 En 2003, Grégory Perelman résout l'un des plus importants problèmes de topologie, un problème ouvert depuis presque un siècle. Grâce à cette démonstration, il remporte les 1 million de dollars réservés aux premiers mathématiciens qui viendraient à bout du problème, une récompense qu'il refusera avant de claquer la porte des mathématiques académiques et de retourner vivre chez sa mère dans infobourg de Saint-Pétersbourg. Ce qu'il a résolu, c'est la conjecture de Poincaré, et ça tombe bien, j'ai deux minutes pour en parler. En 2000, l'Institut Clé propose à la communauté mathématique la liste des problèmes du prix du millénaire. Cette liste, c'est 7 problèmes ouverts et centraux dans leur domaine respectif et cela serait appréciable de les voir résolus avant l'an 3000. Pour donner encore plus d'importance à ces 7 conjectures, l'Institut Clé a prévu de récompenser celui ou celle qui arriverait à terrasser l'une d'entre elles, 1 million de dollars. Rars sont les mathématiciens qui travaillent sur ces questions en espérant gagner cette somme, mais il est difficile de passer à côté du prestige que représente ces sujets. Il n'y a qu'à voir l'engouement provoqué par Michaël Attila en septembre 2018, lorsqu'il a annoncé avoir démontré l'hypothèse de Riemann. La conjecture de Poincaré, aujourd'hui théorème de Père Ellemann, c'est non sincille. Toute variété compacte, simplement connexe et sans bord à 3 dimensions, est oméomorphe à une 3 sphères. Si tu es un profane de topologie, le seul terme mathématique que tu as dû comprendre dans cette énoncé, ça doit être le mot 3. Alors on va tâcher d'expliquer ce que sont les variétés, les 3 sphères ainsi que tous les qualificatifs qui s'y raccrochent. Bref, voici une introduction à la topologie. Mettons-nous en situation. Voici Mario, un plombier américano-italien affecté à l'entretien des égouts de New York dans le jeu Mario Bros. sorti en 1983 sur Bord d'Arcade, puis dans de nombreux autres portages sur différentes consoles Nintendo. Sa mission est de nettoyer la zone rectangulaire des carapheurs, des sarbipas et des mouchacs, mais tout ça n'a rien à voir avec la conjecture de Poincaré. Ce qui est notable, c'est que Mario peut se déplacer suivant plusieurs directions. Déjà, il peut se déplacer horizontalement, en marchant vers la droite ou vers la gauche. Mais il peut aussi se déplacer verticalement, vers le haut ou vers le bas en effectuant des sauts. Puisque Mario peut toujours se déplacer selon deux directions, quel que soit l'endroit où il est dans la zone de jeu, on peut qualifier l'espace dans lequel il évolue de variétés topologiques à deux dimensions. En simplifiant un peu, on peut dire qu'une variété topologique est un espace dans lequel on peut se déplacer et ça selon toujours le même nombre de directions, quel que soit l'endroit où l'on se trouve dans cet espace. Ce nombre de directions, c'est ce que l'on appelle la dimension de l'espace. L'espace de jeu de Mario Bros possède donc deux dimensions. En fait, Mario ne limite pas ses déplacements à seulement deux directions, puisqu'il est aussi possible de faire des sauts qui ne sont pas verticaux. Des déplacements suivants des directions obliques sont donc permises. Seulement, on peut remarquer qu'un déplacement oblique, c'est en fait la composition d'un déplacement horizontal et d'un déplacement vertical. Cette direction oblique n'est donc pas vraiment une direction supplémentaire. L'espace de jeu n'est bien composé que de deux directions fondamentales, que l'on appelle libre, l'horizontale et la verticale, ce qui fait que la zone de jeu est bien à deux dimensions. Précisons un peu plus. Lorsque Mario a ses deux pieds qui touchent le sol, il n'est pas complètement libre de ses mouvements. Selon la direction horizontal, il a accès à la droite et à la gauche, mais selon la direction verticale, il n'a pas accès aux pas, seulement aux hauts. Dans une telle situation où un espace est infranchissable dans un sens donné, on dira que l'on a affaire à un bord. Mario vit non seulement dans une variété, mais cette variété est une variété à bord. Mais le monde de Mario Bros a un petit plus non négligeable. Les côtés droits et gauches de l'écran ne sont pas des bords. Quand Mario franchit le côté droit de l'écran, il réapparaît à la même hauteur sur le bord gauche de l'écran et réciproquement. En tant que joueur, on peut l'interpréter comme une téléportation, mais Mario ne le remarque pas comme ça, il s'est simplement contenté d'avancer dans une direction. Les bords droits et gauches de l'écran ne sont donc pas vraiment des bords. Le monde de Mario Bros n'est donc pas qu'un simple or rectangle, c'est bien plus que ça. Il s'agit en fait d'un cylindre. Enfin, pour être plus précis, l'espace de jeu de Mario Bros est au méaumorphin cylindre, c'est-à-dire qu'il est possible de déformer l'un dans l'autre et réciproquement sans des chérures. Renons à un autre exemple de variété qui n'a rien à voir, l'espace des positions acceptables que l'on peut prendre dans un lit, en admettant que les mouvements autorisés consistent à se déplacer le long de son traversin ou bien se tourner sur soi-même. L'espace des positions est une variété à bord. C'est une variété puisque quelle que soit la position dans laquelle on se trouve, on peut toujours se déplacer selon la direction droite gauche ou selon la direction horaire anti-horaire, mais elle possède un bord puisqu'il arrive un moment où on ne peut plus continuer vers la gauche ou vers la droite. On peut alors se représenter l'espace des positions sous une forme graphique, où l'axe des abscesse représente la position sur le traversin et l'axe des ordonnées l'angle de rotation. Dans cette représentation, deux côtés du carré sont des bords et deux autres côtés se correspondent. L'espace des positions acceptables pour dormir est donc équivalent au monde de Mario, c'est un cylindre. Parce que, en effet, c'est ça la topologie, l'étude des points communs entre des objets à une déformation près. Quand un topologiste dit que deux trucs sont les mêmes, cela signifie qu'il est possible de déformer l'un en l'autre et réciproquement. Pour cette catégorie de mathématicien, l'alphabet latin majuscule ne possède que 8 lettres vraiment différentes puisque, fondamentalement, un U, un Z, un L ou un M, c'est la même chose à un homéomorphisme près. Puisque ce ne sont que des segments plus ou moins déformés. Notons que de toutes les lettres de l'alphabet, seules 14 sont des variétés, plus précisément à une dimension. Il y a celles qui sont homéomorphes à un segment, comme J ou M, ou celles qui sont homéomorphes à un cercle comme O ou D. En effet, si l'on se déplace dans l'une de ces lettres, on ne pourra que avancer ou reculer, et ça, quel que soit l'endroit où l'on s'y trouve, mais jamais aller dans une autre direction. La lettre T, au contraire, n'est pas une variété puisqu'il existe un point où on peut changer de direction. On a donc déjà deux exemples de variété dimension 1, que l'on appelle plus couramment les courbes. En bon matheux, on veut savoir s'il en existe d'autres exemples. Il faut donc s'atteler à la classification des différentes variétés dimension 1 qui existent. On peut par exemple parler du symbole égal, qui est aussi une variété de dimension 1, mais qui a le désavantage d'être composé de plusieurs morceaux distincts. On dit qu'il n'est pas connexe. Il y a aussi les droites, ce sont bien des variétés de dimension 1, mais elles ont pour moi une caractéristique en trop. Elles s'étendent à l'infini. Les droites ne sont pas bornées. On peut résoudre le problème puisqu'il est possible de déformer une droite de manière à la ramener un intervalle 01 ouvert, c'est-à-dire l'ensemble des nombres strictement compris entre 0 et 1. Mais ça, ça ne me plaît pas non plus puisque le segment obtenu n'est pas fermé, ce qui arrive quand des points limites n'appartiennent pas à l'ensemble. Quand une variété est à la fois fermée et bornée, on dit qu'elle est compacte, ce qui n'est donc pas le cas de la droite. Quand on regarde finalement les différentes courbes qui existent, on peut alors énoncer le théorème suivant. Si une variété de dimension 1 est à la fois connex et compacte, alors elle sera homéomorphe soit à un cercle, soit à un segment. Ça, c'était pour la classification des variétés de dimension 1, mais quelles sont les différentes variétés qui existent en dimension 2 appelées couramment les surfaces ? On a déjà parlé du cylindre et on peut en ajouter quelques-uns qui sont évidents comme le plan infini R2, le plan dans lequel on a l'habitude de faire de la géométrie, ou bien le disque B2, qui est une variété dont le bord est un cercle. Observons maintenant des espaces de D plus exotiques comme celui de Sonic. Plus précisément, quelle est la forme des blue spheres les niveaux secrets introduits dans Sonic 3 en 1994 sur Megadrive. Dans cet environnement, Sonic a le choix entre aller devant ou derrière lui, ou bien aller à droite ou à gauche, ce qui en fait une variété dimension 2. Visuellement, cela ressemble à une sphère qui est un bon exemple de variété dimension 2, mais il faut se méfier des apparences. En fait, si Sonic se déplace en ligne droite dans une direction, il finira par revenir à son point de départ. En se déplaçant sur cette surface, on vient donc de tracer un lacet, c'est-à-dire une courbe qui boucle sur elle-même, comme j'en avais parlé dans ma vidéo sur le théorème de Jordan. Obtenir un lacet en marchant toujours dans la même direction, c'est parfaitement envisageable sur une sphère, mais là où la blue sphère est différente, c'est si on fait la même chose selon une autre direction. Là aussi, on reviendra au point de départ, mais sans avoir entre temps recroisé le lacet précédent. Sur la surface d'une sphère, c'est quelque chose d'impossible, si le lacet se coupe une fois, il se coupe pro une deuxième fois. La blue sphère de Sonic n'est donc pas déformable en une sphère, mais en autre chose. Elle a plutôt la forme d'un donut ou d'une bouée, c'est-à-dire d'un torre. En effet, on t'en regarde les plans, les côtés coincident deux à deux. Si on déforme cette carte, on obtient dans un premier temps un cylindre en faisant coïncider les bords droits et gauches, puis dans un deuxième temps le torre en faisant coïncider les bords maintenant circulaires haut et bas. On a le même phénomène dans le jeu Asteroids, où les bords droits et gauches de l'espace coïncide, mais aussi les bords haut et bas. La planète du jeu Chrono Trigger a elle aussi ses propriétés toriques. Bref, on peut ajouter le torre dans ma liste des variétés à deux dimensions. Le torre est donc un objet compact, connex et sans bords, mais à la particularité de former, quand on le regarde depuis notre espace de dimension 3, un trou, un seul trou. On peut généraliser ces histoires de trous et donc évoquer le double torre à deux trous, le triple torre à trois trous et je vous laisse extrapoler au nombre de trous que vous désirez. Revenons à l'univers de Mario, et parlons du jeu de course de la franchise Mario Kart. Dans Mario Kart Double Dash, on peut s'affronter dans le Parc Baby. Les véhicules peuvent avancer, reculer et tourner, la piste est bien une variété de dimension 2. Elle possède un bord et boucle sur elle-même, le circuit est donc homeomorph à un cylindre puisqu'il est possible de déformer l'un pour obtenir l'autre. Dans la franchise, la plupart des circuits sont topologiquement équivalents à des cylindres, mais l'un d'eux fait vraiment exception, le circuit Mario, présent dans Mario Kart 8. Le circuit est toujours une variété à bord de dimension 2, mais il a quelque chose de supplémentaire. Quand notre personnage a effectué la moitié d'un tour, on peut s'apercevoir que l'on est revenu à notre point initial mais de l'autre côté de la ligne de départ, du côté pile de la route. Le circuit Mario n'est donc pas un cylindre, mais un ruban de Mobius. Un ruban de Mobius, c'est ce que l'on obtient lorsque l'on recolle sur lui-même un ruban après le voir faire faire un demi-tour. Cette variété à bord a plein de propriétés intéressantes comme le fait que son bord est tomé au morphe à un seul cercle, ou que le couper en deux dans le sens longitudinal ne le coupe pas vraiment en deux. De la même façon que l'on peut voir un cylindre dans la forme des aigus de Mario Bros ou d'un torre dans la forme de l'univers d'Asteroids, il est possible d'envisager le ruban de Mobius comme la forme d'un espace de jeu rectangulaire. On peut imaginer un jeu vu de dessus, où lorsque le personnage quitte l'écran en bas du côté droit, il est réapparaît en haut du côté gauche comme si passé d'un côté à l'autre revenait à faire une symétrie d'axe horizontal. C'est cette symétrie axiale qui correspond au demi-tour du ruban de Mobius. La conséquence, c'est que si notre personnage fait le tour de la zone de jeu, il reviendra à son point de départ après avoir subi une symétrie. Dans ce cas, c'est qu'il ne sera plus superposable avec son frère Jumeau qui l'a attendu bien sagement. Quand une telle situation se présente, on dit que la surface n'est pas orientable. Bref, le ruban de Mobius s'ajoute à notre collection de variété de dimension 2. Il y a aussi le petit frère du ruban de Mobius, lui aussi à bord et non orientable, le slip de Mobius, mais je ne rentrerai pas dans le détail. On peut aussi ajouter d'autres surfaces non orientables comme la bouteille de Klein, qui est ce que l'on obtient quand on coude deux rubans de Mobius bord à bord, ou le plan projectif que l'on obtient en recollant un ruban de Mobius sur lui-même. N'essayez pas de faire ses constructions à la maison, elles sont impossibles à faire depuis notre monde à trois dimensions, les surfaces ayant la fâcheuse propriété de s'autointersecter dans notre espace à trois dimensions. Et pour compléter la collection, j'ajouterai qu'il est possible de la même façon que coller deux torres permet de donner des doubles torres, de coller ensemble des plans projectifs. En collant un plan projectif sur un autre, on obtient une bouteille de Klein et en collant davantage, on obtient des surfaces non orientables un peu plus exotiques. Bref, on a toute une collection de variété de dimension 2 dans lequel on va essayer de faire un peu de tri. Déjà, on ne va garder que les variétés compactes, il y a trop de choses bizarres qui arrivent quand on s'approche de l'infini. Au revoir donc au plan infini R2. Ensuite, on va se débarrasser les variétés à bord, beaucoup trop complexes. Au revoir donc au disque, au cylindre et au ruban de Mobius. Finalement, si on se restreint aux variétés connex compact et sans bord, il ne nous reste que trois familles. Il y a l'asphère, les torres à un ou plusieurs trous, ou les plans projectifs et tous ces descendants. Toute surface connex compact et sans bord est doncommée au morph à l'une de ces variétés, c'est le théorème de classification des variétés de dimension 2. Mais de toutes ces surfaces, une se dégage du lot. Il s'agit de l'asphère et c'est en fait l'objet de la conjecture de point carré. En effet, l'asphère a la propriété d'être simplement connex, c'est-à-dire que si un élastique se trouve sur sa surface, il sera toujours possible de les réduire jusqu'à ce qu'il ne forme plus qu'un seul point. A contrario, un torre n'est pas simplement connex, puisqu'un élastique sans sa surface ne peut pas toujours être réduit en un point, par exemple si celui-ci en fait le tour. Le problème est le même à la surface d'une bouteille de Klein où l'élastique peut être prisonniée de son danse. Bref, toute variété compacte simplement connex et sans bord à deux dimensions est au miomorph à une sphère. C'est ça, la conjecture de point carré. Mais il s'agit là de la variante en deux dimensions, celle qui en fait était facile et que point carré a résolu. La véritable conjecture de point carré énonce que toute variété compacte simplement connex et sans bord à trois dimensions est au miomorph à une sphère en trois dimensions. Et autant le dire tout de suite, mettre de l'ordre dans les variétés dimensions 3, c'est loin d'être une partie de plaisir. On peut quand même essayer de sentir à quoi ressemblent ces variétés, en essayant de répondre à cette question, quelle est la forme de l'univers ? Rien que ça. Une chose sur lequel on peut se mettre à peu près d'accord, c'est que l'univers tel qu'on peut le sentir à notre échelle est une variété de dimensions 3 puisque quel que soit le point où je me trouve dans l'univers, j'aurai toujours la possibilité de me déplacer suivant trois directions libres. Puisque l'univers a un peu moins de 14 milliards d'années, la lumière qui arrive du plus loin de l'univers a voyagé pendant ces 14 milliards d'années, à sa vitesse de 300 000 kilomètres secondes. En prenant en compte l'expansion de l'univers, on peut calculer que les objets visibles les plus éloignés de nous sont aujourd'hui éloignés de 46,5 années lumières. La forme de l'univers, c'est donc une boule dont le rayon est de 46,5 années lumières et dont le centre, c'est nous. Ou plutôt, c'est l'univers observable qui a la forme de cette boule, ce qui donne un premier exemple assez simple de variété de dimensions 3. Pour l'univers au complet, la question n'est pas aussi évidente qu'elle n'y parait. La première idée de n'importe qui, c'est de dire que l'univers est infini, et infini dans toutes les directions tant qu'à faire. Il aurait donc la forme de l'espace de la géométrie euclilienne R3. Et pourtant, il pourrait tout à fait en être autrement, il est tout à fait envisageable qu'il soit compact ou pour simplifier que son volume est fini et ça, sans pour autant avoir le moindre bord. Il est en effet assez inconcevable que l'univers puisse posséder des murs. De la même façon que le vaisseau de Asteroids vit dans un univers compact et sans bord que l'on peut interpréter comme un tort, nous vivons peut-être dans un univers qui pourrait être compact et sans bord comme un tort tridimensionnel. Essayons de visualiser cette éventualité. La Terre est au centre de l'univers observable, qui est une boule. Imaginons que cette boule est à l'intérieur d'un immense cube, dont le rayon est supérieur au diamètre de l'univers observable. Si nous vivons dans un univers tourique, cela signifie que lorsque l'on franchit l'une des phases de ce cube, on se retrouverait au même point sur la face opposée. L'univers entier est donc entièrement contenu dans ce cube, de la même façon que l'univers entier d'Asteroids est dans un simple rectangle. Dans un univers tourique vu de l'intérieur, on pourrait voir la Terre en regardant dans tout un tas de directions. Il est aussi tout à fait envisageable de se déplacer en ligne droite, toujours dans la même direction, et de pourtant parvenir à revenir à son point de départ, comme c'était le cas sur la surface d'un tort. Même si ce n'est pas aujourd'hui l'hypothèse privilégiée, l'hypothèse de l'univers tourique n'est pas rejetée par les spécialistes de la question de la topologie de l'univers. En tout cas, voilà qu'il rajoute une carte dans notre collection de variétés 3D. D'autres variétés, et donc d'autres univers, sont aussi envisageables, comme le tort hexagonal, où le cube est remplacé par un prism hexagonal. Il y a aussi l'espace cubique quart de tour, où des rotations sont faites au moment de recoller l'efface du cube univers, ou bien l'espace d'eau décaédrique de point carré, l'un des prétendants principaux au titre de forme de l'univers, si on en croise en pierre luminée. Et ça, ce ne sont que quelques exemples parmi de très nombreux autres. Un peu plus étonnant, certaines d'entre elles sont des équivalents tridimensionnels du ruban de Moibus ou de la bouteille de Klein, c'est-à-dire non orientable. Prenons par exemple l'espace tourique de Klein. Il faut à nouveau imaginer que la Terre est au centre d'un immense cube, et lorsque l'on traverse l'une des faces, on se retrouve au niveau de la face opposée après une symétrie axiale. Dans un tel univers, on peut partir de sa galaxie et revenir après un simple voyage en ligne droite, mais à un détail prêt. Quand vous retrouverez votre point de départ, tout sera à l'envers, comme si vous veniez de traverser un miroir. Vos amis auront le cœur à droite, l'eau chaude ne sera pas du bon côté du ruban et les anglaires auront enfin du bon côté de la route. Cette topologie n'est pas vraiment privilégiée chez des cosmologistes, mais je trouve que ça donnerait un bon scénario d'OSF. Bref, cela ajoute encore plus de diversité à notre collection de variété 3D. Il reste pourtant un espace topologique à trois dimensions dont je n'ai pas encore parlé et qui est au cœur de la conjecture de point carré, celui appelé S3, l'hypersphère ou la trois sphères. Pour comprendre ce que c'est, il est important de bien faire la distinction entre une sphère et une boule. Quand on parle d'une sphère sans plus de précision, on parle de S2, la deux sphères, qui est grosso modo la forme d'un ballon de basket, d'une balle de ping-pong, voire d'un ballon de rugby puisqu'en topologie, tout est déformable. Une deux sphères, c'est juste une surface, ça n'a que deux dimensions, c'est quelque chose de creux. Au contraire, la boule B3, ou plutôt la trois boules, c'est un objet à trois dimensions, c'est plein. C'est donc la forme d'une boule de billard ou de bowling. Une trois boules, c'est donc une variété 3D à bord, et son bord, c'est la deux sphères qui est une variété 2D sans bord. Tout ça peut se généraliser, mais pour s'en convaincre, il faut revenir aux définitions. Une sphère S2, c'est l'ensemble des points de l'espace situé à une même distance d'un point donné, son centre. Si on prend la même définition, mais dans le plan, on retrouve S1, le cercle, et sur une droite, cela donne S0, un couple de points. De la même façon, on définit la boule B3 comme l'ensemble des points de l'espace, dont la distance à un point donné, le centre, est inférieur ou égal à une distance donnée. En généralisant au plan, cette définition nous donne le disque B2, c'est-à-dire un cercle plein, et à une dimension, on obtient le segment B1. On peut aussi généraliser tout ceci à un hyper espace à quatre dimensions. La trois sphère S3, c'est donc l'ensemble des points de l'hyper espace situé à une distance donnée d'un point, son centre. Mais bon, on n'est pas tellement avancé puisque c'est évident pour personne de voir en dimension 4. Essayons plutôt de reconstruire depuis notre espace 3D, comme on a construit l'hypertore en recollant les phases d'un cube. Pour ça, faisons un peu de bricolage. Si je prends deux segments B1, que je mets un peu de coltopologie sur l'orbeur S0, que je les déforme un peu, puis les assemble, et que j'attends un peu que ça sèche, j'obtiens un cercle parfait S1. De même, si je prends deux disques B2, que je mets de la coltopologie sur l'orbeur S1, que je les déforme un peu, puis les assemble, j'obtiens une sphère S2. La construction se généralise, si je prends deux boules B3, que j'applique un peu de colt sur la sphère S2 qui leur sert de bord, et que je les recolle l'un sur l'autre, j'obtiens donc la fameuse trois sphères. Bien sûr, ce recollement est impossible à réaliser en pratique, mais donne une représentation abstraite de la topologie de la trois sphères. Finalement, on peut voir la trois sphères comme deux boules où les points du bord de l'un sont en correspondance avec les points du bord de l'autre. On peut alors imaginer un vaisseau qui se déplacerait dans un univers dont la topologie serait celle d'une persphère. Disons qu'il parte du centre de la première boule et qu'il voyage tout droit dans une direction. À un moment donné, il atteindra la frontière de la première boule, arrivera dans la deuxième boule, poursuivra son voyage jusqu'au centre de cette deuxième boule. En continuant son trajet, il finira fatalement par revenir à son point de départ. Il faut bien comprendre qu'il n'y a pas eu de téléportation entre la première et la deuxième boule, c'est juste une façon de représenter les choses. On peut faire l'analogie avec la Terre, qui est une sphère S2, que l'on peut reconstruire en recollant deux disques B2, les hémisphères, le long de leur bord, l'équateur. Si je pars du pôle nord et que j'avance tout droit, je rencontrerai l'équateur avant de poursuivre sur l'autre hémisphère jusqu'au pôle sud et continue le voyage qui me ramènerait jusqu'au pôle nord. Bref, la trois sphères, ces deux boules dont les bords ont été identifiés. Une autre façon de se représenter la trois sphères, c'est de généraliser la façon dont les platistes se représentent la Terre, sous la forme d'un disque bordé par l'Antarctique. Pour un topologiste, cette représentation est bien celle de la deux sphères Terre, mais il faut convenir que le cercle qui leur sert de bord ne représente qu'un seul et unique point, le pôle sud. La sphère S2, c'est donc un disque B2, où tous les points du bord sont identifiés en un seul. En généralisant, on peut dire que la trois sphères, c'est une boule où tous les points de la surface sont en fait un seul et même point, un pôle. Bref, il y a plein de façon de se représenter cette variété de dimension trois qu'est la trois sphères. On a donc à présent une collection non exhaustive de trois variétés, et on va essayer de l'élaguer un peu. Débarrassons-nous des variétés à bord et ne gardons que les variétés compactes, celles dont le volume est fini. Il nous en reste encore pas mal, mais la trois sphère diffère des autres, puisque c'est la seule qui est simplement connexe. C'est à dire que si un élastique se trouve à l'intérieur d'une trois sphère, il sera toujours possible de le déformer pour le ramener en un unique point. Dans un hyper-tor, si l'élastique est tendu entre deux faces identifiées du cube univers, il sera impossible de le réduire en un seul point. Finalement, de toute ma collection de variétés de dimension trois sans bord et compact, seule la trois sphère est simplement connexe, mais est-ce vraiment la seule ou on a simplement mal cherché ? Il a fallu cent ans pour le prouver, parce que c'est ça l'objet de la véritable conjecture de point carré. La trois sphère est la seule variété de dimension trois sans bord, compact et simplement connexe. Entre 1904, le moment où la question est posée par Henry point carré, et 2003, celui où Grigory Perelman dépose en ligne les PDF de sa démonstration, des générations de mathématiciens s'étaient penchées sur la question. D'abord dans les années 60, en se débarrassant de la généralisation aux dimensions supérieures à 5, puis dans les années 80 à la variante en 4D. Toujours dans les années 80, Richard Hamilton trouve un angle d'attaque à la conjecture de point carré. Il s'agit de gonfler la variété 3D pour en faire une hiper sphère, de la même façon que gonfler un ballon de beaux-de-ruche le transforme en sphère. Ce gonfleur, c'est le flow-de-richi, et il a fallu attendre 2003 pour que Perelman étudie minutieusement les cas qui ferait éclater le ballon au lieu d'obtenir une hiper sphère. Les outils qu'il venait de mettre au point étaient s'innovateur et subtil qu'il fallu à la communauté mathématique quelques années supplémentaires avant de confirmer que sa démonstration était bien correcte. Sans son suivi de nombreuses distinctions comme la MediFills en 2006 ou le prix du millénaire et son million de dollars en 2010, des récompenses que Perelman refusera avant de claquer la porte des mathématiques académiques. Les dernières nouvelles que l'on a eues de lui remontent à 2010, il cueillait des champignons.