 Depuis quelques années, j'ai pris l'habitude de classer les films et les séries en fonction de leur contenu mathématique sur une échelle à l'en de 0 jusqu'à 5. Un film de catégorie 0, c'est un film qui ne parle jamais de maths, à aucun moment. C'est le cas de la majorité des films qui sortent chaque année sur nos écrans et c'est bien dommage. Les films de catégorie 1 sont ceux qui ont un titre à l'échant, mais qui ne tiennent pas toutes leurs promesses mathématiques. Pintagone Papers, les mathématiques du roi Enoch ou Calcule Meurtrier par exemple. La catégorie 2 est réservée aux films et séries qui commencent à devenir intéressants avec une scène qui parle de mathématiques. L'énigme des bouteilles dans Daillard II III, la lecture d'un livre plein de maths dans Iron Man 2, une scène de cours dans High School Musical, etc. La catégorie 3 recouvre les films et séries où les mathématiques sont bien présentes, mais essentiellement en toile de fonds. Par exemple, Agora est un biopic de la mathématicienne Ipatie d'Alexandrie, mais le film est avant tout un peu plombe sur les conflits religieux de l'Antiquité. Autre exemple, le film Cube qui repose son scénario sont des principes mathématiques, mais qui est avant tout un escape game un peu macabre. Les films de catégorie 4, ce sont les films dont le propos principal tourne autour des mathématiques, comme dans L'homme qui défiait l'infini, où le film traite le statut de la preuve en mathématiques, en faisant s'affronter le point de vue de deux mathématiciens, Ramanujan et Hardy. Enfin, les films de catégorie 5, ce sont les films où tout est mathématique, de l'intrigue qui doit parler mathématiques jusqu'aux personnages qui sont des concepts mathématiques. Un seul exemple à ma connaissance, les adaptations animées du film Flatland. Bref, aujourd'hui, c'est un épisode hors-série du show Romsiny Club, puisque je vais très envie de discuter d'une scène d'une série de catégorie 2, la série Squid Game. Pour les deux trois qui sont passés à côté, Squid Game est une série sud-coréenne sortie sur Netflix à la rentrée de 2021 et au pitch, assez simple. 456 candidats participent à des jeux pour enfants comme Un de Trois Soleil, mais où l'élimination est synonyme de mort. Un seul objectif alors, survivre à la série de six jeux, afin d'empocher les milliards de wones promis aux vainqueurs. Lorsque j'ai découvert la série 6 mois après tout le monde, une scène du 7ème épisode m'a particulièrement intéressée. J'aurais pu me contenter d'en faire un simple trait Twitter, mais pourquoi ne pas en faire une petite vidéo sans prétention ? A partir de maintenant, je vais complètement spoiler la série, soyez prévenu. Dans le 7ème épisode de la saison 1, on découvre le 5ème jeu, une variante spectaculaire du jeu des pierres de gai. Un pont est formé de 18 pairs de plaques de verre. Chaque pair est constitué d'une plaque de verre trempée, capable de supporter le poids de deux personnes, tandis que l'autre se brisera dès que quelqu'un tentera de sauter dessus. On ne sait bien sûr pas laquelle est laquelle, et on suppose qu'elles ont tout été placées au hasard. Seule la chance permettra la victoire. Les 16 participants encore vivant après les 7 premiers épisodes doivent alors franchir ce pont les uns après les autres. Combien vont arriver jusqu'au bout ? La question en fait appel aux probabilités, et ça, ça m'intéresse. L'ordre de passage est imposé, tant pis pour le premier qui doit donc se lancer. Quelle est alors sa probabilité de parvenir vivant jusqu'au bout du pont ? Pour le premier saut, il a une chance sur deux de sauter sur la plateforme fragile, et c'est la chute, échec donc. Sinon, il a une chance sur deux de sauter sur la plateforme solide. S'il choisit cette bonne plateforme, il aura à nouveau les mêmes probabilités pour la plateforme suivante. 50% de chance de tomber et 50% de chance de survivre. La probabilité de survivre après deux plateformes est donc de 1,5 x 1,5 soit une chance sur quatre. En poursuivant le raisonnement, on peut déterminer la probabilité de survivre aux 18 plateformes. 1,5 x 1,5 x 1,5 etc. soit 1,5 à la puissance 18. Notre malheureux candidat numéro 1 a donc une chance sur 262 144. C'est très peu. Et bien sûr, il se trompe. C'était sûr à 99,9996%. En l'occurrence, après avoir franchi la première plateforme, il tombe sur la deuxième. Ça fait alors deux bonnes plaques de révéler pour la joueuse suivante, la numéro 2 qui s'élance alors. Elle n'a aucun mal à atteindre la plaque numéro 2, puisque c'est une joueuse rationnelle qui a retenu la première bonne plaque. Il lui reste donc 16 plateformes à traverser. La probabilité d'atteindre son but est donc de 1,2 à la puissance 16, soit 1,65,536. C'est mieux que pour le premier joueur, mais ça reste très peu. Cette probabilité de 1 sur 2 puissance 16 n'a lieu que lorsque le joueur numéro 1 tombe à la plaque numéro 2, ce qui n'avait qu'une chance sur 4 de se produire. La probabilité de l'événement. Le candidat numéro 1 tombe à la deuxième plaque puis la candidate numéro 2 franchit le pont, et donc de 1,5 puissance 16, c'est-à-dire 1 sur 2 puissance 18. Mais dans un monde parallèle, le candidat numéro 1 aurait pu tomber à la plaque numéro 3, ce qui a une probabilité de 1,5 puissance 3, c'est-à-dire 1 sur 8. Il ne serait resté alors que 15 plateformes à franchir pour la deuxième candidate, ce qu'elle réussira avec une probate de 1 sur 2 puissance 15. L'enchaînement de ces deux événements a donc une probabilité de 1 sur 2 au cube fois 1 sur 2 puissance 15, c'est-à-dire 1 sur 2 puissance 18. De manière générale, l'enchaînement, le candidat numéro 1 tombe à la plaque X, puis la candidate numéro 2 franchit les plaques restantes et toujours la même. 1 sur 2 puissance 18. Avant que le candidat numéro 1 ne se lance, la numéro 2 peut alors se faire le raisonnement suivant. Il y a pour elle 19 scénarios où elle ne meurt pas, 18 où le candidat numéro 1 tombe et 1 où les deux sont sauvés. Chacun de ces scénarios a la même probabilité de 1 sur 2 puissance 18. Notre candidate numéro 2 a donc 19 chances sur 2 puissance 18, soit approximativement pas beaucoup. On est sur une probabilité de 0,007%. La bonne question que chaque candidat doit se poser pour estimer sa probabilité de survie avant que le jeu ne commence, c'est donc de déterminer le nombre de scénarios qui lui seraient favorables. Le premier candidat n'en avait qu'un seul d'où une chance sur 2 puissance 18 de gagner, et la deuxième candidate avait 19 scénarios favorables d'où 19 chances sur 2 puissance 18. Qu'en est-il du troisième ? Il y a déjà les 19 possibilités où au moins l'un des deux premiers candidats a survécu. Il faut alors compter soigneusement le nombre de scénarios où les deux se plantent tous les deux. Et pour faire ça, un outil combinatoire est parfaitement adapté, les combinaisons. Quand on dispose d'un ensemble de n éléments, le nombre de façon différente de prendre qu'un élément parmi ces n possibilités est appelé k parmi n. Ça se note verticalement entre deux parenthèses, et ce nombre peut se calculer à l'aide d'une formule aussi pratique élégante que j'ai détaillé un peu plus dans ma vidéo sur les nombres de cas talants. Si par exemple j'ai un ensemble de 18 plaques de verre, le nombre de façon de choisir deux plaques parmi ces 18 est donc de 2 parmi 18, ce qui est égal à 153. Ce nombre, c'est donc très précisément le nombre de scénarios différents où les deux premiers candidats vont tous les deux tomber. Un tel scénario est en effet uniquement défini par les deux plaques qui céderont sous le poids des deux malheureux candidats. Il y a donc un seul scénario où personne ne tombe, 18 ou seul le candidat numéro 1 tombe et 153 où les deux premiers candidats tombent. Pour le candidat numéro 3, c'est donc 1 plus 18 plus 153 soit 172 scénarios de probabilité 1 demi à la puissance 18 où il survit. La victoire lui est donc assurée avec une probabilité de 172 sur 2 puissance 18 soit toujours trop peu pour ne pas perdre immédiatement espoir, à peine 0,06%. On peut alors généraliser tous ces calculs. Pour le candidat numéro n, sa probabilité de s'en sortir est donnée par la somme 1 plus 18 plus 153 plus etc. jusqu'à n-1 parmi 18. Le tout sur 2 puissance 18. On peut donc calculer que le candidat numéro 4 aura 0,38% de chance de s'en sortir, la numéro 5 à peine 1,5%, le candidat numéro 6 quelques 4,8% et ainsi de suite. Les probabilités deviennent favorables à partir du 10e candidat qui dépasse les 50% et le 13e candidat et les suivants ont toutes les chances de leur côté avec plus de 95% de chance de survie. Bref, si tous les candidats sont parfaitement rationnels et choisissent les plateformes inconnues au hasard, sur les 16 candidats en ligne de départ, seuls les 4 ou 5 derniers ont de très bonne chance de remporter les preuves. C'est un résultat qui ne prend cependant pas en compte le candidat qui ne retient pas les plaques sur lequel il faut traverser ou celui qui est capable de différencier à l'œil nu, un verre trempé, d'un verre normal. On peut même se permettre de pousser un peu plus loin les calculs en déterminant les probabilités d'avoir aucun gagnant, d'en avoir exactement 1, exactement 2, exactement 3 etc. Cela permet alors de calculer que l'espérance du nombre de survivants, c'est-à-dire le nombre moyen de survivants auquel on peut s'attendre en répétant le jeu, est de environ 7. Un résultat pas vraiment étonnant si on réfléchit avec un peu de recul. Puisque chaque plateforme a une chance sur 2 d'éliminer un candidat, alors on peut s'attendre à ce que la moitié des 18 plaques piégés fassent des éliminations. Avec 16 candidats au départ, on peut s'attendre donc à n'en retrouver que 16 mois neuf, c'est-à-dire 7 à la fin. Bref, un problème en soi, pas extrêmement difficile, qui ne va pas révolutionner les mathématiques contemporaines, et dont la résolution n'a rien de particulièrement incroyable. Mais alors, pourquoi en parler en vidéo, alors qu'on attend toujours un épisode sur des sujets plus palpitants comme des problèmes du millénaire ou les mathématiques dans Spider-Man ? D'autant que la hype autour de Squid Game est complètement passée, ça ne valait vraiment pas le coup de s'embêter à écrire, enregistrer et monter une vidéo comme celle-ci. Et pourtant si. Parce que les maths, c'est aussi ça. Un petit problème qui m'a accompagné plusieurs jours, qui m'a fait noircir pas mal de brouillons pour trouver la bonne façon de l'aborder, la modélisation qui rend tous les calculs super simples. Faut-il s'intéresser plutôt au nombre de survivants, au nombre de chutes ou au nombre de plateformes restantes ? Est-ce que ça vaut la peine de partir tout de suite sur N-participants, sur un pont de S-platformes, pour partir sur une récurrence ? Mais ça fait plein de variables du coup, c'est pénible. Ou alors je vais me contenter de réfléchir au problème initial et je généraliserai plus tard. Je modélise ça avec un arbre, ou un schéma du pont va suffire. Oh mais on peut utiliser du cas parmi N. Ah mais c'est simplement une bête loibi-nomiale en fait. Ah non, pas exactement, ah oui mais si quand même en fait un peu. Bref, à force de réfléchir au problème de façon éparse pendant des temps de pause dans la journée, on finit par trouver. D'abord une formule inutilement compliquée, et puis on creuse encore, et tout se dénoue. On trouve une formule assez simple avec un raisonnement pas trop compliqué non plus. Ça marche très bien, ça rend tous les calculs trivials satisfactions. C'était super facile en fait. À bien réfléchir, j'aurais pu trouver ça tout de suite, j'aurais dû trouver ça tout de suite si j'avais pris le problème dès le début dans le bon sens. Parce que à chaque fois que je me plonge dans ce genre de problème, ma conclusion est toujours la même, c'était facile en fait. Pour arriver à mes conclusions, j'aurais pu me contenter de lire les nombreux articles rédigés sur le sujet, ou même d'autres vidéos qui en ont parlé, mais non, c'est de la triche. Je suis quand même capable de trouver tout seul. Bref, je ne voulais pas vraiment parler de ce battle royal coréen, d'autres vidéos le font bien mieux que moi. Je ne voulais pas spécialement parler de probabilités non plus, il y aurait des choses bien plus passionnantes à raconter. Je voulais juste évoquer ce sentiment de satisfaction que l'on peut ressentir à résoudre un problème qui a monopolisé son cerveau pendant plusieurs journées. J'ai l'impression que c'est ce même sentiment qui réunit aussi bien le mathématicien professionnel qui résout le problème de l'amortissement lendo que le lycéen qui s'investit dans la résolution de son problème kangourou. Un état de grâce mathématique propre à cette discipline. Avec du recul, il semble que réfléchir sur le problème de Squid Game, c'était mieux que Squid Game.