 Avant de commencer, je voudrais dire que dès le début de ma thèse, j'ai été encouragée par Jean-Pierre Vintembergé à assister à beaucoup de cours, de conférences, de groupes de travail. Donc il y en avait certains qui avaient lieu à l'IHES, d'autres à Orsay, d'autres encore ailleurs. En tout cas, Jean-Marc Fontaine était souvent organisateur et tous ces événements ont beaucoup appris mathématiquement et donc c'est évidemment une joie de voir qu'on continue à apprendre et à faire et à partager les mathématiques qui les ont passionnées tous les deux. Alors aujourd'hui, je voudrais vous parler d'un travail en commun avec Ariane Mésard et Xavier Caruso, qui est une application à la théorie initiée par Fontaine et Vintembergé. Il s'agit de calculer certains de déterminer la géométrie et les propriétés de certains anneaux de déformation galoisienne et pour cela, on a besoin d'étudier et de comprendre des objets auxiliaires qui sont les variétés de kizine et tous ces travaux sont motivés par la conjecture de Brue-Mésard. Ce que je vais raconter ici, le plan de mon exposé sera opposé à son titre à savoir que je vais commencer par introduire les anneaux de déformation, les objets et le contexte et la conjecture de Brue-Mésard qui est la motivation principale. Ensuite, j'expliquerai ce que sont les variétés de kizine pour qu'on les étudie, comment est-ce qu'on les définit et les résultats qu'on a obtenis à leur sujet. Et enfin, j'expliquerai comment est-ce qu'on réussit, comment est-ce qu'on les utilise pour retrouver les espaces de déformation galoisienne qui nous intéressaient à l'origine. Donc, je commence par le contexte de la conjecture de Brue-Mésard. Il s'agit de prendre une représentation modulopée et représentation d'un groupe de galois et d'essayer de comprendre ces relèvements. Et notamment ceux qui sont géométriques ou qui vérifient des conditions dont en s'attend à ce qu'elles imposent qui viennent de la géométrie. Donc, je vais introduire quelle notation que j'espère pas trop indigeste. Donc, c'est un contexte complètement local ici. Donc, on prend un premier qui est plus grand que cinq par sécurité. Notre corps de base sera noté F. C'est une extension noramifiée d'occuper un degré petit F. Et on s'intéresse à des représentations de son groupe de galois GF, qui a son groupe d'inertie IF. Ici, je vais présenter des résultats sur le groupe GL2, donc des représentations de dimension 2. Et on a également besoin d'un corps d'écoefficient, qui sera une extension finie d'occuper. Et en fait, on peut supposer qu'il est aussi grand qu'on veut, c'est-à-dire que tous les objets qu'on considère seront définis sur E, à commencer par le fait qu'ils contiennent grand F. Donc, pour ces deux corps, j'ai choisi des notations standards pour l'adode des entiers, le corps résiduel. Et puis, je fixe également une uniformisante P2. Et je fixe donc une représentation modulée P du groupe de galois absolu de F dans GL2, du corps résiduel de E. Et je suppose ici irréductible. Alors ici, j'ai un certain nombre d'hypothèses, le fait que la représentation soit irréductible, le fait qu'on soit sur des représentations de dimension 2 et que ici, l'extension F soit non ramifiée. Toutes ces hypothèses peuvent être assouplies, c'est-à-dire qu'il y a des... dénoncées. En tout cas, les objets existent et les conjectures existent aussi dans l'autre cas. Mais les résultats à les dénoncer que je vais donner sont valables sous ces hypothèses-là. Donc, je vais travailler à représentation résiduelle fixée et on cherche à déterminer certains relèvements intéressants géométriquement de cette représentation en barre. Donc je ne surprendrai personne en disant que Meiser a d'abord construit un anneau de déformation universelle à déterminant fixé. Donc ici, je vais considérer qu'on a fixé un relèvement du déterminant une fois pour toutes, tout l'exposé. Il ne jouera pas un rôle énorme et donc il va disparaître des notations. Et en fait, il n'apparaît que dans cette ligne-là. Ok. Pensez que c'est à déterminant fixé donc on ne s'en préoccupe pas. Donc Meiser a construit une algèbre de déformation universelle et un relèvement universel de robot qui paramètre tous les relèvements de robot à certaines algèbres. Et nous, comme on ne s'intéresse pas à toutes les déformations, donc c'est des relèvements à une certaine relation d'équivalence. Nous, on ne s'intéresse pas à n'importe quelle déformation mais à celles qui ont des hypothèses supplémentaires et ce sont des hypothèses qui s'expriment dans la théorie de Fontaine. Donc ici, on va s'intéresser à des représentations qui sont potentiellement cristallines. Les représentations qui sont potentiellement cristallines, elles viennent naturellement avec deux données. Le type de Hodge et le type inertiel. Donc le type de Hodge, on peut le voir comme la donnée pour chaque plongement du corps de base grand-tef d'encuper barre ou d'oeuf d'un couple d'entier, dont le premier peut être dans Z et le deuxième doit être supérieur ou égal à deux. Et en fait, ça correspond au poids de Hodge State avec une certaine formule. Donc on va travailler à poids de Hodge State fixés et on fixe également le type inertiel. Le type inertiel mesure le défaut de cristallinité et il nous dit quelle est l'extension qu'il est nécessaire de faire pour qu'un regard devienne cristallin. Et donc c'est une représentation du sous-groupe d'inertie de F à valeur d'un GL2E dont le noyau est ouvert et qu'on peut étendre au groupe de galois tout en dit. Donc on va s'intéresser au relèvement de robots qui sont potentiellement cristallines à poids de Hodge State et type inertiel fixés. Donc si on fait ça, on obtient ces représentations qui nous intéressent. Elles sont paramétrées par un anneau qui est défini et introduit par Kizin, qui est un quotient de l'algette des déformations universelles de Meiser. Donc c'est cet objet-là qui nous intéressera dans la suite de l'explosé. Donc en le construisant, Kizin a également établi un certain nombre de ses propriétés. On sait que par construction il est réduit et sans pétention. On sait aussi qu'il est, quand il n'est pas trivial, il est equidimensionnel, et on connaît ici sa dimension qui est plus 1 dans le cas de GL2 et d'une représentation réductible. On sait également que sur la fibre générique, les composantes irréduxnibles sont lisses. Et puis on a un certain nombre d'exemples de ces anneaux explicites. Donc ça peut être des anneaux de série formelle, avec le nombre de variables qu'il faut, ou on peut voir apparaître certaines relations du type, le produit de 2 variables à la moins. Ça peut être pour un seul couple de variables ou pour plus. Donc sachant ça, l'objectif reste d'étudier ces anneaux, et notamment d'étudier leur fibre spéciale. Qu'est-ce qui se passe quand on réduit le modulo l'uniformisante 2 ? Et la raison pour cela c'est que ces fibres spéciales apparaissent dans la conjecture de Breuemesa. Donc je vais ici donner une formulation la plus optimiste possible. Peut-être un peu naïve de la conjecture de Breuemesa. Mais j'ai choisi de vous donner l'idée générale plutôt que des énoncés exactement exacts qui seraient peut-être pénibles à écrire et encore plus à écouter. Donc l'idée c'est de regarder la fibre spéciale dont je parlais. Donc on réduit l'anneau modulo pieu et on regarde le schéma qu'on obtient. Et on regarde le cycle qui est formé par les composantes irréductibles de cette fibre spéciale comptées avec leur multiplicité. Et ce qui se passe c'est qu'on rebarre notre représentation rebarre affixée mais les types de déformations, types d'yoles, types inertiels peuvent changer. Mais tous ces anneaux sont toujours des quotients de l'algebra universel de Meyser. Donc tous les cycles qu'on vient de finir, ils vivent dans le cycle associé à la fibre spéciale des déformations universel de Meyser. Et ce que fait la conjecture de Breuemesa c'est qu'elle décrit des relations entre ces différents cycles pour le type de déformation quand T et V varient. Donc voilà le type de relation qu'on peut obtenir. Donc ce que prédit la conjecture de Breuemesa, qui a d'abord été énoncé comme il se doit par Breuemesa. Ensuite il y a eu des formulations du haquisine, il y a eu des formulations raffinées, des formulations d'héritique dû à Emerton et G et c'est là qu'il y a aussi des formulations évidemment pour d'autres groupes KGL2. Donc ce que dit l'énoncé il prédit l'égalité entre d'un côté il dit, il nous explique comment se décompose le cycle associé aux déformations de robards potentiellement cristallines de type T et V. Ici je l'énonce dans le cas potentiellement cristallin mais il y a aussi des versions potentiellement semistes. Donc ce que nous dit ce que prédit la conjecture de Breuemesa c'est que la fibre spéciale de la note déformation potentiellement cristalline de Robert et associé à Robert et V il se décompose comme une somme et chaque termes dans cette somme est un facteur qui a une multiplicité fois un autre cycle géométrique que je vais expliquer en parrain. D'abord la somme elle porte sur les poids de serre du corps de base F donc ce sont des classes d'isomorphisme des représentations du groupe fini GL, du corps résiduel de F sur F, P, Bar ou ici sur K, E. Donc il y en a un nombre fini qui sont classifiés, décrits explicitement et pour chaque poids de serre le terme qui lui correspond c'est le produit de choses donc la chose qui est la plus à droite ici c'est un cycle qui était défini sur le transport en avant et c'est le cycle pour un type qui est trivial c'est-à-dire qu'on regarde des formations qui sont cristallines et les poids de hot state sont en fait fixés par le poids de serre qu'on regarde également une formule explicite ce qui est important ici c'est que pour certains poids de serre les poids de hot state peuvent être grands et sortir des bornes de fontaine lafaille donc on a ici un cycle cristallin et il est multipliqué donc ce qui est important c'est que le cycle cristallin ici ne dépend que de la représentation résiduelle robot et du poids de serre qu'on s'est fixé à l'inverse la multiplicité par laquelle on multiplie elle ne dépend que du poids de serre et des données de déformation T et V c'est un certain entier et on peut le calculer aussi plus ou moins explicitement donc l'idée c'est d'associer aux données de déformation T et V une représentation de représentation de GL2 de OF donc pour T ça se fait et pour GL2 ça a été fait par Enya notamment et donc on associe des représentations côté GL2 aux données de déformation T et V et on choisit un réseau stable on réduit le modulo uniformisante et en fait il s'agit de compter la multiplicité du poids de serre dans ces représentations qui sont associées à T et V donc c'est vraiment une multiplicité et donc on a en fait décomposé la géométrie de la fibre spéciale de nos déformations une somme sur les poids de serre d'un produit de 2 choses une qui dépend que du poids de serre et des données de déformation du côté GL2 et les déformations cristallines qui dépendent que du poids de serre et de la représentation rempart donc on peut voir cette égalité dans les deux sens on peut se dire d'une part que si on connaît ici tous les cycles cristallins et qu'on connaît bien les multiplicités ici notamment dans lesquelles l'intervient notamment la correspondance de l'anglance locale pour définir le type associé à T si on connaît tous les cycles cristallins et toutes ces multiplicités on peut obtenir les informations sur toutes les déformations potentiellement cristallines de type T et V ici il y en a qu'un nombre fini à comprendre ici tous les cycles cristallins ça c'est l'égalité droite vers gauche et on peut aussi penser dans l'autre sens en se disant que si on croit à la conjecture de Braille-Mésard et si on a assez de type de déformations T et V pour lesquelles on a des informations sur ces anneaux de déformations et pour lesquelles ces multiplicités sont connues et en fait on peut en déduire ou moins conjecturer des informations sur les déformations cristallines qui peuvent être difficiles à calculer directement notamment si les poids de Hot State correspondent à des poids qui correspondent à des poids de Hot State qui sont trop grands entre guillemets donc en général ce côté-là est appelé le côté galoisien ce côté-là est appelé le côté automorph qui a des représentations de GL2 qui apparaissent ok donc ce qui est connu pour la conjecture de Braille-Mésard j'ai ici indiqué que les premiers cas le cas de GL2 est occupé il a été démontré par Kizin en lien avec la conjecture de Fontaine-Maisard donc en fait c'est une version numérique qui l'a démontré dans laquelle c'est une égalité entre deux multiplicités et dans un cas une inégalité utilise tout le programme de de l'enclin de spéadique et l'autre une égalité utilise des méthodes globales ok donc depuis il y a d'autres cas qui ont été démontrés notamment pour des types de déformations particuliers ok donc il y a d'autres résultats par Emerton and G par Stéphane Amoura et probablement d'autres personnes que je suis en train d'oublier que je prie de m'excuser pour ça donc ici le lien avec la conjecture de Fontaine-Maisard n'est pas fortuit puisqu'en fait on peut aussi démontrer que la conjecture de Braille-Mésard est équivalente à des théorèmes de relèvement de modularité qui sont globaux bien que l'annoncer soit complètement local ok et enfin ici on s'attend aussi par la partie des relèvements cristallins et lié aussi à la partie poids de la conjecture de modularité de serre puisqu'on s'attend à ce que le cycle pour Robart et les poids de Rochkaï de V Sigma soit non trivial si et seulement si Sigma est un poids de serre pour Robart c'est-à-dire qu'on s'attend en un sens à ce que la représentation Robart puisse être modulaire de ce poids Sigma donc il y a des listes de poids associés à la représentation Robart donc voilà la motivation pour étudier certains espaces de déformation galoisienne et nous notre travail s'inscrit plus tôt dans la deuxième approche que j'ai annoncé c'est-à-dire connaître ce qui se passe du côté gauche et en déduire des informations sur le côté droit donc on va fixer certains types de déformation galoisienne pour lesquelles les anneaux sont faciles à calculer et essayer de déduire des informations sur la partie droite donc on va fixer maintenant dans toute la suite des poids de Haute-State et un certain type inertiel donc on va prendre un type de Haute-State le plus petit, le plus simple possible donc 0 et 2 pour tous les plongements qui correspond à des poids de Haute-State 01 ce qui signifie que il y a un groupe pénévisible sous-jacent dans les relèvements des représentations des relèvements de repart qu'on considère donc ça va être fixé pour toute la suite de l'exposé et comme type inertiel qui doit être une représentation de l'inertie dans GL2E on va on va le prendre diagonale qui sont des caractères fondamentaux de niveau F et on suppose que le type est non scalaire c'est-à-dire que les deux puissances sont différentes l'ordre du caractère et j'ai ici indiqué la normalisation qu'on prend pour le caractère fondamental de niveau F donc ça c'est fixé pour toute la suite de l'exposé et l'idée c'est que le V0 ne va pas changer mais que T pourra éventuellement varier donc on a une méthode générale pour déterminer les anneaux avec ces types de déformations et j'ai ici écrit les noms C lorsque le degré du corps est égal à 2 c'est à dire quand on a une extension non ramifiée de degré 2 d'occuper donc il faut exclure certaines représentations qui sont vraiment très très très dégénérées mais si on exclut ces représentations là on sait qu'il y a 3 possibilités pour les espaces de déformation potentiellement en Barsox State soit il n'y a pas de déformation, l'anneau est nul et les deux autres possibilités c'est un anneau de série formelle en 3 variables avec soit le produit de 2 moins P soit le produit de 2 qui doit être égal à moins P alors ici je dois dire que même pour F quelconque lorsque la représentation Robert vérifie certaines conditions de généricité ces anneaux sont en fait complètement déterminés par Breuil et Mésard pour F quelconque dans le cas réductible ici ce qui est nouveau c'est qu'on va traiter plus de représentations donc certaines qui sont non génériques mais pas non plus trop trop dégénérées et c'est dans ces cas là qu'en fait ce dernier anneau là apparaît. En tout cas dans les deux cas où l'anneau est non nul ce qu'on observe c'est que dans la fibre spéciale on a 2 composantes irréductibles qui sont lisses et donc si on croit à la conjecture de Breuil et Mésard et à l'interprétation que je vous en ai donnée on s'attend à ce que les cycles cristallines correspondent soit aussi des composantes irréductibles qui sont lisses donc dans la suite de Léoncée je vais maintenant vous expliquer comment on utilise quelle sont les variétés de kizine qui sont associées aux problèmes qu'on s'est donnés donc on a fixé notre représentation résiduelle pour Barre F peut être maintenant quelconque on regarde des déformations potentiellement en Barre-Sotite donc potentiellement cristalline un Poitre-Sotite-01 avec les types diagonaux que j'ai donnés modérément ramifiés de niveau F donc c'est là que évidemment Jean-Pierre et Jean-Marc arrivent à la rescousse qui vont nous permettre de transformer nos problèmes de représentation qui sont compliqués en problème d'algèbres chemis linéaires qu'on espère être moins compliques donc pour des anneaux de coefficient sympathiques qui peuvent être soit l'anneau désentier de notre corps des coefficients son corps résiduel ou même l'algèbre de déformation universelle de Mésard on peut associer grâce à la théorie de Jean-Pierre, Jean-Pierre, Jean-Marc à une représentation de GF sur R, un Phi module c'est un certain module avec Info-Bénus sur cette anneau de série formelle où on a un U, on a un R, c'est U et on complétait un certain nombre de fois mais ce qu'on obtient c'est ici un objet d'algèbre semi-linéaire l'idée c'est que ces objets-là c'est plus facile de calculer avec pour des êtres humains et aussi pour des ordinateurs donc nous on ne veut pas s'intéresser à n'importe quelle représentation on veut des conditions supplémentaires qui vont se traduire du côté théorique de Hodges Péadique par des structures supplémentaires ici si on veut des représentations sur OE qui sont de R2 on va obtenir un Phi module qui est également de R2 et la condition d'être cristalline de type de Hodges V0 donc 01 pour tous les plongements ça se traduit par l'existence d'un unique réseau dans le Phi module associé sur OE, associé à Rho qui est de type V0 ça c'est une condition sur le déterminant du Frobenus, c'est une condition type hauteur, contrôle de la hauteur mais on a encore plus précis donc le fait d'être, si on regarde des représentations cristallines on obtient ici un certain réseau qui en caractéristique nul est unique et le fait qu'on va y relever que nos représentations se réduisent du loupieux sur Rho bar ça se traduit par le fait que le réseau en question unique réseau dans ce Phi module se réduit du loupieux en un réseau dans le Phi module associé à notre représentation réituelle Rho bar et enfin si on regarde des représentations qui sont potentiellement cristallines il faut introduire le type inertiel ici il faut introduire l'extension sur lequel ce type qui est l'extension gendrée sur F par une racine P-P-C-F-1 et ici on obtient un Phi module qui est naturellement mini d'une action de ce groupe fini et on va vouloir que nos réseaux aient des bonnes propriétés vis-à-vis de cette action finie donc une bonne base compatible avec le Frobenus cette action-là donc on a traduit en tout cas nous ce qui nous intéressait c'était ce qui est à gauche ici ces représentations galoisiennes et on a tout traduit en termes de théorie d'HPAD avec un certain nombre de structures mais qu'on peut complètement expliciter ici il y a essentiellement 3 étapes si on veut déterminer la partie gauche on s'est donné Rho bar au début donc le Phi module associé à Rho bar c'est quelque chose qu'on connaît donc la première étape c'est de déterminer tous les réseaux dans ce Phi module tout qui vime au du loupé tous les réseaux qui sont de type T et V0 c'est à la première étape deuxième étape on va vouloir relever en caractéristique nul se demander quels sont les réseaux sur OE qui peuvent se réduire sur des réseaux dans le Phi module de Rho bar et ensuite ça c'est l'étape la plus délicate voir comment est ce que tous ces modules en caractéristique 0 se mettent ensemble pour fabriquer ici les anneaux de déformation que je vous ai montré juste parmi les trois étapes que je viens de citer il y en a deux qu'on peut déléguer à des ordinateurs donc dans notre cas déterminer tous les réseaux de type T V0 dans le Phi module de Rho bar ça un ordinateur peut comprendre le faire il va également nous sortir des familles de Phi module de réseaux en caractéristique nul qui se réduit sur le Phi module après la dernière étape comprendre comment tout cela se recole géométriquement c'est plus délicat donc si on veut formaliser les étapes que je vous ai racontées et définir proprement la variété de cuisine, on va regarder pour de bonnes algebes sur sur l'anneau de déformation universelle de Meiser un foncteur qui à ses algebes associe tous les réseaux de type T V0 dans le Phi module de la déformation universelle de Rho bar sensorisé par S qui sont en fait des modules de broyquisine dans ce réseau donc quand on regarde ce foncteur il est représentable par un schéma formel qui en fait provient d'un vrai schéma qu'on appelle GR qui dépend de Rho bar ET V0 et qui est projectif sur l'anneau qui nous intéresse ici donc ce schéma a une fibre générique d'une part et le fait que dans le transparent précédent en caractéristique nul le réseau soit unique dans le Phi module ça nous dit que la fibre générique du schéma GR ici et la fibre générique de l'anneau qui nous intéresse sont les mêmes ça c'est côté caractéristique nul et côté fibre spécial on obtient un objet qui est projectif sur le corps fini résiduel de notre anneau de coefficient c'est ça la variété de kizine quand je vais étudier maintenant donc ce qu'on a ce qu'on a démontré c'est qu'il est possible de décrire très explicitement cette variété de kizine elle vit naturellement dans un produit de petit F3 de projectif ou F c'est le degré du corps de base local et on a dans ce produit de droits de projectif des équations explicites cette variété de kizine ces équations explicites elles nous montrent que c'est un sous schéma fermé et réduit de ce produit de droits de projectif et on peut décrire vraiment très bien ces composantes irréductibles qui sont toutes des produits de P1 et on connaît leur nombre on peut connaître leur dimension et on peut voir également comment est-ce qu'elle s'intersecte et en comprenant tout ça on peut montrer que cette variété de kizine est connexe ce qui était évidemment déjà connu dans certains cas mais ici on obtient beaucoup plus grande généralité et surtout une plus grande variété de situations géométriques et cette connexité ça répond à une conjecture qui a été formulée par qui donc ce que je vais faire maintenant c'est vous expliquer comment est-ce que concrètement on arrive à ces équations là l'objectif étant de vous convaincre que c'est concret et aussi peut-être que vous préférez qu'un ordinateur le fasse à votre place donc l'idée c'est qu'ici on a deux choses qui varient la représentation résiduelle moduloupée et puis le type inertiel puisqu'on a fixé les poids donc la représentation qui est ici irréductible on obtient en induisant un caractère de niveau 2F donc on induit du couple de galois absolu de l'extension noramifiée de degré 2F à notre corps de base F on induit une certaine puissance du caractère fondamental de niveau 2F qui nous donne un petit tâche il y a aussi une partie noramifiée et une partie on peut en tordre par un caractère de niveau F mais ça intervient de manière moins cruciale dans les calculs donc j'en parlerai pas ici donc ça c'est la première donnée la deuxième donnée des déformations c'est le type inertiel tout à l'heure la somme de caractère fondamental de niveau F et ce qui compte ça va être la différence de ces deux caractères donc je l'écris sous la forme suivante une puissance du caractère fondamental de niveau F plus le caractère trivial temps saurisé par une partie qui m'intéresse moins et je prends une certaine puissance qui est un représentant un moduloupé puissance F1 toujours est-il que ça fait on a encodé notre problème dans deux entiers c'est obligé de me faire confiance avec ces deux entiers qui encodent la représentation et le type inertiel on définit une suite d'entiers qui sont définis les alfaillis qui sont définis par une certaine congruence et on prend une congruence moduloupé puissance F1 et on prend un représentant entre 0 et puissance F2 donc on obtient une suite d'entiers associé à cette suite d'entiers qui est définie à partir de nos données de base on va définir un objet combinatoire donc on a un entier qui vit dans un certain intervalle cette intervalle on le découpe en quatre morceaux et selon où tombe la valeur de notre alfaillis on va associer à remplacer alfaillis par un certain symbole XI qui peut être A, B, O ou A, B et alors ce qu'on observe c'est qu'ici on regarde assez longtemps c'est alfaillis, on peut se convaincre que cette suite est 2F périodique du coup on a qu'à regarder les X de 0 à 2F-1 et d'autre part ce qui sort dans les calculs c'est que ce qui est pertinent c'est de comparer XI avec XF plus donc notre suite de 2F symbol elle va se disposer naturellement sur forme de ligne de longueur F avec F colon et la relation de périodicité nous donne que cette donnée combinatoire se recole en un reprend de ma puce donc ça fait un joli dessin mais ça fait aussi des équations pour la variété de quizine donc maintenant ce que je vais vous expliquer c'est comment avec cet objet combinatoire on obtient les équations de la variété de quizine donc je rappelle que les points de la variété de quizine ils décrivent des réseaux de type TV0 dans le phimodule de Robar et le phimodule de Robar il va se décomposer en F facteur qui correspond aux différents plongements de grand F dans l'occupé bar qui sont envoyés les uns sur les autres par le Frobenius donc le Frobenius envoie le MI sur le MI plus un et c'est le cas aussi pour le réseau de type TV0 et en fait ce qui va se passer c'est que chacune de ces colonnes ici va correspondre à des coordonnées homogènes dans une droite projective dans le produit de petit F droite projective donc la variété de quizine ça va être l'ensemble des points dans ce produit et la variété de faute projective plus certaines équations que je vais expliquer maintenant et donc chaque colonne ici la IEM colonne va décrire le IEM factor dans le monde ok donc comme il est déjà tard je vous propose de faire un petit un petit gymnastique en voyant un exemple donc c'est un exemple en degré 11 qui correspond à ces données H donc on induit telle puissance du caractère fondamental de niveau F avec un certain type qui correspond à ce C là et dans ce cas là on obtient cette suite de symboles X ok donc avec cette suite de symboles X je vais vous expliquer comment on obtient les équations de la variété de quizine et pour ça on a besoin de dessiner, de relier certaines colonnes et pour les reliers on a besoin de regarder d'abord quelle est la lettre dans chaque colonne qui apparaît le plus souvent il se trouve que on s'intéresse à A et B ok donc il y a un certain nombre de colonnes pour lesquelles on peut déterminer la lettre la plus fréquente et quand c'est pas le cas ce qu'on fait c'est qu'on va à la colonne suivante vers la droite et puis on complète en fonction donc ici on se retrouve avec A et A ici puis le B tout là donc les conditions de le fait de prendre des données de déformation qui ne sont pas horriblement dégénérées ça assure notamment qu'on ne va pas tourner pour toujours ici on se retrouve avec deux gros blocs un bloc A et dominant, un bloc B et dominant mais ça peut être beaucoup plus compliqué si le degré du corps ne pas est plus donc une fois qu'on fait ça on va définir deux sortes de liaisons entre les colonnes les premières sont des liaisons diagonales les liaisons diagonales elles existent entre les colonnes qui ont la même lettre dominante et si on a deux colonnes A domines on va dessiner des liaisons diagonales qui partent de la lettre A pareil pour B donc si on a trois liaisons qui sont parallèles donc ça c'est ce qui sort des données combinatoires premier type de liaisons qui suffisent en fait pour décrire la lettre Kizin et un autre type qui nous servira plus tard c'est des liaisons horizontales qui servent en fait qui existent entre les colonnes qui ont des lettres dominantes différentes donc ici il peut y en avoir que à l'extrémité puis en milieu entre B et A donc si on a une colonne B domine et une colonne A domine on dessine des liaisons horizontales qui partent de toutes les lettres B donc tous ces objets existent on peut les définir de manière complètement combinatoire et un ordinateur il peut très bien les comprendre et ce que je vais vous expliquer maintenant c'est comment les traduire en équation de la vérité Kizin donc il y a trois sortes d'équations qui vont apparaître quand on écrit la vérité Kizin la première équation c'est que entre A se transforme en une coordonnée qui est nulle donc ici la coordonnée x18 et x21 ces deux coordonnées doivent être nulles soit premier type de simplification deuxième règle de traduction quand on a une seule liaison diagonale entre deux colonnes le produit des deux coordonnées qui sont reliées doit être nulle donc ici on a huit produits qui doivent être nulles et enfin quand on a une croix entre deux colonnes les deux coordonnées qui correspond à nos colonnes doivent être égales on collab sans gros la vérité Kizin donc ça c'est les règles théoriques qui marchent à n'importe quel degré pour n'importe quelle donnée de déformation et on peut ici les simplifier de la manière suivante donc d'abord puisque on a deux coordonnées qui doivent être nulles et qu'on est dans l'espace projectif ça veut dire que l'autre coordonnée dans la colonne peut être prise égale à un donc ici on a déjà fixé deux en gros les valeurs de deux coordonnées ensuite si on s'intéresse au produit qui doit être nulle il y a des équations qui peuvent disparaître puisqu'elles sont toujours vérifiées puisqu'on a 0 fois quelque chose qui doit être égal à 0 donc ici on va faire disparaître les liaisons qui relient x6 et x9 à 0 et on pourrait faire disparaître les équations correspondantes et puis il y a d'autres simplifications possibles si ici 1 fois x19 doit être nulle ça oblige x19 à être nulle donc comme tout à l'heure si x19 est nulle ça veut dire que x8 doit être égal à 1 et qu'on peut oublier la liaison qu'on avait dessinée et enfin la troisième règle nous dit que la van dernière et la van van dernière colonne doivent être les mêmes donc en fait les quatre dernières coordonnées dans notre variété de kisines sont fixées et pour les équations restantes vous aurez reconnu cette sous-variété donc ici on est dans un produit de 11 p1 les quatre dernières coordonnées sont fixées et les quatre premières vivent dans une chaîne de quatre droits de projectives et celles du milieu vivent dans l'union transverse de 1 p1 x p1 ou un seul p1 donc évidemment j'ai choisi cet exemple pour son intérêt géométrique mais ce qui est important de dire c'est que dans le cas où la représentation robot est générique et qu'elle est réductible les seules variétés de kisines qui apparaissent c'est la variété vide et un point donc là on voit que la géométrie peut être nettement plus compliquée qu'il peut y avoir des composants de dimension supérieure et qu'elle peut aussi être non équidimensionale donc maintenant j'aimerais revenir à notre problème initial qui était déterminé des espaces de déformation galoisienne et maintenant qu'on connaît très bien les variétés de kisines associées alors je reviens à l'image de départ ce qu'on avait c'est qu'on avait ici un schéma qui est projectif sur l'anneau qui nous intéresse qui a la même fibre générique et puis on vient déterminer sa fibre spéciale donc dans ce contexte là on a une application de spécialisation qui part des points de la fibre générique de ce schéma là dans sa fibre spéciale donc des points génériques de la note qui nous intéresse à la fibre spéciale, à la variété de kisines dont on vient de déterminer explicitement et cette application de spécialisation on peut vraiment très bien la décrire sur les réseaux, sur les modules de project kisines si on prend ici une représentation gros qui va correspondre à une déformation du rebarre qui est potentiellement crystalline de type T elle a un fil module sur OE qui est une unique réseau qui est de type TV0 dedans et ce réseau il se réduit au module OPE sur un réseau dans le fil module de rebarre et c'est exactement cette application qui est l'application de spécialisation donc ce qu'on vient de faire c'est de bien déterminer tous les objets qui sont là on est à l'étape de du raisonnement à savoir déterminer l'image réciproque par l'application spécialisation de chaque point de la variété de kisines et ensuite il faut voir comment est-ce que toutes ces contributions se recole l'espace de déformation qui nous intéresse ou du moins sa fibre génère donc ici cette deuxième étape est encore possible d'écrire l'image réciproque d'un point de la variété de kisines par l'application de spécialisation il s'agit de bien comprendre les modules de boy kisines en caractéristiques nul et comment ils seront réduits en caractéristiques P donc pour ça on a besoin d'une donnée supplémentaire qui existe sur la variété de kisines qui est en anglais s'appelle shape français genre donc pour un point sur la variété de kisines son genre ça va être la donnée de f symbol les symboles peuvent être 1 ou 2 et donc si on veut définir ces symboles-là un point sur la variété de kisines correspond à un réseau dans le phimodule de Robart qui se décompose en f facteur qui correspond à chaque plongement et le Frobenus envoie un facteur mi sur mi plus 1 jusqu'à f moins 1 et ce que décrit ce symbole 1 ou 2 c'est la forme de la matrice du Frobenus dans une base qui est bien adaptée à toutes les données donc données de descente donc ça c'est aussi complètement calculable c'est codé par la suite combinatoire de 2 f symboles que je vous ai données et par les liaisons diagonales qui est entre eux et par les liaisons horizontales égales celle qui était en rouge au final pour toute en toute généralité on peut démontrer qu'on obtient une stratification sur la variété de kisines par des sous schémas localement fermés et réduits avec typiquement ce qui va se passer c'est que les 1 vont dégénérer en 2 donc j'ai mis quelques exemples quand f égale 3 donc ce n'est pas tous les exemples puisqu'il peut y avoir des points mais c'est quelques 1 qui sont typiques donc on peut avoir une droite avec un ouvert de genre 1 à 1 et puis 2 points sur lequel un facteur 1 on peut avoir l'union de 2 droite sur lequel on a chacune un facteur de type 2 et genre 2 qui est au point il y a une dégénérescence au point d'intersection où le facteur est de genre 2 à 2 on peut avoir un produit de p1 avec dedans des droites sur lequel un ouvert de genre 1 à 1 3 droites sur lequel un des facteurs dégénère en 2 et un point d'intersection où tous les facteurs dégénèrent en 2 et puis on peut avoir l'union de ces 2 situations donc ça c'est en degré 3 c'est déjà assez riche puisque je ne les ai pas tous donné ici et quand le degré augmente évidemment il y a encore plus de possibilités donc ce qu'on a je rappelle qu'on a l'application de spécialisation qui va de la fibre générique de notre espace de déformation dans la variété de kizine et ce qu'on veut faire c'est déterminer pour chaque point de la variété de kizine son image réciproque par l'application de spécialisation celle-ci est complètement décrite par le genre que la stratification qu'on vient de définir c'est un produit de F facteur et le genre 1 va contribuer pour un petit disque et le genre 2 va contribuer pour une certaine couronne donc on obtient un certain pour chaque point de la variété de kizine un produit d'anneau et de couronne et on essaye de les recoller ensemble de la note déformation alors je vais vous montrer ici un exemple non trivial c'est le premier exemple qu'on a rencontré où la variété de kizine n'est pas un point quand la variété de kizine est vide ou un point c'est plus facile quand c'est pas le cas ici c'est le premier exemple pour F égale 2 pour F égale 2 ce qu'on observe c'est que la variété de kizine soit vide soit un point soit ici la droite P1 sur laquelle il y a genre 1 x 1 partout sauf pour 2 points ou un des facteurs de genre 1 dégénérante donc c'est dans ce cas là on a pu montrer que la note déformation est celui le dernier que je vous ai montré 3 variables dont le produit de 2 doit être égal à moins P2 et si on regarde l'espace rigide le point de cette anneau qui est associé on obtient le produit d'un disque un variable libreté ici un disque x une couronne ouverte dont le rayon externe est 1 et le rayon interne c'est P-2 et en fait cette couronne on la construite en en recollant 2 couronnes une qui vient, une pour chacune des points qui a genre un facteur de genre 2 et un facteur de genre 1 et ces 2 couronnes se recollent de long d'un disque et d'un cercle, pardon et ce cercle est exactement l'union disjointe d'un certain nombre de disques et il y a exactement autant de disques que de facteurs de genre 1 1 1 1 ok donc ici il faut penser que les couronnes sont disjointes mais je n'ai pas encore très bien géré la géométrie en archimédienne en latec ok il faut penser que les disques et les couronnes sont disjointes mais toujours est-il qu'ici on voit bien comment chaque contribution de chaque point de la variété de kizine se recolle pour obtenir ici un anneau de déformation donc comment est-ce qu'on a procédé concrètement on a tâtonné d'abord mais on a aussi eu l'idée de se recollement et ensuite il s'agit de prouver que l'anneau qu'on a deviné en gros est le bon donc l'idée concrète c'est que sur chaque point de la variété de kizine il vient avec un certain anneau explicite donc cet anneau explicite on le construit en ajoutant pour chaque une variable tj qui est libre et pour un facteur de genre 2 on rajoute 2 variables dont le produit doit être égal à piqué ça nous donne un anneau explicite sur lequel il y a un module de brekizine qui est de type t et v0 qui va donc nous donner une déformation de repas ok donc on construit de cette manière-là un amorphisme d'anneau injectif de l'anneau qui nous intéresse dans le produit de tous les anneaux pour tous les points de la variété de kizine ok et l'idée c'est de déterminer l'image donc évidemment s'il y a un seul anneau c'est plus facile que s'il y en a beaucoup donc en général si on a un candidat qui est un anneau explicite on va passer aux espaces tangents donc ici on va avoir l'émorphisme de notre notre anneau candidat dans les nombres du haut à valeur dans le ex-1 de roubares par elle-même tout ça étant complètement concret on peut déterminer on peut même plus ou moins l'encoder par ordinateur et si ici l'anneau il est explicite il est donné par un certain nombre de variables on a aussi ici une base de cet espace vectoriel et on peut regarder cette application et voir si elle est injective ou non ce qui nous dira si notre amorphisme est surjectif et si cette application n'est pas injective on a certains éléments dans son son noyau qui peuvent nous donner des suggestions de comment réduire l'anneau ici pour avoir un anneau plus petit qui va être exactement donc cette partie-là elle n'est pas complètement implémentable et c'est pour ça que je vous ai présenté au début des anneaux que pour f égale 2 c'est parce qu'en dimension supérieure pour des variétés de kizine plus compliquées on sait pas encore le faire en toute généraïté donc ce qu'on espère quand même c'est que on est assez d'informations sur la variété de kizine et sa stratification par le genre pour construire une construction conjecturale qui est basée sur la variété de kizine et sa stratification par le genre donc en faisant un certain nombre d'éclatements donc on a une sous-construction géométrique pour un espère marché qui pourrait nous donner un bon anneau candidat qui aurait en tout cas la même fibre générique que l'anneau qu'on cherche à déterminer par exemple la variété de kizine elle peut avoir des morceaux comme ça comme je vous l'ai montré tout à l'heure qui sont une chaîne de L plus impéant et dans ce cas là un candidat qui nous paraît raisonnable c'est un anneau de série formelle avec le bon nombre de variables conscienté par la relation x,y plus p à la puissance de plus 2 égale 0 évidemment dans cette recherche d'anneau on est guidé par la conjecture c'est juste pour mettre en valeur les points d'intersection mais il y avait une histoire de type 1 et type 2 il y a de forte chance que le genre dégénère à cet endroit-là et donc ici il y a des facteurs de type 2 qui vont apporter des couronnes qu'il va falloir coller effectivement c'est comme avec des kizines juste en point ça vient du quoi ? ça vient juste après mais il y a des cas qui marchent bien puis d'autres cas qui marchent moins bien que je vais vous montrer tout de suite donc on a une construction qui est pour l'instant conjecturale, qui fait un conjecture qui est un conjecture qui est un conjecture qui est un conjecture qui est un conjecture qui est pour l'instant conjecturale qui faut encore expliciter en partant de la variété de kizine de sa stratification parce qu'on sait que la variété de kizine sans le genre ne suffit pas donc avec la stratification en plus on a l'espoir d'obtenir au moins un anneau qui aurait la même fibre générique que l'anneau qu'on cherche à déterminer et ce que je disais c'est que évidemment pour cet anneau lui-même on doit avoir au moins une minoration de son nombre de composantes irréductibles si on croit à ce qui était à droite du égal dans la conjecture de Breuil-Mésard on sait qu'il doit y avoir un certain nombre de contributions et on sait aussi calculer en tout cas le nombre de poids de serre qui doit apparaître à droite dans la conjecture de Breuil-Mésard et donc au moins combien de composantes on doit s'attendre dans les cas génériques c'est des puissances de deux qui sont bien comprises on peut avoir 3 ou 5 ou 7 des choses dont on sait beaucoup moins comment est-ce qu'elles apparaissent du côté des anneaux de déformation galoisienne donc ça c'est une conjecture dans le cas de la fibre générique mais nous évidemment ce qui nous intéressait puisqu'on veut réduire le modulopieux c'est l'anneau en lui-même et là la situation est nettement plus compliquée c'est à dire qu'on a un exemple en f égale 2 de 2 donner de déformations différentes donc représentation galoisienne et type galoisien donc une rebarter une reprime, barre et déprime dans les deux cas on s'est démontré que la variété de cuisine est la même avec le même genre 1 fois 2 et dans le cas de gauche on s'est démontré que la note déformation c'est cet anneau-là 3 variables dont le produit de 2 est égal à moins p donc la méthode marche très bien avec juste une variété de cuisine trivial mais par contre dans le deuxième cas la méthode que j'ai expliqué tout à l'heure sur les espaces tangents nous montre que pour ces déformations pour reprime, barre et déprime l'anneau de déformation doit être en fait strictement inclus dans notre anneau explicite et pour l'instant on n'a pas d'idées on sait pas lequel ça doit être, on n'a pas encore réussi à reconstituer un dequel anneau il s'agissait une chose que j'ai oublié de dire peut-être sur le je vois bien rapidement au cas de P1 c'est qu'en fait concrètement ce qu'on a fait une fois qu'on avait deviné le bon anneau on a réussi à reconstruire un module de brachisine sur cet anneau-là qui recollait ensemble toutes les familles et qui nous donnait qui nous donnait l'isomorphisme avec l'anneau qu'on voit ici on n'a qu'un seul anneau on a une injection strict et en fait on sait toujours pas quel est l'anneau qu'on doit obtenir mais probablement il doit avoir deux composantes irréduquibles dans la fibre spéciale si on croit la conjecture de Borémésar et au poids de et à la correspondance avec les poids de serre mais en tout cas ce qu'on observe c'est que même si la variété de kizine est la même avec la même stratification les données combinatoires qui permettent d'arriver à cette variété de kizine sont très différentes à gauche on a des choses qui sont assez gentilles on n'a pas ce que l'on a les hauts ça veut dire qu'on a des zéros ici on a une croix et les croix en général c'est les choses qui font collapse de la variété de kizine donc c'est une situation qui est beaucoup plus dégénérée donc la variété de kizine est la même mais en fait les anneaux sont très différents et on a au moins une explication qui est que ce point dans un cas il vient très simplement dans ce cas-là il est beaucoup plus dégénéré et notre espoir c'est qu'il est quand même assez d'information dans l'objet combinatoire qu'on a introduit donc ces symboles qui veulent être A, B ou O et dans les liaisons qui leur sont associées et qui permettent de définir les équations de la variété de kizine et sa stratification et on a l'espoir qu'au moins pour GL2 il y a assez d'informations dans cet objet combinatoire pour déterminer complètement l'anneau lui-même et donc les composants tiréductibles dans sa fibre spécifique et donc si vous avez une idée pour cette anneau de déformation nous sommes preneurs pour terminer un peu en avance mais je pense que personne ne s'en plaindra je vous remercie pour votre attention il y a-t-il des questions j'aimerais revenir sur juste pour clarifier cet espoir et un bon nombre d'espoir votre espoir oui c'est vraiment un espoir parce que quand Eve grandit ce que je veux dire c'est que le nombre de structures combinatoires comme ça il a l'air de beaucoup plus limité que le nombre que ce qui est permis la condition de Eve mais peut-être je ne sais pas je pense que déjà réussir à traiter des cas très dégénérés en degré 2, en degré 3 finalement en degré 2 on n'a qu'un seul facteur P1 si déjà on arrive à comprendre comment 2 P1 s'intersecte on prendra beaucoup plus je pense mais finalement tu as la variété de kizine elle-même les anneaux de déformation dans le cas générique on peut les déterminer explicitement il n'y a pas un millier de possibilités et les variétés de kizine elles sont aussi assez contraintes dans le sens où non pour la variété je suis connu tu m'as convaincu en fait mais pour le phénomène que tu décris en fait je m'inquiète qu'il y a encore pire que cet exemple là bien sûr la même variété de kizine est le même chez Vapominatois et donc on aurait la même inclusion stricte d'anneaux mais que ce soit pas le même anneau mais ce n'est pas ce que vous croyez apparemment non disons qu'on est optimistes dans la stratification par genre qu'est ce que vous savez des strates et le sondis j'ai l'impression oui mais je me souviens je suis blessure donc je ne veux pas te dire de bêtises mais mais j'ai l'impression oui c'est juste donc comment vous pensez interpréter la différence entre les gènes et les genres est ce qu'il y a c'est parce que toi tu n'allais dire que là dans les informations de manière complète par les gènes donc dans les cas génériques ou c'est que dans les cas potentiellement bassoctite la mode des informations est complètement terminée par les gènes oui par la variété de cuisine qui est triviale et son genre ok parce qu'elle est triviale et donc ma compréhension toi tu vas me dire que dans les cas où la variété de cuisine est pas triviale il y a un invariant qui est plus subtile qui les gènes qui permet de aller au-delà alors je pense que typiquement cet exemple là c'est qu'en gros quand la variété quand le repas est générique tu vas toujours avoir un haut partout qui va donner une variété de cuisine trivial donc cet espoir c'est plutôt qu'il y ait plus d'informations dans cet objet-là que dans en gros la variété de cuisine qui permet de calculer donc c'est cohérent avec le fait que si tu connais le gène ici, la donnée combinatoire tu en déduis la variété de cuisine stratifiée mais et avec le fait que que c'est non dingé qu'il faut je sais pas si ça répond vraiment à ta question d'autres questions, merci Rick Claude encore