that's always non-negative because that's my assumption that this guy has a sign ok so this is where where it comes about that w is positive definite this allows me to control to say that any integral of that form is always non-negative good so how am I going to use this I will take mu to be the sum of the deltas at xj ok because then I will see exactly the w of xj minus xk when I expand minus something good so what do I get I am almost done so I get the sum of mu of xj minus xk ok which is bigger than ok so I am so I am just expanding this whole thing then I really get the double sum so when I get the double sum I will see the j equals k so that will just give me minus w of 0 divided by 2 I think because I wrote j strictly less than k and then I get the eta terms since I divided by 2 I just get the sum j equal 1 to n of w star eta of xj and then plus a number which is minus 1 over 2 eta of x eta of y w of x minus y ok so using that w as a positive Fourier transform we get this bound for any eta eta is anything now you will tell me why did you do that oh I think I messed up a sign ah there would be an n in front here did I do some other mistake I think it's ok why is that interesting it's interesting because we have bound it from below a 2 body term in terms of a 1 body term we had a double sum and now we get a simple sum what we pay is that we have this eta that we don't know but we can always optimize over eta at the end ok so now if I apply this to psi I will see well minus n w of 0 over 2 plus the integral n the integral of rho psi w star eta ok and then minus 1 half eta w star eta ok when I integrate against psi this simple sum just gives me rho because now it's a 1 body the n is because of the sum now what I can do is to optimize in eta now I can choose eta and I choose eta depending on psi in fact depending on rho on a un product because of this here the optimal eta is n times rho that's the optimal eta so if I make this choice and I continue I get minus n w of 0 over 2 ok plus n squared double integral rho psi of x rho psi of y n w of x minus y dx dy divided by 2 very good so that's almost what I wanted remember that we will multiply by lambda lambda is 1 over n minus 1 so here 1 over n would be nicer but we chose 1 over n minus 1 it's too late so anyway since this is non negative so let me put nn minus 1 over 2 ok then it's a little bit nicer and what have we proved so when I multiply by lambda I have shown the following bound that will finish the lecture I have proved that e of psi is larger than n the e gp of square root of psi ok minus n divided by 2 n minus 1 w of 0 so when I optimize over psi I conclude that e of n is larger than e of n over n is larger than e gp minus w of 0 divided by 2 n minus 1 and of course I forgot to to say it but e of n is always less than e gp cause I can use as trial states tensor products and so that's the bound and that proves the limit you see and even it gives a near or bound which is like 1 over n which turns out to be optimal by Boko Yuba theory we know the next order so you see how useful it is when the positive when the Fourier transform is non negative it allows to bound from below a two body by one body without really losing much so with this simple proof I have to stop because it's time and I would like to thank you for your attention we have time for some questions or comments or remarks so you mention that you can commission the next order correction yes so in the mean field in the classical mean field limit the next order correction is not conservative in the case here what is conservative here it's stationary so yes I mean we would take us too far Boko Yuba so when you have a unique ground state which is non degenerate for this Gospitaevski energy then you can go further and compute the next order in the expansion of E which is of order 1 so when you divide by n you get something of order 1 over n so this bound is optimal I mean it has the right order then you see correlations I guess the state is not where you see fluctuations more than yes yeah the next order describes fluctuations around this condensate it was explained a little bit by Serena although it was the Gospitaevski limit which is much much more complicated but the result looks the same here but it's easier maybe one can still say that there are like correlations but they are described by Boko Yuba but there are very nice correlations they do not behave badly as the scattering function that I was describing yesterday yeah either calculation or correlation in a sense one can use the same Christophe from 03 to 04 you mentioned that there is a local to global argument so you need to make sure that no no no it's just that Theorem 4 has two parts the confined case and the non confined or only locally confined so the confined case you can write it as an exercise using the affinity because when it's confined you will never lose anything it's compact and you will have strong convergence I mean strong convergence will be enforced by the fact that it's confined by playing the affinity I mean it's really just a few lines the first part of Theorem 4 once you know the affinity even the strong is enough the second part of Theorem 4 I mean in such a generality it requires a fine study I mean the spirit of non linear analysis you have to do concentration compactness OK then it's time to thank Thank you