 Bien, merci d'être venu. Dernière ligne droite. Nous allons parler comme promis d'analyse semi-classique des mesures de Gibbs en dimension infinie. Je vais commencer par vous rappeler le théorème qu'on veut démontrer, que j'avais annoncé au deuxième cours. On regarde un Miltonien qui décrit N particule. N m'a annoncé un petit n, donc il est un grand n, c'est pas très important. Qui s'écrit sous la forme abstraite suivante, la somme J égale 1 N d'un opérateur H qui agit sur la J-M variable. J'écrit un dix X J. Peut-être j'écris juste un dix J. Plus lambda, une partie à deux corps, somme de WJK, où on somme sur toutes les pairs JK entre 1 et N. Et lambda, c'est une constante de couplage. Et donc on est sur l'espace, on est sur le produit tensoriel symétrique Nm d'un espace de Hilbert H. Et ce qui nous intéresse tout particulièrement, c'est la situation plus concrète, où H, c'est L2 d'un ouvert omega, un ouvert borné typiquement, pas forcément, mais on pourrait penser à un ouvert borné. H, c'est moins gradiant, plus un potentiel vector magnétique, plus V2X. Et W, c'est une fonction, ou plus précisément, je vais dire que W, donc W, c'est un opérateur qui agit sur l'encente des fonctions à deux variables. Donc généralement, on s'intéresse à une multiplication par une fonction sous la forme W de X-Y. Quand je l'appelle encore W, je fais beaucoup d'abus de langage ici, mais vous comprenez ce que je veux dire. Donc ça, c'est la situation concrète à laquelle on s'intéresse. Mais en fait, le théorème que je vous énonce, c'est un théorème abstrait qui s'écrit sous cette forme. Alors on supposera toujours qu'H est défini positif et a résolvant compact. Donc c'est pour ça qu'on pense à omega à un domaine borné, mais sinon ça veut dire qu'il faut que V, par exemple, tend vers l'infini assez vite. Et W, on va regarder le cas défocalisant. On va demander que W est un opérateur positif. Bien. Et donc on s'intéresse à la fonction de partition. En fait, on s'intéresse même à l'opérateur ou à l'état de Gibbs, mais commençons par la fonction de partition. Donc la fonction de partition, c'est la trace sur cet espace, sur ce produit tensoriel symétrique de l'espace Hilbert H. Ah oui, j'aurais dû vous dire, pardon, excusez-moi, que ce produit tensoriel symétrique, c'est juste les fonctions de L2 de omega puissance n, qui sont symétriques par rapport aux échanges des variables. Le produit tensoriel de L2, c'est juste L2 de omega n et puis produit tensoriel symétrique, c'est juste ce restreint de fonctions symétriques. Donc la fonction de partition, c'est juste la trace de exponentiel moins H lambda n sur T, ou T, c'est la température. C'est un nombre et c'est la trace de exponentiel moins H, qui fait sens, avait des hypothèses raisonnables sur H et W dans le cas concret et puis sinon des hypothèses raisonnables sur H et W dans le cas plus abstrait. Et comme je vous l'ai dit, on va regarder le cas grand canonique où on fait une moyenne sur tous les nombres de particules possibles. Donc en fait notre fonction de partition, Z de T lambda, ça va être la somme sur tous les n de ça. Alors quand n vaut 0, je prends la trace sur un espace qui en gros est juste C donc la première n'est pas vraiment définie, je prends 0 et donc pour n égale à 0, la consompte c'est 1. D'accord, c'est une convention. Et pour n égale à 1, dans ce cas là j'ai pas d'interaction puisque j'ai pas de couple, donc c'est juste l'opérateur petit H et je fais juste la trace de exponentiel moins H. Et la bonne hypothèse en fait, c'est de demander que exponentiel moins H soit un opérateur à trace. Donc ça c'est l'hypothèse abstraite, et c'est vrai pour le laplacien sur n'importe quel domaine borné, donc ça sera vrai aussi pour les opérateurs sous cette forme à condition qu'A evée soit suffisamment lisse. Et donc la limite de champ moyen qui s'intéresse à la limite de champ moyen qui va t'insister à prendre T grand et comme je l'avais expliqué lambda d'ordre 1 sur T puisqu'on veut prendre lambda d'ordre 1 sur le nombre moyen de particules et j'avais expliqué, je vais leur expliquer encore un petit peu, que le nombre de particules moyens se comportent comme T. Donc ça c'est la limite à laquelle on s'intéresse. Alors on veut comparer ce modèle avec un modèle classique qui fait intervenir la mesure de Gibson en linéaire qui va être l'objet qu'on obtient à la limite qui est défini sous la forme suivante donc des mu de U c'est la mesure qui est formellement un acteur de normalisation et ensuite exponentiel moins l'énergie de Hartree d'U. Donc ça c'est la définition formelle de cette mesure. On a longuement discuté comment définir proprement cette mesure mais je vous rappelle que l'énergie de Hartree c'est la forme quadratique associée à l'opérateur petit H que je note UHU mais vous aurez mieux écrit la norme un terme quartique qui est U dans ce RU W appliqué à U dans ce RU qui dans le cas concret est juste l'intégrale double de U2X au carré U2Y au carré W2X-Y DXTY et les intégrales sont sur omega. Donc ça c'est dans le cas concret et W est quand même en principe un opérateur abstrait. C'est l'énergie de Hartree le modèle non linéaire vers lequel on converge dans la limite de champs moyens et la mesure ça c'est la mesure de Gibbs non linéaire associée on devrait plutôt dire non gaussienne plutôt que non linéaire mais on dit non linéaire. Donc la bonne construction de MU je vous rappelle c'est vraiment de le voir comme un facteur de renormalisation ZR qui lui va être tout à fait bien défini à la partie non linéaire des MU0 de U ou MU0 c'est la mesure gaussienne qui correspond à la partie de petit H donc des MU0 de U c'est formellement Z0-1 exponentiel MU-UHU qui est une mesure gaussienne qu'on a longuement étudié ensemble au deuxième cours donc je vous rappelle cette mesure gaussienne c'est vraiment le produit tansoriel J-1 de lambda J sur pi exponentiel moins lambda J la projection de U sur VJ au carré où les lambda J et VJ sont les éléments propres de H ce produit tansoriel converge à condition de se placer dans le bon espace donc ce qu'on sait ce qu'on avait vu c'est que MU0 est bien défini sur un espace de type saubolef qui souvent est négatif donc elle est bien défini sur H1-MP où donc Hs c'est l'espace de type petit L2 où on identifie c'est un espace de type saubolef donc H0 c'est juste notre espace H et quand le S est positif c'est des saubolefs positifs qui sont fabriqués à partir de l'opérateur H et quand le S est négatif c'est le dual des saubolefs positifs qui ressemblent fortement à un espace de saubolef négatif c'est pas tout à fait les espaces de saubolef négatif je vous rappelle la condition au bord enfin ça joue le même rôle bien et P qu'est ce que c'est et P donc c'est un réel que la trace de la résolvante de H à la puissance P est finie donc c'est ce qu'on avait longuement discuté quand on a l'opérateur petit H on peut définir cette mesure gaussienne normalement à la condition que H-1 soit un opérateur à trace et ainsi et seulement si mais si il se trouve on peut trouver une puissance P de sorte que H-1P soit à trace dans ce cas il suffit de changer la norme et la mesure vit dans un espace plus gros qui est cet espace de saubolef négatif donc la vraie hypothèse vous voyez c'est que ça se soit fini pour un certain P qui est plus fort que cette hypothèse-là donc il faut que la croissance soit une certaine manière polinomiale pour qu'on puisse trouver un P de sorte que la somme des lampes d'agile puissance-1P soit sommable et ce que je voulais vous rappeler aussi c'est que pour le cas concret mettons H c'est juste moins la placien ensuite si vous perturbez il faut que le P soit supérieur strictement à D sur 2 c'est ça qui va rendre la résolvante à la puissance-1P sommable et donc vous allez être dans l'espace de saubolef négatif avec un exposant inférieur strictement à 1-D sur 2 et vous voyez que en dimension 1 vous pouvez définir la mesure sur L2 même quasiment dans la chaine mi et ensuite ça devient de pire en pire à faire la mesure que la dimension romante en dimension 2 la mesure ne vit pas sur L2 mais elle est dans tous les saubolef négatifs et ensuite en dimension 3 ça s'empire etc bien donc ça c'était pour la mesure mu 0 donc c'est notre mesure de référence la mesure gaussienne donc ce qu'on avait dit c'est que la mesure mu va être très bien définie à condition que W soit bien définie sur le support de mu 0 donc c'est ce qu'on va supposer donc on suppose qu'on va bien définir sur le support de mu 0 on va mettre une hypothèse plus concrète dans le théorème mais vous voyez que en dimension 1 comme la mesure vit presque dans la chaine mi on peut très bien traiter l'exemple qui est ici une fonction de x-moise y on peut même prendre une delta ou n'importe quelle mesure auquel cas pour une delta on trouvera NLS c'est vraiment linéaire par contre dès la dimension 2 une fonction de x-moise y ça va pas marcher c'est pas définit sur les soboles F négatifs et donc on est obligé de travailler avec un W plus régulier plus sympathique que des fonctions comme ça on n'a pas cherché à optimiser les hypothèses sur W non pas trop donc vous devez penser que W est une certaine régularisation qui est obligatoire il y a 2 choses qu'on doit régulariser on doit régulariser le manque de décroissance en x plus y et par ailleurs on doit régulariser le fait que W est un opérateur de multiplication on doit transformer ça en un opérateur plus sympathique donc si vous voulez il y a une espèce de delta qui est caché qu'il faut aussi régulariser pour l'exposer vous pouvez simplement penser que W donc exemple je vais écrire une condition précise ensuite que j'avais déjà écrite au 2ème cours mais pensez à W de renfini avec des vecteurs propres très lisses de sorte que vous puissiez l'appliquer à une mesure à une distribution qui vit dans ces soboles F négatifs et donc le théorème que j'avais énoncé au 2ème cours et que nous allons démontrer aujourd'hui c'est le suivant je vais remettre la plupart des hypothèses en théorème pour tout se bien clair H c'est un opérateur défini positif W un opérateur juste positif et alors on a 2 hypothèses différentes donc si P égale à 1 c'est-à-dire si la résolvante de H est à trace si la somme des 1 secondes d'agis est saumable dans ce cas là l'hypothèse qu'on demande c'est que la trace de W H-1 T H-1 soit finie et cette trace est encore interprétée au sens des formes quadratiques on peut mettre un H-1 et H-1 de chaque côté dans ce cas là vous obtenez un opérateur positif on peut toujours définir la trace d'un opérateur positif éventuellement c'est plus infini et on demande qu'elle soit finie et ça c'est vérifié donc pour les exemples qu'on presse c'est vérifié si W est une mesure bornée plus une fonction de L infini ce qui couvre tous les cas physiques qui nous intéressent par contre c'est pour dégâlar si P est strictement plus grand que 1 c'est l'hypothèse plus forte on va demander de pouvoir contrôler vraiment W en tant qu'opérateur pas seulement contrôler une trace et on demande que W soit un ferroga à une constante H-1-P prime T H-1-P prime ou P prime est strictement plus grand que P donc ce que vous voyez c'est que cette hypothèse est plus forte puisque si vous multipliez par H-1 les deux côtés vous trouvez H-1-P prime vous prenez la trace c'est essentiellement produit des traces et comme P prime est strictement plus grand que P la trace est finie donc ces hypothèses impliquent quelque chose de ce type mais c'est quand même beaucoup plus fort et par ailleurs le P prime est strictement plus grand que P mais n'importe quel P prime plus grand que P convient donc on demande que W soit légèrement plus régulier que le P qui rend la trace de H-1-P finie donc en fait si on est dans l'exemple qu'on crée il suffit juste P et P prime doivent tous les deux être strictement plus grands que D sur 2 et voilà la constante peut ensuite dépendre de P prime et tout se détériora avec la constante donc ça c'est les hypothèses et la conclusion du théorème c'était qu'on avait convergence de donc on regarde la fonction de partition Z de T lambda et on la compare avec la fonction de partition où on enlève l'interaction et le théorème disait que ça ça converge quand T est envers l'infini et lambda T est envers 1 vers ZR qui est le coefficient de normalisation de la mesure mu c'est-à-dire l'intégral, le exponentiel moins le terme en linéaire D mu 0 2 c'est la partie du théorème c'est la partie qui concerne la convergence de l'énergie plus précisément de l'énergie libre on va le réexpliquer donc évidemment une convergence de nombre comme ça ne caractérise pas la mesure mu 0 en fait si un petit peu parce qu'on peut varier le W et obtenir des informations mais on a aussi une convergence qui caractérise la mesure mu sauf que ça va marcher seulement CP égale à 1 A qui agit sur le provident soryel de seulement K particule d'accord donc on parle de convergence en tant que marginal on regarde un processus qui fait intervenir seulement K particule à la fois évidemment notre problème c'est qu'on a saumé sur N donc on doit faire intervenir K particule à la fois mais on doit faire une moyenne sur tous les nombres de particules possibles donc du coup le résultat c'est le suivant on regarde insurté à l'absence K on divise aussi par le facteur de normalisation qu'il faut et on regarde la somme pour N égale K à l'infini on est obligé de commencer à K parce qu'il faut un processus qui fait intervenir au moins K particule et on regarde la trace de notre état où on ne fait agir A que sur les K premières particules et ensuite comme on a fait un choix des K premières il faut mettre un coefficient qui est juste N factorial sur N moins K factorial et puis ici on met l'état de Gibbs donc c'est exponentiel moins H lambda N divisé par T d'accord donc on regarde un processus qui fait intervenir K particule et on teste contre cet état de Gibbs et donc le théorème dit que cet objet est envers U tensor K A U tensor K des mu de U alors sauf que vous voyez que ça ça a un sens il faut que là soit légèrement mieux il faut qu'on puisse l'appliquer à une distribution qui est dans un souleve négatif donc ça c'est toujours quand T est envers l'infini et lambda T donc vous pouvez penser à A suffisamment lisse sauf que en fait si on interprète cet objet de manière différente, c'est-à-dire si on écrit la trace de A il faut à l'intégral, on échange l'intégral avec le produit scalaire et ensuite l'opérateur U tensor K des mu de U il se trouve que cet opérateur ayant fait borné sur le produit tensoriel KM de H donc en fait la limite a lieu pour tout à juste borné sur le produit tensoriel mais alors cet objet il faut vraiment l'interpréter comme ça c'est un peu étrange, vous avez des moyennes de distribution mais il se trouve que la moyenne de distribution s'arrange et à la fin on trouve un opérateur borné sur l'espace de départ et ça on l'avait vu ensemble on avait dit si on prenait K égale 1 la moyenne selon mu 0 par exemple c'était 1 sur H qui lui est borné sur l'espace de départ ça c'est le résultat sauf que en fait ça c'est valable pour tout K supérieur au égal à 1, 6p égale 1 et dans ce cas la borné marche très bien c'est ce que je vous ai annoncé par contre on a su le démontrer que pour K égale 1 6p est strictement plus grand que 1 et il faut ajouter l'hypothèse que A est compact en fait il faut même un petit peu plus l'hypothèse dans la vraie hypothèse c'est qu'il faut que A soit dans un certain châton alors mettons A de renfinie c'est plus simple donc vous voyez que dans ce dernier annoncé on a une grande perte quand la mesure est sortie de l'espace on est capable de faire cette limite seulement pour K égale 1 donc cette limite caractérise la mesure finale si vous connaissez ces objets pour tout le cas et tout à vous connaissez la mesure parce que c'est comme tester la mesure contre tous les polynômes et donc la mesure est totalement caractérisée K égale 1 c'est à dire en dimension 1 et K est strictement plus grand que 1 ce résultat ne caractérise pas la mesure mais on a une autre manière de le faire un petit peu plus tard voilà donc le résumé c'est qu'on démarre d'un problème quantique à N-core dans une limite de champ moyen ou le nombre moyen de particules est très grand et le couplage est de l'ordre 1 sur T la manière de rendre le nombre moyen de particules très grand c'est de variété la température et l'état de Gibbs quantique converge d'une certaine manière qui est en fait une limite semi-classique vers l'état de Gibbs non linéaire la mesure de Gibbs mu qu'on démontre donc la première remarque c'est que si on est en dimension finie on l'a déjà fait je vous ai expliqué la semaine dernière comment faire avec des inégalités sur l'anthropie donc si H les espaces de dimension finie je préfère les applever parce qu'ils vont intervenir plusieurs fois donc si H égale V est de dimension finie alors on a déjà commencé à expliquer ce qui se passait la dernière fois dans ce cas là on peut trouver la limite le comportement de Z directement et l'analyse semi-classique va nous dire que quand T est envers l'infini et que l'onde datée est envers 1 ça se comporte comme T sur Pi à la puissance la dimension de V fois l'intégrale de l'énergie et l'intégrale fait sens maintenant il n'y a plus de problème donc vous comprenez l'idée voyez que la fonction de partition se comporte comme ce coefficient en vite à la puissance la dimension d'accord donc ce coefficient ne fait juste pas du tout sens si jamais on est en dimension finie d'ailleurs en dimension finie ça ne fait pas sens non plus mais quand on fait le quotient entre la fonction de partition avec interaction et la fonction de partition sans interaction ce coefficient qui est le même s'élimine et ici on trouve exactement l'intégrale de l'énergie divisé par l'intégrale seulement de la partie quadratique qui est justement le facteur de normalisation de la mesure nu donc en faisant le quotient on arrive à éliminer ces deux divergences la divergence explique ici et ensuite la divergence ici qui vient du fait que la mesure ne vit pas euh... enfin bon on ne lit pas sur une fois qu'on est en dimension infinie ça c'est vraiment l'explication du résultat donc la dernière fois on n'avait pas tout à fait démontré ce résultat là on avait fait la version canonique tandis que là on fait la version grand canonique la dernière fois on avait démontré la chose suivante on avait démontré que la trace de l'exponentiel de moins h n lambda du peut-être je l'appelle h lambda n je sais jamais divisé par n on avait regardé un n fixé on avait pas divisé par t on avait divisé par n et on avait expliqué que ça se comportait comme la dimension de... du probitance oriel de v multiplié par l'intégral sur la sphère de v de exponentiel moins l'énergie c'est ce qu'on avait démontré la dernière fois cette dimension c'est juste n plus des moins 1 des moins 1 qui se comporte comme n a l'absence des moins 1 sur des moins 1 factorial et on avait fait cette preuve c'était tout à la fin j'avais pas fait vraiment tous les détails mais on avait fait cette preuve en utilisant la résolution de l'identité suivante donc le fait que si vous regardez u temps sereine u temps sereine du et que vous intégrer sur la sphère de v en mettant ici la dimension convenable vous trouvez l'identité du produit temps oriel symétrique et en utilisant des inégalités sur l'anthropie les inégalités de béraisine libre on avait expliqué qu'on avait cette limite ici donc cette limite c'est juste quand n t'envers l'infini et que lambda n t'envers 1 ce que je voudrais très rapidement vous expliquer c'est intuitivement la formule grand canonique à partir de la formule canonique en fait on peut utiliser ce théorème et démontrer le résultat que j'ai écrit au dessus ou on peut aussi faire directement la démonstration du résultat que j'ai écrit au dessus ce qui est peut-être plus efficace mais la démonstration c'est juste la suivante regardez, ou l'idée de la démonstration regardez la somme de ces choses-là mais maintenant on a hn lambda divisé par t pas divisé par n donc notre problème c'est qu'on aimerait diviser par t et pas par n et par ailleurs le lambda c'est 1 sur t pas 1 sur n mais ce qu'on fait c'est que en fait ce qu'on peut démontrer c'est que dans cette somme seul les termes pour lesquels n et du même ordre que t vont compter donc on imagine que n sur t et un grand taux de 1 et d'ordre 1 c'est pas égal à 1 d'ordre une certaine constante et du coup, donc ce que je prétends c'est que cette série va se comporter de la même manière que la somme sur n et on utilise le résultat au dessus alors comment on fait, regardez si vous regardez le amytonien qui est tout en haut je le divise par t alors j'aurais voulu le diviser par n donc ça veut dire que je vais avoir un facteur n sur t et je dis que n sur t c'est une constante par ailleurs le lambda est aussi 1 sur t alors j'aurais voulu avoir 1 sur n et donc je vais encore avoir un autre facteur n sur t donc en fait ici je vais avoir un facteur n sur t ici je vais avoir un facteur n² sur t² mais si vous regardez l'énergie de Hartree ici elle est quadratique en u et ici elle est quartique en u donc en fait ce qu'on peut démontrer est-ce que vous pouvez d'une certaine manière croire c'est que ça va se comporter comme n donc à l'absence des moins 1 sur des moins 1 factorial et l'intégrale sur la sphère de v de exponentiel moins l'énergie de Hartree la racine de n sur t u d u d'accord parce que c'est exactement ce qui va vous donner un facteur n sur t devant le h et n sur t au carré devant le w et c'est vraiment très important ce que vous devez toujours imaginer c'est que dans la sphère de vn les n sur t ça correspond à faire une intégrale sur une sphère et le rayon de la sphère c'est vraiment la racine de n sur t alors maintenant comment on continue donc la manière d'écrire cette somme c'est de l'écrire la somme n supérieur au riz à la 0 de n sur t à la puissance je mets t puissance d qu'on aimerait avoir une puissance d moins 1 factorial et du coup on a n sur t à la puissance d moins 1 et il reste un n sur t il faut la même intégrale ce que vous voyez c'est que ça correspond à une somme de Riemann où on conserve les points en n sur t n sur t c'est bien la différence entre les points et ça c'est r à la puissance d moins 1 c'est l'élément de... c'est le r d moins 1 d r qu'il faut pour faire apparaître une intégrale sur tout l'espace ça va se comporter comme t à la puissance d divisé par d moins 1 factorial et ensuite vous aurez l'intégrale sur tout l'espace le seul problème c'est que la mesure ici elle est normalisée à 1 donc il me manque la mesure de la sphère donc il faut que je divise par la mesure de la sphère qui manque et ce que je vous rappelle c'est qu'on est en complexe et donc c'est vraiment la sphère de dimension 2d contre donc là c'est très bien on a juste le r qui est le rayon de la sphère et là on somme donc on va trouver l'intégrale sur tout v l'énergie le u des u et il reste à calculer ce coefficient ici mais si vous calculez le... l'air de la sphère de dimension 2d enfin en dimension 2d la sphère est de d moins 1 vous allez trouver exactement le pi qui est là haut c'est exactement égal à t sur pi à l'absence d donc il y a beaucoup d'approximations dans cet argument c'est un argument heuristique c'est pas une preuve on peut le rendre rigoureux ou on peut aussi simplement refaire la preuve depuis le début en utilisant une autre résolution de l'identité qui est celle qu'on va utiliser maintenant donc vous voyez que en dimension finie on l'a déjà fait donc ça peut se faire en utilisant le principe variationnel de Gibbs qui donne une caractérisation de l'état de Gibbs quantique et les inégalités qu'on a apprises la semaine dernière sur l'entropie donc maintenant on aimerait faire la même chose sauf que vous voyez que nous on doit traiter directement le quotient des deux fonctions de partition ce qui bien sûr va causer des problèmes mais l'astuce consiste à écrire un problème variationnel qui traite le quotient directement au lieu d'avoir un problème pour chaque là on va pas s'en sortir parce qu'on va soustraire le problème variationnel il est pour moins log de z je vous rappelle donc quand on prend moins log on trouve bien la soustraaction de deux problèmes variationnels si on fait ça ça va pas aller mais on va écrire un problème variationnel qui caractérise directement moins log de ce quotient donc on va faire maintenant la formulation variationnelle pour faire cette formulation au lieu d'avoir sans arrêter somme sur petit n il est plus agréable de travailler dans un espace fixe un seul donc on va travailler dans l'espace de foc l'espace de foc c'est juste un procédé algébrique qui permet de tenir compte automatiquement de toutes ces sommes sur n donc l'espace de foc f c'est juste la somme directe sur tous les n des produits tensoriel symétriques unième de notre espace h d'accord donc c'est-à-dire on les met juste bout à bout on fait la somme directe et du coup la trace la trace d'un opérateur cet espace il y en aura la somme des traces sur chacun des espaces donc pour que ça marche il faut qu'on introduise un opérateur que j'appelle h indislanda qui est juste je vais écrire précisément donc sur l'espace pour n égale à zéro c'est juste zéro ensuite sur l'espace à une particule c'est juste petit h et ensuite vous mettez les opérateurs hlanda n d'accord donc on fabrique juste une somme directe infinie où on met les espaces tous dans la même somme direct tous les opérateurs dans la même somme direct et vous avez bien sûr que la trace sur l'espace de foc de exponentiel moins hlanda sur t et la somme sur n des traces sur les produits tensoriel symétriques des exponentiel moins hlanda n sur t et notre z donc en utilisant l'espace de foc on écrit comme la trace de l'exponentiel d'un unique opérateur pour lequel on sait qu'on a une caractérisation variationnelle donc la caractérisation variationnelle on l'a vu la dernière fois on sait que moins log pardon moins t fois le log de z c'est à dire moins t fois le log de la trace de exponentiel moins n'importe quel opérateur sur t c'est en fait l'inf en fait c'est le min surtout les opérateurs auto adjoint positif de trace égal à 1 et là on est sur l'espace de foc de la trace de l'opérateur en question plus t la trace de gamma log gamma et l'unique minimiseur c'est gamma lambda t qui est juste le z moins 1 fois exponentiel moins h sur t qui est l'état de Gibbs quantique vous voyez qu'on a une caractérisation variationnelle et c'est ce qu'on avait évoqué la dernière fois donc nous ce qui nous intéresse c'est cet objet auquel on soustrait le même avec lambda égal à 0 et puis après on divise par t donc on va écrire que moins t le log de z divisé par z à lambda égal à 0 vous voyez la seule chose qu'il faut faire c'est soustraire puisque le minimum est atteint en gamma 0 ça veut dire que le moins log de z de t est 0 et juste la trace de h0 gamma plus t gamma 0 log gamma ça vous pouvez l'écrire le min en soustrait une constante toujours le même min de la trace de h lambda gamma moins la trace de h0 gamma gamma 0 qui est le minimisère du problème plus t la trace de gamma log gamma moins gamma 0 log gamma 0 ça on n'a rien fait on a juste soustrait des constantes et c'est juste une manière d'écrire le problème relationnel et ensuite la dernière fois on avait déjà expliqué que si j'enlève le terme en lambda ici prenons lambda égal à 0 dans ce cas je sais que tout ça doit toujours être positif et le minimum doit être atteint en 0 parce que gamma 0 est l'unique minimisère du problème avec lambda égal à 0 et ce qu'on avait vu c'est que la différence s'écrivait en termes de l'entropie relative ce qu'on avait vu la dernière fois c'est que ça c'est le min sur tous les gammas donc là je ne fais rien du tout de t fois l'entropie relative de gamma avec gamma 0 et ensuite j'ai toujours le terme la trace de lambda W gamma alors ici W c'est la partie de l'opérateur H qui est juste devant le coefficient lambda c'est-à-dire ça fait 0 sur le premier espace ça fait encore 0 sur le second et après ça fait la somme des W jk je mets plus ça c'est l'opérateur W qui est cette somme sur toutes les paires et l'entropie relative c'est la trace de gamma log gamma moins log gamma 0 et je vous rappelle que c'est une fonction qui est positive et qui s'annule uniquement quand gamma égal à gamma 0 ça c'est le fait que gamma 0 est l'unique minimisère du problème quand lambda vaut 0 alors vous aurez remarqué le facteur T ici devant il faut juste faire le calcul pour vous vérifier qu'il y a ce facteur T nous ce qui nous intéresse c'est la quantité sans le facteur T ici donc il faut diviser par T donc voilà la caractérisation variationnelle qui va nous occuper donc juste le moins log du quotient qui nous intéresse c'est le minimum sur tous les opérateurs positifs dans la trace est normalisée de l'entropie relative de gamma par rapport à gamma 0 et lambda divisé par T la trace de W fois gamma ça c'est la caractérisation qui nous intéresse je pense que c'était bien clair mais je vais quand même le rappeler gamma 0 c'est z de T0 moins 1 exponentiel moins H0 sur T c'est l'état de Gibbs dans lequel il n'y a pas d'interaction pour lequel on peut d'ailleurs tout calculer comme je vais vous expliquer alors on veut comparer ce problème variationnel avec le pendant classique qui fait intervenir des mesures il y a un type d'argument vous montre que si vous regardez moins log de ZR donc c'est moins log de l'intégral du terme non linéaire d'émusérotub cette quantité vous pouvez en fait l'écrire aussi le mine sur toutes les probabilités nu de l'entropie relative classique de nu par rapport à mu 0 plus le terme non linéaire intégré u tensor 2 w u tensor 2 des nu de u vous avez aussi une caractérisation variationnelle de la fonction de partition classique et l'unique minimiseur est justement notre mu donc vous comprenez bien ce qu'il faut qu'on fasse il faut qu'on démonte que ce problème de minimisation ici une certaine manière gamma converge si vous aimez la gamma convergence vers ce problème ici sur le problème quantique c'est que vous voyez que notre opérateur il est vraiment une somme directe d'opérateur c'est à dire c'est un opérateur par bloc diagonale par bloc dans cette décomposition ici introduire l'espace de foc dans l'impression qu'on en fait un petit peu trop puisque de toute façon chaque opérateur agit exactement sur chaque espace donc ça signifie qu'en fait on peut se restreindre dans tous les problèmes de minimisation là vous voyez j'ai pris un opérateur gamma quelconque sur l'espace de foc donc j'autorise les termes hors diagonaux mais c'est pas du tout nécessaire on sait très bien quel est le minimiseur et le minimiseur il est diagonal donc en fait on peut se restreindre au gamma qui sont diagonaux par bloc c'est à dire on peut l'écrire g0 sur le premier espace plus g1 sur le deuxième espace plus g2 plus etc d'accord donc même quand on fait la minimisation on peut se restreindre aux opérateurs sous cette forme donc maintenant ce qu'il faut c'est comprendre le lien entre ces deux problèmes variationnels on a un problème qui est posé sur tous les opérateurs éventuellement sous cette forme dans l'espace de foc et un problème qui concerne toutes les mesures sur l'espace L2 quel est le lien entre les deux c'est l'analyse semi-classique qui va nous donner un lien naturel et ça va être éclairci par le théorème suivant qui est dû à Marie et Nier en 2008 et on a donné une preuve différente avec Nam et Rougerie 13 aux 2014 je sais plus bien comme vous allez voir c'est plutôt la partie construction dans la preuve qui compte plutôt que le théorème lui-même donc quel est le théorème donc vous prenez une suite d'état quantique quel conque suite d'état sur F donc état ça veut dire qu'ils sont tous positifs au toit adjoint de trace égal à 1 et en fait vous pouvez aussi les supposer diagonaux par bloc si vous voulez on n'a pas vraiment besoin et à la fin cette suite d'état pour nous ce sera la suite des états de Gibbs c'est à dire la suite des minimisaires ici et alors maintenant il faut trouver une manière de réaliser le fait que ça se comporte de façon semi-classique donc ça ça peut se faire en regardant le nombre moyen de particules et en montrant que ce nombre moyen augmente et en fait la bonne manière c'est de regarder toutes les puissances du nombre moyen de particules montrer qu'elles augmentent toutes avec la même puissance donc vous regardez la trace de Epsilon Jn je vais définir ces objets puissance cas de gamma J parce que ça c'est uniformement borné par une constante qui peut dépendre de cas donc vous mettez cette hypothèse avec donc Epsilon J c'est une suite qui tend vers 0 donc ce sera 1 sur le nombre de particules et n c'est l'opérateur qui fabrique le nombre moyen de particules donc n c'est juste l'opérateur qui vaut 0 puis qui vaut 1 sur le premier espace 2 sur le second 3 sur le suivant etc et donc la trace de Epsilon Jn puissance cas gamma J si vous n'aimez pas cette notation donc imaginez que le gamma J soit écrit par bloc comme ça avec des Gn J ça va juste être Epsilon J puissance K la somme n supérieur au égal à 0 des N puissance K la trace de Gn J donc les Gn c'est les composants ici ça c'est ce qui me compte le nombre moyen de particules à Epsilon K et donc on demande quand K est égal à 1 on demande juste que le nombre moyen de particules diverge puis ça se comporte comme 1 sur Epsilon J on demande que ça soit vrai pour toute puissance K et l'auteur m dit alors il existe une sous-suite que je ne vais pas écrire et une mesure de probabilité sur notre espace de Hilbert ambiant qui est de dimension infinie éventuellement tel que on est la convergence de tout à l'heure c'est-à-dire la somme n supérieur au égal à K de N factoriel sur N moins K factoriel la trace de A tan 1 fois le Gn J converge vers l'intégrale de U puissance K A U puissance K des nus de U et j'ai oublié un Epsilon J que j'oublie tout le temps d'accord ? ce théorème dit que quand on a une suite quelconque d'état qui vérifie cette condition de type semi-classique alors en fait il existe toujours une mesure de probabilité à la fin pour laquelle cette propriété est vraie donc c'est un théorème très important parce que ça nous dit que le comportement est-elle que la mesure naturelle à la limite a souci de près pour laquelle on aura la convergence de tous ces objets et ce qui va seulement nous rester à faire c'est d'identifier la mesure en question et de montrer que c'est la nôtre que c'est le mu qui est la mesure non linéaire on va démontrer ce théorème ah oui j'ai oublié de dire pour quelle A non c'est comme tout à l'heure mais j'écris juste pour tout A compact non c'est pour tout A opérateur borné enfin fait compact sur le produit tempsoriel Cayenne de l'espace de Libert on a besoin que A soit compact donc c'est une convergence faible donc pour faire la preuve on va commencer par faire le cas de la dimension finie qu'en fait on a déjà presque fait donc premier cas H égale V de dimension finie et on va démarrer avec ce qu'on a fait la dernière fois c'est à dire avec la résolution d'identité qui est basée sur les produits tempsoriels qu'on n'a pas démontré d'ailleurs donc on va en profiter pour la démontrer et voir que naturellement il y a une mesure qui apparaît donc je vous rappelle le thérème qu'on a annoncé la dernière fois mais qu'on n'a pas encore démontré qui est ce thérème de definitie quantitatif donc il disait la chose suivante vous prenez g un opérateur positif et auto adjoint de trace égale A sur le produit tempsoriel d'un espace de dimension finie V et ce qu'on avait dit la dernière fois c'est qu'on avait une résolution naturelle de l'identité que j'ai rappelée tout à l'heure et que du coup on pouvait introduire la mesure mu indigée de u qui est la dimension de cet espace donc je rappelle que c'est n plus d moins 1 u tempsor n g u tempsor n d u donc ça c'est une mesure sur la sphère de V et ce qu'on avait dit la dernière fois c'est que quand on prenait A tempsor l'identité et qu'on testait contre l'opérateur g on pouvait remplacer de tels objets par une moyenne u tempsor k A u tempsor k avec cette mesure ici mu g de u et qu'on faisait une erreur qui était 4k fois la dimension sur n fois la norme de r on vous souvenait c'est le théorème de la dernière fois quand on teste contre un opérateur qui fait intervenir seulement k particule alors qu'on en a beaucoup d'ordre n alors on peut remplacer de tels traces par une moyenne contre une mesure mu et ça ça consiste à supposer essentiellement que notre état est presque composé de u tempsor n à une erreur d'ordre kd sur n près donc avant de démontrer ce théorème je vais vous expliquer comment on peut l'utiliser pour en déduire l'autre théorème en dimension finie vous allez voir qu'il y a déjà tout puisque la mesure elle est écrite ici c'est le mu g la seule chose qu'il faut comprendre c'est comment on passe du cas canonique sur une sphère au cas grand canonique sur tout l'espace nous on a des mesures sur tout l'espace et on a une moyenne sur n ici on a un n qui est envers l'infini mais qui est quand même donné et la mesure vit sur la sphère donc comme on fait c'est assez simple donc on prend notre suite gamma g et les epsilon g comme dans l'énoncé mais on suppose qu'on est en dimension finie et on écrit gamma g comme la somme des g nj comme j'avais fait tout à l'heure et pour chacun des g nj on va appliquer ce théorème donc chaque g nj nous fournit un mu nj sur la sphère de notre espace v et ce qui nous intéresse c'est de regarder la somme n factorial sur n-k factorial des traces de A tan 1 fois le g nj c'est ça qui nous intéresse et on aimerait le remplacer par la mesure en question donc vous voyez que si on applique simplement le théorème on peut simplement le remplacer donc on a la somme n factorial sur n-k factorial de l'intégral de u tan k A u tan k d mu nj sur la sphère il ne faut pas que j'oublie de multiplier par epsilon g absence k comme d'habitude j'oublie tout le temps et ensuite on utilise simplement l'estimée donc vous allez voir que ça va s'estimer par epsilon g puissance k la somme pour n supérieur ou égal à k alors le n factorial sur n-k factorial je vais l'estimer par n puissance k et ensuite je vais avoir 4kd sur n de la norme de A il faut faire attention que les non-sets ici étaient lorsque la trace de g valait 1 mais la trace de g n vaut par 1 donc du coup la trace de g n est comparée ici donc vous voyez que le 1 sur n est très important il va nous tuer un des n ici et donc le tout vous pouvez l'estimer par 4kd fois epsilon g et ensuite vous voyez apparaître la somme des epsilon g puissance k-1 la somme n à l'absence k-1 de la trace qui est bornée par la constante ck-1 et donc vous avez le epsilon g et ça tend vers 0 donc ce que vous voyez c'est que quand on regarde une quantité comme ça on peut la remplacer par la mesure en question à une erreur d'ordre epsilon g prêt avant c'était d'ordre 1 sur n mais maintenant avec les sommes ça devient epsilon g donc on n'a pas tout à fait fini parce que ça maintenant il faut l'écrire comme l'intégrale d'une mesure surtout l'espace et on veut plus avoir toutes ces sommes et tout ça donc l'astuce est la suivante donc je redémarre de la somme qui est là-bas donc la première astuce c'est de remplacer le n factorial sur n-k factorial par n puissance k souvenez vous on a k qui est fixe et n qui est très grand et quand on fait ça on va faire une erreur contrôlable qui va être du même ordre qui va être encore une constante fois k divisé par n et ça va partir dans l'erreur qui est là-bas donc ça je peux le remplacer par n puissance k et du coup j'ai envie d'écrire n et epsilon g puissance k et maintenant j'écris exactement non c'est u tan sur k u tan sur k et le d mu g n mu u et maintenant vous voyez que modulo le fait qu'il nous manque les premiers termes et les premiers termes de toute façon sont très petits puisqu'ils ont le n qui est fixe et ils ont un epsilon g devant ils sont très petits donc ça vous devez vraiment penser que modulo les premiers termes c'est vraiment l'intégrale sur tout l'espace de u tan sur k un des mu g cette fois de u ou mu c'est une mesure qui vit sur un des sphères puisque vous voyez qu'on a le coefficient ici la puissance k qui correspond exactement au nombre de u qu'on met donc une autre manière de réinterpréter cette somme c'est de dire que les mu g n ils vivent sur des sphères mais on les met sur des sphères de rayons epsilon n x g alors racine peut-être si on met tous ces mu g n qui vivent dans des sphères de rayons racine de epsilon n g alors on tombe naturellement sur cette mesure mu g qui vit dans tout l'espace et sur ces sphères et on peut réécrire la somme avec une seule intégrale et vous voyez que la grande astuce quand même de toute cette histoire c'est que le mu g ne dépend pas de k mais c'est toujours le même mu g qui apparaît tout le temps le nombre de termes dépend de k mais comme k est fixe c'est toujours le même mu g le k n apparaît que dans la puissance ici et dans le a le mu g n c'est une mesure sur la sphère, unité et d'envé tu le mets sur la sphère de rayon tu ne multiplies pas c'est à dire je le vois comme un produit tempsoriel de mesure j'ai le rayon de la sphère je me multiplierai par le rayon à la puissance de la dimension de v non non il ne faut pas le voir comme ça c'est juste qu'il y a la partie sur la sphère c'est la mesure mu et ensuite on met une delta uniforme que j'ai pas écrite pour la partie rayon j'ai pas écrit le delta j'ai juste fait le dessin d'accord la mesure mu c'est une somme de produit tempsoriel où il y a la partie angulaire et la partie radiale pourquoi la rayon serait facile c'est à cause de ce qui apparaît ici parce qu'on a secréficiant puissance k et là les u c'est sur les u que ça porte donc il faut penser que c'est des mu g de u sur le nombre de u comme ça qu'on les interprète la partie angulaire et ensuite la partie radiale c'est une mesure sur la sphère non dans v il n'y a pas de puissance k donc le mu le u ici est dans la sphère mais je pense arbitrairement je divise par u puissance k u puissance k et là je remultiplie de toute façon ça vaut 1 d'accord et après je vois ça comme une fonction de la partie angulaire u sur sa norme et ça comme ça on pourra en reparler il y a un truc dans le k il est fixé c'est pas le problème c'est pas le problème c'est pas ça le problème moi je m'attends à voir le rayon apparaître à une puissance qui a dimension de l'espace et k il n'y a pas la dimension de l'espace non non parce que c'est une histoire de delta qui renormalisait comme il faut on en reparlera je voulais terminer juste cette preuve parce que ça va être l'heure de faire la pause et donc vous voyez c'est tout bon puisque pour chaque k fixé un grand taux de epsilon g avec une constante qui dépend de k un grand taux de epsilon g vous pouvez l'écrire sous la forme l'intégrale d'une mesure fois ce qu'on veut donc il faut juste faire et extraire une sous-suite qui converge au sens des mesures pour les musiers vous pouvez toujours supposer que les musiers tendent au sens des mesures vers un mu évidemment vous voulez que mu soit une mesure de probat donc il faut vérifier que c'est une suite tendue mais en fait si vous calculez l'intégrale des u à la puissance des mu g de u vous allez voir exactement ressortir la somme des epsilon g n puissance k trace de g n g qu'on a justement supposé borner donc en fait la suite elle est plus que tendue elle décroit plus vite que tout polinome donc on va multiplier par n'importe quel polinome c'est contrôlé par une constante donc elle est très très tendue et donc on peut passer à la limite faible contre n'importe quel polinome ce qui permet de passer à la limite faible ici et d'en conclure le résultat d'accord donc le mu qu'on vient sauf évidemment, vous voyez que notre mu g vit sur des sphères et la différence entre les deux c'est d'ordre racine des epsilon g donc ça devient de plus en plus dense et à la fin on trouve une mesure qui vit dans tout l'espace elle est plus du tout sur des sphères on a démontré ce théorème lorsque v est de dimension finie h est de dimension finie et on se basant sur le théorème ici donc après la pause il faut que je vous explique d'abord comment on démonte ce théorème et ensuite comment on fait un dimension infinie à tout de suite non aussi on garde des particules quantiques on ne spécifie pas quel type de particule on regarde ça peut se faire sur des protons pour juste que ce soit des bosons partout j'ai pris six métriques donc c'est des bosons n'importe quel type de bosons évidemment après les modèles réels ont un W particulier donc le problème c'est que ça dépend quel système on regarde mais si on regarde des atomes le W pour d'abord on n'est pas nécessairement dans une boîte on peut toujours se poser quand il est dans une boîte ça c'est pas grave mais après le W n'est pas forcément connu ça va être en 3 assez vite bon comme vendeur valse mettons à l'infini pour des particules nœuds donc ça ça va aller le W va être au moins intégrable mais par contre notre problème c'est qu'en dimension 2 et 3 on ne peut pas traiter des fonctions de l'expérience y à cause des divergences donc il y a un problème de renormalisation pour faire le lien avec le modèle physique qu'on n'a pas encore fait c'est la deuxième étape pour l'instant on a une interaction très lisse il n'y a qu'un dimension 1 que ça peut traiter les W et l'expérience y bien donc je vous rappelle qu'on a démontré ce théorème en dimension finie en admettant ce théorème ici de finitie quantitatif donc je vais vous faire la preuve de ce théorème ici ça va tenir dans le tableau normalement vous allez voir c'est pas très difficile donc je vous rappelle que tout est basé sur la résolution en état cohérent qui s'écrit, pardon la résolution d'identité à partir de produits tempsoriels qui peut aussi d'ailleurs se déduire d'une résolution en état cohérent enfin qui s'écrit, je vais l'appeler c'est un 10N l'intégral de U puissance N U puissance N intégré sur la sphère et ici c'est la mesure de Haare uniforme sur la sphère normalisée A1 qui vaut l'identité du produit tempsoriel NM2V je vous avais dit la dernière fois la preuve de ce théorème c'est juste que cet opérateur ici commute avec tout les U tempsorènes ou U n'importe quelle rotation et ensuite en regardant le groupe engendré par tous les U tempsorènes on en déduit que ça commute avec toutes les rotations et du coup à la fin que c'est l'identité et on trouve la constante en prenant la trace bien donc du coup j'ai introduit l'opérateur G-Tilde qui est celui qu'on trouve avec la mesure qui est juste U tempsorène U tempsorène multi c'est la moyenne sur la mesure Mu à 10G et bien sûr ce qu'on a c'est que l'intégrale de U puissance K A U puissance K des MUG de U c'est juste la trace de A tempsor1 fois G-Tilde donc ce qu'on veut comparer c'est la trace de A tempsor1 avec G et la trace de A tempsor1 avec G-Tilde et G-Tilde on peut l'écrire sous forme d'une intégrale peut-être que je vous dis aussi que ce produit scalère on peut aussi l'écrire CN l'intégrale de PU tempsorN G PU tempsorN des U d'accord donc PU c'est le projecteur de rang1 sur U PU tempsorN c'est le projecteur aussi de rang1 sur U tempsorN quand vous mettez un projecteur de rang1 de chaque côté ça vous fait exactement le produit scalère ah pardon ça c'est le c'est le G-Tilde qui est égal à ça et donc du coup ce que vous voyez c'est que cette trace ici donc c'est la trace de A tempsor1 G-CN l'intégrale de la trace de A tempsor1 PU tempsorN G PU tempsorN des U donc ce qu'il faut juste c'est écrire cette première trace avec une intégrale mais comme c'est une résolution d'identité on peut insérer donc ça c'est PU tempsorN on peut l'insérer n'importe où à gauche ou à droite comme on veut et on va trouver la même formule sauf qu'on aura un seul PU au lieu d'en avoir 2 donc le tout on peut encore l'écrire CN l'intégrale de la trace de A tempsor1 par exemple PU tempsorN G et 1-PU tempsorN par exemple donc j'ai décidé d'insérer la résolution de l'identité entre A et G mais j'aurais pu le faire à droite alors comme A n'agit que sur les K premières vous pouvez encore écrire la même chose tous les PU à partir de K plus 1 jusqu'à N vous pouvez les mettre sur le A comme ça c'est plus simple A tempsor PU N-K et ensuite vous avez un PU tempsorK tempsor1 G et 1-PU tempsorK tempsor1 il y a beaucoup de tempsor mais vous voyez bien ce que j'ai fait là le PU tempsorN les derniers je les ai tous mis sur le A quoi il y a une histoire de 1-1 bon il faut développer que ce que j'ai écrit est correct bon ça va pas rentrer sur le tableau mais presque donc on est quasiment arrivé au bout alors l'astuce maintenant mais l'astuce c'est vraiment une astuce pour avoir une bonne constante c'est de compléter de me mettre un mois ici pour qu'apparaissent exactement deux fois les mêmes opérateurs donc ici on fait plus un moins un on développe et on trouve que ça vaut cN toujours l'intégral de la trace de A tempsor PU K donc on va avoir de terme on aura un terme avec un 1-PU tempsorK tempsor1 G 1-PU tempsorK tempsor1 et puis on aura un deuxième terme avec un plus qui sera l'intégral PU tempsor K et ici on aura juste G 1-PU K donc là on a terminé donc maintenant l'astuce c'est la suivante regarder le deuxième terme il est en fait déjà petit même s'il a pas l'air très petit parce que maintenant on peut défaire l'intégration et vous voyez que quand on développe il y aura un terme où on aura que 1-PU à l'absence N-K qu'on va intégrer sur U et ça ça vaut l'identité mais avec la mauvaise constante. Parce qu'on aurait bien aimé avoir la constante n-k et pas la constante n. Et ensuite vous aurez le terme celui-là qui va être très bien. Donc en fait tout ça, c'est en fait... Donc le deuxième terme, il est vraiment exactement égal. La trace de a fois g encore. On est en train de revenir en arrière un petit peu si vous voulez. Et cn sur cn-k, moins 1. Et je vous rappelle, si vous l'avez oublié, que cn c'est la dimension. Donc cn plus d moins 1, c'est le binomial. Il reste pas le terme 1 en pu puissance-là ? Non, tout ça va. Donc le terme avec le 1 tend sur 1 ici, donc je me retrouve à juste intégrer pu n-k. Donc ça, ça me change de coefficient. Et le terme avec pu puissance-k, je me retrouve à l'intégrer, mais il y a le cn, ça fait exactement l'identité. Alors ensuite, vous regardez ce quotient de binomial, mais vous voyez que pour n très grand, ça, ça tend vers 1. Et tout ça va être petit, ça, c'est vraiment d'ordre kd sur n. Il faut estimer les binomials précisément, mais en fait vous pouvez démontrer que ça s'estime précisément par 2 kd sur n. Je ne veux pas le faire. Et bien sûr, ce terme ici, vous l'estimez, par la norme de A, il faut la trace de G qui vaut 1. Donc ce terme, c'est exactement ce qu'on veut. Alors l'autre terme, on est un peu embêté parce qu'on a plus de coefficient ici, la plus d'opérateur. Mais l'astuce, c'est d'utiliser que cet opérateur ici est positif puisque j'ai lui-même positif et que je multiplie par le même des deux côtés. Et donc du coup, celui-là, il est juste inférieur ou égal à la norme de A fois 1 tanseur pu tanseur n-k. Et si vous avez la trace de AB et que vous savez que A est inférieur ou égal à une constante fois l'identité et B est juste un opérateur positif, alors la trace de AB s'estime par la norme de A et la trace de B. C'est un peu ce qu'on a fait ici. Donc on fait cet estimé, mais ensuite vous voyez que ce qu'on obtient, on a un tanseur pu et un moins et un moins, mais on peut juste aller le mettre de l'autre côté. Mais comme c'est un projecteur, en fait, ils sont égaux, c'est de là. Le carrier vaut lui-même et on retrouve exactement ce terme-là. Donc le premier terme, il s'estime en valeur absolue, en fait, par le deuxième terme. Enfin, pas tout à fait. Par la norme de A, il faut avoir le deuxième terme. Comme sous le deuxième, il avait le A intérieur. À la fin, vous trouvez le 4KD, puisque c'était 2KD sur N. Vous trouvez le 4KD sur N. C'est tout. Bon, c'est une preuve très simple, un petit peu technique, qui cache peut-être un petit peu l'intuition. Mais je vous rappelle que l'intuition, c'est vraiment que les utensur N deviennent quasi-orthogonaux pour N-grands, à partir du moment où ils ne sont pas collinières. Et donc il faut trouver une manière de le détecter. Ce qu'on détecte ici en faisant apparaître le 1-utensur K. Donc ça, c'était pour la preuve de ce gros théorème ici, dans le cas de dimension finie. Maintenant, il faut que je vous explique qu'il y a un petit peu l'élément principal de ce cours, comment on fait en dimension infinie. Tout ça, vous voyez, dépend de manière cruciale de la dimension, qui est le D qui apparaît absolument partout. Donc on ne peut pas utiliser ces estimés directement en dimension infinie. Donc, quand on passe à la dimension infinie, donc l'astuce, c'est de se ramener à la dimension finie. Bien sûr. En utilisant ce qu'on appelle la localisation géométrique, ça s'appelle, qui n'est rien d'autre que juste la localisation d'états quantiques quand on regarde un gros système et qu'on le restreint un sous-système. Donc, l'élément principal, c'est le fait que les espaces de foc ont une structure algébrique particulière, c'est presque les exponentiels. Je rappelle que l'espace de foc, c'est... c plus h plus h times rh, sauf que nous, on a mis symétrique, plus etc. Et d'ailleurs, si on n'avait pas mis symétrique, la bonne manière aurait été de diviser par deux factorials, ce qui pour un espace ne veut rien dire, mais quand j'écris ça, ça veut dire pour la norme correspondante, doit être divisé par deux factorials, c'est le facteur de Boltzmann. Donc vous devez vraiment penser que l'espace de foc, c'est exponentiel de h. Et comme c'est une exponentielle, ça va avoir des propriétés particulières vis-à-vis des sommes directes. Donc la propriété importante, c'est que si vous prenez un sous-espace v qui sera de dimension finie pour nous, et que vous écrivez h comme v plus v orthogonal, eh bien l'espace de foc de h va être isomorphes, à l'espace de foc de v, prolétance orielle avec l'espace de foc de v orthogonal. Nous on n'a pas les factorials dans la norme, c'est parce qu'on a pris un produit symétrique, ce qui est un petit peu comme divisé par une factorial. Donc ça c'est la propriété principale. Alors, qu'est-ce que c'est que cet isomorphisme entre les espaces de foc ? C'est quelque chose de très simple. L'espace de foc ici est engendré juste, si vous prenez e i une basse orthonormée de vache, l'espace de foc va juste être engendré par e i 1, tenseur symétrique, e i 2, tenseur symétrique, etc. e i petit n avec un n quelconque. L'isomorphisme c'est juste à cette base associée. Donc vous prenez une basse orthonormée, et vous supposez que e 1 jusqu'à e d est une basse orthonormée de v, et puis que les suivants c'est une base de l'orthogonal. Donc vous associez juste, vous mettez à gauche, ça n'a pas d'importance, c'est un produit symétrique, il faut les mettre dans l'ordre que vous voulez. Donc vous mettez à gauche tous les e i qui ont des i k infraurégo à d, et ensuite tous les e i qui ont des i k supérieur au égo à d plus un, et vous transformez le produit tenseuriel symétrique en un produit tenseuriel, et ça vous donne l'isomorphisme. Donc en utilisant le fait qu'un espace de foc et en fait un produit tenseuriel quand on prend un sous-espace, ça permet de définir ce qu'on appelle l'état localisé dans un sous-espace v. Donc quand vous avez un état gamma sur l'espace de foc, donc un état, je vous rappelle, c'est juste un opérateur auto-adjoint positive de trace 1, on peut lui associer ce qu'on appelle le localisé dans v, qui en fait est un état qu'on peut noter gamma indice v sur l'espace de foc associé à v, et qui est juste défini en se débarrassant de la partie ici, en faisant une trace partielle, c'est-à-dire une marginale, on regarde la marginale, c'est-à-dire on fait la trace partielle sur la deuxième partie du produit tenseuriel de gamma. Évidemment tout ça c'est à isomorphisme près, mais vous comprenez mes notations. Donc ça c'est la bonne manière quand on a un système quantique de regarder le système dans un sous-espace, sur un ensemble plus petit, et tout comme quand on a une mesure sur un espace, on peut la regarder sur un plan en regardant la marginale, bon c'est exactement ce qu'on fait ici, sauf qu'on a utilisé la structure particulière de l'espace de foc. Alors quelles sont les propriétés de cette localisation ? Il y a une propriété très importante qui est l'action sur les marginales. Finalement c'est l'action sur les marginales qui nous intéressent plus que cette construction abstraite. Donc quand on a un état gamma, je vais appeler gamma k à la marginale qui est la somme n si pas au égal à k de n factorial sur n-k factorial de la trace partielle de k plus 1 jusqu'à n de gn qui est la gamma c'est g0 plus g1 plus etc. C'est de sorte que nous ce qui nous intéresse c'est vraiment la trace de a fois gamma k. Et c'est toujours ces objets qu'on étudie partout. Donc du coup c'est naturel d'introduire cet opérateur, j'ai juste retardé le moment de l'introduire le plus possible, mais à un moment il faut bien passer par là. Donc ce qui est vraiment très important c'est que si vous regardez l'état localisé et défini de cette manière un petit peu abstraite et que vous calculez sa kaïe marginale avec cette formule alors vous allez trouver que c'est le projecteur orthogonal sur v tensor k fois la marginale de gamma. Vous avez un lien extrêmement facile entre les marginales de gamma et les marginales du localisé. On projette simplement de manière très simple en appliquant le projecteur de chaque côté les marginales de gamma. Donc plus que la construction abstraite encore que la construction abstraite va jouer un rôle très important ce qui est très important pour nous c'est ce qui commence à agir sur les marginales. Évidemment il faut faire le calcul, je n'ai pas du tout envie de faire pour montrer que c'est vrai mais c'est vrai. Alors ça ça permet de démontrer le théorème et de se ramener au cas de la dimension finie de la façon suivante. Je vous rappelle que nous on suppose que la somme de epsilon g n puissance k faut la trace de g nj, on a une suite gamma g et on suppose que cette somme est majorée par une constante ck. Alors si on réécrit et on a introduit l'opérateur gamma k qui faut la somme des n factorial n moins k factorial alors c'est le gamma kj pour nous maintenant et ici la trace partielle le k plus 1 à n. Donc ce que vous voyez c'est que le n factorial sur n moins k factorial se comporte à k fixé comme n puissance k en fait ça s'estime même exactement par n puissance k et donc vous trouvez immédiatement que la trace de gamma g k fois epsilon g à la puissance k est en fait plus petite que ck. C'est une conséquence de notre hypothèse mais c'est l'expression de notre hypothèse pour la suite des gamâchis. Et donc ce qu'on en déduit c'est que epsilon g puissance k gamma g km et en fait borne c'est un opérateur positif parce que c'est obtenu par prendre des traces partielles et en fait une suite borne quand je fais varié g et que je fixe k dans l'espace des fonctions à trace pardon l'espace des opérateurs à trace. Comme c'est une suite borne dans l'espace des opérateurs à trace on peut toujours rester à une sous-suite qui converge faible étoile on utilise que les opérateurs à trace c'est le dual des compacts donc on peut toujours supposer quitte à extraire une sous-suite que epsilon g puissance k gamma g k tend faiblement vers quelque chose faible étoile vers un certain gamma k et ce qu'on désire démontrer c'est que nécessairement cette limite ici peut s'écrire donc ça c'est ce qu'on veut démontrer l'intégrale de u puissance k u k des mu de u c'est en fait exactement ce que dit le théorème puisqu'il dit que si on teste contre un opérateur A on a convergence vers ça donc c'est ce qu'il faut qu'on démontre et c'est en fait exactement ce qu'on a déjà fait en dimension finie donc comment on utilise la dimension finie eh bien ce qu'on fait c'est qu'on localise notre suite d'état dans un espace de dimension finie v donc maintenant on se fixe un v de dimension finie et on localise dans v et donc la matrice densité du localisé donc gamma g v k je vous rappelle que c'est en fait juste le projecteur orthogonal sur v appliqué à la matrice densité initiale donc évidemment cette nouvelle suite ici quand je la multiplie par epsilon g puissance k ça va encore être borné dans les opérateurs à trace et comme ici j'ai multiplié de chaque côté par un opérateur de rang finie enfin même de rang 1 pardon, de rang finie quand vous avez une opérateur qui converge faiblement faible étoile et que vous multipliez de chaque côté par un opérateur de rang finie du coup vous avez convergence forte vous êtes en dimension finie donc là vous avez convergence forte et vous savez quelle est la limite la limite c'est juste le projecteur appliqué à la limite gamma k comme ça d'accord ou gamma k c'est la limite faible dont on aimerait démontrer qu'elle s'écrit sous la forme avec la dimension pardon ? oui mais là en fait on est en dimension finie alors ça n'a pas l'importance sauf qu'évidemment il faut que je mette les epsilon g puissance k voilà bon mais vous voyez là maintenant on est en dimension finie donc on l'a déjà fait donc en fait on sait que cette limite ici peut s'écrire intégrale de u puissance k u tanceur k avec un certain mu v de u c'est juste que le mu dépend de v mais vous voyez on a démontré exactement ce qu'on voulait sauf qu'on a ces projecteurs ici mais donc dans un deuxième temps donc ensuite on fait tendre v vers tout l'espace c'est-à-dire en fait on prenait au départ une base quelconque et puis on prenait juste l'espace engendré par les D premiers vecteurs et ça ça va tendre fortement maintenant vers gamma k et ça on va trouver une suite qui en fait se trouvait tendue ça va converger faiblement vers un mu et on aura la formule qu'on veut que gamma k sera égale à uk uk les mu de u et ça termine la preuve du théorème donc l'astuce c'est de se placer en dimension finie en utilisant cette localisation qui est basée sur une propriété algébrique des espaces de foc c'est-à-dire le fait que quand on prend un sous-espace les espaces de foc deviennent les produits tempsoriels et du coup on peut définir un état en prenant une trace partielle donc ce que vous voyez après après cette démonstration c'est que quand on a une suite d'états quantiques dont le nombre de particules tend vers l'infini en fait toute puissance ce qu'on porte tous un peu pareil avec le epsilon j epsilon c'est n'importe quoi c'est juste que ça tend vers zéro alors on peut naturellement trouver une mesure mu une mesure de probabilité sur l'espace initial de sorte que toutes les marginales ou les matrices d'incité multipliées par epsilon j à epsinska tend faiblement vers une moyenne avec un epsinska et tout le monde a le même mu donc maintenant pour démontrer notre théorème ici de convergence du problème quantique à température t vers le problème classique on va utiliser exactement cet argument c'est à dire on va regarder l'état de Gibbs qui est solution de ce problème variationnel ici et on va montrer qu'il vérifie des estimés pour un certain epsilon t qui en fait va être insurté et on va montrer que donc du coup on va trouver automatiquement un mu à la limite il n'y a pas encore qui est mu mais on va montrer que mu est solution du problème variationnel classique et du coup on en déduira que c'est le mu qui est la mesure non linéaire donc en utilisant les problèmes variationnels on va réussir à identifier la mesure mu qui est obtenue de manière abstraite par ce théorème ici j'aurais peut-être dû l'appeler nu pour pas la confondre avec notre mu alors j'essaye de garder le plus de choses possibles je pense que je peux effacer ici donc ce qu'il faut faire maintenant c'est passer à la limite faible dans le problème variationnel qui écrit ici et qui caractérise gamma et faire apparaître les mesures semi-classiques c'est à dire les mesures qui vérifient ces propriétés ici et pour ça, le lame fondamental c'est le suivant donc c'est vraiment le coeur de la preuve ce petit lame donc vous prenez des suites gamma g et gamma g prime et epsilon g comme avant et puis vous appelez peut-être je les appelle nu et nu prime les deux mesures de probabilité comme avant donc obtenu par ce théorème c'est la sous-suite près donc on suppose qu'il n'y a pas de sous-suite alors la lime 1 de l'entropie relative des gammas g avec les gammas g prime et supérieur ou égal à l'entropie relative classique de nu avec nu prime ça c'est vraiment le lame fondamental ce que l'on désire faire c'est comparer ce problème variationnel avec le problème variationnel pour les mesures pour les mesures et donc c'est ce qui va traiter complètement le premier terme avec l'entropie relative qui est à l'air d'être le terme le plus difficile et la preuve de ce lame repose très fortement sur les propriétés de l'entropie relative qu'on a démontré la semaine dernière elle se fait en plusieurs étapes et vous allez voir que chaque étape utilise très fortement toutes ces propriétés équivalentes de l'entropie relative qui sont la convexité jointe etc alors comment on fait la preuve et bien il faut passer en dimension finie auquel cas on comprend mieux ce qui se passe donc quand on passe en dimension finie ça veut dire qu'il faut localiser les deux états pour qu'on prend un v de dimension finie évidemment en fait on prend une base et v juste l'espace engendré par les premiers vecteurs de la base et donc la première étape consiste à remarquer que l'entropie relative décroi si on localise les états et la raison c'est qu'en fait ces états localisés sont définis avec une trace partielle et ça c'était la propriété 3i de la semaine dernière le fait que l'entropie relative décroi quand on a un espace ambiant qui est un produit tensoriel et qu'on prend une trace partielle relative décroi avec les traces partielles et c'est vraiment quelque chose qui exprime le fait qu'on perd de l'information quand on regarde un sous-système par rapport au système total donc ça on a utilisé une propriété importante de l'entropie relative alors maintenant on va encore en utiliser une autre c'est que donc les gammas gv chacun je vous rappelle on considère que des gens qui sont des sommes directs donc ça c'est une somme de ggn je ne mets pas le v parce que sinon on va avoir trop d'indices ça c'est une somme de ggn et de prime maintenant on est en dimension finie enfin on est quand même en dimension infinie parce que l'espace de foc est dimension infinie mais il est fabriqué sur un espace de dimension finie et je vous rappelle que ici on avait introduit donc on a une mesure mu g et une mesure mu g prime qui sont ces mesures définies sur les sphères et qui sont obtenues en prenant les gg et en les testant contre les huts en sereine et bien quand on va remplacer les g et les g prime par les mesures l'entropie va encore décroître et c'est une autre c'est encore une autre propriété de l'entropie relative donc l'idée c'est la suivante je vais essayer de vous expliquer rapidement cette fois on va utiliser la propriété suivante qu'on avait aussi démontrée c'est que si on avait une résolution de l'identité ce sera une intégrale mais c'est pareil alors en fait la somme sur k des h de xk à xk étoiles xk a b xk a étoiles et un four égale à h de a b c'est une propriété qui se trouvait équivalente à ce qu'il se passe quand on prend des traces partielles qui est aussi équivalente au fait que l'entropie est convexe par rapport aux deux variables on avait démontré tout ça la semaine dernière ceci vous dit en fait quand on remplace les g et les g primes par les mesures mugiennes et mugiennes primes alors je vais essayer de vous expliquer ça rapidement vous voyez que comme les deux sont des sommes directs les entropies relatives sont en fait les sommes sur n des entropies relatives des g donc il suffit de le faire à n fixer donc on le fait à n fixer quoi ? donc à n fixer donc j'ai juste un g et un g prime je mets plutôt les indices et j'ai les mesures mugées je vous rappelle que des mugées de u c'est n plus des moins 1, des moins 1 et u temps sur n j'ai u temps sur n des u et on est sur la sphère alors comment on fait eh bien l'intégrale n plus des moins 1 des moins 1 p u temps sur n des u ça vaut l'identité c'est ce qu'on a déjà utilisé plusieurs fois et ça on va l'interpréter comme la somme des x k à étoiles x k sauf que x k s'régale à x k étoiles ce sera ce projecteur fois tous les coefficients qu'il faut et la somme c'est l'intégrale donc si vous regardez l'entropie relative de g avec g prime ce que va vous démontrer cette inégalité ici c'est que vous allez pouvoir minorer par l'intégrale et je vous rappelle aussi la propriété que h de t at b est égal à t h de ab donc quand on a la même constante ici on peut la sortir du coup vous allez trouver exactement h de p u temps sur n g p u temps sur n p u temps sur n g prime p u temps sur n puis ensuite le coefficient n plus d moins 1 d moins 1 qui est devant et d u donc on a utilisé ça et l'homogénéité il y a un d u que j'ai sorti vous voyez il faut discrétiser l'intégrale pour que ça aille un sens alors ce que vous voyez c'est que ça en fait c'est juste un nombre ça c'est u temps sur n g u temps sur n fois un projecteur de rang 1 et ça c'est un autre nombre de fois le même projecteur de rang 1 donc ce qui est complètement évident parce que vous avez des projecteurs de rang 1 et que c'est les mêmes c'est que c'est un problème en dimension 1 mais un problème en dimension 1 c'est le même qu'un problème classique c'est pareil donc là je peux remplacer par le h classique qui vaut juste a log de b sur a a log de a sur b ou ça c'est a et ça c'est b et enlever les opérateurs qui sont des opérateurs de rang 1 et h classique veut vraiment dire lui fois le log de lui sur lui bon mais maintenant vous voyez que c'est exactement ce qu'on voulait en revenant en arrière ça c'est exactement le h classique maintenant des mesures donc vous avez une relation exacte et on avait la même relation exacte sur l'anthropie c'était une égalité qui s'appelait le bérisin libre sauf que maintenant c'est sur l'anthropie relative et que c'est plus compliqué puisque c'est basé sur le sur la convexité jointe on avait démontré ça en utilisant le fait que h était convexe par rapport au couple a b donc c'est la convexité jointe et la première étape était aussi la convexité jointe à chaque étape on utilise les propriétés qui sont tout équivalentes donc si on résume où on en est pour l'instant on n'a absolument rien perdu il n'y a pas de l'iminf, ni rien du tout c'est juste des inégalités exactes donc le h de gamma g gamma g prime était exactement super égal au h du localisé qui était exactement super haut égal au h classique du muji muji prime maintenant on peut prendre les l'iminf donc on prend la l'iminf du premier et ensuite on va prendre la l'iminf ici bien je vous rappelle que par définition le muji v c'est cette mesure qui est définie c'est à dire la converge faiblement vers un mu indice v au sens des mesures et d'ailleurs les mesures étaient toutes tendues, on pouvait tester contre n'importe quel polinome et lui il est envers un mu v prime pour la convergence au sens des mesures donc il faut pouvoir passer à la limite mais comme c'est une fonction convex maintenant on utilise la convexité cette fois sauf que c'est la convexité classique donc c'est un petit peu plus facile la convexité de variable elle est faiblement semi-continue inférieur et donc on peut passer à la limite faible et trouver mu v et mu prime v et ensuite vous voyez ce qu'il faut faire la dernière étape pour conclure c'est de faire grandir l'espace v pour le faire tendre vers notre espace de dimension infinie donc en fait au départ on avait pris une base et v c'était l'espace on l'endrait par les premiers vecteurs et maintenant cet objet va être croissant puisque par monotonie c'est le problème à l'envers lorsque le v augmente ça ça va être une suite croissante et on peut démontrer en fait c'est même un peu la définition c'est que ça tend vers l'entropie relative de mu et mu prime et c'est comme ça qu'on conclut la preuve de Seulem donc Seulem donne le lien entre les entreprises relatives des problèmes quantiques et les entreprises relatives des mesures semi-classiques obtenues par ce théorème ici sauf que vous voyez moi je sais pas démontrer Seulem avec le théorème je suis vraiment obligé d'utiliser la façon dont les mesures sont construites c'est très important donc c'est vraiment la preuve elle-même qui est presque plus importante que le théorème alors maintenant on va pouvoir démontrer notre théorème on a tous les outils qu'il faut du moins dans le cas où P v 1 donc preuve du théorème si P égale à 1 P égale à 1 c'est le cas où la trace de h-1 est finie qui est aussi le cas où la mesure va vivre dans l'espace de Hilbert elle va pas sortir, ça va pas être trop compliqué on a vraiment tous les éléments pour comparer les principes variationnels vous voyez on a fait le plus difficile avec l'entropie relative donc on regarde l'opérateur l'état gamma t lambda qui est 1 sur le z de t lambda c'est exponentiellement h lambda sur t et ce qu'il faudrait démontrer c'est qu'il vérifie les hypothèses de cette théorème ici c'est à dire il vérifie cette hypothèse là avec un epsilon g bien choisi je vous dis que le epsilon g sera 1 sur t ensuite on va en déduire l'existence d'une certaine mesure nu et puis ensuite on va faire une comparaison des principes variationnels et on montera que le nu doit être égal au nu donc ce qu'il faut c'est avoir on va désestimer un priori c'est à dire démontrer que le gamma vérifie quelque chose de ce type avec epsilon g égal à 1 sur t donc pour ça évidemment il faut commencer par le vérifier dans le cas où il n'y a pas d'interaction puis ensuite montrer qu'avec l'interaction ça va pas être bouleversé donc avant de faire ça on va avoir des estimées supérieures et inférieures sur le z de lambda de z de t lambda divisé par z de t 0 c'est l'infin de la trace de... pardon c'est l'entropie relative de gamma avec gamma 0 plus lambda sur t la trace de w avec gamma donc comme j'ai supposé que w était un opérateur positif c'est clair que tout ça est positif ce qui revient à dire que le z sur le z 0 est un ferrugale à 1 maintenant il me faudrait une bande supérieure donc pour avoir une bande supérieure on va prendre une fonction de fin un opérateur test évidemment on prend gamma égal à gamma 0 donc on prend gamma égal à gamma 0 on réduit un ferrugale à lambda sur t la trace de w gamma 0 alors la trace de w gamma 0 je vous rappelle que w c'est l'opérateur qui est la somme des w j k qui agit seulement sur 2 particules à la fois et donc ça peut s'écrire en utilisant la matrice densité d'ordre 2 le gamma 2 que j'avais défini si vous faites le calcul vous allez voir que ça vaut lambda sur 2t la trace w fois le gamma 0 2 et maintenant c'est une trace sur h tenseur h tenseur symétrique donc c'est beaucoup plus simple parce que là c'était une trace sur l'espace de foc et là maintenant la trace fixe donc ce qu'il faut faire c'est avoir des informations sur gamma 0 2 mais si vous faites un petit calcul qui n'est pas tellement marrant mais croyez moi il est trop tard pour le faire ici gamma 0 k se trouvait égal à k factorial exponentiel h sur t moins 1 la puissance moins 1 le tout tenseur k restreint au sous-espace symétrique ça c'est un calcul célèbre ça vient du fait que gamma 0 est un état quasi libre pour les états quasi libres on peut tout calculer ce que vous voyez immédiatement c'est que ça ça s'estime 1 sur l'exponentiel de x moins 1 je dis que c'est un ferregal à 1 sur x et donc ça va s'estimer par k c'est divisé par h tenseur k et j'oubliais le t à la puissance k donc vous voyez très bien maintenant que si vous prenez la trace de gamma 0 k vous allez avoir la trace de h tenseur k bon là on est restreint symétrique mais qui se majeure dans tout l'espace par la trace de h moins 1 le tout puissance k fois le t puissance k et donc si je mets le t de l'autre et j'ai exactement démontré que quand je n'ai pas l'interaction en prenant epsilon j égal à 1 sur t je vais avoir cette propriété ici je l'ai pas exprimé avec les n je l'ai exprimé avec les gamma k mais c'est la même chose donc quand le lambda v0 l'état de Gibbs a le bon comportement avec epsilon égal à 1 sur t bien donc ça c'est très bien mais maintenant je mets cet estimé ici et vous voyez que je trouve que 0 et infero égal est au moins log du quotient qui m'intéresse qui est infero égal à lambda lambda fois t parce que j'ai le t² le 200 v je crois et la trace de W h moins 1 j'ai utilisé cet estimé donc vous voyez apparaître immédiatement le fait que cette trace doit être finie de manière à avoir un contrôle qui était l'hypothèse de notre théorème donc l'hypothèse de notre théorème dans le kp égal à 1 consiste juste à demander que l'interaction soit finie ou reste du bon ordre quand je mets l'état de Gibbs sans interaction c'est une manière de dire que l'interaction ne va pas trop bouleverser l'état sans interaction du point de vue énergétique et ça je vous rappelle que ça tend vers 1 puisque lambda se comporte comme 1 sur t et donc on a une borne inférieure et une borne supérieure donc ce que ceci démontre c'est que le z lambda divisé par le z0 peut être minoré par un certain epsilon strictement positif qui est exponentiel moins ce nombre et majorité pas 1 donc ce quotient va rester ne va pas approcher 0 il reste infero égal à 1 et par ailleurs on a expliqué juste avant que la trace de n sur t puissance k avec le gamma 0 était bornée par une constante ck qui est juste k factoriel et la trace de h-1 le tout est puissance k à peu près et donc maintenant on voudrait démontrer la même chose pour l'état de Gibbs qui dépend de lambda donc ça c'est très simple comment on fait on regarde n puissance k gamma t lambda la trace qui est juste la trace de n puissance k exponentiel moins h0 sur t moins lambda sur tw divisé par z de t lambda et on va utiliser quelque chose de très important c'est le fait que n commute avec l'opérateur qui est dans l'exponentiel et donc comme il commute je peux faire une borne très simple sur l'opérateur ici et dire qu'il est infero égal alors c'est pas vrai au sens des opérateurs mais pour la trace ça marche donc le plus simple c'est juste de dire que n puissance k c'est exponentiel de k log n ensuite de dire que le produit des exponentiels est l'exponentiel de la somme parce qu'il commute et ensuite d'utiliser le fait que la fonction trace de exponentiel de a est croissante et on a vu la semaine dernière aussi trace de f2a est une fonction croissante par rapport à a si jamais la fonction est croissante donc quand vous faites ça vous trouvez immédiatement la trace de n puissance k exponentiel moins h0 sur t divisé par z t lambda donc on a quasiment la trace pour laquelle on a une information ici modulo le fait qu'on n'a pas divisé une bonne coefficient de normalisation mais comme on a cette information ici vous voyez que ça peut s'estimer par 1 sur epsilon qui est la constante ici fois la trace de n puissance k gamma0 et donc on en déduit que l'information sur l'état sans interaction se transmet à une erreur sur epsilon près à l'état avec interaction et donc on peut appliquer ce théorème ici avec les mesures semi-classiques avec epsilon j qui n'a rien à voir avec ce epsilon ici je l'appelle eta et epsilon qui vaut 1 sur t et on peut l'appliquer pour la suite gamma t0 et pour la suite gamma t lambda donc si on applique ce théorème on trouve 2 mesures nu et nu 0 on a 2 mesures nu et nu 0 en appliquant le théorème je le prétends d'abord que nu 0 est égal à nu 0 et ça c'est très facile c'est parce que si vous regardez le gamma k0 je vous ai dit que c'était k factoriel divisé par exponentiel h sur t moins 1 tend sur k et donc si je divise par t puissance k ça s'attend en fait en convergence même forte en trace c'est vrai mais ça tend vers k factoriel sur h tend sur k et si vous faites un petit calcul vous verrez que ça c'est en fait exactement égal et on l'avait dit au cours numéro 2 je pense quand on a discuté les mesures de Gibbs c'est égal à la mesure Gaussian mu 0 intégrée entre u tend sur k c'est un calcul on l'avait dit au moins pour k égale à 1 que l'intégrale du projecteur sur u intégrée entre la mesure Gaussian c'était la fonction de Green c'est à dire 1 sur h mais c'est vrai pour tout cas et donc comme on a ça ça nous dit forcément que mu 0 égale nu 0 en fait on n'a pas besoin du théorème on aurait pu ça se démontre en faisant un calcul directement donc il reste vraiment juste à vérifier que le nu est égal au mu et pour ça on utilise le principe variationnel donc ce qui est clair c'est que la lime 1 quand t est envers l'infini et que lambda t est envers 1 de moins log du quotient des 2 fonctions de partition donc ça c'est la lime 1 de l'entropie relative de l'état avec interaction et l'état sans interaction et ensuite on a lambda sur t la trace de W gamma c'est la lime 1 de tout ça alors ça on a déjà commencé à le simplifier on a dit que c'était la même chose que lambda t sur 2 et la trace de W avec la matrisse en cité d'ordre 2 voilà lambda t est envers 1 donc vous allez m'autoriser à mettre 1 ici alors la lime 1 de l'entropie on l'a étudié on a ce théorème qui nous disait que c'était supérieur ou égal au h de nu avec mu 0 puisque maintenant on sait que la mesure semi-classique de l'état sans interaction est mu 0 donc il faut faire la lime 1 du terme de l'interaction mais ça c'est très facile puisque la matrisse en cité d'ordre 2 converge faiblement c'est exactement ce que nous dit le théorème ici vers la moyenne avec un u tan sur 2 u tan sur 2 des nu de u donc on a une convergence faible étoile dans l'espace à trace et par ailleurs W est un opérateur positif et donc comme il est positif on peut utiliser Fatou, Fatou pour les opérateurs qui va nous permettre de passer à la lime 1 ici Fatou va nous dire plus 1 demi de l'intégrale de u tan sur 2 W u tan sur 2 des nu de u on a pas besoin de W soit en place on a pas besoin de W soit en place ? non non on a pas besoin on peut simplement écrire la trace on commence par minorer par une sum finie sur une base et ensuite sur la base on passe à la limite puis tout à la fin on fait tendre la troncature une autre main bon comme d'habitude il faut interpréter au sens des formes donc il faut mettre racine de W de chaque côté avant mais quand on a un opérateur fixe et puis une suite qui tant faiblement au milieu ça passe à la limite et donc ce que vous voyez c'est que là on retrouve exactement ce qui intervient dans la caractérisation des mesures classiques donc ça c'est évidemment supérieur ou égal à l'un sur tous les nu qui vaut au moins log de ZR ou le minimiseur c'est quand nu est égal à mu et donc ce que vous voyez c'est que si on arrive à démontrer une bande supérieure du coup on aura égalité partout on aura démontré la première partie du théorème que moins log converge vers moins log ici et par ailleurs on trouvera que nu doit être un minimiseur et comme le minimiseur est unique et que c'est mu on en dédura que nu égal à mu donc la seule chose qui manque c'est la bande supérieure mais ça généralement c'est plus simple puisqu'il suffit de fabriquer un état test donc la bande supérieure donc ça c'est simple on fabrique un état test suivant donc on prend je vous l'écris entre guillemets donc gamma sera le Gibbs pour l'interaction projetée on prend un espace de dimension finie donc on prend V qui est l'espace engendré par les D premier vecteur propre de petit H que je les avais appelé V tout à l'heure tant qu'à faire autant choisir une base qui est adaptée à la mesure sans interaction c'est plus simple on prend Gibbs pour l'interaction localisée dans l'espace V tenseur gamma 0 sur l'orthogonal de V on utilise le fait que l'espace de foc est isomorphé à un produit tensoriel et on prend un état test qui est exactement un produit tensoriel qui est juste l'état gamma 0 sur la partie en dehors de V et sur l'autre partie quand on fait ça tout se simplifie et on se ramène à la dimension finie si vous voulez le fait que les états soient exactement égaux sur l'orthogonal de V on peut complètement ignorer cette partie et juste travailler dans l'espace de foc généré par V donc on se ramène à la dimension finie avec une nouvelle interaction qui est P tenseur 2 W P tenseur 2 en dimension finie on sait que la limite est vraie parce qu'on la fait par ailleurs donc on fait cette limite en dimension finie et tout à la fin on fait tendre P vers l'identité on enlève la troncature et on trouve la bande supérieure ça donne la bande supérieure et ça conclut la preuve ça conclut la preuve quand P est égal à 1 vous voyez que la preuve à tous les ingrédients c'est pas trop compliqué il y a ses propriétés un petit peu subtiles de l'entropie relative le fait qu'on puisse comparer les entropies relatives des états quantiques avec les entropies relatives des mesures semi-classiques par des inégalités de type Béry-Zinlip quand P n'est pas égal à 1 la preuve est beaucoup plus difficile puisque je vous rappelle que la mesure sort de l'espace et on a vraiment un problème technique on ne sait pas on n'a pas du tout de bonnes estimées sur les gamacas donc en 2 minutes je vous dis juste très vaguement les problèmes qu'on a et comment on fait si P est plus grand que 1 c'est beaucoup plus difficile et on a un manque d'estimés pour les gamacas en fait ces gamacas ne vont pas être bornés à trace parce que ça correspondrait au fait que la mesure reste de l'espace de Hilbert comme elle sort ce qu'on n'a pas borné donc ce qu'on a réussi à démontrer c'est que le gamin n'est pas trop mal si on le divise par T il est majoré par une constante sur H en tant qu'opérateur donc maintenant l'opérateur 1 sur H n'est pas un opérateur à trace mais c'est pas grave parce que si je mets la puissance P ça devient un opérateur à trace donc ça me dit que ça c'est une suite bornée dans ce qu'on appelle un espace de Chathane c'est à dire des opérateurs qui ont une puissance P alors c'est à trace donc c'est borné dans l'espace SP qui consiste à mettre les valeurs propres à la puissance P c'est un espace plus gros que l'espace des opérateurs à trace et le P c'est celui pour lequel la trace de H sans ce mot MP est finie et donc du coup on sait qu'il y aura une limite faible c'est juste que la limite faible sera dans un espace plus gros et le plus grave aussi c'est que si on localise on regarde l'état localisé dans un espace de dimension finie ça veut dire on prend un projecteur sur les des premiers vecteurs propres de H et bien du coup on se retrouve avec une suite qui est bornée maintenant on est en dimension finie et du coup tout ce qu'on a fait s'applique à peu près donc la technique de preuve consiste à projeter sur des espaces de dimension finie exactement comme maintenant et là tout sera borné passé à la limite et tout à la fin quand on enlève la troncature la mesure qu'on a construite va sortir de l'espace mais elle va vivre dans l'espace dans lequel on a désestimé sur la norme donc le problème c'est que on pense qu'il y a des estimées du même type pour gammaca mais on n'a pas réussi à les démontrer et c'est pour ça que cette partie manque dans le théorème on ne sait le faire que pour Karigala on a quand même une autre caractérisation de la mesure on sait que la mesure mu qu'on a définie c'est-à-dire quand on a une suite d'état on commence par localiser et ensuite on définit la mesure par cette résolution d'identité cette mesure sur l'esphère converge vers mu et ça c'est aussi une caractérisation de la mesure finale on arrive quand même à démontrer que la mesure finale doit être égale à mu la difficulté c'est que comme on n'a pas d'estimer sur le gama 2 du coup on a beaucoup de mal pour faire cette preuve qui ici était très facile qui était juste appliqué Fatou parce qu'on n'a aucune estimée sur ce gama 2 donc en fait la partie très difficile il y a d'abord la construction des mesures à la fin c'est pas si difficile c'est-à-dire la généralisation du théorème de la Marie et Nier dans le cas où la mesure sort de l'espace ça on a réussi à le faire mais la partie vraiment difficile c'est ce qui était complètement évident ici avec Fatou c'est-à-dire le fait que la lime infe de cette trace est minorée par ça et la façon de le faire ce qu'on a fait si on a localisé dans des espaces de dimension finie on a contrôlé les erreurs et à chaque fois on perd un petit peu et c'est pour ça qu'on avait besoin de ces estimées avec le P prime qui faisait gagner un tout petit epsilon et qui permet de contrôler les termes d'erreur ici je vais pas vous en dire plus il faut que je m'arrête je vais juste vous donner des références je vais en savoir plus donc il y a essentiellement 2 références importantes la première que vous pourrez regarder c'est le cours de Nicolas Rougerie qui est le cours Péco ça doit être 2014 donc il a écrit des très longs notes il y a plus de 100 pages vous avez même une version française et une toute récente version en anglais et les deux sont sur archive donc Nicolas faisait surtout un problème de l'état fondamental les minimisaires dont j'ai parlé au premier cours et dans le cas qu'on finit ça se démontre assez facilement avec le théorème de la marine hier que j'ai mentionné et il explique le théorème de définitive quantitatif tout ça est expliqué en détail et ensuite vous avez un tout petit tapin 10 sur les mesures de Gibbs où il explique seulement en dimension finie ce que j'ai expliqué aujourd'hui tout à la fin pour les mesures de Gibbs elles-mêmes donc il faut regarder le papier avec Nam et Rougerie qui est dans le journal de l'école polytechnique qui vient juste de paraître merci beaucoup pour votre attention c'est une très bonne question si on veut vraiment le relier avec les problèmes de physique il faut renormaliser donc c'est ce que j'avais mentionné au deuxième cours j'avais expliqué comment on pouvait renormaliser les mesures donc renormaliser ça signifie que le W on le remplace par quelque chose de mieux comme ici par exemple et ensuite on enlève la troncature et on soustrait les divergences pour voir exactement comment ça se passe donc ce qui serait très intéressant et qu'on essaye de faire mais on n'a pas encore réussi c'est de faire la limite de champ moyen et en même temps qu'on fait la limite renormalisée de sorte qu'à la limite on trouve la mesure mieux renormalisée mais ça veut dire qu'on a deux limites couplées et du coup c'est plus difficile et par ailleurs comme on soustrait des contre-termes on a des propriétés de positivité qui sont perdues et qu'on avait utilisé dans la preuve et donc du coup c'est beaucoup plus difficile donc c'est encore un travail en cours mais bien sûr il y a un problème d'échange de limite donc on sait renormaliser la mesure mu final en dimension 2 et 3 comme je vous l'avais expliqué si le W est assez lisse si le W est une delta il faut travailler plus c'est beaucoup plus difficile mais c'est aussi connu mais la limite de champ moyen il faudrait soustraire les contre-termes et faire la limite en même temps et on n'en est pas encore là le W est toujours positif donc dans l'épreuve ici on a toujours supposé le W positif et on l'a fortement utilisé parce qu'au siècle précédent quand on faisait la mécanique quantique on utilisait des potentiels que la somme de WJK soit minoré par moins constante N donc si c'est positif c'est très minoré oui mais une fonction de petite positive ça marche aussi la constante qui est essentiellement W0 oui donc je ce que tu me dis c'est que si W chapeau est positif par exemple je pense que ça marche aussi je pense que c'est vrai mais il faut travailler un tout petit peu plus mais je pense qu'on peut adapter l'épreuve et le faire marcher il faut toujours faire très attention en grand canonique que les choses qui se comportent bien le problème c'est que tout marche très bien quand on a un insurène devant l'interaction mais nous on a un insurté qui n'est pas insurène et du coup pour Rennes très grand l'interaction peut devenir gigantesque alors que c'est seulement parce que l'insurté n'est pas l'insurène en grand canonique tu as rajouté une constante au petit tâche oui voilà donc ça ça devrait marcher on l'a pas fait bon en 1D le W on peut prendre moins delta si on veut à condition de restreindre le nombre de particules, de faire le claque canonique mettons et bon notre preuve peut aussi marcher en 1D pour canonique on l'a pas fait parce qu'on voulait faire tout d'un coup mais par contre notre preuve notre preuve ne marche pas si W est attractif, canonique c'est pas si simple je pense donc il y a encore beaucoup de directions dans lesquelles il faut généraliser cette preuve et en fait la force de cette preuve c'est qu'on utilise l'aspect variationnel mais c'est aussi un peu la faiblesse donc quand on essaye de faire la renormalisation en même temps qu'on fait tendre t vers l'infini on a du mal à contrôler les termes justement parce qu'on a du mal à montrer qu'on a des minorations et donc du coup la preuve variationnelle devient un handicap plutôt qu'un mais je sais pas faire autrement pour l'instant merci à tous