 Okay, so our next talk is by Jeremy Gray from the Open University in Warwick and he will speak in Poincaré et la compréhension des mathématiques. In French, maybe. Non, alas. Il me semble que c'est mega de faire une conférence en français, mais vous avez écouté. Je suis désolé à cause de mes meubles français. Il parle en anglais et peut-être en discuter pour des questions en français. Donc, c'est, bien sûr, Poincaré à deux stages dans sa vie. Et ce que je veux présenter est une analyse de comment il essaie de comprendre les mathématiques et d'aider les autres à comprendre les mathématiques, ce qui n'est pas le cas exactement, c'est simplement de faire les mathématiques. Et il a gardé ces vies, il a suivi ses propres conseils, dans un nombre de secteurs, dans la géométrie, dans sa philosophie, dans son conventionalisme, dans sa théorie de connaissance, dans son travail en physique, dans l'électricité et les optiques, ce qui était l'étiquette de la science physique dans son jour, dans la théorie du numéro, la théorie de fonction et d'autrefois. Et je pense que c'est possible de voir un approche uniforme développé dans sa vie. L'entendance dans les mathématiques pour Poincaré n'était pas la même chose qu'à être rigoureux dans les mathématiques. Dans les quotations que vous voyez en français, il a une grande opinion de Riga, c'est essentiel. Mais ce n'est pas peut-être le plus important pour présenter les mathématiques. C'est de l'adresse de l'adresse de l'International Congress de Mathématiques en 1908, c'est La Vénière des Mathématiques. Il s'agissait de Riga. Je donne deux photos de son travail en plus. Le contexte est, en fait, l'invention des fuchsiennes groupes. Il a une correspondance avec les fuchs dans lequel il correcte les mathématiques en respect de la continuation analytique. C'est la photo de l'anniversaire. Et il a un grand nombre d'importance du domaine de la fonction et de la considération. Vous voyez dans l'autre photo l'origine d'une triangulation de Poincaré disque. Mais il était sûr que Riga n'était pas toujours... La whole story, shall we say. Les prouves peuvent devenir trop grandes pour être bien compréhensibles. Et la nouvelle terminologie, à son jour, a donné l'exemple d'une conversion uniforme qui a permis de simplifier les prouves et d'isoler un peu. Et de dire que nous allons le faire de cette façon. Et nous avons un petit bloc, si vous voulez, un pièce que nous pouvons courir et mettre à l'argument plus long sans perdre la poignée. Donc, encore une fois, ces points viennent de La Vénière des Mathématiques Je ne dois pas dire pas toutes ces points dans l'essai de Poincaré. Le papier s'est passé terriblement quand il a été anthologisé. Les prouves peuvent être d'accord dans l'exemple de la théorie potentielle. Vous n'avez pas d'une prouve intuitive basée sur la physique naïve. Vous avez des prouves Prouves, Poincaré est fameuse par le balayage, mais vous n'avez pas dans cette façon de copier l'intuition des physiciens. Le mécanisme des phénomènes n'est pas appareil. Les arguments rigueux dépendent des questions de convergence qui sont trop slow d'être utilisées dans d'une manière approximative d'une manière plus rapide. Et je vous racontez un remarque de lui. En tout cas, une prouve rigoureuse est la prouve de la possibilité de quelque chose. Il nous aide toujours quelque chose. Et qui a le droit de dire que la solution de la physique n'est pas assez bonne pour les mathématiques? Vous ne pouvez pas distinguer les arguments de l'un et de l'autre. Et d'ailleurs, la physique est un sujet très mathématisé, donc il n'est pas très clair ce que l'intuition des physiciens n'est sans des compagnons de mathématiques. Et ensuite, il y a quelque chose d'autre. C'est d'une réponse de Hilbert's formulation de la géométrie, qui est un très axiomatisé approach qui traite des systèmes différents de la géométrie d'une distance pour eux, en termes de modèles de la géométrie, et cela le traite comme inédit d'un point de vue philosophique. Donc il n'a pas d'objectif pour les mathématiques. Perfect. Mais il ressent que dans la géométrie nous acquérons la connaissance du monde externe. C'est comment nous pouvons trouver la façon dont nous sommes. Hilbert's géométries n'ont pas des compagnons d'humains. Elles sont des objectifs mathématiques. Elles ne connectent pas à la façon dont l'infant humain s'étendu sur le monde externe. Donc c'est assez philosophique de l'objectif mathématique. Et ensuite il dit, supposons, à la fin d'un truc, vous prouvez quelque chose. Bien, vraiment, vous devez vous mettre en situation où vous pouvez prédiquer, ou vous devez prédiquer les grosses features du problème que vous essayez d'exprimer. Et c'est un grand quote en fin. J'aime beaucoup dans l'anglais l'essentiel de la facture. Vous imaginez un processo algorithmique produisant une ligne d'appui après l'autre. Et ça va produire ce genre d'understand qui vous ou votre audience pour faire quelque chose nouveau. Ou est-ce que c'est juste une séquence d'exprimations correcte dans l'ordre logique. L'une de ces échos, des figures similaires c'est Ernst Mach. Et quand Prankari a donné ce talk, il était impressionné avec Ernst Mach l'idée de l'économie de la pensée qui vous permettra d'exprimer, d'activer dans le monde, de faire des choses. Les factes individuels, les observations mathématiques, avaient très peu d'intérêt pour lui. Mais si vous pouvez produire votre cause, vous avez déjà utilisé l'économie de l'économie. Vous pourriez être dans la présence d'une sorte de loi en physique, ou d'une sorte de théorique en mathématiques. Donc cette espèce d'esthétique je vais vous lire la création, mais cette espèce d'esthétique est très importante pour Prankari. Non, je vais vous dire, avant que je vous le read pas esthétique dans le sens de comment beau c'est, mais dans le sens de comment efficace c'est, comment évaluer pour vous faire quelque chose pour vous-même. Donc, nous avons l'idée que l'économie de la pensée est productive. Et je veux juste dire une chose de la psychologie. Prankari donne ce fameux adresse à la société de psychologie ici en Paris en 1909. Et à un point il dit, regarde, je ne parle pas juste du sens subjectif. Ça peut être mauvais. Et il dit, même dans son propre cas, quand il réveille le matin, il pense oh oui, j'ai compris. Et il commence à évaluer la preuve et ça s'évoque. Donc, cet sens, cet sens est pas ce sens de oh oui, j'ai compris, je suis sûr que chaque mathématicien a un sens de non-réliable, à moins de temps. Ça vient de ça, mais ça peut être déceint. Il parle vraiment d'une activité de la pensée. Et cette activité de la pensée c'est la activité qui crée la connaissance. Et dans son jour, il n'a pas de doute de la validity du rythmatique. C'est l'un des moteurs importants qu'il croit dans la pensée humaine. C'est la raison de la récurrence. Et donc, d'avoir des arguments sur le nombre naturel. Et il croit que c'est construit dans la pensée humaine. À cette époque, 1904, et après, Zermelo qui a été promis par Hilbert a essayé de produire une théorie axiomatique. Et Prankeray a été promis par cet approche. Zermelo, à un point, imagine que vous avez ce qu'il s'appelle une idée définite de quoi sont les éléments d'un set. C'est un point dubieux dans sa première présentation de ces idées. Prankeray a l'opposite vue que la définition doit être très connectée à ne pas pouvoir identifier les éléments de chaque set. Et Zermelo s'est senti plutôt casuel pour cela. Et en particulier, il permet des sets qui sont vraiment trop grands pour la pensée humaine pour se confier. Donc je pense que c'est un nightmare pour Prankeray. Je suis désolé, c'est seulement un nombre finit. Donc Prankeray sent que ces sets sont trop grands pour être entendus par la pensée humaine. Et si vous ne pouvez pas comprendre cela, vous ne devriez vraiment pas parler de cela, même si vous avez un formalisme qui vous permet de le faire. Donc je ne vais pas dire qu'on a nécessairement apprécié de la présentation de Prankeray. Ok, donc comment doit-on faire les mathématiques dans l'opinion de Prankeray? Certainement, il faut être rigoureux. La théorie axiomatique n'est pas, en fait, suffisamment philosophiquement sonnée. Mais il y a des choses que vous pouvez faire. Analogie et généralisation. Et je veux donner un exemple. Si la mathématique n'est pas familiale s'il vous plaît, pardonnez-moi. Et si il y a des experts qui vont objecter ma simplification sur les next few slides, pardonnez-moi encore. Donc je vais présenter une analogie que Prankeray s'occupe d'une raison pour laquelle il le fait et, second, pour indiquer que les analogies ne sont pas si simples. Prankeray n'est pas disant, oh, regarde, c'est comme ça et donc, c'est-à-dire qu'il est installé dépendant de l'analyse. Donc, M.E.T, l'influence de la génération avant et certainement de l'influence de Prankeray a été distinguée par des théories en particulier, par exemple, et entre les très, très premières works de Prankeray sont des works sur la théorie du numéro et ils sont aussi techniquement, strictement, leurs dernières works. Le dernier papier qu'il publie, qu'il va mettre dans le poste, le journal est celui avant qu'il s'occupe dans le hôpital et s'occupe d'une opération, et puis il s'occupe et c'est aussi sur le théorie du numéro. Donc, c'est un intérêt long terme de Prankeray, ce n'est pas ce qu'il s'occupe d'aujourd'hui qui doit faire avec les fonctions fuchsiennes ce sont des fonctions qui ont des propriétés de periodicité qui peuvent être employées pour faire des théories du numéro, pas tous de elles. Et ce que Prankeray a après est une analogie avec l'équation moduelle, c'est une équation fameuse d'une religion de la théorie elliptique qui a formulé un certain groupe qui est mentionné ici SL2Z et puis une transformation qui n'est pas allée au groupe et vous pouvez trouver des relations entre une certaine fonction en variant d'un groupe et une autre valeur de cette fonction est connectée par une équation polynomial qui s'appelle la équation moduelle. Donc, c'est une équation moduelle. Juste記得 qu'on a une équation polynomial qui est associée avec un groupe et est en variant en termes de l'action de ce groupe et d'autres valeurs de cette fonction obtenues d'une autre façon. Donc, il veut généraliser ça. Il dit qu'on a besoin de deux groupes et qu'ils doivent avoir quelque chose en commun. Un grand subgroupement de l'index finite. Et puis, si vous faites ça en cas de l'équation moduelle et que vous suivez, on va essayer de faire des groupes fuchsiennes. Vous faites votre formule de tournerie de 3x3 matrix avec une étude complexe de 2x2 matrix. Donc, ça s'applique dans le monde fuchsien. Et maintenant, vous devez demander quelles sont vos coefficients. Est-ce quelles sont les vraies? Est-ce quelles sont les vraies? Est-ce quelles sont les integers? Et vous avez, de cette façon, trois groupes pour votre formule de tournerie trois groupes de 2x2 matrix. Et ce qui dit, c'est que si vous jouez ce jeu, vous avez deux groupes commensurables et vous avez une connexion à l'algebraie entre les fonctions qui viennent avec un et leurs valeurs sur un autre groupe. Je vous remercie. Le point est que cette généralisation peut être faite pour le travail. Vous pouvez avoir, dans le set des groupes fuchsiennes, une classe de groupes fuchsiennes qui vous donnent la même histoire mathématique que vous avez pour l'équation moduelle. Le point, ici, est que Amit avait toujours avocaté et avait avocaté quand Pancaré était jeune à lui directement. Vous devez étudier cet exemple en détail. Amit's view, c'est que si vous avez un très intéressant fonctionnement, vous devez étudier en détail. Pancaré's view est assez différent. Il veut savoir pourquoi cette équation est là. Je n'accepte pas que c'est là. Je souhaite l'étudier en détail. Mais je veux savoir pourquoi c'est là. Et si je comprends pourquoi c'est là, je peux trouver des choses similaires pour l'étudier, mais en tout cas je vais avoir une nouvelle compréhension de ça, parce que je sais la histoire à laquelle c'est. Et je pense que peut-être vous pouvez voir un peu de John Morgan comme les gens en regardant la histoire à laquelle Pancaré's conjecture est allée. Comment organiser nos pensées afin de faire des problèmes. C'est Pancaré's view que vous devez voir une histoire de groupes commencérables qui expliquent pourquoi il y a une équation modérale. Je ne veux pas dire ce que j'ai fait. Mais un autre fameux utilisé par Pancaré dans les mécanismes celestiaux. Vous avez un système très simple et dynamique où un paramètre est 0. Vous évoquez le paramètre de 0. Vous avez une famille d'équations différentes pour l'équation de la paramètre et vous demandez si l'importance d'une situation où le paramètre est 0 s'étend à des valeurs non-zeroes C'est un autre exemple de son travail par analogie. Il y a un peu plus d'une certaine. Il y a un truc, je pense, sur friday, où nous avons discuté comment l'astronomie s'étend de Pancaré. En Pancaré, ils n'aimaient pas ce qu'ils étaient. Ils pensaient qu'ils étaient peut-être des corps solides dans un état. Ce n'est certainement pas l'un des vies modernes. Pancaré s'intéressait dans quelle forme ils s'acquérent quand ils ont été solides. Ils ont été un fluide et maintenant ils vont être solides. C'est l'un de ces questions. Mais dans tout cas, qu'est-ce que vous pouvez dire d'un corps fluide? Il a regardé pour une analogie. Si vous avez un corps fluide, il va s'éteindre dans un nouveau état. C'est son expression d'expression de la confiance d'Irpunov, le mathématicien russien. Le débat ici est entre Pancaré et le physiciste et L'Irpunov. Jean a démontré sur plusieurs occasions. C'est quelqu'un qui souhaite avoir la provenance mathématique de la pensée que Pancaré peut être faite pour venir. Ok, le premier Congrès international de mathématiciens a été placé en Syrie. Pancaré a repris et a donné cette opinion sur la relation entre les mathématiques et les physiques. Donc, nous devons faire précis la relation entre le nombre de l'espace et le temps. Et ici, je souhaite avoir un point très important pour la seconde partie de la parole. Lui fournissant la seule langage qu'il puisse parler, les physiques peuvent seulement parler une langue et c'est la langue de la mathématique. Donc, c'est crucial pour ce que nous voulons faire. C'est un dialogue dans les deux directions que, même les physiques leur langue, les physiques vont donner à les mathématiques. Toutes les choses qui sont sur le monde discrète, Pancaré croit que le seul objectif pour la mathématique était l'intagère. Et les physiques vont donner, pour exemple, le concept du continuum. Et je dois dire ici que Pancaré est aware d'un continuum non standard. Donc, ce n'est pas un statement que le continuum existe, mais que les physiques ont trouvé le premier. C'est un statement qu'il y a beaucoup de façons de former un continuum, beaucoup de façons d'aller sur les numéros rationaux, mais les physiques utilisent un particulier qui a été très, très utile pour nous comme mathématiques. Je dois dire un peu de l'électricité et de l'optique à ce moment-là. Je n'ai pas préparé une transparence ici. Pancaré's life in electricity and optics was one of constant theoretical change. So, at one stage when he writes electricity and optics there are two predominant theories that of Hex and that of Lorentz. The Hexian theory cannot deal with physo's work on the speed of light in water and Lorentz's theory cannot establish and in fact disagrees with Newton's third law the equality of action and reaction. The problem is with the ether the ether can do things to bodies but bodies can't do things to the ether that's the weakness in Lorentz's theory. So Pancaré is aware that there are two major theories of electricity and optics they cannot be put together each one has a distinct quality of merit and each one has a flaw, has a failing and I think if you do wonder about what physicists are saying the crucial question to ask them is what about when theories are changing what about when you the physicists are changing your mind about what we want to say it's not so interesting to ask them and everybody's happy and contented that dinosaurs around the earth and matter is made of atoms it's better to ask them and they're going well you know you might want to think a little harder about that problem So this is Pancaré's view that the theories may well be wrong, in fact clearly in his day the electricity and optics theories were wrong but you do have to deal with experiments that the experimentalists will tell you are okay and you have to accept the mathematical theorems that the mathematicians will say approved so what happens well the theories somehow survive what you thought you were talking about, the objects maybe not maybe they had the wrong story about the objects but the theoretical expressions in the form of equations that will survive down at the end I find this quite striking you know how ridiculous were Coulomb's fluids well you know they're back we call them electrons now it's quite a nice indication of the way in which in Pancaré's view people amplify the experimental results and the mathematical theorems with talk about objects and this talk is not anchored in either domain and it can be replaced with talk about other kinds of objects of course we talk about the objects does this naturally we prefer objects to mathematical theorems but this talk is perhaps a little it floats a little freely above the substantial discourse and this is what he means by conventions the geometrical conventionalism which gives you knowledge of the external world and then there are these things we believe about physics the various laws conservation of energy things like that which have been elevated if you like to the status of axioms that we take them as conventions if you do an experiment and you get a very unusual result you don't say oh maybe the inverse square law of gravity is wrong you look for an explanation of your novel result somewhere else at that moment in physics the inverse square law of gravity has become something that you do not contest you could but it requires extreme circumstances for you to do that so I want to move here this is an amalgam of David Levine's cartoon of Wittgenstein and Poincaré to make some remarks about understanding in general of a quasi-viconstinient kind because I think that Poincaré was saying some of the things that come up later so skepticism as a view is hostile to the talk of meanings it's hostile to the idea that we know what something means and Kripke gives this very comic example you know you haven't added up all the infinite sums you could do so maybe could be that after a time addition it's just wrong and if you move that over to some axiomatic setting you can make similar kinds of directions it kind of looks rather fanciful and I think I don't know a considerable number of philosophers would like to prove somehow that skepticism was wrong they say well we don't need to because actually it's quite a harmless view but instead of assuming you know quite so much about what things mean why don't we just agree that what we're doing is talking to each other about the world and we want to talk in a consistent way to each other in a way that is supported by the best evidence we can find and if we have to revise the way we talk we revise the way we talk and it doesn't mean that you can't talk with certainty in the opinion of Wittgenstein it doesn't mean that you're going you know you're allowed to go oh I don't know why you believe that every time somebody says something you can just get on and do things this is kind of conventional view it seems to me from Wittgenstein that we elevate certain statements to a certain role in our discourse and that role in that discourse and the way Quai would take it is to say that you don't argue with that you don't argue with the inverse square law of gravity in this particular domain or whatever particular system of ideas have determined the mathematical form of your theory unless you really really have to and of course in any elaborate argument especially in physics I believe to this day you don't have the guarantee que le système est actually consistent we are exploring ideas in physics we hope they work, we find problems we deal with it and this is Wittgenstein's advice that's the best you're going to get if you're looking for consistency in these very elaborate arguments you may never get it and it may not matter because it hasn't held us back yet we've always been able to repair Wankere was taken to be a skeptic in his time he was accused of this by people in exactly those words and this is his one of his responses of course we accept the testimony of experts and we rely on our ability to communicate with each other and without the ability to communicate we can't say that we are being objective so remember that mathematics provides the language for physicists ok so what I see here curiously I think the inference on Wittgenstein here comes really from people like Hermann Weill but I'm more interested in part to write anyway what I see here is what Wittgenstein enthusiasts call a language game you have a set of rules for communicating and those are the rules of the game that's how we communicate so we have decided que if a physical phenomenon is determined by a certain league well you can't break that rule halfway through so what validates your arguments is that you can persuade other people of them they can listen to you they can criticize you the dialogue goes backwards and forwards in a satisfactorily way and that's really maybe all you can do so famously le roi de la rotation de l'Earth, quand il était accusé d'être sceptique, il a vraiment réglé à notre discussion de la physics Newtonienne qui est la meilleure langue pour décrire les différentes choses que l'on voit, incluant Foucault's pendulum. Il donne la plus élegante, l'exprimation effective de choses, et c'est tout que vous pouvez dire. Et bien sûr, c'est une photo d'un espace non-nuclide, sur la table. Il était fermement au point que si les créatures se trouvent d'une autre partie de l'Univers qui croient que l'Univers était en fait non-nuclide et qu'on croit que c'est euclide, il n'y aura pas de facteur. Ils ne seront pas nécessairement d'accord, nous ne serons pas nécessairement d'accord. Nos argumentations seront que ce soit le meilleur travail pour nous, dans le cas de Poincaré parce que notre connaissance du monde externe est bien élevée par l'évolution et par la construction de l'enfance. Vous avez appris le monde externe avant que vous puissiez s'occuper de tout ce qu'il faut. Mais il n'était pas sceptique de mathématiques. J'ai mentionné le scepticisme dans un public. Poincaré n'était pas sceptique de mathématiques. Il s'agit d'un scepticisme qui est construit en nous. Et on peut déjà faire certaines choses que le scepticisme n'est pas sceptique dans l'opinion de Poincaré. Et aussi, vous vous rappelez que Poincaré a pris la vue que les mathématiques et les physiques sont inseparables. Donc, on va revenir et discuter. Quand les gens parlent de la preuve je veux faire quelques remarques sur cela. Poincaré a un temps magnifique et délicat à l'apparition de la logique mathématique pour délire sur ce que les choses dépendent ou ne dépendent pas sur les autres choses. C'est une branche réglable et rigoureuse de mathématiques. Et Poincaré n'était pas sceptique de ça, je pense. Il m'était pas sceptique de l'argument. Mais il m'a dit qu'il n'y avait plus que ça. Il n'y avait plus que ça de dire que l'argument est rigoureux et que ce n'est pas. Et ce que vous voyez dans les mathématiques d'aujourd'hui, que un argument très long n'est pas le même que l'argument que l'un d'entre nous comprenait. Un argument rigoureux, certainement mieux que un argument non rigoureux, tout ce que vous voulez. Si vous voulez être un mathématicien vous avez besoin de plus que les résultats d'arguments rigoureux. Et dans l'argument moderne, mais en 19e century, vous pensez en mathématiques comme une pratique, c'est quelque chose que les gens font. Quand ils acquérent l'entraînement de choses, ils n'ont pas de nouvelles choses, c'est parce qu'ils comprennent cette pièce de mathématiques qu'ils peuvent prouver ce nouveau résultat. C'est une activité. Vous pratiquez ça dans la façon qu'on pratique un instrument musical. Et puis, il y a des choses intéressantes. Certaines personnes disent que ce concept est un concept fréquent, ou c'est le bon moyen de penser à ces choses. C'est la preuve naturelle de quelque chose. Hilbert, par exemple, insiste que il y avait des méthodes unifiées pour faire des problèmes certaines. Il n'y avait pas de la preuve naturelle sur les bounds de l'idée de corps et de des techniques qui se sont dans un autre domaines de mathématiques. Et ce n'est pas un doctrin. Le premier appel à un mathématicien est de résoudre le problème. Mais ça peut être le cas que certains mathématiques disent. Mais peut-on résoudre ce problème dans un autre moyen, un moyen plus approprié, un moyen d'y aller ou d'être plus productifs dans le futur ? Par le point de vue de Grays, ce que vous voulez est d'avoir l'obligation de voir comment les détails se passent et comment peuvent-ils être utilisés. C'est quelque chose qu'il a insisté beaucoup. Et, bien sûr, il a très beaucoup le rôle d'intubation. Et cela inclut, bien sûr, l'impression psychologique que vous êtes sur quelque chose. Je suis en train de conclure mes remarques. Nous avons une tension, si vous voulez, de la tension créative, c'est le cliché entre le site rigoureux de mathématiques et le site d'amélioration de l'amélioration de la mathématique. Et je pense que dans un novel à l'extérieur, que pas tous les mathématiques sont en train de dire que nous devons trouver le bon moyen de penser sur ces problèmes. Je pensais que je pourrais summariser un peu de choses que j'ai trouvé avec l'amélioration de l'amélioration de l'amélioration d'amélioration de l'amélioration de l'amélioration d'amélioration du fun d'amélioration du fun d'améliorationングrouillé de defense d'amélioration speciant le fini on est dans le plus leicht jusqu'à l'air 10 les paramètres. Surtout si vous pouvez commencer par un cas très simple, qui vous entendez très bien, et puis que le paramètre s'éteigne à l'extérieur de zéro, pouvez-vous capturer l'essence du problème simple dans la situation plus compliquée ? L'exemple des mécaniques fluides, et le débat d'Aliapunov, va comme ça, en fait. Le belief est que l'on comprend la situation d'une situation très bien, essentiellement, complètement. Donc, comment ça va survivre si vous avez une dimension infinie de l'espace vectoriel pour étudier les choses ? En fait, certains de ces soucis ont déjà appris, comme j'espère, quand j'ai vu le programme. Si vous avez un problème en trois dimensions, est-ce qu'il y a un problème en deux dimensions dans ça ? Professeur Yorkhouse nous a donné un problème sur les touristes en deux dimensions, qui, en un sens, réduisent à une question très intéressante sur l'une dimension maridienne de Votoros. Professeur Morgan's Talk, encore une fois, nous avons invité à considérer trois dimensions de manifs, qui ont été construits en deux dimensions. Donc, ces sont les choses qu'il a avancées. Les deux next three slides sont juste pour montrer que je ne considère pas l'analogie est triviale, et je ne pense pas que Pancaré considère pour une minute l'analogie est trivial. Nous avons souvent performé des sounds infinie de ce genre sur la première ligne. Les fonctions elliptiques sont double sums sur un groupe, si vous voulez, Z plus Z. Quand Pancaré commence à étudier les fonctions fuchsiennes, il fait un truc similaire, mais il summe sur les éléments de groupe, alors qu'il regarde la première ligne de l'équation, la première ligne de l'équation de cette ligne, et il dit, oh oui, ce n'est pas tellement summer de minus infinie à plus infinie, mais summer sur les éléments de groupe Z, les integers. Donc, je vais faire cela dans mon cas novel, ici, avec un autre groupe. Et maintenant, il a des problèmes parce que les fonctions de convergence sont beaucoup plus difficiles à comprendre, et cela peut être une série non triviale convertie dans la fonction 0, mais au moins, il y a une sorte d'analogie. Et ensuite, vous devez faire des difficultés au novel qui arrivent. Donc, mon dernier slide, c'est la dernière, c'est juste une picture, et une fameuse. Pour les mathématiques de Poincaré, c'est quelque chose qui vous permet de faire quelque chose d'autre. J'ai déjà vu une définition d'approche et d'un texte logique, la définition de la théorie était que c'était la dernière ligne d'approche, et cela peut être très bon pour les éditions, mais je ne pense pas que c'est ce que Poincaré a accepté, ou que les mathématiques du travail sont des bonnes théories, je pense, c'est quelque chose qui vous permet de faire quelque chose de nouveau. Vous pouvez prendre cette théorie d'autre, c'est une idée de Poincaré. Vous devez bien approcher de cette théorie par un acte d'analogie, de ce que vous avez déjà eu avant. Il y a une certaine virtue qui vous permet de choisir pourquoi quelque chose est le cas. Et c'est pourquoi quelque chose que les mathématiques parlent de, Poincaré est peut-être un peu inusuel en dealant avec ça directement. Je pense que beaucoup de la façon dont Poincaré parle, c'est en essayant d'encourager vous de penser de manière certaine, il n'est pas seulement intéressé par les résultats, il est intéressé par vous de penser sur le domaine des problèmes, dans une certaine façon. Je pense très clair dans le parler précédent que Poincaré a de la façon de penser sur les problèmes qui involveent des manifs en trois dimensions. Il doit faire un travail efficace, ou vous resterez persuadés que quelqu'un devait le faire, mais pas qu'il l'a fait. Donc, il se délivre. Il est tenté d'organiser vos pensées dans un moyen qui est productif pour vous. Dans la physique, il est complètement enthousiaste qu'il y a un objectif pour changer. Les idées physiques arrivent et vont, ils sont en conflit avec l'autre, c'est vrai aujourd'hui comme ça. Il vous demande de ne pas penser sur les objectifs physiques, mais sur les résultats expérimentaux, la théorie mathématique qui les apporte, et d'être un peu réellement réellement, pour convaincre les objectifs. Pour lui, un bon prouvé, c'est mon dernier remarque, est un nouveau et valide utilisation des termes que cela intervient. Donc, merci beaucoup. Merci, des questions ou des commentaires? Oui. Et donc, je vais essayer de poser des exemples de vos remarques, peut-être quelque chose un peu plus précis. C'est à moi que ce que vous vous suggèrez, c'est que, quand François parle de l'analogie, il a en mind quelque chose comme une relation ou une relation généralisable. Il est en train d'avoir une relation, une relation, une propre, qui peut être généralisée d'un cas à l'autre. Et c'est comme cela qu'il utilise l'analogie. Ce qui m'a emprunté est très odd, c'est qu'il s'agissait de la quotation que vous avez donné, cette idée de la notion de l'économie de Marx. Mais, comme vous le savez, il y a un grand critique de la notion de Marx par Einstein, qui remarque que la science est un catalogue et pas une théorie, qui est de dire précisément que les relations généralisables ne sont simplement pas là. Je n'aurais pas vraiment argumenté le dernier. C'est un facturiel inquiétant qu'il et Marx ont étendu ensemble dans leurs périodes. Donc, quand Marx s'est transmettu en français, un nombre d'entre eux sont en train d'étendre sur les grounds qu'il a dit des choses similaires. Donc, il ne faut pas transmettre ces papers germains. Ce n'est pas seulement une pattern ou une généralisation. Je pense que c'est un peu... Il est inusuel en faisant ça. Je pense qu'il est inusuel en parlant et en print. Poincaré croit que vous avez, si vous voulez, des histoires. Vous le dites comme un mathématicien. Comment vous pensez sur ce problème, comment vous posez la question cruciale, pourquoi vous accueillez-les dans ce genre de manière, pourquoi cela fonctionne en un cas simple, ce qui semble être le problème ici. Et c'est ce qu'il est en train de faire. Et puis, il peut tester cela en particulier. Donc, si il pense que ce qui est vraiment arrivé ici c'est qu'il y a un groupe qui fait quelque chose, alors qu'il se fait vraiment très excité. Mais je ne pense pas qu'il aurait dit, pour un moment, qu'il y a une définition précise de l'analogie. Donc, nous devons juste être très bons à le trouver et ensuite, nous pouvons faire du bon travail. Et c'est pourquoi j'ai donné ces exemples à l'end. Vous pouvez avoir tous les esprits pour une analogie. Et cela n'obtenirait absolument pas de vous aider. Donc, c'est juste l'emphasis sur ce que c'est de comprendre quelque chose et de savoir quelque chose que je pense est spécifique. Je ne trouve pas d'autres gens ou d'autres mathématiques en preuve de dire cela. Si vous venez d'un département master, vous l'aurez beaucoup, bien sûr. Et j'imagine que vous l'avez déjà fait. Mais c'est l'essence de ce que je vois. C'est que, par exemple, il y a un set d'exprimations de choses qui sont connues à travailler. Et il y a des questions de pourquoi, et pourquoi cela fonctionne, mais je vous répète. Question, oui. Parlemental physiciste et théoretic physiciste. Pour l'experimental physiciste, il est très bien connu que les médecins d'experimental physicists utilisent seulement les équations quadratiques dans leur travail. Donc, je comprends correctement que vous étiez pratiquement en parlant de théoretiques physiques dans cette discussion. Bien, je pense que c'est vrai. Je pense que c'est un fameux et plutôt comique d'interventions d'experimental physics dans le domaine de théoretiques physiques. Excuse-moi. Je pense que c'est, en fait, le théoretique physique qu'il était en train de parler. Mais il est insistant que cette physique soit testée et je pense que, au moins dans le cas de la diffusion de l'air et de la relation du problème du Dirichlet, il y a des objectifs explicit des commentaires de Maxwell et de Helmholtz que ces mathématiques sont en tout cas mises en place parce que nous savons comment la physique fonctionne. Je pense que c'est un fait de les deux. Je pense qu'ils ont réussi d'être théoretiques et d'experimental. Oui, dans un certain sens, c'est vrai, mais Poincaré n'est pas... Il ne s'est pas mis en place dans les théorétiques physiques. Ils sont partie de la communauté. Quand il y avait une dispute entre Maxwell et Helmholtz, c'était un format d'experimental d'une particularité incorrecte comme une refutation d'une prediction de Maxwell. Oui, c'est vrai. C'est vrai, mais Poincaré s'est mis en place pour inclure les physiques expérimentales. Plus de questions. Comme vous le savez, des scientifiques computers ont publié une certification de la théorie de Thomas de la théorie de Thomas. Qu'est-ce que Poincaré aurait pensé de ça ? Je ne sais pas. J'ai un collègue qui est responsable pour l'un des proofs d'assistance computer. Non, ce n'est pas un proof d'assistance computer. C'est un certificat d'assistance computer que l'assistance est correcte. Oui, je comprends. Quand j'ai pensé des discussions, ma compréhension est qu'Poincaré aurait dit que ça est un pièce qui est le rigueur de quelque chose. Mais même si ils ont fait ça pour une nouvelle théorie, j'imagine que ce n'est pas un résultat existant, mais qu'ils ont indépendant un nouveau résultat et un certificat d'assistance computer dans leur langue, qui est, je pense, un certificat de la nouvelle théorie qui est lié à une histoire qu'il peut dire, et qu'il veut savoir si nous pouvons prouver dans un moyen qui était, bien, j'ai dit, d'assistance computer. Mais exactement ce qu'il veut. Et vous savez que vous trouverez dans une partie de la proof une nouvelle idée productive. De toute façon, la ratification est prouve. Oui, il utilise ça dans son travail. Probablement il veut trouver une proof qu'il peut utiliser dans d'autres moyens, dans d'autres conditions. Il me rappelle longtemps auparavant qu'il y avait cette proof par Landford, qui était une proof d'assistance computer et Sullivan s'est dit, je veux une proof d'assistance brain. Oui. Ok, une autre question. Merci beaucoup.