 En 1859, Bernard Riemann publie sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une quantité donnée, un article de théorie des nombres où il évoque pour la première fois la question des points d'annulation d'une certaine fonction. Cette question lui semble sur le moment intéressante, mais pas au point de creuser davantage le sujet. Ce qui ne s'est pas encore, c'est qu'il vient de poser la première pierre à la question encore ouverte la plus importante de toutes les mathématiques, mise à prix aujourd'hui à 1 million de dollars et sur laquelle plusieurs générations de mathématiciens se sont cassés les dents, l'hypothèse de Riemann. Si vous vous êtes toujours demandé quel est le plus difficile des problèmes auxquels les mathématiciens ont à faire, ça tombe bien, j'ai 2 minutes pour en parler. Quand on veut résumer la question, tout bon mathématicien vous dira sans sourciller que l'hypothèse de Riemann congetture que les zéroes non-trivio de la fonction zeta ont une partie réelle égale à un demi. L'information est exacte, mais on n'est pas plus avancé. Qu'est-ce qu'un zéro non-trivial ? C'est quoi cette histoire de partie réelle ? Et surtout, c'est quoi cette fonction zeta ? L'hypothèse de Riemann est considérée comme l'un des problèmes les plus difficiles des mathématiques, et présente aussi le défaut d'être plutôt ardu à expliciter. Je présente donc d'avance mes excuses au néophyte, je vais parler de fonctions complexes, de sommes infinies et probablement de nombreux premiers. Il est donc possible que certains détails vous passent complètement au-dessus de la tête. Mes excuses également aux experts, je ne vais aborder que les grandes lignes, juste pour donner l'idée de la question posée par l'hypothèse, rien de plus. L'histoire débute en 1734, lorsque Leonard Euler, encore lui, s'intéresse à un problème connu aujourd'hui sous le nom de « problème de balle ». Balle comme la ville, pas comme celle du tennis. La question est de savoir à combien est égale la somme infinie des inverses décarées, c'est-à-dire combien vaut la somme 1 plus un quart, plus un neuvième, plus un 16ème, plus un 25ème, plus etc. jusqu'à l'infini. Quand on calcule cette somme avec seulement quelques termes, on trouve successivement 1 puis 1,25 puis 1,36 puis 1,42 et ainsi de suite. Ce que l'on est capable de dire à l'époque, c'est que cette somme infini a un résultat qui n'est pas infini. Mais impossible de dire à combien cela peut bien être égal. Heureusement, Leonard Euler a une intuition assez dingue et détermine le résultat de cette somme avec un tour de passe-passe assez audacieux. Il applique à la fonction sinus une propriété qui n'est normalement vrai que pour les pollinons. Enfin bref, sa conclusion, cette somme est complètement égale à Pi au carré sur 6, soit un peu plus de 1,64. Avant lui, personne n'aurait pu imaginer l'intrusion du nombre Pi dans ce calcul, n'ayant semble-t-il aucun rapport avec les cercles. Sa démonstration n'est sur le moment pas très rigoureuse, mais c'est tout de même une véritable prouesse d'en avoir déterminé la valeur exacte. Heuler ne s'arrête pas en si bon chemin Et poursuit, ces investigations sont les sommes d'inverse de puissance et trouvent par exemple que la somme a fini 1 plus 1,16 plus 1 sur 81 plus 1 sur 256 plus etc. C'est-à-dire la somme des inverses des puissances 4 est égale à Pi puissance 4 sur 90. Il trouve aussi que la somme des inverses des puissances 6 est Pi puissance 6 sur 945. En fait, il trouve une formule pour toutes les puissances qui sont pères. Par contre, pour les puissances impères, il bloque complètement. Mise à part pour la puissance 1. Dans ce cas de figure, la somme des inverses des nombres à la puissance 1 est autre que la somme a fini 1 plus 5,5 plus 1,4 plus 1,5 plus 1,5 plus etc. Autrement dit, la série harmonique que j'avais évoquée dans ma vidéo sur l'escargot de Gardner Cette somme-là ne peut pas valoir autre chose que l'infini. Pour la somme 1 plus 1,8 plus 1,27 plus 1,32 plus etc. c'est-à-dire la somme des inverses des cubes, Heuler ne trouve aucune formule pratique. Il faut dire qu'aujourd'hui, presque 300 ans plus tard, on en sait pas tellement plus que lui. On peut seulement dire que cette somme vaut environ 1,202 et on sait depuis 1777 que ce nombre n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas égal à une fraction de deux entiers. Ce nombre semble avoir bien d'autres propriétés intéressantes, mais elle reste aujourd'hui ininténiable. Pour évoquer toutes ces découvertes sous une même bannière, Bernard Riemann invente la fonction zeta. La fonction zeta est la fonction qui associe à un nombre S la somme infini des inverses des puissances de S. Ainsi, on peut dire que zeta22 égale picaré sur 6, que zeta23 vaut environ 1,202, que zeta24 égale à pi puissance 4 sur 90, on peut même dire que zeta21 égale à l'infini. Rien n'empêche non plus de calculer zeta pour des valeurs non entières, par exemple, zeta21,5 qui vaut 1 plus 1 sur 2 puissance à virgule 5 plus 1 sur 3 puissance à virgule 5 plus etc., vaut dans les 2,61. En fait, cette formule de zeta permet de donner une image à n'importe quel nombre plus grand que 1. Pour les noms plus petits que 1, c'est autre chose. Par exemple, si on cherche à calculer zeta0, on se retrouve à devoir calculer la somme infini 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1 etc., jusqu'à l'infini, qui est naturellement égal à l'infini. Si on cherche à calculer zeta de moins 1, c'est la somme infini 1 plus 2 plus 3 plus 4 plus 5 plus etc., que l'on se retrouve à devoir calculer, qui est bien entendu elle aussi égale à l'infini. Comment pourrait-elle l'être autrement, de toute façon ? En fait, pour n'importe quelle valeur inférieure à 1, l'expression de zeta aboutira à un résultat infini. Cette fonction zeta ne semble donc intéressante, que lorsqu'elle est calculée pour les nombres réels, strictement plus grand que 1. Mais il y a quand même quelque chose à creuser là-dessous. Que se passe-t-il si l'on cherche à évaluer cette fonction zeta sur les nombres complexes ? En schématisant grossièrement, les nombres complexes sont une sorte de nombre qui se situerait non plus sur l'axe des nombres réels, mais sur un plan à 2 dimensions. Un nombre complexe peut donc être identifié à un point de ce plan complexe, mais il s'agit bien là de nombre, sur lequel on peut faire les opérations habituelles. Addition, soustraction, multiplication, division, etc. On appelle partie réelle d'un nombre complexe l'absence du point qui lui correspond dans le plan complexe et partie imaginaire son ordonnée. Je vous renvoie à ma vidéo sur l'ensemble de Mandelbrot, où je détaille davantage le sujet. Bref, revenons à zeta. Si on prend le nombre complexe de plus i et qu'on lui applique cette fonction, que se passera-t-il ? D'après la définition, il faut calculer un plus 1 sur 2 puissance de plus i, plus 1 sur 3 puissance de plus i et ainsi de suite. Ca oblige à définir des puissances et des sommes infinies sur les nombres complexes, mais pour un mathématicien chevronné, cela ne pose en fait aucun problème. Les calculs feront intervenir les fonctions trigonométriques et logarithmiques, mais c'est bien moins méchant que ça n'en a l'air au premier coup d'oeil. On peut alors calculer chacun des termes de la somme infinie 1, plus 1 sur 2 puissance de plus i, plus 1 sur 3 puissance de plus i, etc. Plus on calcule de termes de cette somme, plus on se rapproche du nombre complexe 1,15 moins 0,44i. On peut donc dire que c'est la valeur de zeta de 2 plus i. Mais si on essaye de faire la même chose sur le nombre complexe 1 plus i, cela ne fonctionne pas tout à fait comme prévu. La somme infinie n'est pas égale à la finie, mais elle ne converge pas non plus. En fait, quand on calcule les termes de la somme, on ne se rapprochera jamais d'une valeur complexe en particulier. On ne peut donc pas finir zeta de 1 plus i de cette façon-là. Et ce problème-là touche tous les nombres complexes et il y a une partie réelle inférieure au égal à 1, ce qui prive notre belle fonction zeta de toute une région du plan complexe. Ce qui est dommage, c'est que c'est dans cette région que la fonction zeta est en fait la plus intéressante. Il nous faut donc la prolonger. Et prolonger des fonctions, les mathématiciens savent faire. Mais il y a les bons prolongements et les mauvais prolongements. Les bons prolongements étant des fonctions sont des domaines plus grands. Les mauvais aussi, sauf que ce ne sont pas des bons prolongements. Prenons par exemple ce morceau de courbes. Je peux le prolonger de différentes façons. Comme ça, comme ça, ou même comme ça. Vous en conviendrez, ces trois façons de faire prolongent ma courbe, mais la première est sans doute la meilleure. Il n'y a pas de façon absolue de bien faire, mais pour ma courbe de façon rectiligne, je conserve une propriété importante. C'est une droite. Un bon prolongement se doit donc de conserver les propriétés de ce qu'il prolonge. Pour la fonction zeta, le principe est le même. Cette fonction a la bonne idée d'être ce que l'on appelle une fonction holomorph. Je ne vais bien sûr pas rentrer dans la technique, mais c'est en gros l'équivalent pour les fonctions complexes du fait d'être dérivable. Et être holomorph, c'est cool, puisqu'il n'y a jamais plusieurs façons différentes de prolonger des fonctions holomorphes. Du coup, n'importe quelle formule vérifiant cette condition d'être holomorph, est un bon candidat. Et des formules qui prolonge zeta, il n'y a qu'à se baisser pour en trouver. Grâce à ces prolongements, on peut affirmer que la fonction zeta, que l'on avait définie au départ comme somme infini des inverses des puissances des nombreuses entiers, est maintenant définie sur l'ensemble de presque tous les nombreux complexes. Par exemple, zeta est maintenant définie en zéro. Il suffit de prendre l'une des nombreuses formules définie sans zeta et de la calculer en zéro, ce qui donnera moins à demi. Mais la formule originale calculée en zéro correspond à la somme infini, un plus un plus un plus un plus un plus un, etc. Il n'est donc pas complètement faux de dire que, moyennant cette histoire de prolongement, que un plus un plus un plus un plus un, etc. est égal à moins un demi. Oui, c'est bizarre. Et ça l'est aussi pour la somme infini, un plus deux plus trois plus quatre plus cinq plus six, etc. qui correspond à l'image de moins un par la fonction zeta. Définie comme somme infini, on ne peut pas lui attribuer de valeur. Mais en calculant à l'aide d'une autre formule de zeta, on trouvera moins un douzième. Voilà pourquoi on dit parfois que un plus deux plus trois plus quatre plus cinq plus six, comme ça jusqu'à l'infini, est égal à moins un douzième. Je construis parfaitement que l'on puisse ne pas être d'accord avec ça. En tant que tel, cette somme infini devrait valoir l'infini. Mais si on se force à lui attribuer une valeur, la façon la plus naturelle de faire, c'est de prolonger la fonction zeta, qui ne peut pas donner autre chose que moins un douzième. Et pour la série harmonique, un plus un demi plus un tiers plus un quart, etc., c'est-à-dire pour l'image de un, peut-on lui aussi lui attribuer une valeur? Eh bien les choses sont encore différentes. On va calculer une somme à finit, ce qui vaut l'infini. En prenant les autres formules des finits sans zeta, c'est toujours le cas. Il n'y a en fait aucun moyen de prolonger la fonction zeta en un. On dit que ce nombre est un pôle de la fonction. Quelle que soit la façon dont on s'y prend, la somme un plus un demi plus un tiers plus un quart plus etc., vaudra toujours l'infini. Bref, la fonction zeta, c'est une fonction définie sur presque tout le plan complexe. Elle pourrait être qu'une fonction vaguement intéressante, si Leonard Euler n'avait pas eu la mauvaise idée de lui trouver un lien avec les nombres premiers, c'est-à-dire les nombres comme 2, 3, 5, 7, 11 ou 45 319. Les nombres premiers, ce sont les bricks élémentaires de tous les nombres entiers, puisque tout entier peut s'écrire de façon unique, comme produit de nombres premiers. Au début, les nombres premiers n'étaient considérés que comme des amusettes pour les matheux. Mais maintenant qu'ils ont une place de choix en cryptographie, on les prend davantage au sérieux. La question qui empêche de dormir de nombreux mathématiciens est de savoir comment ces nombres premiers se répartissent parmi les nombres entiers. On sait depuis très longtemps qu'il en existe une infinité. On sait à peu près estimer le nombre de nombres premiers inférieurs à un seuil donné. On sait dire si un nombre est premier ou non sans avoir à trop attendre avec de relativement bonne probabilité de ne pas se planter. Mais beaucoup, beaucoup, beaucoup de questions sont les nombres premiers, attendent toujours une réponse. Il se trouve que zeta2s, et c'est ce que Euler a découvert, est égal au produit infini des nombres, un sur un moins p puissance point s ou p désigne successivement tous les nombres premiers. Cela peut sembler anecdotique au premier abord, mais cette formule donne un lien réellement inattendu entre à droite la théorie des nombres premiers, c'est-à-dire l'arithmétique, et à gauche celle des fonctions complexes, c'est-à-dire l'analyse. Jusqu'alors, aucun lien entre ces domaines n'avait été observé. Et ça, ça change tout, puisque tous les problèmes posés en arithmétique peuvent, grâce à cette relation, être attaqués en passant par l'analyse. Depuis, d'autres liens ont été découverts entre arithmétique et analyse, et la plupart passent par des fonctions du même akbx zeta. Il n'y a donc plus d'autre choix, il faut impérativement savoir où cette fonction est égale à zéro. En fait, pour bien comprendre comment se comporte une fonction donnée, la recherche de ces points d'annulation est toujours un passage incontournable. Et c'est là que ça coince. Mais où s'annule la fonction zeta ? On sait par exemple dire que les nombres moins 2, moins 4, moins 6 et tous les nombres paires négatifs ont une image par la fonction zeta égale à zéro. Puisqu'il n'a pas fallu attendre bien longtemps mais cette fonction zeta s'annule ailleurs. Elle s'annule par exemple au point 0,5 plus 14,135i mais aussi en 0,5 plus 21,022i ou au point 0,5 plus 25,011i. Ce sont eux les zéro non-trivios de la fonction zeta. Quand on mène les calculs plus loin on s'aperçoit que tous ces zéro ont un point commun. Ils ont tous la même partie réelle qui vaut un demi. Les investigations ont été poussées particulièrement loin puisque 10 milliards de zéro non-trivios ont été calculés. Et ils ont tous leur partie réelle égale à un demi. Mais ça, ce ne sont que des observations. Beaucoup d'observations, mais seulement des observations et ça ne vaut pas grand chose pour un mathématicien. Ce que l'on veut, c'est une démonstration du fait que tous les zéro non-trivios possèdent cette même partie réelle égale à un demi. Et c'est ça l'hypothèse de Riemann. Les zéro non-trivios de la fonction zeta ont-ils tous une partie réelle égale à un demi. Quand Hilbert a donné en 1900 il a fait figurer en huitième position l'hypothèse de Riemann. A propos de ce problème, il aura même d'ailleurs déclaré si je devais me réveiller après avoir dormi 1000 ans ma première question serait l'hypothèse de Riemann a-t-elle été résolue ? Sans temps plus tard, le problème n'est toujours pas résolu. L'institut de mathématiques Clé décide d'augmenter les enjeux en proposant aussi une liste de questions à résoudre les 7 problèmes du millénaire. Pour chacun des 7 problèmes 1 million de dollars est réservé au mathématicien qui en viendra à bout. 16 ans plus tard, un seul des 7 a été résolu au mathématicien qui a d'ailleurs refusé la récompense. Mais l'hypothèse de Riemann reste aujourd'hui debout. Résumons un peu les choses. L'hypothèse de Riemann est l'un des problèmes mathématiques les plus difficiles du monde. Il y a question de la fonction zeta qui porte en elle tout ce qu'il faut savoir sont les nombres premiers. Mais pour accéder à ces précieux informations il faut trouver où la fonction s'annule. Le mathématicien ou la mathématicienne qui parviendra à identifier l'ensemble des zéros gagnera alors tous les attributs qui le transformera spontanément en le dieu unique des mathématiques. L'hypothèse de Riemann était internationale et la connaissance parfaite de la répartition des nombres premiers. Si seuls ces deux premiers points vous intéressent l'hypothèse de Riemann n'est clairement pas faite pour vous les mathématiciens confrontés au problème ne sont en fait intéressés que par une seule chose le troisième point.