 En juillet 2012, Mamacani et Rosquie, deux mathématiciens canadiens ont représenté neurose, le premier diagramme de veine symétrique simple à 11 pétales. Cette découverte vient poursuivre un idéal initié par John Venn en 1880, comment représenter élégamment les situations de la théorie des ensembles à l'aide de patates. Ça tombe bien, j'ai 2 minutes pour en parler. L'histoire débute dans la deuxième moitié du XVIIIe siècle, lorsque le génial Leonard Euler a tenté d'étudier systématiquement les syllogismes. Un syllogisme, c'est un raisonnement logique en trois temps du style. Tous les Pokémon électriques peuvent apprendre l'attaque tonnerre, or, certains Pokémon électriques sont aussi de type vol, donc certains Pokémon de type vol peuvent apprendre l'attaque tonnerre. Pour étudier ces syllogismes, Euler a eu l'idée brillante d'utiliser des cercles, et quand bien même l'idée ne serait pas réellement de Euler, elle n'en reste pas moins brillante. Chaque cercle correspond à l'un des ensembles de l'énoncé. Dans l'exemple précédent, on a le cercle des Pokémon électriques, le cercle des Pokémon apprenant l'attaque tonnerre, et le cercle des Pokémon de type vol. Si un élément est à l'intérieur d'un cercle, c'est qu'il appartient à l'ensemble et réciproquement. La première hypothèse, qui est non ce que tout Pokémon électrique apprend l'attaque tonnerre, se traduit par deux cercles imbriquées. La deuxième hypothèse, qui nous dit qu'il existe des Pokémon à la fois de type électrique et vol, se traduit par deux cercles qui se coupent. On constate alors que le cercle des Pokémon de type vol est celui des Pokémon qui apprennent tonnerre se coupe, ce qui explique la conclusion. Certains Pokémon de type vol apprennent bien l'attaque tonnerre. Bref, les dérâmes d'Oiler permettent de représenter des syllogismes avec trois cercles qui se coupent ou pas. Sans temps plus tard, le logicien John Venn met un coup de pied dans la fourmilière et réinvente complètement l'idée d'Oiler. La première évolution, c'est que les ensembles ne seront plus forcément représentés par des cercles mais pourront prendre n'importe quelle forme patatoïde. La deuxième évolution, c'est qu'on pourra se permettre d'utiliser plus que trois ensembles. Mais surtout, la dernière évolution, c'est que tous les cas imaginables doivent être envisagés. Avec les diagrammes de Venn, l'exemple précédent se traduira donc par trois ensembles qui s'entrecroisent en formant huit zones distinctes correspondant à l'intersection de 0, 1, 2 et 3 ensembles. Pour illustrer le syllogisme par un diagramme de Venn, on va devoir griser les zones impossibles. Ainsi, puisque tous les Pokémon électriques peuvent apprendre l'attaque tonnerre, on peut griser les deux zones correspondant aux ensembles uniquement électriques. La deuxième hypothèse nous donne l'existence d'un élément appartenant à la fois à l'ensemble vol et à l'ensemble électrique. La conclusion, c'est bien que cet élément appartient à l'ensemble tonnerre. Bref, les diagrammes de Venn permettent de représenter les syllogismes avec trois patates ou plus mais qui se coupent tous les uns les autres en formant toutes les intersections possibles. Soyons honnêtes, les diagrammes de Venn, c'est sympa pour illustrer les syllogismes mais c'est surtout très pratique pour illustrer des histoires d'intersections d'ensemble. Et du coup, il faut aller plus loin que trois ensembles. On en veut quatre, cinq, six ou plus. Mais déjà à partir de quatre ensembles, les problèmes commencent à arriver. La première idée, c'est de placer ces quatre patates de façon symétrique, ce qui ressemble à ça. Le souci, c'est que si on compte les zones délimitées, on ne pourra en dénombrer que 14 alors que quatre ensembles donnent au maximum 16 regroupements possibles. Pour qu'un diagramme de Venn puisse être qualifié comme tel, il faut que toutes les combinaisons d'ensemble soient représentées et il manque ici les zones correspondant à l'intersection de seulement A et B et celle à l'intersection de seulement C et D. Bon, en déplaçant un peu les ellipses, John Venn est parvenue obtenir un diagramme parfait où chacune des 16 zones est représentée. Pour ce qui est d'un diagramme à 5 ensembles et donc 32 zones, Venn a proposé l'ajout d'un anneau central. Il l'a lui-même reconnu, le résultat est loin d'être satisfaisant. Notons tout de même une chose, un diagramme de Venn à N ensemble présente toujours 2 puissances N zones. On peut voir ça sur l'exemple du diagramme de Venn à 5 ensembles qui contient une zone extérieure, 5 zones appartenant qu'à un ensemble, 10 zones appartenant à 2 ensembles, 10 appartenant à 3, 5 appartenant à 4 et une dernière appartenant à tous les ensembles. On a bien 2 puissances 5, c'est-à-dire 32 zones. Il existe pourtant des méthodes pour construire des diagrammes de Venn avec autant d'ensemble que l'on veut. La première méthode est un peu braque, on part d'un diagramme à 3 ensembles et on y trace un chemin qui entrait sans une fois de chacune des zones à l'heure délimitée. En procédant ainsi, on délimite un nouvel ensemble, ce qui donne bien un diagramme de Venn avec 4 ensembles. On peut alors tracer un chemin qui passe par chacune des 16 zones et on obtient un diagramme de Venn avec 5 ensembles. Ce n'est d'ailleurs que depuis abri 2015 que l'on a démontré que la méthode fonctionne toujours, mais elle fournit vraiment ce qu'il y a pire en terme de diagramme de Venn. On doit sinon à Anthony Edward une autre méthode particulièrement esthétique pour construire des diagrammes de Venn, en partant de 2 droits de perpendiculaire et d'un cercle, ce qui forme alors un diagramme de Venn à 3 ensembles. Ensuite, on fabrique chaque nouvel ensemble en faisant serpenter une courbe de parts et d'autres du cercle central. Cette méthode fabriquera des diagrammes de Venn avec autant d'ensemble que l'on veut. Il manque un petit quelque chose à toutes ces constructions et ce petit quelque chose c'est que tous les ensembles ne sont pas équivalents. Ce qu'il faudrait c'est qu'ils soient tous identiques mais surtout qu'ils présentent davantage de symétrie en s'engroupant en formant une fleur. On peut fabriquer des fleurs de Venn avec 2 pétales, avec 3 ou même avec 5. Pourquoi ça ne marcherait pas avec davantage ? On dit alors que ces diagrammes sont symétriques. Chaque pétale se déduit des autres à partir d'une même rotation. Il existe d'ailleurs des diagrammes symétriques à 7 pétales comme par exemple celui obtenu à partir de 7 ensembles là, répété 7 fois par rotation. Ce sont ces diagrammes là, les symétriques qui sont à mon humble avis les plus beaux. Et des diagrammes de Venn symétriques à 4 ou 6 pétales alors ? On en a trouvé ? Eh bien non, mais pour une raison assez simple, les diagrammes de Venn symétriques ne peuvent exister que lorsque leur nombre de pétales est un nombre premier. Pour comprendre ça, essayons de construire un diagramme de Venn symétrique avec 4 ensembles. Un tel diagramme de Venn présente forcément 2 puissances 4 zones. On peut même détailler, il doit posséder une zone d'appartenu à aucun ensemble. 4 zones correspondant à un ensemble seul, 6 zones correspondant à l'intersection de 2 ensembles, 4 zones correspondant à l'intersection de 3 et enfin une dernière zone correspondant à l'intersection des 4 ensembles. Le problème c'est que dès que l'on refait un diagramme symétrique avec 4 ensembles, chaque zone apparaît soit une fois, soit 4 fois. Les zones qui apparaissent une seule fois sont la zone extérieure et la zone intérieure, tandis que toutes les autres zones apparaîtront à cause de la symétrie toujours par paquet de 4. Pour les zones correspondant à l'intersection de 1 ou 3 ensembles, il n'y a pas de problème puisqu'elles sont chacune au nombre de 4. Le souci viendra forcément des 6 zones correspondant à l'intersection de 2 ensembles, soit il manquera de zones, soit il y en aura 2 de trop. Le problème vient donc du fait que 6 n'est pas divisible par 4. Ces nombres 1, 4, 6, 4 et 1 sont ce que l'on appelle des coefficient binomiaux, c'est-à-dire les nombres qui apparaissent dans le triangle de Pascal, un triangle composé de nombres où chacun est égal à la somme des deux nombres juste au-dessus. En l'occurrence, 1, 4, 6, 4 et 1 apparaissent sur la quatrième ligne, ce qui donne la décomposition en zone, du diagramme de veine correspondant. Une des propriétés du triangle de Pascal, c'est que sa nème ligne ne contient que des multiples de n dans le seul cas où n est un nombre premier. Ainsi, puisque 5 est un nombre premier, la cinquième ligne ne contient que des multiples de 5, de même que la septième ligne ne contient que des multiples de 7. Cette condition est nécessaire à l'existence de diagramme de veines symétriques, ce qui explique l'existence de ces diagrammes avec 5 ou 7 ensembles. Par contre, la quatrième, la sixième ou la huitième ligne contient des nombres non multiples de 4, 6 ou 8. Il est donc parfaitement inutile d'espérer pouvoir construire de beaux diagrammes de veines avec 4, 6 ou 8 ensembles. Bref, si un diagramme de veine est symétrique, il contiendra forcément un nombre premier de pétales. Rien ne dit cependant comment on peut les construire. Ce n'est d'ailleurs qu'en 1992 que le premier diagramme symétrique à cette pétale a été découvert par Branko Cronbaum qui a d'ailleurs longtemps pensé qu'il n'existait pas. Aujourd'hui cependant on en connaît beaucoup plus. Pour onze ensembles, ça se complique encore. Le premier exemple de diagramme de veines symétriques à 11 pétales a été découvert en 2002 par Peter Hamburger et il ressemble à ça. Ce diagramme a un soucis majeur. Il n'est pas simple. On dit qu'un diagramme est simple quand il n'existe aucun point ou plus de 2 courbes se croisent en même temps. Dans le diagramme de Hamburger, on trouve des points où les 11 courbes se croisent en même temps. Existe-t-il un diagramme symétrique simple à 11 ensembles ? Eh bien oui, mais il a fallu attendre juillet 2012 pour le voir arriver grâce à Khalif Mamakani et Frank Ruski. Le résultat est superbe, mais il ouvre évidemment une nouvelle question. Existe-t-il un diagramme de veines symétriques et simples avec 13 ensembles ? Plusieurs mathématiciens sont à sa recherche, mais la question demeure aujourd'hui. Toujours ouverte.