 Merci beaucoup d'avoir organisé cette conférence. Ce que je vais parler de sont des applications de toposthéorie pour les mathématiques constructives. Il y a une idée que je veux expliquer. Toposthéorie, l'idée de toposthéorie, c'est d'aller les mathématiques constructives pour faire des choses qui semblent impossible de faire. C'est ce que je veux présenter. Ce talk sera d'un point de vue logique. De ce point de vue, je vais parler de la théorie de toposthéorie. Je vais parler seulement de la théorie de toposthéorie. Les modèles de chiffres, ce qui est fascinant, c'est que l'histoire de ces mixtures, logique et de mathématiques, c'est la définition des chiffres. C'est originalement des mathématiques. Le premier exemple d'un modèle pré-chif, c'est le papier d'Isleberg et de Silberg, qui est le pré-chif de notre catégorie, de simples sets. Il y a 50. Il y a 51 modèles, donc logique et de mathématiques, qui travaillent sur la théorie de toposthéorie en utilisant l'algebra complète, ce qui est aussi des modèles de chiffres. Et il y a 56 modèles, donc logique et de mathématiques. Il va essayer de comprendre les idées de Brauer sur l'intuitionistique logique. Et, je veux dire, il va essayer de comprendre ce que Brauer a fait avec la thématique de l'intuitionistique logique, c'est d'utiliser des modèles de chiffres. Il a inventé des modèles de chiffres, en fait, pour cela. Je veux dire chiffres, donc pas seulement vous avez cette idée de couvrir. Il a essayé de comprendre le travail de logique prior qui travaillait sur la logique temporale. Il a essayé de comprendre la notion de temps logique et, pour comprendre cela, il a designé ce qu'il est connu comme un modèle de chiffres, qui est un exemple de modèle pré-chif. Il y a aussi cette idée de modèle pré-chif, qui vient de la logique. Donc, dans les années 60, Grotendik généralise une notion de chiffres à un site, pas seulement un opposant, mais dans la logique, il y a 64, donc, la idée Cohen, qui a introduit un méthode de forçage pour prouver l'indépendance du résultat. Cette méthode a été reformulée 66 par Dana Scott comme modèle de valeur bullion. Et là, la connexion avec le opposant est claire. Et puis, dans les années 70, il y avait un exemple d'un modèle site dans la logique. Brower a une notion de séquences de choix. Chrysol et Troistra ont aussi essayé de formuler pour comprendre la thématique de cette idée. La thématique de cette idée est capturée par un modèle d'un site. Si j'ai de temps, je présenterai ça. Donc, comme je l'ai dit, c'était pour comprendre l'idée de Brower. Et de Brower, c'est un exemple que si Alpha est un séquence arbitraire de 0,1, qui est donné à vous comme ordre, vous ne pouvez pas décider que cette déjunction ne devrait pas être valide. Si Alpha est seulement donné à vous comme ordre, vous ne pouvez pas décider si c'est toujours 0 ou si c'est une valeur différente de 0. Donc, constructively, ça ne devrait pas être valide. Mais comment formuler un set complet d'objets pour l'intuitionnistique logique. C'était ce que Olivia a parlé. Donc, le logic qui est valide en arbitrage est l'intuitionnistique logicique. Et la surprise, c'était possible de capturer dans le complet de l'autre set d'objets valides en arbitrage. C'était ce que j'ai fait. Et puis, il y avait une question de si cette logique signifie constructively là-bas. Les gens qui travaillent dans les mathématiques constructives sont des mathématiques qui ont été développées dans l'intuitionnistique logicique. C'est pour ça que je comprendrai les mathématiques constructives. Et je pense que ma hypothesis est en fait une bonne façon de parler des algorithmes. C'est de parler des algorithmes dans cet état. Et donc comme on le voit les modèles chiffres même les modèles pré-chiffres représentent une idée de modèles qui est dynamique qui est présente dans les algorithmes et qui est capturé par l'intuitionnistique logicique. C'est un modèle pré-chiffres simple. Il n'y a que une poissette avec seulement deux points. C'est 0, c'est-à-dire que c'est 1. Donc sur ce model on peut avoir un exemple d'une structure dynamique qui est le suivant. Donc il y a deux compagnons. À level X, cet état est Q. C'est la connaissance que vous savez. C'est un état qui est l'un des numéros rationnaux. Et puis il y a deux éléments de temps 0 et 1. Donc à 0 vous avez seulement la connaissance que c'est rationnel. Et puis dans le Cripco modèle, ce que vous pouvez faire cette idée est que vous pouvez rester toujours à ce point peut-être. Donc peut-être que tout le monde va savoir que vous pouvez evoluer soudainement. Et puis vous avez à savoir que cet état aussi contient la route square de 1. Donc c'est un exemple d'un état dynamique. Donc ce que vous pouvez faire avec le Cripco modèle c'est que vous pouvez travailler avec cet état comme si c'était un état. Et cet état est le suivant. Donc il y a une équalité décidable. Si vous avez deux éléments de cet état vous pouvez décider si ils sont équilibrés ou pas. L'état n'est pas statique mais si vous êtes des éléments de cet état vous pouvez vraiment décider si ils sont équilibrés ou pas. En constructif mathématique c'est un état discret. Il y a aussi des caractéristiques 0. Donc si vous avez un élément qui est différent de 0 si vous ajoutez avec vous-même, il sera différent de 0. C'est clair. Et c'est un état. Donc si vous donnez un élément je peux décider si c'est 0 ou je peux compter l'état. Mais dans cet état on n'a pas ces déjunctions. Donc si vous regardez le sémantique dans le Cripco modèle vous voyez que c'est pas le cas si le sémantique x² plus 1 est différent de 0 ou si il existe x² plus 1 c'est equal à 0. Et pourquoi est-ce que c'est ça ? Parce que vous ne savez pas peut-être que vous resterez toujours à ce stage de connaissance et que vous n'aurez plus de niveau. Donc c'est un exemple simple d'utilisation de chiffres modèles pré-chiffres modèles pour les mathématiques constructives. Donc c'est pour donner un exemple contre-exemple. Vous voyez que ce n'est pas constructifment valide. Et comment quand on veut interpréter c'est que l'interprétation de les mathématiques constructives sera que si vous donnez un sémantique et je ne sais pas que c'est un sémantique discret donc c'est décidable. Il n'y a pas d'algorithme si x² plus 1 est irréducible ou pas. Donc c'est un argument simple de montrer que pour décider si un polynomial est irréducible ou pas, il n'y a pas d'algorithme pour cela. C'est assez intuitif parce que si vous savez qu'il y a un sémantique il n'y a pas de manière de décider si il y a un sémantique de minus 1 dans le sémantique ou pas. Mais n'est-ce pas que ce argument n'est pas mentionné par l'algorithme récursif de la théorie de Turing machine. C'est un argument logique. Et en fait, c'est une variation d'algorithme de van der Waarden en 1930. Et pas que c'était en 1930 donc c'était avant l'algorithme récursif qui était développé. Les gens étaient conscients qu'il n'y a pas d'algorithme pour décider l'irréduciabilité de l'algorithme. Mais en général, il n'y a pas d'algorithme d'algorithme récursif de l'algorithme récursif de la théorie de Turing machine. Donc, ce sera relevant pour ce que je vous présente. Ok. Donc, ce sont les vies négatives des modèles chiffres, les résultats indépendants. C'est en fait l'essence des résultats indépendants de Cohen. Ce n'est pas compliqué mais c'est l'essence d'utilisation des modèles chiffres. Mais ce que je veux expliquer c'est l'utilisation positive des modèles chiffres pour les mathématiques constructives. Et cette utilisation est que nous pouvons forcer donc c'est de forcer l'existence des objectifs idéaux. Les objectifs qui seraient impossibles pour construire constructif, nous pouvons faire l'existence des objectifs idéaux. Et donc, je vous présente deux exemples. Le premier exemple sera pour forcer l'existence d'un idéal primaire. Donc, en général, ce n'est pas possible de construire un idéal primaire. Parce que, typiquement, dans un argument mathématique vous utilisez Zanzlema et les mathématiques classiques. Si vous donnez un ring, un ring non trivial, a priori je ne sais pas que ce sont des idéaux primaires. Donc, la question est si vous voulez développer les mathématiques dans un objectif idéal comment vous vous résoudrez cette question parce que mathématiquement c'est un gros problème. Vous voulez avoir assez de idéaux primaires. Et la solution, peut-être, je dois... Oui, je vais commencer par cela. Lovir dans son talk ICM en 1970. Il conjecture que dans un objectif idéal vous ne pouvez pas montrer l'existence d'un idéal primaire. Mais si vous regardez le complément de cet idéal primaire, un filtre primaire. Qu'est-ce que l'action d'un filtre primaire ? C'est un complément d'une idéale primaire. Un est de l'un à l'autre. L'autre n'est pas de l'un à l'autre. X1 est de l'un à l'autre si seulement X est de l'un à l'autre et Y est de l'un à l'autre. Et X plus Y est de l'un à l'autre. X est de l'un à l'autre ou Y est de l'un à l'autre. Vous avez pris l'action d'un idéal primaire et vous avez pris l'action d'un idéal primaire. Il conjecture que c'est un plus positif moyen de parler d'une idéale primaire d'un objectif idéal. Il sera possible de montrer l'existence d'un filtre primaire. Et Joyeal montre que c'est pas valide. Ce n'est pas valide. L'objectif de filtre primaire est en fait empty. Donc, ça montre que d'un objectif arbitrage, vous ne pouvez pas solver l'issue de cette façon simplement d'idéaliser. Mais en même temps, comme Joyeal a trouvé cet exemple contre-exemple, il avait cette idée qu'actuellement, vous pouvez dans le même topos, comme l'un que vous commencez d'une forme. Donc, vous devez, par la suite de table, une extension de ce topos, vous devez construire un filtre primaire. Et plus tard, cette construction, ce qui est bien de cette construction est qu'elle est complètement canonique. Ce n'est pas comme des mathématiques classiques. Et la solution est vraiment élégante. Donc, c'est le premier, vous définissez ce que est le spectrum de Zariski. Et le problème est que vous êtes en topos arbitrage. Donc, vous ne pouvez pas construire un filtre primaire. Donc, comment vous définissez le spectrum ? Donc, vous voyez que c'est une topologie point-free. Vous ne pouvez pas définir ce spectrum de Zariski comme un set de points, qui sont basiques. Et ce spectrum a une propriété universel et qui est étatée là-bas. Ce spectrum de Zariski peut être décrivé purement en algebraique, comme distributif qui est naturellement généré par des symboles d'A. Donc, je n'ai pas compris d'A comme un propre symbole, pas comme un set primaire. C'est un set d'All Primes qui n'est pas d'Alpha. C'est la définition classique. Donc, d'abord, ce qu'il fait c'est qu'il faut prendre un symbole d'A et écrire les relations que ces symboles satisfaisent. Et ces relations sont là. Elles sont les mêmes que les relations d'un filtre primaire. D1 est equal à 1. C'est equal à 0 comme 0 élément de la lattice. DfAB est DfA et DfB. Et DfA plus B est moins que DfA ou DfB. Donc, vous définissez la lattice, distributive lattice, par générateur et relations. Donc, c'est purement algebraique. Donc, vous pouvez le faire dans un opus arbitrage. Donc, dans un opus arbitrage, vous pouvez définir le spectrum et maintenant, vous pouvez travailler sur le modèle de chiffre associé à cette distributive lattice. Et dans ce modèle de chiffre, il y a un filtre primaire. Ok, c'est-à-dire vous définissez le f. Donc, vous définissez que X s'agit de F. Donc, pas comme la valeur 2, c'est 0 ou 1, mais vous définissez ça Donc, c'est un modèle de chiffre d'un filtre primaire. Et dans un façon totale, ce sera un filtre primaire et c'est un filtre primaire générique. Donc, dans les mathématiques classiques, vous avez souvent, comment vous utilisez dans plusieurs exemples, comment vous utilisez un ideal primaire ? Vous utilisez un ideal primaire arbitrage et vous deduisez quelque chose. Et là, alors que vous utilisez un ideal primaire arbitrage, ce que vous allez faire c'est que vous êtes dans l'autopose E. Et puis, dans l'autopose, vous avez un R. Vous définissez cette distributive lattice et puis vous définissez le modèle de chiffre sur cette distributive lattice. Ce que vous faites, c'est que vous étendez votre autopose avec un nouveau autopose. Autopose de chiffre. Et dans ce nouveau autopose, là, vous avez un filtre primaire, un filtre générique. Et donc, c'est la meilleure idée. Vous pouvez utiliser une théorie d'autopose positive ou d'autopose constructif que vous ne pouvez pas construire un filtre primaire. Donc, vous pouvez construire un filtre primaire si vous vous permettez de changer l'autopose. Donc, cette distributive lattice qui est donnée par ces relations, il a une property remarquable qui est où Olivier mentionne l'utilisation d'autopose théorie pour l'utilisation d'autopose théorie. Donc, c'est un problème de consistance de cette distributive lattice. Donc, vous avez défini cette distributive lattice avec l'algebra universal. Comment savez-vous que cette distributive lattice n'est pas trivée ? Parce que peut-être, quand vous le définissez, peut-être que vous avez 1 equal 0 dans cette lattice. Et donc, par le point de vue de la construction de mathématiques, c'est pour réaliser cette distributive lattice et la construction de la construction. Et comment vous le faites ? C'est que vous avez pris une distributive lattice de radicaux idéaux finalement générés de radicaux idéaux. Donc, vous avez pris une distributive lattice de radicaux idéaux. Et cette distributive lattice, c'est une lattice contraire à la lattice idéale de la ring qui, en général, n'est pas distributive. Cette lattice de radicaux idéaux est distribuée. Donc, de cette manière, vous pouvez voir la consistance de cette théorie. Donc, l'interprétation logique est celle-ci. Donc, un filtre primaire est toujours existant si vous utilisez les modèles de chiffres. Donc, je vous donne un exemple simple de cette utilisation. Donc, c'est un exemple d'exemple d'exemple typique d'utilisation primaire dans les mathématiques classiques. Défine un polynomial pour être primitive si l'idéal généré par ses coefficients contient une. Et puis, des propositions. Donc, le produit de 2 polynomiaux primaires est primaire. Donc, comment les mathématiques classiques font ça ? Vous verrez que le polynomial est primaire si et seulement si ce n'est pas 0, modulo, aucun idéal primaire. Et puis, l'air qui est concentré par alpha si l'alpha est primaire, c'est un domaine intégral. Donc, l'air alpha affecte un domaine intégral. Donc, vous avez... C'est une situation typique dans les mathématiques constructives. Vous avez prouvé ce statement sur le produit de 2 polynomiaux primaires c'est un statement concrète et vous avez prouvé ce statement en utilisant un idéal, un idéal primaire. Donc, la question est comment vous interprétiez dans les mathématiques constructives. Donc, c'est installé en utilisation d'un idéal primaire générique. Vous pouvez regarder cet argument en utilisant un idéal primaire générique. Et ce que vous avez, c'est que quand vous regardez ces propositions, donc, ce qui est reminiscent aussi de Lema Gauss. Donc, si un polynomial est un produit de 2 polynomiaux, vous avez ces relations dans le spectre Zariski. Et en fait, c'est l'essence d'un argument classique. C'est concrètement constructif. Vous n'avez pas utilisé aucun Lema Gauss et ce que vous faites c'est classiquement, mais vous pouvez le faire dans un objectif arbitrage. Vous faites un changement et c'est concrètement constructif. Donc, si vous donnez 2 polynomiaux A0, A1, B0, B1, B2 si vous avez des relations ce que vous avez dit c'est que vous avez d'autres relations pour le produit de coefficients. Et la question est comment vous computez ces relations? Et si vous faites des choses de cette façon vous avez un algorithme qui va computer cette autre relation. Ok, donc c'est l'interprétation logique et comme vous l'avez remarqué par André Joyal c'est vraiment des interprétations d'Ilebert's méthode d'introduction et de l'élimination d'éléments idéaux. Ici, l'élement idéal est un idéal primaire. Ok, donc je pense que c'est le temps d'utiliser une autre utilisation d'un spectrum d'arisquis de cette façon. Donc vous pouvez définir le chiffre structure sur ce lattice donc K sera sur le bloc d'A c'est une localisation d'un R à A. Ok, donc si le R est réduit vous pouvez regarder ceci et vous voyez que ce rang dans ce sens de ce modèle est presque comme un fil. Ok, donc si vous regardez le logic dans ce topos sur ce spectrum d'arisquis en fait, vous avez toujours le cas que si X n'est pas invertible c'est equal à 0 si le rang est réduit. C'est un exercice. Donc c'est presque comme un fil. Donc en général vous n'avez pas X n'est pas 0 ou il existe un Y mais vous avez toujours cette implication. C'est un exemple classique. Mais le premier est toujours vérifié. Donc je veux juste donner un exemple d'utilisation de ces relations qui sont utilisées par Anglo-Blesch-Mitt qui est vraiment sympa. En fait, c'est un conséquence logique de ce genre qui est une généralisation d'agro-tendix generique, frienness, lemma. Donc ce qui est une version classique de ce genre c'est que si vous avez un rang qui est différent de 0 et qui a finalement généré sur le rang, il existe un élément différent du rang que la localisation de M est libre sur la localisation de R. Donc c'est un statement en EGA mais si vous regardez la preuve en EGA donc c'est 4.2 en volume 4 vous avez plus d'hypothèses. Le rang est supposé d'être un domaine intégral et noéatérien. Et en fait, le remarque d'Ingo était que ce statement est valide mais vous n'avez pas besoin d'hypothèses de noéatérien et il n'a pas besoin d'être un domaine intégral. Donc comme vous avez dit dans cette façon classique ce n'est pas valide mais logiquement. Donc ce que vous pouvez faire c'est avoir une formulation d'intuitionnistiquement valide mais ensuite ça ressemble à un point de vue classique des mathématiciens. C'est statement comme ça. Donc si vous étiez un rang R qui est réduit et vous supposiez que lorsque la localisation de M à EGA est libre sur la localisation de R, alors EGA est 0. Le rang est à EGA. Donc logiquement c'est plus complexe donc si le rang A M à EGA 1A3 EGA EGA EGA est 0. Si vous avez ça alors 1 est 0. Donc classiquement c'est la même version classique de la freinesse LEMA. Et ce statement est valide d'intuitionnistiquement. Et plus tard je veux dire que la preuve est un triviel c'est que vous avez c'est un triviel d'induction sur le nombre de générateurs du module. C'est un simple exercice. Et c'était le remarque d'Ingo et il a trouvé ça par regardant logiquement si vous assumez que vous avez un rang RK qui satisfait ces implications Intuitionnistiquement vous pouvez montrer que si vous avez un module RK ce n'est pas libre mais ce n'est pas libre. Si vous supposiez que ce n'est pas libre vous avez une contradiction. Et la preuve de ceci est complètement direct. Donc c'est une application de l'internat logique d'autopos. Petite application mais je pense qu'il y a beaucoup en fait ma conjecture c'est qu'il y a beaucoup de statements en commutative algéboire qui a d'autres hypothèses qui peuvent être traités de cette façon. Et c'est que Martin Brandenburg a trouvé une application de ce module. Ok. C'était une application de chiffres modèles où vous pouvez forcer une application c'est que vous pouvez forcer l'existence d'éléments en changeant de base d'autopos. L'autre application c'était de l'utilisation de logique d'autopos que certains objets sont satisfaits de chiffres modèles vous pouvez exploiter ce module et obtenir d'autopos. Donc ce que je veux expliquer c'est qu'il y a un autre application pour faire quelque chose qui semble impossible dans les mathématiques constructives et qui peut être intéressant computationnellement c'est une représentation d'algebraiques. Donc il y a un problème dans les mathématiques constructives c'est que comme on l'a vu on ne peut pas décider si un polynomial est irréduisable ou pas. Donc a priori dans l'arbitra d'autopos si vous donnez un fil K je ne serai pas capable de construire l'algebraique closure du fil. Parce que comment construis-tu l'algebraique closure du fil ? Je veux dire la première chose que vous faites c'est que vous faites un élément vous voulez ajouter la route de un polynomial mais pour obtenir une extension ce polynomial doit être irréduisable si vous n'avez un algorithme pour décider si le polynomial est irréduisable ou pas vous ne pouvez avoir une extension exactement comme celui-là donc l'algebraique closure n'existe pas dans l'autopos mais il existe dans l'extension d'autopos qui est l'autopos classifié que Olivier décide mais ce qui s'occupe c'est qu'il y a un problème je veux dire l'autopos classifié il existe mais ce que vous voulez c'est que vous voulez avoir un statement de consistance exactement le problème dans la théorie et l'autopos théorie actually provides a systematic way to prove consistency of these theories and this is an example actually so what you will do is that you will build this algebraic closure in an extension of the autopos and this extension will be over a site model this time not over a topological space ok yeah so as I said so the problem is that you cannot decide the reducibility of polynomial so you so you cannot even add a root of x square plus 1 if you start from a field because you don't know if it's maybe it's not a field maybe you already have a root of minus 1 if you're filled then this will not be a good start so there I will describe one way to do it but I think there are different way to do it and it will be actually interesting to explore these different possibilities so I mean when you want to add a root of polynomial you have the choice of adding one root ok that was Abel's approach and you have the choice of adding all roots at the same time what was the approach of Galois so what you can do instead is to try to build a splitting field of polynomial and there but there you have the same issue that what you can build is this this algebra ok in a canonical way you can prove effectively that this algebra is proper 1 is not equal 0 in this algebra but you don't know that I mean you need to be patient by a prime ideal to get the splitting field ok so you have the same issue there so that will be also another approach to build this algebraic closure but I will do adding one root at a time and so what is the site that you use to do that well the site is I mean finitely presented k algebra that are reduced and that are finitely finite dimensional as over k ok so that can be presented as a sequence of extension so you start you add root of separable polynomial one after the other and so you in this way so you start from from k and you add so k of a p of a equals 0 where p is separable so if k is perfect so I mean what you cannot do you can try the reducibility of a polynomial but you can always by GCD computation you can always compute the separable part of a polynomial so constructively over an arbitrary field if you give me a polynomial p I can extract a separable part so I can I will add root of this separable polynomial so what I get is maybe not a field extension but I get an algebra which is reduced and I can iterate this so I can add more polynomial and in this way I get a family of extension finitely presented extension of the field that I want to consider as a finite approximation of the algebraic closure that I don't have and this will be the site that I will consider as extension and what will be the notion of covering so there are two kind of covering one is I cover the algebra by all these algebras they are zero dimensional I mean they are for no human regular any ideal is generated by a minimum potent so I can split them that's one notion of covering and the other notion of covering is I can add root of a polynomial of a separable polynomial of an algebra I have two notion of covering and in this way I force and this define a site and in the shift model of this site I have generic algebraic closure of the field ok so I force in this way I will force there exist x p of x equals 0 if p is separable and I force x equals 0 or x y equals 1 and all I can do this which so intuitively I only work with finite approximations of the algebraic closure so any such algebra represent state of knowledge about algebraic closure so we have at each moment of time we have added a finite number of indeterminate and a finite number of conditions and the advantage of this is that now everything is computable I can compute finite approximations so I can do as if I have the algebraic closure but I will never build the algebraic closure another way to view this is I have an algebraic closure in a suitable extension of the base to force so in this shift models I have the algebraic closure of the field and it's the same as for the prime filter this these operations they are canonical there is no non canonical choice so I think even algorithmically I think it's a good way actually to approach the problem of how to specify and how to compute with algebraic numbers to use these ideas ok so an example so if you are if k is of characteristic 0 and you are at this stage of knowledge so you have only added x satisfying these equations and you want you have this element a which is x-3 and you want to compute to know if you have a equals 0 or a is invertible ok so you cannot decide if the given polynomial is irreducible or not but what you can do is you compute the gcd of x-3 and the given polynomial and when you do this computation you see that x-3 is invertible in the field ok so you can always compute the inverse of an element even if you cannot even if you cannot decide irreducibility ok so that's how it proceeds algorithmically so you get a way which is a dynamical way to compute in the algebraic closure of a field ok and when doing this computations you will split eventually the given extensions because at any moment of time you don't know if you work with an algebra which is a field or not ok so another example with the same polynomial so you take x-1 and you ask give me the inverse of x-1 or decide if x-1 is 0 or not so you compute the gcd and by doing this computation you discover that this polynomial was not irreducible but you did not know it before ok so that's so you get informations by doing computations ok so that's and in this way by asking these questions you will discover a splitting of the algebra ok so this gives a computational model of the algebraic closure of a field where we don't use the factorization algorithms gcd computations and this actually this approach might be interesting algorithmically even if you have a factorization algorithm because this approach may be more efficient than to use the factorization algorithm et bien il y a un remarque indemnique c'est-à-dire que ce universel de gcd n'a pas d'automorphisation which of course is normal ok c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'automorphisation de Galois groupes oh oui ok c'est-à-dire que c'est intéressant oui donc si tu as l'autre approche de construire une structure oui il y a besoin d'une pointe de l'extrpasse pour qu'il y ait une pointe de Galois groupes oui donc ça donne une interprétation de la théorite de quelque chose qui a été inventé dans les computations d'algebra c'est une méthode d'évaluation dynamique qui a été créée par Dominique Duval et l'application était pour compter dans l'algebraie de la fermeture pour faire des computations dans l'algebraie de la fermeture mais cette description était en termes d'une computation dynamique et je pense que cet approche de la théorite topo donne un bon formalisme pour capturer cette idée d'une computation dynamique donc un exemple que vous pouvez faire c'est ce que Dominique Duval a fait compétition de branches d'un curve d'algebraie j'ai fait un exercice avec un étudiant pour prendre une théorite de Newton-Puise où vous avez besoin de l'algebraie de la fermeture donc vous prenez une très bonne prouve d'Abiankar de cette théorite et puis vous commencez la compétition et ce que cela va compter si vous commencez de l'algebraie cela va compter une extension suité vous commencez donc vous pouvez mettre un algorithme vous pouvez commencer avec cet algorithme à commencer de l'algebraie de la fermeture et cela va compter cette extention de l'algebraie de la fermeture c'est un exemple et ce qui est intéressant pour moi logiquement c'est que dans cet algebraie de la fermeture de l'algebraie de la fermeture c'est l'exponentialité de l'algebraie de la fermeture donc vous savez si vous regardez le sens de cet algebraie dans cet algebraie de la fermeture vous savez à priori que vous n'aurez qu'une extension finie de l'algebraie de la fermeture et si vous regardez une description plus classique de l'algorithme il peut être à priori que vous computez les coefficients successivement il peut être qu'il faut ajouter de nouveaux algebras tous les temps logiquement à priori que l'exponentialité finie et ceci est reminiscent historiquement je pense que c'est intéressant parce que c'est reminiscent d'un approche de Cronaker qui est bien décrivée par Edward qui est un approche de Cronaker donc il n'a pas voulu donc de Dedekin et Weber ils ont commencé avec un nombre complexe et ils ont remarqué qu'ils n'avaient pas besoin et Cronaker, d'abord, a voulu avoir un plus constructif où vous adjoignez de nouveaux algebras donc vous n'aurez pas tous les algebras et cette description est reminiscent de ceci et je pense qu'on peut en décriver des séquences modèles logiquement donc je veux seulement mentionner et je vais finir par ceci je pense que ça donne un bon approche pour spécifier des algorithmes chaque fois il y a un aspect dynamique de la théorie de la théorie c'est un moyen pour spécifier mais logiquement il y a un problème logiquement la logique qui décrive la théorie est seulement une théorie simple donc quand Olivia décrive ce que vous pouvez faire c'est d'abord de A et B donc vous pouvez faire un product d'exponential des descriptions ce que vous pouvez faire sur vos objectifs vous avez la logique de ceci et logiquement c'est une théorie simple mais ce que vous voulez pour la spécification vous pouvez aussi décrire la notion de l'univers c'était pour exemple la catégorie dans la mode shift c'est ce que Grotendik a introduit cette notion de l'univers pour décrire la catégorie pour faire la théorie donc comment pouvez-vous faire un univers dans le topos logiquement c'est très intéressant donc pour les préchives il n'y a pas de problème donc si vous avez un espace topologique et si vous avez un univers grotendique avec tous les préchives U sur V alors F est un préchif il n'y a pas de problème et c'est un préchif de tous les préchives U donc dans un modèle préchif vous avez un univers mais si vous essayez de le faire avec les chives il y a un problème donc si vous avez F de V pour être le set de tous les chives U sur V alors F n'est pas un chif donc comment vous voyez ça c'est que si vous avez une collection compatible de chives sur V alors c'est toujours possible de coller ensemble dans un moyen canonique mais pas canonique parce que le chif est pas uniquement déterminé c'est seulement déterminé au isomorphisme donc vous n'avez pas dans la condition de chives vous avez l'existence et la unité de la condition de coller donc pourtant pour les chives ça ne marche pas vous avez un problème donc logiquement c'est un bon problème donc comment générer la notion de chives afin de avoir un univers et c'est une direction intéressante et c'est ce que je travaille non mais je pense que je vais arrêter à ce point je voulais seulement mentionner ce sujet et j'ai arrêté questions vous regardez le travail de Dian Rois pour lui c'est important que les extensions finettes puissent être générées par un élément donc ce qu'il fait c'est de considérer une commune générique de la route donc vous avez quelque chose pour dire vous avez une extension finette et vous voulez conclure d'explicitement un élément qui génère l'explicitement donc il y a un bon analysis d'Edward d'Edward donc il était également analysé par Kronecker logiquement, vous voulez décrire l'explicitement d'un point de vue et Galois donc il fait quelque chose qui est logique parce qu'il fait comme s'il a déjà l'explicitement et il décrive mais en fait ce qu'il fait il décrive comment s'occuper mais d'abord en utilisant l'existence de cet explicitement et puis il y a un issue logique comment vous savez que l'explicitement existe et constructivement ce n'est pas le travail d'Edward donc l'algebra d'explicitement il existe toujours et vous pouvez montrer que l'algebra d'explicitement n'est pas le travail et constructivement ce que vous faites c'est que vous travaillez avec l'algebra d'explicitement et puis vous pouvez faire le sens de ce que Galois fait mais aussi Galois a une combinaison de la route et il dit que les nombres sont génériques mais en fait le chroniqueur il réplique cela en déterminant donc d'abord vous travaillez en déterminant mais vous allez travailler dans l'extension de l'algebra avec le déterminant et c'est consistant de ces vues que vous pouvez toujours faire de l'extension et en faisant cela vous faites des choses de façon canonique si vous pouvez pas c'est en train de faire quelque chose qui continue par exemple, je remercie le truc de Marie-François Couste-Roy de l'algebra d'Edward est-ce possible de construire quelque chose dans cet écrit d'avoir un point fixe de ce que j'ai marqué vous pouvez définir l'espace de ce point fixe et l'espace mais bien sûr le point fixe n'existe pas constructivement donc c'est un problème donc vous ne verrez pas si cet espace est un point fixe un point fixe quelque chose qui peut être substitué pour ce tirant oui, oui, ok oui, donc en fait il n'existe pas il n'existe pas ok il y a des protéces morailles vous avez des morailles sur le map il n'existe pas ok donc en fait, ce que vous pouvez faire c'est d'utiliser cette idée vous avez toujours un espace de point fixe cet espace est non trivial et puis vous pouvez travailler dans cette extension et vous pouvez faire comme si vous avez un point fixe et peut-être que vous pouvez faire quelque chose avec ça mais bien dans le cas de la construction pouvez-vous dire comment c'est close de la construction vous ne savez pas vous avez toujours une extension finite donc vous n'êtes pas mais quand vous voulez fabriquer quelque chose concrète c'est un argument de continuité si vous utilisez la closure d'un fil pour fabriquer quelque chose concrète un integer vous savez que vous n'aurez que d'utiliser une approximation finite de votre closure donc ce sera une question sur le point fixe je pense que c'est un point fixe mais il n'y a pas de prof parce que le prof de la construction même si ce n'est pas concrète il y a quelque chose non trivial c'est possible d'utiliser un part qui est constructif pour faire quelque chose plus précis parce que si vous faites quelque chose le problème c'est que en général pour le prime filter pour le prime filter c'est exactement ce que vous faites vous ne pouvez pas construire le prime filter mais vous pouvez définir le espace mais où est le problème quand vous faites ça vous ne faites rien en fait vous faites des choses mais c'est purement l'algebra universal quand vous définissez ce lit de distributif vous pouvez toujours définir le lit de distributif c'est le espace de prime filter et c'est total logique mais le problème pourquoi est-ce ce espace non trivial ? et c'est là il y a un il y a un quai c'est là où vous devez utiliser les idéaux radicaux pour montrer et ce n'est pas encore sur ça c'est le sens et je pense que si vous pouvez faire quelque chose avec un point fixé je ne sais pas si vous pouvez le faire mais ça sera où le problème est et mon idée sera ce lema de Spernards il peut être utilisé pour montrer que ce espace n'est pas trivial mais je pense que vous pouvez distinguer entre la consistance syntactique et la consistance semantique et la consistance syntactique correspond à dire que l'algebra non trivial l'algebra classif est non trivial donc ça signifie que 0 est non isomorphique et c'est quelque chose que vous pouvez vous avez des méthodes topospéorétiques pour calculer l'algebra classif et si vous prouvez que l'algebra non trivial c'est déjà la première étape puis la consistance semantique tend à relâcher sur les principes non constructifs donc par exemple vous avez des résultats comme si l'algebra a assez de points alors si l'algebra non trivial nécessairement a un point mais ce genre de résultats pour montrer que l'algebra a assez de points et que l'algebra a assez de principes comme l'action de choice mais pas toujours car pour exemple certaines classes de topospéorétiques comme les preuves topospéorétiques ont assez de points et vous avez une prouve constructif donc je pense que c'est bien de expliquer ce genre de problèmes dans deux étapes 1. la consistance syntactique qui peut vraiment être traite géométrique si vous voulez et 2. la consistance semantique généralement non constructif mais pas toujours et l'algebra closure c'est un autre exemple de ça vous avez la théorie de l'algebra closure c'est une théorie syntactique vous avez les classes de topospéorétiques que vous pouvez toujours construire en une façon triviale mais le problème est la consistance syntactique de cette théorie et c'est ce qui est soulevé par ce site qui est concret où vous avez la compétition là vous vous showcasez la consistance syntactique et si vous voulez travailler dans l'algebra topospéorétique vous n'avez pas d'accès à la consistance semantique mais vous avez seulement l'accès à la consistance syntactique mais c'est suffisant parce que les classes de topospéorétiques peuvent toujours être construites comme les chefs sur le site syntactique donc ils sont vraiment syntactiques et puis les semantiques correspondent aux points de la compétition syntactique ou plus généralement aux morphismes à ce point parfois les morphismes sont suffisants pour représenter les topospéorétiques quand leurs domaines sont restrictées à des classes de topospéorétiques comme les sets ou quelque chose de plus et dans certaines situations elles ne sont pas suffisantes donc vous devez considérer les topospéorétiques et vous n'avez pas un match entre la compétition syntactique dans un sens, derrière toutes les topospéorétiques il y a un corps syntactique donc vous pouvez vraiment penser syntactiquement sur les topospéorétiques puisque chaque topos c'est les classes de topospéorétiques donc il y a toujours des topospéorétiques il y a des questions il y a des remarques grandes je ne sais pas si c'est relevant si vous avez un filtre c'est un groupe gallo il n'y a pas de logique donc le groupe gallo est défini mais ensuite vous pouvez considérer le groupe gallo est un set profilé avec un joint action et le set profilé donne un scheme profilé et il y a une function algebraique cette function algebraique est absolument canonique et l'un peut avoir une description dans des différents termes des paires de matrices et d'autres réplications je ne sais pas si c'est de la fin de l'utilisation mais la description n'utilise pas il n'y a pas de polyonyme il y a des paires de matrices et il y a des relations et d'autres réplications directement ce sera le replacement du groupe gallo