 Sí, perfecto. Hoy damos continuidad al minipurso tres. Héctor, vas a hablar de Chabotis, yo no sé cómo se dice esta palabra. Chabotis, Chabotis. Chabotis, PADC Approach. Muchas gracias por la presentación. Sólo aclarar que es el minipurso cuatro, es la clase número tres. Ok, bien, gracias por la presentación y gracias a todos por venir. Yo sé que están cansados después de tres horas de charlas de clase, así que como siempre me comprometo a tratar que esto no sea demasiado pesado. Bien, entonces lo primero es hablar de variedades abelianas. Yo sé que muchos de ustedes ya saben lo que es una variedad abeliana, así que esto es un recuerdo básicamente. Toma un campo, pueden pensar en los números racionales y una variedad abeliana es un grupo algebraico que es proyectivo. Eso está raro porque uno pensaría variedad abeliana, debería ser un grupo abeliano como de genición, pero en realidad eso viene automático del hecho de que sea proyectivo. Ok, ejemplos, un punto. Ok, un punto es una variedad algebraica, es proyectiva y es el grupo trivial, así que es un ejemplo perfecto para la variedad abeliana. Tiene dimensión cero. La recta a fin tiene una estructura de grupo con la suma. Ese grupo es conmutativo porque yo puedo sumar cosas en cualquier orden, pero no es una variedad abeliana, a pesar que es un grupo abeliano. Y el problema es que no es proyectiva. Ok, hay mucho mucho cuidado con eso. Bien, variedades abelianas de dimensión 1 son curvas y ¿qué curva conocemos nosotros que es proyectiva y tiene estructura de grupo? Las curvas elípticas. Ese es el ejemplo. Puedo tomar producto cartesiano de curvas elípticas y eso me da variedades abelianas en dimensión grande, en cualquier dimensión que yo quiera. Puedo tomar una curva y miro su Jacobiano. Ahora, ¿qué cosa es el Jacobiano? Vamos a hablar del Jacobiano en algunos momentos, pero por ahora créanme que hay una variedad abeliana asociada a cualquier curva. Tomo una curva de género G y tiene un Jacobiano y la dimensión del Jacobiano es el género de la curva, coincide. Y si yo trabajo en los números complejos, las variedades abelianas siempre se pueden ver como un toro. Tomo números complejos como espacio vectorial, alguna potencia y tomo consciente por un retículo. Eso me da un toro complejo. No todos los toros complejos son variedades abelianas porque no todos son algebraicos. Hay algunos que son netamente analíticos trascendentales, no son algebraicos, pero toda variedad abeliana compleja se puede ver de esta manera y piensen en las curvas elípticas. Uno siempre dibuja una curva elíptica de qué manera como un toro. ¿Y por qué hace eso? Porque en realidad sobre los números complejos las curvas elípticas son todos, son los complejos módulos un retículo. Así que esto es para pensar sobre variedades abelianas, puntos racionales en variedades abelianas. Recuerden ustedes que para una curva elíptica, para una curva elíptica teníamos el Teorema de Mordel que dice que el grupo de los puntos racionales de una curva elíptica es abeliano, finitamente generado. Ese Teorema es fundamental en la teoría. Bueno, Vail demostró una generalización que va más allá de las curvas elípticas. Es para cualquier variedad abeliana y dice exactamente lo mismo. Yo tomo una variedad abeliana sobre los números racionales y el grupo de puntos racionales es finitamente generado, finitamente generado. Y en particular tiene una parte libre y una parte de torción finita. Bien, bien. Y Jaco, ya hasta que alguna pregunta, algún comentario, alguna duda, algo que queda Sí, una pregunta corta. Si vemos la variedad abeliana como el cociente de Espacio Vittoriel se por un retículo, es fácil ver la naturaleza del punto que se ha racionado, ¿no? No, no. Eso es una excelente pregunta. Tiene que ver con preguntas de trascendencia. Muchas veces que un punto sea racional a un lado de ese marfismo significa que es trascendente al otro lado. Pero no. Lo que sí es fácil ver es que si tú tomas múltiplos racionales del retículo, al otro lado te dan puntos de torción. Eso sí es fácil, pero relacionar con racionalidad es extremadamente complicado. Bien, Jaco Vianos. Bien, yo tomo ahora, a mí me gusta poner adjetivos, me encanta poner adjetivos, principalmente para que los denunciados sean correctos, pero pueden olvidarse de eso. Toman una curva bonita, proyectiva, de género G y el Jaco Viano es una variedad abeliana de dimensión G, dimensión algénero, y caracterizada por la siguiente propiedad que hay una biyección funtorial, eso que quiere decir hay una identificación, ya que son la misma cosa, qué cosas. Por un lado uno tiene los puntos del Jaco Viano, aquí está escrito, los puntos en el Jaco Viano y por el otro lado yo tengo divisores de grado cero en la curva, salvo equivalencia lineal. Eso caracteriza a Jaco Viano. Vamos a ver un ejemplo y ustedes me van a decir cómo vamos a ver un ejemplo si están complicados esto, cómo vamos a ver un ejemplo si los Jaco Vianos son esta cosa tan abstracta. Bueno, hay un caso que se puede entender muy bien, la recta proyectiva P1, ¿qué género tiene P1? La recta proyectiva generó cero, generó cero. Entonces, su Jaco Viano tiene que ser un punto, tiene que tener dimensión cero y eso quiere decir, yo voy a esta biyección, eso quiere decir que divisores de grado cero son todos linealmente equivalentes entre ellos. Y eso es una propiedad de P1, que en P1 los divisores de grado cero todos son linealmente equivalentes, todos son linealmente triviales. Entonces, aquí se cumple lo que estaba diciendo yo, el Jaco Viano me da un punto y eso corresponde con esta propiedad de divisores. Para género más grande esto es mucho más complicado. Hay una forma de enviar la curva hacia su Jaco Viano, siempre. Entonces voy a suponer que tengo un punto, que hay un punto sobre el campo en el que estoy trabajando. Si fuera los números complejos, está bien. Si fuera los números racionales, no siempre hay un punto. Pero voy a suponer que tengo un punto, lo voy a llamar x sub cero. Yo tengo una función, ¿qué hace esta función? A un punto x de la curva le voy a asociar la clase del divisor x menos x cero. Esto es un divisor de grado cero y su clase da un punto en el Jaco Viano. Esto es una definición abstracta. No me da ecuaciones, no me da coordenadas. Es netamente abstracto, pero es una manera de enviar la curva al Jaco Viano. Bien, y este mapa se llama el mapa de Abel Jacoby. Es la versión algebraica del mapa de Abel Jacoby. Sobre los complejos se puede ver con integrales de periodo. Pero eso es otro punto de vista. Para nosotros este punto de vista abstracto es suficiente. Y propiedades básicas del mapa de Abel Jacoby, cuando el género es mayor o igual que uno, esto va a ser inyectivo. En el ejemplo anterior, aquí no puede ser inyectivo porque la recta proyectiva no se puede ir inyectivamente a un punto. No se puede. Pero ese es el único problema. En cualquier otro caso es inyectivo. Y además, la imagen del mapa de Abel Jacoby es una curva que está dentro del Jaco Viano torcida de manera que genera el Jaco Viano. Está de alguna forma dentro del Jaco Viano apuntando en todas las direcciones. Genera al Jaco Viano como grupo. Como grupo. No como variada algebraica. Yo tomo la clausura de la curva y es ella misma. La dimensión no da. Pero como grupo genera. Cuando voy, ahí está el adjetivo. Me encantan los adjetivos. Aquí hay un adjetivo geométricamente. Eso quiere decir que tengo que ir a la clausura algebraica para generar. Bien. Otro buen momento para hacer una pausa de preguntas. Duras, comentarios, preguntas. Bien, parece. Continuamos. Valores absolutos en los racionales. Este tema parece que nada tiene que ver con el anterior. Pero se van a juntar. Se van a juntar y se van a juntar con el tema de la clase pasada. Entonces, hay un teorema que clasifica todos los valores absolutos de Q. Y uno tiene el valor absoluto usual el de toda la vida. Es que en los positivos no hace nada y en los negativos los deja positivos. Pero uno también tiene el valor absoluto peadico y este es el valor absoluto de las congruencias. Me gustaría en el chat si alguien puede decirme si ya conocía esto. No los profesores. Pero los estudiantes están familiarizados con el valor absoluto peadico para saber qué tanto puedo mencionar. Alguien dice que sí. Hay varios sí. Entonces no voy a dar una explicación tan profunda, pero sí quiero dar una intuición. Una intuición de las congruencias. ¿Qué tiene que ver estos con valores absolutos? Vamos a jugar un juego imaginario. Y en este juego imaginario yo voy a colocar en un papel. Aquí tengo una hoja. Voy a escribir un número, no les voy a decir qué número es. Y escribir el número. Ahora ustedes en el chat, esto es imaginario porque si lo hacemos de verdad son tantas personas que esto no va a resultar. Entonces imaginariamente ustedes me pueden decir una potencia de dos y yo les digo mi número módulo esa potencia de dos. Y ustedes tienen que tratar de adivinar qué número es. Entonces ya imaginariamente alguien me dice dos y yo digo módulo dos mi número es uno. Alguien me dice cuatro. Bueno módulo cuatro mi número es uno. Alguien me dice ya 64. Módulo 64 mi número es uno. Alguien sospecha cuánto vale el número que escribí en la hoja. ¿Quién quiere adivinar cuánto vale el número? Una pregunta más. Módulo 128. Mi número vale uno. Módulo 128. ¿Qué número es? ¿Alguien se atreve? Módulo 512. Módulo 512 mi número también vale uno. Bueno yo creo que hay varios que están pensando ya que el número es el uno. Parece. Pareciera ser el uno. Alguien me dice tres o uno. Bueno en realidad es este. Era ese. Mil veinticinco. ¿Qué pasó? Es que dos hábicamente el uno y el mil veinticinco están muy cerquita. Cuesta distinguirlos. Ya la distancia entre ellos es muy pequeñita y el motivo es que cuando yo los resto me sale una potencia de dos muy grandes. Por eso el valor absoluto pedárico tiene un negativo aquí arriba. La distancia es pequeña. La distancia es pequeña cuando hay una gran potencia de p dividiendo. Esa es la inscripción de los números pedáricos. Y de esa manera uno puede medir distancias entre números. ¿Se parecen o no se parecen? Esta esta manera de entender los números pedáricos no es del tomío. Esto me lo enseñó una profesora cuando era niño en la escuela. Bien, vamos a continuar. Si tomo un valor absoluto pedárico satisface una desigualdad triangular que es más fuerte del usual. Normalmente la suma es menor igual que la suma de los valores absolutos. Pero aquí estos más fuertes es menor igual que el máximo de los valores absolutos. Bien. Y eso tiene que ver con la divisibilidad. Si por ejemplo tengo una suma que es divisible por veinticinco. Yo sé que ambos términos no pueden ser ambos divisibles por algo más grande. Pueden que sean ambos divisibles por algo más pequeño que veinticinco. Pero no más grande. Y alguien me podría decir pero Héctor estás diciéndolo al revés. Hay un menor igual. No, pero es que de nuevo vamos aquí al negativo. Hay un negativo ahí arriba. Entonces los valores absolutos son únicamente el usual, el de toda la vida. Y para cada número primo tengo un valor absoluto pedárico que es miro la mayor potencia de P y tomo su recíproco. Entonces por ejemplo el valor absoluto dos ádico de doce. Alguien me quiere decir cuánto es el valor absoluto dos ádico de doce. Doce. Perdón, se cortó el audio. Menos un cuarto. No, dos. Está muy cerca. Un cuarto, eso. Un cuarto. Un cuarto. El valor absoluto dos ádico de doce es un cuarto. Perfecto. Una pregunta. Sí. Para cuestiones de infisión, la idea de poner el signo menos ahí en la definición es justamente con la intención de establecerla del triángulo. En realidad el motivo de fondo es que el orden pedárico es una evaluación y es un hecho muy general que cuando yo tengo una evaluación el exponencial negativo es un valor absoluto. Y eso establece la desigualdad triangular. Sí. Y hay una fórmula del producto que es lo que está escrito acá. Y esta fórmula del producto es muy bonita. Pensemos en el número doce. En el número doce, deme un segundo y que pase a apretar un botón. Se va a cortar la imagen la voy a volver a No, no se cortó. Perfecto. Entonces en el caso del número doce, el valor absoluto dos ádico es un cuarto. El valor absoluto tres ádico es un tercio. El valor absoluto usual es doce. Y yo multiplico todo eso y me da uno. Sí. Se cancelan las cosas. Eso ocurre y eso viene de la factorización única. Entonces escondida en esta propiedad está la factorización única. Completaciones. Cada vez que yo tengo un valor absoluto yo puedo tomar secuencias de cochí, tomar límites, completar. Eso siempre se puede hacer. Alguien me quiere decir qué pasa si yo completo con el valor absoluto usual el de toda la vida. ¿Qué obtengo en la completación de Q? Estoy viendo el chat o escuchando el audio como quieran. Alguien abrió el micrófono ahí. Completando. ¿Los reales? Los reales. Correcto. Sí. En el chat también me dicen los reales. Perfecto. Muy bien. Entonces cuando yo completo con el valor absoluto usual la completación son los reales. Pero yo podría completar con un valor absoluto pedadico y aparece en los llamados números pedadicos que se parecen y no se parecen a los reales. Se parecen porque también son una completación, son un campo, es localmente compacto, pero no se parecen en algunos aspectos que vamos a ver. Y yo diría que el aspecto más importante es la bola unitaria. La bola unitaria en los reales es el intervallo menos uno uno cerrado. Ese intervalo, yo puedo multiplicar cosas en ese intervalo y se quedan dentro del intervalo. Y puedo sumar cosas dentro del intervalo y a veces se quedan dentro, a veces no. Si yo tomo cosas dentro del intervalo menos uno uno, si están cerca del cero, las puedo sumar y siguen dentro del intervalo. Pero si están cerca de un extremo, yo la sumo y se salen del intervalo. Entonces el intervalo menos uno uno no es un anillo, no es cerrado por la suma. La bola unitaria de los pedadicos sí es un anillo, no me salgo de la bola unitaria cuando sumo. Y eso viene de la desigualdad triangular fuerte. Ya, entonces eso tiene un nombre, se llama zp, los enteros pedadicos. No confundir con z módulo p, es una cosa completamente distinta. Los enteros pedadicos, esto es la bola unitaria pedadica, con el borden. Y el teorema es que, lo llamo lémaca, pero es una propiedad muy importante, es que esto es un anillo, contiene a z, y z de hecho es denso aquí adentro. Está completamente en todas partes de eso. Si yo lo pudiera dibujar, esto es un disco lleno de puntitos y esos puntitos son los números enteros. Y tiene un ideal maximal que es la bola unitaria sin el borden, sin el borden. Eso es el ideal maximal, es el único ideal maximal. Es un discrete valuation ring, un anillo de evaluación discreta. Tiene varias propiedades algebraicas muy interesantes. Y además, con la distancia que teníamos, la distancia pedadica es un espacio métrico compacto. O sea, de verdad esto se ve como un disco algo compacto. Alguien podría decirme, Héctor, no, no se ve como un disco, se ve como un conjunto de cantor. A lo cual yo respondo, no, no se ve. Ya esto se entiende solamente, no es una cosa que uno anda dibujando. Aunque se puede dibujar, hay maneras de visualizar esto. Bien, ejemplo, voy a mirar la raíz cuadrada de menos uno. Abstractamente, eso es una solución de x al cuadrado más uno igual a cero. Y en los reales no hay, no hay. Bueno, voy a tomar un primo de la forma 1 módulo 4. Por ejemplo, pueden pensar p igual a 5. Con p igual a 5, eso queda, queda bien, es una buena opción. Piensa en p igual a 5. Entonces, la congruencia x al cuadrado más uno igual a cero módulo 5 tiene solución, claro, 2. 2 al cuadrado más uno me da cero módulo 5. Y módulo 25. Ah, eso está más difícil. Pero también tiene solución. Y módulo 125, etcétera. Y eso es un hecho básico de la teoría de números que pueden ustedes tratar de demostrar. Viene del hecho de que esto es un grupo cíclico. Pueden jugar con eso, la existencia de raíces primitivas. Entonces, bien, tengo soluciones. Módulo p al a n para cualquier n. Y esta secuencia de soluciones está en los enteros. Pero los enteros están en los enteros peáticos. Y esto es compacto, un espaciométrico compacto. Por lo tanto, esta secuencia tiene que acumularse. Se acumula en algún lado, no es que converja ese punto, sino que tiene algún punto de acumulación. Entonces, cuando yo paso a una subsecuencia, voy a tener un límite peático. ¿Verdad? Y ese límite peático lo voy a llamar b. Entonces, bj al cuadrado más uno es congruente a cero módulo p a la j. Eso viene de que los bj son algunos de los a. Y los a son las soluciones de esta congruencia módulo potencias. Entonces, significa que el valor absoluto peático de bj cuadrado, este valor absoluto peático es pequeño, porque es divisible por una gran potencia de p. Y como es pequeño, esto converge a cero. Cada vez más grande la potencia, cada vez más pequeño el valor absoluto converge a cero. Y de esa manera, en el límite, porque el valor absoluto siempre es continuo, en el límite me da que b cuadrado más uno es igual a cero en z. Porque es el límite de estas cosas. Leslie hace una pregunta muy interesante. ¿Se podemos construir sucesiones de cochi para analizar el espacio? Sí, eso se hace. Eso es una manera de hacerlo, estudiar el espacio no algebraicamente, sino con sucesiones de cochi. Yo prefiero el punto de vista algebraico como un límite de z módulo p a la n, o límite de las congruencias, pero eso es una preferencia mía. También uno puede estudiar esto con sucesiones de cochi, un poco como lo que estamos haciendo en este ejemplo. Bien. Y eso significa que q p contiene una solución. O sea que la raíz cuadrada de menos uno existe en q p cuando p es congruente a 1 módulo 4, en q 5, por ejemplo. Y voy a dejar como ejercicio que cuando p es congruente a 3 módulo 4 no existe. O sea, acá no hay una raíz cuadrada de menos uno en estos casos. O sea, esos casos se comportan como los reales en ese sentido. Bien, bien, bien. Ah, bien. Y aquí es un otro buen momento para hacer una pequeña pausa de preguntas. No? Bien, bien. Entonces, si es primera vez que vieron los pedálicos, espero que esto les dé una idea de cómo funciona. Y una cosa que mantenerme en mente es que todo funciona mejor en los pedálicos, todo. Todas las cosas que los reales uno dice que lástima me hubiera gustado en los pedálicos funciona bien. Como, por ejemplo, cuando uno es estudiante, cuando uno es niño, cierto, a uno le encantaría que si una secuencia converge a cero, la serie converge. La suma. Cierto? A mí me encantaría. Pero eso no es cierto. Por ejemplo, la serie armónica, uno sobre n, esa suma diverge, pero uno sobre n tiende a cero. En los pedálicos, en realidad, se cumple. Si tienen una secuencia que converge a cero, pueden sumar la secuencia en los pedálicos. Eso es un ejemplo. Todo funciona mejor con los pedálicos. Bien. Volvemos, entonces, a ecuaciones con pocas soluciones. Conjetura de Mordello. Tomo una curva suave, proyectiva. Esta conjetura es de... Esto es interesante. Esta conjetura la formuló en el mismo artículo donde él demuestra el teorema sobre curvas elípticas. Al final del artículo puso este problema en los años 20. Entonces, tomo una curva proyectiva suave, de género al menos dos, definida sobre c. Entonces, el conjunto de puntos racionales es finito. Bien. Y la condición mayor igual que dos es necesaria porque la recta projectiva tiene infinitos puntos racionales y tiene género cero. Y hay curvas elípticas con infinitos puntos racionales y tiene género uno. Por lo tanto, yo necesito género al menos dos y resulta que eso es suficiente. Bien. José, veo que tienes tu micrófono abierto. ¿Quieres hacer una pregunta? No. Disculpen. No. Si quieren hacer preguntas, está bien. Me pueden interrumpir. A mí me gusta eso. La conjetura de Mordell la demostró Faltings en el 83. Y mañana vamos a hablar sobre los trabajos de Faltings. Por hoy día no. Pero antes que Faltings, como 40 años antes que Faltings, Chabotin, Cloud Chabotin, un matemático que hace mucho tiempo antes que Faltings trabajó en este problema, el demostró lo siguiente. Tomo una curva c suave, projectiva de género mayor igual que dos y miro su Jacobiano. Y voy a suponer que el rango del Jacobiano no es tan grande. Que tiene, puede que tenga infinitos puntos racionales en el Jacobiano, pero no tantos, no tan grandes. Entonces en ese caso demostró la conjetura de Mordell. Por ejemplo, si el Jacobiano tiene el rango 0 o 1, demuestra la conjetura de Mordell. Mientras sea el rango del Jacobiano menor igual que el género menos 1. Fascinante. Bien. Lo que vamos a hacer en lo que queda de clase es dar una idea de cómo se demuestra esto. Ok. Entonces, si no hay ningún punto racional, ganamos. No hay nada que demostrar. Son finitos. Así que voy a suponer que tengo un punto racional y lo voy a usar en mi mapa de Abel Jacobi para poder mandar la curva dentro del Jacobiano. El género es mayor igual que 2, así que esta curva está dentro del Jacobiano generándolo. Ya. Bien. Voy a elegir un número primo. Bien. Que por ahora no me importa qué primo es. Puede ser cualquiera. Ya. Y hay una función logaritmo que sale de los puntos pedálicos del Jacobiano y llega a el espacio tangente. Esto es como cualquier grupo de LI. Si ustedes recuerdan los grupos de LI, uno tiene un grupo de LI y un espacio tangente. El problema es que por algún motivo a la gente le encanta sufrir. Y como les gusta sufrir, estudia en grupos de LI en los reales o en los complejos, cuando en realidad sobre los pedálicos son más fáciles. Todo funciona más fácil. ¿Y por qué digo eso? Porque ustedes recordarán que sobre los reales no siempre uno tiene la función logaritmo. Está definida en una vecindad del neutro. En una vecindad del neutro, pero no siempre es global. Ok. Pero para irse al espacio tangente. Si me quiero devolver del espacio tangente, tengo la función exponencial. Esa la puedo extender. Pero la función logaritmo no siempre. Peálicamente no hay problema. Peálicamente esto se puede extender. El motivo es muy relacionado a la diferencia que yo les comentaba que si yo sumo números reales cerca del cero me quedo en el intervalo. En los pedálicos dentro de la bola unitaria yo puedo sumar cosas y sigo dentro de la bola unitaria. Ese fenómeno es lo que permite definir el logaritmo globalmente. Y de hecho este morfismo tiene que ir al finito. No es sobreyectivo. La imagen es un disco. Una bola dentro de este espacio. No un disco, perdón, una bola dentro de este espacio. Y esto como es el espacio tangente tiene dimensión G. Dimensión G. ¿Y por qué tiene dimensión G? Porque el jacobiano tiene dimensión G, el género. Recordemos eso. El jacobiano tiene dimensión igual al género de la curva. Y por eso su espacio tangente es el espacio de dimensión G. Y bueno, los puntos racionales dentro del jacobiano yo puedo mirar su clausura peádrica. Porque forman un grupo dentro del jacobiano y esto tiene una topología peádrica. Voy a llamar gama a esa clausura. Entonces ustedes se pueden imaginar algo así. Que esto es el jacobiano. Esas pelotitas son los puntos racionales ya que pueden ser muchos, muchos densos y tomo su clausura. Y la clausura ahora es un grupo peático. Y ese grupo peático se llama gama. Esto es la clausura peádrica, no la clausura de zariski. Entonces gama puede ser trascendental. Puede ser trascendental. ¿Qué dimensión tiene como grupo peático? ¿Qué dimensión tiene? Bueno, el logaritmo tenía que irme al finito. Entonces la dimensión se preserva. Y el logaritmo es continuo abierto. La clausura sale, ya. La dimensión de la clausura. Y eso es menor igual que la dimensión dada por los generadores. O sea, el rango. ¿Cuántas direcciones independientes tiene el j? Como grupo abeliano. Y ese rango es menor igual que g-1. Y eso es menor que la dimensión del jacobiano. Esta desigualdad es la hipótesis del teorema de Chabotí. Eso lo pedimos. Y la dimensión del jacobiano es el género. Creo que dije rango, disculpan, el género. Entonces, aquí hay g y g es mayor que g-1. Entonces la conclusión es que la dimensión de este grupo analítico gama, que es la clausura de los puntos racionales, es más pequeña que la dimensión del jacobiano. O sea, es como mi dibujo. Queda un montón de espacio. Eso sobre los reales no se puede. En los reales donde esto falla es aquí. Aquí esto falla. Bueno, de hecho, el logaritmo ni siquiera se puede utilizar bien. Entonces, bueno. Y acá viene una parte fundamental del argumento y es que los puntos racionales de la curva. Leslie, querías comentar algo? No, esto terminó comentando. Ah, ok, ok. Entonces, esto que está en un cuadrado en un rectángulo es fundamental. Los puntos racionales de la curva son aquellos puntos peáticos de la curva que son racionales. ¿Cierto? Y eso está incluido en los puntos peáticos de la curva, interceptado con el grupo analítico gama. Porque el grupo analítico gama es la clausura de los puntos racionales de jota. La curva genera el jacobiano. Lo genera. Está torcida por todas partes. Y gama es un grupo analítico que tiene codimensión positiva. O sea, gama no está en todas partes. Entonces, esto se ve así. Gama está de alguna forma torcida, genera el espacio que tenemos el jacobiano. Perdón, la curva C, la curva CX, la curva C está torcida y genera este jacobiano, mientras que gama es un subgrupo mucho más pequeño. Entonces, se intersectan de manera propia. No contiene a la curva. Gama no contiene a la curva, no contiene a un pedazo de la curva. Se cortan en puntos. Puede que haya multiplicidad. Puede que haya multiplicidad, pero se cortan en puntos. Y ahora es un argumento de compasidad, decir que entonces son finitos puntos. Porque si fueran infinitos, hay una secuencia que converge dentro de mi curva porque la curva era proyectiva. Y cuando converge, tendría acumulación de ceros de una cierta función analítica pedárica. Y las funciones analíticas pedáricas funcionan igual que las funciones analíticas complejas. Sus ceros no se pueden acumular. Entonces, ese es el argumento y la finitud. Colman, Robert Colman, demostró una, no quiero decir una versión, sino que es realmente una mejora del teorema de Chabotí. Y es lo siguiente, mismas hipótesis, pero Colman puede contar cuántas intersecciones hay. Y él cuenta que el número de puntos racionales es menor igual que el número de puntos módulo P. Eso es finito. Más 2g-2, la característica de hoy en la curva. Y esto es precioso. O sea, es una fórmula que permite contar una cota superior de cuántos puntos racionales tienen la curva. O sea, son pocos. Como prometí con el título de estas clases, hay teoremas sobre pocos puntos racionales. Pero bajo ese hipótesis. Lo bueno es que si ustedes van caminando por la calle y se tropiezan y miran con qué se tropezaron y era una curva, muy probablemente su jacobiano tiene esta condición. Esta condición es muy, muy frecuente de que se cumplan. Entonces, en la práctica esto se puede utilizar. Y en la ayudantía hay un ejemplo que Gerson construyó y elegió muy bien este ejemplo, donde ustedes pueden utilizar este teorema y esa curva alcanza la cota. ¿Y qué pasa cuando ustedes tienen una cota superior y tienen tantos ejemplos que alcanzan la cota? Significa que no hay más puntos racionales. Los encontraron todos. Y hasta el día de hoy, esto es la técnica, bueno, esto y variaciones de esto. Versión noveliana, versión de mala reducción, etcétera ya. Pero versiones de esto es la técnica más poderosa que tenemos hoy para encontrar puntos racionales en curvas. Encontrarlos todos. La versión noveliana viene de trabajos de Mignon King. Generalizados por Jennifer Balakrishnan y colaboradores. Bueno, muchos otros autores también no los voy a mencionar acá. Y claro, esto es la herramienta más potente que tenemos hoy día para encontrar puntos racionales de curvas. Y muy recientemente, Gerson Caron, él les está ayudando en la ayudantía, cierto, en los tutoriales. Y yo logramos hacer una versión de todo esto para superficies, no para curvas. Así que estamos muy contentos con eso. Y ahí el artículo lo pueden ver en AppCybe, si es que quieren estudiarlo. Eso. Preguntas, comentarios. Eso es todo lo que quería decir y bien por si caso. Entonces, antes de las preguntas, vamos a agradecer a Héctor. Muchas gracias. Si tienen preguntas, pueden hablar o escribir en el chat. Héctor, quizás podés comentar un poco sobre tu resultado con Gerson. Es un anunciado sencillo como el otro vez. Sí, uno parte con una superficie dentro de una variedad abeliana. Tengo una variedad abeliana y dentro tengo una superficie. Voy a pedir que tengan buena reducción, módulo P, prime of good reduction, lo mismo. Voy a pedir lo mismo. Y voy a pedir que el primo sea mayor que una cierta cantidad geométrica. Aquí es mayor que 2G. Nosotros necesitamos mayor que, creo que era 15 por la primera clase de chen al cuadrado, pero es un número geométrico. P es grande, P es de buena reducción y logramos hacer el caso cuando el jacobiano tiene rango 0 o 1. Y en ese caso da una cota y el número de puntos de la superficie es menor igual que el número de puntos módulo P, más una contribución que viene de la geometría. En este caso para una curva es muy fácil, es el género. En el caso nuestro vienen las clases de chen. ¿Cómo va la condición P mayor a 2G, por qué se restringe por allí? Eso es una pregunta que va, Lesslie si puedes apagar el micrófono un momento porque hay un robote de sonido. Gracias. P mayor que 2G, eso viene para que cuando yo miro los ceros del diferencial, a ver cómo decir esto. Ya, no veo una forma fácil de decir, lo voy a decir técnico. Cuando yo veo los ceros del diferencial, ellos tienen multiplicidades. Un diferencial en la curva, un diferencial regular en la curva, miros o ceros tienen multiplicidades. Me gustaría que esas multiplicidades sean bonitas, que no haya wild ramificación, si es que saben lo que significa eso. Quiero evitar ramificación salvaje y para evitar ramificación salvaje o fenómenos similares de no separabilidad, lo que uno pide es que el primo sea grande y de esa manera el primo no puede dividir los órdenes de ramificación que uno tiene. Ese es el motivo. Entonces es para ver qué tan rápido crece. ¿Por qué no escoger potencias de 2 salvajes, si quieren evitar eso? Es que tiene que ser un primo, el micrófono Lesslie Lesslie. Ya, gracias. P tiene que ser primo para trabajar con peáticos, no puedo tomar un número compuesto. Entonces eso es una limitación. Otra cosa que uno podría intentar hacer es elegir un primo pequeño que compra la condición técnica. O sea que yo calculo, va a parecer un diferencial en la demostración y yo calculo los órdenes de ramificación, o sea las multiplicidades de los ceros del diferencial, los calculo a mano y pido un primo que no divida ninguno y muchas veces eso se hace y el primo sale más pequeño que la cota, se puede optimizar. ¿Algún otro comentario o pregunta? Sí, en el Teorema de Coleman, ¿qué es lo que se pierde? ¿Por qué no se puede obtener la igualdad? Saber exactamente. Tenemos un grupo de estudiantes muy inteligente que se dan directo los puntos clave. Aquí está esa inclusión. Cuando yo tomo la clausura de los puntos racionales, me da un grupo analítico. Esta intersección puede tener puntos trascendentes que son límites de puntos que vienen racionales. ¿Responde eso a la duda? Sí, ok. Entonces ahí puede estar escondida las que no se ven, las soluciones que se pierden. Sí, vienen trascendentes. Entonces uno podría pensar, elijo otro primo donde esas soluciones trascendentes no aparecen. Y eso se hace. Hay gente que aplica el método chaotiqu con más de un primo para evitar ese fenómeno. Ok. Ok, otro comentario. Alguien ha comentado que los enteros son densos en Zp. Si tienes una solución entera, la podrías aproximar por una sucesión en Zp, ¿no? Sí. ¿Podrías entonces usar los peáticos para encontrar soluciones enteras usando estas, estas, este hecho, estas sucesiones que aproximan entero? El problema es saber, cuando tú estás trabajando netamente con peáticos, ¿cómo sabes que el límite es racional? ¿Cómo sabes que no es peático o trascendente quizá? Ah, ok. Sí, es complicado. Hay casos donde se puede hacer, pero es complicado. En la teoría de curvas elípticas, por ejemplo, hay algunos puntos, llamados puntos de Higner, que uno puede aproximar péadicamente y trabajar con ellos y uno sabe de antemano que son algebraicos. Pero es complicado en general saber que un límite sea algebraico, racional, trascendente. Ok, muchas gracias, Victor. Por nada. Héctor, una otra pregunta. No, no he anunciado el teorema de Coleman que usted mostró. Puedes ver si. Yo no soy experto en el asunto, no sé en particular que es un prime of a good reduction, pero son infinitos o son finitos? Son infinitos, pero mejor los de mala reducción son finitos. Los de mala, mala reducción son finitos. A mi pregunta, tengo dos preguntas, en verdad, cuando cuando veo un resultado así, muy legal, es, entonces, la cota del lado, el aprobado del lado derecho depende del pe que você escoge. Entonces, mi pregunta es, obviamente, quieres minimizar el lado derecho. Cómo podría ver para una curva y sé cuál el pe tiene un algoritmo para producir el pe que sería una cosa best possible o perto de eso? Esa es la primera pregunta. Y la segunda es relacionada. Si hay ejemplos de curvas para los cuales eso es una desigualdad distrita para todo pe of good reduction, todo pe en las hipótesis. Sí, y sí. En el primer caso se puede optimizar y la manera en que se optimiza es calcular los primos de mala reducción. Eso se calcula muy fácil. Veo mala reducción significa que la curva ya no es suave. Entonces, uno calcula las derivadas parciales de las ecuaciones, reducemo un o pe y se fija si uno da suave. Ah, todo bien. Es, these are the bad reduction primes. Ok. Sí, sí, sí. Entonces se puede encalcular y yo sé entonces el pe que puedo elegir. Y se puede optimizar. Y el natural gas sería un menor pe posible. Sí, sí. Uno lo toma tan pequeño como se puede. Sí. Y hay casos donde se puede relajar que esa condición se puede, se puede cambiar por algo más débil y en ese caso se puede elegir incluso pe igual a dos. Pero eso es técnico. En realidad este es el principio básico de lo que está acá. Y hay curvas donde ningún primo solo sirve. Hay que ocupar el método de Colemán y algo más. No siempre funciona. Y algo más. Y ese algo más muchas veces significa que la gente escribe un artículo para poder explicar cómo mejorar la cota de Colemán. ¿Para qué es la curva particular? Para alguna curva particular, pero para explicar el método. Tengo una pregunta no chat. Ah, obrigado, Héctor. Muchas gracias por la respuesta. Por nada. Me han sorprendido los resultados. Por otro lado, sobre el próximo resultado hay camino para estudiar el cruce de la superficie. Algo análogo a las curvas como dice Colemán. Leslie, me imagino que te refieres a algo como esto. Sí, o sea me está imaginando algo ya con las superficies. Yo sé que usar las curvas es especial para ver cómo van los puntos. Pero solo quería saber si se podían adelante. En realidad no encuentro una aplicación más que ahora ver con los números primos, pero es algo que estaba maquinando. En el teorema, el teorema de, el teorema de Jershon y mío, donde trabajamos con superficies, el método de Chabotico-Alemán, tenemos que entender cómo intersectar superficies. Y eso lo hacemos con ecuaciones diferenciales en características positivas. Hay métodos, pero no son fáciles, pero hay métodos, hay tecnología para hacer eso, con ecuaciones diferenciales. Cristian nos dice en qué sentido es frecuente que el rango de jacobiano esté acotado por el género-1. Hay conjeturas de gente que cree que si yo tomo un jacobiano al azar, muy probablemente el género sea 0 o 1. Perdón, el rango sea 0 o 1. Se llaman las conjeturas minimalistas. Y para curvas elípticas, hay teoremas al respecto, muchos teoremas, por Manuel Vargaba y mucha otra gente que trabajaba en este tema. Se espera que para dimensión superior funcione parecido, que el rango sea tan pequeño como uno esperaría que sea rango 0 o 1. En ese sentido, también en el sentido empírico, que cuando aparece una curva en un problema diofantino, usualmente este método funciona. Otra pregunta relacionada con algo que preguntaron antes. En el caso que la curva sea singular, ¿hay alguna fórmula que relacione como teore de números con la falla de la fórmula del enunciado de Koleman con la singularidad? Cuando la curva es singular, lo primero que nos hace es desingularizarla, la normalización y trabajar con la normalización. La diferencia no es trivial, porque a veces las singularidades son puntos racionales y cuando yo las resuelvo no hay puntos racionales. Entonces lo que uno haría es eso, desingularizo en la curva que tuve aplico el método de Koleman o el método que yo quiera y después vuelvo a la curva inicial tomando en consideración si las singularidades eran racionales o no. Entonces esencialmente uno tiene como la misma fórmula. Sí. Pasando a la normalización. Vamos a la prueba de Shabotí. Yo quería comprender, digo está entritivamente claro, pero luego me puse a pensar si realmente lo comprendía. Ahora justamente en ese punto, cuando vas a poner la disigualdad siguiente, cuando la disigualdad siguiente, ya, allí. Yo quiero comprender, ya, yo me decía claro, eso tiene que ser cierto, pero ahora me di cuenta que no lo comprendía, porque el logaritmo de J de Q va a ser un retículo, ¿verdad? Sí. Y luego uno le va a tomar la clausura peárica y allí lo que me di cuenta que no comprendía porque es que si clausuro peáricamente un retículo me va a salir realmente una variedad peárica. De hecho, Jaro, mira. La mejor manera de pensar esto es primero entender un paso intermedio que sería el logaritmo de J de Q. El logaritmo de J de Q, ¿qué pierde? Pierde solamente torción. El logaritmo tiene kernel finito, por lo tanto lo que está en el kernel siempre es torción. Sí. Por lo tanto el logaritmo de J de Q tiene el mismo rango y, por lo tanto, el logaritmo de J de Q, cuando tú lo ves en este espacio, va a tener algunos generadores y esos generadores consumas dan el resto, porque esto no es simplemente un espacio exterior con estalares, sino que de hecho es un grupo abeliano. Entonces, con la suma de esto, por lo tanto, me va a dar un y me va a dar algo contenido en un subespacio lineal, un subespacio zeta lineal y, por lo tanto, un subespacio zp lineal o, si quieres, scupe lineal. Entonces, aumentando los escalares solamente puede decrecer la dimensión. Pero puede decrecer, es una desigualdad de verdad. ¿Podría decrecer? Sí, sí, sí, podría decrecer. Porque tengo más escalares, entonces hay combinaciones lineales que, en este lado, tengo más escalares que en este lado. Podría decrecer, pero no va a haber ningún misterio. Ya, está bien, no puede aumentar, no puede haber ningún misterio en la compresión, pero lo digo que estamos haciendo. Tenemos este espacio, si tenemos este módulo zeta, pero lo estamos volviendo un módulo zp, ¿verdad? Y bueno, algo, no sé, algo, si hay algo misterioso que pasa ahí, no estoy seguro. De hecho, no puedo aumentar la dimensión, solo puede. Yo diría, yo diría que es bueno pensar en el siguiente ejemplo. Toma zeta con raíz de 2 dentro de los reales. Ya, eso es un grupo abeliano de rango 2. Porque los números ahí se pueden escribir como a más b por raíz de 2. Un grupo abeliano de rango 2, pero está dentro de los reales. Entonces, cuando yo ahora tomo escalares reales, me quedó de dimensión 1. Ese fenómeno es el que podría ocurrir. Este aclaro ejemplo está medio en redón. Quizá debería yo escribir el que me refiero. No te escuchamos. Yo no lo veo aquí. Ah, se cayó. Tal vez. Creo que sí. Bueno, pero en todo caso, con Carlos puedo conversar después, es que esto no queda claro. Entonces, vamos a agradecer a Héctor una vez más.