 Bueno, es un placer para mí presentar a Héctor Pasén de Chile, de la Universidad Católica. A Héctor lo conocí, creo, en Guampaní, en el Perú, hace ya no tan pocos años. Bueno, comencemos. Adelante, Héctor. Ok, muchas gracias a los organizadores por la invitación y a Jarl por la presentación. Voy a hablar sobre… Durante esta semana voy a hablar sobre ecuaciones diofantinas con pocas soluciones. ¿Para qué coser es una ecuación de fantinas? Es un esquema de tipo finito plano sobre aspecto Z. Eso no nos dice nada, así que lo que vamos a hacer en realidad es mirar variedades algebraicas y en cada caso vamos a explicar a qué nos referimos con una ecuación de fantinas. Y el caso de hoy día vamos a hablar de quizá el primer caso interesante, que son las curvas elípticas. Hay quienes podrían decir que el primer caso interesante son las ecuaciones de PEL, pero creo que las curvas elípticas hacen algo que las ecuaciones de PEL no hacen y es que presentan variabilidad en varios aspectos, en el rango por ejemplo. Así que vamos a ver de qué se trata esto. Entonces lo básico, K es un campo y una curva elíptica sobre K y K es una curva algebraica de género 1, proyectiva y que tiene un punto racional distinguido. Esos son artos adjetivos, son artas cosas como para memorizarse. Así que vamos a trabajar con un caso particular que es mucho más sencillo de recordar. Y es I al cuadrado igual a una cúbica en la variable de X. Esta ecuación de Ofantina es la que vamos a considerar. A, B y C son coeficientes enteros y hay una condición técnica y es que el discriminante en la cúbica no sea cero. Cuando el discriminante es cero, uno también puede mirar esta ecuación de Ofantina. El problema es que su geometriz es distinta y sus propiedades son distintas. Para que se pueda llamar curva elíptica vamos a pedir que el discriminante no sea cero y geométricamente significa que la variada algebraica que define esta ecuación es suave. Y aquí los más técnicos, los más expertos me dirán Héctor, eso está incorrecto, porque en la línea anterior nos dijiste que tenía que ser proyectiva y esto es una ecuación afín. Y es verdad. Entonces lo que de verdad uno tiene que hacer es tomar la clausura proyectiva y eso se hace homogenizando. Agrega una variada adicional homogenizo que ahora sí tengo algo que es proyectivo. Pero en realidad cuando yo homogenizo estoy agregando un solo punto. Si colocan z igual a cero, con z igual a cero, si se fijan la ecuación se vuelve cero es igual a x al cubo. Por lo tanto x al cero, z al cero, y puede ser cualquier cosa no nula y eso es uno en el proyectivo. Por lo tanto, esta ecuación afín es igual de buena que la otra teniendo en mente que hay un punto al infinito. Bien, y aquí uno podría preguntarse de todas las ecuaciones del mundo por qué nos interesa esta tan extraña. El motivo es que se sabe desde el siglo III, probablemente desde mucho antes, pero por lo menos que tengamos registro, se sabe que si yo tomo dos puntos en una curva de este tipo puedo producir un tercer punto. O dicho en términos más concretos, si yo tomo dos soluciones de esta ecuación puedo producir una tercera. Esa es una particularidad que tienen estas ecuaciones y que las hace muy interesantes. Bien, y de qué manera se hace esto voy a adelantar aquí esta. Si miran la curva, la curva es cúbica y una curva cúbica cuando yo la corto con una recta normalmente va a tener tres puntos de intersección. Eso a veces genera, podría ocurrir que tenga una tangente, que este punto P y el punto Q, si yo muevo la recta roja hacia abajo, eventualmente se vuelven la misma cosa, que tenga una tangencia. No importa, cuentan como dos puntos, está degenerado, pero son dos puntos. ¿Qué dice por acá? Harald nos dice en el chat que hay algo equivalente en arismética de diosfantos. Sí, en arismética de diosfantos. No me interrompe para nada, de hecho si se fijan hice muy pocas diapositivas porque me gusta hacer estas clases virtuales en formato de clase. Si algo no entra en la pizarra no debería entrar en las diapositivas, ese es mi filosofía. Y de la misma manera en una clase la gente hace comentarios y me gustaría que el que quiera hacer comentarios lo pueda hacer. Pueden ocupar la herramienta, levantar la mano si quieren hablar o pueden escribir en el chat en cualquier momento y yo lo voy a leer cuando sea adecuado. Y claro, en el ejemplo que tiene diosfanto, diosfanto tiene un punto doble y hace una tangencia y esa recta tangente corta en otro punto. Quisiera decir un tercer punto, pero como está repetido es un segundo punto en realidad. Entonces esta técnica es muy antigua, muy antigua. Bien, esa es la técnica que hace que sea muy interesante mirar ecuaciones del tipo cuadrático en Y igual cúbico en X. Uno puede permitirse algunos grados de libertad acá, pero lo básico es esta ecuación que les comento. Y aquí está el comentario al final en la serie de libros aritméticas de diosfanto. Y aquí hay un ejemplo concreto porque a mí no me gusta hacer teoría de números sin números. Está bien hacer teoría de números con teoría, pero hay que hacer teoría de números con números también. Y el ejemplo es quizá lo más sencillo que uno se le podría ocurrir y al cuadrado igual X al cubo más uno. Y tiene algunas soluciones triviales, por ejemplo yo puedo poner X igual a cero y me queda Y igual a uno o menos uno si quieren. También puedo poner X igual a menos uno de como está el cubo se cancela y me da cero Y igual a cero. Esas dos soluciones las quiero llamar triviales porque es lo primero que uno se le podría ocurrir. No hay nada muy interesante ocurriendo aquí. ¿Y qué línea pasa por estos dos puntos? Y es igual a X más uno. Estamos en un segundo de darse cuenta de que esa recta pasa por estos dos puntos. Entonces voy a intersectarlos, pero no con un dibujo, sino que algebraicamente. Tomo la ecuación de la curvilíptica, tomo la ecuación de la recta y hago un sistema de ecuaciones. Y se puede sustituir fácilmente. Y cuando yo sustituyo, le do al cuadrado y me queda algo donde elimine Y. Y ahora puedo ordenar esta expresión y se puede factorizar. Ustedes lo pueden hacer a mano y se van a dar cuenta que se factoriza. Y cuando lo factorizo me queda cero es igual a X por X más uno por X menos dos. Bien, ¿qué soluciones tiene esto? X igual a cero es una solución, pero esa ya la teníamos. X igual a menos uno es otra solución, también la teníamos. Y apareció una nueva, X igual a dos. Y cuando X es igual a dos, Y es igual a tres por la segunda ecuación que está acá. Y obtenemos una solución más interesante que aquellas que teníamos en un comienzo, y es dos, tres. Voy a la ecuación de partida y reemplazo. Y igual a tres me da nueve, X igual a dos aquí me da ocho más uno nueve. Y me maravillo frente a la belleza de los números, ¿cierto? Que uno reemplaza y da una solución que yo no tenía considerada en un comienzo. Bien, pero hay más. Esto está muy bonito, pero hay más. Desde los tiempos de diofanto hasta hoy ocurrieron cosas. Y una de ellas es el siguiente teorema de Poincaré. En el mil novecientos se dio cuenta que la construcción que acabamos de mencionar con un pequeño cambio obtiene mucha más estructura. ¿Y cuál es ese pequeño cambio? Blah, blah, blah. Aquí está el dibujo. Toman los dos puntos, trazan la recta y les da un punto R. Ese punto R tiene coordenadas A, B, y lo que Poincaré hace es cambiar el signo de B. Lo reflejo con respecto a la GX. Y cuando hago eso, me parece un punto naturalmente, está reflejado abajo. Ese punto es el que yo voy a llamar P operado con Q. No estoy sumando coordenada, coordenada. Este signo más es una operación nueva que me estoy inventando. P operado con Q va a ser eso. Entonces, bien, ¿qué ocurre con esta operación? Es un poquito distinto lo que habíamos hecho, no tan distinto, pero tiene un twist, ¿cierto? Tiene un pequeño cambio. Y lo que Poincaré demuestra es que con esta operación obtengo una ley de grupo, un grupo abeliano de hecho. Y la parte difícil de la demostración es demostrar que esto es asociativo. Ahí es donde hay que trabajar un poco. Bien, eso. Y Poincaré, además de demostrar esto, formuló su famosa conjetura. La conjetura de Poincaré, que dice que cuando K es igual a los números racionales, esto es un grupo finitamente generado. Y la conjetura de Poincaré, la única interesante, fue demostrada por Mordel. Eso lo vamos a ver más adelante. Me gustaría ahora, entonces, hablar de soluciones enteras. Porque hasta el momento, hasta el momento que hicimos aquí, en este ejemplo encontramos un nuevo punto. Y aquí estamos hablando de cómo encontrar más puntos, con más estructura. Pero cabe la pregunta y cómo sé que los encontré todos. Y esa pregunta es un poco ambigua porque todos en qué sentido. Bueno, estamos haciendo teoría de números. Entonces, un primer sentido para esa pregunta es encontrar todos los puntos enteros. Y ahí hay un problema porque esta operación, si yo parto con puntos enteros, no tiene por qué darme un punto entero. De hecho, en el ejemplo que tenía Biofanto en su libro Arismética, él parte con un punto entero y el resultado no le da entero. Pero no importa, vamos a ver el caso de soluciones enteras, aunque no respeten la ley de grupo, no importa. Entonces, tomo una ecuación un poquito distinta al anterior y tengo la solución trivial. La solución trivial de X igual a 1, Y igual a 0. Y si ustedes se ponen a buscar más soluciones fáciles, no van a encontrar. Pues yo, por lo menos, no encontré. Y me pregunto, ¿habrá otra solución? Bueno, me voy a saltar la parte trivial. La parte trivial es mirar la congruencia módulo 4 y darse cuenta que X tiene que ser impar, Y tiene que ser par. Eso uno lo ve mirando módulo 4. No lo voy a aburrir con eso. Y ahora viene una parte no trivial y es, muevo el minus 1 al otro lado de la ecuación, me queda X al cubo, es igual a Y cuadrado más 1, factorizo. Pero factorizo en los enteros gaussianos. Y en los enteros gaussianos ustedes pueden hacer aritmética como en los enteros, porque es un dominio uclidiano, tiene factorización única, tiene un algoritmo de división. Así que es igual de bueno que trabajar en los enteros. Y yo me doy cuenta que estos dos factores, si yo los resto, me da dos veces la unidad imaginaria. Y si yo los multiplico, me da X al cubo. Pero X es impar. Y aquí el único factor posible es 2, pero como es impar no puede ser. Y concluyo que en los enteros gaussianos, X más y, X menos y, perdón, Y más y, Y menos y, son coprimos. Son coprimos. ¿Y qué pasa cuando ustedes multiplican dos números coprimos y les da un cubo? Significa que cada uno de ellos es un cubo, salvo signo quizá. Pero los signos en Z y, los signos son más menos 1, más menos en Y. Con signos me refiero a raíces de la unidad para los expertos. Entonces, curiosamente estos signos son cubos. Así que puedo evitar decir salvo signo y la conclusión es que cada uno de los factores realmente es un cubo. Porque estoy en un dominio de factorización única. Si ustedes factorizan esto en primos y les da un cubo y son coprimos los dos factores, entonces cada uno de estos primos aparece con un exponente que es divisible por 3. Eso es más o menos lo que está ocurriendo aquí. Si yo no estuviera trabajando en un dominio de factorización única, este argumento estaría absolutamente malo. Bien, y en particular, Y más Y tiene que ser un cubo. A más B por I al cubo. Expando y queda algo bastante feo. Y como queda tan feo, lo voy a ordenar. Voy a decir, bueno, parte real por un lado, parte imaginaria por el otro lado. La parte real me dice que Y tiene que ser al cubo menos 3 a B cuadrado. Y eso queda factorizado. Eso está mejor. Y la parte imaginaria es 1. 1 es igual a esta otra expresión, que también se factoriza. Muy bien. Y aquí es donde uno anda con suerte. ¿Por qué? Porque me dice 1 es el producto de dos enteros ahora. Hay besos enteros. Y no hay muchas maneras de multiplicar para que me de uno. ¿Cierto? Entonces, esto obliga a que B tiene que ser más o menos 1. Aquí hay un 3, ese 3 no me sirve para nada. Aquí me estaba estorbando y de hecho no debería estar ahí. Así que el A tiene que valer 0. Bien. Así que la única posibilidad es B es igual a más o menos 1. A es igual a 0. A posteriori B tiene que ser 1, pero no me importa. Reemplazo en la primera ecuación. El valor del A y el valor del B y me doy cuenta que Y vale 0. Así que el único punto entero en esta ecuación, en esta curva elíptica, es X igual a 1, Y igual a 0. No hay más. Bien. Esto es un ejemplo de lo que este cursillo apunta. Apuntamos a ecuaciones de afantinas con pocas soluciones. Esta tiene pocas soluciones, tiene una sola. Bien. En los enteros. En los enteros. Bien. Pero hay más. Resulta que esto no es un accidente. Y si ustedes toman cualquier curva elíptica escrita en forma de bayestras, o sea, Y cuadrado igual a una cúbica con coeficientes enteros. Cualquier curva elíptica que ustedes quieran. A lo más tiene finitas soluciones enteros. Eso es un teorema. Por hoy día. Tenemos un ejemplo. No tenemos ninguna idea de cómo alguien podría demostrar algo así. Mañana vamos a entender mejor cómo se hace esto. Pero por hoy día esto es. Piensen lo como un anticipo de lo que vamos a ver mañana. Mañana vamos a hablar de puntos enteros en curvas. Y. Fantástico. Entonces aquí hay algo de curvas elípticas. Tienen una ley de grupo. Pero la ley de grupo. Correctamente hay que verla en las soluciones racionales. Porque las soluciones enteras tienen esta limitación. Ok. Bien. Volviendo a las soluciones racionales ahora. El teorema principal es este teorema de Mordel. Que demuestra una conjetura de Poincaré. Ok. Poincaré conjeturó justamente esto más de 20 años antes en 1900. El teorema es de. Alrededor de 1920 les mentiría si les trato de recordar el año. Pero en el apunte está la referencia. Bien. Y el teorema dice que esa ley de grupo de tomo dos puntos. Tras o la recta corto en un tercero reflejo. Esa receta. No solamente produce un grupo abeliano. Sino que cuando yo veo las soluciones racionales. Ese grupo infinitamente generado. Que por acá todos se acuerdan cómo se ven los grupos abeliano. Finitamente generado. Cierto. Algún estudiante que quizá quiere asombrar a todos sus compañeros. Y decirnos cómo se ve un grupo abeliano. Finitamente generado. Una parte libre de torción. Y productos de cíclicos. Finitos. Fantástico. Fantástico. Excelente. Excelente. Entonces tengo una parte libre de torción. Ceta la derro. Y una parte que es un grupo abeliano finito. Y yo puedo ir más allá como nos decía su compañero. Que no alcanzé a fijarme el nombre. Disculpa. Porque aquí las positivas me están cubriendo la pantalla. Entonces no logré ver el nombre. Pero la parte. T es una parte de torción. Que es un producto finito. De grupos cíclicos finitos. Cetamol o en uno. Cetamol o en dos. Un producto finito. Ya. Así que. Obstractamente. Obstractamente. Tenemos. Un buen entendimiento. Sobre cómo se ven los puntos racionales. Pero eso es abstractamente. La pregunta ahora es yo les doy un ejemplo. Me pueden decir ustedes. Qué cosa esté. Qué cosas hierran. Bueno, la parte de torción. Sí. Algoritmicamente es muy sencilla de calcular. Y aquí está el teorema. Que desde la teoría nos dice cómo hacer eso. Bien, el teorema de Nagel y Lutz. Y el teorema dice que. Si yo tomo una curva elíptica sobre. Ah, detalle. Les hago el comentario que Lutz. Ella era una. Estudiante creo. Creo que desde su doctorado. Ella comenzó a trabajar en este tipo de cosas. Cuando nadie. Estaba realmente pensando mucho. Sobre cómo ser los pedálicos de ella. Ella estaba ahí de cabeza mirando estas cosas. Y. Es interesante mirar el trabajo. Porque en realidad ella demuestra mucho más. Que esta aplicación para curvas elípticas. Se podría decir que es un precursor. De la teoría de modelos enteros. Entonces. Muy muy interesante. Bien. Volviendo a lo que estaba hablando. Bueno, y el enfoque de Nagel. Es el punto de vista de ecuaciones disfantinas. Entonces hay cosas distintas. Una curva elíptica sobre. Como las que hemos estado conversando. Tomó su ecuación de baestras. Y Delta se va a llamar el discriminante de esta cúbica. Ok. Bien. Un teorema no puede tener solamente hipótesis y definiciones. Algo se tiene que concluir. Primero. Todos los puntos de torción. Son enteros. Ojo que solo va en esa dirección. Yo perfectamente puedo tener un punto entero. Que no es de torción. Que yo lo empiezo a operar, operar, operar. Y nunca vuelvo al comienzo. Que nunca vuelvo a tener una repetición. No al comienzo quizá. Pero nunca vuelvo a tener una repetición. Con ese punto de torción. Perdón con ese punto entero quise decir. Entonces solamente en una dirección va esto. Los puntos de torción. Son siempre enteros. Bien. Y más aún. Los puntos que tienen coordenadas y griegas igual a cero. Son los de dos torción. Eso no es difícil. Lo que es difícil. Y es cierto. Es que todos los otros puntos de torción. Que tienen coordenadas enteras. Entonces. Su coordenada y griega al cuadrado. Divide al discriminante. Ya. Hay un buen trabajo a lenguas acá. Pero piensen lo siguiente. Que es la forma de hacer el discriminante. Y ahora. Yo puedo hacer una búsqueda. Usando divisores de ese discriminante. Y de esa manera puedo ver. Que puntos van apareciendo. Y una vez que aparecen. Chequeó si son de torción o no. Es lento, pero se puede hacer. Pero. Si ustedes. Reflexionan sobre este teorema. Este teorema también es útil. Para producir puntos que no son de torción. Punto que. No sé que un punto no es de torción. La definición me dice que. Tomó el punto. Y lo pero consigo mismo. Están gente. Y nunca obtengo una repetición. Eso significa. Eso no se ve muy verificable. Porque tendría que estar chequeando algo para siempre. Cierto. Sin embargo, este teorema me dice. Alto ahí. Si el punto tiene denominador. Automáticamente no es de torción. Eso es muy útil. Muy útil. Porque significa que yo empiezo a operar con un punto. Y desde el momento que aparece. Al algo en el denominador. Ya sé. Que ese punto no es de torción. Bien. Hago énfasis en eso. Porque hay un ejercicio en el estado de problemas. Que. Se puede atacar de esa manera. Y el rango que hacemos con el rango. Bueno, el rango es un poco más esquivo. Pero. Hay algoritmos. Para intentar calcularlo. El problema es que esos algoritmos. No son realmente algoritmos. O por lo menos no sabemos si los son. Aquí me refiero con esto. Uno dice algoritmo. Cuando hay un procedimiento. Que está garantizado a detenerse. Pero estos no están garantizados. A detenerse. Y a lo que me refiero es de senso. Utilizando grupos de selmer. Que no se puede usar. Una estructura algebraica llamada grupo de selmer. Que no lo vamos a ver aquí. Con esa estructura algebraica. Bueno, hay muchos grupos de selmer. Está el 2 selmer, el 3 selmer, 4 selmer. Para acá entero hay un grupo de selmer. Y. Cada uno de ellos se puede calcular. Y yo cuando nos voy calculando sucesivamente. Se cree. Que la información que me entregan. Converge a calcular el rango. Que en algún momento calcula el rango. Eso se cree. Pero no se sabe. Sin embargo, en la práctica. Esta técnica. Casi siempre funciona. Hay ejemplos que son muy demandantes. Y el único motivo por el cual no funciona. Es porque el computador no alcanza a calcularlo. Dentro de un tiempo razonable. Pero en la práctica. Esto es lo que se utiliza para calcular el rango. Ok. No se sabe si se detiene o no. Eso tiene que ver con cierto grupo. El grupo de. Chafarevic. Si el grupo de chafarevic fuera finito. Este algoritmo estaría garantizado. A terminar. Eso es una historia muy interesante. Pero lo que les voy a comentar ahora es que. Incluso. Sin saber si esto se detiene. Uno puede tomar estos grupos de selmer. Y dar cotas. Superiores para el rango. Y un ejemplo es la siguiente. Que si mi curva elíptica. Una cero. Antes de mirar esto. Estas son mis curvas elípticas. Y cuadrado. Igual a una cúbica. Que tiene un término constante. Bueno, si ese término constante cero. Uno puede usar. El grupo de dos selmer. Para dar una cota para el rango. Y la cota sale muy bonita. Muy limpia. Me dice el número de divisores primos. Del coeficiente B. Y el número de divisores primos de esta expresión. Que es muy sencilla de calcular. Menos uno. Yo calculo este número entero. Y me da una cota superior para el rango. Y lo interesante es que muchas veces. Esa cota es una igualdad. No siempre. No siempre. Pero en varios ejemplos interesantes. Me da una igualdad. Y uno puede producir puntos. Para alcanzar la igualdad. Y calcular el rango. Y el número de divisores primos. Es súper práctico. En los ejercicios del listado de problemas. Hay oportunidad para utilizar esto. Bien. Hasta acá alguna pregunta. Yo sé que he estado dando material y dando material. Y yo sé que puede ser difícil de retener todo esto. Para los estudiantes que ven esto por primera vez. Así que quiero dar espacio para preguntas. Antes de continuar con más material. Sin miedo. Es todo muy fácil. Me preguntan. A fin. Alguien muy observado. José Hernández pregunta. Sí. A fin. Que será eso. Bueno. Si ustedes recuerdan al comienzo. Por acá. Hay un punto que está al infinito, cierto. Ese punto es el neutro del grupo. Es el neutro. Cuando yo lo opero con cualquier cosa. Queda igual. Es el neutro del grupo. Y el neutro de un grupo siempre es torsión. Pero no es a fin. O sea que el teorema de nagel lutz. Se aplica para todos los puntos de torsión. Salvo éste. Porque éste no tiene coordenadas que yo pueda ver. Está perdido al infinito. Entonces como a mí no me gusta escribir cosas imprecisas. Puse la palabra a fin en el enunciado de nagel lutz. Simplemente. Para mencionar que está este punto al infinito. Y no hay que olvidarse. Nada más que por eso. Y con torsión. Me refiero a aquellos elementos que son de orden infinito. Con la operación del grupo. Sí, eso es correcto. Alguna otra duda. Aprovechen de preguntar. Sensúrame si otra vez me estoy adelantando simplemente. Pero. Lo que probablemente vas a decir ahora es que. Me imagino. Es que al contrario. De la forma de Baes. Trascorta. La cual. Todo se puede reducir en características. Que no son dos y tres. Lamentablemente no todo se puede reducir a la forma que acaba de dar. Y si comienzas en la forma corta de Baes. Tras. Es bastante. Cualquier cota va a ser bastante más fea. Cualquier cota por dos descenso. Porque va a haber el número de clase. Verdad. Ah. Hay varias cosas aquí en lo que nos dice. Uno es la forma de Baes. Es corta. Es corta. No es. Esto es una forma de Baestras semicortan. Cuando uno dice Baestras corta por lo general dice cuando hábales zero. Y eso se puede hacer en. En característica distinto de tres. Okay. Bueno, distinta de dos. Porque aquí no hay nada más. Es y cuadrado. Sin embargo, el dos descenso. No es con la forma de Baestras corta. Eso es un detalle. Que muchas veces uno pasa por alto. está acá. Esto no es lo que uno normalmente llama vajestras cortos. Es una forma de vajestras, sí, es corta también, pero no es una forma de vajestras cortas, porque el término que falta acá es el C. Lo que de verdad dice acá es que hay un punto de distorsión, que fue lo que Harald nos dijo, ¿cierto? Hay un punto de distorsión racional. Cuando hay un punto de distorsión racional, uno puede hacer el dos descenso en dos etapas. Es lo que uno llama descenso por isogéneas. Y eso hace que las cotas salgan más limpias. Sin embargo, cuando el C está presente, cuando no hay este punto de distorsión que yo necesito, entonces, sí, Harald. Ignora menos más. Ok, pero cuando está ese punto de distorsión, la cota sale limpia. Cuando no está ese punto de distorsión, yo no puedo escribir en esta forma de vajestras tan particular y aparece una contribución de un número de clases. Tengo que ir a una extensión algebraica y hay un número de clases. Y eso es en el caso del dos descenso. En el caso del tres descenso o el cuatro descenso, etcétera, además de un número de clases hay una contribución de unidades. Y cada vez se complica más la cosa, pero con teoría algebraica de números uno en teoría podría hacerlo. En la práctica, en la práctica que yo sepa el descenso siempre se ha hecho con un n descenso donde n tiene un solo dígito. Ok, eso es en la práctica. Ok, que yo me acuerdo. Bien. Aquí hay un ejemplo. Este ejemplo es usando Sage. ¿Qué cosa es Sage? Sage es un programa que permita hacer cálculos con formas mobulares y con curvas elípticas. Es gratuito, lo pueden utilizar online, lo pueden descargar y instalar en un computador o pueden pagar y tener una versión Super Pro. Yo no hago eso. Yo uso la versión gratuita. O si no quieren hacer nada con Sage, salvo ver que yo no les estoy mintiendo y poner el código y ver que es verdad. Hay una calculadora de Sage que se las voy a mostrar después. Bien, entonces tengo esta curva elíptica. Esta curva elíptica es bien particular porque si bien había varios coeficientes, esta tiene solamente el último coeficiente. Es bien sencilla. Bueno, resulta que salvo un cambio de variables, las curvas elípticas siempre se pueden poner en esta forma sobre los racionales. Esto es lo que uno llama forma de maestras corta, que no tiene x al cuadrado. Y es tan popular que Sage tiene un comando para leerlo y es corchete, un coeficiente, el otro coeficiente corchete. Así se le llama una curva elíptica. Pero en realidad si ustedes escribían esto en Sage no les va a salir nada. Vamos a ver un ejemplo. Entonces, simplemente para ver si están todos conmigo acá en el chat, algún estudiante que me quiera decir, ¿cómo le comunicaría en este programa esta curva elíptica? ¿Cómo se llamaría esta curva elíptica? En ese tipo de comando. Entonces, la ecuación que uno considera es esa y en Sage una ingresa corchete, coeficiente b, Lucas nos dice corchete 0,1. Perfecto. Perfecto. Entonces, la manera correcta de crear la curva elíptica sería e igual a curva elíptica corchete 0,1. Y de esa manera, e ahora es una curva elíptica para Sage. Y yo puedo preguntar propiedades de esa curva elíptica. Y una propiedad que puedo preguntar es punto rango. Este paréntesis sin nada en Sage significa el rango es una función con cero argumentos. Porque yo pregunto el rango y pregunto el rango y no hay nada más que agregar, ¿cierto? No es como cuando yo pregunto la raíz cuadrada de algo, va un número adentro. Bien, y Sage me responde cero. Lo que Sage hizo internamente fue hacer un descenso. Hizo un descenso, obtuvo una cota, la cota le dio cero y el rango no puede ser negativo, entonces tiene que ser cero. Bien, y eso significa que la curva elíptica del ejemplo que hayamos visto antes, el primer ejemplo que vimos, ese que tenía dos puntos triviales y después me salía el punto 2,3. Es solamente torsión. Y como es solamente torsión, en teoría yo podría usar Nagel Lutz y calcular todas las soluciones. Y lo dejo como ejercicio. Lo que yo voy a hacer es trampa, voy a preguntarle de nuevo a Sage, algo sobre la torsión. Y lo más sencillo de preguntar sería torsión orden. ¿Cuál es el orden de la torsión? ¿Cuántos puntos de torsión tengo? Y cuando yo hago eso, aquí le pregunto guion bajo, esto es un solo comando. No es que yo me ponga inventar comandos en Sage, hay comandos preestablecidos y hay manuales que ustedes pueden leer en internet sobre qué comandos se les puede aplicar una curva elíptica. Y me dice 6. Así que esta curva elíptica tiene 6 puntos de torsión. Y eso significa, bien, tengo 6 puntos de torsión. Y antes vimos 3 puntos. Pero, ok, pero esos 3 puntos ¿Quiénes eran? Era el punto 0 1, el x igual a 0 y igual a 1, x igual a menos 1 y igual a 0. Y después teníamos x igual a 2 y igual a 3, ¿cierto? Bueno, eso está bien, pero en realidad teníamos más puntos que eso. Teníamos también el x igual a 0 y igual a menos 1, ¿cierto? Tenemos también el punto al infinito, que no está en estas coordenadas, pero siempre está. Y Sage calcula todos los puntos de la curva elíptica, entonces el punto del infinito también está. Y si yo tengo el 2 3, también tengo el 2 y menos 3. Entonces tengo el punto al infinito y los puntos que yo les comentaba y yo los cuento y maravillosamente me da 6. O sea que esos son todos. Y si ustedes se ponen a operar entre ellos, se van a empezar a dar vuelta entre ellos. La ley de grupo no los va a sacar de ahí. Me acuerda tangente. Maravillosamente ocurre esta magia que si yo tomo, por ejemplo, el 0 1 y el 2 3 y los operos me va a dar otro de estos puntos que yo tenía. O sea, yo tomo la tangente en 2 3. La tangente en 2 3 eso no tiene no tiene cara de darme algo que yo ya había visto, pero así tiene que repetir. Tiene que dar uno de estos puntos. Bien, eso. Así que encontramos usando esta teoría de curvas elípticas, encontramos todas las soluciones racionales de esta ecuación. ¿Y qué alguien me podría decir? No, no, no. A ver, estos son enteras, no racionales. Sí, pero recuerden que el rango era 0. Y como el rango era 0, era pura torción. Y por Nagel Lutz, la torción automáticamente es entera. Así que esto que acabamos de encontrar es todo. No nos estamos perdiendo nada. Bien, preguntas, pero antes de las preguntas les quería mostrar la calculadora de un segundo. Aquí está la calculadora. Entonces aquí yo coloqué, voy a empezar de 0. Entonces la curva elíptica 1 51 por poner números, ¿no Magía? Y si yo apreto shift enter, no pasa nada porque no estoy preguntando nada. Aquí definí e igual a eso. Ya lo estoy haciendo de esta manera porque la idea es que los estudiantes aprendan a usar estas herramientas y cuando yo era estudiante y estaba aprendiendo a usar esta herramienta, pasé un buen rato preguntándome y ¿por qué no me sale nada? Bueno, porque no pregunté nada. Por eso no sale nada. Pero si yo pregunto ahora, ¿eh? Ahí sí me responde algo. Es la curva elíptica definida por esta ecuación sobre el campo de los números racionales. Y ahora yo me puedo preguntar por el rango 2. O sea, esta curva elíptica tiene rango 2. Hay dos puntos independientes que generan infinitas soluciones. En particular, la curva elíptica que tiene estos coeficientes 1 51 tiene infinitas soluciones racionales racionales. Y yo me puedo preguntar ahora el orden de la torción. Ya estamos viendo estos dos comandos muy sencillos. Uno, a ver, alguno de los estudiantes me quiere decir qué significa que el orden de la torción sea 1. ¿Qué puntos de torción tiene esta curva elíptica entonces? Es una pregunta casi trampa, casi. ¿Qué puntos de torción tiene? Muy bien. Veo varias respuestas y todas están correctas en cierta forma. Los que me dicen solo el neutro y el infinito está correcto y no tengo nada que decir. Ruth me dice no hay torción. Eso también está correcto si yo lo entiendo en el contexto del problema de nadie en Lutz. En el problema de nadie en Lutz, cuando yo me ponga a buscar puntos de torción, no voy a encontrar nada. Porque en realidad el único punto de torción está el infinito. O sea, la torción es trivial. O sea, textualmente no es eso. Si hay torción, el tema es que la torción es trivial, está el infinito y en la parte a fin no hay torción. Y cuando yo aplique nadie en Lutz, no voy a encontrar nada. Así que muy bien. Esto era la discusión que yo quería generar aquí con este ejemplo en particular. Bien, eso. Terminé un poco temprano, creo que algo sí como siete minutos antes, pero creo que es un buen momento para dejar a preguntas y como es la última clase de la jornada, bastante extensa. Voy a comprometerme a ser las numas muy largas. Ok, eso. Preguntas. Dejo abierto aquí para que me interroguen o comenten lo que quieran. Héctor, tengo una pregunta. Sí. No. No, no, no, no, no, no, no. El ejemplo anterior que você fez y cuadrado igual a x cubo, más y. Tengo una manera más simples de você encontrar sólo esas seis soluciones inteiras, sin invocar los teoremas más fuertes de elliptic curves como você fez con otro ejemplo x al cubo menos 1 factorización. si yo quiero encontrar solamente las soluciones enteras tendría y al cuadrado menos uno es igual a x al cubo para hacer métodos elementares y por métodos elementales trabajando en los enteros en z yo podría factorizar pero hay muchas congruencias en un análisis de casos no lo quise hacer porque de hecho sale más feo que el ejemplo que hice con los lausianos porque hay la coprimalidad no es no es cierta entonces hay hay factores en común y uno tiene que eliminar casos pero se puede hacer por métodos elementales se puede hacer por métodos elementares y de hecho de hecho para curvas elípticas de la forma y cuadrado igual a x al cubo más una constante que son los dos ejemplos que vimos ellas tienen un nombre se llaman curvas elípticas de Mordel Mordel las estudió y Mordel en cierta generalidad demostró que tienen finitas soluciones enteras usando el método que vimos con teoría algebraica de números ok las curvas de Mordel finitas o infinitas enteras finitas finitas soluciones enteras siempre haber finitas siempre siempre habrá finitas pero en este caso se sabía desde antes gracias a los trabajos de Mordel y que va a ser el significado de tener pocas soluciones así ya sabemos que son finitas hasta qué punto se podría considerar pocas excelente pregunta esto es una curva una curva tiene dimension 1 y pocos en dimension 1 significa finito pero qué pasa si mi problema de ofantino no es una curva sino que me da una superficie qué es poco en este caso finito sí finito es poco pero qué pasa por ejemplo si en la superficie hay una curva que tiene puntos racionales infinitos y nada más eso también es poco ese tipo de filosofía es la que uno utiliza en geometría de ofantina uno dice que hay pocas soluciones y eso no tiene mucho sentido pero para un título está bien bien lo que uno de verdad que estudiar es de generación algebraica muchas gracias comentarios preguntas no sentimos los estudiantes especialmente si es primera vez que ven esto por favor pregunten porque si hay algo que no entienden probablemente hay más gente que no le entienden hay 50 personas yo dudo que de las 50 personas en el único y especial que me entendió algo los estudiantes fiquen un poco tímidos así en el primer día más a gente estimuló los a preguntar y no no no tiene problema ninguno ok bueno si no hay más comentarios podemos continuar conversar si hay más comentarios a ver me dicen si sé que la parte de torción tiene orden 8 cómo sé si es seta 2 cruzeta 2 cruzeta 2 o seta 2 cruzeta 2 cruzeta módulo 4 a que excelente pregunta o seta módulo 8 puede ser a seta módulo 8 bueno hay muchas cosas de curvas elícticas que no les conté que pudo haber contado pero no les conté porque en realidad si uno quiere hablar de curvas elícticas uno puede dar un curso o dos cursos o n cursos donde n puede ser tan grande como quieran el primer caso seta 2 cruzeta 2 cruzeta 2 no puede ocurrir y el motivo es que la n torción de una curva elíctica es ceta cruzena cruzeta cruzena perdón ceta módulo n cruzeta módulo n el grupo ciclo como voló en el crucer su grupo ciclo como voló en en los números complejos bien o sea si yo resuelvo esto al generalicamente y me voy a los complejos no olvido de la restricción que tienen que ser enteros racionales busco todas las soluciones de orden 2 voy a encontrar solamente el grupo cíclico cemo ceta módulo 2 cruzeta módulo 2 entonces el primer caso no puede ocurrir algoritmicamente sin embargo la pregunta tiene mucho sentido cómo distingo ceta módulo 2 cruzeta módulo 4 de ceta módulo 8 que son distintos y una manera es búsqueda por fuerza bruta en teoría eso lo distingue otra manera que es mucho más práctica es reducir módulo p hay un teorema que se llama el teorema de la inyectividad de la reducción que me dice que si yo tomo un primo p y reduzco mi curva eléptica módulo p y voy a suponer que la reducción es bonita o sea que p no divide el discriminante que reduzco y la cosa sigue siendo con discriminante distinto de cero voy a suponer también que el primo p no divide al orden de la torción si estoy hablando del 8 entonces p no puede ser 2 son hartas oposiciones pero hay infinitos primos así que siempre va a haber algún primo que puede hacer eso voy a reducir módulo p y el teorema me dice que la 2 torción en este caso en generar la n torción racional se reduce de manera inyectiva o sea yo tendría que buscar los puntos de 2 torción módulo p y eso es un problema finito así que esa es otra herramienta para trabajar por la torción además del teorema en alguien lucha uno puede reducir módulo p donde p no divida el discriminante y donde p es distinto de no divide al n de la torción que estoy considerando aria nos dice que para p igual a 2 hay una pillería un truco una martingala cierto que para p igual a 2 yo miro como se factoriza el polinomio eso es cierto tenía que haberlo dicho mafia el caso general directamente yo veo como se factoriza el polinomio y la factorización del polinomio me me dice en las raíces racionales de esa factorización me dice cuál es la 2 torción si buena observación muchas gracias si eso viene a caer en el punto esa parte de nague lucha que en realidad es mucho más sencillo que nague lucha pero bueno claro no puede simplemente desplazar si grigio cuadrado es igual a algo con una registración al uno puede simplemente desplazar a hacer un cambio de variables y ese punto con el x igual a algo se vuelve x igual a cero si si si bien lo dejamos hasta que entonces si hay más preguntas yo hoy día voy a andar en el me voy a aparecer en la sesión de problemas si pero en todo caso yerson yerson caro el tamás que ha capacitado para responder todas sus dudas de curvas elípticas bueno ahí estamos y muchísimas gracias sector una otra pregunta si veo