 Un théorème difficile, ça peut être comme une symphonie. C'est très érotique. C'est quoi un génie des maths ? À quoi ça ressemble ? Quels sont leurs désirs, leurs projets, leurs rêves ? Voilà des questions que les réalisateurs de cinéma ont à coeur de poser dès qu'ils cherchent à parler de mathématiques. La preuve. Prenons les 10 films de maths les plus hauts au box-office. Déjà, la moitié de ces longs métrages sont des biopiques, mais surtout, la très grande majorité d'entre eux ont dans leur personnage principal un ou une génie des maths. Selon Hollywood, un génie des maths est quelque chose d'assez simple à reconnaître. C'est quelqu'un qui est capable de calculer des multiplications ou des racines carrées vraiment très très vite. Disons 135, multiplié par 57. 7,95. Aujourd'hui, traitons de l'un des plus célèbres génie des maths du cinéma. Will Hunting, héros du film éponyme réalisé par Gus Van Sant et scénarisé par Matt Damon et Ben Affleck. De tous les films mathématiques non basés sur des faits réels, c'est celui qui a eu le plus gros succès en salle. Plus d'un million de spectateurs en France, 225 millions de dollars au box-office, 2 Oscars remportés, celui du meilleur second rôle pour Robin Williams et celui du meilleur scénario pour Matt Damon et Ben Affleck. Le film sort sur nos écrans français le 4 mars 1998, soit en même temps qu'à Arms égale de Ridley Scott, ou que greffe partie de Fabien Autanienté. Encore une fois, je ne me prononcerai pas vraiment sur les qualités cinématographiques de Will Hunting. Tout ce que je peux dire, c'est que je n'ai pas passé un mauvais moment quand je l'ai regardé pour préparer cette vidéo. Ceux qui m'intéressent, ce sont les maths dans le film. Ont-elles oui ou non été bien traités ? La question est compliquée puisque contrairement à ce que le scénario laisse à penser, les maths ne sont dans ce film qu'une toile de fond et on aurait très bien pu s'en passer. Résumons le début du film. D'un côté, nous avons Will Hunting, un orphelin d'une vingtaine d'années, surdoué mais particulièrement arrogant et tétaclac, du genre à passer toutes ses soirées au bar avec ses amis. C'est un génie autodidacte, d'ensemble-t-il tous les domaines qui existent comme l'économie, le droit ou l'histoire, mais surtout les mathématiques ? Il travaille comme agent d'entretien au MIT, l'une des universités les plus renommées des États-Unis. De l'autre côté, nous avons Gérald de Lambeau, mathématicien et professeur au MIT, mondialement réputé pour avoir décroché la médaille Fields, le fameux Nobel des mathématiques. À la fin d'un cours sur lequel je vais revenir, il met aux défis ses étudiants de résoudre un problème particulièrement difficile, problème que l'on peut lire sur un tableau dans le couloir devant l'enfi. Sans trop de soucis, Will rédigera anonyment la résolution du problème. Après en avoir posé un second censé être un grand plus haut en termes de difficulté, Lambeau finit par découvrir l'identité de Will, au moment où celui-ci est au tribunal pour l'agression d'un policier. Lambeau s'arrange avec le juge pour le faire sortir, à condition qu'il se fasse suivre par un psychologue. Ce sera Sean McGuire, un ancien ami de Lambeau au méthode peu conventionnel, avec qui Will devra apprendre à faire confiance aux gens qui l'entourent, notamment Skylar, de qui il tombe amoureux. À partir du moment où Robin Williams entre en jeu, le spectateur comprendra que le propos du film n'est pas vraiment celui des mathématiques, mais celui de la psychologie, avec la question des troubles de l'attachement et de la façon dont on peut les soigner. Il est intéressant de noter que plusieurs consultants sont aux génériques. Déjà, il y a Harmonie Corrine que vous connaissez peut-être pour avoir réalisé le film Springbreaker et qui est crédité comme consultant prison. Il apparaît justement dans l'unique scène de prison du film et j'ai bien l'impression que ce titre de consultant n'est qu'un clin d'œil. Ensuite, nous avons docteur John Turtle, consultant psychologie. J'imagine que c'est à lui que l'on doit les inscriptions sur le tableau de Robin Williams dans la scène où on le voit donner un cours. Bien que ce qu'il raconte n'a aucun rapport, on peut voir qu'il s'agit d'un cours sur le modèle de Kepler-Ross, aussi appelé les 5 étapes du deuil, les phases par lesquelles sont censées passer les malades en face terminale après leur diagnostic. La question des troubles de l'attachement de Will et de ses soins semble également être bien traité, peut-être que l'un d'entre vous a les compétences pour en faire l'analyse. Celui qui nous intéresse vraiment, c'est Patrick O'Donnell, crédité comme le consultant mathématique. Il s'agit d'un professeur de physique à l'Université de Toronto spécialisé dans la physique des particuliers. C'est d'ailleurs lui qui a écrit l'ensemble des équations visibles dans le film et on peut le voir jouer un petit rôle dans une scène. Cela dit, il n'est pas le seul à avoir eu un regard sur les maths dans le film. On peut parler de Daniel Klettman, mathématicien au MIT, à qui Matt Damon et Ben Affleck ont demandé conseils pendant la phase d'écriture de scénario pour avoir des dialogues crédibles. A noter que Klettman apparaît lui aussi furtivement dans l'arrière-plan de l'une des scènes. Un autre grand nom aux génériques est celui de Sheldon Glashow, prix Nobel de physique en 1979. Dans les premières versions du scénario, Will Hunting devait être ingénie en physique et non en mathématiques, mais c'est sur les conseils de Glashow que Damon et Affleck ont changé d'avis. Enfin, il faut parler de John Micton, l'acteur qui joue le rôle de Tom, l'assistant du professeur Lambeau, mais qui se trouve être également mathématicien. Il a notamment participé à l'écriture des dernières versions du scénario. Bref, de nombreux physiciens et mathématiciens ont participé à l'élaboration du film, mais qu'en a finalement retenu Guse Van Sante. Revenons dans le détail sur les scènes mettant en scène des mathématiques. Dans la première scène du film, on fait la connaissance du professeur Lambeau, qui termine son corps de théorie appliquée en disant Si j'étais pointilleux, je dirais que fonction de Fx ne veut rien dire. En tout cas, il s'agit d'un cours sur la théorie de Fourier, et plus particulièrement sur l'égalité de Parseval, dont on devine la démonstration sur les tableaux flou en arrière-plan. On peut s'attendre à trouver en France un tel cours à un niveau de fin de licence, mais Lambeau précise qu'il s'agit de révision. Le niveau du cours est donc celui d'un master. En version originale, Stellan Skarsgård écorche le nom du théorème en prononçant sans parseval au lieu de parseval, erreur reprise dans le doublage de la VF. Je ne ferai aucun commentaire là-dessus, je viens probablement d'écorcher moi aussi le nom de l'acteur. L'identité de parseval fait partie des théorèmes incontonables de la théorie de Fourier, entre une fonction périodique et ses coefficients de Fourier. Je vous renvoie à ma dernière vidéo sur le sujet pour avoir une chouette application de cette théorie. Bref, à la fin de ce cours, Lambeau met aux défis ses étudiants de résoudre ce qu'il annonce être un problème sur les formules de Fourier. Puisque le problème est présenté comme difficile et que son public est d'un niveau équivalent à celui d'un master, on s'attend à quelque chose d'un peu retort. Mais quel est donc ce difficile problème de la théorie de Fourier ? Nous le découvrons en compagnie de Will qui est dénoncé demande de déterminer la matrice d'adjacence de ce graph, la matrice des chemins de longueur 3, la série génératrice du nombre de chemins entre deux points quelconques du graph et enfin un cas particulier de la question précédente. Les promesses d'un problème difficile de Fourier sont-elles tenues ? Eh bien, pas vraiment. Déjà, il s'agit d'un problème de la théorie des graphes et de combinatoires, et il faut pas mal de mauvaise foi pour dire que c'est un rapport direct avec la théorie de Fourier. Pour la difficulté de l'énoncer, c'est autre chose. Pour les deux dernières, il faut comprendre la théorie des graphes et la combinatoires et bien maîtriser les concepts de l'algebra linéaire, ce qui n'est effectivement pas à la portée de n'importe quel étudiant, bien que ça ne soit pas complètement insurmontable à un niveau master. Après avoir potacé le problème en rédigeant son brouillon sur une surface qui n'est pas prévue à cet effet, à savoir le miroir de sa salle de bain, Will inscrit sa solution sur le tableau noir. La première chose qui saute aux yeux quand on regarde la solution de Will, toujours est celui de la veille. Ensuite, une lecture attentive permet de conclure que oui, la solution est valide. Mon instinct de prof me fait dire que cela manque de rédaction et qu'il y a quand même une erreur de signes ici, mais oui, les conclusions sont correctes. Entrons un petit peu dans les détails. Nous avons un grave G à 4 sommets numérotés de 1 à 4. Pour décrire les arrêtes de ce graph, on peut dire que le sommet 1 est relié une fois au sommet 2 et une fois au sommet 4, et que le sommet 2 est lié au sommet 3 et une fois au sommet 4. Cette description nous donne alors ce que l'on appelle la matrice d'adjacence du graph, c'est-à-dire la matrice qui résume le nombre d'arrêtes relié entre les différents sommets, ce qui répond à la question numéro 1. La deuxième question demande quant à elle la matrice des chemins de longueur 3. A titre d'exemple, il existe sur le graph deux façons différentes de relier les sommets 1 et 3 par un chemin en prenant exactement 3 arrêtes, et il y en a 7 reliant les sommets 1 et 2. On peut alors se poser la même question pour tous les autres couples de sommets. Un résultat de la théorie des graphes nous indique que la matrice recherchée n'est autre que le cube de la matrice d'adjacence. On a la réponse à la question numéro 2. On pourrait aussi chercher le nombre de chemins reliant les sommets 1 et 3 qui comptent 4 arrêtes, 5 arrêtes, 6 arrêtes, etc. On obtient alors la suite 0, 2, 2, 14, 18, 95, etc. En combinatoire, on a l'habitude de présenter ces dénombrements sous la forme d'une série génératrice, c'est-à-dire un polinome infini dont les coefficients sont les termes de la suite. Ce polinome infini peut s'écrire de façon plus commode sous une forme rationnelle et c'est ça l'objet des questions 3 et 4. Je ne vais pas détailler davantage, mais ça implique de faire des calculs à base de déterminants et de comatrices. Retour à présent à l'Enfi. L'ensemble des étudiants de Lambeau sont présents pour connaître l'inentité de celui qui a résolu ce si difficile problème qui n'est pas de fourrier. Cette annonce, il ne la fera qu'à l'issue en voyant que le tableau est recouvert des inscriptions « valeur propre » et « vecteur propre » avec des équations qui s'y rapportent. Un tel cours est généralement donné en première année de post-back, ce qui n'est pas du tout raccord avec le niveau attendu des étudiants de la scène précédente. Si on regarde en détail les quatre tableaux, on peut voir que les deux de gauche détaillent correctement la définition et la méthode pour rechercher les valeurs propres d'une matrice. Le calcul n'y est cependant pas terminé. Les deux tableaux de droite parlent toujours de valeur et de vecteur propres, on peut cependant remarquer que les solutions ne correspondent pas à la question posée, ce que l'on peut corriger en remarquant qu'il y avait une nouvelle erreur de signe. Une petite explication rapide tout de même sur ce que c'est qu'une valeur propre. Prenons une transformation linéaire géométrique, par exemple celle-ci, qui a un point de coordonnée xy, associe celui au coordonnée 3x plus 0 y et x plus 2y. On peut résumer cette transformation par la matrice 3 0 1 2. On peut remarquer que cette transformation a des directions privilégiées, des directions suivant lesquelles la transformation n'est qu'une dilatation. Ces directions, sans ce que l'on appelle les directions propres. Dans l'une d'elles, les longueurs sont multipliées par 2, tandis que dans l'autre, elles sont multipliées par 3. Ces nombres 2 et 3, sans ce que l'on appelle les valeurs propres de la transformation. Les transformations linéaires comme celle de mon exemple sont omniprésentes en mathématiques, ce qui rend l'étude des valeurs propres incontournables pour les appréhender. Bref, à l'issue de ce deuxième cours, il faut proposer un nouveau problème à résoudre. Il s'agit d'une question qui lui aurait demandé plus de 2 ans de travail. Évidemment, il faudra bien moins de temps pour que Will le résolve. On découvre dans le film ce problème en même temps que sa solution. Il s'agit de 2 questions de combinatoire et de théories des graphes. La première demande le nombre d'arrêtes à n somènes numérotées, à laquelle Will répond n puissance n-2. Cette question ne demande pas 2 ans de travail puisque c'est un résultat connu depuis 1860 sous le nom de formule de Kelly. Cette question demande de dessiner tous les arbres irréductibles à n somènes. Rappelons qu'un arbre est un graphe sans boucle et qu'il est irréductible lorsqu'il n'y a jamais de somènes accordées à exactement 2 autres somènes. On peut prouver qu'il existe exactement 10 arbres répondant à ces critères et je peux vous assurer que j'ai mis moins de 2 ans pour tous les trouver. D'autant plus que Will ne dessine pas les 10 mais seulement 8, ce qui n'empêche pas l'assistant de Lambeau de valider la solution. Ça paraît exact ? Toutes ces scènes que je viens de décrire durant le 1er quart d'heure du film. Après ça, Will fait la rencontre de son psy et de son love interest et le film prend une autre tournure hors de l'université. On retrouve cependant un peu de combinatoires et théories des graves dans plusieurs scènes dans la suite du film. Déjà, on peut retrouver dans la chambre de Will la liste des arbres à 6 omets ou moins. Je vais pinayer en remarquant qu'il en manquait. Il y a aussi 7 scènes où Will et Lambeau collaborent pour la première fois sur un problème de coloration de graphe donnant une chorégraphie mémorable Nous sommes en présence du graphe appelé graphe soleil mais je préfère la dénomination graphe triforce. On cherche à savoir combien il existe de façon de colorer les sommets de ce graphe avec k couleur de façon à ce que 2 sommets liés ensemble n'est jamais la même couleur. Ce dénombrement n'est en fait pas très difficile à faire. On a le choix entre k couleur pour le sommet A ce qui n'en laisse plus que k-1 pour le sommet B et k-2 pour le sommet C. De même, il existe k-2 choix pour chacun des sommets D, E et F. K facteur de k-1 facteur de k-2 de puissance 4 façon de colorier le graphe triforce avec k couleur. Dans le film, ce résultat est obtenu d'une autre façon en utilisant un théorème liant la coloration d'un graphe et celui de ses sous-graphes. Je vais terminer en évoquant cette scène de travail, on ne peut voir des formules sur un table noir et quelques graphe est trop projeté. Ce que je peux raconter c'est que ces formules viennent d'un papier de John Moon qui a servi de référence à Patrick O'Donell le consultant mathématique mais il n'y a rien de plus intéressant à en dire. Il existe aussi une scène coupée où Lambeau donne un cours particulier à Will mais je vais me contenter de l'évoquer. Bref, après cette enquête, mon avis sur le film est donc plutôt mitigé. Beaucoup de mathématiciens et physiciens sont aux génériques pour rendre les mathématiques du film valides, ce qu'elles sont à quelques erreurs de signe près. Le souci, c'est plutôt le fausset qu'il existe entre ce que le film cherche à nous faire comprendre des personnages de Willemtyn et de Gérald de Lambeau et ce que les équations et les problèmes racontent réellement. Gérald de Lambeau doit être un brillant mathématicien inspirant auprès de ses étudiants mais il est finalement un prof qui donne des cours et des problèmes n'étant pas du tout en phase avec leur niveau. Willemtyn doit être un incroyable génie autodidacte en mathématiques mais c'est plutôt une bête de foire ayant appris par coeur beaucoup trop de livres. Le film ne manque pas de faire le parallèle entre Willemtyn et Ramanujan, un authentique génie des mathématiques dont j'ai parlé dans un précédent épisode. Les rapports entre Lambeau et Willemtyn sont d'ailleurs calqués sur les rapports entre Hardy et Ramanujan. La réalité, c'est que la passion de Ramanujan les chiffres l'a poussé à arrêter ses études pour occuper 100% son temps au mathématique et c'est ce travail qu'il a amené à développer ses incroyables intuitions et finalement son génie. Willemtyn lui a toujours été un génie dans tous les domaines et à part lire beaucoup, il n'a jamais vraiment travaillé pour développer ses intuitions. Désolé math d'Amon mais un génie des maths ce n'est pas tout à fait ça. Mais bon je te pardonne parce que c'est pas ta faute je sais non non tu ne sais pas c'est pas ta faute je sais c'est pas ta faute d'accord