 Ok, merci, et merci pour l'organisateur de cette année, pour m'inviter, et une bonne confirmation. Donc, peut-être que je vais commencer par expliquer ce que l'envers de l'envers est. Qu'est-ce que je parle de l'envers ? Le set-up est, j'ai un manifold compact, un manifold compact, et le covê de l'univers, et sur le covê de l'univers, je vais lever le métric, donc j'ai un métric sur le covê de l'univers, qui est en variant par la groupe de transformation. Et à ce point, j'ai le Laplace-Méltramie opérateur, et si j'ai le Laplace-Méltramie, c'est quelque chose qui est donné à moi par le métric, et aussi ce qui est donné à moi par le métric est le kernel. Le kernel vous explique comment l'air diffuse sur le manifold. Vous évoquez le manifold à un point, et vous regardez comment l'air diffuse en temps, et en plus de mathématiques, c'est la solution fondamentale. C'est un kernel comme ça. Si j'ai envie de solider l'U sur l'U sur M, et l'U sur X0, j'ai l'U sur Pt, et l'U sur dy, c'est le volume remédiaire. Donc dans ce sens, c'est la solution fondamentale sur le manifold. Il y a un objectif qui est très naturel, et le drift, que je veux parler de, vient de la proposition suivante, et c'est l'indépendance de X. Le limiter en main, c'est L. Peut-être que parfois, l'underline dépend de G. Le limiter de T va à l'infinité, de 1 over T, l'intégral de dxy, de dxy, d'1. Vous avez le heat qui diffuse, et vous vous inquiétez, comment vite il diffuse à l'infinité. En temps T, le heat est distribué à la distance L. L est bien, vous pouvez penser de ça comme une variante globale de l'impact. Et le fact que le limiter existe, c'est presque par subéditivité. La séquence est presque subéditive, d'exception de l'air à l'infinité. Et le fact que la question est compacte, signifie que l'air à l'infinité n'est pas important. C'est un exercice, pour montrer qu'il n'y a pas d'impact, et que le limiter existe. C'est un bon nombre, et il a une propriété, une propriété législative, on peut comparer. Pour le mentionner, l'air est plus petit que l'air T, qui est une entropie volumine. Le heat va à l'infinité de 1 à l'infinité de 1 à l'infinité du volume de B à l'infinité de XT. C'est un nombre, et il est plus grand que l'outre de N-1. A, où A est minimum, ou maximum, minus le minimum, minus le minimum, tout et le minimum de XT. C'est un nombre, et bien sûr, vous pouvez demander si vous avez de la rigidité, quand vous avez de l'équité, parfois vous avez, mais parfois vous avez, mais je ne parle pas de ça, je parle de la régularité. Comme dans le cours d'Anton, je considère lambda, d'un paramètre familier de métriques. Un paramètre de métriques. Donc, un paramètre familier de métriques a, pour les autres, l'L lambda, et la question est, Assumez-vous que ça a des régularités, comment l'L change? Et le théorème, le travail en progrès, c'est un peu embarrassant de dire que c'est le travail en progrès, parce que j'ai parlé de ça depuis plusieurs années maintenant, mais c'est toujours le travail en progrès, avec Lin Xu. Donc le meilleur théorème qui n'est pas prouvé encore serait que si la famille donc si la famille entre des métriques lambda va à l'L g lambda ck-2. Ok, donc c'est vraiment le travail en progrès, c'est pas prouvé encore. Donc ce que je vais expliquer c'est c'est facile. Je suis dans le monde de la compétition négative, parce que j'aime et si tu as un négatif je veux dire que tu as besoin d'un hypothesis de la compétition non positive ou quelque chose tu as besoin d'une compétition négative pour avoir un nombre positif si tu es en R tu sais que la h est de la root square de T, en Rn donc la root square de T divided par T ça te donne 0. Donc si tu veux un nombre intéressant tu dois faire des hypothésies et la plus forte hypothésie que je veux faire est d'assumer que je commence avec le négatif. Et puis, on espère avoir ce genre de résultats. Je vais expliquer notre prouvé, en cas de ck-2 en ce cas, c'est certainement pas le plus simple prouvé mais c'est le qui s'étend d'une meilleure différence. Et le cas de ck-1 est écrit mais tout ensemble ce n'est pas complètement correct. Qu'est-ce qui est l'idée ? Ck-2, j'ai une famille de ck-2 et je veux montrer que le drift continue. Et je suis sûr que tu peux le faire directement mais je vais le faire dans un très compliqué moyen qui est celui que nous utilisons. Donc le compliqué moyen est parce que nous sommes en négative et nous avons une formule. Le ck-1 ck-1, une formule ou un ck-2. Et pour l'introduction de la formule, je dois introduire plusieurs objets. Je suis négatif, donc ck-1 ck-2 est négatif. Donc avec la couverture universelle, c'est très bon. C'est la picture que nous savons pour la plane hyperbole et vous pouvez faire la même picture. Donc la plane hyperbole, ca n'est pas la faible. Ck-2 ck-1 ck-2 ck-2 ck-4 ck-4 ck-4 ck-4 ck-4 ck-4 ck-4 ck-4 l'homéomorphisme, si je prends un point dans l'homéomorphisme, je regarde l'homéomorphisme autour de ce point, chaque géodésique va quelque part et va à l'infinité, et cette map qui va de ici à ici est l'homéomorphisme entre cette sphère et la sphère à l'infinité. Donc, à l'infinité de regarder le T1M tilde, j'ai toujours identifié l'homéomorphisme de cette sphère à l'homéomorphisme, et de la même manière, je veux dire le T1M tilde élevé par la gamme, qui est la gamme des groupes fondamentaux, c'est le T1M. Vous avez besoin d'un bandole de T1M divided par la gamme. La gamme est la groupe fondamentale de N, et nous sommes en négative convention, donc elle taxe la propriété continuement sur l'homéomorphisme, et N est juste la question, et la gamme acte par isométrie, donc vous avez besoin d'un bandole de T1M, la question est exactement la question que vous avez besoin d'un bandole de T1M. Et ici, l'action de la gamme est l'action de l'abandon. Si j'ai une famille de géodésic, j'ai poussé elles par la gamme, j'ai une autre famille de géodésic, et par isométrie, j'ai une autre pointe à l'infinité. Donc, j'ai l'action de la gamme à l'extérieur ici, et bien sûr, le T1M, donc il identifie de cette façon avec l'homéomorphisme, de la gamme à l'extérieur. Pourquoi je fais ça ? Parce que c'est très facile, c'est beaucoup mieux d'écrire la formule. Je vais faire un abus, pour écrire une formule qui me donne L. Je vais faire un abus de notation, donc LG, est donné par l'intégral de T1M de BXC, de Dm. Et qu'est-ce que je veux dire par ça ? Je vais définir Dm, ce qui sera fonction et mesures qui dépendent de la spécifique. Mais tout sera gamme à équivalent. Tout sera gamme à équivalent. Eventuellement, je peux intégrer par la restriction de ma majeure de T1M, la fonction qui sera gamme à équivalent. C'est complètement abusé, mais c'est très convenu. Qu'est-ce que c'est B ? On a un point X et un point d'infinité XC. Et on a déjà vu ceci, on a un whole sphere, un set de points initials de géographie qui vont à l'infinité et qui conversent avec les autres. Et la majeure B, XC, c'est la signification d'une dimension n-1 de T1M. Regardez, c'est la caractère de... Qu'est-ce que c'est la caractère de T1M ? Si vous voulez faire une formule, vous pouvez regarder cet ordre, cet ordre de vecteurs. Par exemple, XC définit un ordre de vecteurs de T1M. Et si je prends la divergence de XC, donne-moi XC, un ordre de vecteurs de T1M. Et donc la signification est juste la divergence. C'est ce que mon intégrant est et c'est clairement un environ gamma parce que tout est géométrique. Et ma majeure est aussi quelque chose que vous avez déjà vu dans la conférence. Pour chaque point X, il y a une mesure harmonique sur DMT. Il y a deux manières de le présenter comme Antoine l'a réglé hier. Vous pensez que c'est l'un qui a un problème d'infinité de cet ordre. Un ordre de vecteurs, un ordre harmonique à l'intérieur, et qu'il soit donné par l'intégral en respect des mx. On a aussi vu que la distribution exige la distribution du ordre de vecteurs. Commencez avec X, roulez le ordre de vecteurs. Nous sommes en négatif créature et ça va à l'infinité. Et la distribution qui commence par X de la pointe de la finité est de la probabilité. Et encore, c'est géométrique. Donc c'est complètement équivarié par gamma. Donc vous pouvez intégrer X, X, DMX, Mx DMX X. C'est la fonction de X, mais c'est la fonction de X qui est gamma en variant. Parce que si je prends gamma X, je dois prendre des bées de gamma X, gamma X et DMX de gamma X, mais c'est exactement la même chose. C'est la fonction gamma en variant donc je peux l'intégrer sur M. Je vais l'intégrer en respect de la valeur. Et vous avez la formule qui est exacte. Vous devez prendre la probabilité. Ok, donc c'est la formule. Peut-être que je veux expliquer pourquoi c'est vrai. Et puis, la stratégie va être de la formule. Et la stratégie va être de montrer que ces deux objets varient régulièrement avec la métrique. Donc, premièrement, je vais expliquer pourquoi la formule est correcte et puis expliquer pourquoi ils varient régulièrement. Pourquoi la formule est correcte. Mais une façon de prouver c'est d'utiliser la motion de Brownian et de tirer. Qu'est-ce que c'est ? C'est un processus. Et je commence par X une probabilité à mesure de trajectories. Qu'est-ce que c'est la trajectorie pour la motion de Brownian à partir de X. Et il y a la propriété que la propriété a une distribution. Et plus en plus, la probabilité est que c'est la marque de propriété. Mais essentiellement, c'est ce qu'on utilise. Pourquoi je veux faire mon limiter, ce qui est très bon. Mais ce gars c'est pas bon. C'est un espace infini qui semble être horrible. Mais encore, c'est un objectif géométrique. C'est un objectif géométrique donc je peux projeter un manifold compact et puis une probabilité majeure sur le espace de trajectories sur le manifold compact. Mais maintenant c'est un processus sur un objectif compact. Et donc aussi R plus M. Et si je prends l'intégrale si je prends le big major divided by the probability measure M. Et c'est la probabilité majeure qui est stationnée pour la motion monale qui signifie que si je commence avec cette majeure pour Omega 0 et je regarde ce qui s'occupe de Omega t j'ai toujours la même majeure. Et plus en plus c'est ergodique c'est très facile de voir c'est ergodique de mélanger comme un changement sur le espace de trajectories avec cette majeure et l'intégrale de cette majeure c'est très ergodique Et pour le système c'est facile de voir que c'est LG en fait est donné par limites il va à l'infinité d'une distance d'une t de l'esprit avec les deux niveaux et je commence avec la majeure de la trajectorie j'ai laissé là-bas et je regarde la distance à quel point il a disparu il me donne un numéro et je dis que si je divise ce numéro de t il se convertira presque partout pourquoi il se convertira ? parce que pour ce système pour ce système c'est aussi un séquence Omega 0 Omega tilde a t plus s pourquoi c'est plus que Omega 0 Omega tilde c'est juste la égalité de triangle donc la fonction qui me interesse à la time t plus s c'est plus que la même à la time t plus la 1 à la time s shiftée par t donc c'est exactement un séquence sublétrique par le séquence sublétrique je sais que cette conversion est presque partout cette conversion est presque partout à l1 si c'est l1 en particulier je peux prendre l'expectation je sais que lg est la limite 1 over t de l'expectation de x de la distance de l'Omega c'est ce gars de la distance 1 over t de l'expectation de l'Omega mais vous pouvez aussi prendre l'intégral c'est l'intégral de 0 à t de l'expectation et l'intégral de l'expectation c'est le générateur appris à cette fonction donc ce que je dis c'est que ce gars est le même que la limite de l'infinité de 1 over t l'intégral de 0 à t de delta d de la distance delta d delta d de l'expectation de l'Omega vous pouvez utiliser l'étoce formula ou vous pouvez prendre la derivation de ça et la derivation interviendra le générateur et le générateur c'est exactement la laplacienne donc vous avez la laplacienne de la distance donc ce que c'est et je vais à l'Omega et je vais à delta d delta d c'est la laplacienne de la sphère la sphère la laplacienne la laplacienne de la distance la laplacienne de la distance la laplacienne de la distance la laplacienne de la distance donc maintenant tout est en gamme donc ce qui se passe si j'ai regardé ça qui projette sur le même point donc je vais essayer de regarder cette expression mais de la pointe de vue de la projection de l'Omega et de la laplacienne donc ce sera quelque chose de pourquoi ce sera la laplacienne de la sphère à quoi ? pour laquelle je viens donc peut-être avant de faire ça je dois dire que la distance va à l'infinité la dimension de la sphère centrée à x est très proche de la dimension qui est très proche de ce que je n'appelle b de y vx vyx vyx est un vecteur de y à x quand la distance va à l'infinité la sphère ressemble plus en plus dans la sphère et elle ressemble plus en plus dans un c2 donc la dimension de la sphère centrée à y est très proche de la dimension de la sphère centrée à y donc maintenant pour comprendre ce que c'est quand je prends l'expectation c'est la convergence en L1 je dois comprendre comment la pointe initiale est distribuée quand je arrive à la même pointe avec le projet de la même y mais l'émotion est réversible donc c'est la même chose en commençant de y et en demandant comment la pointe initiale est distribuée et elles sont distribuées en regardant ptxy ptyx maintenant donc la limites tout ça pour avoir une famille complète ici une famille discrète ici mais quand t va vers l'infinité et si je prends l'expectation la limites sera ce que j'ai dit l'intégrale de delta B de B avec respect à la dimension harmonique close d'intégrale de B de x y dm y mais y est omega tilde t s omega tilde s ici on prend une autre t intégrale de 0 à t oui et par le terme aérgodique j'ai déjà pris l'intégrale de S cela converges à ce que je clique l'intégrale de B j'ai jetté un état avec le haut et le bas mais si vous le faites tranquillement en décrivant cette mesure si vous êtes bien éducé vous savez que les points qui ont la même c sur le T1 et l'infiltre sont les manifs stables et la question est exactement la folie centrale et ce que cela fait c'est exactement la même folie de Lucy Garnett que la mesure est la même mesure sur le T1M qui est stationnaire pour la motion brouhonne restricte pour la folie de la stabilisation c'est exactement la même argument vous regardez ici et vous regardez ce qui se passe sur ce point ok donc c'est c'est la première étape donc maintenant j'apprécie d'avoir une belle formulae ici c'est ici les éléments de cette formulae sont réguliers et quand je change ma métrique et comme je l'ai dit je vais faire le proof en détails pour K equal 2 donc elles sont continues pour la famille C2 donc c'est ce qu'est cet homme donc maintenant j'ai une famille C2 et j'ai X et C et je regarde la vector pour la métrique G0 donc si je change la métrique je veux dire c'est pas la même géologique qui vient de ici si je change la métrique je vais avoir des langues différentes dans la métrique régionale et j'ai une direction différente qui arrive à la même point que l'infini et le change de ici à ici c'est une version d'une autre structurelle stabilité et le statement est que donc lambda c'est A-2 minus epsilon epsilon pour l'intervalle dans un espace de function de Hulger et de T1 c'est qu'il y a un alpha donc cette fonction est continue de Hulger comme fonction du paramètre dans la fonction de Hulger et c'est une forme c'est une forme de la stabilité de Delayave où ils prouvent que si vous regardez la structurelle stabilité de morse, je veux dire morse correspondante la map qui vous donne c'est différent il y a deux points d'infinité et maintenant je regarde la map qui vient de ici mais ok, vous avez un petit change à faire mais le change est très smooth ce qu'ils montrent c'est que cette map est continue de Hulger c'est bien con la map ne peut pas être plus que continue de Hulger mais comme une map continue de Hulger c'est possible parce que c'est donné par des fonctions d'implicité et c'est un maire de papier que vous devez connaître ok, la première partie de la B est bien et qu'est-ce qu'il y a de la M la M donc vous voulez montrer que la M dépend régulièrement de nouveau, vous essayez de trouver ça comme un point fixé de quelque chose pour ça, je define un opérateur sur la function continue de function sur une main quel est l'opérateur c'est un groupe de opérateurs PTF donc je prends un lift F tilde M tilde et je prends PTF c'est un opérateur donc si j'ai une fonction j'ai une fonction au point je regarde ici, donc je regarde ce vector ce vector correspond à un certain vector et je regarde la fonction de la valeur de F ici et je prends l'avantage de tous ces vectors et en fait j'ai prouvé un temps auparavant pour prouvoir le théorème centrale pour ça c'est un intégre de F M la norme de la fonction continue c'est plus important donc la norme de la fonction M est envirée par cet opérateur vous avez juste de juste de faire faire ce que ça veut dire et vous voyez que la facture que la norme est envirée par le processus vous dit que la norme est envirée par cet opérateur et la facture est que pas seulement est envirée, mais la convergence est exponentielle si vous restrictez vous-même à la place de la fonction continue Ok, donc la norme c'est le point fixé c'est le point unique le point isolé le point conjugé le point conjugé donc si je change ma lambda lambda va au g lambda g lambda de txy et la preuve de ça est uniforme dans la neighborhood de g lambda 0 donc cet opérateur qui change continuement et comme opérateur en k alpha donc le point fixé m lambda epsilon epsilon 2 k alpha maintenant on est en bonne forme parce que notre formula est l'intégrale de la fonction continue avec respect à une mesure mais la mesure dépend continuement de plus que de plus, mais c'est pas la même alpha mais c'est le plus petit le plus petit ok, donc ça prouve la continuité maintenant on doit prouver le plus haut alors qu'est-ce que nous devons prouver pour b c'est déjà c'est déjà dans la marionne nous avons la régularité que nous voulons pour b donc la chose que nous voulons c'est que nous voulons prouver pour b donc la chose que nous voulons prouver c'est que la question c'est ok nous voulons prouver que c'est réglé et si vous regardez la façon dont c'est défini essentiellement vous voulons prouver que lambda smooth en lambda c1 et c2 lambda avec un contrôle qui permet pour vous dire que la map serait aussi ck comme une map dans cette espèce ok, donc nous étions il y a quelques années et nous pensions que c'était clair c'est pas très et nous commençons à regarder les livres et nous n'avons jamais trouvé n'importe quel résultat donc nous commençons à prouver et l'idée pour prouver qu'est-ce que nous avons ? comme Antoine expliquait ce qu'on a la façon dont c'est défini c'est défini par un flow mais le flow il faut aussi expliquer que vous devez aller au premier sur le bandon de frein et puis définir la question donc nous avons un bandon de frein alors que nous changement tous les possibles freins mais nous commençons avec l'autonomie si nous commençons avec l'autonomie nous resterons avec l'autonomie au moins contrairement à Antoine ce matin j'ai fixé ma g et puis j'ai changé le paramètre je n'ai pas changé les deux en même temps c'est plus simple et puis il y a une map donc si j'ai x 0 u 0 j'ai pris l'initiel d'autonomie donc je vais utiliser l'autonomie 0 et puis si je ne serai pas capable de faire une belle picture de Antoine mais vous avez un flow qui commence par x 0 u 0 vous avez une map de x 0 u 0 qui vous donne x t u t mais la map est grande toute la grandeur la map est très régulière c'est par la solution de l'équation mais la grandeur est dans la map la map est indexée par le motion bronyon la trajectoire bronyon et la grandeur est dans la map et ce qui s'est passé quand j'ai changé ma métrique donc j'ai changé mon point de départ j'ai besoin de trouver la façon de faire de là à là mais aussi j'ai changé ma map et il y a des résultats de cette différenciation stochastique qui dépendent du paramètre tout est smooth tout dépend et la map et tout tout dépend de la paramètre et dépendent régulièrement donc et nous savons que la planterie va vers la planterie c'est bien c'est pas suffisant c'est pas suffisant pour obtenir les résultats peut-être que je peux faire quelques équations pour montrer où le problème est donc je veux montrer que la planterie txy prime à planterie 0 est quelque chose ptxy et des fonctions que je peux contrôler donc je peux faire que l'expectation commence de x c'est un gars qui me dit que l'intégral de y pt y c'est la formule que j'ai précédente c'est la solution donc c'est l'expectation de x de f ce que je peux faire donc si je différencie la planterie à planterie 0 c'est l'expectation qui commence de x de f et je dois aller dans la planterie pour écrire ça et dans la planterie je sais comment différencier j'ai donc une vector de 5 prime c'est la vector et je peux écrire ça de l'intégral de f 5 prime ptxy mais si je veux l'écrire de cette façon je dois faire l'intégration par part donc je dois montrer que ce gars dépend de c1 ou ck donc le problème ce qu'il faut faire c'est que j'ai une variété de 5 qui sont très bonnes et qui sont très bonnes mais je veux montrer que la solution dépend de c1 sur le point et c'est un peu je veux dire il y a des résultats classiques mais le ptxy dépend de ck c'est classique en pd mais c'est aussi classique dans la probabilité il y a plusieurs prouves mais je pense que c'est le premier et il n'y a pas des prouves mais le problème ici est que nous sommes dans un grand espace qui fait partie de tout vocolutivement, nous savons qu'on a assez de déroulations pour avoir des conditions comme ça mais pour avoir d'estimations nous aurons besoin de de ne cứ de ne cứ avec les valeurs en l' harassantaki donc est-ce que tu dois recruter Toutes les coefficients sont définies par la question de la différence stochastique, donc vous devez retourner et contrôler que ce n'est pas trop dingue. Nous pensons que nous pouvons le faire pour K1 et que nous sommes toujours discutés pour K1. Nous avons des arguments. Je pense que c'est ok, mais c'est pas vrai. Peut-être que j'arrête ici.