 اسلام علیکم آپ سے پھر ملاقات ہوتی ہے کالکلس لیکچر نمبر 10 کے ساتھ ہم شروع کرتے ہیں لیکچر ابھی میں جب آ رہا تھا اس دفعہ بلکہ میرے سفر جتا سلام آباس سے لہور کا اچھا گزرہ تو اپنی لیکچر بھی اچھا گزرہ گا کیونکہ اس دفعہ ٹائمنگ بیلٹ نہیں ٹوٹی تھی اس کے لیے بھی ہوا کہ جب میں آ رہا تھا راستے میں تو بارے شروع ہو گئی بلکہ سلام آباس سے لیکے لہور تک بادلی چھائے ہوئے تھے پھر جب میں لہور میں داخل ہوا تو پتہ چلا کہ یہاں تو بارےش ہو رہیے اور یہ بھی سنا کہ جی کافی عرصے بعد ہوا یہ بارےش تو مجھے تھوڑا اچھا محسوس ہوا کہ بھئی ٹی کے از دفعہ سفر بھی اچھا گزرہ ٹائمنگ بلٹ بیلٹ نہیں ٹوٹی اور کوئی مسئلہ بھی نہیں ہوا اور ساتھ میں بارےش بھی ہو گئی تو میرے خالصی لیکچر بھی ٹھیک تھا گزرے گا میرا موڈ زر اچھا ہوا ہے تو آن شروع کرتے ہیں لیکچر اچھا جی تو آج کا لیکچر ہے بیسکلی لیمٹس کی بارے میں ہے پہلے ہم پچھلے لیکچر میں دیکھ چکے ہیں کہ لیمٹس کیا ہوتے ہیں ان کا ہم نے جو پہلے تو دفعین کیا تھا پھر ایک گرافکل ویو دیکھا تھا بیسکلی ہم نے پچھلے لیکچر میں ہم نے گرافز دیکھے فنکشنز کے اور ان گرافز کو دیکھتے بھی ہم نے کچھ لیمٹس معلوم کیئے تھا یعنی انٹویٹسی اپروش تھی کہ جی آپ کوئی خاص ماتھمیٹکلی ابھی تک تو ہم نے لیمٹ کو بھی دفعین نہیں کیا وہ بھی اگلے لیکچر میں کریں گے لیکن پچھل لیکچر میں بلکل نہیں کیا تھا انٹویٹف اپروش تھی اس لیکچر میں بھی انٹویٹف اپروش ہی سمال کرتے ہوئے ہم بیسکلی کمپیٹشنل پروسس نکالیں گے کچھ بیسک فنکشنز جو ان کا لیمٹ معلوم کرنے کا یعنی انکو لیمٹ کمپیٹ کرنے کا ایک طریقہ بنائیں گے بیسکلی اور اگن انٹویٹف اندر سنس کے تھوڑا انفارمل سا ہوگا کوئی خاص ہے بھی دیوٹی پروس نہیں ہوں گے مطивیشنز ہوں گی بغیرہ بغیرہ جو پروپر لیمٹ کی دیفنیشن ہے ابھی تک جو ہم نے دفعین نہیں کیے مثمیٹکل دیفنیشن وہ ہم اگلے لیکچر میں دیکھیں گے اور پھر اس کے بعد تھوڑا سا اور فارمل ہو جائیں گے کہ ہم دیکھیں گے کہ لیمٹ کا اصل مقصد کیا ہوتا ہے اور زادہ اس کے اندر کیا ٹیکنیکالتیز ہوتی ہیں جن کو اویٹ کرنا چاہیے تو آج کے لیکچر میں جو ہم طوپکس دسکس کریں گے ان کو سکرین پر دیکھتے ہیں کیا ہیں وہ آج کے طوپکس ہیں جناب بیسکلی اس لیکچر will focus on algebraic techniques for finding limits the results as i said before will be intuitive proofs will come later after we define the idea of limit mathematically and apart from that we will see how to use limits of some basic functions to compute the limits of complicated functions this last thing we have seen on the screen this is the basic idea of this lecture i.e. the basic functions for example y equals x y equals f of x equals x this is a very basic function we will look at its limit in detail when we look at it we will use the limits of other complicated functions to know its limits and it will be very easy for us now let's start the lecture now let's start the lecture we will look at two functions which we will consider i.e. the first one y equals f of x equals x i.e. the straight line the most basic function is a constant function i.e. g of x equals k let's see on the screen these are the functions f of x equals k this is the constant function and the other function is g of x equals x the straight line through the origin i.e. i reversed this i said before g of x equals k this is a little confusion but what we have on the screen is how we will define it now it's just a name these two functions I will write some things on the screen in the form of a table let's talk about that let's see on the screen you have a table it has the limits of the constant function as x approaches a some number and we have to see the limit of the constant function as x approaches positive infinity and the third case is the limit as x goes to minus infinity of the constant function k here are some examples i.e. if I give a number for example 3 there are some limits on the screen we are seeing what basically happens when you take compute the limit I am assuming that x is approaching to from the left and the right or limit does exist similarly another function x i.e. the function we have seen a straight line function this limit as x goes to a i.e. in the table i.e. the limit as x goes to a of the constant function then that just comes out to be a or x goes to positive infinity of x is just positive infinity and the limit as x goes to minus infinity of x is equal to minus infinity these are the things i have seen in the table i.e. I have put a number instead of x i.e. I have put a number and then I have computed the limit that was on the table also this is the basic information this is like building blocks like in number theory you know that prime numbers they basically make up the whole all the properties of real numbers actually of integers can be described in terms of prime numbers i.e. prime numbers those are building blocks of integers similarly here we are talking about the limits so here we will see the limits of the functions so let's move on look at one more thing on the screen this is the table some pictures are also associated with this table let me put this on the screen with the table this will help you get an idea to what's happening look at the figure we have computed the limits in the table i.e. for the function k f of x equals k so the graphical interpretation is on the screen similarly the second function g of x equals x the limits computed are also graphical interpretation you can understand it will help you understand what is happening and I think it's pretty straight forward nothing too formal going on in this case this is the basic limits we saw in the tables what we are trying to talk about and then look at the graphs as I said before we will use them because we will know the limits of the functions before we start the whole process you have a gift I am giving you a gift it's a theorem so obviously that's the best gift a mathematician can give it's a theorem so here it comes to you on the screen this is theorem 2.5.1 it's a theorem let limits stand for one of the limits i.e. limb LIM will use for limit as x goes to a x goes to a from the negative side or from the positive side we can also use the same LIM for limit as x goes to positive infinity or as x goes to minus infinity so it could LIM could mean any one of those i.e. جو بیم تیرمہ بھی دیکھیں گے it will use the abbreviation LIM and it can represent any of these five limits that we just talked about now here it says that L1 is the limit of the function f of x and L2 is the limit of G of x and we assume that they both exist then in that case we can say the following limit as f limit of the sum of the functions f of x and G of x is equal to the sum of the limits of f of x and G of x which basically means L1 plus L2 before we go on the next part of the theorem this is basically the same concept in mathematics as you saw in the earlier lecture the first lecture when lecture number 2 was where I talked about absolute value you must remember that I said that if there are two real numbers a and b but it just came out to be the product of the absolute values of the individual numbers so this concept is quite interesting you will see it again and again in mathematics definitely in calculus so here you can see that the limit of the sum of two functions is the same as the limit as the sum of the limits of the individual functions which is basically L1 plus L2 so this is the same concept let's see the next part of the theorem next part is the product be our the product let's see the difference the difference of two functions f of x and G of x is equal to the difference of the limits of each individual function and that happens to be just L1 minus L2 part 3 part c if you have a product of two functions it will be the limit of the the product of the limits in this case turns out to be L1 times L2 similarly quotient کے بارے میں بھی کچھ کہہ سکتے ہیں i.e division of two functions if you take the limit of the division of two functions well that turns out to be the limit the division of the limits of individual functions namely L1 divided by L2 and as usual stipulation is that L2 will not be equal to zero last thing is that we have seen in absolute value if you take the limit of the nth root nth root of a function f of x well that's just the nth root of the limit of the function which turns out to be the nth root of L1 provided that L1 is bigger than or equal to zero this theorem we have seen a very important theorem we will use it we will use this theorem and the tables we saw earlier if you take the limit of the functions we will use them we will again the other complicated functions we will know the limits if you summarize this you can basically say that the theorem has said the limit of the sum of two functions is the sum of the limits of the individual functions if you add the difference it is still valid that was part 2 of the theorem if you take the limit of the product of two functions that's just equal to the product of the limits of the two functions and in the division there was a case in the division that the bottom limit L2 which we were saying can't be equal to zero otherwise you have division by zero and similarly the last part if you are taking the function and take the limit and take the limit sign into the nth root take the limit and take the nth root of the number L1 but obviously it is the same thing because we are talking about the nth root so if you remember that if n is even so basically you are taking n is actually if for example one half comes so there is a problem in this that you can't take the negative square root of a negative number so actually in general if you are taking even number nth root it is one over n so you can't take that so therefore the stipulation is that if you are taking one over n power or even so it better be that the number the limit that you have L1 must be bigger than equal to zero this is your theorem let's move on جو ہم نے دیکھا تھیرمہ بھی اس میں دو function involved f of x or g of x اس کو generalize بھی کر سکتے ہیں you can have n many functions could be 19 functions for example مقصد کہانے کہ یہ ہے کہ جو sum کی بات کی تھی ہم نے کہ the limit of the sum of two functions is the sum of the individual limits اس کو آپ generalize کر سکتے ہیں and you can write this as the limit of some of the limit of each of those n functions اس کو سکتین پہ لکھ لیتے ہیں تھوڑا سکلیر ہو جائے گا یہاں یہاں پہ جیسے میں نے لکھا ہے کہ پارٹ ایجو تھا اس کو آپ جنرلائس کر سکتے ہیں as the limit of the functions f subscript 1 of x plus f subscript 2 of x plus dot dot dot یعنی اس کے بیش میں بہت سارے functions ہیں all the way to the function f subscript n of x اس کو آپ لکھ سکتے ہیں this is going to be equal to limit of the first function limit f subscript 1 of x یعنی limit f 1 of x plus limit f 2 of x and so forth all the way to limit f subscript n of x تو یہ تو جنرلائیزیشن ہو گئی آپ کے پاس اس کی سم کی رول کی جو تھیورم تھا اس کا پارٹ ایجو تھا اسی طرح سے آپ difference کو بھی جنرلائس کر سکتے ہیں obviously اگر سم کے لیے ہو رہا ہے تو difference کے لیے بھی ہوگا product کے لیے بھی کر سکتے ہیں let's go back to the screen یہاں پہ آپ لکھ سکتے ہیں کہ جیسی the limit of the product of n functions f 1 x times f 2 x times all the way to f n x is going to equal to the limit of f 1 x times the limit of f 2 of x and so forth product all the way to limit تو یہ product جی ہوگا limit of the product you can write that as it's going to equal to the limit of the function f 1 of x product with the limit of the function f 2 of x and all the way the product goes all the way to the limit of the function f of n I'm sorry f subscript n of x تو یہ آپ کا product رول ہو گیا ایک چیز اور کہ اگر اسی چیز میں یہاں ایسی example میں اگر آپ سارے جو function جن کو ایک label کر دیں بیسیکل کہنے کا مقصد یہ کہ f 1 equals f 2 equals all the way to the function f subscript n یعنی سب اگر برابر کہیں تو آپ کا limit جہاں وہ بن جاتا ہے limit of f of x to the power n یعنی یہاں پے f 1 کو بھی بلکے اگر f کا نام دے دیں تو آپ کے پاس آجاتا ہے یعنی سارے function سے دیفرن وہ برابر ہیں f کے تو آپ کا اس n power آجاتی ہے f کی جس طرح بہت سارے نمبر کا product لیں 2 times 2 times 2 to the power 3 ہوتا ہے اسی طرح f times f times f all the way to the nth number will give you the nth power of f of x that's just going to equal to limit of f of x to the power n یعنی آپ بیسکلی limit کو اندر موف کر لیجے take the limit of the function and raise that result to the power n تو ابھی تاکی کافی abstract rules ہیں ابھی ان کو دیکھتے ہیں تھوڑا سکے کیسے استعمال کرتے ہیں ابھی تاکشت تھوڑا سمجھنا رہاو at least there's some nice technical things to memorize جو کرنی چاہیں but when we do examples then understanding will also come اب یہ جو last ہم نے ابھی دیکھا تھا rule جس میں ہم نے f of x to the power n تھی اور اس کا لیمٹ لیا تھا اور پھر لیمٹ موف کر کیا اندر پہلے لیمٹ لیا اور پھر result کی power لی اس کو ہم سمال کر سکتے ہیں ایک بہتی بیسک function کا limit معلوم کرنے میں یعنی اگر function ہے میرے پاس f of x equals x to the power n n could be any number and I want to take the limit of this function as x goes to some number a and after right سے limit exist کرتے تو میں صرف کہا رہوں کہ limit as x goes to a of the function x to the power n تو اس روگ اسمال کرتے بات ہے کہ I can first take the limit inside یعنی n کی power میں بحال لیا جاتا ہوں limit پہلے لیتا ہوں of the function x only وہ ہم دیکھ چکیں پہلے تیبل میں دیکھا تھا کہ اس کا limit کیا ہو گا as goes to a just turns out to ان کا ن Anyway which is and and the result turn out to be A to the power n تو اس کو سکرین پر دیکھ لیٹے ہیں I think it will become more clear یہاں پہلےکڑھائی جناب limiting as x goes to a of the function x to the power n well that happens to equal to well not just happens but it is going to be equal to by the rule which is saw limit as x goes to a of اگر میں n کو بحاج لے جاتا ہوں تو میرے پاس آجاتا ہے لیمٹ از x گوزٹو a of x وہ ہم نے دیکھا تھا بھی پہلے ٹیبل میں کہ that's just going to be a اور چونکہ یہ result a آگیا ہے it's a number and I'm taking the power n of it so the result just turns out to be a to the power n اس کو ہم استعمال کریں گے اس equation کو آگے چلکے تو اس کو ایک نام دیتے ہیں capital a کا تو اس کو پھر بعد میں استعمال کریں گے اچھا یہ تو ہوگی ایک چیز اب آپ کے پاس یعنی بیسیک لیے آپ already نوٹ کر لیجے کہ ہم نے بیسک فنکشن f of x equals x کو استعمال کرتے ہوئے ایک زرہ سے بہر کمپلکیٹ فنکشن کو اویلیوٹ کر لیے اور کچھ بیچ میں تھیوروم کا بھی استعمال کیا تھا ہم نے ظاہر ہے تو اب ہمارے پاس یہ آگیا ہے لیمٹ x to the power n کا یہ ہم آگے استعمال کریں گے ایک اور چیز یہاں پر بڑی کام کی ہم بتا سکتے ہیں let's go to the screen یہاں پہ یہ ہے part c جو تھا تھیوروم کا اس میں دیکھئے کہ اگر ہم f of x کو constant نمبر لیلے لیتے ہیں k where k is a constant it's just some number basically constant سے مراد ہوتی ہے نمبر تو اب میں کہہ سکتا ہوں کہ part c کے تھیوروم کے part c میں جو ہمارے پاس تھا limit of the product of f of x in g of x تو اب وہ بن جائے گا basically the limit of the product of the number k and the function g of x well according to the rules it's going to equal limit of the constant k multiplied by the limit of the function g of x اچھا بھی آد ہے آپ کو ٹیبل میں نہیں دیکھا تھا کہ limit of a constant no matter what x approach is is always that number itself k لہذا I just get k times the limit of g of x اچھا یہ بھی بہت ہے اس کو ہم لیبل کر لیتے ہیں اس کپٹل بی اس کو بھی استعمال کریں گے آگے یہاں پہ مخصد کیا ہوا اس کا equation کا بیسکل جو ابھی ہم نے کیا اس لہذا کہانے کا مخصد یہ کہ جو constants ہوتے ہیں اگر آپ limit لے رہے ہیں کسی function کا او function constant سے ملٹپلہ ہو رہا ہے you can pull out the constant move in the limit and do your work basically and at the end when you have the limit multiplied by the constant that you pulled out polynomial کی بات کرتے ہیں any functions ہم نے جب بات کی تھی functions کی تو ایک خاص کسم کی function ہوتے ہیں polynomials تو ان کا limit کیسے لیتے ہیں let's talk about that how do we take the limits of polynomials let's go to the screen and let me write down first of all what a polynomial is polynomial functions out of the form f of x equals b subscript n x to the power n plus b subscript n minus 1 times x to the power n minus 1 plus ڈاڈ ڈاڈ ڈاڈ یعنی بیش میں بہو ساری terms آئیں گی all the way to the term b subscript 1 times x plus the plus b sub 0 یہاں پر کیا کیا ہے یعنی بی سپ جو میں نے b subscript n لکھے میں اور n minus one all the way to b subscript 0 یہ کیا چیز ہے these are the constant numbers یہ جو ایک ریل نمبرز ہیں اور جو ایک سیز ہیں وہ بیسیکلی ویریبرز ہیں these are just ویریبرل well it's just the same variable basically x a race to different powers تو یہ بیسیکلی آپ کا پولنویل ہوتا ہے this is exactly anything that looks like this is going to be a polynomial اگر کونکریٹ اگر میں آپ کو دون تو میں کہوں گا کہ مثال کی طور پر let's look at the function h of x equals 2 x square plus 3 x plus one ڈیکی جی constants ہیں اس کے اندر یعنی two three one جتے وہ constant terms see x بھی ہیں involved اور اس کی various powers ہیں power to ہے power one ہے اور جو last number ہے one constant اگر آپ ریلی سوچیں اس کے بارے میں تو one کی جو ساتھ x کی power ہے وہ zero ہے اگر آپ کو بیسیک رول یاد ہوا ایل جیبرہ سے any number to the power zero or any variable for that matter to the power zero is always one تو لہذا مسکل لکھتے نہیں یعنی جیسیم نے original form میں دیکھتا بھی subscript zero by itself لکھا ہوا تھا اس میں کوئی x نہیں تھا well really there was an x with a power zero on it تو we don't write it it's always equal to one تو یہ آپ کے polynomials ہوتے ہیں اب ان کا limit کیسے معلوم کریں گے اس میں مجھے باتی ہے کہ polynomials are very nice functions تو جب limits لیتے ہیں تو کچھ life اسان ہوتی ہے life becomes easy that's why we are focusing on it so let's go to the screen and see if we can find we can talk about you know finding limits of polynomials تو اس میں دیکھتے ہیں کہ اب یہاں پہ میں معلوم کرنا چاہ رہا ہوں the limit as x goes to 5 of the polynomial x square minus 4x plus 3 تو یہ x square minus 4x plus 3 جو ہے this is a polynomial it satisfies the definition we put on the screen in the previous screen and we want to find the limit of that as x goes to 5 اچھا بھی یہاں پہ دیکھیں کہ pluss or minuss is involved اے اور individually اگر آپ دیکھیں گے جو x square ہے 4x ہے اور 3 ہے these are basically individual functions added to gather and subtracted to you know from each other تو یہ پولنویلس کی نشانی ہے تو ایک طرح سے کہ جو پولنویلس ہوتے ہیں وہ بیسک powers of x's can the plus or minus ہوری ہوتی ہیں تو these are different functions تو آپ جو limit ہے using part a of the theorem and part b also you can apply that here and see that you can read out this equation as the limit as x goes to 5 of the function x square from that subtract the limit as x goes to 5 of the function 4x and to that you add the limit as x goes to 5 of the function 3 this is basically by a theorem 2.5 point 1 part a اچھا بھی یہاں پہلی چیز جو وہ ایسی رہی گی next line میں limit as x goes to 5 of the function x square next جو تھا 4x اس میں میں یہ کر سکتا ہوں کہ 4 چونکہ کنسٹنٹ ہے really in a sense اگر آپ 4x کو دیکھیں تو you're basically looking at the multiplication or product of 2 functions 4 and x تو یہاں پہلے پہلے 4 کو آپ پولاوٹ کر لیجے لیمٹ کے through and take the limit of the function x by itself یہ میں equation b استعمال کر رہا ہوں جو تھوڑی دیر پہلے میں نے لے بل کی تھی ایک rule دیکھا تھا ہم نے وہ ہے یہ اور similarly جو last آلہ تھا وہ سب سے کنسٹنٹر ہو بھی سی رہ گا اب equation a جو ہم نے دیکھتی جہاں پہ ہم نے دیکھا تھا کہ اگر x کی power n ہے اور اس کا بل کی لیمٹ لیتے ہیں as x goes to a well that turned out to be just a to the power n وہ میں یہاں پلائے کرتا ہوں تو result آتا ہے 5 to the power 2 minus 4 times 5 plus 3 equals 8 تو یہ جناب آپ کی پہلی اگزام پل ہو گئی limits of of polynomials کی اچھا جی تو یہ ایک سمپل ہم نے دیکھ لی تھوڑی سی motivation ہو گئی about polynomials and taking their limits اب ایک تھیورم آرہ آپ کی طرف کافی importance ڈیرام ہے تھیورم یہ کہ بیسکتی جو پولانو میلز ہوتے ہیں وہ میں ایک تھوڑی دے پہلے گاتا پر special functions ہوتے ہیں اور بہت اچھے well behave functions کل آتے ہیں well technically mathematics میں well behave function کی کچھ بہت بڑی سیک definition ہوتی ہے میں صرف اس لہاں سے کہا رہا ہوں کہ یہ بڑے اچھے بیارے بچوں کی طرح کے functions ہوتے ہیں اور they actually are they behave nicely تو ان میں سے اسی ایک nice behavior کی example ابھی آپ کے سامنے میں ایک سکین پر لکھوں گا وہ مخصت کہنے کہ یہ کہ آپ جب جینی اس میں وہ آپ کو بیسکلی بتائے گا کہ limit of a polynomial لینا بڑا سان ہوتا ہے let's see what this is all about a سیورم ہے یہ بیسکلی and which جو ہم ابھی پروف کرتے ہیں اس کو سیورم ہے جناب کے if you take the limit of a polynomial let's call that p of x as x goes to a well that's just going to be our p of x کی value ہم کو رکھ دیتے ہیں we can call it some polynomial ہم کہیں گے کہ p of x is equal to c subscript zero plus c one x plus all the way to c and x to the power n اب ہم لیتے ہیں limit as x goes to a of p of x that's going to equal to the limit as x goes to a of that whole definition جو اس کی ہے پرانویل کی اب اس کو اگر ہم break کریں by using the rules we just saw what do we get we get limit as x goes to a of the constant number c sub zero plus the limit as x goes to a of c one x plus dot dot dot all the way and in between اس کے کچھ terms آتی ہیں all the way to the last term which is c and x to the power n اس کا بھی limit لے لی جے as x goes to a اب ہم basically apply کر گتے ہیں rules جو ابھی تک ہم نے دیکھیں پہلی ٹرم میں تو دیکھیں کہ limit of a constant number is just that constant number تو آپ کا وہی اس کا لیمت آجائے گا c sub zero باقی جتنی بھی ٹرم سن جن میں c's اور x is involved ان میں سے ہم c کو pull out کر سکتے ہیں from the limit and we basically in this case جیسے پہلی example جو ہے پہلی ٹرم جو اس میں آئے گا ہمارے پاس ازرل c one times the limit as x goes to a of x or plus all the way to the last term اور اس کے اس طرح کی جو چیزیں ہیں ان کا لیمت ہم لینا آتا ہے یہ پشلی example میں دیکھا تھا تو لہاں ذہاں آگا آپ کے پاس c subscript zero یعنی the first limit plus the limit of the next term which is c one a plus dot dot all the way to c n a to the n لیکن نوٹ کیجئے کہ this is the same thing as the polynomial evaluated at the number a تک جی we all know how to evaluate the polynomials I mean we all know how to evaluate functions right any f of x equals کوئی ایکویشن ہو تو میں کوئی بھی نمبر دالوں گا اگر x میں left-hand side پے وہ نمبر right-hand side پے بھی دالنا ہوگا that's exactly what I did here well that's exactly the rule the the thinking I used to say something at the end یعنی بیسیکل اس تھیران کا مخصد یہ تھا کے to find the limit of polynomials is very easy اگر آپ کو کوئی لیمت معلوم کرنا ہے as x goes to a number a then all you do is you plug in that number into the polynomial and evaluate and you get your answer چیک جی let's move on اچھا جی تو ابھی تک کچھ دیکھے لیمٹ سمنے polynomials کو تو ہم نے دیکھ لیے کیسے معلوم کرتے ہیں تھیورم بھی دیکھ لیا کہ جی in general limits کیسے معلوم ہوتے ہیں بھیحف کرتے ہیں when you take sums and products and so forth آپ توہیسا اور سپسفک ہو جاتے ہیں you just evaluate the limit evaluate the polynomial at the number that you're taking the limit یا سرنا کہ لیں کہ you evaluate the polynomial at the number to which x is going to in the limit چیک جی اب آگے چلتے ہیں دیکھتے ہیں کہ اور کوئی فنکشن بیسیک تاپ کا ہو اس کو استعمال کر سکتے ہیں ایک فنکشن ہوتا ہے جس کو ہم پہلے گرافیکل بھی طریقے سے دیکھ چکیں f of x equals one divided by x اس کا کچھ تھوہ سا بات چیت کرتے ہیں کہ اس کے لیمٹس کو کیسے کمپیوت کر سکتے ہیں let's put it on the screen اب لیمٹس جو آپ دیکھنا چاہتے ہیں well we want to find the well we want to basically look at the limits involving the function one over x so first of all let's look at the function of the graph look at the graph of the function f of x equals one over x here's a graph right here basically تو اس میں گراف میں دیکھئے کہ we can basically look at the graph and say something about some limits of this function basically یہ اس کے لائے آپ ایک table بھی ملک دیتا ہوں جس میں کچھ values ڈال دیتے ہیں as of one over x as x takes on some certain values تو اس کو دیکھئے کہ first of all using the graph that I just put on the screen and the table we can say some things basically we can say that as x goes to zero from the positive side of the function f of one over x is going to be just positive infinity اس کے لہاں ہم کہہ سکتے ہیں کہ limit as x goes to zero from the left hand side of the function one over x is going to be negative infinity تو یہ تو آپ کا ہو گیا کہ جب آپ zero approach کر رہے ہیں نوٹ کی جیے کہ from the right as you approach zero from the right and the left the resulting limits are different so really the limit as x goes to zero does not exist ٹھیک ہے جس کی بات ہم نے پہلے پیشل لیکچر میں کی تھی اب ہم دیکھتے ہیں کہ limit of one over x as x approaches positive infinity تو گراف سے اور table سے ظاہر ہوتا ہے کہ this should just equal to zero اور سمجھرلی جب آپ limit لیتے ہیں as x goes to minus infinity of the same function one over x تو result بھی یہاں پہ بھی آتا ہے zero تو یہ بیسکل اس کی کچھ آپ نے behavior study کیا اس function کا تو یہ تو ہم نے دیکھا ہے اس کا behavior of the function one over x as you took limits where limit was approaching zero any particularly numbers دیکھیں آپ نے zero پہ کیسے اپروچ کرتے ہیں تو کیسے بھیف کرتا ہے اس کا limit from the left and the right similarly جب infinity کو اپروچ کرتے ہیں positive infinity کو یا negative infinity کو تو limit میں کیا ہوتا ہے one over x کے وہ بھی ہم نے دیکھا اب مخصدی کہنا ہے کہ تھوڑا اس کو generalize کرتے ہیں let's look at the function g of x equals one divided by x minus a اس کو ابھی سکرین پہلکتا ہوں ہے لیکن تھوڑا اسے کہہ دوں کہ آپ خود بھی سوچی ہے کہ جب ہم a translation کی بات کی تھی functions کی right اگر آپ کو یاد ہوگا ہونا چاہیے تو یہ جب ابھی میں نے a function جو بولا one over x minus a this is basically a translation it's a translation of the function one over x جو ابھی تھوڑے پہلے میں دیکھا تھا by a units right تو یعنی basically جب اگر ہم اس کا limit ستڑی کریں گے تو ہم اس کے بارے میں کنکلوٹ کر سکتے ہیں کچھ چیزے using the previous function one over x let me write this down on the screen for every real number a the function g of x equals one over x minus a is a translation of the function f of x equals one over x by a units a many units to the right so we can say the following about this function یہاں پر دیکھی ایک پکچھر بنا رہتا ہوں بلکے میں اور کچھ ایکویشن سے اس میں دیکھی کہ what happens basically what happens is that as limit limit as x goes to a from the positive side equals positive infinity limit as x goes to a from the negative side of one over x minus a is negative infinity also limit as x goes to positive infinity of one over x minus a equals zero and limit as x goes to minus infinity of one over x minus a is equal to zero تو یہی کچھ بیسک چیزی تھی اس فنکشن کے بارے میں اب ہمیں یہ بھی بہت چل گیا کہ اس کا limit بیحویر کیا ہوتا ہے تھیکہ جی تو we are making progress or which is good اب آگے چلتے ہیں کچھ ہور بیحویر دیکھتے ہیں کچھ ہور function کیا as you take various limits تو let's move on اب let me put something on the screen چونکہ ذہبہ کمپلکیٹ فنکشنز آ رہے تو اس کو ذہبہ فرملی دیکھتے ہیں let's go to the screen یہاں پر ہم دیکھیں گے limits of polynomials as x goes to positive infinity and minus infinity یعنی ابھی تک تھوڑی دے پہلے ہم نے دیکھتے کہ جی limits of polynomial کیسے معلوم کرتے ہیں as x goes to a certain number ظاہر سی بات ہے وہ بہت آسان تھا بلکہ آپ کو یاد ہوگا you just evaluate the polynomial یعنی جو axis تے polynomial کے ان میں آپ وہ number کی value ڈال دی جی and you get your answer لیکن اب یہاں پر مسئلہ ہے کہ آپ کا limit جو ہے جو limiting value ہے وہ infinity کی طرف جاری یعنی آپ کا x variable جو ہے it's going to infinity positive یا minus infinity لہذا آپ کچھ پہلے ہمارے کچھ کہنا پڑھے گا let's see what we can say یہاں پر بیسکلی کچھ گرافس ہیں جو میں پنا دیتا ہوں here some graphs and let's look by looking at the graphs we can actually say the following about the polynomials of the form x to the power n تو اب ہم کہا سکتے ہیں کہ limit as x goes to positive infinity of the function x to the power n is equal to plus infinity if n equals 1, 2, 3 and so forth بیسکل this is true for all real numbers اینہی n could be any actually I'm sorry not real numbers but all integers اینہی n کی جو powers ہیں وہ an integral powers ہیں integer powers ہیں تو all positive integers کی بات ہو رہی ہے یہاں پہلے کہ 1 سے لے کے infinity تک positive infinity تک تو یہ بھیگر آہ ہو گا آپ کے polynomial x to the power n کا اسی طرح سے اگر آپ limit لیتے ہیں as x goes to minus infinity of x to the n یہاں پہ دو کسی بنتے ہیں the limit will equal to positive infinity if n happens to be an even integer نیملی 2, 4, 6, 8, so forth اور اس کا دوسرہ result ہوگا minus infinity ہوگا if n happens to be an odd number او an odd integer basically 1, 3, 5, etc تو یہ ہم نے تھوڑی سی classification کر دیے اب ایک بیسک polynomial کی as x was going to plus infinity and minus infinity پہلے ہم نے کی تھی لیکن اس میں number involved as x was going to a number a اب ہم infinity کی طرف جا رہے تھے تو یہ بھی classification ہو گئی اور تھوڑی سی ہم نے we have taken care of some stuff let's do an example example ہے جنا آپ کے find the limit of 2x to the power 5 as x goes to positive infinity تو اس کا کیا result ہوگا well first of all یہاں پر دیکھئے کہ 2 کو آپ بہا نکال سکتے ہیں ظاہر ہے وہ بیسک کے ایک limit rule تھا so you will basically take the limit of the function 1x to the power 5 as x goes to plus infinity اور 2 اس کو بہا لے جائے یہ it won't actually matter at the end but what happens here from the previous screen اگر آپ کو یاد ہے کہ we see that the limit will be positive infinity یہ ہم نے graphical behavior study کیا تھا اس فنکشن کا تو ہم نے اس سے کنکلوٹ کیا تھا کہ یہاں پاور ن کی وہ odd integer ہے لہذا اور آپ کا limit positive infinity کی طرف جا رہے تو آپ کا result آئے گا plus infinity اگر آپ لیتے ہیں limit of x of the function minus 7x to the power 6 as x goes to positive infinity تو یہاں پی کیا result آئے گا یہاں پر result آئے گا جناب minus infinity اچھا یہ جو last میں نے بھی لکھا تھا example میں function minus 7 times x to the power 6 اس کا result کیا تھا اس کا as x went to positive infinity ہمارے پاس result آئے تھا minus infinity تو اس میں کوئی پرشانی کی باتیں کیونکہ نوٹ کیجے minus just sign میں نے لگایا تھا تو اس کا جو اگر positive ہوتا اگر positive 7x to the power 6 ہوتا تو ایک پرابلہ بناتا ایسے کرکے right یعنی کشس کے وہ جو ہم نے ابید graphs دیکھتے اس کے اصاب سے it should have been a u sort of shape لیکن جب minus لگاتے ہیں تو it just flips around right اور آپ کا huge ہوتا اس طرح سے بن جاتا ہے تو ظاہرہ جب آپ x positive infinity کی طرف جا رہے تو آپ کا جو function تھا جو u کی اس طرح سے کھل رہا تھا نیچل کی طرف opening downwards تھا تو as x was going to positive infinity یا y values were going to minus infinity تو basically that's why we got that result تو تھوڑی سی میں نے کا explanation اس کی دے دیتے ہیں but I think it's pretty obvious what's happening آپ کے پاس یہاں پر میں function لکھ رہا ہوں basically the function one over x to the power n یعنی one over x تو ہم دیکھ چکیں اب اس کی power زکتے ہیں یعنی وہ کیا ہوں گی تو نوٹ کریں کہ آپ آپ یہاں پر پاورس تو دیکھیں گے لیکن میں اس کا limit بھی لینا چاہوں گا ظاہر سی بات ہے limits کی بات ہو رہی ہے تو what I would like to do is basically take the limit as x goes to positive infinity of the function one over x to the power n اچھا یہ دیکھئے کہ this is basically equal to if you do some algebra one over x to the power n جو وہ بیسکل one over x the whole quantity to the power n جاتی ہے بیسکل جبڑہ سے اب یہاں پر ہم limit کی رول سمال کرتے ہیں and we can write this as یعنی ہم limit جو اس کو power کی اندر موف کر لیتے ہیں تو ہم پس result آتا ہے limit as x goes to positive infinity of one over x basically and that whole quantity raised to the power n اور جو quantity جو ہے parenthesis میں اس کا limit تو ابھی ہم نے تھوڑی در پہلے دیکھا تھا this will equal to zero so you are taking the n power of zero well that happens to be just zero similarly اگر آپ لیمٹ لیتے ہیں as x goes to minus infinity of the function one over x to the power n that's just going to equal to by the same process algebraic manipulation and the limit rule limit as x goes to minus infinity of one over x quantity to the power n again result zero آتا ہے zero to the power n and that's just zero یہاں پر تسیل بنا رہتا ہوں ہے تو جو آپ کو basically help کرے گا determine کرنے میں یہاں کنکلوٹ کرنے میں کہ واقی جو ہم نے process کیا ہے یہ صحیح ہے کیونکہ جو a grass یہاں پہنائیں یہ دونوں ہیں of one over x to the power n کے ایک case میں n positive even integer ہے اور ایک case میں n جو ہے وہ positive odd integer ہے تو یہاں پہ ہم اس کے بارے میں یہی کچھ کنکلوٹ کر سکتے ہیں اب میں کچھ چیزیں لیکھا ہوں سکرین پے let's look at them اور I think it'll be very obvious کی میں نے جو لکھا ہے یہ صحیح ہے تو یہاں پے دیکھئے کہ we have اب یہاں پر ہم یہ جاننا چاہتے ہیں کہ what happens to a polynomial یعنی کچھ a computational point of view دیکھنا چاہتے ہیں کوئی صحیح طریقہ کوئی quick طریقہ ہے کہ ہم limit evaluate کر سکیں of a polynomial as x goes to plus or minus infinity اچھا تو یہ اب limit معلم کرتے ہیں اس polynomial کا polynomial ہے جناب c subscript zero c zero plus c one x plus all the way to cn xn اس کا limit لیتے ہیں as x goes to positive infinity تو rule یہ ہے جناب کہ یہ جو ہوگا یہ limit it's going to the limit of this whole polynomial will be exactly the same thing as the limit as x goes to positive infinity of the function cn xn یعنی بیسکل آپ نے جو highest power the x کیs polynomial میں اور اس کا جو coefficient تھا وہ آپ نے اس کا limit لیے لیے as x goes to positive infinity اور وہ لیمٹ جو آئے وہ exactly وہ ہوگا جو لیمٹ سارے polynomial کا ہوگا اس کی motivation جو ہے اس rule کی وہ میں یہاں screen پے لکتا ہوں اس کی دیکھئے کہ جو polynomial تھا اس میں سے اگر آپ highest power of x جو ہے x to the n اس کو اگر آپ فکٹر کرلیں تو آپ کے پاس result آتا ہے x to the power n multiplied by this whole term c zero divide by x to the n plus c one divide by x to the n minus one plus all the way c subscript n یعنی وہاں سے تو آپ نے fact out کر لیا ہے x to the n تو وہ نمر باقی رہ جاتا خالی اب یہ دیکھیں کہ ابھی ہم نے یہ جتنے بھی اس کے اندر terms ہیں except for the last term which is c subscript n ان سپ کے اندر ایک function ہے چھپا ہوا which looks like the function one over x to the n تو اس کا ہمیں پتا ہے کہ limit کیا ہوتا ہے as x goes to positive infinity well that's just going to go to zero basically right so with that in mind we have that all the terms in that big term in the parentheses go to zero when you take the limit as x goes to plus infinity or minus infinity for that matter آپ کا زل بایا تا خالی c n multiplied by x to the n تو یہ ایک رول ہو گیا ایک process جس سے آپ معلوم کر سکتے ہیں limits quick way of finding computing limits of polynomials آپ کا جو limit as x goes to plus infinity minus infinity تو یہ یادر کیا it's going to be very helpful and we move on basically اچھا جی polynomials کی بات ہو گئی اب rational functions کی بات کرتے ہیں کہ what have how do you find the limit of a rational function as x goes to a some number اچھا rational function کیا ہوتا ہے it's basically a function which is defined by the division of two polynomials اور اس کا limit ہم معلوم کرنا چاہ رہے ہیں کہ کیسے limit معلوم کریں گے اگر فیرم آپ کو یادر جو سب سے پہلے ہم نے دیکھا تھا کہ اگر دو functions divided اور ان کا آپ آرہا ہے کہ ہم آپ لوگ ایک دو than اس لگانی لگانی باہر ہم آپ بہت ہو جانا ہے جو اسے satisfactory جو جو جلی صطحﷺ جو جلی صطحﷺ جب جلی بہت بہت بہت بہت بہت بہت بہت جلی بہت جلی بہت جلی بہت جلی بہت بہت مانو چاہ جلی بہت اگر آپ تھیورم کا رول اپلائے کریں تو this is the same as the limit of the top function, which is a polynomial and the limit of the bottom function, which is also a polynomial and in each case x is going to 2. اگر آپ جو ابھی تک ہم دیکھ چکیں ساری رول سارے یہاں پر اپلائے کر دی جی آپ and you see that you get this last line جو یہاں پر ڈیبریک یہاں this is what you get and the result comes out too. جو ابھی دیکھتے ہیں جو ابھی تک ہم نے چیزے دیکھئے کتی ہیں ان سب کو سمال کیا کہ کیسے مالوں کرتے ہیں power, polynomials کی جو اگر ہون کا لیمت کیسے مالوں کرتے ہیں as x goes to a number a. لیکن ہم نے ایک سامبل دیکھلی ایک اور دیکھتے ہیں just to clarify things let's go back to the screen and let's look at an example of finding limits of rational functions example as you know you want to find the limit as x goes to 4 from the right hand side that's why you have a plus there of the function rational function 2 minus x divided by x minus 4 times x plus 2 اچھا آپ نوٹ کی جیے کہ the top is minus 2 as x goes to 4 from the right hand side تک جی لیکن اگر آپ 4 کی ویلیو دال دیں وہاں بیسکلی مقصد کیانے گا یہ یہ کہ چونکہ اوپر والا پولنومیل ہے تو it's the same thing as evaluating it 4 from the right hand side تو یہ آپ کی ویلیو آتی ہے minus 2 کی بارٹم پہ کیا ہے بارٹم goes to 0 as x goes to 4 from the right side so the limit will be infinity of some type i.e. it could be plus infinity or minus infinity تو اب مقصد صرف یہ کہ we have to get the sign on the infinity اچھا تو اگر یہاں پہ دیکھئے کہ چونکہ top پہ ایک نمبر آرہا ہے 4 minus 2 جیسا ہم نے کہا اور بارٹم پہ 0 آرہا ہے تو یعنی بیسکل جب آپ لیمٹ لیتے ہیں تو یہ بھیف کر رہا ہے 1 over x ڈائپ کی طرح جو فنکشن ہم نے دیکھا تھا تو اس کا results infinity آئے گا basically in the limit تو اب مقصد صرف یہ کہ infinity concept plus infinity تو اس کا sign معلوم کرنے کے لیے we should analyze the sign of the bottom function for various values of the real numbers تو یہ جو اب اس کو ہم دیکھنا چاہتے ہیں sign کیا ہوگا ہے اس کا تو let's break the number line let's take a number line break it into 4 intervals and let's put it down here on the screen یہ آپ دیکھلی جی آپ کے سامنے ہیں the important numbers are the ones that make up the top and bottom 0 یعنی جو آپ کا ایک سامپل میں فنکشن ہے تو اس کا top or bottom 0 ہو جائے وہ نمبر ایک picture ہے یہاں پر ایک picture ہے اس میں دیکھلی جی یہاں پر میں لکھیں میں سارے اب نوٹ کیجے کہ as x approaches 4 from the right the ratio in the function rational function stays negative and the result is minus infinity تو you can say basically you can say something about what happens from the left yourself by looking at the picture again تو یہ اس کی یہاں پر نمبر لائن پروسیس تھا معلوم کرنے کا اس کو یہاں پر میں لکھ دیا ہے اس کو یہ بک میں بھی آپ کے I basically let the details up to you آپ خود دیکھلی جی کیا ہیں details and figure them out and work out the whole limit in detail میں سے فتحا کہوں گا کہ جو limit مجھے معلوم ہوگی ہے وہ یہ ہے کہ یہ تو اندازہ تھا کہ infinity آئے گا یہاں پر infinity پر minus sign ہوگا so we can write down that limit as x goes to 4 from the positive side of this function 2 minus x divided by x minus 4 times x plus 2 is equal to minus infinity اچھا جی یہ بھی ہوگیا اب آخری چیز جو آج لیکچر کی ہے وہ میں سکرین پہ لکھ رہا ہوں یہاں پہ it's basically a way to find a quick way basically to find the limits of rational functions as x goes to plus infinity and minus infinity ٹیک جی I'll put it on the screen رول کچھ ہوں کہ the limit as x goes to positive infinity of a rational function where the top is a polynomial and the bottom is a polynomial which you can see on the screen well the result is the same as the limit as x goes to positive infinity of the highest powers of x and their coefficients or the ratio of those 2 things جو top کے polynomial کی highest power ہے اور اس کا coefficient divided by the highest power of the bottom function and its coefficient ان کی جو آپ ریشو لیں گے اور پھر limit لیں گے as x goes to infinity will be your limit for the whole rational function this is also true for the case where x goes to minus infinity لیکن یہاں درکھیں کہ this is not true if x goes to a finite number اچھا جی تو یہ ہو گیا اچھ کا اس لیکچر کا آخری رول بیسیکلی your finding limits and stuff یہ جو رول ابھی آخر میں میں آپ کو بتایا this is basically a quick way of avoiding the algebra involved یعنی اگر آپ اپنی homework problems کریں گے assignments اور book کی reading بھی کریں گے تو you'll see کہ اس میں you'll see that there's a certain algebraic manipulations involved to find the limits of rational functions where you're not using the rule we just saw a minute ago that's also important to know I'll leave it up to you to do that میرا کام یہاں پہ ختم ہوتا ہے گلا بیٹ رہا تھوڑا سا لیکن یہ کہ I'll leave it to you to do the homework problems and email me the questions کوئی مسئلہ نہیں ہونا چاہیے hopefully یہ لیکچر یہاں پہ ختم کرتے ہیں we talked about the limits how to basically build up the limits یعنی اس لیکچر میں نے یہاں دیکھا نا کہ basic functions کے limits معلوم کیے اور اس سے پھر دیکھا کے complicated limits functions کے limits کیسے معلوم کرتے ہیں یہاں پہ ختم کرتے ہیں اس لیکچر کو do the homework email me if you have questions and I'll see you next time thank you the office