 Seguimos con los espacios vectoriales y ahora vamos a combinar los conceptos de independencia lineal y de conjuntos generadores. Y así vamos a definir las bases y la dimensión de un espacio vectorial. Primero recordamos las definiciones de independencia lineal y de conjunto generador. Unos vectores son linealmente independientes si la implicación siguiente se satisface y unos vectores generan el espacio si cualquier elemento del espacio es una combinación lineal de los vectores en cuestión. Seguimos con un teorema y vamos a ver que podemos deducir si unos vectores son linealmente independientes y generan el espacio al mismo tiempo sea un espacio vectorial sobre K y supongamos que los conjuntos U y V doble consisten en vectores linealmente independientes que también generan el espacio V. El teorema dice que en este caso los conjuntos tienen la misma cardinalidad es decir que N es igual a M. Demostramos el teorema suponemos que N es diferente de M y sin pérdida de generalidad que N es estrictamente mayor que M. N es estrictamente mayor que M. Ya que V doble es un conjunto generador deducimos que existen escalares tal que cada vector del conjunto U es una combinación lineal de los vectores V doble y y así obtenemos un sistema lineal. Escrito con matrices el sistema lineal es equivalente a la igualdad siguiente donde lambda es la matriz que consiste en los escalares que hemos definido. Tomamos nota de que dado que lambda es una matriz de tamaño M veces N y que N es estrictamente mayor que M existen escalares X y tal es que la igualdad siguiente se satisface pero esto implica que la suma de los X y U y da el elemento neutro de V lo que contradice la suposición que los vectores del conjunto U son linealmente independientes. Entonces podemos concluir que la suposición que N es diferente de M es falsa y así hemos demostrado el teorema. Seguimos con ejemplos que ya hemos visto en el vídeo anterior. Os recordamos que los dos primeros conjuntos satisfacen ambas propiedades y entonces podemos concluir que todos los conjuntos en R2 y R3 que satisfacen las dos propiedades tienen cardinalidad 2 y 3 respectivamente. El último no satisface ninguna de las propiedades y de momento no podemos deducir la cardinalidad de los conjuntos de vectores linealmente independientes que generan a este espacio. Esto nos lleva a la definición siguiente. Definimos las bases y la dimensión. Una base B de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan V, todo el espacio. Además se dice que V tiene dimensión K, donde K es la cardinalidad de la base B. Notamos que el teorema anterior implica que la dimensión no depende de ninguna base, sino sólo del espacio en cuestión. Ejemplos, aquí tenéis unas bases. Ya hemos visto que algunas efectivamente son bases. Para las que quedan nos animamos de que comprobáis que los vectores siguientes, que los conjuntos siguientes consisten en vectores linealmente independientes que generan al espacio vectorial. Seguimos con una proposición y vamos a determinar de manera general la dimensión del espacio vectorial KN, donde K es un cuerpo. La proposición dice que para cualquier cuerpo K, la dimensión de KN es N. Para demostrar esta proposición, es suficiente notar que los N vectores siguientes son linealmente independientes y generan KN. La demostración es bastante sencilla y no la haremos, pero os animamos de hacerla al menos para los casos N igual a 2 y 3. Pregunta, ¿cuáles de las afirmaciones siguientes son ciertas? Tenéis que razonar utilizando los dos teoremas que hemos visto en este vídeo y deducir cuáles de estas afirmaciones sobre la dimensión y las bases son ciertas. Os dejamos un momento. Espero que hayáis visto que hay dos respuestas correctas y que las dos últimas son falsas. Acabamos el vídeo con el ejercicio siguiente. Tenéis que mostrar que los dos vectores siguientes forman una base. Es decir, que son linealmente independientes y que generan el plano real.