 Je voudrais premièrement remercier les organisateurs pour leur donner une opportunité de parler ici. J'ai l'honneur d'être en train de parler pour l'école française automatique où j'appuie en mathématique. Et pour le sujet de ma parole, j'aimerais dire quelque chose sur les groupes unitaire d'unitai et plus précisément, j'aimerais discuter des problèmes locales dans l'analysie harmonique qui s'est montré dans le travail d'Huei Zhang sur cette conjecture et sur comment cela peut s'assurer. Ok, donc, premièrement, je remercie le conjecteur de Chino Ikeda, qui est parfois aussi appelé Refine, le conjecteur de Gauss-Prasad. Donc, ceci est le suivant. Vous fixez l'extension qualitatif de nombre de fields, K' over K et je n'arrête pas, comme d'habitude, A, la ringue d'Adelse K. Et nous donnons deux émissions spécifiques de K', W et V, avec W inclusant V et d'une dimension respective, N et N plus 1. Donc, dans les autres mots, W est le plan non-dégénérité dans V. Et les deux groupes qui sont testés sont ceux-ci. Donc, G, le gros groupe, serait le product de les deux groupes unitai et H serait le petit groupe unitai, ce qui vous pouvez voir comme un subgroupage de G, c'est-à-dire de ce que je n'appelle l'embêtement diagonaux. Donc, l'identité dans le premier facteur et l'inclusion naturelle dans le second facteur. Donc, puisque c'est une notation que je vais utiliser tout le temps, je vais récourir les importantes annotations ici. Il y aura d'autres groupes qui se suivent. Et puis, on considère un domicile automatique de présentation de G de DDS, qui compose comme G. Donc, G est un produit de deux groupes unitai et il y a une composition similaire de Pi qui est un produit de présentation automatique de les groupes unitai de W et V. Donc, je n'ai pas les deux par Pi, W et Pi V. Et donc, l'objectif important dans ce conjecteur est la période automatique par rapport au subgroupage H, qui est juste une ligne de forme sur Pi, qui est définie par la forme de forme à l'intervalle de cette forme de forme du subgroupage H, où j'ai utilisé cette notation, donc H dans le bloc pour dénoncer les quotations des points modératifs. Ok, donc maintenant, nous avons tout à dire le conjecteur de G de DDS. Donc, en fait, le conjecteur de G de DDS était pour des groupes spécifiques et cette version pour les groupes unitai a été travaillée par Neil Harris. Ok, donc je dois assumer que Pi est à chaque température, donc ça signifie que tous les constituts locales de Pi sont des présentations tempéraires dans le sens usual. Et puis, nous devons avoir une identité comme cette pour toutes les facturisations des vectors Pi dans le espace de Pi. Donc, ça signifie que c'est un produit restécté sur toutes les places de K des vectors locales de Pi V. Nous avons une identité comme celle-ci pour des places suffisamment large incluant, par exemple, les places de l'archimédia où, à gauche, vous avez la square du module de la période que j'ai justifié et à droite, vous avez trois différents termes. Donc, il y a deux groupes globales. Donc, l'un est l'inverse du cardinal d'une certaine groupe. Je vais définir tous les groupes dans quelques minutes. Et là, vous avez un conjecteur des valeurs spécifiques de la fonction partielle et, ensuite, vous avez des termes locales des places de l'archimédia qui sont appelées des périodes locales. Donc, je vais définir tous ces termes. Donc, d'abord, vous avez une question des valeurs spécifiques de la fonction partielle qui inclut un certain produit des valeurs spécifiques d'une function de l'archimédia donc, c'est un produit de l'archimédia de l'archimédia des valeurs spécifiques d'une valeur spécifique de l'archimédia où K est la magnification de l'archimédia associé à K' over K par la théorie de la classe globale. Et là, vous avez un conjecteur où, dans l'animérateur, vous avez un certain l'archimédia et la fonction partielle. Donc, B, la magnification pour l'archimédia de l'archimédia avec respect à l'extension fixée. Et donc, pour l'archimédia de l'archimédia de l'archimédia de l'archimédia de l'archimédia de l'archimédia de l'archimédia de l'archimédia et vous pouvez définir la fonction partielle associée à ces deux représentations automorphiques qui ont été étudiées par Chacquet, Piacesquichapir et Chalica. Par exemple, nous savons que c'est une continuation et dans l'animérateur, vous avez la fonction partielle qui est shiftée par l'archimédia. Donc, c'est le question de la fonction partielle qui apparaît dans la formule. Et puis, vous avez les périodes locales ici, les termes locales. Ce sont simplement défis, donc, ce sont les analogues de la période globale et la définition est simple, vous intégrer l'affichage associé à la compagnie locale 5v sur la groupe locale Hv. Donc, pour cela, vous devez fixer un product local en représentant par V et vous choisir pour que ça facturise globalement un produit. Et finalement, il y a cette groupe finale S-Pyre. C'est un groupe component associé à l'archimédia de Pyre. Donc, l'archimédia de Pyre, dans cet état, c'est simplement le changement base de Pyre. Donc, c'est une représentation automatique d'un produit de deux groupes généraux. Et il y a un moyen d'associer des groupes unit qui sont toujours un produit de copies de Z de 2Z. Donc, ces termes seront toujours une certaine puissance de 2. Mais, nous ne verrons pas une puissance de 2 dans ce que nous suivons parce que c'est un cas où c'est un fort. Ok. Donc, c'est le conjecteur et j'aimerais faire quelques remarques sur ça. Donc, la première remarque est que c'est une généralisation, la première remarque, pour des périodes toriques sur GL2 qui, essentiellement, correspond à le cas N equals 1 du conjecteur. Et aussi, cette formule de Vaspiogé a été réprovée par Jacques bientôt après par une autre méthode qui est plus近 dans le spirit de ce que je vais parler qui est en comparaison des formules relative. La seconde remarque est que j'ai utilisé cette base change de base globale sur les prévues slides et je vais bientôt utiliser aussi la base locale pour des groupes unitailles. Et ce sont lesquels existent globalement et qui ont été construits pour toutes les présentations localement par le work de Marc et Kaleh et White sur la classification d'automofique des présentations de ces groupes qui sont une extension d'un travail spécial d'autogonal et la dernière remarque est que ok cette conjecture est en fait donc c'est quelque chose que je vais utiliser cette conjecture est toujours toujours à un constant donc plus précisément tous les fonctionnels apparaissent en un sens et il y a des résultats disant que par Gurevich Halis Schiffmann P.D. Case et Sein et Zoo dans le cas disant que l'espace des formes de formes de formes de formes de formes de formes de formes de formes de formes de formes de formes de formes de formes ok donc maintenant je peuxrzy des résultats подоб aux quets et Walk 개인 que l'assumption n'existe pas dans le place non-archimédiaire, V, à laquelle la base change de pi est le hospitalier supérieur. Et comme je l'ai dit, cette assumption immédiatement implique que le groupe component associé au paramètre de pi est de la cardinale T4, donc on ne verra plus les pouvoirs de 2. Et donc, comme nous l'avons discuté dans les prochains slides, Wazeongy attaque ce conjecteur en utilisant une stratégie qui a été installée par Jackie et Alice en utilisant des comparisions des formulae de trace relative. Et en fait, il utilise des versions simples de ces formulas de trace. Et c'est la raison pour laquelle nous avons besoin d'imposer une certaine condition locale. Et si nous devons utiliser une version complète de ces formulas de trace relative, nous devrions pouvoir retirer cette assumption. Et c'est un problème très rare sur sa part. Mais il y a un travail en progresse de Shodwar et Zidore sur les expansions spectraux de ces formulas de trace qui devraient pouvoir retirer l'assumption de la base. Ok, donc maintenant je vais dire des mots du travail de Wazeongy et d'autres sur ce conjecteur et comment il réduit ces mots pour un problème local dans les analyses harmoniques. Et puis, dans le second part du talk, je vous discusserai la preuve de ce conjecteur local de Wazeongy. Donc, comme je l'ai dit, la stratégie qui a été installée par Zang est celle qui a été proposée par Jackie et Alice. Et ce qu'ils proposent plus précisément est de comparer les formulas de trace et ces formulas de trace sont... Donc, ce sont des analogues de la formulae de trace d'art. Mais c'est dans les différents secteurs. C'est-à-dire que ce sont les formulas de trace relative. Les formulas de trace relative typiquement, ce sont les qualités de distribution entre deux distributions sur un espace de deux concepts. Donc, la première formulae de trace relative que Jackie et Alice ont introduit est la formulae de trace d'un espace de deux concepts, de G mod H, sur les deux côtés. Et la version simple de cette formulae de trace relative est la suivante. Donc, vous devez choisir la fonction de test F sur le G de l'Adel, et vous devez imposer des conditions, donc je les appelle bonnes fonctions, afin que la formulae de trace soit de très simple forme et que vous aviez toutes les difficultés analytiques. Donc, je ne vais pas dire précisément ce qu'est le sens de ce mot, mais si vous avez des fonctions de test, vous devez obtenir une identité comme celle-ci, comme dans la formulae de trace, sur le côté de la géométrique et sur le côté spectraux, sur le côté de la géométrique vous avez un nombre d'entraînements relatifs et sur le côté spectraux vous avez un nombre d'entraînements hospitaliers, d'entraînements automorphiques de votre groupe G pour les présentations. Donc, je vais définir tous les termes ici. Donc, avant tout, sur le côté gauche, nous sommes sur le set des éléments régulaires et semisimples dans le G. Mais ceci est passé dans le sens relatif que c'est pour l'action de H × H en G par la translation de gauche et droite. Donc, le semisimple signifie que le set double est fermé et le régulaire ici signifie que le stabilisateur est traduit. Et pour ces éléments régulaires et semisimples vous pouvez les définir de la manière normale d'entraînements hospitaliers qui sont juste intégrés à l'arbitre. Et depuis que le stabilisateur est prévu, je n'ai pas besoin de cautionner H × H par n'importe quoi. Donc, ce sont les termes qui sont les mêmes, les mêmes qui apparaissent ici sur le côté géométrique de la formule et les termes qui apparaissent sur le côté spectraux, comme je l'ai dit, ce sont les généralisations qui sont appelées relativement. Et ces caractères régulaires sont définis par la période. Donc, c'est la formule pour définir ces caractères relativement. Donc, vous utilisez des bases autonomiques de votre représentation supérieure de pi pour le produit de la couleur pétésone. Et vous utilisez le pi h. Donc, c'est le pi de f actuel. C'est l'action de f en le représentation de pi, de pi × pi h qui s'appelle le caractère relative. C'est parce que, vous voyez que vous vous appuyez pour le vector pi f actuel et de f actuel une certaine forme de cisculinaire qui est pi h en la première variable et un conjugate complexe de pi h en la seconde variable. Mais si vous répliquez cette forme de cisculinaire par le produit de la couleur, vous vous rendez avec le caractère. C'est juste le trait, en ce cas. Le premier trait relative qui a été introduit par Jack and Alice et que je propose de comparer à un autre trait qui va être introduit dans le next slide. Mais, comme vous le voyez dans ce type de trait ce que vous le voyez apparaître dans le côté spectraux n'est pas assez le période mais le caractère relative qui est une autre façon d'encoder l'information de cette période. J'ai besoin de réformuler un peu la conjecture de Ichinu Ikeda en utilisant ces caractères relatives parce que c'est ce qui va se montrer naturellement en comparaison avec le trait relative. Et donc, en utilisant ces caractères relatives le conjecture Ichinu Ikeda prend la forme suivante. Il dit que pour toute la fonction de test sur la fonction G, c'est un produit de fonction local. Vous avez la même identité sur le module de la période par le caractère relative global et vous avez répliqué les périodes locales par les caractères relatives locales qui apparaissent dans le titre de ce truc qui définissent exactement la même façon où vous répliez la période globale par la période locale. Donc, sur des bases ordonnables. Donc, aussi un remarque important est que c'est une qualité entre h × h invariants distribution sur le groupe G Ok, donc, c'est la première formulae relative trace de Jack & Rallys et il y a un autre, pour lequel nous voulons comparer ce groupe. Et ici, j'ai besoin d'introduire 3 plus groupes. Donc, le gros groupe sera le groupe G', ce sera le produit de GLN et GLN plus-1, mais sur l'extension macrolatique K' Donc, ce sera le groupe où la base change de pi est vivant. Et, cette fois pour cette seconde relative trace formulae, on ne va pas considérer 1 mais 2 subgroupes de ce groupe G'. Donc, un subgroupe est le unkiin-selberg subgroupe. C'est h1. C'est 1 copie de GLN de K' qui est, encore une fois, diagonally invédé dans le groupe G'. Donc, cela correspond à l'analogue de ce groupe H de G. Et ensuite, vous devez mettre un autre subgroupe sur la droite qui s'appelle H2. Et c'est, encore une fois, le produit de GLN et GLN plus-1 mais sur l'extension macrolatique K' cette fois. Donc, c'est le set de la seconde relative trace formulae, mais pour faire les choses travailler, vous devez introduire un certain caractère quadratique sur la question automatique de H2 qui est définie de cette façon. Donc, c'est triviel sur le groupe GL qui a un grand rang et non triviel sur le groupe GL qui a un rang éven. Donc, il y a un caractère quadratique qui s'appelle Heta. Ok, donc, alors, Jackie et Rallies proposent de comparer la relative trace formulae pour la relative trace formulae pour ce espace de deux courses de G' par H1 et H2 qui sont séparées par Heta et Racte. Et la relative trace formulae pour cette question double c'est la même forme que la précédente. Donc, vous devez introduire des fonctions de bons tests pour obtenir des expressions sur les géométriques et le côté spectraux. Et pour une bonne fonction de F' vous devez avoir un Tt entre la géométrique et le côté spectraux. Donc, sur le côté géométrique vous avez un analogus et le même que avant. C'est un nombre de courses de réguliers semi-simples et sur le côté spectraux vous avez un nombre d'automobiles de votre groupe G' avec un petit caveat que vous pourrez mettre des conditions sur le caractère central de Pi. Il faut être réveillé sur le centre de l'H2, dans le centre de G' et obtenir des caractères globales. Et ces deux distributions sont définies exactement de la même manière que avant. Donc, vous avez des caractères relativement orbitaux qui, de nouveau, vous intégreriez sur un double concept et les stabilisations sont réveillées. Et les caractères globales sont définis exactement de la même manière que avant. Vous avez un nombre d'autonomobiles de votre représentation mais vous repliez un des périodes de l'H1 et le deuxième de l'H2 qui est tourné par ETA. Donc, ça a le même sens que vous intégreriez la forme de la forme du subgroupe qui est indiquée dans l'index. Et le premier est appelé la période de Ranking Selberg parce que c'est lié à la théorie de l'ETA. Et le deuxième est appelé FR pour la période de Flickr-Rallis parce que ça a été étudié par Flickr-Rallis. Et donc, pourquoi nous voulons comparer le transformateur à celui-ci? Parce que nous savons plus de ces deux périodes de l'H1 et de l'ETA. Et plus précisément, par le travail sur l'un de l'autre, Jackie, PSSK, Shapiro et Shalika sur les fonctions de pairs pour la période de Ranking Selberg et Rallis et Flickr sur l'autre de l'autre, pour cette période de l'H2. Vous avez une factorisation de ce caractère global qui formulement ressemble à la factorisation de l'H1 et de l'ETA. Donc vous avez un terme global donc vous avez cette force 1 qui est exactement ce que nous avons regardé pour la période de 2. Ensuite, vous avez la question des valeurs spéciales des fonctions spatiales des valeurs spéciales des fonctions spatiales et à des places de tramie vous avez des caractères locales. Et le point de choisir ces deux groupes c'est que ces valeurs spéciales des fonctions spatiales vont réunir sans qu'un capital Pi soit la base change du groupe G d'automotive représentation du petit Pi en ce cas, cela correspond avec la question des fonctions de l'H1 et de l'ETA. Donc, c'est un telomètre pour obtenir cette identité Ok Et donc, comme je l'ai dit le proposier du monde c'est de comparer ces deux formules relativement de tramie et le comparaison c'est un classique donc ce que Jacques Rallice a fait c'est d'abord de définir un certain match d'orbitages, en ce cas, c'est un embêtement pour tous les capital K d'un petit K vous avez un embêtement entre les semi-simples double cosets en G à l'intérieur des réguliers semi-simples double cosets en G' donc il y a un moyen naturel pour obtenir un embêtement comme ça et en utilisant ces matchs d'orbitages ils définissent une notion de match ou de transfert donc, dans un endroit V de K on dit que les deux fonctions locales F, V et F'V dans le groupe G et P, respectuellement il y a un transfert de l'un à l'autre ce que je vais dénoncer par cette double arreau si et seulement si vous avez une qualité entre les intérêts relatifs donc maintenant, ce sont les intérêts locales les intérêts relatifs la même définition que les globales vous intégrerz sur le double coset pour les matchs d'orbitages il y a d'autres facteurs qui peuvent être explicitement définis et qui, par contre, disparaissent globalement donc c'était le proposement de Jacqueline Rallis et puis donc pour obtenir cette comparaison, pour avoir une comparaison effectuelle, vous avez besoin de deux choses comme d'habitude, vous avez besoin d'abord d'un lema fondamental et cela a été prouvé par Z-Way-Une en positif caractéristique et transfert à un caractéristique 0 par Julia Gordon et cela dit simplement que pour presque tous les fonctions unies dans les algebras sont transférées à un autre et second, vous avez besoin de savoir l'existence du transfert smooth à tous les places et c'est l'un des résultats principaux de Z-Way-Une que le transfert smooth existe à tous les places non-archimédiaires plus précisément, il dit que pour toutes les fonctions testées donc pour 1 place V, la fonction locale sur la groupe G, il existe la fonction testée sur la groupe G-Prime qui est un transfert de F V et conversément, vous pouvez transférer la fonction de G-Prime à la fonction de G donc cela a été pour les places non-archimédiaires mais bientôt après Z-Way-Une suivant l'argument Z-Way-Une il a aussi prouvé l'existence de transferts smooths à places non-archimédiaires avec la petite caviarité que ce n'est pas vrai ce n'est pas pour l'application ce que l'on peut faire avec le sub-space donc avec le travail de toutes ces personnes, nous pouvons faire cette comparaison effective en utilisant simple formule relative l'outre de comparaison est celui-ci donc il faut prendre maintenant 2 fonctions testées sur la groupe G-Prime et la groupe G-Prime qui sont factorisables dans les fonctions locales puis vous pouvez comparer les géométriques des formules relative et cela vous donne une identité spectrale qui est celui-ci donc vous avez une qualité entre les caractères relativement de pi à f et le changement de base de pi à f prime et comme je l'ai dit dans les précédents slides ces caractères relativement de G-Prime vous savez la factorisation par le travail de Jacques K. et de Flickr-Hallis et ceci c'est seulement pour pi la représentation automorphique de G avec donc il y a un extra condition que c'est abstractement distingué par abstractement c'est-à-dire qu'il existe au moins 1 h invariant de formules de pi parce que si il n'y a pas h invariant de formules de pi puis le conjecteur de l'HNW c'est très dur les deux sites sont 0 et donc comme je l'ai dit nous savons la factorisation de ceci qui almost ressemble à un conjecteur de HNW avec une petite différence que les termes locaux ne sont pas assez les mêmes parce qu'ils sont définis sur le groupe G-Prime donc ces caractères locales nous aimerons répliquer et ça signifie que pour obtenir l'HNW pour ce qu'on appelle pi de représentation automorphique ce qui signifie que ce sont les autres que nous pouvons détecter en utilisant des fonctions de test donc cela correspond à la condition locale que j'ai posé dans la première séance qu'il y a un endroit où le base change de pi est le hospital donc pour obtenir le conjecteur de HNW pour ces bons pi il n'y reste qu'à comparer les caractères locales sur le groupe G-Prime pour les caractères locales sur le groupe G qui appuient dans le conjecteur de HNW et donc cela réduit le problème original pour un conjecteur local et ensuite cela fait un conjecteur très précis sur ce comparisant donc plus précisément cela a été defini un consent explique qui est equal à un à presque tous les places et qui satisfait un certain product formula product de tous les deux est un et ok ils dépendent sur la normalisation des factures transferts mais elles sont très expliquées et il a fait la suivante conjecture donc maintenant c'est un conjecteur local pour comparer ces caractères locales donc pour chaque place V-K donc je vous rappelle que je considère seulement les représentations automorphiques qui sont tempérées à tous les places et puis pour tous donc maintenant c'est une représentation tempérée de ma groupe G-V c'est une représentation tempérée et je t'assume aussi que c'est H-V distingué donc H-V distingué est la même signification que dans le produit slide donc cela signifie qu'il existe un H-V le caractère local est identiquement 0 donc pour toutes ces représentations tempérée représentation de ma groupe G-V et pour toutes les fonctionnalités sur G et G-Prime que je n'appelle F-V et F-Prime-V donc ce sont les components locales de la fonction globale vous avez une équalité entre les caractères locales de H-V et de base change sur ce constat mais ce qui se perd globalement est parce que de ce produit formulaire donc c'est le conjecteur de Weizang et quand vous avez plus le travail de Weizang, Z-Wei-Yun, Julia Gordon et Anxway vous allez je veux dire ces gens ont réduit le proof du conjecteur de G-V dans l'assumption local pour ce problème ce problème c'est que le conjecteur de G-V a tous les places V et quand vous remarquez qu'en fait Weizang a prouvé ce conjecteur déjà dans des cas d'abord il a vérifié ce conjecteur de places V qui explique en K-Prime donc ce sont des places où la localisation de G-V n'est pas vraiment un produit unitaire de groupes c'est un produit de groupes générales donc je ne vais pas considérer ce cas anymore c'est vérifié et il a aussi prouvé d'essentiellement et des représentations des places non archimédiaires et en fait pendant le proof de ce conjecteur on a un autre résultat qui est celui-ci et qui confirme un autre conjecteur de Weizang et des formules de degrees donc nous allons avoir un lieu non-split de K puis en bas de certaines constatations dépendant de les choix de mesures vous avez cette formule pour des formules de degrees de représentations intégrables de groupes G-V donc en termes de la valeur absolute de la valeur 0 de l'adjoint-gamma-factor de Pi-V divisé par la cardinité de... c'est l'analogue locale d'un groupe S-Pi qui a appuyé dans le premier slide, c'est le centraliser de l'anglance paramétaire de Pi-V donc c'est toujours un produit de copies de Z over 2 Z et donc c'est une formule qui a été conjectée en général pour d'autres groupes réductifs d'Iraga et Shinohikeda et ici, on le verra ok, donc maintenant dans la seconde partie j'aimerais expliquer l'exploitation de ce CORM-2 et CORM-3 et donc nous allons seulement travailler localement donc maintenant j'ai fixé les notations locales donc E over F sera une extension de l'expérience locale de caractéristiques 0 donc ce sont les localisations de l'expérience numérique et il y a une une importante cruciale ingrédient dans le proof de CORM-2 et 3 c'est une certaine explication plancherale formulae pour le spécificat GLN E over GLN F où E over F est une extension macrolatique que je vais dire maintenant et ensuite je vais expliquer comment nous pouvons déduire CORM-2 et CORM-3 ok, donc ce qui est la formulae plancherale c'est un moyen de décomposer les fonctions sur mon spécificat donc on commence avec le test de function phi sur ce spécificat et vous voulez basicement évoquer le nombre de fonctions de l'agent donc par généraliser l'agent je veux dire une fonction qui génère une représentation de la groupe donc on commence avec phi et pour définir ces compagnons spectraux la groupe GLN E donc le phi est donné par l'intégration de la fonction F sur la gauche par GLN F et puis en utilisant la fonction F je peux définir les fonctions de l'agent pour toutes les fonctions tempérées de GLN E elles sont données par cette formulae pas très appellant mais je vais expliquer tous les termes donc c'est une certaine summe et nous sommes au-delà, c'est un modèle de la représentation tempérée phi c'est W phi psi relative à un caractère aditif de psi d'E qui est assumé sur F et j'extende ce caractère aditif d'une manière normale pour le caractère de la groupe de GLN E donc depuis que chaque représentation tempérée de GLN E est générique et nous sommes au-delà des éléments dans ce modèle de Wittaker et en fait nous sommes sur une base de base autonome pour ce produit naturel et le modèle de Wittaker c'est-à-dire nous intégrons donc ce produit de la couleur est défis par intégrer le produit de deux fonctions de Wittaker sur le subgroupe mirabolique le subgroupe mirabolique c'est un subgroup de GLN où la dernière ronde est celle-ci ou 0 à partir de la dernière entrée nous intégrons sur le subgroupe mirabolique de course modulo standard maximum important subgroup donc cela définit ce que la somme est en train et ensuite vous avez cette ligne de forme beta et beta c'est donné par plus ou moins la même formule nous prenons une fonction ici c'était le subgroupe mirabolique de GLN et ici vous intégrons sur le subgroupe mirabolique de GLNF donc c'est pnf invariant fonctionnel sur le model Wittaker et c'est encore une sorte de trace relative ok donc cela définit ma fonction de fonction et ensuite je produis deux plus de pièces de notation donc temp of u n mod stop ce n'est pas le set de paquets sur le split unitary group de Wank N donc en autres mots, vous pouvez identifier cela avec le set de paquets d'anglons paramètres ok et comme je vous l'ai dit dans le second slide vous avez un change local qui a été constructé en fougénérité un change local et un change caritamique en bleu et blanc et l'autre change d'anglons paramètres sur le split unitary group ok, ici vous avez ce change local il y a un set de paquets d'anglons paramètres de Wank N donc vous commencez avec un paquet d'anglons paramètres et vous avez un change de température de GLN et pour être très précis j'ai besoin d'utiliser un change de température quand n est même mais ce n'est pas si on n'a pas besoin d'utiliser un change de température on a besoin d'utiliser un change de température qui est similaire d'un caractère qui était installé en H2 ok, donc maintenant je peux dire l'explicit plancherale de composition pour GLN E mod GLN S donc il y a une fonction 5 une fonction test sur cette question et j'ai choisi le lift et en utilisant ce lift j'ai défini des fonctions d'anglons et c'est possible et cette fonction d'anglons n'est pas clair qu'ils descendent à cette question parce que les formes de lignes que j'ai utilisées étaient seulement invariées par les points de la subgroupe Mirabolic et pas de GLN F donc le premier point c'est que pour tout un change de température de présentation d'un groupe unitaire ce sont les fonctions de lignes qui descendent sur les fonctions de lignes et d'ailleurs que nous avons une composition spectrale comme celle-ci où nous décomposons un rôle entier de lignes de lignes et la mesure de laquelle nous intégrons une partie intéressante par la discussion où dans le numérateur vous avez des valeurs régulares à 0 de l'agent gamma factor de pi donc je dois introduire un star ici, c'est pour ça parce que le gamma factor c'est à 0 et donc je prends les coefficients de lignes et de pi c'est une mesure inoffensive parce que c'est localement donné par une mesure r c'est-à-dire que le espace de température, le paramètre de lignes les compétences connectées sont naturellement cautions de tories par des groupes finales et donc vous pouvez c'est le sens ce que je veux dire localement par la mesure r il y a aussi une normalisation je ne veux pas parler de ça mais il y a un moyen de normaliser ça pour que ce soit correct donc c'est le sens et puis expliquer donner un sketch de la preuve le premier remarque c'est qu'actuellement derrière cette composition spectrale vous avez la composition de l'espace L2 de gl&e et de gl&f c'est le rôle direct du rôle direct de la représentation unitaire par le changement base de la représentation température de groupes unitaire la mesure r c'est la mesure r par la discussion de la régulière la valeur régulière la valeur 0 de lignes de lignes de gl&e par la caractéristique de lignes de lignes de lignes et cette composition est en accord avec un conjecteur général de lignes de lignes de lignes de lignes de lignes de lignes ou c'est la variété symmétrique et la explication pour cette composition est qu'elles ont un notion de lignes de lignes associées à une variété sphérique et lignes de lignes de lignes de lignes est exactement la variété lignes de lignes de lignes de lignes de lignes umérieuses C'est l'explainnement pourquoi cette composition est indexée par le set de Tempere-Langlance parameter for Unitary Group of Rank M. So let me now give some hints on the proof of CRM-4. And actually the proof follows closely the work of Flickr and Rallis that was used in the global comparison, I mean in the global factorization of the periods. And this work of Flickr and Rallis is, so it's on global periods for GLNF over GLNF for hospital automorphic representation on GLNE. So what they did is that they express by some Earth Folding. So here we need to use some local Unfolding function like fire of X. So this is the value of the period actually. As the residue at s equals 0 of certain local zeta integrals are local analog of zeta integrals that have been introduced by Flickr and Rallis. Where you need to choose, so there is an auxiliary datum of Schwarz's function on fn. So you have these local zeta integrals and you want to take the residue at s equals 0. And the first point is that actually when the real part of s is positive there is no convergence issue with this zeta integral and you can spectrally expand this using the planche-rel formula for the group GLNE. So that is you decompose f as an integral of generalized eigenfunction indexed by the temporal representation of GLNE and then you switch to integrals so there is no analytic issue when the real part is positive. And then you see appearing some, so you have a family of local zeta integrals indexed by the temporal representations of GLNE and for each of them you have a local functional equations relating the value of the zeta integral at s and at 1 minus s, typically. And when you apply this local functional equation when s goes to 0 you get something which goes to, so 1 minus s goes to 1 and at 1 you have no analytic problem. But this local functional equation there is a gamma factor of course and this is the asset-gamma factor. And this asset-gamma factor is now, this is where the pole is coming from and this is what contributes to the residue. And this allows you to isolate somehow which representations are contributing to the residue at s equals 0. And very, very, very speaking because you have to take also into account the planche-rel density for the group GLNE itself. These are the temporal representations where the local asset function has a pole of maximal order in some sense. So it depends on the family in which pi is leaving also this notion of maximal order at s equals 0. And somehow these temporal representations are precisely the image of a base change. So this is a very rough sketch of the proof of this but this is the basic idea. Ok, but I would like now, I would like to concentrate on explaining how from this explicit planche-rel decomposition you can prove the local conjecture of Weizung. Because this uses comparison of local relative trace formulas. Ok, so I move. Now we go back to the original situation but now we are in the local setting. So the group G and H and G prime, H1, H2 are the same as before. I just have to replace K prime by E and K by F. So these are my group now. So the same as before but locally now with the same character eta with the same formula as in the global setting. And so recall what we want to prove. We want to prove this identity between local relative characters. So for matching test function on G and G prime there is a notion of matching that we define. You have an identity between the local relative character of pi and the local relative character of the base change of pi up to a constant which is explicit constant which is a sign which has been defined by Weizung. To get this we will compare two pairs of distributions on G and G prime. I will explain. But there is a first step which is a weak comparison and this follows an argument which is due to which you know Lapid and Mao. This is a global to local argument which means that we need some result to globalize local representations and this is what has been done by Chino, Lapid and Mao. And so using what they did we can prove a weak comparison that is that this identity is always true but up to a constant which we don't know and might depend on pi. And the whole point will be to prove that this kappa pi is always equal to kappa. So then as I said we will compare two pairs of distributions on G and G prime and the first pair of distributions are local analogs of the general case trace formulas. So these local analogs take the formality of the same form as the global relative trace formula so first I write it for G mod H mod H and so as for Arthur local trace formula we have to now take two test functions on the group so for G mod H mod H the local relative trace formula is this identity where on the left so you replace the sum of relative orbital integrals by an integral of the product of two relative orbital integrals and on the spectral side you replace the sum again by an integral and now you sum over all the h distinguished ok this is my notation for the h distinguished temporal representations so these are the ones which really contributes just give you zero of the product of two local relative characters and here you have a certain measure so dpi is again locally given by our measure and this is the planche-rail density that has been you have some formula for this from Arichandra in terms of local interfanning operators and formal degrees so this is also called Arichandra mu function so the product of this density with the local this measure which is locally our measure is the planche-rail measure for the group G so this is the relative trace formula for G mod H mod H and this one has the simple global relative trace formula very easy to get there is no analytic difficulties at all so for the geometric sides this comes from the fact that generic stabilizers in H times H are trivial and for the spectral side this comes from the fact that H has a certain property that we call saccharisimic attached called strongly tempered and this means that H is not too big and more precisely this means that the coefficients of tempered representations are integrable over H and then you want to do the same for the other local analog for the other relative trace formula for this triple and you can do it also this is an identity like this so the geometric side is formally the same as in the previous relative trace formula but the spectral side is slightly different because here you don't see the planche-rail measure for the group G prime and this comes from the fact that here you don't get this local trace formula for free because H2 is too big and this means that G prime mod H2 so G prime mod H2 this is essentially a product GLNf times GLN plus 1e mod GLN plus 1f so this is precisely a product of two symmetric spaces for which I describe explicit planche-rail formula and if you remember this explicit planche-rail decomposition in the planche-rail decomposition you don't see all the temper representations of the group G prime but only the one which comes from base change from G ok ok, the meaning this is why we need this is why we need to use the planche-rail formula for G prime mod H2 to get the spectral side and apart from this there is no other analytical difficulties so again for the geometric side this is because generic stabilizers are trivial and on the spectral side also the subgroup H2 is not strongly tempered the subgroup H1 is and once you have the planche-rail formula for discussion there is no analytical difficulties ok and now of course what we want to do is to do the same thing as the global comparison we will compare these two relative trace formulas and of course now we will take two functions f1 and f1 prime which match each other respectively so if you assume that they match each other you can compare geometric sides and you get an identity between the spectral side which is this one and then you use the weak comparison to express this integral so this is the spectral side of the relative trace formula for G mod H mod H you can rewrite this as follows so this is you integrate over the same space but now you replace this local relative characters by the local relative characters on G prime modulo this constant but the square of the modulo this constant which is the constant you want to determine ok and so you are almost done for the comparison you just it only remains to compare the spaces you are summing over because on one end you are summing over tampered L packets and on the other end you are summing over H distinguished tampered representations so here we need to use the so called local gangrose passade conjecture which is known for tampered representations which says that basically these two spaces are naturally they are in bijection so this means you have a natural projection of course you can associate to any tampered representation and this local gangrose passade conjecture it roughly says that there is exactly one H distinguished element in each packet so the fibers this is a one to one this is a bijection but ok I am checking a little bit here because this is only injective actually if you don't consider taking two account what are called pure uniform so you need to take a union over sum so you need to consider more than one group G consider other products of unitary groups but I will completely ignore this point afterwards this is something that we need to do in all the arguments I have described previously really on the unitary group side there is the need to consider more than one pair at the same time but ok so in knowing this point you now get sum over the same set on the left and the right hand side put them together you get this expression and then using classical method you can separate all the spectral contributions and you get the first identity for the square of the module of the constant kappa pi so this is the first identity but this does not determine kappa pi precisely first because you have the square of it and secondly because you don't know precisely a formula I mean this should be you don't know precisely a formula for the plancheral densities in the periodic case so we will need to compare another pair of distributions which are this time distributions that are in some sense supported on the nippot and cone so more precisely what are these other distributions these are some kind of relative orbital integrals but are at single up points so on g mod h mod h we just take the trivial relative orbital integral that is we integrate over the coset of the trivial elements we just integrate over h ok so this is really the trivial relative orbital integral and there is a very easy way to expand it spectrally again using the fact that h is not too big and you get this expression of the trivial relative orbital integrals in terms of local relative characters again with the same the plancheral measure for the gobuji now we would like to do the same for your other space g prime mod h1 mod h2 twisted by eta but the first there is a problem there is no invariant there is no trivial relative orbital integral and this is because there is no h1 so there is no the problem is the character eta because of the character eta on the trivial so the double coset of the identity you don't have h1 invariant on the left and h2 eta equivariant on the right distribution on g prime supported on this trivial double coset but however there are two regular unipotent orbits I mean unipotent so this is unipotent in the relative sense un enclosure of these double cosets contains the trivial elements and there are two such unipotent double cosets so I did not I fixed so one is as a representative that I call xy plus the other representative that I call xy minus and they are chosen so that xy plus is upper triangular and xy minus is lower triangular so there are only exactly two like this and we can define some orbital integral as before however the problem there is a problem of convergence here because the orbit are not closed but there is a way to regularize these orbital integrals and so you get some regular unipotent relative orbital integrals like this and you can expand them spectrally also again you get an expression so you get this spectral expansion press so I take the regular unipotent orbital integral for xy plus because for xy minus ok, there was a choice in the definition of this local relative character and there was a choice of we need to choose between upper or lower triangular I mean either the standard borel or its opposite so I didn't give you the formula but usually the choice is for the upper triangular borel and this is why you have such a nice spectral expansion for this regular unipotent orbital integral and again to get this you need to know the planche-rail formula for g prime h2, this is the main point and you get again the same measure as the planche-rail measure for this symmetric space ok, and now we want to compare again so we have two distributions with geometric and spectral expansion and we want to compare them however it's not trivial or obvious a priori that these two distributions match each other for functions f and f prime which are transfer of each other because the transfer is defined in terms of regular semi-simple orbits but however using another result of Weizong, we can prove that these two distributions when f and f prime are transfer of each other they are equal up exactly to the constant introduced by Weizong and so where does it come from, it comes from the fact that you can, so these are really as I said distributions which are supported in unipotent cone so I should have said unipotent cone descend to the Lie-Algebra in some sense and over the Lie-Algebra you can prove similar expansions for these two distributions so these are spectral expansions over the Lie-Algebra meaning that these are expressions of these two in terms of Fourier transform of orbital integrals and then we use a very important result of Weizong which is the compatibility of transfer at the Lie-Algebra level with the Fourier transform telling you that if f and f prime are matching then so are their Fourier transform up to a constant and this is precisely Zang constant so this is why the kappa is showing up here ok now you have the now that we have compared the geometric sides we can compare the deduce a comparison of the spectral sides and using the same argument as before we comparison and then local gang was present conjecture and isolating all the spectral contributions we get second identity so kappa pi is equal to kappa up to the quotient of this fraction of ok this is the planche essentially planche measure for this G prime over h2 by the planche measure for G ok so now we put the two identity that we have proved together basically the first one is giving you the norm of the absolute value of kappa pi and the second one is giving you the phase but there is this planche density are all positive numbers planche measures are always positive and so you deduce two things first that kappa pi is equal to kappa and secondly that the planche measure of the group G is given by discussion of the regularized value a 0 of the adjoint gamma factor by SPI and so the relation with the formal degree is that the planche measure at square integrable representation is really just the formal degree and so if you specialise to the case where pi is a square integrable you get this formula ok so this first part implies CRM2 and this one implies CRM3 ok I'm just on time thank you for your attention it depends how you normalise the transfer factor because also in the transfer factor there is a choice between upper and lower triangular Borel subgroup and if you choose it carefully I think it does not if you choose the other one you will see the basically attack a point of ok of the discriminant and this is somehow related to the local gang rose process conjecture because if you replace yes because when you pass from one to another one to normalisation of the transfer factor they differ by exactly give me one second no it's here where this is related in the spectral expansion so if you pass from the upper to lower triangular so either you can do it for the transfer factor or you can do it for you can consider just the lower triangular regular unipotent orbit then you can prove a spectral expansion but here there is a choice of the upper triangular Borel subgroup it is in the ranking cell bear global period and if you pass to the lower triangular one you get exactly the same thing up to the epsilon factor this is the local functional equation and so this is ok and if you do the comparison then you will get exactly what is the ok you change lower upper to lower triangular here you get the epsilon factors but for the transfer factors you get eta of the discriminant and so this means that eta of the discriminant of the representation which is distinguished is precisely the epsilon factor which is a part of the local but if you normalise things properly I don't think you have eta of the discriminant I mean there are normalisation choices