 Merci beaucoup, bonjour à tous, donc je vous rappelle de quoi on a parlé la semaine dernière où je vous dis pour ceux qui sont arrivés cette semaine donc notre but c'est de comprendre le lien entre une théorie quantique à un corps et une théorie donc linéaire et une théorie non linéaire effective donc c'est le lien entre le amytonien suivant hn lambda qui était la somme j peut-être je mets un grand n comme j'avais fait la semaine dernière j égale 1 à n de moins y le gradient xj plus a de xj plus v de xj plus lambda la somme sur toutes les pairs w de xj en xk d'accord donc ça c'est un amytonien à n corps qui décrit le comportement de n particules quantiques avec un potentiel extérieur v un potentiel magnétique a ou qui peut décrire par exemple la rotation et une interaction w corps et lambda c'est une constante de couplage donc on voulait comprendre le lien entre cette théorie et le modèle non linéaire basé sur l'énergie suivante e h de u qui est juste l'intégrale de moins y le gradient de u de x plus a de x u de x carré d'x on est tous sur rd plus l'intégrale de v u carré et plus un terme non linéaire un demi de u de x carré u de y carré w de x moins y et je vous rappelle que cet opérateur ici est défini sur un domaine de l2 de rd puissance saine et on regarde des bosons ça signifie qu'on se restreint aux fonctions qui sont symétriques par rapport aux échanges des variables ce qui est quand on regarde le la première valeur propre c'est important seulement s'il y a n'est pas nul et donc la semaine dernière on a exprimé le lien entre ces deux théories dans le cas de dans le cas des minimiseurs donc on avait défini e de n qui est l'inf du spectre de hn lambda peut-être je peux mettre le bon mettons le lambda donc c'est à dire l'inf des psy hn lambda psy sur tous les psy qui sont normalisés dans le domaine qu'il faut pour que tout ait sens et ensuite on avait regardé le problème de minimisation non linéaire donc qui est l'inf des e h de u sous la contrainte que u est normalisé non et on avait annoncé deux théorèmes donc le premier c'était le fait que e de n lambda divisé par n converge vers e h dans la limite où n tend vers l'infini et lambda n tend vers 1 on avait pris lambda égal à 1 sur n directement et donc lorsque l'amda est d'ordre 1 sur n on avait dit que c'était le résumé de ce champ moyen donc ça c'était la convergence de l'énergie pour les minimiseurs énergie minimale et ensuite on avait un théorème de convergence pour les minimiseurs eux-mêmes que je vais écrire à côté ici encore donc on avait deux cas on avait le cas confiné où on n'était sûr de pas perdre de masse à l'infini et le cas non confiné regardons le cas où v tend vers l'infini à l'infini qui est le cas confiné donc on est sûr qu'on va pas perdre de masse dans ce cas là le résultat c'était que si on prenait une suite psy n qui donne la bonne énergie au premier ordre on sait que l'énergie se comporte comme n d'accord alors dans ce cas là il existe une sous suite je vais pas l'écrire je vais juste écrire à sous suite près ce qu'on avait c'est que les marginales de notre état quantique convergeaient vers des une moyenne une superposition d'état factorisé donc c'est à dire on regarde psy n qu'on teste contre un opérateur à qui ne dépend que de cas variables et qui agit sur les cas premières variables donc ça veut dire qu'on fait tenseur l'identité de n-k donc ça ça veut dire un opérateur qui nageit que sur les cas premières variables et on avait la convergence toujours dans la même limite ou n tend vers l'infini et lambda n tend vers 1 vers des états qui sont factorisés donc u tend sur k a u tend sur k des mu de u et mu c'est une mesure de probabilité sur l'ensemble des minimiseurs du problème non linéaire d'accord donc on avait dit qu'on avait convergence faire les minimiseurs du problème non linéaire basé sur l'énergie de artri e h de u mais la convergence n'est pas en norme c'est seulement une convergence quand on regarde les marginales c'est-à-dire quand on teste contre des fonds contre des opérateurs qui dépendent seulement de cas variables et par ailleurs comme les minimiseurs en question ne sont pas forcément uniques on pouvait trouver une combinaison convex de ces minimiseurs et la combinaison convex c'est la mesure mu qui peut dépendre de la sous-suite d'accord bien par ailleurs on avait dit que en fait on peut même construire des suites psyènes pour renverger vers n'importe quel mu sur l'ensemble des minimiseurs donc c'est un résultat à peu près optimal donc ce que vous voyez de ce résultat c'est que dans cette limite de champ moyen ou le nombre de particules tend vers l'infini l'objet final adéquate c'est vraiment une mesure sur l2 d'accord il se trouve qu'ici la mesure est concentrée sur les minimiseurs du problème non linéaire mais vraiment vous devez penser que l'objet final c'est pas vraiment un minimiseur de l'énergie non linéaire c'est vraiment une mesure sur l2 qui se trouve ici est concentré sur les minimiseurs et donc le but de secours c'est de vous parler de mesures de gipses en l'être à la section 3 qui vont être un autre type de mesure vers lesquels on aura encore convergence de limite de type champ moyen mais qui vont encore être des mesures dans l2 ou pas on va discuter ça mais qui seront plus concentrés sur l'ensemble des minimiseurs c'est des mesures qui vont vivre généralement sur tout l'espace donc il faut je vous explique ce que sont les mesures de gipses et notre but c'est de démontrer un résultat similaire avec des muts différents ici qui vont être des muts plus compliqués qui vont être sous la forme exponentielle ou un bétal énergie essentiellement donc pour ça je vous rappelle ce que sont les mesures de gipses disons en mécanique classique donc je vous rappelle que si vous avez un amiltonien classique h sur rd croix rd vous avez les positions et les vitesses dans ce cas là la mesure de gipses bon en fait c'est une fonction l1 c'est une mesure qui est absolument continue par rapport à le bègue et c'est exponentiellement un bétal h j'ai pris de xp dx dp avec le bon facteur de renormalisation de normalisation z1 ou z bas c'est l'intégrale de exponentiellement un bétal h d'accord donc c'est ça une mesure de gipses et bétal c'est l'inverse de la température et c'est pas difficile de voir que bon moins formellement si vous faites tendre t vers 0 c'est-à-dire bétal à l'infini cette mesure va en fait se concentrer sur les sur l'ensemble des minimiseurs de la fonction h puis ce sera la mesure uniforme sur ces minimiseurs d'accord donc alors vous remarquerez que pour que cette mesure soit bien définie il faut des propriétés de l'intégrabilité et essentiellement il faut toujours être dans le cas confiné donc c'est ce qu'on supposera toujours dans la suite non plus précisément si h de xp notre amytonien classique est sous la forme p² plus v2x comme d'habitude alors remarquez ici que on peut avoir n particules dans ce cas c'est juste que dès vous devez penser que c'est la dimension de l'espace multiplié par grand n et le v sera très compliqué ce sera une somme de plein de termes mais bon je peux tout inclure juste sous une forme comme ça donc pour que votre z soit fini vous voyez que vous avez deux intégrales en ce cas là vous aurez exponentiellement un beta p² dp la mesure se factorise qui est toujours fini non ça ça va mais ensuite vous avez exponentiellement un beta v2x qui sera fini seulement si v est envers l'infini de manière appropriée ça c'est fini avec des conditions sur v la condition c'est que ce soit fini d'accord donc on va maintenant toujours se placer dans le cas confiné qui pour les minimiseurs était le cas plus simple donc tant mieux alors vous remarquerez que cette mesure et donc cette mesure ici je vais l'appeler mu donc mu est un variante par le flot amyltonien et c'est juste parce que mu c'est une fonction de h et que h est constant le long des trajectoires d'accord donc si vous regardez le comment dit le push forward de la mesure par le flot mu ne bouge pas une variante donc c'est des mesures invariantes c'est des mesures très naturelles alors pourquoi on regarde exponentiellement un beta h et pas une autre fonction de h donc ça ça vient du fait que mu en fait résout un problème de minimisation résout le problème variationnel suivant où vous regardez dans vous faites le bon minimum un film homme surtout les probabilités p bon en fait ce seront tout absolument continu par rapport à le bec donc j'écris p positive et intégrale de p égal à 1 de l'intégrale du amyltonien fois p plus t l'intégrale de p log p donc ce que vous voyez c'est que si la température est nulle vous devez minimiser l'intégrale de h fois une probabilité p et ça c'est minimum lorsque p est une delta sur le point où h est minimum donc c'est le problème de minimisation et dans ce cas là le p est une delta et on se contente de minimiser la fonction h par contre donc ça c'est vraiment eux moins ts énergie moins t fois l'entropie et l'entropie c'est le moins intégrale de p log p qui contraint la mesure à être plus lisse et l'unique solution de ce problème on en reparlera l'unique solution est justement exponentiel moins beta h ou beta et 1 sur t quand vous pouvez juste résoudre l'équation d'heuler la grande et vous allez trouver qu'il faut pardonner le moins d'accord donc c'est juste que au lieu de minimiser l'énergie on minimise l'énergie moins t fois l'entropie et l'entropie force la mesure à être un petit peu plus étalée et l'autre chose que je voulais vous dire c'est que l'infimum on peut le calculer donc il suffit de mettre la mesure mu dans la formule et vous allez voir que l'infimum vaut moins t log de z c'est à dire moins t le log de l'intégrale de exponentiel moins beta h voilà et à ce que j'ai oublié de vous dire c'est que z s'appelle la fonction de partition peut-être que au lieu d'écrire beta j'écris 1 sur t voilà donc ça c'est dans le cas d'un système amiltonien en dimension finie classique maintenant nous ce qu'on voudrait c'est définir des mesures similaires pour notre système amiltonien en dimension infinie d'accord ou au lieu d'avoir un h sur rd croix rd on a une fonction sur tout l2 d'accord cette fonction de artri là bas et fonctionnellement linéaire eu h2u donc nous ce qu'on veut regarder si on veut étudier je veux dire la mesure de Gibbs pour eu h donc il va donc être un problème en dimension infinie et donc qui est formellement la mesure suivante c'est des nu de u qui vaut z-1 exponentiel moins beta eu h2u d u sauf que évidemment tout ça c'est entre guillemets parce que u c'est une fonction donc u est une fonction et donc le but c'est de vous définir ces objets vous expliquez comment les construire quels sont leurs propriétés et ensuite montrer qu'ils apparaissent naturellement dans une limite type champ moyen donc qu'on a déjà regardé la semaine dernière quand on veut étudier ces mesures et montrer qu'elle apparaît dans une limite de champ moyen donc ces mesures sont les objets qui sont bien connus d'accord et qui sont beaucoup étudiés donc à importance de ces mesures donc historiquement ces mesures ont été abondamment étudiées dans les années 70 par les gens qui faisaient de la théorie des champs théorie quantique des champs constructifs en y aussi euclidean puisque souvent la méthode pour les construire était basée sur les techniques euclidean et les noms les noms importants dans donc c'était dans les années 70 on s'a commencé à la fin des années 60 puis pendant toutes les années 70 donc les noms importants c'est glime jaffi saimone rosen nelson guérat bon et j'en oublie plein d'autres probablement alors vous allez me dire les théories quantiques c'est plus compliqué qu'elle rapport avec des mesures d'une certaine manière classique puisque c'est un système amyltonien classique en dimension infinie donc l'idée c'est que vous avez la formule de fan mancat qui vous permet c'est avec des intériles de chemin donc c'est à dire qu'un problème quantique en dimension d vous pouvez l'écrire en utilisant un problème classique en dimension des plus un donc la fonction de partition quantique que j'ai pas encore défini vous pouvez l'écrire en fonction d'une fonction de partition classique en rajoutant une variable qui est le temps le temps de parcours des particules sur les chemins d'accord et donc en fait toute une une grande partie de ces travaux était concentré en fait à construire des mesures classiques donc c'est vraiment l'étude du problème classique donc des mesures classiques qui a beaucoup occupé les gens et puis aussi après il y avait évidemment la justification de la formule fan mancat c'est le fait qu'on puisse reconstruire toute une théorie simplement en ayant construit ces mesures donc si vous regardez les il y a bon il y a plusieurs livres bon il y a au moins un livre très célèbre de glime et de jaffy ou vous verrez qu'une grande partie en fait consacrée à la construction des mesures classiques qui sont celles qui nous intéressent ici bon là tout le problème c'est des problèmes de renormalisation l'en parlera un tout petit peu après mais pas trop alors ces mesures sont un peu réapparues dans les années 90 2000 dans la communauté des des gens qui font des EDP et l'idée c'était d'utiliser ces mesures pour donner un sens et puis résoudre mettons pour résoudre l'équation dépendant du temps avec des conditions initiales singulière d'accord donc là les noms donc les plus importants donc je pense que ça a commencé avec un article de l'ébovit rose et spire ça c'est 88 qui regardait nls focalisant 1d et ensuite ça était fortement popularisé par bourgain au milieu des années 90 donc qui a regardé bon différents problèmes en 1d en 2d et vraiment le but c'était en utilisant ces mesures de montrer que l'équation dépendant du temps fait sens sur une classe de fonctions plus grandes que celles dont on avait l'habitude du point de vue des conditions initiales et que par ailleurs la mesure était invariante par le flou et ensuite vous avez beaucoup de travaux donc il y a beaucoup d'autres il y a des travaux de makin au milieu des années 90 aussi et puis ensuite ceux qui m'ont moi servi à entrer dans le sujet donc tous les travaux de burk zvetkov toman donc certains enfin les auteurs ont pas forcément toujours travaillé tous les trois ensemble des articles de nicolai seul de nicolai et nicolai donc ça c'était vraiment à partir de 2008 moi ma connaissance et puis après il y a aussi han soufi de suzony en 2011 vous avez colander et haut qui ont beaucoup travaillé sur le sujet de tous ces gens bon les trouvent facilement sur archive et après dans différentes revues je vous donne les noms quelques pointeurs juste pour vous puissiez à toutes et sur archive ça c'était en 2011 aussi il y a beaucoup d'articles mais je vous donne ceux qui qui me semble important donc il y a beaucoup d'activités même encore récemment sur ces sujets alors vous allez me dire pourquoi cette mesure permet de donner un sens à une équation dépendant du temps avec des conditions initiales singulaires c'est qu'en fait la mesure et elle même définit sur des distributions parfois donc pourquoi c'est intéressant on aura toujours ou on a toujours que l'énergie sera toujours infinie mu presque sûrement vous voyez c'est une mesure étrange parce que on la définit comme exponentielle moins beta l'énergie avec un facteur de normalisation mais en fait à la fin l'énergie est toujours infinie d'accord donc la mesure et ce qui du coup vous comprenez pourquoi il y a des guillemets là bas on verra l'énergie est toujours infinie mu presque sûrement et la masse est aussi infinie nu presque souvent dans beaucoup de cas en fait pour les cas pratiques pour toute dimension super égal à 2 donc la mesure ne vit pas vraiment sur l'espace sur laquelle on aurait imaginé par exemple elle deux à la tendance à vivre sur un ensemble sur l'espace de distribution et c'est ce qu'on va discuter aujourd'hui d'accord donc ces mesures sont sont bien connues d'accord donc elles ont été vraiment construites dans les années 70 c'est beaucoup étudié ensuite utilisé récemment par les épices par ailleurs bon les probabilistes connaissent bien ce type d'objet également notre but c'est de faire la dérivation de ces mesures à partir du problème quantique mais aujourd'hui je vais vous les décrire quand je vais vous expliquer comment construit ces mesures et quelles sont leurs propriétés et n'hésitez pas à m'interrompre si vous avez des questions donc ce sont les objets un peu étranges parce que à la fin elles sont vraiment elles ont l'air d'être assez étrangères à l'énergie dont elles sont issus mais c'est aussi ce qui les rend intéressant donc quelle est la stratégie pour définir mu d'accord donc je rappelle que mu c'est censé être exponentiel moins beta l'énergie non linéaire bon on va prendre une stratégie qui est un petit peu optimiste et qui en fait marche pas tout le temps mais qui est de commencer avec le cas où il n'y a pas d'interaction auquel cas on a le problème linéaire dans l'énergie est quadratique donc la première étape c'est de définir mu 0 qui est aussi entre guillemets juste exponentiel moins beta alors je vais écrire uh u du ou h c'est l'opérateur bon essentiellement c'est le laplacien quoi mais chez nous c'est moins i gradiant plus a au carré plus v donc la partie quadratique de l'énergie qui est associée à la partie linéaire de l'équation indépendant du temps encore et comme ça c'est juste une mesure gaussienne on dit aussi mesure de vinaire du grand dimension 1 pour le laplacien et je vous expliquais comment on a construit et puis une fois qu'on a cette mesure il faut savoir quelle est son support et cetera mais l'idée c'est de définir mu le mu qui nous intéresse qui comprend la partie non linéaire par rapport à cette mesure d'accord donc notre mu sera juste défini comme une constante fois juste à partie non linéaire donc exponentiel moins beta sur de l'intégral double de w de x min y u de x carré u de y carré d x et y fois d mu 0 et vous voyez imaginer que w soit positif pour commencer d'accord donc le cas défocalisant vous voyez que bon bah ça c'est toujours un fer au égal à 1 donc pour que ce soit bien défini la seule et une question c'est est-ce que ce qu'il y a dans l'exponentiel est fini mu 0 presque sûrement au moins sur un ensemble de mesures non nul donc le facteur de normalisation ce sera juste l'intégral de exponentiel moins beta le terme non linéaire des muséros de u et comme je dois diviser par ce facteur de normalisation il faut que ça soit strictement positif sinon je vais pas pouvoir définir la mesure correctement et donc la seule question c'est est-ce que le terme non linéaire qui chinois et quartique est fini sur un ensemble de mesures non nul et la mesure c'est muséros d'accord donc ça c'est une vision un peu optimiste il se peut que la non linéarité soit très importante et qu'on puisse pas décomposer le problème en deux parties mais dans les cas les plus simples ça va marcher d'accord donc une première étape qui consiste à définir cette mesure gaussienne et ensuite une deuxième étape qui consiste à donc on nous dit juste que l'exponentiel s'écrit comme un produit de exponentiel et une fois qu'on a bien étudié muséros ça permet de définir la mesure non linéaire encore une fois qu'on a cet objet on peut regarder si elle est invariante par le flot et puis ensuite on peut faire la dérivation à partir du problème à un corps etc bien donc du coup maintenant je vais vous parler de mesure gaussienne donc c'est un sujet extrêmement classique en probabilité mais un peu moins pour les adnistes comme moi donc je vais vous raconter la base sur ces objets donc pour comprendre un petit peu ce qui se passe on va devenir un petit peu plus abstrait d'accord donc on prend un opérateur à sur un espace de hilberte h nous a sera juste notre laplacien magnétique plus v et h sera l2 l2 de rd ou l2 de omega si on est dans un domaine borné d'accord et on suppose que a est à résolvent compact donc auto adjoint je n'ai pas dit mais résolvent compact et on suppose aussi que a est défini positif j'écris auto adjoint ça veut dire que à vous pouvez le diagonaliser avec des valeurs propres lambe d'agis donc je peux les supposer ordonner c'est plus simple l'an d'un est strictement positif et l'an d'arène tend vers plus l'infini et donc à pour nous sera juste et pensée au laplacien sur un domaine borné ou alors au laplacien perturbé par un potentiel qui tourne vers l'infini pour que la résolvent soit compact et donc ce qu'on veut faire c'est définir définir la mesure je vais l'appeler nu indice a qui est facteur de normalisation x et bêta je vais le prendre égal à un ça change rien on veut définir cette mesure x à x d et donc l'idée puisque a est diagonalisé c'est qu'en fait c'est la formule pour cette mesure c'est le produit tensoriel infini j supérieur égal à 1 de l'an d'agis sur pi qui est le facteur de normalisation exponentielle moins l'an d'agis xj carré des xj donc c'est un produit tensoriel infini qui est sur chaque sur chacun des sous espaces propres de a et gaussienne donc je tire sur votre attention sur le fait qu'on a des fonctions à valeur complexe et donc le dé xj il est vraiment dimension 2 c'est un dé de la partie réelle et donc on est vraiment danser là et c'est pour ça que la normalisation de la gaussienne on est vraiment dimension 2 c'est 1 sur pi alors que signifie ce produit tensoriel infini bon ben vous savez que si vous avez une mesure quelconque nu sur un espace de h vous pouvez regarder ce qui s'appelle la projection cylindrique à pardon à pardon oui xj c'est vj scaleris c'est la coordonnée et mon produit scalaire est toujours l'inéra droite donc si vous avez une mesure une mesure mettons une mesure de probat sur un espace de illberte h vous pouvez définir ce qui s'appelle la projection cylindrique vous prenez un espace vectoriel v de dimension finie vous pouvez définir la projection cylindrique j'appelle nu restreint v qui en fait est une marginale donc le dessin imaginez que vous êtes dans r3 vous prenez un plan et vous définissez la projection sur le plan simplement en intégrant complètement la mesure sur l'orthogonal du plan et ça vous définit une mesure sur le plan donc cette mesure nu indice v est juste caractérisée par le fait que si vous intégrer contre une fonction qui ne dépend que des variables que des coordonnées de v mettons d'accord donc on peut simplement dire que f du projecteur sur vx des nu de x sur h est égal à f de y des nu restreint v de y sur v d'accord donc dit autrement vous regardez votre sous espace vectoriel v vous regardez l'orthogonal si vous prenez une fonction qui ne dépend que des variables que impliquée dans dans l'espace de l'espace v comme c'est le cas ici puisque j'ai mis la projection alors dans ce cas là vous pouvez intégrer complètement toutes les autres et vous avez la marginale sur v qui maintenant est une mesure boréliène habituelle sur un espace de dimension finie d'accord donc quand j'écris ce produit tensoriel vous devez penser donc le produit tensoriel signifie que si vous prenez la mesure nu a et que vous la vous regardez sa projection cylindrique sur l'espace qui engendrait par les n premiers vecteurs propres de a vous prenez vn qui est l'espace engendré par v1 jusqu'à vn pour bien ça veut dire que c'est juste une gaussienne mais maintenant en dimension n donc c'est la signification de cette formule ici chaque fois vous prenez un espace l'espace engendré par les n premiers vecteurs propres vous regardez la projection cylindrique de la mesure sur cet espace de dimension finie alors ça doit être la gaussienne compense juste parce qu'on peut intégrer contre toutes les autres variables et commut une mesure de probabilité et disparaissent bien donc maintenant la question naturelle c'est à quelle condition ce produit fait vraiment sens ou dit autrement à quelle condition une mesure sur l'espace de hilberte est complètement caractérisée par ses projections cylindriques donc ça c'est c'est bien connu je pense que les gens d'habitude renvoient à score au code je sais pas c'est vraiment dû à lui mais du moins il y a un livre qui s'appelle integration libre space c'est un des livres classiques sur le sujet et dans les trois premières pages c'est exactement ce qu'ils discutent donc ils vous expliquent qu'une mesure mettons une mesure de probat une mesure finie sur h et caractérisé par ses projections cylindriques chaque fois que vous prenez une suite croissant de l'espace qui tend vers tout l'espace de hilberte pour la convergence forte d'accord non vous prenez une suite croissant d'espace quelconque alors si vous connaissez toutes les projections cylindriques vous connaissez la mesure dit autrement connaissant les mesures cylindriques il existe une unique mesure bon maintenant vous pouvez poser le problème à l'inverse à l'inverse si vous donnez une famille de projections cylindriques enfin vous savez pas encore c'est une projection mais vous donnez une famille de mesures sur des espaces qui grossissent qui sont tels que chaque fois vous prenez la projection d'une mesure sur un espace plus petit alors vous trouvez l'autre mesure d'accord est ce que vous savez qu'il y a une mesure au-dessus dont dans toutes ces mesures sont les projections cylindriques et la réponse est oui à condition que la suite soit tendue donc si vous avez une suite nu n sur vn qui est une suite croissant d'espace tel que quand vous restreignez nu n à vp avec p à faire regard à n vous trouvez nu p donc ces nu n proviennent d'une mesure nu si et seulement si la suite est tendue c'est à dire vous calculez nu n bon alors vous êtes que dans vn d'accord donc vous calculez la masse qui est en dehors d'une grande boule pour toutes les psyllones positifs il existe un r tel que la masse en dehors d'une grande boule soit petite uniformément par rapport à n c'est juste parce que cet objet doit en fait être le nu de vn de la boule du compréhimentaire de la boule qui est un furégal à la mesure en dehors de la boule qui doit être petit parce qu'on a une mesure ça c'est la base sur la théorie de la mesure dans l'espace d'hubert et donc maintenant on regarde ce produit en sortiel et on se demande à quelle condition la suite est tendue donc il ya un petit l'aim ou en mettant théorème oui oui oui non il ne se passe d'hubert il ya une norme plus qu'alerte sans regard donc le théorème c'est qu'une mesure gaussienne je veux dire la mesure nu a donc celle qui est définie par un opérateur a dont la résolvante est compact etc et bien définie donc bien définie ça veut juste dire que cet objet ici donc c'est de suite ici est tendu si et seulement si la résolvante est à trace c'est à dire que la somme des 1 sur les valeurs propres convergent donc vous voyez que pour que la mesure gaussienne soit bien définie il faut en fait que les valeurs propres tendent assez vite vers l'infini de sorte que la série des 1 sur les valeurs propres soit convergent ça c'est un résultat très très classique vous lisez dans dans tous les livres mais je voudrais vous donner une toute petite preuve parce que je voulais garder ça donc preuve c'est très alimentaire mais ça fait pas de mal surtout quand on n'a pas trop l'habitude avec ces objets donc on va supposer d'abord que la trace de à moins 1 est finie et on va montrer que la suite est tendue qu'est ce qu'il va faire et donc en fait l'astuce je vous donne juste les étapes après donc la tue l'astuce c'est de regarder intégrer x carré sur la mesure nu évidemment vous allez me dire la mesure existe pas encore parce qu'on veut la construire mais ce que vous faites tout simplement c'est que vous prenez le projecteur pn c'est le projecteur orthogonal sur vn et vous calculez donc pnx au carré sur la mesure nu donc il n'existe pas encore mais qui en fait égal à juste l'intégral de je vais créer y carré des nu à restreint vn de y sur vn d'accord alors évidemment y carré c'est juste la somme des y qui carré et ensuite si vous regardez par exemple y1 carré vous voyez que tout puisque vous regardez la marginal juste pour la variable numéro 1 toutes les variables x2 enfin y2 jusqu'à yn vont s'intégrer à 1 il va juste forester l'intégral de la gossienne fois x carré qui se calcule et qui vous donne 1 sur l'ambdagie et donc en fait quand vous calculez tout ça vous voyez que c'est exactement égal à 1 sur l'ambdagie j'ai égal à 1n d'accord et donc voyez que si cette série est convergente bon ça va vous dire que quand vous testez contre x carré la mesure est finie et donc forcément elle est tendue puisqu'elle décroie assez vite quand vous regardez la mesure en dehors de la boule vous pouvez l'estimer par 1 sur 1 sur r2 alors on peut même démontrer un petit peu mieux j'aurais pu le mettre dans le théorème mais en fait il y a même des croissances exponentielles une fois vous savez que la mesure existe vous pouvez même calculer exponentielle epsilon x carré des nu à 2x donc vous faites pareil vous commencez par mettre un projecteur pn d'accord et puis une fois que vous avez pn là vous pouvez calculer explicitement et en fait vous allez voir que c'est le produit quand donc le quand vous mettez un epsilon x carré c'est comme si vous prenez votre opérateur a et vous faites moins epsilon donc les valeurs propres sont décalés de epsilon mais par contre la normalisation ne coïncite pas puisque vous avez normalisé avec l'ambdagie donc si vous faites le calcul vous allez voir que ça vaut l'ambdagie divisé par l'ambdagie moins epsilon le produit on dit autrement c'est le produit des 1 sur 1 moins epsilon sur l'ambdagie et ce produit est convergent à condition que la somme des lambdagie soit finie et donc voyez que cette intégrale va être finie dès que epsilon est plus petit que l'ambdagie d'accord donc une mesure gaussienne elle est en fait exponentiellement décroissante parce qu'il est un peu normal pour une mesure gaussienne et le coefficient critique on peut mettre c'est la première valeur propre de l'opérateur alors en fait donc là on a calculé l'intégrale donc souvenez-vous de cette formule intégrale de x carré des nu A de x pour une mesure gaussienne c'est toujours la trace de A moins 1 c'est ce qu'on l'a trouvé donc c'est à dire la somme des 1 sur l'ambdagie alors en fait on peut aussi regarder un objet intéressant qui est l'intérale du projecteur orthogonal fin ça nomme des pas 1 c'est pas vraiment projecteur orthogonal donc j'utilise ici la notation des féliciens avec le quête et le bras d'accord donc ça ça veut dire bon c'est norme de x carré fois le projecteur orthogonal sur x sur l'ambdagie si vous calculez cet objet en fait vous allez trouver à moins 1 c'est à dire la résolvante par le même calcul que ce qu'on a fait en fait pour le trouver il suffit de faire le produit scalaire avec v i et v j qui sont les vecteurs propres de A et puis ensuite c'est le même calcul qu'avant sauf qu'on a x i x j il faut pouvoir calculer l'intérale de la gaussienne fois x i x j bar même puis vous allez voir que ça fait delta i j fois l'intérale de x carré donc vous allez trouver ça encore si vous n'avez pas cette notation vous pouvez juste dire que si vous regardez y scalaire x et x scalaire z on s'avoue z à moins 1 y pas du tout y à moins d'accord et ça c'est vraiment très important quand vous intégrer cet opérateur qui est un peu la projection orthogonal vous trouvez la fonction de green parce que quand c'est la placien la résolvante c'est juste la fonction de green on retrouve la résolvante dans le cas d'un opérateur à abstrait alors je voudrais vous donner la preuve de l'autre de l'autre sens rapide c'est à dire que si nua est bien défini c'est-à-dire que la suite est tendue alors en fait la trace doit être finie c'est quoi le raccord avec la boule de rayon r ben tout ça implique à quel moment je pourrais essayer de démontrer que le critère ah oui oui bien sûr là j'ai pas conclu c'est à dire que une fois qu'on sait que x carré est intégrable uniformément en n ben ça montre que c'est forcément tendu jusque si on calcule l'intégral en dehors de la boule ça va se majorer par 1 sur r carré et donc ce sera tendu d'accord donc ce truc est en fait beaucoup plus fort que ce qu'on voulait et avec la convergence exponentielle là enfin le fait que les c'est exponentiellement décroissant c'est encore beaucoup plus fort ça va même se majorer par exponentielle moins epsilon r carré voilà je vais juste vous faire la preuve de l'autre sens pour que vous voyez bien que c'est vraiment très très nécessaire que la résolvante soit à trace parce que il y a une preuve sympathique que j'aime bien qui est basée sur point carré viertinger donc inégalité vous avez un point carré viertinger gaussien qui bon en gros c'est des choses sur la cellulaire harmonique c'est rien c'est que si vous regardez une fonction f je dis en dimension finie on prend une gaussienne sur l'espace de dimension n il faut garder une fonction f et vous soustriez la moyenne de f contre contre une gaussienne donc j'écris nu a mais maintenant on est en dimension finie vous avez une matrice une matrice a qui vous définit une gaussienne et vous intégrer encore contre la gaussienne pendant j'écris rn vraiment pardon cn bon alors en fait ça ça peut s'estimer par une constante qui je crois doit être un de mi le gradient de f au carré des nu a 2 donc c'est juste le fait que donc nu a c'est la gaussienne avec la matrice a une matrice herbicienne en dimension n donc c'est juste le fait que si vous regardez l'opérateur associé à cette forme quadratique il va être un résolvant de compacts bon et la première valeur propre c'est 0 parce que c'est quand vous prenez f égale 1 quand si vous prenez f égale constante non et les noms dégénérés comme tous les opérateurs en théorème de type mettons un péronfrobénus et donc en fait la deuxième valeur propre est strictement positive et donc vous avez un point carré viertinger et en fait on peut tout calculer juste en utilisant les polynômes de hermite tout explicite alors comment on utilise ça donc en fait on est en dimension n quand on regarde les suites nu n et on va prendre f de x égale la norme de pn x carré qui est aussi x pn x donc on prend le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les n premières fonctions propres de a et on applique cette inégalité alors qu'est ce qu'on trouve ben vous voyez on trouve que l'intégrale de la norme de pn x au carré moins donc il faut calculer ici l'intégrale de x produit scalaire pn x contre la mesure a mais vous voyez en utilisant la formule que je vous ai donnée ici ça fait en fait la trace de pn à moins 1 d'accord l'intégrale contre la gaussienne on utilise la formule ici on trouve ça immédiatement c'est à dire la somme des premières valeurs propres l'inverse des premières valeurs propres voilà donc ça c'est dénu à donc là si vous voulez oui je suppose que la mesure existe et puis je vais trouver que nécessairement la trace est finie donc dénu à 2x et donc ça doit être inférieur au égal à un demi alors le gradient de f c'est facile c'est juste pnx avec un 2 donc ça me sort ça doit me sortir un 2 l'intégrale de pnx au carré j'ai oublié quelque chose là je m'aperçois excusez moi j'ai pas lu la balling sur ma sur ma feuille je vous ai écrit l'inégalité dans le cas au avôl identité encore si a n'est pas l'identité il faut juste faire un changement de variable et le a déforme le gradient ici excusez moi donc ici c'est vraiment le gradient de f avec à moins un peut-être j'écris comme ça le gradient de f d'accord donc il faut bien voir le a quelque part dans l'inégalité quand même et je vous l'avais écrit pour la gaussienne normale donc le a c'est ce que la matrice à moins un déforme le gradient d'accord vous voulez d'avoir le gradient au carré vous avez juste la forme quadratique associée à à moins un d'accord donc ici ce qu'on a c'est pnx à moins un pnx d'accord excusez moi bon il faut calculer ça mais là on peut encore utiliser la formule là bas parce qu'on écrit que c'est x avec pn à moins un pnx et puis on intègre sur tout x ça nous sort encore un autre à moins un ça en fait c'est égal à deux la trace de pn à moins un pn à moins un c'est la somme des uns sur l'endagie carré quoi question question stupide le gradient de gradient de pnx carré c'est c'est quoi ben c'est c'est le produit scalaire entre x et pnx donc ça fait juste pnx avec un deux pnx ou peut-être il y a une partie réelle d'ailleurs parce que tout est complexe et ça ça change rien en liste mais bon et alors maintenant voyez on peut conclure parce que imaginez que que que là je parle faisons imaginons que la trace sont infinies par exemple quand vous montrez que la mesure est mal défini donc si la trace est infinie vous voyez que là vous allez regarder en gros quelque chose qui va être dans une couronne très très loin encore l'idée que c'est que ce terme est un peu négligeable devant celui là celui là c'est la somme de l'inverse des valeurs propres et ça c'est la somme de l'inverse des carré donc si vous regardez l'ensemble où pnx carré moins ce truc là est plus grand que c'est d'accord donc vous voyez qu'on a montré que nua de l'ensemble où pnx au carré moins la somme des uns sur l'endagie est plus grand que petit c mettrons la racine de la somme des uns sur l'endagie donc si je regarde cette ensemble donc ici je peux minorer ça juste par c au carré fois cette somme la mesure de l'ensemble et il y a ça je peux le majorer par 2 sur l'endagie et dans ce cas là vous voyez que la somme des uns sur l'endagie s'élimine des deux côtés de l'inégalité c'est pour ça que je l'ai mis ici d'accord et donc on a démontré que ça c'était un feu au égal là 2 sur l'endagie c'est carré ce qu'on a démontré d'accord alors ça on peut l'écrire encore différemment puisque c'est une mesure de probat on peut regarder la probabilité de là où c'est plus petit et dire que c'est au moins égal à 1 moins 2 et maintenant vous voyez qu'on arrive à une absurdité si jamais la série diverge puisque ça c'est quelque chose de très grand pensez que ça vous l'appelait r ou peut-être l'air carré bon ça c'est quelque chose de très grand ça c'est d'ordre r donc c'est négligeable devant lui d'accord et ça c'est juste constant donc en choisissant c assez grand mais fixe vous allez voir que la masse dans une couronne essentiellement de une grande couronne de rayon à peu près r et de taille ça doit être racine de r je pense la masse en cette couronne va être juste uniformément fin avec une borne uniforme par en dessous d'accord non et donc ça c'est absurde parce que vous ne pouvez pas avoir de masse dans des courons très loin avec un air arbitrairement grand pour là j'ai fait raisonnement par l'absurde mais vous pouvez probablement tourner dans l'autre sens et en déduire que la trace doit forcément être finie si la mesure est bien définie donc vous en éduyez que la la somme est forcément convergente donc c'est juste une conséquence de cette inégalité de point carré vertigre bien alors je termine avant la pause par un théorème un petit peu plus général mais que lui je vais pas démontrer donc vous voyez qu'on a vu que si la mesure gaussienne est bien définie en fait elle doit décroître exponentiellement pour la norme de l'espace ambiant on peut se demander maintenant qu'est-ce qui se passe si je regarde un sous-espace qui provient d'une autre norme imaginé vous ayez un espace plus petit qui définit par une autre norme à quelle condition la mesure va vivre sur ce sous-espace ou pas donc là il ya un autre théorème qui en fait est un petit peu le même genre que celui que je viens de démontrer à l'instant on peut dire loi du 0 1 donc au lieu de parler de norme je vais prendre je vais parler d'opérateurs pareil donc je prends un opérateur b qui est donc définit positif aussi sur h et je vais me demander à quelle condition donc je regarde l'ensemble des x qui sont dans la le domaine de forme de b c'est-à-dire que x produise carré avec bx est fini alors en fait ce qui se passe c'est que soit vous avez des croissances exponentielles d'accord et cette notation ça veut vraiment dire la norme de b1 de x enfin c'est la forme quadratique associé à b comprenir une notation donc ça vous avez des croissances exponentielles comme tout à l'heure soit en fait c'est x bx est égal à plus l'infini nu à presque sûrement donc c'est une loi du 0 1 parce que ça signifie que si vous regardez le sous-espace vectoriel sur lequel la forme quadratique associé à b est finie d'accord soit il est complètement rempli soit la mesure est complètement étrangère à cet espace il n'y a rien entre les deux donc soit la mesure est complètement étrangère donc ça signifie que la forme quadratique est infinie nu à presque sûrement soit c'est fini mais alors vous avez même des croissances exponentielles il n'y a rien entre les deux d'accord donc en fait c'est un thorem un petit peu du même type que celui qu'on vient de démontrer sauf que nous c'était avec b égal identité et avec b égal identité bah si la mesure est bien définie c'est que vous avez toujours dans le premier cas alors on peut détecter dans quel cas on on est en regardant puisque on n'a rien entre les deux c'est facile il suffit de regarder l'intégrale de la forme quadratique des nu à 2x intégré sur l'espace de l'huile bien si vous regardez ça ça suffit je vous rappelle que b est définit positif donc ça c'est donc pour moi ça c'est la forme quadratique ou c'est plus l'infini si x n'est pas dans le domaine de la forme de b donc si si cet objet si cette quantité est finie alors nécessairement on est dans le premier cas et du coup on a des croissances exponentielles et puis si c'est infini nécessairement on est dans le deuxième cas et du coup on est infini presque sûrement mais ça on peut le calculer toujours en utilisant la formule de là-bas donc ça c'est la trace de b faut l'intégrale de xx des nu à 2x d'accord et ça fait la trace de b à moins 1 alors partout je vous voyez je je fin quand j'écris ce produit scalaire c'est toujours au sens des formes il faut vraiment l'interpréter comme b1 demi x norme au carré là c'est pareil ça il faut vraiment l'interpréter comme la trace à moins un demi b à moins un demi qui lui est toujours bien défini parce que cet opérateur est positif d'accord donc si cette trace est finie alors dans ce cas vous aurez des croissances exponentielles et puis si elle est infini la mesure va être complètement étrangère ab et vous voyez qu'on retrouve le résultat précédent puisque en prenant b égal identité on voit qu'il faut que la trace soit finie pour que la mesure soit bien défini dans elle mais c'est pas le seul exemple si vous prenez b égal à vous voyez immédiatement qu'en fait l'énergie est toujours infini si vous prenez b égal à et que vous êtes en dimension infini qui est le cas quand même qui nous intéresse alors vous en déduisez immédiatement que x à x des nu à 2x est égal à plus infini et même que du coup x à x égal à plus l'infini nu à presque surement donc c'est ce que je vous avais dit tout à l'heure que l'énergie est toujours infini nécessairement sur le support de la mesure de gipses alors je vous propose qu'on fasse une petite pause de de cinq cinq minutes à peu près et ensuite on verra ce que ça signifie dans le cas du laplacien bien donc on va reprendre donc je vous rappelle qu'on était en train de parler de ces mesures gaussiennes on a vu que si on a un opérateur à qui définit bon assez c'est la covariance il faut qu'on regarde la mesure exponentielle moins x à x des x avec le facteur de renonisation dans ce cas là cette mesure n'est définie que si à moins un est un opérateur à trace et par ailleurs le la forme quadratique qui associe à et toujours infini nu à presque surement d'accord donc la mesure vit forcément dehors de cet espace bien donc appliquons ça au cas du laplacien j'ai appelé à j'espère que vous n'avez pas confondu le a avec le potentiel magnétique vous avez peut-être déjà oublié de toute façon donc c'est pas très grave donc on va juste prendre le laplacien oui j'aurais dû je voulais l'appeler h et après j'ai oublié bon donc prenons le cas juste du laplacien sur un domaine borné bon après si vous prenez des potentiels a et v suffisamment lisse ce sera exactement la même chose vous pouvez le comparer au laplacien d'accord bien donc la question c'est à quelle condition il faut choisir des conditions au bord prenons diriclet ça n'a pas d'importance enfin ce qui est important c'est qu'il faut que a soit défini positif donc si jamais vous prenez no humane ou si omega est une boîte et vous prenez périodique faut juste ajouter une constante a pour que la première valeur propre soit strictement positive pour un pronom diriclet ça change rien donc à quelle condition la trace de la réservante est finie bas seulement dimension 1 d'accord donc bon avec diriclet c'est facile j'avais des principes de comparaison très facile donc si vous avez votre domaine omega vous pouvez prendre un cube à l'intérieur à un cube à l'extérieur et vous pouvez comparer les valeurs propres dans le domaine omega vous avez en fonction du cube à l'intérieur à l'extérieur c'est facile et donc il suffit de savoir ce qui se passe pour un cube et là c'est explicite c'est juste picaré n1² plus nd² où les nj sont dans z c'est ça c'est picaré je crois bon d'accord pardon pas 0 parce que c'est diriclet c'est les sinus tout ça bon voilà et donc vous voyez que la trace moins la place est moins 1 elle est comparable vous avez une bande en dessus par au dessus et par en dessous avec la somme des 1 sur n1² plus nd² d'accord qui est le même comparable à l'intégrale et qui n'est convergente que en dimension 1 d'accord voilà donc ça signifie que la mesure de gibb c'est bien définie sur l2 la mesure de gibb pour le laplacien sur un domaine borné n'est définie sur l2 que en dimension 1 alors c'est quand même possible de le définir en dimension supérieure mais il faut changer d'espace donc l'astuce c'est de changer de norme pour rendre le laplacien à trace alors comment on fait ça vous voyez notre espace l2 et oui bien sûr ça dépend pas des conditions au bord c'est pareil si vous mettez une autre condition au bord ça va pas changer donc l2 de omega vous l'identifiez vraiment avec petite l2 de n d'accord c'est à dire que pour à toute fonction u pour garder ces c'est un produit scalaire contre les vecteurs propres du laplacien d'accord il n'y a pas dans les fonctions propres du laplacien d'accord et du coup on peut introduire un genre d'espace de saubolef qui n'est pas tout à fait un espace de saubolef parce que c'est pour ça que je le note avec un h différent qui est juste l'ensemble des sommes de quand je vais l'appeler alpha g vj ou la somme des alpha g carré fois l'angle d'agis puissance c'est fini d'accord donc c'est un juste un espace petit l2 à poids qui lorsque l'angle lorsque s v0 bah c'est juste l2 si s v1 c'est en fait juste h1 0 si s v2 c'est h2 intersecté avec h1 0 et par contre pour s plus grand vous voyez que tout est défini à partir du laplacien donc c'est plus vraiment tout à fait un espace de saubolef mais bon c'est un espace qui est comparable d'accord bien et donc l'astuce c'est d'écrire u à u donc a c'est le laplacien mais je le vois vraiment dans h0 comme u à un moins s u dans hs qui est juste augmenter artificiellement la puissance et la redescendre quand on change de norme on passe avec des normes à poids d'accord et du coup l'opérateur à à cause du poids devient à un moins s et avec cette astuce donc changer d'espace de illberte on travaille dans hs le travail dans h0 on peut artificiellement augmenter remplacer à par à à la puissance à moins s et donc voyez que si on a un opérateur qui dont le à moins un n'est pas à trace mais dont le à moins un à la puissance p est à trace dans ce cas là on peut toujours se placer dans un espace avec a est suffisamment suffisamment négatif de sorte que celui-là devienne à trace donc vous voyez que si la somme des 1 sur l'angle d'agis à la puissance un moins s est fini alors la mesure est bien définie sur hs alors bien sûr pour améliorer la convergence de la série il faut prendre s ça dépend mais généralement il faudra prendre s négatif ce qui veut dire qu'on travaille dans un dans un sobolaire négatif donc un espace de distribution d'accord donc en utilisant cet argument vous allez très facilement démontrer le théorème suivant quand j'ai déjà tout fait donc si vous regardez nu pour moins la placien vous regardez le cas du la placien c'est juste la forme quadratique gradient u au carré donc elle est bien définie sur hs si et seulement si s est strictement plus petit que 1 moins d sur 2 parce que vous voyez que la somme des l'angle d'agis ici bon c'est un peu comme l'intégral d'un plus p carré vous allez la mettre à la puissance un moins s donc vous voulez que un moins s soit plus grand que d sur 2 ce qui vous dit que s est strictement plus petit que 1 moins d sur 2 et plus précisément en fait on a ben vous aurez des croissances exponentielles surtout s prime en dessous pour je met s et par ailleurs vous aurez que la norme s prime vaut plus l'infini nua presque sûrement pour tout esprime plus grand que c'est pas au égal à 1 moins d sur 2 juste parce qu'on a cette caractérisation exacte il faut que la résolvante soit à trace quand c'est une condition nécessaire et suffisante et donc on sait exactement sur lequel de ces espaces de type cebollef la forme quadratique du la placien est finie d'accord donc vous voyez que en dimension 1 oui j'écris nua mais à c'est de la place et puis on est sur un domaine borné donc en dimension 1 on n'est juste pas dans h 1 demi d'accord donc on rate juste h 1 demi donc c'est bien défini sur l 2 sans l'avoir déjà vu mais on est même un peu mieux on arrive à aller presque jusqu'à h 1 demi on est sur toute h s avec s strictement plus petit que 1 demi c'est ce qui a écrit ici mais vous voyez que dès que la dimension est supérieure au égal à 2 on est déjà plus dans l 2 donc quand des supérieurs au égal à 2 l'intégrale de u carré vaut toujours plus la finie pour nu presque sûrement donc on travaille avec des objets qui sont même étrangers à l 2 la masse c'est toujours infini d'accord donc là je vous ai fait le cas du la placien bon sur un domaine borné vous pouvez regarder n'importe quel opérateur ici on a une caractérisation vraiment algebraique il faut juste regarder si les valeurs propres l'inverse des valeurs propres est sommable ou pas d'accord vous pouvez regarder n'importe quel opérateur par exemple vous verrez qu'en dimension 1 si vous regardez moins donc un genre d'oscillateur harmonique la mesure associé associé vie sur l 2 si et seulement si est c'est strictement plus grand que 2 il faut faire un petit calcul savoir comment se comportent les valeurs propres c'est pas très difficile donc même l'oscillateur harmonique mon oscillateur harmonique les valeurs propres se remontent linéairement donc évidemment c'est juste pas sommable et donc quelque chose qui croit légèrement plus c'est bon ça devient sommable et la mesure vie sur l 2 mais à partir du moment où vous avez des valeurs propres qui ont une croissance polinomial en changeant d'espace avec l'astuce que je vous ai montré vous pouvez toujours définir la mesure c'est juste qu'elle sera toujours définie sur des espaces cebolef type négatif si c'est polinomial en mettant une très grande puissance vous allez toujours faire converger la série et ça finira par être bon bien et donc vous voyez que on a défini mu 0 je vous rappelait qu'on voulait définir notre mesure non linéaire et là on s'est vraiment concentré sur la partie linéaire c'est à dire la mesure gaussienne maintenant il faut voir à quelle condition la mesure non linéaire est bien définie ça c'est 3.3 mesure non linéaire vous imaginez tout de suite que la situation n'est pas très bien donc prenons un double v positif très bien d'accord dans ce cas là l'intégrale de u de x carré u de y carré d'au-levé de x marse y dx d y qui est toujours bien définie elle peut être éventuellement infinie mais au moins elle est toujours positive et donc la seule et une question je vous rappelle c'est de savoir si cette intégrale est finie au moins sur un ensemble de mesures non nu donc en 1d si vous placez sur un intervalle borné donc vous regardez bon les potentiels magnétiques et extérieurs ne vont pas jouer drôle on n'a qu'à aller prendre nul si vous voulez ça change rien donc vous regardez vraiment le problème avec petit tâche qui vaut moins la placien on est en 1d donc je vais faire des deux sur des x2 sur un intervalle y l'intervalle borné avait des conditions au bord que vous c'est que vous voulez nous mettons diriculé d'accord votre mesure est vie juste en dessous de hache en demi et par les injections de sobelet vous voyez que ça s'injecte dans tous les lp donc donc la mesure vit en fait sur tous les lp et ça ça suffit pour définir cette intégrale même pour un w qui est une delta parce que dans ce cas là c'est l'intervalle de u4 et u4 pas de problème d'accord dans ce cas là vous pouvez prendre w une mesure borné ou une fonction est l'infini une mesure borné ça vous fait une delta et dans ce cas là vous trouvez nls cubique et là je suppose toujours que c'est que c'est défocalisant dans ce cas là pas de problème l'intégrale est finie alors j'appelle mu 0 maintenant la mesure je l'avais appelé mu 0 tout à l'heure c'est du laplacien donc mu 0 presque sûrement et donc on peut tout à fait définir notre mesure de gipses non linéaires des mu de u qui est le facteur de renormalisation exponentielle moins le terme non linéaire que je risque pas des mu 0 d'u j'ai oublié ce que c'était le m m plus l'infini juste les mesures bornées je veux dire qu'on peut prendre w une delta en gros et puis une fonction lisse une fonction borné d'accord je veux toujours décomposer les fonctions comme parce que je veux toujours distinguer la l'intégrabilité locale et puis éventuellement à l'infini si jamais on n'est pas dans un borné mais qu'on a un v qui confie on disons soit une delta soit un w dans n'importe quel p lp ça marche voilà donc le cas ind on peut tout à fait regarder nls défocalisant la mesure est tout à fait bien défini il n'y a pas de problème si vous regardez si vous voulez regarder le cas focalisant ça marche pas du tout parce que le terme de mon linéaire lui il est quartique tandis que la partie caussienne va jamais contrôler un terme quartique et dans ce cas là il faut ajouter en plus un cut off sur la norme sur la masse sur l'intérale de ukare dans ce cas là tout marche bien aussi enfin il y a un coefficient critique devant le u 4 pour que ça marche exactement ce qu'on étudie les beaux vites rose et spire dans l'article que je vous ai mentionné et bourguin aussi beaucoup étudier le cas de ct de ce problème là alors voyez qu'en dimension plus grande rien ne va plus donc en dimension supérieure égale à 2 l'intérale n'est pas défini et donc il faut faire quelque chose donc il faut renormaliser donc qu'est ce que ça veut dire renormaliser ben renormaliser ça veut dire qu'on commence par remplacer le w par un truc beaucoup plus sympa pour lequel tout est bien défini ensuite on vérifie que la mesure est bien défini en dimension infinie et ensuite on essaye de faire tendre w vers l'objet qui nous intéressait et on identifie la divergence qu'on essaye de retirer pour voir si en soustrayant cette divergence il reste quelque chose donc la technique c'est première étape on remplace w par un opérateur plus lisse encore et puis deuxième étape je l'appelle w delta on étudie ce qui se passe quand w delta tend vers w et on identifie précisément la divergence donc je voudrais par exemple juste vous expliquer en deux minutes comment on fait juste pour la masse par exemple donc là je vous parle de l'interaction c'est compliqué mais même une première étape c'est juste de regarder ce qui se passe pour la masse c'est-à-dire du carré elle est toujours infinie en dimension super égale à deux donc en fait une manière de remplacer par quelque chose de plus lisse c'est aussi de travailler en dimension n de regarder la projection cylindrique qu'on travaille en dimension n on identifie exactement la divergence donc je vous parle cinq minutes de la masse et en fait je vous dirais pas grand chose sur l'interaction parce qu'on va ensuite travailler seulement avec les cas les plus lisses possible donc vous regardez mn de u encore vous prenez une fonction dans votre espace là dans le vachès qu'il faut et vous l'approchez donc qui juste l'intégrale de pn u carré d'accord pn je vous rappelle c'est le projecteur orthogonal sur l'en premier vecteur propre donc ça c'est juste une suite finie donc elle est dans tous les haches quelques soins c'est même négatif et à ça vous allez soustraire la moyenne de cette chose là par rapport à la mesure mu 0 quand c'est-à-dire vous intégrer des muséros de u d'accord bon ça c'est une constante ça dépend plus de u qu'on intègre par rapport à la mesure nu et typiquement c'est une constante qui va diverger puisque la mesure ne vit pas dans l2 quand on quand même tend vers l'infini ce truc tend vers plus l'infini mais on espère que l'objet d'une certaine manière quand on soustrait cette constante qui ne dépend pas de u puisque j'ai moyenné sur u d'accord que la différence va converger dit autrement ce qu'on essaie de démontrer c'est que la masse que sur le support de muséros la masse n'est pas bien définie mais qu'en fait si vous prenez deux fonctions la masse relative elle est bien définie c'est à dire elles sont toutes divergentes mais de la même manière quand on peut enlever une constante et on peut enlever la même constante à tout le monde d'accord alors ça c'est très facile parce que si vous décomposez u sur la base vous allez voir que ça fait la somme des alphagies carrés j'égale un n alphagies c'est des coefficients de u sur la base moins la somme des 1 sur l'ambdagie qui est la série qui diverge tronqué jusqu'à n et donc ensuite l'étape suivante c'est de calculer on va essayer de démontrer que la cette masse à laquelle on a enlevé la constante infinie là cette fonction en fait converge vers une limite donc on regarde mn de u moins mp de u au carré d muséros du on essaie de montrer que c'est une suite de cochis et j'écris partout des muséros mais en fait je vous rappelle que comme le mn est une fonction qui ne dépend que des n premières coordonnées je peux remplacer ici par mu n et faire un calcul avec des sommes finis quand tout ça c'est que des sommes finis si vous calculer ça vous allez voir que c'est exactement égal à la somme des l'ambdagie carrés faut faire le calcul développer utiliser les formules avec les gaussiennes c'est pas difficile et donc en fait on en déduit que si la somme des 1 sur l'ambdagie diverge mais qu'on a de la chance et que la somme des carrés converge dans ce cas là on peut définir une masse renormalisée vous dire autrement en fait les gens les fonctions sur le support de mu sont tous divergents de la même manière qui essaie de constante qui est la somme des 1 sur l'ambdagie oui ah pardon c'est la somme de n a p ou de p a n je posais que p1 pardon merci d'accord et ça c'est purement algebraique vous voyez si vous avez un opérateur à quelconque vous calculez la norme l2 de la projection en fait vous pouvez définir une espèce de norme l2 renormalisé si et seulement si la somme des carrés convergent alors maintenant la question est à quelle condition la somme des carrés converges si on a le la placien et vous allez voir que la somme enfin la trace de moins la placien moins 2 est finie si et seulement si d est inférieur ou égal à 3 comme ce que maintenant c'est comme si on avait l'intérale de 1 plus p carré au carré donc ça ça converge jusqu'en dimension 3 et ça diverge juste en dimension 4 donc ça c'est un exemple de comment on fait pour définir une masse généralisé donc dit autrement si vous prenez deux fonctions en fait la différence des masses des deux fonctions elle a un sens par contre séparément ça a pas de sens donc et après vous voyez que si d est plus grand alors en fait ça marche pas et ces techniques que je vous ai présenté ici c'est une une procédure algébrique bien documentée qu'il expliquait en long et en large dans le livre de glime jaffi donc c'est en fait la renormalisation de vique pour expliquer parce que c'est mais c'est une procédure algébrique si ça marche pas ça veut dire qu'on est dans un cas particulier et il faut regarder ensuite au cas par cas d'accord donc cette partie algébrique si vous avez un opérateur quelconque dont le carré et enfin la résolvante au carré et à trace alors vous pouvez toujours définir la masse renormalisée de cette façon et alors du coup on a pu démontrer donc là je vous dis rapidement quelque chose qu'on a démontré mais pas encore publié non c'est ce qu'on est en train de l'étudier en ce moment avec names et rougeries donc on peut démontrer qu'on peut renormaliser aussi l'interaction simplement en soustrayant en soustrayant la bonne constante quoi qui est ce que vous imaginez c'est à dire plus de x carré moyenné parce que vous voyez que si w est très lisse en fait ça c'est un petit peu comme la masse d'accord si mettons que w soit dans l'infini on imagine que c'est bien c'est un peu pareil que la masse donc on arrive à faire ça donc en dimension 2 on peut prendre w dans n'importe quel lp je sais plus bien si 1 est autorisé je trouve plus mes notes non 1 n'est pas autorisé et en dimension 3 en fait n'importe quel lp marche aussi sauf que la limite c'est 3 et ça ça va avoir avec les propriétés d'intégrabilité du carré de la fin de la fonction gris donc ce que vous voyez c'est qu'en fait le modèle non linéaire de artri si le w est assez lisse en fait on peut définir un modèle renormalisé qui n'a pas qui à ma connaissance n'a pas été du tout étudié parce que les gens se sont plus focalisés sur le cas où w vos delta qui est une difficulté supplémentaire vous voyez parce que là vous voulez pas juste définir u carré vous voulez vraiment définir u 4 donc en w vos delta quand d égale 2 vous avez une autre une procédure on peut appliquer la procédure algébrique de vie renormalisation de vie qui n'est pas aussi simple que le cas de la masse et donc ça marche donc il faut soustraire plusieurs choses c'est un petit peu pénime mais il y a la procédure algébrique qui dit exactement ce qu'il faut faire et bourguin a étudié l'équation résultante je pense que c'est en 96 donc il a étudié la mesure renormalisé il a montré que il y avait un flow qui était bien défini encore au sens où presque sûrement par rapport à la mesure les solutions sont toutes globales en temps et la mesure est invariante par contre en dimension 3 donc là la mesure elle a été construite je pense c'est que j'ai déjà fait mais vique ne marche pas il faut faire quelque chose de plus pénible c'est à dire il faut remplacer u 4 par quelque chose de très lisse et étudier précisément la divergence et voir comment ça se passe donc ça c'est très pénible et je pense pas que d égale 3 a été utilisé par les oeufs des pistes pour étudier l'invariance et puis le fait que nlc est bien défini voilà par contre avec un double v comme ça en fait c'est mieux et les gens n'ont pas l'air d'avoir regardé mon avis c'est un problème intéressant alors nous notre but vous voyez que c'est très compliqué dès qu'on veut dès qu'on veut définir proprement ses mesures en dimension supérieure au égal à 2 si double v est lisse en dimension 2 et 3 ça va encore et après c'est difficile je fais juste un dernier commentaire avant de de passer à autre chose ce qui intéressait les gens en théorie constructive des champs c'était d égale 4 parce qu'on regarde un problème en dimension 3 quantique mais comme on l'écrit de manière classique on se retrouve en dimension 4 et ben là à ma connaissance il n'y a pas de résultat donc je voudrais terminer maintenant par la limite de champs moyens vous décrire vous décrire que ces mesures vous voyez ces mesures sont un petit peu spéciales et vivent sur des sobolets négatives ces mesures apparaissent vraiment naturellement dans la limite de champs moyens à partir des mesures de guipses quantiques qui elles sont tout à fait bien définies et non pas du tout ces propriétés exotiques dans une certaine manière c'est une autre une autre façon de justifier l'intérêt de regarder ces mesures c'est qu'elles apparaissent dans une limite à partir des mesures de guipses quantiques toute bête de d'habitude d'accord dans la limite de champs moyens donc vous voyez que en dimension 2 et 3 c'est compliqué et donc nous on n'a pas regardé les mesures qui les problèmes qui demandaient à être renormalisés ce qu'on a fait c'est qu'on a régularisé le problème en remplaçant le W par quelque chose de plus lisse et on a fait la limite de champs moyens pour le W plus lisse pour lequel la mesure est bien définie donc moi je vais prendre un W plus sympa pour lequel il n'y aura pas besoin de renormalisation avec l'idée que la renormalisation doit se faire après mais ça serait encore plus intéressant de l'affaire en même temps qu'on fait la limite de champs moyens d'accord il y a un problème d'interagration de limite là mais on n'a pas encore regardé donc en dimension supérieur ou égal à 2 on va remplacer on remplace notre intégral double par quelque chose de plus sympa c'est comme on fait souvent en mathématiques on commence par généraliser et après on met des hypothèses qui ne traitent pas le cas d'avant on voyait ça on peut l'écrire u tenseur 2 un opérateur u tenseur 2 ou l'opérateur c'était la multiplication par la fonction en x point y d'accord donc je l'écris comme ça pas de problème et maintenant je vais mettre des hypothèses sur W en tant qu'opérateur sur l'espace L2 de omega carré qui ne vont pas couvrir les opérateurs comme ça dit autrement je vais supposer que W met on est de renfinie et que ces fonctions propres sont extrêmement lisses de sorte que je puisse tester contre des distributions si la mesure vit dans h h-s je vais supposer que W est de renfinie avec des fonctions qui vivent dans hs et dans ce cas là et c'est la manière de régulariser W sauf que je ne vous dis pas comment exactement régulariser W bien alors les mesures de guips quantiques qu'est-ce que c'est donc je vous rappelle qu'on avait le problème variationnel classique qui était l'inf de hp plus t intégrale de p log p dont le minimiseur était p optimal qui vauzaient de moins un exponentiel moins beta j'écris beta c'est un sureté donc dans le cas quantique c'est la même chose sauf que vous remplacez la fonction amyltonienne classique par notre opérateur hn et vous remplacez toutes les intégrales par des traces et les probats par des opérateurs positifs de traces égal à 1 d'accord donc le cas quantique c'est que vous regardez un de la trace de notre hn enfin un opérateur gamma qui joue le rôle de p plus t la trace de gamma log gamma et la contrainte c'est que gamma donc c'est un opérateur auto adjoint positif en la trace vo 1 donc ça c'est la version quantique du problème classique les intégrales deviennent des traces et si on n'avait pas la température vous voyez que c'est optimal en prenant gamma un projecteur de rang 1 sur la première fonction propre de h donc ce qui joue le rôle des delta ce qui était delta ici devient ici des projecteurs de rang 1 sur les objets quand même moins singuliers que des delta et donc le gain optimal c'est z moins un exponentiel moins h sur t enfin ce h là n dans la d'accord ou z bah c'est la trace de exponentiel moins h sur t et l'inf vo moins t log de z quand ici ça valait aussi moins t log de z voilà donc ça c'est les mesures de gipses quantiques donc ce qu'il faut vérifier c'est que si vous prenez par exemple le laplacien sur un domaine borné dans ce cas là exponentiel moins enfin tout ça et bien l'opérateur à trace ce qui est le cas donc vous allez me croire pour ça très bien donc ça c'est notre état de gipses quantiques qu'on veut relier avec la mesure de tout à l'heure alors comme je vous ai dit la dernière fois en fait c'est pas si simple on va plutôt regarder le cas grand canonique on fait une moyenne sur les n d'accord plutôt que de regarder exactement juste cette mesure l'idée c'est que en fait si je regarde cette mesure je vais bien converger vers la mesure que je veux mais qui va être restante à une sphère parce que ce qui est la masse de u c'est ce qui sort quand on fixe un certain n moi je veux vraiment trouver le mu qui est défini là-bas qui vit dans tout l'espace et pas seulement sur une sphère dans l2 et donc je vais faire une moyenne en n et puis voilà donc ça veut dire que mon état de gipses c'est vraiment une espèce de somme direct de exponentiel moins hn lambda sur t divisé par la somme des traces pour que ce soit normalisé je fais une moyenne sur n bon si cette somme directe vous plaît pas regardez seulement la somme des traces c'est la moyenne et donc je défini z de t et de lambda qui est la fonçante partition où je fais la moyenne sur ces traces donc c'est la somme n supérieur égal à 0 des traces de exponentiel moins hn lambda sur t je fais juste la somme de ce que j'avais avant alors je vous rappelle que nous on veut regarder une limite de champ moyen ou lambda on va devoir regarder une limite où lambda va se comporter comme un sur le nombre moyen de particules dans le système et on pourrait on pourrait ça changerait rien là je l'ai pas fait mais ça change rien on peut décaler légèrement le laplacien on le cache d'enlever donc vous voyez j'ai que deux variables avec lesquelles je peux jouer t et lambda mais lambda doit je dans la limite de champ moyen lambda doit se comporter comme un sur le nombre moyen de particules que je connais pas d'accord donc la question est finalement j'ai que un paramètre t comment je fais tendre le nombre moyen de particules vers l'infini et quelle est sa valeur de sorte que je puisse ensuite prendre lambda comme un sur ce nombre moyen donc pour ça je regarde juste le cas où il n'y a pas d'interaction et je le calcule selon moyen ça ça me donnera une idée de ce qui va se passer donc l'aim donc le nombre moyen de particules c'est juste la somme n je peux à un des n fois la trace exponentielle moins hn donc je regarde sans interaction ça divisé par la somme des traces donc ça c'est la valeur moyenne du nombre de particules alors ça il faut calculer ça c'est pas très marrant mais je vous donne le résultat ça fait la somme des 1 sur exponentielle lambda j sur t moins 1 et l'an d'agis c'est les valeurs propres de l'opérateur qui apparaît dans la première somme de hn d'accord donc mon hn il a la forme suivante hn lambda je vous rappelle c'est la somme des h qui agis sur la variable xj plus lambda la somme des w y j au jk d'accord et h pour moi c'est moinsie gradient plus a carré plus v mais il pense juste à la place 1 donc ce dont je me place dans une situation confinée c'est à dire que h est un résolvent compact et ses valeurs propres je les appelle l'an d'agis donc j'ai h vj et l'an d'agis vj et c'est comme ça que je construis la mesure de gibb c'est à dire et donc vous voyez que le non moyen de particules se comporte comme ça et donc comme j'ai un seul paramètre t j'ai qu'à regarder comment ça se comporte en fonction de t et vous voyez que ça se comporte comme la somme la somme sur j si je fais tendre t vers l'infinie et l'exponentiel moins ça se comporte comme t fois la somme des 1 sur l'an d'agis donc ce que vous voyez c'est que dans le modèle sans interaction le non moyen de particules quand je fais tendre t vers l'infinie se comporte comme t du moins si je suis en dimension 1 où la somme est convergente et donc du coup c'est naturel de prendre lambda comme 1 sur t donc je vais regarder une limite où t est grand ce qui va me faire tendre le non moyen de particules vers l'infinie et lambda est d'ordre 1 sur t et donc le théorème c'est le suivant alors on suppose que la trace de h moins p est finie donc je vais vous énoncer un théorème qui est valable pas seulement en dimension 1 mais aussi en dimension 2 et 3 de quoi et comme je vous l'ai dit tout à l'heure la seule condition dont on est besoin c'est que les valeurs propres croissent polynomialement de sorte qu'on puisse trouver une puissance pour rendre la somme convergente donc cette puissance je l'appelle p il dépend de la dimension et ensuite je vais mettre des hypothèses différentes selon la valeur de p au lieu de mettre des hypothèses sont la valeur de la dimension mais c'est la même chose donc si p est égal à 1 je suppose que w que cette trace est finie et si vous pensez en termes de fonction d'accord ça c'est le cas de la dimension 1 d'accord donc c'est vraiment d égale 1 et w qui est un w de x moins y alors du coup si vous prenez w une mesure plus une fonction de l'infini c'est bon c'est exactement ce qu'on avait dit tout à l'heure simplement j'ai écrit l'hypothèse de manière plus abstraite d'accord si vous avez de la placien sur un intervalle alors on peut prendre une fonction qui est enfin w qui est une mesure plus une fonction bornée c'est bon alors si p est strictement plus grand que 1 j'ai besoin d'une hypothèse légèrement plus forte qui vous allez voir ne couvre pas les fonctions de x moins y donc ce que je demande c'est que en tant qu'opérateur w est aussi toujours un opérateur positif que w vérifie cette estimée avec un p prime qui est strictement plus grand que p d'accord est ce que vous voyez c'est que quand vous regardez la trace w x h moins 1 h moins 1 donc les uns s'en vont et on trouve la trace de h moins p prime qui est convergente parce que p prime est strictement plus grande que p donc c'est une espèce de version légèrement plus forte que ça puisque on suppose qu'on a une borne uniforme plutôt que juste demander la convergence d'une certaine trace bon ça ça ne couvre pas du tout des fonctions d'accord donc si d est supérieur égal à 2 vous devez penser que w est un opérateur vous voyez que vous estimez w par le la placien à une certaine puissance et donc ça vous dit en fait que que w est quelque chose qui s'estime et borné par la placien une certaine puissance dans les deux variables c'est que vous avez une fonction de x moins y très lisse vous pouvez la majorer par la placien en x moins y mais vous n'avez rien en x plus y pour moi je suis en train de supposer que vous avez une décroissance à la fois en moment à la fois en x plus y et en x moins y d'accord c'est ce que faut dire enfin ça c'est en x ça c'est en y enfin ça revient donc pas une fonction mais on a quand même voulu faire la dérivation en dimension plus grande que deux quitte à mettre beaucoup d'hypothèses sur w parce que déjà la mesure mu de toute façon est déjà un peu exotique puisque elle vit déjà sur les sobolesf négatifs alors le théorème c'est le suivant c'est que si vous regardez moins log de la fonction de partition avec interaction divisé par la fonction de partition sans interaction cette quantité qu'on verge quand t est envers l'infini et que l'ambdate est envers 1 vers moins log de ce que j'avais appelé z r je vous rappelle que z r c'est l'intégrale de un demi de le terme non linéaire des musérodus donc c'est le facteur de normalisation pour la mesure de gipses non linéaires ce facteur de normalisation vous l'avez vraiment pensé que c'est un petit peu exponentiel moins l'énergie de artri d u divisé par exponentiel moins la normalisation de muséros qui est juste le h formellement évidemment les deux sont infinies mais formellement c'est ce que c'est vous voyez le muséros c'est c'est formellement exponentiel moins h c'est moins la place c'est la mesure gaussienne et donc ça c'est très naturel puisque en haut vous avez le problème avec interaction et en bas le problème sans interaction c'est un simplement je peux pas dire que le numérateur tend vers le numérateur parce que tout est infini donc on donne une convergence pour le pour ses fractions voilà donc ça c'est vraiment une convergence de l'énergie maintenant on voudrait avoir une convergence des états aussi donc je termine avec ça par ailleurs je vais l'énoncer que pour p égale 1 parce que vous vous imaginez que c'est plus facile donc si p égale 1 vous avez aussi convergence des états au sens où vous regardez toutes les marginales qui ne font intervenir que k particules à la fois exactement comme dans k des minimiseurs avec la petite complication qu'on fait cette moyenne sur sur tous les nombres de particules d'accord donc vous regardez la somme pour n supérieur au égal à k vous avez un petit coefficient ici qui se comporte essentiellement comme n puissance k et ensuite vous regardez la trace de donc vous testez contre un opérateur qui dépend que de k particules fois exponentiel moins hn lambda sur t donc là vous avez vraiment testé seulement k particules mais en plus vous faites cette moyenne sur n et ensuite vous n'oubliez pas qu'il faut tout normaliser vous avez la somme supérieur au égal à 0 des traces exponentielle moins hn lambda sur t c'est comme avant sauf qu'avant n'avait pas tous ces soins on avait une seule trace donc bah ça s'attend vers u puissance k à u puissance k des mu de u ou mu bah c'est la mesure non linéaire mesure de gipses non linéaire qu'on a construite et ceci a lieu en fait pour tout aborder sur l2 de rd puissance k symétrique ce qui peut vous étonner un peu parce qu'en fait la mesure mu est définie sur les sobolesf négatifs mais bon prenez a très très lisse ça vous troublera donc ce que vous voyez je fais juste un commentaire avant de terminer ce que vous voyez c'est que la situation est la même quoi qu'il y a un petit peu plus compliqué que pour les états fondamentaux dans le sens où les mesures de gipses quantiques fin les pardon les opérateurs exponentiellement beta h dans une limite où le nombre moyenne particule diverge converge donc quand on teste seulement contre k particule converge vers cette mesure de gipses non linéaire ici je vous ai seulement annoncé le cas oui oui donc prenons a très très lisse en fait je devrais mettre le a à l'extérieur bon il se trouve que que l'intégrale des projecteurs sur u puissance k des mu de u est plus lisse que ce qu'on pense d'accord donc la bonne manière d'interpréter ça c'est vraiment la trace de a fois l'intégrale de u puissance k u puissance k des mu de u et ça on a l'impression que ça vit seulement sur les sobolef négatifs voilà mais en fait il se trouve que cet opérateur ici une fois qu'on a moyenné le truc est plus lisse et cet opérateur est en fait borné sur l2 c'est pour ça que je me suis permis d'écrire pour tout à borné sur l2 et par ailleurs je fais une remarque c'est que là je parle de p égale 1 et dans ce cas là il n'y a pas de problème mais on a un peu le même résultat si p n'est pas 1 et dans ce cas il faut faire attention d'accord donc la remarque que je voulais vous faire avant de terminer il faut que je m'arrête c'est que ça c'est vraiment la convergence de l'énergie je vous rappelle que notre énergie ça va aller moins t log de zen ça c'est quand on minimise l'énergie moins l'anthropie souvenez je vous ai dit que la valeur c'était ça et vous voyez que cet objet ici c'est vraiment une différence de deux énergies le tout divisé par t donc ce qu'on a vraiment démontré c'est que l'énergie avec l'ambda moins l'énergie avec l'ambda égale à 0 divisé par t converge vers l'énergie enfin moins log de z r quoi et quand j'ai l'énergie en fait c'est ce que l'efficiel appelle l'énergie libre quand on minimise l'énergie moins t fois l'anthropie d'accord donc c'est vraiment un théorème sur une différence d'énergie au lieu d'être un théorème de convergence seulement sur l'énergie le moins log de z moins t log de zen c'est l'inf de énergie moins t anthropie donc quand je dis énergie c'est énergie libre quand c'est à dire notre problème de minimisation notre nouveau problème qui n'a pas seulement l'énergie mais à une partie anthropie d'accord donc la seule chose que je voulais vous dire c'est que c'est vraiment le même théorème que tout à l'heure on avait e2n sur n qui converge vers quelque chose la n c'est un peu t donc on veut dire que e2t sur t converge vers quelque chose mais ça ça marche pas il faut regarder une différence parce que ça diverge beaucoup plus vite donc il faut garder une différence et on compare au cas sans interaction la semaine prochaine on n'a pas cours parce qu'il y a le séminaire tournant à l'ihp je vous encourage tous à venir y faire un tour et on se voit la semaine suivante où on parlera des propriétés de l'anthropie dont on aura besoin pour expliquer tout ça on va parler essentiellement l'anthropie et puis un petit peu de semi classique pour comprendre vous présenter les outils nécessaires à ce qu'on a fait merci