 Alors, l'énergie est U t de l'Ère, une d'un d'un de l'Ère, et d'entre elles de l'Ère. Alors, on a la dichotomie suivante, 3 possibilités, première possibilité dont je rappelle quelque chose que j'avais annoncé au premier cours. Soit, les solutions explosent et la solution explose de façon classique, comme en sous-crétique, c'est la norme énergétique tendre vers la finie. Donc là, c'est une explosion non-rométrique, type A. Donc, l'explosion type A est en finie et que la norme H est énergétique tendre vers la finie. Soit, l'explosion est le type géométrique, on a l'explosion, il y a l'explosion dans l'espace-temps, en espace-temps, on norme L8, on t'en finit, la définition, la norme L8, 0°, et là, la plus infinie. Alors, ceci, comme l'exemple de Krieger-Schacht-Ateru, n'implique pas forcément que la norme H en fait explosion, et en fait, dans ce cas-là, on a aussi cette norme plus affinée, mais de plus, on a la chaussure suivante, on a la norme H, c'est borné, c'est beaucoup plus classique que ça, on a la décomposition en bulle, qui est un nombre film dit strictement positif, appartement à grande haine entière. Il existe un fonds à l'explosion V1, V2 dans l'espace énergie, à 35, 3 et 2, telle que la solution se comporte de T moins, je vais vous dire une grande parenthèse, une somme de bulle découplée, donc les signes peuvent changer, donc je vais mettre un signe Ij, mais ça c'est un signe, c'est plus ou moins un, l'endagie I puissance Avenue Wx sur l'endagie de T. Alors, je vais écrire ça sous forme vectorielle, et la norme d'option en l'espace d'énergie envers Z. La solution se comporte comme une fonction fixe, et il est bulle qui se concentre. Alors, j'ai oublié de dire que ça se concentrait, donc vous avez les normes d'endagie, qui a différentes vitesses, mais il n'y a pas de croisement, et négligeable de l'entraîner, donc essentiellement, par exemple, vous avez un V0V1, et vous avez un resquelier de W, une seule bulle, ça serait le cas typique, donc le cas typique c'est Ij, mais par contre Ij ne peut pas être égal à 0, sinon la solution tendrait fortement vers une nouvelle donnée initiale, et on pourrait prolonger la solution au-delà du temps. J'y est strictement plus typique dans ce cas. Alors voilà, ça c'est le deuxième cas. Je vais essentiellement me concentrer, donc les outils sont similaires. Le deuxième cas va être très proche du troisième cas, et je me concentrais sur le troisième cas. Je me considérais que le troisième cas, c'est le cas où la solution est définie pour tout temps. L'équation est réversive, donc je travaille que pour T positif, et les mêmes théoraises, je vais se démontrer pour T négatif. Essentiellement, l'un ou l'autre, sauf que je vais être changé de couleur si c'est possible. Donc j'ai la même écriture. Donc cette fois-ci, il existe I, appartenant à N, I peut être égal à 0. Que la solution U de T, la somme, j'ai quand même tantité, est remplacée, cette fois-ci, par la solution guinière. Je ne veux pas lui avoir noté S de T, si je l'ambule, la solution guinière. Ou alors, je vais juste garder mes notations par rapport à la solution guinière de la solution des ondes, et L vaut aussi qu'envers 0, et j'ai le configuration, l'angle d'A, J, l'angle d'A, J de T. Et cette fois-ci, les mandats ne peuvent pas aller vers la finie trop grand, essentiellement. Donc c'est la bande, cette fois-ci, c'est T. Voilà. Et ceci, c'est une solution guinière de l'équation. J'ai essayé de comprendre quelles sont les problèmes majeurs pour démontrer un tel résultat. Juste comme ça, c'est quoi la taille des croissances de la solution guinière en 3D? Alors en 3D, la décroissance dans L8, c'est ça ou... Non, dans L8. Ah, dans L8, attention. Bon, alors c'est radial, mais... Mais il y a un dap entre T et la décroissance de la solution guinière. Attention, T, c'est juste le support 1 de W. Je veux vous dire, c'est que des constantes. Si tu veux, c'est un sur T. Oui, mais... En norme anaphilie, si tu veux... La norme anaphilie. La norme anaphilie pour une solution guinière, c'est une constante. Voilà. Et si tu veux, mais... Concrètement, on peut pas parler... Alors pour l'expression radiale, d'accord. Donc... En dehors du support, on peut... pour expirer en côté. Mais tel quel... Je travaille que dans l'espace d'énergie. Je ne travaille jamais dans l'anaphilie, jamais. Même si ça peut m'aider de quelquefois pour certaines estimations, il y a de la bonne façon de voir le problème. D'accord ? Parce que j'ai vraiment... Je suis en train de souffrir énormément pour faire une théorie critique dans l'espace d'énergie. Et donc, je... C'est interdit. Je ne peux pas me le permettre. Donc en fait, vraiment... Donc voilà. Un peu le... Le problème sur lequel je veux me concentrer. Alors en fait, ce que je vais me concentrer peut-être ce cas-là est très proche de celui-là, mais... pas exactement pareil. Donc je vais me concentrer vraiment sur ce cas-là. Donc je vais considérer une solution globale. Et je vais essayer de comprendre et essayer de démontrer ça. Donc je me concentre tout sur ce parti-là. Alors, quels sont les... C'est essentiellement le cas quand il y a des interactions d'objets de différentes tailles. Je vais prendre un cas particulier. Prenez comme domicile une fonction normale pour... Maintenant, je veux comprendre les interactions. Je veux comprendre l'interaction de cette dynamique. Donc ça, c'est une première fonction. Avec une solution beaucoup plus concentrée. Alors, vous êtes civilement dans une échelle qui sera epsilon. Très petite. La théorie critique va pouvoir me dire que je pourrais suivre les interactions par des calculs explicites pour un temps essentiellement de l'ordre de epsilon. Et moi, je veux suivre les interactions pour tout temps, quelque sorte. Donc ça a l'air contradictoire. Relier les propriétés asymptotiques de la solution avec l'initial U1. Donc je veux relier les propriétés pour l'initial U1 et pour celle-ci. Alors après, donc c'est un peu mon traiteur parce que je vous ai dit que je veux faire comprendre des choses relier cette solution avec cette initiale avec celle-ci. Or, je peux facilement calculer les interactions juste pour des petits temps mais moi, je vais aller à plus infinie. Alors, le principe de base de toutes ces démonstrations et le suivant, c'est utiliser qu'on a l'équation des ondes. Alors, l'équation des ondes a une vitesse propagation finie. Donc si je fais un schéma. Alors maintenant, celle-ci, c'était juste le schéma de ma solution à T égale zéro. Maintenant, je prends r ou y si vous voulez, t. Donc cette bosse était en fait vraiment juste pour T égale zéro. Mais là, je vais faire notre schéma. Et si je prends quelque soit r0 positif, là. Alors, la solution qui a pour donner initial cette bulle concentrée plus ma solution U1 dans cette zone-là donc c'est pour r supérieur ou égale rT plus r0 va en fait dépendre que la donne initiale ici dépend de la solution de la donne initiale et que si r0 est strictement positif, très petit mais strictement positif, si epsilon est très petit mais demande zéro, la solution ici est pratiquement égalable. Et donc, je peux relier dans cette zone-là la solution qui part de cette bulle très concentrée plus U1 avec juste la solution qui a pour donner initial U1 rT et donc les deux solutions en fait seront très proches dans cette zone-là. Voilà. Donc, dès que je voudrais avoir une propriété je voudrais avoir des propriétés dans ce genre de com. Il est de mal pour tes negatifs mais en fait, je vais simplifier toute mon étude juste à l'extérieur d'un col. Je vais tous penser T positif parce que juste à la fin je vous expliquerai comment passer de T positif à T de la raison. Voilà. Alors, c'est pour ça que vous introduire une nouvelle notion de solution dont vous avez introduit une notion de solution compacte. Alors, comme est théorale si U2 est une solution de ce que c'était c'est pas pour tout. Dans le cas d'une solution qui est définie pour tout T positif c'est-à-dire qu'il existe un mandat de T dans le cas radial tel que l'ensemble K de l'endat de T U2TX sur l'endat de T est la même chose pour U2T avec U2TX sur l'endat de T c'est facile et donc c'est un pré-compact si vous prenez l'adhérence vous êtes un compact dans un chien et c'est un pacte donc tout simplement l'adhérence et le compact de T ceci pour tout T positif c'est-à-dire que je l'ai et je suis à plus simple Bon, un premier théorale qui avait été démontré qu'on avait démontré qui était si on a ça alors on doit être égal soit 0 soit un W si on est dans ce cas-là alors il devait être égal disons vous aviez rien dans l'équation près c'est-à-dire pas par scaling mais plus d'un W l'endat W l'endat c'est pas un égal cette fois-ci l'endat est plus plus positif ou alors plus égalisé dans le cas radial mais ça malheureusement cette notion n'est pas bonne c'est-à-dire quand on dit que c'est compact voilà ça veut dire que c'est une notion qui peut se voir pour T très grand mais dans cette zone-là si vous pensez dans ta constante c'est à peu près dans cette zone-là quand ce n'est pas une zone sur laquelle on peut comprendre les interactions des solutions et donc on avait besoin de traduire cette propriété par une propriété beaucoup plus forte et c'est pour ça qu'on est arrivé à démontrer la propriété suivante que je vais essayer de et c'est le but de mon cours d'aujourd'hui et je vais vous expliquer vraiment la démonstration de cette propriété pas les noms c'est précis mais je vais vous le donner le terrage que je vais démontrer je vais vraiment me trouver une caractérisation je promets une initiale qu'elle prend au zéro je suppose que je suis différent quelle que soit le signe et différent bien sûr du zéro zéro voilà donc on suppose ceci on connaît bien la solution c'est juste l'équation stationnaire la solution stationnaire alors je peux produire si il existe un zéro c'est plutôt plus pratique peut-être que je peux canaliser sur ma de l'initiale de l'énergie qui va être en plus affinée ici donc je vais trouver un canal d'énergie ici c'est tel que l'énergie ça part de l'R0 donc je vais vous expliquer il existe R0 un état strictement positif qui détient la solution qu'on crie alors R0 je vais tout simplement légèrement simplifier voilà et toujours supérieur un état strictement positif soit le soit fait positif ou soit quel le soit tenu on peut pas c'est une propérité un peu de convexité on peut pas dire que ça va se produire forcément pour T positif mais ça va se produire automatiquement soit pour T positif soit pour T négatif et donc géométriquement ça veut dire que si je suis pas une solution stationnaire ça veut dire des informations que je connaitrais en grand temps dans cette zone-là alors je peux produire un canal d'énergie un sens dans le temps soit T positif soit T négatif est l'énergie non nul ce qui sera toujours petit on sait travailler que pour les ventilles des énergies petites et un rayon qui on ne compte pas tout ça dépend de la zone initiale tel que je vais produire un canal d'énergie ici une très bonne propriété parce que en fait cette propriété c'est interpondante du fait pour ma donne initiale, un pic pour x inférieur à R0, et non j'ai une sorte de principe beaucoup plus fort qu'ici où je peux, souvent avec une donne initiale, suivant la queue d'une donne initiale, je peux produire explicitement un canal d'énergie qui envoie de l'énergie à la finite, ça portait le positif, ça portait et c'est ceci, c'est cette propriété qu'on va utiliser, c'est cette caractérisation, en fait, ces notions là ne vont pas être à d'ocs, je vais me concentrer à démontrer cette propriété, les parties intuitives dans cette démontration, les parties techniques, alors peut-être des parties techniques, je vous expliquerai avec des mains, et les parties intuitives, je vais vous les expliquer, c'est une démonstration d'avant qui est un peu surprenante, parce que vous voyez que en fait on arrive à trouver un canal d'énergie dès que la solution n'est pas une solution stationnaire, explicitement, et c'est une façon comme une autre de retrouver l'unicité des solutions de l'équation politique avec l'équation des ondes, voilà, donc vous introduirez quelques petites notions, alors ça c'est des notions que je ne vais peut-être pas parler tout de suite, la seule chose qu'on connaît bien c'est l'équation linéaire, alors la solution de l'équation non linéaire n'est pas égale à la solution de l'équation linéaire, c'est pas si facile que ça, mais par contre ce qu'on sait c'est qu'à l'infini, comme la doniciale est petite, elle sera très proche de la solution de l'équation linéaire, et donc il y a un petit espoir de démontrer ce théorème d'abord pour x grand, et ensuite il faut ramener ces informations qu'on a pour x grand pour x petit, voilà, donc c'est deux choses complètement différentes qu'il faut faire, alors la première étape c'est de démontrer ce résultat, non pas pour tout x, alors on suppose qu'on n'a pas de cadeau d'énergie et on veut démontrer qu'on est égal à ceci pour tout x, on va démontrer d'abord qu'on est égal à un de ces objets pour x grand, voilà, et donc c'est la première proposition que je vais vous écrire, démontrer une belle propriété, ce n'est pas démontrer vu des asymptotes, il faut démontrer des égalités, écrire la première proposition, soit une solution globale, c'est positif, alors la première chose qui est un peu plus proprié, j'ai fait une solution globale, c'est positif et négatif, donc on a déjà travaillé comme ça, et je suppose que je n'ai pas de cadeau d'énergie, je n'ai pas de cadeau d'énergie, c'est-à-dire quoi, c'est la limite quand t est plus grand que la puissance t, on peut démontrer qu'il existe, que la 2 initiales est exactement égale, disons, aussi une prée, mais r plus grand qu'un certain rg, pas forcément de la même, enfin, évidemment, en disant inviter à cette propagation finie, on peut démontrer cette propriété, il suffit de l'avoir pour un r, il y a un trou pour un rg, donc j'ai juste simplifié un peu cette propriété, voilà, ou alors, eu égager, j'ai démontré cette propriété, alors, il faut que ceci déjà soit vrai au niveau linéaire, donc prenons une solution de l'équation linéaire et vérifions que si on n'a pas de cadeau d'énergie, alors forcément la 2 initiales est égale 0, l'objet W n'existe pas au niveau linéaire, ça fait plus qu'une remarque, mais c'est essentiel, c'est pour ça que la dimension est plus simple pour les autres dimensions, c'est qu'on peut travailler avec une transformation de la solution qui vérifie aussi une épopulation des ordres dans dimension pointe, alors je prends r positif, r nu 1, donc l'épopulation des ondes en dimension 3, donc c'est u r r, le plat s'est écrit comme 2 sur r, u r, u 5, voilà, et maintenant je considère v égale r nu, regardez que vérifie cette épopulation là, que vérifie l'un de cette épopulation là, et donc ce que je vais faire, je multiplie cette épopulation par r, ce que je peux obtenir c'est que la dimension est seulement par rapport à t de v égale r nu r plus, alors les 2, donc je vais développer déjà, donc ça sert à 2, u 5, ah mais excusez-moi, je vais pas travailler avec u 5 tout de suite, bon alors je vais garder u 5, mais pensez au cas linéaire et maintenant je vais calculer v r r, qu'est ce que c'est, alors v r d'abord c'est r u r plus u et v r r, ça sera r u r r, ensuite quand je dérive ce si, ou je dérive ce si, j'occupe 1, 2, voilà, donc cette transformation simplifie l'étude en dimension 3, et dis-on que ce que je tiens c'est v r r, plus éventuellement dans le cas r u 5, non linéaire ce si, alors maintenant je dois vérifier, vérifier cette équation pour l'équation des autres dans dimension 1, je dois vérifier cette propriété, en fait je suis en train de vous montrer comment on a eu l'idée d'introduire ces notions là, alors si il faut savoir, pour l'équation des propriétés que je vous explique, peuvent être démontrées dans le cas, dans un certain cadre non radial, un peu de travail, donc c'est là que je vous explique le pourquoi des choses, dans le cadre le plus simple possible, donc ce que j'ai comme équation c'est v t t il y a le v r r, c'est pour l'équation linéaire, alors je essaye de comprendre, il y a un premier problème c'est que l'énergie de v, alors l'équation des ondes en dimension 1 se comporte bien par rapport à la norme énergétique de v, donc la bonne quantité à regarder en dimension 1 c'est v r plus v t, alors pour r plus grand que r0, alors qu'est ce que c'est ceci, on marquait que ceci ce n'est pas exactement l'énergie de v, c'est pour ça qu'on va pouvoir faire notre démonstration donc l'énergie de v dans des pour x plus grand que r0 plus t c'est quoi, c'est ordonné sphérique, donc comme je suis radial c'est ur plus ut, le poids c'est r2 d r, donc je veux travailler avec ces quantités là, alors je vais faire intervenir ma fonction d, donc je suis pour r plus grand que r0 plus t et j'ai r ur plus t, alors regardez v c'est égal à cette quantité là, donc ceci je l'écris donc je développe c'est r2 d r, donc ça ça se ressemble beaucoup et ensuite un terme, alors excusez-moi, donc je l'élive r y et le terme 3e, 2 r, maintenant le terme je suppose que tous les fonctions, plus v t, donc plus r ut, maintenant j'intergne par parti cette quantité là, alors l'intégration par parti va faire exactement disparaître le terme u2, ceci c'est r u2, parti, le terme u2 va disparaître et il va juste rester le terme de bord, donc à la finie je n'en ai pas mais en r0 juste et j'en ai et donc ma quantité est égal à l'intégrale de r, la quantité que j'avais là, r2 ut plus ut et le terme de bord alors il arrive, je me trompe toujours dans le signe, donc quand j'intègre c'est le dérive et donc ça arrive avec un terme plus, plus je ne le vérifie si je ne me trompe pas, donc le signe interne je vais l'avoir en r0 plus v, et ceci est signé, c'est un terme qui est ainsi, donc cette quantité là est essentiellement égal à l'énergie en dehors du conne à bord près, qui est signé, alors maintenant je vais revenir à l'équation dimension 1 sur v, ce que je veux démontrer c'est que si v est non nul je peux toujours trouver un canal d'énergie pour l'équation dimension 1 sur v, alors pour l'équation dimension 1, vt est égal à vr, alors c'est tous que les solutions de l'équation des ondes dans dimension 1, c'est vt de x de r est égal à f de t moins r, c'est pareil, plus g de r plus t, prenez là, les dérivés en r et les dérivés en t, l'une va être égale à la somme, la somme des dérivés partielles et l'autre à la différence, et quand vous allez développer l'énergie écarée, vous allez obtenir 1, 2, 3, plus g, 4, et cette quantité là va disparaître quand vous verrez, j'ai effacé tous les connes donc quand vous allez dans cette direction, cette quantité là va disparaître, elle est dans cette direction, cette quantité là va disparaître, et donc si on n'avait pas de production de channel, les g sont égaux à 0, comme c'est d'accord, 0, et c'est pas possible, donc c'est en fait, donc pour l'équation dimension 1, les cannes de l'énergie sont complètement naturelles, alors maintenant c'est pas exactement la même équation, mais on va essayer de s'y ramener, et en fait, la procédure pour s'y ramener va nous introduire les outils pour démontrer mon théoreur, introduire, vous expliquez, alors maintenant je vais introduire un premier laine important qui est relié au fait qu'une est vée à conséquence, mais c'est un laine technique essentielle, voilà si on produit pas de canneau, on va démontrer cette proposition, tout ceci est énergétique de la solution petite, parce que c'est travaillé que pour les solutions petites, donc je suppose que ceci l'énergie de ma bonne initiale, à partir de r0 et petite, un certain delta0, alors dès que delta0 est assez petit, je peux faire une estimation qui est la chose suivante, si j'ai une solution qui ne produit pas de clés d'énergie, plus plus de thé, je vais appeler cette profiléité, je vais vous montrer que des choses sont la donnée initiale, parce que je veux avoir des informations sur la donnée initiale, alors j'ai une estimation sur l'énergie, en particulier pour toutes aires plus grand que r0, ceci est vrai dès que c'est delta0 et petite, delta0 à l'intérieur, c'est une universelle qui dépend que de la dimension, la constante universelle de r0, puissance 10 sur r0, puissance 5, alors une autre façon d'écrire les choses, c'est de démontrer la chose suivante, ça implique aussi que petit petit 2i, qui est un corollaire de cette estimation là, quel que soit r', comprise entre r et 2r, j'ai démontré que ma donnée initiale ne signe pas, et je vais préciser mes 0s r', est inférieur à une poste dans les 0s de la borne, donc je vais prendre r', je vais prendre la borne, donc en particulier vous voyez si delta0 est petit, la jonction déjà est un peu plus annulée pour cette première estimation, alors il faut juste, je vais juste vous rappeler, il faut penser très petit, on va fixer donc c'est 0, on n'a pas de contrôle mais le delta0 est de contrôle, donc on va penser ceci égale à inférieur à une 10e, donc en particulier, quand c'est inféré à une 10e, on ne peut plus s'annuler, sauf si on s'annulait à la fonction serait essentiellement identiquement nul, c'est de vous faire, alors déjà c'est une propriété qui est très forte parce que juste, qu'est-ce qu'on a comme estimation sur b0, alors on sait que le 0 est dans r', donc si la seule estimation que j'ai sur u0 et b0, c'est la cause suivante, donc je vais passer ici, je vais passer ma, si u0 appartient à chaque fois, u0 appartient à une constante qui dépend du gradient, la norme du gradient sur r' qui s'en scole de l'hu, et donc si on ramène ça à b0, la v0 de r qui est inférieure à c, r puissance de la vie, donc en fait b0 n'est actuellement pas une fonction qui est bornée, alors notre but c'est de ne pas être créé que b0 d'abord est bornée, et pour ceci on va utiliser des estimations de ce type, donc qui sont déjà très très fortes, vous voyez que si vous avez vu cette destination là, vous pouvez parler de ce genre de choses, voilà, alors la première chose que je vais dire, c'est très simple, c'est que en fait ceci implique ceci, donc allons-y, c'est pas très compliqué, donc premièrement on va montrer ceci, petit type implique 2y, j'avance un peu lentement, mais en fait j'ai besoin de vous introduire un peu les idées derrière parce que sinon vous allez voir que les démonstrations tombent du chapeau un peu partout, alors juste une remarque, comment on fait ça, alors j'ai une estimation sur la norme à un point de v, donc j'ai v dont j'utilise pas ceci, j'enlève, je vais utiliser que ceci, donc j'utilise tout simplement une v de r, v de r prime, ça intégrate de r à r prime, v0 et s, voilà, maintenant je fais Cauchy-Schwart, comme je r et r prime sont compris, r prime est compris entre r et 2 r, donc cette intervalle est majorée par la taille r, donc en Cauchy-Schwart je vais ma joie par racine de r et le Cauchy-Schwart m'introduit cette quantité là, là entre r et r et 2 et qui est à l'intervalle inclui dans r0 plus en plus, donc je peux utiliser cette estimation là, mais je vais l'utiliser en r, non, pas en r0 mais en r, je vais dire que ceci marche dès que j'ai cette information là, donc ceci est toujours vrai, quel que soit r plus en rc, voilà, et donc ce que je obtiens, donc j'ai la racine, donc j'ai v0 puissance r, donc puissance 5, donc j'ai racine de ça, j'ai une constante racine de c0, si vous voulez, racine de c0, et là avec la puissance 5, donc c'est à r puissance 5,5, donc j'ai pris la racine, j'utilise Cauchy-Schwart, racine de ceci en r, et je n'aurai pas la même quantité avec 2,0 de r, et r puissance 5, donc quand je prends la racine de tout ça, je tiens ceci, alors les puissance 5,5 disparaissent et qu'est ce que j'obtiens, j'ai 1 sur r2, racine de c0, v0 de r puissance 5, alors je vais écrire l'estimation, je dois relier, alors cette estimation est très large, mais en fait elle est très brune, mais je vais faire ma première estimation là-dessus, donc moi ce que je sais, c'est que v0 est inférieur à cette quantité là, et cette quantité là, comme c'était la norme à champ, et que c'est inférieur à delta0, donc r grand de r0, et en fait ceci, je ne veux bien en termes mais pas trop trop, donc je vais utiliser, alors d'ailleurs, voilà, je vais utiliser, je ne sais plus où que j'avais écrit ça, donc première estimation, j'ai oublié d'y écrire parce que je vais l'utiliser après, donc c'est racine de c0, v0 puissance r puissance 5 sur r2, voilà, alors maintenant, je vais récupérer celle-ci, alors ce que je vais faire, je vais utiliser racine de c0, r puissance 1,5, v0 puissance r puissance 4, donc là j'en ai r au carré, c'est r puissance 4 puissance 1,5, voilà, et je garde un v0, alors maintenant j'utilise cette estimation là qui est grossière, qui va me donner une première estimation, donc c'est racine de c0, alors là j'avais pris la main au carré et donc puissance 5, donc je obtiendrai la carré, v0 de r, cette estimation est bien meilleure et c'est simple, je vais utiliser pour gagner une croix après, mais pour commencer, j'ai besoin d'avoir cette estimation qui me dit déjà que v0 n'est pas une fonction qui est aussi pour delta 0 petit, voilà, donc voilà pour le petit t, pour le 2e, je vais vraiment utiliser la propriété de non dispersion et on va le faire après la pose, voilà, la repose de salut. Donc maintenant, vous pensez toujours qu'on travaille pour delta 0 petit, car c'est un peu le but de tout ça, c'est de commencer la méthode, c'est-à-dire avec une norme pour r plus grand que r0, énergétique de la doniciale inférieure à delta 0 et on va essayer de démontrer vraiment qu'on est exactement égale à une fonction W ou alors 0. Alors il faut utiliser ce que je vous ai dit, c'est que, alors, peut-être là, maintenant ça va être assez court mais c'est assez difficile comment obtenir ces choses-là, donc j'en étais là, donc je vais effacer ça. Donc la première chose, c'est la théorie de petite data, alors petite data des petites doniciales. Alors malheureusement, nous on a des grandes doniciales mais comme je vous ai dit à l'infini, donc j'ai u0 de r, r plus grand, là c'est r0 et j'ai u1, j'oublie u1 parce que c'est pas une doniciale qui pose problème. Alors je vais me ramener à quelque chose d'une doniciale petite, donc je vais oublier le u0 de ce côté là, donc c'est une chose comme ça, et j'ai en prendre une doniciale telle que u égale u0 de r0, ici jusqu'en 0. Alors, la bonne nouvelle que si vous prenez la norme à chambre point de cette, la norme énergétique de cette donnée initiale, et vous coupez à 0 pour u1, vous le ramenez à 0, mais par contre vous ne pouvez pas ramener à 0 u0, ça ça marche pas, ce n'est pas une bonne façon. Alors la norme énergétique de cette solution c'est exactement intégrale pour r, r0 de u0, donc la norme énergétique pour cette donnée initiale sur tout l'espace est exactement ceci. Donc si ceci est petit, je peux appliquer mes terrennes de petite donnée initiale sur mon équation non lière. Alors vous allez me dire mais c'est pas la même équation. Alors maintenant j'utilise la vitesse propagation finie. Pour cette nouvelle donnée initiale, je construis une solution, alors c'est ma nouvelle donnée initiale, c'est utile de 0, qui est égale, donc il y a eu 0 de r pour r plus grand, les utiles de 1 égale u1 de r pour r plus grand que r0, et 0 sinon là. Alors mes deux solutions, donc sa solution est définie pour surtout l'espace et l'espace-temps, c'est une petite donnée initiale globale et s4, et en plus j'ai la propriété suivante, c'est que les deux que u0, u2t et de r va être égale à utile de t et de r pour r plus grand que r0 plus t, c'est la vitesse propagation finie. Et ça tombe bien, c'est exactement dans la zone sur laquelle je veux faire des estimations. Donc c'est voilà la première façon de se ramener à petite donnée, et donc si j'applique mes théorèmes de classique comme 2.fx dans L8, je vais obtenir la chose suivante, L8 s'fastant, avec les normes de stricards, j'obtiens utile de la norme globale de utile de t, moins, alors c'est un peu compliqué, la norme, la solution linéaire qui apporte de nouvelles données initiales, non seulement je regarde la solution non linéaire par rapport à ceci, mais je regarde aussi la solution linéaire qui apporte ceci pour donner initial. Bon, je le droit, donc tout ça c'est des petites solutions et donc la norme énergétique pour tout temps est majorée par la norme, comme je fais un théorème de 2.fx par petit, donc essentiellement c'est égal à ma solution linéaire, et je peux dire la différence, comme j'ai un terme u5, la différence pour delta0 petit bien sûr, alors je vais écrire tout simplement les données initiales, excusez-moi, donc c'est H en croix L2, oui c'est H en croix L2, u105, donc la norme, si vous voulez, donc je vais l'écrire d'une façon plus synthétique, donc c'est dru0 carré, u1 carré, r2dr pour r plus grand que r0, alors maintenant donc c'est puissant 5, donc là je passe à 5, voilà, donc voilà ce que me dit la théorie des petites données initiales appliquées à cette nouvelle donnée initiale, r0, ok, maintenant j'ai quelque chose de très bien ici, j'ai une solution linéaire, donc je vais appliquer mes channels d'énergie pour l'équation linéaire, alors qu'est-ce que je... alors je continue mon calcul, d'ailleurs je fais la transformation que je viens d'effacer juste ici, et entre u et v, et ce que je obtient, le calcul, parce que les constantes sont... le signe des constantes est très important, donc ça donne intégrale de r0 à plus infinie, donc d sur dr de v0, v0 étant égal à r u0 carré, v1 carré, dr plus r, alors je le garde en u0, ça sera peut-être, enfin on pourrait écrire de r0, le terme de bord, dans l'intégration par partie, pour les relations entre les normes entre ces deux quantités-là, quand j'intégrer par partie le terme rur, qui est annulé exactement le terme u2 dans l'intégration par partie, à un terme de bord près, qui intervient avec ce signe-là, le signe est plus, là. Alors maintenant j'ai donc, j'ai ça, j'ai toujours 5,5, voilà. Donc j'ai une bonne quantité là, maintenant je regarde cette partie-là. Donc il y a quelque chose de très rassurant dans cette quantité-là, c'est que j'ai la norme énergétique d'une solution linéaire et ceci est vrai pour tout temps, bien sûr, quelle que soit-elle. Alors je ne vais pas l'utiliser de partout en x, enfin, quelque soit-elle, à partenariat. Je vais juste l'utiliser là où je sais que mes solutions sont égales. Donc j'écris ponctuellement pour, alors je vais peut-être mettre au carré, ça sera plus simple. Je l'utilise uniquement ici. Et donc en particulier dans cette zone-là, je peux remplacer utile de paru. Alors peut-être je vais aller plus doucement. Alors aussi pour l'équation linéaire, ce que je vais démontrer pour la vitesse propagation finie pour l'équation non linéaire, aussi vrai pour l'équation bien sûr linéaire. Ça se démonte comme ça. On démonte vitesse propagation finie pour l'équation linéaire et on passe à l'équation non linéaire. Et donc je peux passer aussi, j'ai une commutation que dans cette zone-là, l'équation linéaire de utile est aussi égale à la solution linéaire de l'équation en U. Bon ça c'est, voilà. Et donc ce que je obtiens, donc j'ai la solution linéaire. Alors commençons par les choses simples. Je vais, pour l'instant, je vais tout de suite développer. Donc j'utilise ceci que dans cette quantité-là, utile est égale à U, je vais mettre linéaire, D sur Dt, donc la norme énergétique au carré, D sur Dt, D sur Dr, l'équation linéaire, R2DR. Donc, comme j'avais une estimation sur la différence, je peux utiliser que la solution linéaire est majorée par la différence plus. Je dis que c'est tout simplement U minus UL au carré, à une constante près, donc j'ai peut-être des deux qui apparaissent là, plus l'estimation D sur Dr2, carré, ainsi de suite, avec Ut. Maintenant, sur cette différence, c'est égal, dont je peux utiliser cette estimation et je obtiens ceci. Et donc ce que je obtiens, disons à une constante près, bon, 2 ou 4, je obtiens que l'estimation sur la solution linéaire était émajorée par l'intégrale de R à R0 plus T de cette quantité-là, dont la solution non linéaire, vous avez compris, j'estime de ce côté-là, sur le channel, la solution linéaire. Donc, en général, c'est le contraire qu'on fait. On estime la solution non linéaire par la solution linéaire, mais moi, j'inverse. Donc, j'estime la solution linéaire par la différence de la solution linéaire par rapport à la solution non linéaire plus la solution non linéaire. Donc, a priori, c'est ce genre d'estimation, on dit que ça ne sert vraiment à rien, parce que vu que ça, on ne connaît pas, ça ne va pas donner d'informations. Mais en fait, ce n'est pas vrai, car moi, je parle d'une information non linéaire, la propriété P, et une information non linéaire. D'accord ? Donc, je... Donc, en général, ce genre d'estimation est cadue d'entrée de jeu, parce que si vous voulez, on ne fait pas ce principe-là, on fait l'inverse. Mais dans ce cas-là, mon but, c'est de partir de non pas d'estimation linéaire, mais d'estimation non linéaire, et en déduire, je pars d'une estimation non linéaire, j'en déduis une estimation linéaire qui me donne cette estimation ponctuelle que je cherche. Donc voilà, R2 BR, et plus une constante... Bon, une autre constante que je ne vais pas préciser. R, donc la quantité là que j'avais là, puissance... Alors, comme j'ai mis au carré, tout ça, donc ça va faire puissance 5. Et donc le tout est puissance 5. Voilà. Alors, maintenant, je vais utiliser pour l'équation linéaire la propriété que je vous ai démontré précédemment. Donc, j'ai utilisé la propriété de Chanel que j'ai démontrée sur V, l'équation de V linéaire. Rappelez-vous VL, TT, il y a le VL, RR. Et donc j'avais une estimation... Je savais produire un Chanel d'énergie qui prenait au moins un demi de la taille de l'énergie soit pour T positive, soit pour T négatif. Donc je vais dire tout de suite je vais partir de cette information là. Donc, ceci, maintenant, sa majeure, je vais perdre à nouveau. Je utilise ce même calcul qui relie l'énergie maintenant sur l'inéaire, sur ça. Mais c'est du bon... Donc, ceci est égal à ceci. Donc, comme j'ai une estimation sur ceci, j'oublie ce terme-là en R0 plus T et j'obtiens une... Parce que je vais utiliser cette estimation pour T grand. Donc ça n'a pas d'importance. Ce terme-là va être petit. Et donc je perds pas trop. Et donc ce que j'obtiens, c'est la solution linéaire de V en T plus R, carré, plus la solution T linéaire en T plus R. Donc là, c'est le bon côté. J'utilise à nouveau l'estimation sur... sur l'équation linéaire. Donc j'ai un VL. Attention, ce n'est pas... c'est le V de l'équation linéaire. Et donc, quand je relis ça non plus en R0 mais en R0 plus T comme ce terme arrive avec un signe positif, je m'avore toujours cette quantité-là. Donc ceci est bien supérieur et bien inférieur à tout ça. Alors vous voyez, pour l'instant, je n'ai pas gagné parce que cette quantité-là ceci, quand T est envers plus infinie, va tendre vers 0. Mais ceci, c'est pas relié à ça. Mais maintenant, je vais utiliser le calcul que j'ai fait précédemment pour le channel d'énergie pour l'équation 1D. Qu'est-ce que j'ai dit ? J'avais F, G et je pouvais toujours trouver un channel d'énergie soit en F, soit en G qui prenait au moins la moitié d'énergie. La moitié, parce qu'en fait les calculs sont explicites. Alors c'est juste une suite de manipulations simples. C'est juste l'ensemble qui est un peu un peu compliqué. Alors, donc ce que j'obtiens par les channel d'énergie de l'équation linéaire, je peux trouver soit pour T positif ou T négatif, mais pas les deux. Donc là, je vais prendre le T positif. Je vais dire que ceci est toujours supérieur à 1,5, enfin la constante était vraiment explicite, fois la norme, cette quantité-là. Donc Vr de V0 plus V1T dR pour R supérieur à R0. Voilà. Et donc, j'ai à nouveau tout cette quantité-là que je vais appeler 1. Alors vous pensez ça, petit, donc ceci apparaît à la puissance 5. Donc une autre façon de travailler, ça va être d'écrire à une constante près la norme de R plus grand. Alors, vous voyez, ceci ne dépend plus de T. C'est là où j'ai utilisé le channel d'énergie pour l'équation linéaire en V. Là, j'ai une information qui dépend de T. D U sur D R, plus D T D U de T R de D T et plus... Alors, comme ceci est petit, je l'ai fait disparaître essentiellement dans ce terme-là. Et ce que j'obtiens, c'est juste U0 puissance 10 R0 R0 puissance 5. Alors aussi, une autre façon d'écrire, c'est V0 puissance 10 sur R0 puissance 5. Ce qui... ce qui rend naturel cette estimation. Non. Voilà. Donc, voilà pour ces puissances apparaissent. Alors, maintenant, je vais utiliser quand T est en verre l'infini. Alors, j'ai ceci soit pour quel que soit T positif ou quel que soit T négatif. Mais en tout cas, pour un des cas. Ce que je sais, c'est que cette quantité-là par hypothèse pour l'instant, j'ai toujours pas utilisé... J'ai fait que des estimations sur des petites données. Je n'ai jamais utilisé mon hypothèse, nulle part. Donc, il faudrait bien que je l'utilise, mais c'est la dernière ligne. J'utilise que ceci en verre... quand T est en verre l'infini, en verre 0. Bon, donc ceci est en verre 0. Et donc, ce que je récupère c'est une constante prée. C'est exactement cette estimation-là. Vous pouvez juste voir que tu vas remplacer u0. Emplacer v0 par r0 u0 en r0 vous obtenez le résultat désiré. Donc, voilà. L'estimation sur lequel qui est essentielle c'est le principe de la démonstration. Maintenant, je vais utiliser assez rapidement cette estimation-là pour voir tout de suite que ça donne beaucoup de propriétés sur v. Voilà. Bon, mais c'était la partie dynamique, si vous voulez. Donc, c'est un peu l'inverse que ce qu'on fait d'habitude. On part d'informations non linéaires, on essaie de se ramener de... Ça implique des informations sur l'équation linéaire qu'on contrôle complètement et ça nous permet de donner des informations sur la donnée initiale. Et voilà. Donc, voilà ce qu'on obtient. Alors, c'est tellement rigide ce genre de méthode qu'on va pouvoir démontrer vraiment cette égalité. Alors, tel quel, ça va donner juste la première estimation au premier ordre. Ensuite, il faudra changer un peu l'équation sur lequel on travaille pour démontrer le résultat final. Alors, je vais vous donner rapidement comment passer de ceci. Alors, j'ai un peu détaillé parce que je sais que c'est un peu compliqué cette estimation-là, mais non, je vais aller un peu plus vite. Alors, en fait, je vais toujours raisonner, je vais démontrer des propriétés pour tout air, mais en fait, il suffira essentiellement de cette estimation-là de démontrer des propriétés pour de puissance saine, si vous voulez. Voilà. Donc, c'est juste de la petite combinatoire. Donc, la première chose qu'on peut démontrer c'est qu'il existe L éventuellement 0, mais fini appartenant R tel que V0 de R moins L et inférieur à C sur R2. Allons-y. Donc, on va juste utiliser ce type de propriété. En fait, très exactement celle-ci. Alors, on va d'abord améliorer la croissance, l'estimation de croissance à la finie de V0. On sait, vous avez dit que V0, tout ce qu'on sait pour l'instant c'est que V0 de R est inférieur à une constante puissance 1,5 de R. Donc, si je travaille pour des puissances 2 puissances N V0 de 2 puissances N et à faire rire, une constante de 2 puissances N sur 2. Alors, maintenant appliquons cette estimation-là pour quelque chose de très petit. Alors, comme delta 0 je peux le choisir aussi plus que je veux parce que c'est juste l'estimation que j'avais sur la queue de la donne initiale. Alors, je peux prendre cette constante été universelle je prends tout de suite 1 plus racine de C0 delta 0 carré, je le majeure je peux le majeurer par je ne sais pas, un dixième par exemple. Donc, c'est très proche, c'est majeuré par quelque chose de très proche de 1. Alors, ce que j'obtiens par cette estimation, l'appliquant à 2 extrêmes, donc vous voyez que si r égale 2 puissances N, ça va, l'estimation va jusqu'à r égale 2 puissances N plus 1 j'ai v0 de 2 puissances N plus 1 alors je vais juste le majeurer parce que je cherche juste à faire des estimations donc tout ça, c'est pour n grand pour être supérieur à r0 c'est inférieur à 1 plus C0 delta 0 v0 puissances N voilà et donc je obtiens à une petite constant v0 de puissances N je le majeure à part 1 plus C0 delta 0 puissances N une constante à constante C1 et donc vous voyez, là j'ai 2 là j'ai un nombre proche proche de 1 et donc je peux démontrer pour les 2 puissances N et ensuite en utilisant cette estimation sur les intérieurs des intervalles dix à dix que v0 donc je ne peux pas casser la croissance polynomial tout de suite donc je obtiens que v0 un dixième par exemple voilà donc je peux trouver si je rends ce nombre aussi petit je trouvais des noms de plus en plus petits mais je j'aurais toujours une petite croissance polynomial par cette méthode très bien donc maintenant je reviens alors là vous voyez j'ai utilisé cette estimation là et là je suis mort je ne peux plus rien faire avec cette estimation il faut que je revienne avec cette estimation là parce que j'avais énormément perdu en utilisant l'estimation sur v4 j'utilisais juste que c'était inférieur que v était inférieur r puissance un demi et là j'ai bien mieux donc si j'utilise je reviens sur cette estimation là je vais gagner très très vite et en effet ça marche parfaitement ce que j'obtiens donc j'obtiens que v0 de 2 puissances N plus 1 moins v0 de 2 puissances N voilà donc là j'ai 2 puissances au carré donc c'est 4 puissances N si vous voulez 4 puissances N et là j'ai une petite croissance polynomial que j'ai écrite là et donc ça va être 1, 2 alors ça va être 5 je vois 5-10 pour le carré avec un N 2 puissances alors N je vais le mettre ici donc c'est 2 puissances un demi c'est inférieur 2 puissances un demi c'est inférieur à 4 il n'y a pas de problème même ça on peut m'ajouer ça par 2 et donc j'ai toujours une décroissance 2 puissances N 2 puissances N converge L quand N tend vers plus infinie alors maintenant si ça converge vers L on utilise un nouveau mon estimation ici il n'y a pas d'oscillation et donc on va bien converger vers L non pas celle-ci elle n'est pas bonne il vaut mieux utiliser celle-ci qui tend vers 0 voilà et donc j'en déduis que v2R converge vers L non c'est bien meilleur je suis parti d'une croissance R puissance N maintenant j'ai levé et galère donc j'ai énormément amélioré c'est le principe absolu on a des solutions non dispersives qui n'ont pas de channel d'énergie alors on doit faire des gains de décroissance sur la donne initiale donc ce que vous voyez c'est un principe absolu dans toutes les démonstrations de l'équation sauf que là c'est beaucoup plus simple vous le voyez concrètement c'est que pas de dispersion égal de gain de décroissance sur la donne initiale et il gagne aussi de régularité sur la donne initiale on ne va pas regarder ça là-dedans on va trouver exactement à quoi est égal la donne initiale mais là c'est essentiel c'est des principes fondamentaux la non dispersion il y a fortes décroissances alors maintenant j'ai v0 temps vers elle peut être égal à 0 ou elle, différentes 0 voilà alors l'étape suivante c'est de démontrer que si elle égale 0 bah v0 égale 0 cette propriété de décroissance est tellement forte que si maintenant je vais que v0 temps vers une limite elle tend vers cette limite égale 0 cette estimation aussi simple qu'elle est pas celle-ci celle-ci hein estimation non linéaire qui a toute la alors v est exactement égale à 0 donc on y va on y va on y va allons-y alors c'est des petites astuces je vais aller ici elle égale 0 ça implique que v0 du moins pour r plus grand que r0 est exactement égale à 0 quel que soit r plus grand que r0 identique bon alors je démontrons le juste pour r0 supposons que r0 égale de puissance n0 et démontrons le pour ceci alors l'estimation je vais utiliser cette estimation là de façon très très grossière premièrement je vais juste utiliser que v en utilisant pour delta 0 petit pour cette lentité là inférieure à 1 quart par exemple de puissance n ou un v0 de puissance n si c'est inférieure un quart j'ai un quart de v0 de puissance n voilà donc v0 si ça décroit vers 0 à l'infini il n'y a qu'une estimation comme ça qui peut me donner le résultat ça ne peut pas décroître trop trop vite et donc si j'y taire alors je suppose prenons n0 égale juste 0 ça sera plus simple j'ai v0 de puissance n qui puissance n bon v0 de r0 tout ça ça sera des constantes près donc il y aura une constante qui dépendra de r0 et ceci est vrai pour n grand alors maintenant je vais revenir à mon estimation que j'avais ici donc je fais tendre r' vers alors oui parce que j'avais une estimation donc j'avais une estimation sur v de puissance n moins v de puissance n et j'avais des suits de Cauchy et donc je pouvais estimer en sommation brutale de la suite de Cauchy de puissance n moins v qui est égale à 0 dans ce cas-là par la somme de la suite de Cauchy et donc essentiellement quand on intègre des suits géométriques je trouvais de puissance n on retrouve le même nombre et donc j'ai par ailleurs une autre estimation dans l'estimation que j'avais de puissance n voilà donc je sommais à puissance infinie je obtenais aussi que v0 dans le cas où L égale 0 v0 de puissance n est majoré par une constante de puissance bon si vous voyez 4 puissance n ça c'est une constante universel c'est un bon alors c'est une majoration mais vous voyez que la décroissance de ce que j'ai là est beaucoup plus forte que celle qui est autorisée donc si je tendais vers 0 alors en quelque sorte ici ça voulait dire que la comme c'est assez rigide et ça empêche les oscillations la décroissance doit être très faible en vers 0, or ici par les sommations brutales depuis infinie je démonte que la décroissance doit être assez forte si vous voyez ça là dedans vous trouvez tout de suite que v0 de r0 doit être égale à 0 pour n grand je vais pas trop vite là c'est bon et donc si je plug ça pour n grand je obtient 1 sur 4 puissance n 3 sur n moins n n est grand n vers plus infinie donc c'est ce terme là qui remporte et donc ça ça tend vers 0 quand n tend vers plus infinie et donc bien ce que j'obtiens c'est bien ceci qui est identiquement égale à 0 donc voilà c'est le principe de la démonstration mais maintenant on voit pas du tout doubler intervenir là dedans donc c'est un peu je vous ai montré le principe de base alors maintenant je vais faire la démonstration avec W ça c'est le cas L différent de 0 alors on y va c'est le même principe mais pas sur la même équation alors c'est parti et je n'aurais pas pu terminer non malheureusement je voulais faire l'autre partie c'est étendre la chose bombée là c'est vrai que je peut-être je démonsterai aujourd'hui que cette propriété là j'ai peut-être passé trop de temps sur les principes généraux mais c'est pas grave l'important c'est de comprendre les principes donc je suis dans le cas où maintenant j'ai cette quantité là elle est différente 0 et c'est inférieur à C sur R2 quand j'intègre la suite de Cauchy celle-ci que j'avais développé donc j'ai cette propriété là à quelques soirs plus grand que R0 et maintenant je veux en déduire que U0 égale exactement W alors pour l'instant j'ai juste un premier développement alors il faut tout juste remarquer W c'est égal à quoi W2R ben c'est le même développement heureusement parce que c'est un plus R2 sur 3 puissance un demi et donc quand je développe en lambda ben lambda ne disparaît pas donc son comportement à l'infini pour lambda fixé c'est quelque chose qui est relié donc si vous voulez R cette quantité là c'était exactement C sur R3 voilà et L dans ce cas-là était égal alors je regarde les formules si vous développez ou faites les calculs vous avez une relation entre lambda et L donc vous pouvez trouver un W tel que vous aurez le même L bon alors mon but est de démontrer maintenant que U0 va être égal à ce W là alors la seule façon que j'ai de faire c'est de travailler sur l'équation des différences alors tout ce que j'ai fait autour de 0 maintenant je vais devoir le faire autour de W quand je regardais l'équation linéaire autour de 0 donc c'était juste l'équation linéaire maintenant je vais devoir remplacer ça par l'équation linéarisée autour de W alors c'est tout un travail à priori tout de suite on va dire ça marche pas du tout ça marche pas du tout parce que les propriétés, l'équation linéarisée autour de W n'ont aucun rapport avec l'équation linéarisée car c'est une équation dégénérée etc mais moi je m'intéresse que au comportement loin de 0 asymptotique et c'est pour ça que je vais m'en sortir sinon l'équation linéarisée autour de W et l'équation linéarisée ont peu de rapport sinon aucun mais comme je m'intéresse que à des comportements asymptotiques dans les cônes je vais pouvoir relier ces objets donc j'introduis H égale U moins ce W lambda 0 qui vérifie avec mon L0 avec le même et j'introduis les mêmes quantités grande H égale RH que vérifie l'équation l'équation de H ne vérifie plus l'équation standard mais elle vérifie une autre équation qui est exactement l'équation linéarisée autour de W il y a un lème technique je vais je vais un peu le vous allez écrire ce lème technique a priori vous allez dire qu'il y a peu de rapport avec mon mon objectif mais en fait juste par une petite remarque on va se voir que ça marche bien par la suite donc l'équation de H elle vérifie donc je développe ça pas trop d'importance donc c'est un V4 alors V va être égal à W essentiellement W2R donc W c'est une solution qui ne bouge pas alors prenons lambda 0 égale 1 comme ça c'est plus simple donc mon V va être égal à W donc plus des termes V3 H2 ainsi de suite plus H5 qui sont tout simplement égaux à W moins H mais je développe alors et j'ai oublié le Laplacien donc HtT est égal au Laplacien de H plus ça mais il faut pas le voir comme ça il faut le voir comme ça c'est très important de voir comme ça alors comme on sait toujours bon là j'ai oublié un H voilà le terme donc à cause de ceci cette équation là un peu de rapport avec l'autre parce que c'est l'équation linearisée autour de W les restes les petits donc si on comprend ce terme là et ce terme là les autres sont intermédiaires donc on oublie donc simplifions-nous la vie bien bon c'est pas oubillons ça alors moi je sais faire que des choses perturbatives donc ceci n'est pas un terme petit quand on regarde une solution linéaire ce n'est pas un terme petit mais maintenant je parle de cette remarque suivante moi la solution linéaire ne m'intéresse pas en fait c'est pas un objet qui m'intéresse ce qui m'intéresse c'est une autre euh c'est une autre fonction une autre équation donc V égale vous alors ça ça m'intéresse pas parce que je travaille que dans mon channel donc je travaille que donc ce qui m'intéresse c'est V égale W de R fois la fonction caractéristique euh pour R plus grand que R0 plus T ah ça change tout ça parce que cette fonction là en fait ben elle ressemble pas pour R0 petit c'est un terme qui est linéaire toujours donc de la même taille mais euh je peux faire une théorie critique c'est qu'en fait pour euh pour R0 assez grand ce terme là peut être contrôlé par une petite quantité fois la donnée initiale et donc là je travaille plus maintenant sur l'équation linearisée autour W je m'intéresse que à une équation qui a ce terme là ici alors vous me direz ça peut de rapport mais comme je m'intéresse mon équation uniquement ici les deux solutions coincident et ce qu'on peut démontrer alors je n'ai pas un terme puissant 5 comme dans le cas non linéaire mais je peux démontrer que si R0 est grand dépendant de W bien sûr mais ça je fais un théorème pour R0 grand hein j'ai toujours que le supe pour ici V2T et 2R donc je remplace c'est plus un V2R mais un V2T et 2R le fait qu'il y a un thé est bien meilleur que V2R tout court et avec cette donc si R0 est grand je peux toujours démontrer pour le supe pour T appartenant R 2 la solution H2T moins la solution linéaire alors l'assimation va être bien plus mauvaise que dans le cas non linéaire mais ça va me suffire c'est égal la solution linéaire je m'entends ça vérifie l'équation HLTT égal la placien de H je n'ai pas de termes en V excusez-moi je ne dis pas TT donc L donc c'est la vraie solution linéaire je ne parle pas de... par des estimations en espace-temps je vais utiliser ce potentiel petit en espace-temps pour le digérer par la méthode d'iterration de Picard en espace-temps et comme j'utilise l'espace-temps pour estimer la norme ponctuelle je vais retorber sur mes pieds donc pour R0 grand je vais démontrer la quantité live donc la 2 initiales H1 3L2 donc la solution de cette équation qui a priori est peu controllable dans ces zones-là se comportent essentiellement comme la solution linéaire et donc si j'ai un channel pour la solution linéaire j'ai... j'ai bien... ce qui me fout donc c'est le principe de démonstration alors tout va être plus technique que précédemment parce qu'autour... maintenant je ne travaille plus autour de 0 mais autour de W ou plus exactement autour de cette fonction V là alors là c'est la méthode en estimation de Stricard en espace-temps bon c'est technique ça c'est... voilà c'est... mais à nouveau j'utilise la créticité de mon équation là-dedans et donc si j'ai un channel sur HL je vais en déduire des estimations non linéaires et en fait ce qu'on arrive à démontrer alors je reviens voilà c'est l'estimation suivante donc en appliquant le même principe de démonstration sur l'équation de H alors si H égale RH comme j'avais introduit précédemment donc ça correspond à mon V précédemment j'ai l'estimation plus infinie dR de H0 carré donc l'estimation en V est majorée par une constante H0 au carré R0 sur R0 pour tout... enfin je peux l'écrire en R quelque soit R plus grand que R0 disons éventuellement quitte à prendre R0 grand voilà et donc j'arrive à démontrer une estimation du même type que j'avais sur V précédemment que je viens d'effacer tout ça c'est bien beau mais à quoi ça sert parce qu'on va juste retomber sur nos pattes mais en fait là j'ai fait... j'ai enlevé le terme principal et donc en fait je me suis ramené essentiellement pour ma nouvelle équation au cas L égale 0 parce que comme j'ai soustrait le W qui avait exactement la même limite L en plus infinie je suis quand je travaille sur la différence je suis dans le cas L0 égale 0 pour ma nouvelle équation la difficulté était de démontrer une estimation du même type mais j'y suis arrivé c'est plus technique mais les principes sont les mêmes chaque fois au lieu de travailler sur l'équation linéaire je travaille sur l'équation un peu différente mais je la vois comme une perturbation l'équation linéaire et ça marche bien et qu'est ce que j'avais vu dans le cas L0 égale 0 dans le cas précédent c'est que je démontrais que ma solution était identiquement nulle à partir d'un certain moment et donc ceci impliquera dans ce cas là et je vais m'arrêter là que H0 qui est égal à R0 qui est égal à R donc U0 de R moins W de l'an d'A0 de R et identiquement égal à 0 pour R grand et c'était en fait l'horizon que je voulais démontrer donc j'ai fait aujourd'hui ma première étape je pensais faire les deux étapes mais en fait il vaut mieux peut-être aller plus doucement pour démontrer qu'en fait le dispersif est très très très rigide donc dans ce cas particulier je vous ai démontré que si on est dans le dispersif on est exactement égal pour R grand à une solution stationnaire alors maintenant l'étape suivante va être d'utiliser la méthode de la méthode dont j'ai cette information qu'on est égal à une solution stationnaire pour R grand et je vais continuer je vais supposer que je ne suis pas égal à cette solution stationnaire à un certain moment et je vais me passer au premier R où c'est pas égal et je vais étudier très précisément la solution pour voir que si donc on avait un point R où les deux fonctions commençaient à être différentes je vais à nouveau produire un canal d'énergie et c'est pour ça que je vais démontrer que ma solution non pas est égal à ceci juste pour R supérieur à R0 mais pour tout R bon mais je dirais ça rapidement la prochaine fois comment passer de R grand à R petit mais c'est un peu le même principe mais il y a surtout je vous montrerai l'utilisation d'un tel résultat pour démontrer le résultat dynamique voilà et ça démontrera grossièrement le ce papier là voilà on peut s'arrêter là si vous avez des questions voilà essentiellement maintenant je suis cet article enfin je suis une partie des résultats de cet article voilà et donc on a fait la partie qui était la plus si vous voulez la plus délicate maintenant pour la prochaine séance vous allez voir des principes plus généraux là j'utilise à fond l'équation de partout pour démontrer un tel résultat voilà mais après c'est des principes plus généraux que j'ai eu donc un peu moins spécifique à l'équation voilà