 Hemos introducido los números naturales e incluso vimos la necesidad de incluir el cero para representar algunas situaciones. Veremos, sin embargo, que con el cero y los naturales no tenemos suficiente para representar muchísimas otras situaciones, por lo que mostraremos, a continuación, una introducción intuitiva a la estructura de las propiedades de otro congento de números, los números enteros. Comenzamos observando algunas situaciones que no pueden ser descritas correctamente si solo contamos con la ayuda de los números naturales. Por ejemplo, para indicar temperaturas extremadamente frías por debajo de cero, o bien para indicar en un extensor que queremos ir más abajo de la planta a pie de calle, o bien en el ámbito de la contabilidad, en muchas ocasiones es necesario indicar deudas. Aceptada pues la necesidad de introducir un nuevo tipo de número, veamos cómo darle un sentido matemático que nos permita trabajar con ellos. Una de las opciones sería considerar el siguiente producto cartesiano, definir una relación de equivalencia y el conjunto de los enteros sería el conjunto de las clases de equivalencia de este conjunto. Aunque esta sería la aproximación formal a la construcción de los números enteros, no es la que seguiremos dado el carácter introductorio del curso y sugeriremos a aquellos de vosotros que estéis interesados en esta construcción a consultar la bibliografía recomendada. Hemos optado por seguir una introducción más intuitiva. Para ello consideraremos una ecuación del tipo x más a igual a b, donde a y b son números naturales. Equaciones como por ejemplo x más 2 igual a 10 o bien x más 5 o igual a 7 son un ejemplo donde perseguimos buscar para que valores de x se satisface esta igualdad. En estos ejemplos concretos serían 8 y 2 los resultados, pero también nos podíamos haber encontrado con ecuaciones como estas x más 5 igual a 2 o bien x más 3 igual a 3 y en tal caso no podemos encontrar un número natural que satisfaga esta ecuación. Consideraremos la ecuación x más a igual a b de la que partíamos y denotaremos la solución de esta ecuación por x igual a b menos a. Esto es la diferencia de b menos a. Construiremos así un conjunto mayor que contenga al conjunto de los naturales y de modo que la ecuación x más a igual a b siempre tenga solución. Además requeriremos que en este nuevo conjunto se pueda definir la suma, el producto y la noción de orden de manera que se conserven las propiedades que tenían en los números naturales. De hecho históricamente antes del siglo XVIII cuando se intentaban resolver estas ecuaciones se utilizaban ya los números negativos aunque no estaban bien considerados y se conocían generalmente con el número de ficticios y falsos. Queremos pues considerar un conjunto, el de los enteros de manera que para cualquier valor de a y b naturales la ecuación x más a igual a b tenga solución. Comencemos por el caso que llamimos con los naturales así si b es mayor que a podemos definir b menos a como la resta de b menos a, su resultado será un número natural. En el caso de que a y b sean iguales para resolver la ecuación x más a igual a, necesitamos un elemento de manera que sumado a, su resultado nos dé a, es decir no influya en el resultado final de la suma. Vimos cuando hablábamos de los números naturales que tal elemento debería ser el cero, en aquel caso no lo incluimos en los números naturales pero ahora sí si queremos que para cualquier parte de números naturales a y b esta ecuación tenga solución forzosamente el cero a de pasar a formar parte del conjunto de los enteros y finalmente si a es mayor que b a menos b será un número natural pero no es la solución que buscamos de esta ecuación puesto que la solución de la ecuación será justamente un número x tal que sumado a a menos b nos dé cero. Lo denotaremos como menos a más b menos b y veremos en breve que en realidad lo llamamos el elemento opuesto de dicho número más en general a cada número natural le asociaremos un número menos n de manera que pertenecerá a este nuevo conjunto de manera que sumado con n nos dará el elemento neutro de la suma así pues el conjunto de los números enteros contiene los números naturales el cero y los opuestos a los números naturales que notaremos así notaremos al conjunto de los naturales de esta manera como hemos comentado anteriormente definiremos la suma en los números enteros de manera que se conserven las propiedades cuando nos restringimos al conjunto de los naturales así formalmente podríamos definir la operación suma como la aplicación que a cada parte de números enteros les otorga la suma de ambos números donde para calcular la suma hay que tener en cuenta el signo que tienen dichos números si tienen o no el mismo signo nos dará las diferentes posibilidades si tienen el mismo signo y ambos son positivos la suma la definimos como lo hacíamos en los números naturales si el signo de ambos en es negativo lo que hacemos es sumar el menos a menos b que en este caso serán positivos esto será un número natural y consideremos el elemento opuesto de la misma manera si ahora a es positivo y b es negativo sumaremos a con menos menos b menos b es positivo y lo restaremos a y finalmente en el caso de que sea a negativo y b positivo lo que haremos será considerar la diferencia de b menos menos a donde menos a recordar que será positivo algunos ejemplos serían estos de aquí donde remarco las los casos de que estoy utilizando vuelvo a remarcar que haría falta definir formalmente que efectivamente esta operación está bien definida aquí os interesados en este hecho podéis encontrar detalles en la bibliografía recomendada veamos algunas propiedades como hemos dicho las propiedades asociativas y comutativas se conservan las definimos pues igual que como hicimos con los números naturales pero ahora sobre el conjunto de los enteros aquí un pequeño ejemplo del caso de la asociativa el caso de la comutativa como hemos comentado lo definimos exactamente igual esto es que comutamos el orden es posible comutar el orden de los sumandos como hemos visto en este caso aquí sí que tenemos elemento neutro puesto que el cero vas a formar parte de este nuevo conjunto conjunto de los enteros y finalmente también hemos hablado ya en la introducción a estos números enteros del elemento simétrico o elemento opuesto y que definimos para cualquier número a como aquel elemento de manera que sumado a nos da el elemento neutro de la suma esto es espero que todo veáis veáis claro de que mes menos a como ya habíamos avanzado el conjunto de los enteros con la operación suma y con las propiedades que acabamos de comentar tiene una estructura hebraica de grupo la importancia de esta estructura es que permite abstraer el comportamiento de los enteros con la suma a muchos otros conjuntos que tengan esta misma estructura por citar uno de estos conjuntos podríamos hablar del cubo rubik que aunque en un principio parece situarse lejos del mundo matemático sus movimientos tienen una cierta estructura de grupo facilitando su comprensión una correcta y eficiente resolución notaremos un conjunto cualquiera que tenga cierta estructura de grupo con una determinada operación de esta manera donde esta será la operación que estaremos considerando definimos de manera similar la operación producto a partir de esta aplicación inducida por el producto de números naturales de manera que a cada par de números enteros los asocia con el número entero correspondiente de calcular el producto el ingrediente nuevo que aparece al multiplicar números enteros es el signo como calculamos por ejemplo menos 3 por 2 bien menos 3 por 2 significa muy restar 3 veces 2 esto es menos 2 menos 2 menos 2 por lo que obtenemos menos 6 de manera análoga ocurriría al calcular 4 por menos 100 donde restamos 100 veces menos 4 y obtenemos finalmente menos 400 de manera se deduce que el producto de dos números negativos es un número positivo puesto que menos 4 por menos 2 será restar 4 veces menos 2 obteniendo al final 8 en general podemos utilizar la siguiente regla de signos al igual que hemos hecho con la suma podemos definir las siguientes 4 propiedades de los enteros pero ahora con la operación producto hablamos de la asociativa la propiedad comutativa el elemento unidad y el elemento inverso podemos asociar los factores del producto o comutar el orden de los factores elemento neutro con la operación producto lo llamamos elemento unidad y en este caso será el elemento 1 con la operación producto el elemento equivalente al elemento simétrico opuesto sería el elemento inverso y que sería dado un número entero n aquel número entero que multiplicado por él nos da el elemento unidad que acabamos de ver que es uno pero observemos que dado un número entero como por ejemplo 3 no existe ningún elemento que multiplicado por 3 nos de uno así pues la operación producto de los números enteros no tiene elemento inverso al igual que pasaba con los números naturales podemos definir para los números enteros la propiedad distributiva del producto sobre la suma y que nos permite expresar la suma de dos sumandos multiplicada por un número entero como la suma de los productos de cada sumando por ese número y en segundo lugar esta segunda propiedad y que nos garantiza que si el producto de dos números enteros es 0 uno de los dos factores será 0 el conjunto de los enteros con la operación suma y producto y con las propiedades que acabamos de anunciar tiene estructura de anillo al igual que sucedió con el concepto abstracto de grupo la idea de anillo tuvo su definición abstracta a principios del siglo 20 con ella se pretendía enrobar las propiedades de las numerosas estructuras que habían aparecido en el siglo 10 hemos enfatizado aquí esta estructura puesto que la nos la encontraremos a lo largo de los diferentes módulos de este curso notaremos un conjunto cualquiera que tenga estructura de anillo de esta manera como la terna de el conjunto con las dos operaciones operación 1 y la operación 2 y que en el caso de los enteros ha sido la suma y el producto esto es una sencilla observación que puede resultar tremendamente útil en algunos momentos en los que manipulamos expresiones algebraicas en las que están involucradas los números enteros por lo que merece la pena hacer énfasis en ella en efecto dados dos números enteros b y c si su producto es 1 automáticamente estamos en frente de una de estas situaciones o bien ambos números son 1 o bien ambos son menos 1 y finalizaremos este vídeo hablando de la división supongo que todos recordaréis que la división es la operación que permite averiguar cuántas veces un número el divisor está contenido en otro número el dividendo por ejemplo 2 está tres veces contenido en 6 puesto que 6 es igual a 2 por 3 entonces 6 dividido por 2 es igual a 3 y lo notaremos de esta manera o bien de esta otra en este sentido la división es la operación inversa de la multiplicación se denomina conciente al resultado entero de la división en la imagen hay un total de 45 botones y se han dividido entre un total de 9 grupos diferentes por lo que cada grupo tiene cinco botones esta operación la hemos hecho realizando la siguiente operación entera donde tenemos 45 como dividendo 9 como divisor 5 como el cociente obtenido y en este caso hemos obtenido un resto igual a cero si el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo la operación tiene un resto diferente de cero este resto debe ser menor que el divisor en un vídeo aparte podréis recordar el mecanismo de la división entera es importante remarcar que haremos un uso extensivo de la división entera en el módulo 2