 Je vais parler de ce qu'il s'agit d'un joint-work avec François-Claun-Nicholas. Il y a deux thèmes. L'une est le étudiant des groupes Kéler, et l'autre est le étudiant des propriétés de fine-étenance de groupes. Je vais l'introduire un peu à chaque de ces deux thèmes. Les propriétés de fine-étenance de groupes. Les propriétés de fine-étenance de groupes sont beaucoup de propriétés de fine-étenance de groupes. L'un que je veux parler de, comme j'ai été introduit par Woll, ctc Woll, c'est de prendre une groupe G et un peu d'intagère N. Et je vais dire que G est de type FN, si il y a un complexe CW, c'est-à-dire X, qui est une spécificité classifiée pour G. C'est-à-dire que l'une de ces groupes fondamentaux est isomorphique à G, et que l'une de ces groupes est plus homotopique qu'une de ces groupes est trivienne, et que l'une de ces groupes est de type FN. Il y a finalement beaucoup de celles de chaque dimension, de l'un à l'autre. Donc, par exemple, si vous avez... Si vous avez un complexe CW, avec une groupe fondamentale isomorphique à G, vous pouvez toujours construire un espace classif par ajouter celles de Y pour quitter les groupes homotopiques. Donc, vous pouvez construire KG1 par ajouter celles de dimension, en commençant en dimension 3 et 2Y. Donc, par exemple, c'est une propriété F2, c'est équivalent à être finitiellement présentée. Si vous êtes finitiellement présenté, vous pouvez prendre une présentation finie de G, vous pouvez construire un complexe de présentation. Et maintenant, vous pouvez ajouter celles de dimension 3 et 4, etc., pour quitter tous les groupes homotopiques, vous allez avoir peut-être un complexe CW très compliqué, mais deux scolétons seraient finies. Et GF1, si et non l'autre, est finitiellement créé. Ok, donc, pour les autres propriétés de finitonnance, dans la littérature, mais je vais seulement mentionner ces deux, pour le moment. Donc, le thème récord est d'essayer de construire des exemples de groupes qui violent ces propriétés, enfin, les groupes qui sont type FN-1 et non type FN-2. Et quelque chose que je... quelque chose d'obvious, peut-être, que je devais dire. Donc, si G est le pi-1 de la manifold sphérienne, ou une complexe finie sphérienne, alors c'est FN pour tous les groupes. Donc, je vais récolter la construction classique de des groupes qui violent des propriétés. Et ensuite, le but est d'expliquer pourquoi des exemples de groupes qui sont type FN-1 mais non type FN-2, pour quelque chose de FN, s'occupe dans une complexe théométrie. Ok. Et en fait, c'est un exemple comme ça, qui sont des groupes de couleur. Donc, une liste courte, pas exhaustive. Alors, il y a un travail classique de Wormslag et Roseblade, qui classifient, qui étudient des subgroupes des groupes directs de deux ou trois groupes. Et ils prouvent que un subgroupe finitiellement présenté dans un subgroupe direct de deux ou trois, comme ça, c'est either virtuellement un subgroupe ou virtuellement un subgroupe direct de deux ou trois groupes. Donc, maintenant, si vous avez des subgroupes ici, pour qui vous pouvez facilement vérifier que ce n'est pas virtuellement un subgroupe direct de deux ou trois groupes, et que ce n'est pas finitiellement présenté. Ok, donc, vous pouvez, de cette façon, construire des exemples de subgroupes non finitiellement présentés dans ce subgroupe direct. Il y a un exemple classique de Stalingues, je pense que c'est avant, c'est-à-dire dans les années 60, d'un exemple d'un groupe G, qui est finitiellement présenté et avec une groupe homologie de 3 dimensions, qui n'est pas finitiellement présenté. Ok, si vous avez un groupe G, qui est de type FN, donc vous avez un espace classif pour G, qui est le squelette de finite N, et si vous computez, c'est la homologie du groupe G, donc c'est la homologie du complexe CW, et si vous avez un groupe homologie dans une certaine dimension, qui n'est pas finitiellement présenté, ça signifie que vous ne pouvez pas être FN pour ce qu'il y a de la valeur N. Et d'autres works classiques sur ces topics, c'est le travail de Bestevin et Brady, donc je vais revenir à ça un peu plus tard. Donc, ils ont étudié les propres propres de finitonnance et de la finitonnance de la finitonnance de la finitonnance et de la finitonnance de la finitonnance de la finitonnance et de la finitonnance de la finitonnance de la finitonnance en utilisant une théorie combinaire, donc peut-être que je vais dire plus précisément ce qu'ils ont fait un peu plus tard. Et un autre travail est le travail de Brightson, or we, Miller et Short, et ils ont étudié les subgroupes dans le produit direct du groupe surface. Donc ici, le groupe surface signifie que les groupes fondamentaux sont orientés à la surface finitonnante. Donc il y a trois groupes fondamentaux de la surface finitonnante. Et ce qu'ils ont prouvé, c'est que... peut-être que je vais faire le statement. Ils ont prouvé que si vous avez un h dans un produit direct de N, finitonnance de surface, comme ça, et si c'est de type Fn, vous avez besoin d'un petit peu plus, mais depuis que je travaille avec la finitonnance de la surface finitonnante, je vais le dire comme ça. Donc si vous avez un h comme ça, alors h est virtuellement un produit direct du groupe surface K, où K est à la plupart de la fin. Ok, donc vous avez pris un produit direct du groupe surface N, vous choisissez un groupe subgroupé de ça. Si c'est Fn, il doit être virtuellement un produit direct du groupe surface K à la plupart de la fin. Donc vous pouvez aussi utiliser ça pour montrer qu'il y a plein de groupes des produits directs qui ne sont pas de type Fn. D'autres groupes pour qui vous pouvez vérifier que ce n'est pas de la forme et que ce n'est pas de type Fn. Ok, donc... maintenant, qu'est-ce qu'il y a des groupes KL? Qu'est-ce qu'il y a des groupes KL? Qu'est-ce qu'il y a des manifolds KL? Il y a des manifolds KL, pour donner la définition une fois. C'est un manifold complexe avec une métrique qui est compatible avec une structure complexe en un sens. Donc avec une métrique Hermitia quand vous avez une métrique Hermitia sur un manifold complexe, la partie imaginative est de deux formes et vous voulez ces deux formes sont très close. Je ne vais pas le dire plus. Les exemples incluent toutes les variétés projectives, les manifolds complexes de l'espace projectif. Il y a beaucoup de restrictions sur la topologie des manifolds KL. Et en particulier dans les groupes fondamentaux. En particulier dans les groupes fondamentaux. Qu'est-ce que c'est un groupe KL? C'est un groupe KL qui est un groupe fondamental d'un manifold KL. Il y a beaucoup de restrictions sur ces groupes classifs. Et notamment Gromov et Thomas sont des idées importées de la théorie géométrique dans les topics, de l'utilisation de la fin relative ou de la variété BNS dans le travail de Thomas. Il y a aussi une famille riche d'exemples même si c'est assez difficile de construire des exemples de groupes KL avec de nouvelles propriétés. Ce que je veux mentionner c'est comment construire des exemples de groupes KL avec des propriétés de fin relative. Quand je dis que un groupe a des propriétés de fin relative pour des propriétés de fin relative. Et la plupart du temps on peut vérifier que un groupe n'est pas un groupe FN par preuve que sa homologie n'est pas finiement générée. Ok, donc avant de parler des exemples de groupes KL ça a toujours commencé avec la question de Collard dans les années 90 ou dans un livre publié dans les années 90. Donc la la réponse sera négative. C'est spoilant. Donc peut-être 30 ans plus tard la question peut être négative, je ne sais pas. Je n'étais pas dans le domaine dans les années 90. Donc il a demandé de prendre une variété projective et considérer que c'est un groupe FN. Donc si l'exe est asphérique alors l'exe est un espace classif pour ses pays. Et maintenant ce qu'il a demandé si l'exe n'est pas asphérique peut-être que vous pouvez trouver un espace classif pour le groupe FN qui a quelque chose à faire avec la géométrie complexe. Une autre variété projective avec la même pi1 mais qui est asphérique ou une variété projective avec la même pi1 mais qui est asphérique. Ok, donc la question était comme ça si l'exe n'est pas asphérique je veux dire c'est un peu une question informale peut-être qu'on peut trouver une variété pi1x1 en termes d'algebraique ou de complexe géométrie. Donc c'était connu que vous ne pouvez toujours prendre une variété projective parce que si vous avez une variété projective qui est asphérique donc ça veut dire que la variété projective c'est une variété complexe et il y a des exemples des groupes colorés avec des dimensions homologiques. Donc si vous prendre une lattice gamma en PUN1 qui n'est pas uniforme et torsion 3 et si n est au moins equal à 3 puis Toledo prouve que gamma est coloré donc en fait c'est en fait une variété projective et gamma a des dimensions homologiques donc vous ne pouvez pas trouver un espace classif qui est une variété projective mais peut-être que vous pouvez trouver une variété projective. Donc c'était la question de Collard mais si si vous avez une variété projective il y a même si c'est un manifold open qui est défini par l'équation polynomial vous pouvez toujours prouver que c'est un type homotopy d'un complexe final. Si c'était vrai que pour une variété projective vous pouvez construire une variété KG1 qui était une variété projective ça signifie que une variété projective qui est une variété classif et donc il y a des variétés projectives qui n'ont pas un espace classif final donc la réponse est négative donc la réponse sera non. Et le premier exemple construit par Dimka Papadima et Soussu donc je vais expliquer la construction premièrement donc c'était en 2009 je ne sais pas la date de l'application et puis ce travail a été continué par Yoza Isendrich et il y a aussi un article par Brightson et Yoza Isendrich et maintenant ce travail que nous avons fait avec Nicolas Ok, donc quelle est la construction de Dimka et Papadima et Soussu ? donc basiquement dans leurs propres mots c'est un genre de complexe analog du travail de Bessduna et Brady donc ce que c'est le le travail de Bessduna et Brady donc prendre un groupe de groupes de right angle donc ce que c'est donc tu prends un graphe final ok Gamma sera un graph pour un peu de minutes et ce qui est associé au groupe de right angle art c'est un groupe où tu mets un générateur pour chaque vertex du graphe donc le set du générateur, le set de vertices du graphe et le set de relation quand tu mets une relation tu as deux générateurs G, V et GW qui correspondent aux vertices V et W si V et W sont adjacentes tu déclares que G, V et GW commutent ok donc le set de générateur est le set de vertices de ton graphe final et une ou deux vertices sont adjacentes tu déclares que le générateur correspond commute et tu as un homomorphisme de Gamma à Z ou tu as beaucoup tu peux considérer un homomorphisme qui apprécie tous les générateurs à une et le travail de Besdine et Bradley consiste à étudier les propriétés de la finitur de le carnet de ce homomorphisme et c'est une série combinatoriale A of Gamma acte sur le complexe ou A of Gamma, tu peux le voir en groupe de finitur un complexe cubique ce homomorphisme à Z tu peux le réaliserух apparaître et les priver בר le prop DH croire correspond Promised et theirs etaffirma et le embody Z .. Вас 11 ANN le dépiauu On va prendre une elliptique curve, ou la surface de la surface de G-1. C est modulé à la lattice. Ils considèrent finitiellement beaucoup de surfaces de surface, qui sont toutes les branches à couverture d'E. Je considère le sigmar I, où l'I est de 1 à 1, ce qui est un curve ramifié de l'I. J'assume que c'est vraiment ramifié, donc le genus est à moins 2. Maintenant je peux considérer la map du produit de ce sigmar I à l'E, qui est juste le summe de l'I. Depuis l'E, je vis l'E comme C mod lambda, donc je peux penser que c'est un groupe habillé et je peux faire le summe. J'ai déjà dit que le sigmar I a un genus à moins 2. J'assurerai que l'I est de 1 à 2 au niveau de l'I. Et aussi qu'il y a au moins 3 facteurs. Qu'est-ce qu'ils prouvent? Le premier est que je nomme le premier de l'I. Si l'I est un point de l'E, l'I est de l'I vers l'image de l'I. Qu'est-ce qu'ils prouvent? Le premier est que le sigmar I a un point de l'I dans le produit du sigmar I et coïncide avec le kernel de f star. Et le deuxième est que l'homologie en dimension r de cette groupe est infinimental. C'est-à-dire que l'homologie est de 2 coefficient. C'est le nombre de facteurs. J'ai un produit direct de la surface r-rim qui map à l'élyptique curve. Ils sont tous ramifiés sur la même curve. C'est ce map qui a des points critiques parce que les spécifiques sont ramifiés. Le premier point de l'I. Je vais expliquer pourquoi c'est trop tard. Ce n'est pas vraiment lié aux facteurs du produit direct de la surface r-rim. On verra que les deux sont dans un contexte plus général mais le premier n'est déjà connu dans le contexte de la surface r-rim. Même si les points critiques de la surface r-rim sont embêtés en pi-1, le pi-1 coïncide avec le kernel de f star et l'homologie en dimension r de la surface r-rim est infinimental. Comment vous prouvez cela ? Le premier point est essentiellement complexe pour la théorie. J'en reviendrai un peu plus tard. Pour le deuxième point la preuve d'I. n'a rien à faire avec la géométrie complexe. C'est-à-dire les études et les propriétés finissimes de l'équipe cohabilienne de la surface r-rim et la méthode n'a rien à faire avec la géométrie complexe. Je ne vais pas dire n'importe quoi. Mais aussi vous pouvez déduire l'exemple de Bright Sun ou de Wilmiller-Short. Je veux mentionner deux plus deux plus résultats avant de dire nos résultats. Après ce travail Yozai Zendrich a poussé plus et a construit un exemple d'équipe cohabilienne avec les propriétés finissimes. C'est une équipe complexe de l'équipe cohabilienne de l'équipe cohabilienne donc l'équipe cohabilienne est une équipe cohabilienne. Une chose que Yozai Zendrich a fait c'est une théorique. Donc ici on observe que la dimension qui a la propriété finissime a failli, c'est exactement le nombre de facteurs. Et ce que Yozai Zendrich a fait c'est de montrer que vous pouvez décider le producteur direct de l'équipe cohabilienne vous pouvez aussi trouver des subgroupes cohabiliennes avec les propriétés finissimes qui ne sont pas K pour K, qui est distinct de R. Donc pour une équipe cohabilienne et pour une équipe cohabilienne vous pouvez trouver un subgroup H dans le producteur direct de l'équipe cohabilienne qui est K qui est, je ne vais pas le dire qui est un producteur direct de l'équipe cohabilienne donc ça veut dire que vous ne pouvez pas l'embaîter dans un producteur direct de l'équipe cohabilienne et qui est si vous prendre un integer M entre 2 et R-1 vous pouvez trouver un groupe K de type F M-1, mais pas de type FM non, de type FM mais pas de type FM-1 ok donc dans le théorème d'une équipe cohabilienne du groupe K1 de YT c'est de type FR-1 donc je vais expliquer plus tard et pour moi ce que je vais dire c'est que cette dimension où l'équipe cohabilienne perd vous pouvez dire que c'est le nombre de facteurs mais vous pouvez aussi dire que c'est une dimension complexe de l'équipe cohabilienne de l'équipe cohabilienne de l'équipe cohabilienne et juste un plus commenter sur l'histoire c'est un travail de Kappovich qui est en tout cas d'autre chose que j'ai dit des groupes KLA et c'est aussi des propriétés finielles mais c'est en dimension complexe c'est un papier inédit donc Kappovich il était considéré d'une surface sphérique donc une surface complexe KLA mais je pense que c'est pas vraiment considéré d'un map holomorphique à une surface sphérique de positive genus donc P est holomorphique et ça a connecté les fibres et ce qu'il a prouvé c'est que si P est la subversion c'est la subversion vous êtes heureux et si pas si il y a un point critique à moins un point critique puis le kernel de Pstar n'est pas présent donc c'est ce qu'il a prouvé mais en fait je pense que vous pouvez prouvoir que l'H2 de la groupe n'est pas finitiellement générée ok donc c'est très c'est tout à l'heure sur le travail de DIMKAP mais c'est vraiment les mêmes idées il y a la seule raison je n'ai pas mentionné au début c'est que le kernel que vous avez n'est pas finitiellement présenté donc en particulier c'est pas un colère groupe c'est un colère groupe par définition c'est une de la formule ferme donc c'est finitiellement présenté et il a utilisé ça, il était intéressé dans la cohérence de lattices dans les groupes donc il y a plusieurs exemples de surfaces où vous pouvez appliquer le théorème et il a utilisé ça qui n'est pas cohérent donc c'était sa motivation ok donc maintenant j'ai dit que la preuve d'un DIMKAP apparemment Soussu c'était de la technique d'un groupe cohabilien d'un producteur direct de surface donc maintenant ce que je veux expliquer c'est que le théorème que j'ai juste élevé il sera toujours si vous considérez d'une manifolde sphérienne complexe, plutôt que du producteur direct d'une surface d'exemple que ici on va vraiment utiliser qu'on va vraiment regarder au niveau de la pi-1 on va vraiment regarder l'homomorphisme induit par une map homomorphique on ne va pas dire quelque chose mais des groupes arbitraires et on va avoir besoin d'une hypothèse sur cette map homomorphique donc on va avoir besoin de beaucoup de points critiques quand vous avez je vais juste rewrite quelque chose que j'ai élevé quand vous avez un producteur direct de surfaces comme ceci et vous avez une map pour une curve elliptique qui est la summe de maps r localement c'est juste la summe de f1 de z1 plus f2 de z2 plus f1 de z1 donc point z1 zr est le point critique de cette map si et non seulement si chaque zi est le point critique de fi donc le point critique de la map fpi sur sigmar c'est le point finit donc ici c'est le point critique c'est le producteur du point critique de chaque curve homomorphique donc c'est le point finit et maintenant c'est la seule chose que je veux remercier c'est la map avec plein de points critiques donc prends x donc maintenant prends x pour être un manifold complexe vous n'aurez pas besoin de l'air pour le moment prends une map homomorphique pour la surface de la surface positive donc avec les fibres connectés et assume que son set critique est finit ok et le théorème c'est ce que nous avons observé avec Nicolas donc si n si vous appelez n la dimension complexe de x et je vais aussi j'ai besoin d'une autre notation je vais appeler x hat la espèce de couverture de x qui correspond au kernel de p star donc en particulier ok donc c'est la espèce de couverture correspondant au kernel de p star et l'observation est si n est la dimension complexe que l'homologie de x hat dans la dimension n c'est-à-dire que c'est très efficace c'est l'infinité dimensionale ok donc on verra que c'est assez facile et la conséquence est que si maintenant vous assumez que x est sphéricale sorry un set de critiques oui ah oui, bien sûr oui oui merci oui donc si il n'y a pas de points critiques et cette map p de x à sigmar c'est un bandage de fibre donc oui, donc la espèce de couverture x hat c'est juste un bandage de fibre sur l'universal couverture de sigmar c'est du sigmar c'est impliqué donc si il n'y a pas de points critiques le x hat c'est un bandage de fibre quelque chose qui est typologiquement un plane donc il a le type homotopy de fibre qui est compact donc la homologie est finitiellement générée mais si il n'y a pas de points critiques donc la groupé homologie est infinie dimensionale et la corollerie c'est que si x est sphéricale donc plus que x est sphéricale alors la homologie de la corollerie p star est infinie dimensionale pourquoi ? parce que la corollerie x hat sera un espace classif pour cette groupe et en fait ce corollerie est f n-1 donc pas f n qui s'accueille de cette affirmation homologique et f n-1 qui s'accueille de ce que je vais dire donc mais le fait que c'est f n-1 n'est pas pas original je l'ai déjà dit d'un cap ok donc ok, je vais expliquer la preuve pour la preuve je vais assumer que la p est la fonction morce homomorphique morce mais la preuve en général est la même ok, donc ça veut dire que dans tous les points critiques donc à chaque point critiques vous pouvez trouver les coordonnées complexes comme la map la p n-1 la p n-2 et si vous avez une map avec des points critiques donc dans la charte, dans la singularité vous pouvez toujours ajouter une forme complexe pour le générer donc en général si c'est votre manif original il y a finitallement beaucoup de points critiques vous pouvez toujours poursuivre les points critiques pour le générer et vous pouvez faire une perturbation infinitive pour coller cette perturbation à la map au-delà des petits balles et vous allez avoir quelque chose qui n'est pas homomorphique dans un petit annulier mais c'est important que vous ayez un modèle près des points critiques donc la même chose va travailler donc vous avez... ici est le proof j'ai appelé Sigma hat la cover universelle de Sigma donc c'est une discuse complexe et je vais commencer avec une fibre smooth et j'ai envie de comprendre comment cette X hat est construite de cette fibre ce qui change dans la topologie donc ok parce que le Sigma hat est non compact donc je vais juste faire des cercles des disques dans le plan de cette façon que quand je passe de 1 disque je n'ai qu'une nouvelle valeur critique ok et je vais appeler XK l'image de disc n° K donc si je prends un petit disque je n'ai qu'une valeur régulière et si le X1 raconte une fibre smooth et ce qui se passe quand vous passez des xk à xk plus 1 on dirait que la seule point critique au lieu ce sont les xk et les xk plus 1 on s'assume que la seule point critique à l'intérieur de la fenêtre c'est pas grave donc la théorie macrona c'est une langue complexe de plus much xk plus 1 est le type de homotopy de xk plus une dimension n est lancée à l'ambiance. xk plus 1 est le type de homotopy de xk, une discurrence de dimension n est lancée à l'ambiance. La dimension n est lancée à l'ambiance. Dans la dimension complexe, vous avez cette picture, vous avez un cylindre qui dégénère à l'ambiance, et il y a une courbe dans le fibre générique qui va mourir dans l'arrière de la pointe critique. Donc, le conséquent de cela est que si vous regardez la séquence du nombre de bétis de xk à l'ambiance de dimension n minus 1, cela se diminue. Donc, cela sera éventuellement stationnerie, et si c'est stationnerie, donc, vous choisissez un k-node comme cela, à partir du k-node, la séquence pn minus 1 de xk est constante. Et si c'est stationnerie, vous verrez que le nombre de bétis de dimension n va augmenter strictement. Donc, maintenant, vous verrez que le nombre de bétis de xk augmente. Et cela, comme le nombre de bétis de xk est plus ou moins au k-node. Et cela sera prouvé de la théorie, parce que le nombre de bétis de xk est le limiter de la séquence de xk. Ok, il y a de la séquence homologique, il a une support compacte, donc, cela est contenu dans l'un des séquences de xk. Et si la séquence est la bonderie de quelque chose, quelque chose est aussi contenu dans un set compact. Donc, la séquence de xk est le limiter de la séquence de xk. Et ce que je vais expliquer maintenant c'est que cette séquence de xk va injecter l'un à l'autre et la séquence va augmenter strictement, donc c'est vraiment une dimension infinitaine. Et la séquence est comme ça. Donc, vous avez une sphère vanishing sur la bonderie de xk. Vous collez un disque sur cela pour obtenir un type homologique de xk plus 1. Donc, cette séquence, dans xk plus 1, c'est une séquence de dimension n-1 qui arrive, mais depuis que la séquence de dimension n-1 était constante, cela doit être déjà là dans xk. Donc, cela doit être la bonderie de quelque chose déjà ici dans xk. Et ici, vous avez vu cette picture sur la séquence de dimension n-1 qui n'a pas existé avant. Ok? Donc, et basiquement si vous voulez écrire ce que j'ai dit proprement, vous pouvez juste écrire la séquence de la séquence de la séquence et cela vous donnera ce que vous voulez. C'est ce numéro. Ce numéro, quand vous passez de k à k plus 1, le bn of xk va augmenter par le nombre de points critiques dans la séquence. Ok, très bien. Donc maintenant, le point est, quels sont les exemples, les exemples où nous pouvons appliquer ces résultats? Donc, je vais mentionner quelques exemples qui viennent de la séquence de dimension n-1. Mais une question avant, une question, c'est que je ne sais pas si vous pouvez être l'exemple qui vient de la séquence de dimension n-1, par exemple. Donc, est-ce qu'il existe une map comme avant? Donc, cela veut dire que le set critique est finit. Sigma est la surface de la séquence de dimension n-1 par la séquence de dimension n-1. Donc, si oui, donc je pense que c'est un problème d'avoir tous les exemples qui sont nommés de groupes, qui sont de type fn-1, mais pas fn. Il y a des groupes subgroups de k0, mais il n'y a pas d'exemple à l'intérieur des groupes hyperboli. Donc, si vous avez une map comme ça, cela donnera un exemple. Ok, le kernel de ce pstar serait un groupe qui est de type fn-1, mais pas fn. Ok, peut-être je n'ai jamais vraiment expliqué pourquoi tous les groupes s'involuent sur fn-1. Parce que ce x hat c'est un espace classif et il est obtenu d'une fibre d'une fibre générique de la map, juste par ajouter les séquences de dimension n-1. Donc, les séquences génériques, la dimension réelle est 2n-2 vous ajoutez les séquences de dimension n-1. Donc, ce n'est pas vraiment un complexe CW, c'est plutôt un complexe CW mais vous pouvez trouver un complexe CW qui va avoir la même séquence de n-1 parce que vous commencez d'un manifold compact de dimension réelle à n-2, vous ajoutez les séquences de dimension n-1. Ok, donc je ne sais pas je pense que les séquences de subgroupes de groupes hyperboli qui sont peut-être fpn, non fpn plus 1 c'est aussi suivi par la conjecture de Keylack, mais c'est... ok, différentes histoires, donc je ne parlerai pas de ça. Ok, donc maintenant, un premier exemple, donc je ne donnerai pas des détails sur ça mais il y a dans complexe dimension n-2 il y a un exemple d'un lattice, il y a un exemple d'une surface, X qui est une question d'une balle de c2 par un lattice de pu21, donc c'est compact donc c'est appelé la surface de Cartreit-Stegger et ce caractéristique de X est equal à 3 et le premier n-1 est equal à 2 ok, et c'était découvert pendant que ces gens étaient classifiant les planes fées ok, les planes fées c'est une surface complexe qui a le même n-1 qu'un cp2 qui n'est pas un cp2 et c'est connu que si vous avez une surface comme ça nécessairement il doit être une question de la balle donc un final liste de surfaces comme ça, ils ont un caractéristique et pendant qu'ils étaient classifiant ces gens ont découvert un lattice gamma comme ça, la question a un caractéristique de X3 mais le b1 est 2, donc ce n'est pas un cp2 faible mais c'est un exemple que je veux utiliser Cartreit-Cosiers et Young ont prouvé que sur l'une des cartes Cartreit-Cosiers-Young ils ont prouvé que l'albanais map de cette chose que je n'ai pas défini a pleinement beaucoup de points critiques qu'est-ce que ça veut dire ? donc vous avez le p1 de X c'est abélianisation, la torsion modulaire est homophique à cp2 parce que le cp2 est equal à cp2 et pour qu'il n'y ait pas d'impact de Manifold, cette map de p1 de X c'est abélianisation, la torsion modulaire vous pouvez le réaliser par une map homophique pour une torsion complexe donc ici la torsion complexe est une curve elliptique et ce qu'ils prouvent c'est que le set critique de A est finit donc ça donne l'exemple d'une map qui satisfait la condition de la priorité et maintenant vous pouvez considérer un peu comme un dim cap à paiement de soucis vous pouvez considérer le produit direct de K times la surface et vous pouvez faire le summe ça donne une map homophique à E exactement comme avant les points critiques de cette map c'est juste un produit des points critiques donc le set critique est finit donc si f est c'est la map si vous appliquez vous avez le kernel de f star il y a une dimension infinie homologie donc cette fois vous vous souvenez que dans mon contexte ce qui est important n'est pas le nombre de facteurs mais la dimension complexe d'origine et de manifolds donc ici l'H2K est infinie donc en fait quand vous build groups with exotic finiteness properties like this vous pouvez considérer la n pour laquelle f n phase et vous pouvez aussi considérer le maximum rang des subgroupes habiliens que le groupe contient et ici dans beaucoup d'exemples c'est le même on peut changer par un et ici ce sera c'est un fraction ce sera 1 ½ il y a un exemple un peu trop hollère pourquoi c'est aussi une fraction comme 1 ½ ou quelque chose et ok, je veux juste mentionner une autre chose donc vous 1 ok, 2 plus en fait si vous écoutez la map c'est une question d'un produit de balles donc vous pouvez une édition différente de nos résultats en utilisant un théorème de Gaborio en L2 Betty Numbers mais c'est vraiment parce que vous avez des variétés locales et parce que c'est de la GenS1 le théorème que nous avons prouvé en général, vous ne pouvez pas le voir, je pense quelque chose en L2 Betty Numbers et il y a une autre chose qui était une question de Thomas comment vous pouvez construire plus d'exemples ok, la question de Thomas c'est qu'est-ce que vous avez une map holomorphique de la GenS1 un manifold complexe pour une surface rime et une autre map holomorphique de la GenS2 pour la GenS2 et maintenant vous ne vous assumez que la GenS1 donc vous ne pouvez pas faire un nombre de ces deux maps vous pouvez regarder les x1, x2 comme que p1 x1 equals p2 x2 donc si les valeurs critiques de p1 et p2 sont distinctes c'est smooth et ce n'est pas très difficile pour pour prouver que la GenS1 sera la même que la GenS1 sphéricale et que ces choses ont des points critiques et la z la p1 de la z sera l'homologie infinidimensional et maintenant qu'est-ce qu'il y a d'exemples donc l'un des exemples que je sais où vous pouvez appliquer c'est qu'il y a des exemples construits par Levenet de la coiffure de la balle de la GenS2 avec une map holomorphique pour les surfaces de la GenS2 avec le set final critiques et bien sûr si vous voulez ça être smooth comme je l'ai dit vous voulez les valeurs critiques de ces deux maps pour être des joints donc vous ne pouvez pas utiliser les mêmes les mêmes manifs donc la seule chose que j'imagine pour le moment pour laquelle vous pouvez appliquer c'est de considérer la surface de la GenS sigma prime ramifié avec les valeurs critiques de ce joint de la P donc cela produirait des groupes à l'intérieur du producteur direct de la surface des groupes à la gamma qui sera dans des groupes et avec une dimension infinie de h3 donc c'est un autre un autre source d'exemples mais je ne l'ai pas c'est sympa d'avoir plus de constructions donc bonne journée Thomas et merci pour votre attention merci d'avoir des questions non c'est pas mon question il est là il est là il est là mais si on n'a pas des questions peut-être on a un break et on résume à 3 sorties merci