 En 2016, notre prochain intervenant a reçu la plus haute distinction scientifique française avec la médaille d'or du CNRS, Claire Voizin et professeur au Collège de France et spécialiste de géométrie algébrique. C'est un domaine de prédilection de l'IHES où elle a été détachée du CNRS pendant deux ans et dont elle a dirigé les publications mathématiques. Une référence scientifique internationale justement pendant six ans. Elle va nous parler d'un notion des groupes de la géométrie à l'algebra et vice-versa, Claire Voizin. Bonsoir à vous et on peut vous applaudir. J'ai apporté un peu de matériel, ça ne va pas servir beaucoup pour l'exposer, c'est juste pour vous dire que ces formes sont réelles et qu'elles ont été fabriquées de façon artisanale. Je mentionne que ce polyède réétoilé a été fabriqué par le collège Pierre Brossolette de la Chapelle Saint-Luc qui était un village près de Rince. C'est deux objets. Vous les voyez aussi photographiés là-haut et je commence par une question à savoir quelle est la différence entre les deux. Je vais répondre moi-même, c'est une question oratorique. Je donne une première réponse, en fait il n'y en a pas. Alors j'observe que si je prends ce qu'on appelle, j'oublie le fait que mon polyède réétoilé, je garde uniquement les sommets des branches de l'étoile et je prends ce qu'on appelle l'enveloppe convex. Ce que j'obtiens en fait, c'est un second de décahètre régulier. De décahètre régulier ça veut dire 12 faces, un de décah pour 12. Ces 12 faces on les voit bien, on peut les compter. Une, deux, trois, quatre, cinq, six, une fois qu'on a fait ça, on s'aperçoit qu'on en a compté la moitié. Donc ça nous donne les 12. Il se trouve que ça a aussi 20 sommets, on peut aussi les compter si on veut. Il y a peut-être une manière un peu plus astuciuse de faire qui consiste à dire, chaque face contient 5 sommets. 12 fois 5 ça fait 60 et une fois que j'ai fait ça, j'ai compté en fait trop de sommets puisque chaque sommet est sur 3 faces. Donc en fait il faut rediviser par 2, par 3 et ça me donne bien 60, il faisait par 3, ça fait bien les 20 sommets. Donc voilà, donc a priori on peut considérer que ce sont deux objets identiques. Et maintenant il y a une deuxième réponse. Ce que je fais à mon polier de rétoilé, c'est qu'au lieu de considérer uniquement les sommets des branches, je vais prendre les sommets en creux. Les points creux du polier de rétoilé et prendre l'heure en voie de rétoilé. Voilà, donc ce qu'on voit apparaître, la base de chaque branch de rétoilé, c'est un triangle aculatéral. Et donc ce qu'on voit apparaître en faisant cette opération, donc de prendre l'enveloppe convex des points creux du polier de rétoilé, c'est un deuxième polier régulier, mais qui est très différent de l'autre, parce que maintenant ces faces sont des triangles aculatéraux. Donc maintenant ce poliedre-là, il s'appelle un Nikosahed, Nikosah pour 20. Alors il a maintenant 20 faces et 12 sommets. Et sa particularité par rapport à l'autre, sa relation par rapport au précédent qui avait 12 faces, c'est qu'en fait, c'est une relation de dualité. C'est-à-dire, en fait, les sommets de ce polièdre correspondent objectivement au face de l'ancien polièdre. En fait, les sommets ici, par définition, ils correspondent au point creux du polièdre rétoilé, et les points creux du polièdre rétoilé correspondent objectivement au face pentagonale qui sont ici. Les sommets correspondent au face de l'autre, et par contre, les faces du nouveau polièdre de l'ikosahed, ici, par définition, ce sont les bases, les branches de l'étoile qui correspondent objectivement au point de ces branches, c'est-à-dire correspondent objectivement au sommet du polièdre initial, le dos de décadre. Voilà, donc, voilà deux beaux objets qu'on peut contempler, admirer, apprécier d'une manière ou d'une autre, non ? Mais maintenant, on va en parler de façon un peu plus mathématique, et pour aller un peu plus loin, on va parler des symétries de ces objets, c'est ça qui les caractérise, en fait, et ces symétries, ça fait appel à la théorie des groupes, alors peut-être pas de façon très, très sophistiquée. Alors, je vous dis que c'est qu'un groupe, donc, d'abord, on a la notion d'un ensemble muni d'une opération, donc, pour prendre un ensemble d'objets et mettre une opération sur cet ensemble, ça consiste à dire, chaque fois que je me donne deux objets dans mon ensemble, je sais calculer le produit de ces deux objets. Alors, on note étoile l'opération pour pas confondre avec l'addition ou la multiplication, et donc, on sait calculer x étoile y. Et donc, ce qu'on appelle un groupe, c'est un ensemble g qui est muni d'une opération satisfaisant un certain nombre d'actions qu'on appelle les actions de groupe, et les actions de groupe, ils sont écrits ici. Il y a un action fondamental qui est la sociativité. La sociativité, c'est... Donc, quand on a notre ensemble avec opération, ce qu'on veut pouvoir faire, c'est donner un sens non ambigu à l'expression x étoile y étoile z, où x, y, z sont trois éléments dans mon ensemble. Alors, quand on voit ça, on peut dire, on peut faire d'abord y étoile z, et puis ensuite faire x étoile ce qu'on a obtenu. Donc, c'est ici, et puis, notre manière de faire, c'est de dire, on fait d'abord x étoile y, et puis on va ensuite faire le produit avec z. Et ce que dit la sociativité, c'est que ça donne la même chose, et du coup, on n'a pas besoin de se fatiguer, on va la mettre toutes ses parenthèses. Et si on n'a pas la sociativité, c'est un cauchemar de faire d'écrire des formules, il faut mettre des parenthèses partout. C'est-à-dire, très, très compliqué sur le plan combinatoire. Bon, le second action important, c'est l'existence de l'élément neutre. Il existe un élément de g, qu'on appelle l'élément neutre, qui est à la propriété que, multiplié par cet élément, ça fait rien, ni à gauche, ni à droite. Et la troisième opération, la troisième action importante, c'est l'existence de l'inverse, tout élément de groupe x, tout élément x du groupe, admet un inverse qu'on a de parfois x-1, donc un élément y, qui a la propriété que x étoile y, égale y étoile x, égale l'élément neutre, et comme chacun sait, quand on fait le pratique par exemple, l'addition et la subtraction, bien la multiplication et la division, l'existence de l'inverse, ça permet de simplifier, au sens où si vous avez une relation du genre x étoile y égale x étoile y prime, eh bien vous vous multipliez à droite et à gauche par x-1, ça fait 10 x, et vous obtenez que y égale y prime. C'est ça que sert l'élément neutre. Il y a deux sources fondamentales d'exemples pour les constructions de groupes, alors ça sera des groupes discrets. Il y a le groupe symétrique qui vient de la combinatoire, le groupe symétrique à n élément, c'est... Pardon, je me profite bêtis. Donc ces éléments par amètre un choix d'un ordre, vous vous donnez un ensemble à n élément, donc 1, 2, jusqu'à n, et vous prenez tous les ordres possibles sur cet ensemble. Alors comme un paquet de cartes que vous pouvez brasser et changer l'ordre des cartes arbitrairement, alors maintenant quand on a le choix d'un tel ordre, eh bien on peut le représenter comme un système de flèche de l'ensemble vers lui-même, à savoir que si dans l'ordre que je considère, mettons, j'ai l'élément y est posé en j-m position et on va dessiner une flèche de y verger. Donc ça donne un système de flèche et ce système de flèche doit former ce qu'on appelle une bijection, c'est-à-dire avoir la propriété que de tout élément il paraît une seule flèche, exactement une seule flèche et à tout élément il arrive exactement une seule flèche. Donc voilà, c'est ça les éléments du groupe symétrique. Alors maintenant l'opération, c'est tout simplement la composition des systèmes de flèche. J'en ai ici gf et ici gg et bien je compose, je mets bout à bout les flèches de f et les flèches de g et ça me donne la composition gf. C'est ça la composition. L'inverse dans mon groupe, ça va tout simplement d'inverser la direction des flèches ce qui est assez agréable. L'élément neutre, c'est l'identité qui envoie 1 sur 1, 2 sur 2, 3 sur 3, etc. Et donc on vérifie qu'on a les actions qu'on a imposées pour obtenir un groupe. Alors là ce qui est important, c'est qu'on dit que ce groupe agit sur l'ensemble 1n. Alors qu'est-ce que ça veut dire que ça agit ? C'est qu'à chaque élément g, j'ai associé un système de flèches de l'ensemble vers lui-même. Et dire que ça agit, c'est dire que la loi de multiplication dans mon groupe correspond à la composition des flèches, donc des systèmes de flèches. Donc pour finir, c'est tout ce qui est bien connu. Le cardinal du groupe sn, j'ai dit que sn, c'était de tous les ordres possibles sur un ensemble à n élément. C'est bien connu, c'est des choses qu'on fait en combinatoire. Pour choisir un ordre, on doit d'abord choisir dans quelle position on va mettre le 1. Donc ça donne n, je crois, possible. Une fois qu'on a positionné le 1, il ne reste plus qu'n moins 1, je crois, possible pour positionner le 2 et ainsi de suite et ainsi de suite. Et à la fin, donc on trouve qu'il y a factoriel n, c'est-à-dire n fois n moins 1, fois n moins 2, etc. Chois possible. Et donc c'est le cardinal de notre groupe cardinal, ça veut dire le nombre d'éléments. Et alors maintenant, je voudrais vous parler du groupe orthogonal. Je reviens vers la géométrie du polyèdre. Donc c'est un autre exemple de groupe qui vient de la géométrie. C'est le groupe des transformations orthogonales. Bon, là on prend le cas de R3. Donc c'est les transformations linéaires de R3 qui préservent les distances ou du coup ça préserve aussi les angles. Alors si je considère uniquement les transformations directes, c'est-à-dire, si je prends uniquement les transformations directes, c'est-à-dire qui préserve l'orientation, elles sont toutes du type qui est dessiné ici. C'est ce qu'on appelle des rotations axiales. Donc on se choisit un axe. C'est une droite vectorielle passant par 0 et on se choisit un angle tétain. Et ce que fait la rotation axiale d'axe delta et d'angle tétain, ça consiste, c'est la chose suivante. Si vous prenez un point x dans votre R3, vous faites passer un plan passant par x qui est orthogonal à votre droite delta et à l'intérieur de ce plan, vous faites une rotation d'angle tétain. Donc c'est ça les transformations orthogonales préservant l'orientation. Et maintenant, ça nous permet de donner une définition de ce que c'est qu'un poliède régulier. En fait, un poliède régulier, c'est une figure géométrique qui est, bon, on va dire, une figure géométrique mais peut-être avec un nom fini de sommet, l'enveloppe convex d'un nom fini de sommet, qui a l'appropriété que le groupe, donc le groupe orthogonal préservant le poliède, agit transitivement sur l'espace des sommets. C'est-à-dire, en fait, deux sommets de poliède sont indistinguables du point de vue de leur géométrie parce que étant donné deux sommets choisis dans le poliède, je peux trouver une rotation qui va envoyer un sommet sur l'autre et qui préserve l'ensemble du poliède. C'est-à-dire, ça va envoyer l'ensemble des sommets sur lui-même. Donc c'est comme ça qu'en fait, c'est notre notion intuitive de régularité pour ces polièdes. Alors maintenant, si je mets ces deux transparents ensemble, je constate que j'ai, en fait, introduit avec mon poliède, mettons, je reviens à mon 2D-cahèdre avec ces 20 sommets. J'ai deux sous-groupes finis qui viennent avec ce poliède. À savoir, d'une part, le groupe symétrique qui permute habituellement tous les sommets, donc c'est le groupe symétrique sur 20 éléments, donc c'est absolument énorme, et il y a un groupe beaucoup plus petit, le GP, qui est le groupe des rotations préservant le poliède et donc agissant sur son ensemble de sommets. Alors le sous-groupe GP est évidemment beaucoup plus petit que celui de SP, que le groupe symétrique SP parce que le groupe GP, c'est un groupe de rotations, donc ça préserve les distances et donc quand ça va agir sur les sommets, ça va préserver la relation d'adjacence de sommets qui sont adjacents, dans mon poliède, sous ce groupe GP, pour être envoyés sur 2 autres sommets qui sont nécessairement adjacents. Parce que les sommets adjacents sont caractérisés par le fait qu'ils ont la plus petite distance possible entre 2 sommets du poliède. Et comme mes rotations préservent les distances, on voit qu'une perte de sommets adjacents est envoyée sur une perte de sommets adjacents. Donc ça nous donne un groupe beaucoup plus petit. Et donc je termine avec un théorème, je suis désolée, j'ai le principe qu'il faut toujours qu'il y ait un théorème dans un exposé. Donc le théorème, c'est que le groupe GP des rotations préservant notre symétrie, notre poliède, est un groupe à 60 éléments. Alors, je n'en sais très aucun intérêt, mais ce qui est intéressant, c'est en fait la démonstration. Il y a un LEM qui est absolument fondamental en théorie des groupes. Ça sert à un groupe fini, mais il y a des variantes avec des groupes infinis qui est de la chose suivante. On prend un groupe un groupe G mettant fini qui agit de façon transitive sur un ensemble X donc forcément également fini. Transitive, ça veut dire que si vous avez 2 éléments X et Y dans votre ensemble, il existe un élément du groupe qui va envoyer X sur Y. Alors maintenant, en X, on a ce qu'on appelle le fixateur, c'est-à-dire le sous-groupe de G des éléments G du groupe qui satisfont G de X égal X. Et l'énoncé, c'est que le cardinal de groupe c'est le cardinal de X multiplié par le cardinal du stabilisateur. Alors en admettant ça, je vous fais la démonstration du théorème est très facile. Le polyèdre a 20 sommets donc notre ensemble X c'est l'ensemble des sommets, il y en a 20. Et par ailleurs, qu'est-ce que c'est que le fixateur? On doit avoir une rotation qui préserve les sommets du polyèdre et qui fixe le point X. Ce qu'on voit clairement sur cette image, c'est que cette rotation elle doit permuter les 3 arrêtes qui sont là. Donc je n'ai pas tellement de choix de rotation depuis sur 3 ou bien 4 pis sur 3 ou bien l'identité. Donc du coup, le fixateur est de cardinal 3 et donc on trouve bien 3 fois 20 égal 60. Je ne sais pas si... Ah bon. Vous ne verrez pas la preuve du laime mais bon, s'empêche. Voilà, clair voisin. Clair voisin. J'ai l'impression que tout d'un coup on est bien au coeur du sujet. Avec vous question toujours sur Twitter, savons mélange et cette question sur internet pour vous, clair voisin qui nous vient de Marius, qui est lycéen qui a 15 ans. Que trouvez-vous intéressant dans le domaine de la géométrie algébrique et en particulier la théorie de Hodges en une minute? Bien... Alors oui peut-être je peux dire pourquoi c'est un domaine qui me plaît c'est un domaine où on peut faire par exemple de la géométrie différentielle sans être bon on analyse parce que la géométrie différentielle est une bonne partie des constructions en fait sur des constructions qui relèvent en fait de l'algebra et donc toutes ces constructions se transpouffent parfaitement bien en géométrie algébrique c'est une sorte de géométrie où on travaille avec des fonctions tellement régulières qu'on n'a pas du tout de mal à se donner un domaine qui est mieux différentiel ça c'est automatique donc peut-être une des choses qui me plaît le plus dans ce domaine c'est c'est la possibilité d'importer toutes les constructions de la géométrie différentielle peut-être à l'exception de tout ce qui est rimanien d'ailleurs dans un domaine où en fait on fait essentiellement de l'algebra ça c'est plus sur mon domaine à l'empresse si je parle vraiment de ce qui m'intéresse je vais pas je travaille sur les problèmes de l'artillerie paquelérienne mais je crois que malheureusement je je vois pas trop comment je peux dire pourquoi ça m'intéresse Est-ce que vous avez des conseils pour les futurs scientifiques ça c'est aussi une question pour tous les lycéens qui vont devenir de grands mathématiciens bientôt là oui je suggère que je n'aime pas donner de conseils en général mais je pense qu'il est sage de commencer mon très large et très ambitieux pas à petit quoi actuellement il y a une tendance à se replier sur un millidomaine sous prétexte qu'il y a tellement de gens qui font tellement de choses qu'on va juste se cramponner si on fait ça dès le début d'abord le problème c'est que du coup on n'a pas vraiment la culture d'objet mathématique qui fait qu'ensuite on peut vraiment développer une oeuvre, une problématique c'est plutôt une vision d'ensemble je pense que c'est bien au départ d'essayer de lire un petit peu beaucoup de choses d'essayer d'avoir un œil sur ce qui se passe à côté plutôt que d'avoir le nez dans le guidon par rapport disons l'exercice de faire une thèse je ne sais quel exercice scolaire qu'on vous a donné, je pense que c'est bien de se dire qu'il se passe des choses ou les vaçons ailleurs de relativiser un petit peu ça tendance à la spécialisation ça ne fait que merci beaucoup Clair-Roisin médaille d'or du CNRS merci infiniment