 A continuación, recordaremos algunos conceptos básicos relacionados con la estructura de los naturales así como algunas de sus propiedades básicas. Los números naturales surgen en la antigüedad ante la necesidad de los humanos de contar objetos. Inicialmente se contaba con la ayuda de los medios disponibles, ya fuese en dedos o piedras, y poco a poco las diferentes civilizaciones fueron desarrollando sus propias simbologías y sistemas de numeración. Matemáticamente, los números naturales permiten dar respuesta a la pregunta de cuantos elementos tiene un determinado conjunto. Por ejemplo, si el conjunto es el de los números naturales 8 que aparecen en esta imagen, el cardinal de este conjunto es el número natural 2. Los números naturales los notaremos de esta manera. Si el cero es un número natural o no, es un tema de frecuente discusión entre aquellas personas cercanas a las matemáticas. Los partidarios de incluir el cero como número natural, encabezados ya por cantor en el siglo XIX, alegan la necesidad de representar con un número al conjunto vacío. Nosotros no consideraremos al número cero como un número natural y notaremos como n0 al conjunto de los naturales, incluyendo el número cero. Todos estamos acostumbrados a sumar y multiplicar habitualmente nuestra vida diaria, operaciones que hacemos con los números naturales. Las repasaremos brevemente, a continuación, enfatizando algunas de sus propiedades. Comencemos con la suma o adición. Formalmente la podemos definir a partir de esta aplicación que a cada par de números naturales los asacia con un número natural resultante de agrupar o añadir los valores que se desean sumar. Si tenemos 3 elementos y le añadimos 2, el resultado final será el número natural 5. En esta operación los datos reciben el nombre de sumando y el resultado de la operación se le denomina suma. Veamos algunas propiedades. La propiedad asociativa permite asociar el orden de los sumandos que intervienen en la suma. Un ejemplo muy sencillo donde aplicamos esta propiedad es en el momento de realizar mentalmente esta suma, donde instantiadamente agrupamos los valores 99 y 901 que nos permitirán fácilmente calcular el resultado final. La propiedad comutativa permite comutar el orden de los diferentes sumandos involucrados en una suma. Y finalmente el elemento neutro es aquel elemento que al ser sumado con cualquier número natural el resultado de la suma no se vea afectado. Supongo que la mayoría estaréis de acuerdo en que tal elemento es el número 0, pero estamos considerando que el 0 no es un número natural. Diremos en nuestro caso que los números naturales no tienen elemento neutro con la suma. Veamos el caso del producto. De manera similar al caso de la suma definimos del producto a partir de esta aplicación que a cada par de números naturales A y B los asocia con un número natural. Resultados de sumar uno de ellos supongamos que A con el otro, en este caso B, B veces. Si tenemos tres elementos y lo multiplicamos por cuatro, el resultado final será el de sumar cuatro veces tres. Esto es doce. A esta operación, en esta operación los datos reciben el nombre de factores y el resultado final se denomina producto. Al igual que con la suma podemos definir algunas propiedades. Comencemos también por la asociativa que nos permite asociar los diferentes factores de producto. De la misma manera que hacíamos con la suma, esto nos permite, por ejemplo, realizar fácilmente este cálculo mental. La propiedad comutativa nos permite comutar el orden de los factores sin alterar el producto y finalmente el elemento neutro como hemos dicho con la suma, pero en este caso utilizando la propiedad de multiplicación, lo que es aquel elemento que multiplicado con cualquier otro número natural no afecta en su resultado final. Pero que de nuevo esteis de acuerdo conmigo en que si tal elemento existe, sería el elemento el número uno, que sí que es un número natural, con lo cual la operación producto sí que tiene elemento neutro. Además, estas dos operaciones están relacionadas con la siguiente propiedad que para cada esterna de números naturales A, B y C, los permite expresar la suma de dos sumandos multiplicadas por un número natural como la suma de los productos de cada sumando por este número. Llamamos a esta propiedad la distributiva del producto sobre la suma. Con este sencillo ejemplo veremos cómo se pueden usar estas propiedades para calcular el producto de la suma de dos números naturales por el mismo. En primer lugar utilizamos la propiedad distributiva y de nuevo volvemos a utilizar en un par de ocasiones la propiedad distributiva. Observemos que utilizando la commutativa, esta expresión la podemos escribir de esta manera, puesto que B por A es igual a por B. Y finalmente, aunque todavía no hemos hablado de potencia, pero puesto que lo haremos en un par de minutos, aprovecho para recordar que A por A lo podemos notar como A cuadrado y B por B como B cuadrado. Si hacemos lo mismo con el producto del que partíamos, recuperamos la identidad notable de que A más B al cuadrado es igual a A cuadrado más 2 A B más B cuadrado. Seguro que conocida por todos vosotros. Veamos cómo relacionar dos números naturales. Supongamos que tenemos el par de números naturales 5 y 3 y 128 y 17 y queremos establecer una relación entre ellos para saber cuál es mayor. Diremos dados dos números naturales A y B que A es mayor que B y lo notaremos así si existe un número natural N de manera que A lo podemos escribir como B más N. De esta manera, puesto que 5 es 3 más 2, diremos que 5 es mayor que 3. Y un razonamiento similar nos lleva a afirmar que 128 es mayor que 17. Otros operadores similares que nos permiten relacionar dos números naturales serían los siguientes. El mayor que, que acabamos de presentar, de manera similar definimos el menor que y, cuando incluimos la posibilidad de que haya igualdad entre los dos términos, diremos mayor o igual que o menor o igual que. Y ahora que ya podemos relacionar los números naturales, podemos definir la operación resta o sustracción con la idea de que dado un cierto número natural, pongamos por ejemplo estas 9 manzanas, les podemos restar 3. Y lo notaremos de esta manera, de manera que el resultado final serán estas 6 manzanas. Antemáticamente los escribiremos de la siguiente manera, dado dos números naturales a y b, de manera que A sea mayor o igual que b, definimos la resta entre a y b como el número natural n, incluyendo al 0 de manera que A es n más b. Al primer término de la resta lo notaremos minuendo y al segundo sustraendo, mientras que al resultado final de la operación lo denotaremos como diferencia o resta. Es importante observar que esta operación solo está definida sobre los números naturales cuando el minuendo es mayor que el sustraendo. La potencia de un número natural n es una expresión matemática que representa la multiplicación de este número n varias veces por sí mismo. Por ejemplo, si un número se multiplica por sí mismo dos veces, diremos que es el cuadrado de dicho número y lo notaremos así. Y en el caso de que sea tres veces, hablaremos del cubo y lo notaremos de esta manera. Más en general, si se multiplica hasta un total de m veces, lo notaremos así, donde n es la base y m es el exponente, n es el número que multiplicamos y m es el número de veces que estamos haciendo tal multiplicación. Algunas propiedades de las potencias serían las siguientes. Con los números naturales n, m, a y b, diremos que el producto de potencias que tienen igual base y diferente exponente es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. En el caso de que tengamos potencias de diferente base e igual exponente, su producto es el producto de las bases elevados al exponente común. Y finalmente, la última, la potencia de potencias, diremos que el resultado es la misma base elevada a el producto de los exponentes. Es muy importante remarcar que si lo que nos encontramos es con la suma de potencias de diferente base e igual exponente, esto no es en general igual a la suma de las bases elevada al exponente común. Veamos un ejemplo para familiarizarnos con las propiedades descritas de las potencias. Así, dada la siguiente expresión y teniendo en cuenta que 25 es 5 al cuadrado y 8 son 2 al cubo, podemos reescribirla de la siguiente manera, 5 al cuadrado al cubo, 2 al cubo al cuadrado más 2 a la sexta. Utilizando las propiedades de potencia y potencia que hemos visto, diremos que esto es 5 a la 6 por 2 a la 6 más 2 a la 6, pero ahora tenemos potencias que tienen igual exponente y diferente base y las estamos multiplicando. Esto quiere decir que podríamos escribirlo como 10 a la 6 más 2 a la 6. Y aprovecho de nuevo para remarcar que esto es diferente del 12 a la 6, puesto que no se cumple la propiedad en el caso de que estemos sumando potencias de diferente base e igual exponente. Finalizaremos el vídeo lanzando una pregunta y un ejercicio. Comencemos con la pregunta. Recordad que la idea que os proponemos es que leáis el enunciado, paréis el vídeo, si es necesario y pensáis en una posible respuesta. Si continuáis el vídeo os desvelaremos la respuesta correcta. En esta pregunta en concreto se trata de calcular, utilizando las propiedades que hemos visto de los números naturales, cuánto vale el siguiente producto para cualquier par de valores naturales a y b. Bien, espero que todos hayáis elegido la respuesta 2, puesto que efectivamente si utilizamos la propiedad distributiva del producto sobre la suma en un par de ocasiones, este es el resultado que obtenemos. Y ahora sí, acabamos proponiendo un ejercicio donde se trata de operar con las operaciones de la potencia. Aquí sí, que os sugerimos fuertemente que cogáis lápiz y papel e intentéis resolverlo. Sin duda alguna es la manera en la que comprobaréis si habéis adquirido los conocimientos propuestos en este vídeo o no. Recordad que si queréis comprobar la solución o habéis tenido algún problema en la resolución, podéis comprobar la resolución en el vídeo que se muestra anexo.