 Bonjour à tous. Donc merci de m'avoir donné l'opportunité de venir parler ici. Je vais vous parler de la Liouville Quantum Gravity, de une construction probabiliste. Donc le travail que j'ai effectué avec les encadrants Vincent Vargas, Rémi Rod et Yi Chao, Yuan, qui est présent ici. Donc je vais juste commencer par dire quelques mots un peu sur le contexte dans lequel s'inscrit ce travail. Donc je vais dire quelques mots sur la théorie des champs. Donc la théorie quantique des champs, c'est vraiment un cadre très général qui est utilisé partout en physique théorique. Donc si on dit juste en quelques mots ce que c'est, c'est qu'on se donne, on travaille sur un certain espace. Et sur cet espace, on va définir des champs, qui sont des objets qui peuvent être très compliqués à définir mathématiquement, ils peuvent être très irréguliers. Et le but du déficitien, un premier but, c'est de calculer le plus possible toutes les fonctions de corrélation, donc l'espérance des produits de phi y pris en des points zi. Donc pour donner un exemple qui va parler aux probabilistes, on peut dire qu'on peut regarder par exemple le modèle d'easing défini sur un réseau et donc on a nos spins plus ou moins un et si on fait tendre le pas du réseau vers zéro, on a maintenant les spins vont être en quelque sorte, ça va devenir un champ continu, le modèle devient un continu. Donc ça il y a une très très grande communauté de probabilistes qui travaillent sur le modèle d'easing, donc il y a beaucoup de résultats qui ont été obtenus, comme on a montré, donc les spins définis, ce qui a été montré c'est que les spins définis sur le réseau, il y a une convergence au sens des distributions, il y a aussi des fonctions de corrélation qui ont été calculées. Donc ça aussi, alors ce qu'il faut que je dise, c'est que ça s'inscrit dans le cadre aussi que ce que les physiciens appellent la théorie conforme des champs, donc c'est les théories bidimensionnelles où les fonctions de corrélation ont en plus des propriétés d'invariance conforme, donc d'invariance sous les transformations homomorphes et ça apparaît quand on fait la limite du modèle d'easing à la température critique du modèle, où il n'y a plus de longueur typique, parce que les fonctions de corrélation, quand ça diverge au point critique, il n'y a plus d'échelle typique dans le problème et donc la limite est censée avoir, ça a été démontré, qu'il y a des propriétés d'invariance conforme. Donc ça, bon, je ne suis pas du tout un spécialiste du modèle d'easing, donc moi ce que je vais vous parler, c'est la Liouville Quantum Gravity, ça a été introduit par Polyakov dans un papier en 1981 et alors nous, cette théorie c'est censé être la limite des cartes planaires aléatoires, mais dans tout cet exposé, je vais rester du côté purement, on va rester en continu, je ne vais pas du tout parler de la construction, c'est conjecturé que c'est la limite des cartes mais je ne vais pas rentrer là-dedans. Ok, donc pour pouvoir comprendre la construction, sans rentrer dans tous les détails techniques, on va s'intéresser au mouvement bronien. Une façon possible de voir le mouvement bronien, c'est ce qu'avec ce que les physiciens appellent, les intégrales de chemins de Feynman. Donc concrètement, on fait quoi ? On se donne l'espace des chemins, des fonctions définies sur le segment 01 qui va le 0 en 0 et sur ces spas, à chaque chemin on associe un poids qui est l'intégrale de la dérivée carrée. Alors ça c'est ce qu'on appelle l'action, définie sur les chemins. Donc si on regarde le minimum de cette fonction, c'est quoi ? On la dérivée est nulle et donc ça nous dit que le minimum, c'est juste le segment 01, c'est la fonction nulle. Maintenant ce qu'on fait, c'est qu'on peut, au lieu de regarder juste le minimum de l'action, on peut mettre une mesure de probabilité sur cet espace de chemin, on donne à chaque chemin un poids qui est donné par cette action. Donc le poids de Boltzmann associe, donc le poids c'est épuissance, moins l'action, c'est la distribution de Boltzmann. Donc c'est ce qui écrite, c'est une définition formelle et ça, ça donne la loi du mouvement brunien. Alors ici c'est formelle, puisque le desigmas c'est une mesure uniforme sur l'ensemble des chemins, mais ça on ne sait pas trop ce que c'est. Et aussi je ne vais pas dire que c'était que la régularité des sigmas, donc a priori la dérivée elle est peut-être mal définie. Mais une façon de donner un sens à ça, c'est de discrétiser l'intégrale de considérer n points sur le segment 01 et du coup la dérivée ça devient un accroissement que le desigmas c'est juste un produit de n mesure de Lebesgue et du coup on retrouve la définition, ça redonne le mouvement brunien. Donc ce qu'il faut retenir, ce qu'il faut comprendre ici, c'est que le minimum de notre action c'est juste le segment 01, mais si on regarde, maintenant si on pondère tous les chemins possibles avec un poids de Boltzmann donné par cette action, on retrouve formellement le mouvement brunien. Pour pouvoir introduire l'action qui va servir pour construire la théorie du Ville, j'ai oublié de donner quelques définitions de géométrie. On va considérer une surface, ici j'écris surface de Riemann, c'est-à-dire que localement ça ressemble au plan complexe, il y a une carte olymorphe. Je ne l'utiliserai pas, je ne l'utiliserai pas vraiment dans la suite. Ce que j'ai besoin c'est de définir sur la surface M, un objet qu'on appelle le tensor métrique G. C'est à tout point de la surface, on associe une matrice symétrique définie positive. En quelque sorte, en tout point, on se donne à un produit scalaire. Et une fois qu'on a défini ça sur notre surface, on peut donner la longueur des courbes, l'air, définir l'air des parties de la surface, et définir la courbe. Ce que j'écris ici, la longueur d'une courbe, la courbe Z, ici il faut comprendre dans la définition qu'il y a une somme implicite sur les indices I, J. Et donc si vous prenez G, c'est juste la matrice identité, vous retrouvez exactement la longueur d'une courbe dans le plan Euclidean, puisque ça devient juste, c'est la racine de la norme, la dérivée carré. Donc on a aussi également une formule pour calculer des airs sur notre surface. On intègre, le lampe d'un G, ça s'appelle la forme volume associé à G, donc c'est la racine de déterminant G. Et on a la courbure de notre surface. Donc la courbure, c'est une définition assez compliquée dans le cas d'une matrice générale. Donc ici, pour donner un exemple, c'est simplement pris le cas d'une matrice diagonale. Et donc on a une formule explicite qui crie ici. Donc un exemple, c'est si on regarde la géométrie de la sphère, si on voit la sphère comme le plan qui vient muni d'un point à l'infini, on peut calculer la forme du temps symmétrique et on obtient une courbure de, donc positive, c'est la courbure de la sphère. Voilà. Alors maintenant, avec ces définitions, je peux parler vraiment de ce que c'est, l'action de l'huville. Donc, on se donne, pour une certaine fonction, on définit sur notre surface d'un air. On a donc cette action, qu'il y a trois termes. Donc il y a un terme gradient carré, il y a un terme avec la courbure et il y a un terme en exponentiel X. On a donc Q, gamma et mu, c'est des constants strictement positifs. Donc là, je donne un résultat de géométrie, c'est à quoi correspond le minimum de cette action. C'est, il permet d'uniformiser la surface en fait, c'est-à-dire qu'il permet de construire une métrique qui est de courbure négative constante. Donc c'est à dire que si on considère la nouvelle métrique G prime, qui est donnée par exponentiel gamma X min de G, où X min c'est un minimum de l'action nuville, alors c'est une métrique de courbure négative constante. Alors ici, il y a juste une petite subtilité où je reviendrai sur le dernier de transparence, c'est que par exemple, dans le cas de la sphère, il n'y a pas, il n'existe pas de courbure, de courbure, si on a une courbure constante, elle est forcément positive. C'est-à-dire que l'action, elle n'a pas de minimum. Donc ça, je reviendrai au dernier de transparence. Mais en tout cas, si on a un minimum de cette action, ça uniformise la surface. Donc on peut voir le minimum, qui donne une courbure constante. Donc maintenant, par exactement par analogie à ce qu'on a fait sur le mouvement embryonien ou le minimum, c'était juste le segment 01 et puis la version probabiliste, c'était le mouvement embryonien, on fait exactement pareil. Et maintenant, on définit formellement une métrique aléatoire, et puis sans gamma Phi G. Maintenant, notre Phi, c'est ce qu'on appelle le champ de nuville. Il est au lieu d'être simplement le minimum de l'action. Maintenant, il est donné, par cette définition formelle, c'est une intégrale de chemin. On a un poids, on met un poids à chaque configuration, qui est une énergie donnée par l'action de nuville. Donc tout notre travail, c'est après, le travail, ça consiste à définir le champ de nuville pour différents types de surface. Donc on a la sphère de Riemann, le tort, le disculité. Donc à chaque fois, il y a des spécificités parce qu'il y a des surfaces qui sont de gens différents, il y a des gens qui ont des bords et d'autres non. Moi mon travail, ça consiste à essayer de rendre rigoureux cette construction quand on prend une couronne dans le plan. Donc là, c'est un domaine avec bords et qui n'est pas simplement connexe. Chaque fois, il y a des spécificités associées à ça. Donc ici, je vais essayer de réexpliquer un peu peut-être les termes qui apparaissent dans l'action de nuville. Ils peuvent paraître un peu mystérieux, mais le premier, c'est qu'il y avait un terme en gradiant carré. Donc ce terme, il est vraiment très semblable au terme qui apparaît dans l'action qu'on a utilisé pour définir le mouvement broyant. Donc c'est quoi ? Si maintenant on regarde, on avait simplement, on avait juste mis ce terme-là dans l'action, en fait, ce qu'on obtient, c'est le champ libre gaussien. Parce qu'en fait, vous pouvez le voir, je vais petit-t'écrire. Si on fait une intégration par partie, si j'ai, si on intègre par partie, là on obtient X, la place 1 dans la métrique j'ai. Et donc ça, on peut le voir comme, dans l'intégrale, ça c'est, ça, si vous voyez X comme un vecteur gaussien, mais sur un espace de dimension infinie, ça c'est en quelque sorte l'inverse de la matrice de covariance. Parce que dans le cas d'un vecteur gaussien de dimension finie, on a quelque chose du type X, ce qu'on dirait sigma moins 1 X. Donc en fait, ici l'opérateur, ici, tout est en dimension infinie, mais c'est en quelque sorte l'inverse de la covariance du champ. Donc l'inverse de la place 1, c'est quoi ce qu'on appelle la fonction de gris et c'est donc ça la covariance du champ libre gaussien. Ici, il y a une petite subtilité aussi, c'est que comme on définit, donc cette définition elle est formelle, mais c'est définit avec un gradient, donc c'est définit qu'il y a une constante prête. Donc une des subtilités du travail aussi, c'est demander comment est-ce qu'on fixe cette constante. Et nous ce qu'on fait, c'est qu'on, donc si on l'appelle on intègre après c par rapport à la mesure de Le Beg. Ensuite, donc il y a un terme du courbure, et il y a un terme. Alors ici, ce terme, e piscence gamma x de lambda g, en fait, ça correspond à l'air de la surface m pour la nouvelle métrique g prime e piscence gamma xg qu'on construit. Donc ce terme, en gros, il est là pour pénaliser les surfaces trop grandes et si on le met pas, tout son rien n'est bien défini. Ok, c'est le fi. Fis c'est une vis dans l'espace des distributions, donc ça pose des problèmes. Ce qu'on a réussi à montrer, c'est définir la Louisville Major. Donc c'est, on peut, si on se donne une partie a de notre surface, on arrive à définir l'exponentiel de gamma fi dans la mesure, enfin, l'intégrale de sur a de e piscence gamma fi fois lambda g. Donc, et c'est quand on conditionne plus de subtilité, mais quand on conditionne qui est de volume 1 et d'autres choses, c'est cet objet censé décrire la limite, donc c'est conjecturel, mais ça doit décrire la limite des cartes planères aléatoires. Après, ça dépend si on a des cartes, si la limite est uniforme, c'est uniforme planar map, ça correspond à une certaine valeur de gamma à signe de 8 tiers. Si on met d'autres, je ne sais pas du tout, un spécialiste de ça, mais si on pondère les cartes par des modèles de physique statistique, on obtient une autre limite et une autre valeur de gamma. Donc, en fait, il faut voir c'est que le mouvement bronien, si on voit le mouvement bronien comme la limite des marches aléatoires, la Louisville quantum gravity, c'est une théorie qui doit donner un objet qui doit donner la limite de plein de modèles discrets comme les cartes planères. Ok, et juste dans le dernier slide, je vais revenir deux secondes sur le petit problème de départ, qui était que la sphère. Le terme de Gaute-Boné, donc si on intègre la courbure, on obtient un nombre strictement positif, c'est-à-dire qu'on ne peut pas définir de courbures négatives constantes sur la sphère. Notre action de Louisville n'a pas de minimum. Donc, ce qu'on fait n'a aucune chance de marcher. Donc, ce qu'on doit faire, c'est rajouter des termes supplémentaires dans l'action. Enfin, ce qu'on rajoute, c'est ce qui écrit là les e-puissances alpha-i-x pris au point z-i. Donc, après on peut les voir les e-puissances alpha-i-x de z-i, c'est ce que les physiciens appellent, c'est les champs de la théorie dont on essaie ensuite de calculer les fonctions de corrélation. Et pour bien définir la théorie sur la sphère, il faut au moins 3 points de ce type. Et donc, oui, voilà. Peut-être je vais faire un dessin. En fait, ça correspond à des sortes de singularité de la métrique. Si on a la sphère, si je mets 3 points, ici, c'est comme si on mettait des pics sur la sphère. Et si on voit, maintenant qu'on a cet efface-là, on voit qu'il est possible d'avoir une géométrie hyperbolique du suffin avoir une courbe bien négative. Ok, je vais m'arrêter là. Merci beaucoup. Merci. Est-ce que vous avez des questions sur l'exposé de Guillaume ? Une question. Oui. Donc, apparemment, il y a un nouveau travail à chaque fois quand on veut une travail sur une autre surface avec bord, en dehors du terrain. Oui. C'est pas clair comment uniformiser tout ça ? Non, a priori non, puisque quand il y a un bord, il faut mettre des insertions sur le bord, par exemple. Ici, il y a toujours la mesure de l'ouvile, elle se comporte différemment au bord. Ça, ça a des difficultés. Et après, il y a un autre problème qui intéresse beaucoup les physiciens. C'est que, par exemple, quand on est parti, on prend juste le dit. Si on prend une couronne, il y a ce qu'on appelle, ce qui apparaît, il y a ce qui s'appelle l'espace des modules. C'est-à-dire que deux couronnes, ici, le rayon intérieur, c'est A et l'extérieur, c'est B, elles sont en bijection olemorphe, que si elles ont rapport, B sur A constant. Alors que c'est pas vrai, il y a un théorème classique d'anise complexe qui dit que, enfin, si c'est simplement connex, c'est force à se remettre. C'est forcément en bijection avec le disque unité. Donc, il y a toute cette théorie, en plus, qui apparaît, à l'espace des modules de la couronne. Et c'est intéressant les physiciens de savoir, enfin, de savoir comment est-ce qu'on fait une somme sur ces choses-là, sur l'espace des modules, donc c'est sursommé sur le rapport B sur A. En fait, le fait que ça soit pas simplement connex, ça rajoute beaucoup de choses qu'on peut étudier. Il n'utilise pas que la surface de Riemann, tu veux dire, tu mets un métric en d'abord. Donc, la métric définit la surface complexe. Non, non, je n'ai pas regardé de cette fin. J'ai écrit surface de Riemann, mais c'est juste pour dire ce qui compte, c'est plutôt que la métric. On définit d'abord la métric. Très bien, merci beaucoup.