 No sé si se acuerdan, ayer también comentamos que si uno tiene determinada la estructura delí sobre una base, eso automáticamente me determina completamente la estructura. Y esto, definiendo así, construimos un ejemplo, lo fijamos, que más les guste con esa propiedad. Y esto que acabamos de mostrar recién, que me dice que si yo tengo otra algebra de elí de dimensión 2, noabeliana siempre le puedo construir una base con esa propiedad, que me dice que las estructuras constantes, o sea la estructura delí determinada a partir de la base quedan fijas y son la misma. Entonces uno siempre puede construir un isomorfismo de estas dos, de cualquier par de algebras delí de dimensión 2, de manera que ese isomorfismo me lleve la base en la base y de esa manera ya tengo un isomorfismo lineal, pero automáticamente esta propiedad me dice que el isomorfismo va a ser un isomorfismo delí, o sea que va a respetar la propiedad del cortiente. Por lo tanto, dado dos algebras con esta propiedad automáticamente tenemos que son isomorfas. Juntando lo que vimos ayer con lo que está escrito acá en el pizarrón, tenemos esa propiedad. O sea, en dimensión 2 tenemos una abeliana y una noabeliana. Básicamente no hay más. Dimensión 1 como comentamos al principio y solo una y es abeliana. Y ahora en dimensión 3 ahí sí ya las cosas se complican un poco. No es tan fácil la vida. Primero, como les dije, no hay una única algebra delí. En realidad vamos a mostrar que hay infinitas algebras delí y nos vamos a basar en justamente en estudiar el álgebra derivada y estudiar el centro del álgebra. Habiendo propiedades que tienen esta subalgebra y el ideal vamos a poder determinar cuántas álgebras delí de dimensión 3 tenemos, no isomorfas. Entonces lo primero que uno puede observar es que si el álgebra delí tiene dimensión 3, su álgebra derivada, una algebra noabeliana ¿no? Su álgebra derivada ¿qué dimensiones puede tener? Es una subalgebra, por lo tanto es un subespacio vectorial. Como el álgebra es noabeliana, sabemos que no puede ser trivial el álgebra derivada, entonces ¿qué posibilidades tiene en su dimensión? ¿0? ¿no? 1, 2 o 3. Entonces lo que vamos a estudiar son los tres casos. Si el álgebra derivada tiene dimensión 1 ¿cuántas álgebras delí puedo construirme con esa propiedad? Si el álgebra derivada tiene dimensión 2 ¿cuántas álgebras delí de dimensión 3? Con esa propiedad puedo construirme. Y si el álgebra delí tiene dimensión 3 y coincide con su álgebra derivada ¿cuántas álgebras delí podemos tener? Pues ya ahí ya empezó toda una discusión mucho más general que en el otro caso no teníamos porque automáticamente el álgebra derivada tenía dimensión 1. Entonces no había una discusión con respecto a esa dimensión, acá sí. Puede pasar los tres casos. Podemos tener álgebras derivadas con álgebras derivadas a dimensión 1, dimensión 2 y dimensión 3. Todo es lo que dice ahí. Entonces vamos en dimensión 1 tenemos que distinguir dos casos posibles que son que el álgebra derivada esté contenida en el centro o que no esté contenida en el centro son dos casos que tienen respuesta diferente. Entonces en la primer condición que dice ahí que el álgebra delí tenga dimensión 3, su álgebra derivada tenga dimensión 1 y que esté contenido en el centro nosotros la clase pasada o ya mejor dicho construimos un ejemplo con esas propiedades. Por eso le dediqué un ratito a la clase de estudiar las álgebras de Heisenberg justamente porque las íbamos a usar ahora y el ejemplo de una álgebra con todas esas propiedades es justamente el álgebra de Heisenberg de dimensión 3 que ahí les recuerdo un poquito lo que es y lo habíamos definido en términos de una base y la propiedad que tenía que cumplir el corchete con respecto a la base de la álgebra era que si uno calcula el corchete de cualquier par de elementos salvo P por Q me dan todo 0 y P por Q me da el elemento 6. Por todo lo que vimos ayer esto nos determina completamente la estructura delí. Entonces ahí lo único que estoy mostrando en esa frase que está escrita es que este es un ejemplo de una álgebra que verifica esas condiciones o sea que su álgebra derivada tiene dimensión 1 y que está contenida en el centro. Que está contenida en el centro básicamente porque el centro está generado por el corchete PQ que me da C y C es un elemento del centro porque el corchete con cualquier otro elemento me da 0. Entonces tenemos la condición 2 es de dimensión 3 por definición y lo único que quedaría a ver es que la álgebra derivada es de dimensión 1 pero justamente la álgebra derivada está generada por C entonces es de dimensión 1. Entonces es un ejemplo o sea en estas condiciones tenemos al menos una y es esta. Lo que vamos a mostrar es que es la única o sea con estas condiciones no hay otra. Cualquier otra álgebra delí que tenga estas propiedades tiene que ser isomorfa a la álgebra de Gésembre. Voy a ir un poco rápido porque perdimos mucho tiempo. Entonces lo que voy a hacer es construir una base, voy a elegir tomar una álgebra delí con estas propiedades genérica y lo que voy a hacer es construir una base de esa álgebra que tiene las mismas propiedades que la base que define la estructura delí de la álgebra de Gésembre. Eso automáticamente nos va a permitir mostrar como mostramos recién en el ejemplo que tienen que ser isomorfas porque uno define el isomorfismo a partir de llevar una base en la otra y como tienen las mismas relaciones los generadores con respecto al producto tenemos automáticamente que ese isomorfismo que es lineal va a ser un isomorfismo de álgebra delí que se verifican las condiciones que preservan los corchetes. Entonces todo lo que viene ahora es cómo me puedo construir una base de mi álgebra L que tenga esas propiedades. Entonces me voy a tomar un generador de mi álgebra derivada que va a ser un corchete de algún par de elementos de mi álgebra delí y como sabemos que estoy en las condiciones que la álgebra derivada está contenida en el centro sabemos que si defino este elemento ese elemento va a estar justamente en el centro como está dicho ahí y una de las cosas que uno puede probar es que si tomo estos tres elementos de mi álgebra me da un conjunto linealmente independiente. ¿Por qué es eso? ¿Por qué se agarró dos elementos de mi álgebra delí? Calculó el corchete suponiendo que ese corchete no nulo claramente porque si no no me va a quedar ni es cerca de ley. Calculó el corchete y considero ese conjunto porque ese conjunto me da linealmente independiente. Hay que escribir la condición de ley escribir una combinación lineal estos tres elementos igualado a cero y calcular el corchete de ese nuevo elemento con los elementos F y G. Por las propiedades que tiene el álgebra delí se implica automáticamente que los coeficientes que multiplican a F y el coeficiente que multiplica G tiene que ser cero. Si dos de los tres coeficientes son cero y la combinación lineal me da cero implica que el tercer coeficiente también tiene que ser cero porque estoy suponiendo que el elemento Z quede finiendo nulo. Si quiero lo escribo, es un álgebra delí. No, no, solo estoy usando que el corchete es no nulo. Eso, nada más. La condición de esa que dice que está en el centro es porque justamente quiero elegirme una base que tenga las mismas propiedades que el anterior o sea quiero que eleprima este contenido en el centro. ¿Por qué esto termina la prueba? De que bajo estas condiciones esta álgebra L y H1 son isomorfas. Acabamos de mostrar que dado estas nos podemos construir una base tal que este elemento es F por G, por lo tanto esto está en aleprima. ¿Y qué propiedades verifica? ¿Qué pasa si uno calcula esto de a cero? Esto de a cero y por definición FG es esta. Acabamos de construir una base de L con todas estas propiedades. Tenemos por otra edad H1 que tiene la base PQC que verifica que PQS, PQC es PQC igual a cero. Tenemos estas dos cosas. ¿Por qué entonces son isomorfas? Nada, basta definir F que a P lo mando a F, a Q lo mando a G, a C lo mando a Z. Esto me define un isomorfismo lineal y qué es lo que tendría que garantizar para poder decir que tengo determinada todas las algebras de L de dimensión 3 con estas dos condiciones. ¿Cómo tiene que ser este iso? Tiene que verificar el corchete. Lo que necesito es que se agarro dos elementos cual esquiera de H1 entonces se verifica esa condición y eso es automático porque la propiedad se verifica en la base. Entonces para este caso acabamos de mostrar que existe una única algebra de L de dimensión 3 con esas propiedades. Ahora veamos qué pasa si la algebra de L no está contenida en el centro, también vamos a ver que existe una única pero que tiene otras propiedades. ¿De qué manera la vamos a construir con las propiedades que dejé ayer como ejercicio que son las de suma directa? Lo primero es mostrar que si uno considera el único algebra de L no hablan a dimensión 2 y toma la suma directa con la única algebra de L de dimensión 1 esa me da un algebra de L de dimensión 2 con las propiedades que están escritas ahí. O sea que la algebra de L tiene dimensión 1 y no está contenida en el centro, solo primero para ver que hay un ejemplo de una algebra bajo esas condiciones. Eso se deduce automáticamente de las propiedades justamente que dejamos ayer pendientes que si uno calcula la algebra de L una suma directa, la suma directa de las algebras derivadas, calcula el centro, la suma directa de los centros, eso me permite probar justamente que esta algebra tiene esas condiciones. Recordemos, L1 es la que acabamos de construir, es la algebra de L de dimensión 2 no es una deliana que es única y sabemos que su algebra derivada tiene dimensión 1, o sea de ahí es que se deduce que la algebra de L tiene dimensión 1. Y como estamos trabajando en una suma directa, las propiedades que aparecen ahí sobre el centro me dice que la algebra de L no puede estar contenida en el centro, o sea eso es un ejemplo bajo estas condiciones y bueno, nuevamente es única, o sea lo única algebra de L con estas dos condiciones de dimensión 3 va a ser eso. Entonces el teorema lo que dice exactamente eso es que si tenemos cualquier otra va a tener que ser escrita de la manera que mostáis como suma directa de la dimensión 2, no abeliana mas la dimensión 1 y acá está la demostración que es bastante sencilla que básicamente de vuelta vamos a trabajar muy parecido como hicimos recién, vamos a construirnos bases apropiadas de la algebra para poder tener la descomposición que queremos de vuelta como estamos en la condición de que la algebra derivada tiene dimensión 1, me puedo tomar un generador, una base de esa algebra y a partir de tener el corchete de 2 elementos del algebra no nulose que tiene que ser múltiplo, uno de la otra, haciendo el mismo truquito que hicimos recién podemos suponer que el escalar es 1, si no fuera 1 cambio mi generador y por multiplicarlo por el inverso de ese escalar y obtengo la propiedad que quiero y a partir de tener este conjunto me voy a completarlo a una base de mi espacio, de mi algebra. De vuelta que el corchete, ahí la afirmación 1 dice que si uno tiene que el corchete de 2 elementos de nulose entonces el conjunto es linealmente independiente es básicamente lo mismo que dijimos recién para los 3 elementos hay que calcular el corchete de tomar la combinación lineal de ellos 2 con los 2 generadores y de ahí se deduce que los escalares tienen que ser 0, nada tengo mi base por lo tanto yo puedo preguntarme qué pasa cuando calculo el corchete de x con el nuevo elemento que agregué que es un elemento de la algebra y lo mismo cuando calculo el corchete de y con ese elemento como son los 2 elementos de la algebra derivada y la algebra derivada está generada por x sé que tienen que existir escalares que verifiquen esa condición nada algebra lineal sin ninguna complicación y la segunda afirmación sí implicó un poquito más de trabajo con respecto a la estructura del y me dice que uno puede construir dentro de la algebra un elemento que está en el centro un elemento central más refiero que está en el centro de la algebra que es no nulo y que a su vez es con no es combinación lineal de x 6 está claro lo que dice es que me voy a poder encontrar un tercero elemento que es central y que no está en el espacio generado por x 6 por qué voy a hacer esto porque yo lo que quiero es descomponer a mi algebra del y como suma directa de algo de dimensión 2 más algo de dimensión 1 donde lo que esté en dimensión 1 tiene que ser habiliano y lo otro es lo que me tiene que dar en la algebra de dimensión 2 no habiliana que la voy a construir a partir de x 6 probar esa afirmación es usar las propiedades con el corchete en calcular tomar un elemento genérico de mi algebra del y yo tengo una base lo puedo escribir con la combinación lineal de ella y calcular el corchete de ese elemento con los tres generadores y ver qué condiciones hay que pedirle a estos coeficientes para que mi elemento z sea central sea central que quería decir que estuviera en el centro que estuviera en el centro lo que quería decir es que cuando calculamos el corchete del con cualquier otro me tiene que dar cero o sea lo que quiero es encontrar escalades lambda muy nut al que el producto de x por z me de cero el producto de y por ceta me de cero y doble por ceta me de cero resolver ese sistema y es muy fácil ver que tenemos una solución que es esa y cualquier múltiplo y justamente eligiendo estos coeficientes de esa manera tenemos que el elemento z es central y además no está en el subespacio generado por x 6 y el coeficiente que multiplica doble vez uno tenemos lo que está buscando o sea lo que dice la afirmación 2 y una vez que uno tiene esta afirmación garantizada tenemos de forma natural que la algebra del y la podemos descomponer como suma directa de una algebra de dimensión 2 más una de dimensión 1 con todas las propiedades que queríamos pues justamente las propiedades que estoy garantizando en estas afirmaciones me permite decir que la algebra generada por x 6 es de dimensión 2 es no abeliana la otra es de dimensión 1 por lo tanto es abeliana y verificar justamente lo que hice y las propiedades requeridas y de igual forma que como vimos acá una vez que tenemos escrita la algebra de esta manera es fácil ver que este es isomorfa al ejemplo fijo que elegimos al principio nuevamente mandando la base en la base si está claro cuál es la idea en todo todo esta clasificación de todo este estudio para estas dimensiones bajas es igual es construir una base apropiada para poder determinar mi algebra completamente y ver mirando bases y son isomorfas o no siempre lo mismo y ahora siguiente paso cuando ya la dimensión de la algebra derivada es 2 o sea que vimos en dimensión 1 hay una única y esa abeliana en dimensión 2 hay 2 una abeliana y una no abeliana en dimensión 3 cuando la dimensión de la algebra derivada es una tenemos una sola con cualquiera de las dos condiciones que este uno está en el centro de la algebra y ahora en este caso que cuando la algebra de dimensión 2 acá ya vamos a hacer un pequeño salto y vamos a probar que hay infinitas o sea pasamos de tener una una o dos a tener infinitas algebras de la condición de que el el algebra derivada sea de dimensión 2 no alcanza para para poder decir que tenemos uno al contrario vamos a construir las cuáles son y vamos a ver que tenemos infinitas y a trabajar sobre los complejos me importa mucho pero voy a restringir a los complejos voy a usar forma de Jordan para poder encontrarlas así que por eso fijamos los complejos entonces de vuelta lo mismo cuál es la forma a razonar y elegir una base apropiada lo que voy a hacer es tomarme una base de la algebra derivada y extenderla a una de la algebra del y lo primero que que se observa bajo estas condiciones es que la algebra es sabeliana o sea que sobre ella el corchete es trivial y lo segundo es que si no restringimos a considerar el homomorfismo adjunto de x si lo restringimos a la algebra derivada nos da un isomorfismo se acuerdan que era el homomorfismo adjunto iba de la algebra a las transformaciones lineales y lo que hace es el corchete de x con y ayer mostramos que eso definía un homomorfismo del y donde la estructura del y que habíamos introducido sobre el espacio de las transformaciones lineales era el comutador se ha dado dos transformaciones las componíamos en las dos posibles direcciones y la restamos ayer mostramos que eso siempre nos da homomorfismo del entonces lo que dicen esta observación que cuando estamos en dimensión 3 y el álgebra derivada tiene dimensión 2 si me restringo a la algebra derivada me da un isomorfismo en la bueno acá está la demostración que usa matriz asociada o considera la matriz asociada a las a las transformaciones lineales que están ahí dando vueltas y para probar que el álgebra de idea de sabeliana como es de dimensión 2 basta probar que el corchete de los generadores me da cero de los dos generadores diferentes entonces básicamente para poder probar que el corchete de y con z me da cero lo lo que hacemos es calcular la matriz asociada de tomar la junta sobre y en la base de la algebra a la primer columna le puse a este disquito porque no me importa cuáles son esos escalares son escalares pero que no me van a afectar a la hora del cálculo pero a alfa y beta si por eso los los detalles específicamente y que es lo que uno usa si uno calcula la traza de de esta matriz en este caso concreto me da beta no pero calcular la traza de la junta en algún valor eso siempre me da cero si el elemento y que estoy considerando verifica esa propiedad si así está en el álgebra derivada cuando uno calcula la traza da cero eso básicamente es por la definición que está que está allí pero acá lo recuerdo cuando calcula la junta de un elemento que está en el álgebra derivada recuerden el corchete es el computador de las transformaciones lineales cuando calculamos la traza de esa transformación la cero y en particular en el caso en el cual estamos recuerden el iera un elemento de mi algebra derivada entonces su traza tiene que dar cero particular como la traza es beta tenemos que el beta es cero si hacemos lo mismo ahora cambiando el elemento sobre el cual vamos a calcular la junta obtenemos que el alfa es cero cambiamos por z recuerden que el corchete de i con z es alfa y más beta cero sea el beta aparecía justamente cuando calcula cuando escribimos en las coordenadas de la base el término z y si queremos que aparezca la alfa tenemos que usar con el i por eso hacemos ese cambio y deducimos entonces que también alfa tiene que ser cero y en particular eso es lo que queríamos no que el corchete de i con z es cero entonces la primera afirmación se verifica la segunda también es un razonamiento muy parecido trabajamos de vuelta con las bases construimos una base de la algebra derivada y lo único que tenemos que observar recuerden quiero probar que la junta en x es un isomorfismo cuando estamos restringiéndonos a la algebra derivada y es una observación muy sencilla lo único que hay que ver es que tenemos una base de la algebra derivada de esa forma particular que es del corchete de x con y y el corchete de x con z eso justamente son los generadores de la imagen de edad x y allí está la definición entonces tenemos que la imagen tiene dimensión 2 transformación lineal sobrejectiva de espacio en sí mismo entonces es un isomorfismo que delí eso es conocido no porque justamente es un homomorfismo de algebras delí cuando me restringo una sub algebra delí me queda delí es una de las propiedades que comentamos ayer entonces para qué me me va a servir este resultado recuerden queremos mostrar que en estas condiciones hay infinitas algebras delí o sea acá lo que vimos son dos propiedades generales que tienen algebras delí de dimensión 3 con algebra de dimensión 2 entonces lo que vamos a hacer es usar estos resultados para justamente construir estas infinitas algebras delí y bueno y acá empezamos a ver cómo cómo vamos a trabajar para construirlas entonces vamos a dividir en casos el primero es suponer que la transformación es que es un isomorfismo de diagonalizable y la segunda condición es suponer que no es diagonalizable o lo es o no lo es entonces si lo es vamos a construir en este caso vamos a construir las infinitas algebras delí no isomorfas y en el caso que no sea diagonalizable vamos a ver que sólo hay uno de cómo uno va a construir algebras de delí sabiendo que la junta es diagonalizable entonces me voy a tomar en particular una base de vectores acá voy a trabajar algebras de niña alpura y a tomar una base de vectores propios de de mi álgebra vaya a usar las propiedades que vimos recién que la junta es un isomorfismo por lo tanto no puede tener valor propio nulo entonces ahí voy a suponer que uno de los valores propios es uno igual que antes si no fuera uno como es no nulo puedo cambiar mi generador de manera que me quede de valor uno el valor propio ahí dice cómo lo cambio y sobre esta base vemos cómo queda la matriz asociada es diagonalizable son dos vectores propios uno tiene que ser el uno y el otro lo llamamos entonces lo que uno puede ver es que todas estas algebras delí con esta por qué tienen matriz asociada de esta manera la única forma de que ellas sean isomorfas es que si el hijo dos cual esquiera una que tenga valor propio muy otra que tenga valor propio no como quieran llamarlo la única forma de que me definan algebras delí isomorfas es que los valores muy no coincidan o que uno sea el inverso del otro esas son las únicas dos casos en que me definen algebras isomorfas si los valores propios no verifican esa propiedad entonces no van a ser isomorfos por lo tanto estamos diciendo que podemos construirnos infinitas de estas algebras delí basta que los valores propios no sean no estén relacionados de esa manera para que las algebras que estamos trabajando no sean isomorfas la afirmación que dice acá yo quería hacer la demostración pero bueno no la voy a hacer es bastante extensa de cómo uno muestra ese hizo esa equivalencia así que dos de estas algebras son isomorfas si solo si o coinciden los valores propios o uno es inverso del otro es es larga no en esta es una demostración que no es de las triviales de las que estamos haciendo ahora que juego para acá y sobrar y sale sin hacer mucho esfuerzo requiere cierto trabajito probar que realmente pasa la condición de servicio morfas y solos y se relacionan así los valores propios pero bueno cualquier cosa si alguien está interesado después lo vemos cómo se prueba esa equivalencia pero quedan me esas son las únicas que bajo esas condiciones es cuando está salgando son y son morfas entonces en particular tenemos infinitas no hizo morfas el otro caso es justamente cuando no es diagonalizable si el que está faltando de vuelta trabajamos de forma similar voy a construirme una base con las propiedades que quiero me construye una base de mi algebra derivada con esa particularidad y como estoy trabajando justamente en el caso que las juntas no diagonalizable una de las observaciones es que justamente cuando calculo el producto de x con z el escalar que multiplica y no puede ser nulo porque ahí tendría otro valor propio si fuera si la anda fuera 0 tendría otro valor propio que sería zeta otro vector propio que sería zeta y que contradice el hecho de que no es diagonalizable entonces tomamos la matriz asociada de vuelta va a tener esa forma pero de vuelta estoy usando que a no puede ser diagonalizable entonces el mu cuánto tiene que valer para que esa matriz no sea no sea diagonalizable tiene que valer uno o sea en este contexto hay sólo una de las algebras del y que verifica todo lo que quiero porque si no fuera de vuelta distinto de uno tendría dos valores propios contradicen la noción de no de agonía entonces en el caso que la junta restringida la algebra derivada no es diagonalizable existe un inical y es lo que dice y para terminar la clasificación que dijimos que en dimensión 3 nos queda ver cuando la algebra diva es de dimensión 3 ya vimos que pasa en dimensión 1 vimos que pasa en dimensión 2 y ahora el último caso es en dimensión 3 y acá también en dimensión 3 vamos a ver que es única y que no es otra más que eso el especial lineal de dimensión con n igual a 2 sobre los complejos es la única algebra del y que tiene esa propiedad no sé si se acuerdan ayer comentamos justamente que este es un ejemplo de una algebra no resoluble lo dijimos de forma rápida que como uno probaría que la algebra derivada del especial lineal coincide con el algebra del y trabajando elegimos una base particular dijimos bueno si uno hace el producto de los elementos de la base puede ver de forma sencilla que obtiene los generadores de la algebra del y por lo tanto teníamos que el algebra derivada del especial lineal coincide con el algebra en sí entonces estoy bajo estas condiciones bueno que es de dimensión 3 es claro no recuerden estas son las matrices de trazos 0 2 por 2 entonces ahí teníamos la base la base que usamos ayer era ir a esta la escribo que la voy a volver usar entonces está teníamos esta algebra que es de dimensión 3 que verifica si quieren que su algebra derivada coincide con ella entonces es un ejemplo de bajo estas condiciones lo que de vuelta lo que queremos ver es que la única o sea vamos a repetir todo el mismo razonamiento que ya vinimos haciendo desde hace rato es bueno dada una algebra del y que tiene esta propiedad como pruebo que es esto o sea quiero encontrar una base sobre la cual el corchete se vea con las mismas propiedades que se ve el corchete sobre ésta entonces nada estamos haciendo de vuelta todo el mismo trabajo voy a elegir bases particulares que me sirvan para poder hacer todo este cálculo primero extendemos a una base de ele luego vemos cómo construir una base de la algebra derivada y usamos que la junta tiene justo lo mismo que vimos hace un ratito como tener una base de la imagen de la junta y eso nos permite garantizar que la junta tiene rangos luego lo que quiero ver es que voy a poder encontrar un elemento de mi algebra del y donde el mapa adjunto va a poder tener un vector propio no nulo un valor propio no nulo y ahí voy a usar todo lo que vimos recién entonces lo primero que uno puede observar es que si la junta tiene valor propio no nulo puedo suponer el h justamente como el x porque ya estoy suponiendo que tengo un valor propio no nulo y qué pasa si ahora la junta no tiene valor propio no nulo es decir que los únicos valor el único valor propio es el cero como me voy a construir otra que si tenga la propiedad que quiero entonces si estoy suponiendo que la junta en x tiene valor propio nulo entonces y usó lo que afirmamos en la en el paso 1 que la junta tiene rango 1 entonces su forma de llordan que expresión tiene va a ser de esa manera entonces una vez que uno tiene la forma de llordan asociada a la transformación adjunta uno puede observar que tiene una base con esas propiedades estoy diciendo que tengo un vector asociado a la segunda columna el z es el asociado a la tercera columna y tiene que verificar esas propiedades por justamente la matriz asociada a la junta en x entonces con estas propiedades voy a poder decir cómo voy a tomar el elemento h que es el que estoy buscando entonces cuál va a ser mi elemento h justamente el que corresponde al y el último paso bueno no falta uno más el siguiente paso es poder garantizar juntando los bloques y vimos recién es que siempre podemos tomar dos elementos de mi álgebra del y con la propiedad de que el corchete entre ellos me da un múltiplo de uno porque en en el primer caso habíamos vimos que teníamos justamente que podíamos tomar el archivo la x en este otro caso justamente teníamos un vector y que tenía esa propiedad por lo tanto podemos arreglarnos para que pase justamente lo que queremos acá y acá voy a volver a usar la afirmación que vimos hace un ratito que decía que si uno tiene un elemento de la álgebra derivada y calcula la traza de la junta eso me da cero para que voy a usar eso si este morfismo adh tiene traza cero y sabemos que h es un vector propio asociado a lo propio cero porque el corchete de h con h cero y aparte por lo que dijimos recién tenemos que x es un vector propio asociado al valor propio alfa y la traza de cero no nos queda más que que tengamos otro valor propio que sea lo puesto de alfa es un ejercicio de álgebra lineal conociendo la traza y algunas propiedades de dulces que tiene que haber otro valor propio por lo tanto tiene que haber otro vector un vector propio asociado a ese valor propio y que lo que dice ahí voy a tomar el vector propio asociado al valor menos alfa y eso me va a permitir construirme una base de mi álgebra que tiene justamente las propiedades que quiero o sea me va a quedar son todos vectores propios ya va a quedar una matriz diagonal donde los valores propios son alfa menos alfa y cero estoy tratando de construir una base muy particular que después la puede identificar con esta ok acá ya tengo buena parte del trabajo ya hecho entonces quiero ver ahora que es lo que me está faltando para poder relacionar las bases recuerden h x e y son vectores propios de ad de h h valor es vector propio asociado cero x es vector propio asociado alfa y es valor vector propio asociado a menos alfa sea definitiva yo sé que está pasando con los corchetes de h con h con x y con y me está faltando saber qué pasa con el corchete de x con y para poder ver que se corresponde con esto y es lo que vamos a hacer ahora ver qué pasa con ese corchete cuentas cuentas cuentas calculamos adh aplicado el corchete de x con y las propiedades de ya cobi me me permiten deducir que eso tiene que valer cero el primer igual es la identidad de ya cobi reescrita de la forma apropiada para que me aparezca justamente las condiciones que yo sé de que x es valor propio asociado alfa y que es valor propio asociado a menos alfa la reescribí apropiadamente usando la condición de antisimetría y eso nos permite decir que cuando calculo la junta de x por y me da cero acá dice que vamos a usar las aplicaciones del paso uno no vamos a usar aplicaciones de todo lo que vimos anteriormente no del paso uno entonces lo lo primero que uno observa es qué pasa con el núcleo de la junta sobre h el núcleo de la junta sobre h se puede ver que está generado por h y por lo tanto como x por y es un elemento del núcleo acabamos de mostrar acá tenemos que tiene que ser un múltiplo de h después nuevamente por ahí dice el por qué el valor h no puede ser cero porque el núcleo tiene dimensión uno porque sabemos que la junta es un isomorfímula todo lo que está dicho anteriormente entonces lambda no puede ser cero entonces lo podemos suponer uno para ahorrarnos problemas que renormalizamos si quieren y tenemos que entonces el corchete de x por y me da h a ver si logramos entender esta afirmación yo acabamos de construirnos una base que tiene todas las propiedades que dijimos recién pero el h es un elemento de mi álgebra del y yo puedo cambiarlo por un múltiplo no nulo y reproducir todo lo que dijimos recién porque en particular no no hay nada de impuesto con con el h en sí sólo que necesito que sea un elemento no nulo entonces si yo lo cambio por un múltiplo cualquiera qué está pasando recuerden el el alfa y el menos alfa venían asociados a la transformación adjunta sobre h son valores propios de esa si yo ahora considero la adjunta de multiplicar h por un escalar cualquiera el valor propio va a quedar multiplicado por ese escalar y siguen entonces si el valor propio va a estar multiplicado por ese escalar yo lo que obtengo es que modificando el h tengo que puedo elegir el valor propio como quiera tomando el hacha apropiadamente porque eso porque ahora ahora hacemos la cuendita acá pero sino calcula el corchete de de esta base tenemos que ver quién va a jugar el rol de h acá cuando uno calcula el corchete se ve que el valor propio que está jugando acá es 2 entonces ahí lo que lo que la observación es para decir que puedo acomodar todo de manera que el valor propio que aparezca es 2 que es lo que es entonces cuando uno renormaliza si quiere el h de apropiadamente para que alfa sea 2 lo que obtenemos es justamente la relación de la base x y h igual a la que complesta nosotros tenemos que h h 0 h x 2 y h y es menos 2 básicamente es lo que construimos construimos la base h x y base del con todas estas propiedades esta es una algebra del y de dimensión 3 esta dimensión 3 tengo derecho a definirme mi somorfismo que mande x a 0 1 0 y a 0 0 1 0 y a h a 1 0 0 menos 1 entonces para ver que esto me define un ni somorfismo del hilo que hay que ver es que verifican las relaciones acá es aquí las relaciones con el corchete entonces lo que tendría que ver es qué pasa si yo multiplicó este por este y este por este si me da si lo escribí bien o lo escribí al revés si uno calcula el corchete de 1 0 0 menos 1 con 0 1 0 0 a ver si puse bien la relación si no calcula el producto esto es el producto de la primer matriz por la segunda y restarle al revés esto es 0 1 0 0 menos más 0 1 0 está bien me queda dos veces lo que le corresponde a x si hacemos la cuenta con el otro me va a quedar dos menos dos veces el otro entonces acabamos de construir el isomorfismo que hay entre la algebra de la dimensión 3 y el especial yñal también de dimensión 3 y eso termina si no estoy equivocada así eso termina la descripción de las algebras delí hasta dimensión 3 como les dije esto tiene un trabajo digo posterior mucho más complejo la idea de estas dos charlas era solo mostrarles las herramientas básicas con las colas uno puede trabajar en esta en este contexto pero claramente si uno empieza a preguntarse qué pasa en dimensiones más altas esto ya no camina hay que usar herramientas mucho más elaboradas para poder clasificar las algebras de dimensión más grandes y en particular hay que empezar estudiar nociones de simplicidad y semisimplicidad para para poder tratar de entender un poco más pero bueno la idea era mostrarles solo un pantallazo de qué es lo que se puede hacer en algebras delí y la charla de mañana que va a ser más bien un cuento contarles una aplicación de esta teoría a un área no tan común en la cual uno se se maneja al menos yo no qué es en finanzas me pareció lindo porque general uno no no suele ver ese tipo de aplicaciones yo las aplicaciones más comunes con las cuales me involucrado en cierto sentido son en física algebras delía parece muy naturalmente en física y cuando uno empieza a estudiar un poco de física un poco más de más compleja que mecánica nutional clasica común y corriente ya aparecen ejemplos pero y después en otras cosas como en ecuaciones diferenciales también las había visto pero en finanzas no me parece algo bonito de contar qué es eso un cuento vamos a agarrar un artículo y tratar de entender la lógica de cómo es que aparecen y en cómo ayudan a resolver un problema de economía sí claro es básicamente el modelo es para ganar plata así porque su modelo empresarial para de producción ahora en la práctica si después funciona no sé pero por hoy es todo alguna pregunta