 سلام علیکم نکس لیکچر کے ساتھ پھر سے حاضر اچھا اب یہ لیکچر جو ہے لیکچر نمبر 11 اس میں let me just say that this is not for the faint of heart I mean I am not trying to scare anybody لیکن this is going to be a very rigorous understanding اس لیکچر میں will try to give you a very rigorous understanding of the idea of limit میں رگرس سے مطلب یہ کہ a very formal mathematical idea of what we mean by a limit basically ابھی تک ہم دیکھ چکے ہیں کہ بھئی لیمٹ کیا ہوتا ہے تھوڑا سا انٹویڈیفس idea اس میں ابھی تک ہم صرف یہ دیکھتے ہیں کہ بھئی ٹھیک ہے x جو ہے an dependent variable وہ کسی ایک نمبر کو اپروچ کر رہے اس سیٹ سے بھی اور اس سیٹ سے بھی تو in response ہمیں دیکھنا ہوتا ہے کہ what is the response of the dependent variable how is the y value behaving how are the y values behaving in response to the movement of the x variable in the direction of a particular number اور maybe in the direction of positive infinity or negative infinity یہ سب ہم دیکھ چکیں اس سے پہلے والے لیکچر میں ہم نے دیکھا کہ پھر اس کے بعد کیا ان کو کمپوٹ کیسے کیا جائے how do we go about computing limits of functions that we have seen so far اور بلکہ ایک کچھ ان میں سے کافی بیسک function ہم کہتے ہیں یعنی y equals x ہوگیا constant function ہوگیا پھر اس کے بعد polynomials وغیرہ دیکھے کہ کیسے ہم انسمال کرتے ہیں ان بیسک functions کو to compute the limits of polynomials rational functions ڈیسٹرہ وغیرہ وغیرہ تو یہ سب تو ہم نے دیکھ لیا لیکن اس سب میں دیکھتے وقت ہم یہ مدنظر رکھ رہے تھے کہ بھئی سب کو جو ہم باتے کر رہے ہیں یہ ساری intuitives ہی ہیں اس میں کوئی formalism نہیں ہے یعنی ہم نے بہتی ایک loosely define کیے تھے سارے limits یعنی definitions جو تھی اور concepts جو تھی وہ تو بکہ صحیح تھے they were very accurate in terms of what we were trying to say basically or understand but the problem was کیسے ہم mathematically کیسے سمجھیں گے تو اب ہم یہ اس لیکٹر میں شروع کرتے ہیں کہ how do we go about understanding what a limit is from a rigorous point of view or a mathematical point of view یعنی we'll define the limit concept of a limit formally mathematically so let's do that تو یہ سب ہم نے باتے تو کر لی let's put down on the screen what we are actually trying to do in this lecture so let's go to the screen and formally see what we are saying here we see that well let's read it basically we have seen so far we've been talking about limits and formally and we haven't actually given a formal mathematical definition of a limit yet and that is exactly what we will try to do in this lecture which we will do actually and the idea is that in this case when we define a limit formally so it will include the idea of left and right hand limits basically اچھا جی تو یہ تو we have also written a formula کہ ہم کرنا کیا چاہ رہے ہیں اس میں یہ بتاتا چاہ رہوں کہ this lecture میں basically real numbers کے بار کچھ properties جو ہم نے پہلے دیکھی تھی پہلے لیکٹر میں ان کو استعمال کریں گے interval notations وغیرہا جو تھی these intervals جتے ان کی بات کریں گے اور اس میں جو میں نے شروع میں کہا تھا کہ this lecture is not for the faint of heart it was kind of a joke of course یہ نہیں مطلب کہانے گا درانے کا مطلب نہیں ہے I am sure we will understand by the end of the lecture what a limit means formally لیکن مخصد یہ تھا کہ اس میں آپ کو کوئی number values بہت کم دیکھیں گی اس میں ہم بہتی abstract ہو جائیں گے اس لکچر میں we will talk about abstract concepts when we talk about limits formally بس یہ تھوڑا ستا کہ don't get scared, don't get worried لیکچر آپ پھر سے بھی دیکھ سکتے ہیں you can always read the book basically and you can always e-mail me and we can discuss it on the e-mail تو آئیے start کرتے ہیں لیکچر number 11 اچھا جی تو آئیے دیکھیں سکین پر کیا کچھ ہے ابھی سب بات کرنے کے لیے جو ہم بات کریں گے جس کے بارے میں یہاں پھر دیکھیں تھوڑی سی بات پہلے بھی میں نے کی تھی اس کو پھر سے تھوڑا سا formally کہتے ہیں انٹویٹیولی we had said that limit as x goes to a of the function f of x is equal to l means that as x approaches a اور یہاں پھر میں جب کہتا ہوں x approaches a so I mean it's approaching from the left or the right and the point is that the limit from the left and the right is the same so x approaches a then f of x approaches l تو یہ بیسکلی intuitive see concept ہمارا but the concept of approaches is basically intuitive and that's what we want to make concrete or formal mathematically یعنی so far we haven't used the theory of real numbers تو یہ جو مطلب کہنے کا مقصد کیا ہے کہ we haven't used the theory of real numbers پہلے بھی میں نے کہا کہ یہاں پہ ہم نے جب کہتے ہیں کہ approaches یعنی x approaches a what does that mean I mean تیکے وہ تصیی بناکے تو ہم نے دیکھ لیا کہ بھی گراف بناکے دیکھ لیا کہ بھی یہ ایس ایسے جا رہا x کی value تو y کی value کہاں جا رہی تیکے fine but we haven't used the idea of real numbers مسئل ہی ہوئے جو بات ہوتی ہے تو يجب بات ہوگشitted then we have to talk aboutcessors انٹروا ہے سمجھ سکی быتے گے تو انٹروا سگی بات کریں basicly مسئل ہی جารتے hand سgasps do that خب بہ what سن you اچیے جی تو وی لیکن مک ایسی جا رہا ہے perfume chain کی مشہ solves seat کی should dream PlayStation یعنی ایسی جا رہا ہے ایسے بھی مشہematic ایسی ایکسف tim انٹرا ، اسی بھی م groom ایکسپراب اپنے means ایک اس کے متموی کے ساتھ بہنے کے لقا ہوں گو. اللعلیловی بھی ایسا دورانے کے وعا کوama کو بات زیادہ اور زیادہ جاہھ دیتے ہیں۔ کہ اپنے aktogenous فرام기 اپنے میں کم آج سے شہف کر رہے ل faux ڈام کم کے لئے تو یعنی اس کو پرفریس کریں تھوڑا سلسل کی دسکشن کرتے ہیں کہ اب جب اپروڈیس کی بات ہوئی تھی تو ہمارا مقصد سارہ کہنے کے یہ تھا کہ جیسے سے ہم کہہتے ہیں کہ جی x اپروڈیس a نمر تو ہم سٹڈی کرتے تھے بیحیوڈر of y ڈالیوز what a how are they behaving تو اس مامنے یہ دیکھا تھا کہ as x اپروڈیس a نمر y ڈالیوز اپروڈیس some ڈالیوز or actually sometimes they approached infinity you know it can happen that you can get to infinity لیکن کامسپ وہ یہ کہ we wanted to get لیکن جہاں ہم نے infinity کیا بات کی تھی کہ f of x was approaching infinity any y value infinity کی دور جا رہی نہیں تو ہم نے کہا تھا limit does not exist چی کہ تو یہ یاد رکھیں crucial point ہے whenever we say that limit of some function as x approaches some number or maybe infinity equals infinity plus or minus we are really saying that the limit does not exist and that's just a way of writing down کی وہ behavior ہے کیا i.e. it does not exist because it's getting really big or really small we talked about it in one previous lecture تو وہ یاد رکھیں یہاں پر ہم final numbers کی بات کر رہے ہیں i.e. l it's some number یعنی جب x کوئی number کو اپروچ کر رہے ہیں تو y کو بھی کوئی number اپروچ کرنا چاہئے تو کہنے کا مقصد یہ ہے کہ جیسے جیسے میں x کو a کی قریب لاتا ہوں from the left or from the right i.e. basically کہنے کا اس کو اس طرح دیکھ لیجے کہ یہاں پر 1 point x ہے تیک جی اس کے point a ہے اور اس کی left-hand side سے آپ x variable کو ایدر اپروچ کیجے اور right-hand left-hand side سے اور right-hand side سے اپروچ کریں گے تو آپ بیسکلی کیا the x values کم very close to a یعنی بیسکلی اس طرح سے نوٹ کیجے کہ جسے ایسے میں رہا ہاتھ کئی جو املیہ قریب آ رہے ہیں تو this is signifying the fact that there is an interval involved right there is an interval which is getting very very very small and getting very close to a from that point of view تیک جی تو x جو ہے وہ کہہ سکتے ہیں کہ کہنے کا مقصد جا ہم کہتے ہیں when we say that we can find some interval which gets very small very close to a from both left and right اور x اس کے اندر لائے کرتا ہے اور اس کی response میں ہمیں دیکھنا چاہتے ہیں کہ what happens to the y values تو وہاں پہ بھی انٹرول آ جاتا ہے کہ جی اب آپ کا انٹرول ایسے کر کے تو یہاں پہ اگر l number ہے تیک جی اور یہاں پہ a تھا نیچے اور آپ کا ایسے کر کے انٹرول چھوٹا ہورا تھا تو یہاں پہ انٹرول سا بھی دیکھنا چاہتے ہیں کہ کوئی ایسا انٹرول ہے l کے آسپاس سچ دیتا ہے کہ وہ بھی چھوٹا ہوتا جائے اور f of x جو ہے کارسپانڈننٹی اور x لائے انٹرول لائے یعنی وہ کہنے کا مقصد یہی تھا کہ f of x جو ہے وہ l کے بہت قریب آجے تو کس طرح آئے گا وہ اسی طرح آئے گا نا کہ آپ اس کو بہت انٹرول کو چھوٹا کر دیں جس کے اندر f of x لائے کرتا ہے اور اتنا چھوٹا کر دیں کہ وہ l کے بل کو قریب آجے دیکھتا ہے کہ ہم ایسے انٹرول سا بھیے جو بہت ایک مطلب لائے گا تو ایک کس طرح آئے گا اور ایک کس طرح آئے گا اور ایک کس طرح آئے گا اچھا جی تو اب رگرس کیسے کرتے ہیں رگرس سے مطلب یہ ہے کہ now you'll start seeing a whole bunch of mathematical equations and you know variables basically and things might become a little basically unfocused لیکن وہ اس لیے ہوگا کیوں کہ ہوں کہ ہوں کہ ہم ہم not most of the time we're not used to mathematical literature یا نہیں ہم عام طور جب کتاب پڑتے ہیں تو بہت کم لوگ ہوتے ہیں جو مات کی کتاب پڑتے ہیں ظاہر ہے کیونکہ that's supposed to be very difficult right but it's not actually اور یہاں پہ میں آپ سے کہتوں کہ please do read mathematical books یعنی اپنی تکس بکتاب دیفنلی پڑیں اسے پریکٹرس ہوتی ہے we can start getting a better feel of how mathematics is written down and how to basically read and understand mathematics so let's write down something on the screen idea basically ہے کہ جو میں نے بھی انٹرولس کا آپ کو بتایا ہے کہ x approaches ایک مطلب یہ کہ کوئی ایسا انٹرول ہے ایک آس پاس جو بہت چھوٹا ہو رہا ہے ایک ایک قریب کریب ہو رہا ہے اور اس میں x لائے کرتے ہیں اور سمجھرلی f of x approaches ل کا مطلب یہ تھا کہ وہ ایسا والا انٹرولتہ y axis پے وہ ایسا چھوٹا ہو رہا تھا اور f of x اس میں لائے کرتا تھا it was getting very close to l so let's put it down formally let's go to the screen we will basically rewrite that this whole idea as follows we will say for any number epsilon bigger than 0 a greater than 0 if we can find an open interval and we'll call that x not x1 parenthesis is up on the x axis containing the point A such that f of x is confined by or it's between the numbers l minus epsilon and l plus epsilon for each x in the interval x not x1 except possibly at x equals a and if that's what we can do if we can do that then we say that limit as x goes to a of f of x equals l so really we are saying that f of x is in the interval l minus epsilon comma l plus epsilon اچھا جی so print of heart کوئی درنے کی بات نہیں ہے I'm sure ابھی جب میں نے لکھا اس میں تھوڑی دیکھ لی آپ میں کی وہ شکل بن جا نی چاہی ہے کہ ہوا کیا right جو کچھ بھی میں نے پرہا بھی سکرین پی آپ نے بھی دیکھا لکھا ہوا کہتا نا جیسے امریکہ میں ہمارے دوست تھے جب کوئی مثمیٹس کا مذاک ہوتا تھا تو کہتا تھے کہ بھئی this is all Greek to me well obviously it is using Greek symbols right we're using epsilon and all that stuff so of course there's some Greek involved but the ideas are mathematical they may be a little bit intimidating but we should focus on them تو اب اس کو تھوڑا سکتا ہوا سکتے ہیں کچھ بات کرتے ہیں what did I say on the screen let's look at it again on the screen and talk about it جب یہاں پہنے کہا تھا کہ for any epsilon bigger than zero if you can find an open interval x not x1 یعنی open interval کی سب سے پہلے definition یاد آپ کریں hopefully آپ کو یاد ہو it's just an interval on the number line in this case it's going to be on the x axis کیونکہ ہم نے x کا variable سمال کیا یہاں پہ تو it's just some open interval like 2 or 3 یعنی کہا سکتے ہیں parentheses 2 comma 3 اچھا open interval کیا ہوتا ہے open interval یاد ہے وہ ہوتا ہے جس میں یہ جو end points ہوتے ہیں in this case they are x not and x1 they are not part of the interval they're outside the interval but any number close to them is obviously in the interval so open interval ہے بڑے مزے کی چیز ہوتی ہے from this point of views کے بارے میں تھوڑا سا سوچیں گے so you'll see what I'm saying اچھا ہم بخص دیئے کہ we can ہم ایک اپسلون کو ایسا نمبر لیتے ہیں جو 0 سے بڑھا ہے میں آپ کو دیتا ہوں I give you for free as a gift some number epsilon bigger than 0 and basically what you do is you try to find an open interval x not x1 on the x axis containing a point a اچھا ٹھیک ہے ہم نے اپنی اُنگلی رکھ دیئے ایک انٹرول پے ہم نے انٹرول دھون لیا اور x میں point دھون لیا ایک انٹرول پہلی بڑی بات ہوگی بڑی بات یہ ہے کہ یہ جو ای ہے اس کی ایسی property ہونے چاہیے such that f of x جو ہے آپ کا function جو ہے وہ l minus epsilon اور l plus epsilon کے درمیان ہو اور this should be true for each x in the interval x not x1 except maybe when x equals a تو یہ this is basically what we call the limit of this thing تو یہاں پہلے ایک کچھے میں لگا دیتا ہوں I think that'll be helpful in terms of basically explaining what I'm saying تو یہ پکچھر ہے آپ کے سامنے اس میں دیکھئے کہ یہاں پہ ہمارے پاس ایک انٹرول ہے x not x1 اور ساتھ میں ایک point ہے variable ہے x جو کہیں بھی ہو سکتا ہے اور ساتھ میں point ہے a تو a پہ ذوری نہیں کہ f of a جو ہے وہ defined ہو لہذا مقصد یہ کہ x may not equal a that's just you know something we don't it's going to be a special case if it were allowed to be x equals a we'll let this بھی the case کیہ ہو سکتا ہے وہ نہ ہو کیونکہ limit میں equality یہ ذوری نہیں ہوتی x کی اور a کی لہذا آپ یہ ہم نے دیکھ لیا تا وبم مقصد یہ ہے کہ اگر کوئی ایسا نمبر دھنڈ لینچ such that کہ f of x جو ہے وہ epsilon distance away ہوں from l basically یہ پکچھر میں جیسے میں میں نے بنائے تو یہاں پہاں پہاں سکو لیکن ہم اپسیلون کی ہم نے بات کی تو اب سب سے پہلے تو وہی سٹارٹنگ پورنٹ اپسیلون نہیں تھا نا اپسیلون was a number bigger than zero تو آپ سوچ رہا ہوں گے آپ پوچھ رہا ہوں گے کبھی what's the big deal with this epsilon what's that all about اپسیلون کی relationship اس پوری لیمٹ کے idea میں یہ ہے کہ آپ کو جو function ہے آپ کا f of x اس کو l کے بہت قریب کریب لانا ہے اپسیلون کوئی ایسا نمبر ہو جو یادہ آپ کو میں نے کہا تھا کہ here's an interval here's the number l in between اور اس کے آس پاس f of x ہے آپ انٹرول جو f of x جو اس انٹر میں لائے کرتا ہے یعنی اس confined by this انٹرول بیسکلی ٹھیکی جی اس انٹرول میں یہاں پہ کئی ل ہے اور f of x بھی آئی پہ تو آپ یہ چاہتے ہیں کہ آپ کا انٹرول بہت چھوٹا اتنا ہو جائے کہ f of x جو ہے اور l جو ہے وہ بہت قریب کریب آ جائے ظاہر ہے جیسے ایسے میں چھوٹا کرتا جاؤں گا انٹرول l اور f of x بلکل زادہ و مومنٹون میں نہیں رہے گی تو وہ بہت قریب کریب آ جائیں گے تو یہ سارا مخصد ہے اس ڈپسلون کا آپ کا جب ہم کہتے ہیں ڈپسلون is bigger than zero fine it could be 1 million لیکن obviously that's going to be a very big interval we don't want that we want ڈپسلون to be a very small number bigger than zero but very small you know ابھی میں آپ کو ڈپسلون دیتا ہوں کہ کتنا small لیکن وہ سارا مخصد یہ ہے کہ آپ اس کو f of x اور l کو بڑے قریب لیائیں گے اس چھوٹے سے ابسلون کو استعمال کرتے ہیں ابسلون کے کیسا ہوسکتا ہے مثال کے طور پر let me write it on the screen ابسلون جو ہے وہ ایک بہتی چھوٹا نمبر ہوگا پوزیڈیو ہوگا ظاہر ہے جنکہ ہم ڈپسلون سمجھر کریں گے اس کو استعمال کرتے ہیں ایماجن کریں ابسلون could be something like 1 divided by 10 to the power 10 to the power 100 تو یہ جو نمبر ہے نمبر ہے ابھی آپ نے دیکھا 1 over 10 to the power 10 to the power 100 ایک بہتی نمبر ہے 10 to the power 100 اس کا نام ہے اس کا نام ہے google plex ظاہر ہے عجیب سا نام ہے google plex یعنی google کا کوئی مطلب تو نہیں ہوا گوگلی یاد آتی ایک دم سے سوچکے گوگلی کا مقصدی ہوتا ہے کہ it's supposed to confuse you یہ نمبر جب جاد ہوا تھا تو ایک صاحب تھے انہوں نے بھانجے سے پوچھا رہا تھے انہوں نے نمبر لکھا 10 to the power 100 اگر انہوں نے لکھا تھا 10 to the power 100 اور انہوں نے اپنے بیٹے سے بھانجے سے پوچھا کہ اس کا کیا نام ہے کہتا ہے it's a google بچہ تھا ذاہر اس کا مقصد یہی تھا کہ کہ یہ ایک اتنا بہر نمبر ہے کہ it's confusing لوگوں نے اس کو پھر ایک اور 10 ریس کی پاور کی and you basically ended up with what we just saw which is namely a google plex تو یہ مقصد یہ ایک bottom والا نمبر اتنا بڑا ہے کہ جب آپ تو for all extensive purposes this is equal to almost the same thing as zero it's very close to being a zero تو اتنا چھوٹا نمبر ہے کہ it's bigger than zero for sure but it's very close to it تو اپسلون جیروک ایسا نمبر ہونا چاہئے ابھی تک جو ہم نے دیکھی ہے لیمٹ کی جتنی بات چیت کی ہم نے let me just say what we have so far concluded بیسکلی ابھی تک جو ہم نے لیمٹ کے بارے میں بات کیا ہے تو اس کا کہنے کا مقصد یہ ہے کہ ایک سفادہ Jessie میرے حال سبن سکو سکن دو بلک دیتا ہے اور سو بہتر ہوں تو ممبر ہے بیسکلی سیکرہا ہے مرے کیا سکنی دو ہمیں آپ کو کہنے کا نمبراہ اگر جب کیتا ہے آپ در ایک اندو مقصد آن جب آپ اولئے اگر جس ایسے مقصد آن جب آپ کو اپسلون جانتا ہے آپ کو ایک ایسا اپسلو لیا جو آپ کو اپسلو آپ کو اگر مقصد piano جو دویر بدیل بہت بالکہی مالکتی دنیا باتا کیا مالکتی ہے تو بہت پر ساتھ کچھ حالت کے لئے دیتے ہیں۔ حوالیات دینیا مالکتی ہے کہ جب ہمارے ملکتی ہیں کہ ملکتی حالت ہماریں کہا تھا کہ ای پیل کے تفہیک میں نپ ملکتی ہے اور پھر بہت پیل ملکتی ہے۔ ویجاہ کرتا ہوتا ہے کہ یہ میکرزہotex یکس نوت یکسی کیا ہوتا ہے۔ بحوالت ہے کہ ہمت کے ملکتی پہلے جو Tomorrow بہت با جانتے ہیں کہ اس اپسالون کے لئے ایک بہت ہوتے ہیں آجی اپسالون کے فرمینہ اور ہالے اپسالون مجھے جوکہ میں یا کیا کوئی ورکھ دیکھو اور اپسالون کے لئے کمکی ایک بہت ایک بہت منحوشاہ ہے جو ہم نے ایک ان چاہتے ہو جاتا ہم نے عا بھی نہیں لے جانی نہیںunge لاتی ہے کہ ہم نے بہت سلامی ہوائے جسEEہ ہم مجھے ابترہ کرنا چاہتے ہیں اس لئے ابترہ کالہتا ہوں گا اس کا صرف لکھنے کا ایک تریکہ ہے وہ یہ ہے کہ x0 سے最قد لکھیں اس کے اے طرح لیکن اکھن ایک اتصالی لگی کیونکہ اپن انٹرابال کے ذاہر ہے ایک ایک اس کا حصہ نہیں ہی لیکن ہم اس سے ایک سرفی ساری ویلیوں اس دےنا چاہتے ہیں startی سے ایک اس کے اتصالی لیکن لیکن ہم یہ انترابل لے لگے اس کا یونیون لے لیجیے with the interval or the open set open interval a سے لے کے x1 تک یعنی اس والے میں چونکہ یہ بھی open ہے تو اس میں بھی a نہیں ہوگا but we will include all the values before x1 تو یہ آپ کا ایک اور طریقہ لکھنے کا of the open interval x0,x1 but then also the inequality holds in any subset of this interval اگر یہ x0,a union a,x1 میں hold کرتی یہ inequality تو ظاہر اس کا کسی چھوٹے سبسیٹ میں بھی hold کرے گی right لہذا ہم کہہ سکتے ہیں کہ اس کا ایک سبسیٹ لے نا چاہیں گے ہم چاہیں گے کہ جو ابھی ہم نے سید دیکھا ہے یہ انٹرول دیکھا ہے x0,a union a,x1 اس کا ایک سبسیٹ لے نا چاہتے ہیں تو وہ ایک سبسیٹ ہو سکتا ہے اس وام کا a-Δ کاما a union with a,a plus δ اور یہ دونہوں اپن سیٹس ہیں تو ابھی دلٹا کیا اس کی ہم خلال کرتے ہیں لیکن اس کو I Hope آپ کنبنسٹ ہے کہ x0,x1 کو ہم لکھ سکتیں as x0,a union a comma x1 اور اس کا اگر کوئی ہم سبسیٹ لینا چاہیں تو یہ سوام کہہ ہو گا اس کا مقصد یہ تھا کہ آپ بیسکل ایک انٹرول دیفائن کریں f of x اور l کیلئے جو بہت چھوٹا ہوتے ہوتے اتنا چھوٹا ہو جائے کہ f of x اور l جو ہیں وہ بلکل قریب قریبہ جائے اسی طرح سے دلٹا ہوگا وہ آپ کے x اس کیلئے کام یہی رول پلے کرے گا کہ آپ اپنے جو آپ کا انٹرول ہے x x اس پے وہ اتنا چھوٹا ہو جائے یعنی دلٹا اتنا چھوٹا لیں کہ وہ ایسے چھوٹا ہو کے اتنا ہو جائے کہ x اور a جو ہیں اور بہت قریب قریبہ جائے تو یہ دلٹا بوٹ پلے the رول of epsilon in that sense تو لیٹس look at some more stuff on the screen اچھا یہ کیا بات ہوئی well to convince you of this fact let's look at a figure here's a figure figure 2.6.2 and I think this will convince you if you look at it for a second اس کے لیوہا اور کیا ہم کہہ سکتے ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں well let's see یہ بھی ایک fact کہ جو inequality ہم تھوڑی دیر سے دیکھ رہے ہیں f of x is between l minus epsilon and l plus epsilon we can rewrite that inequality as the absolute value of f of x minus l is less than epsilon یہ اگر آپ کو absolute value کے بارے میں یادے a second lecture تھا اس میں ہم نے یہی باتے کی تھی کی نیکوالیٹی دیکھی تھی and we know that this inequality and the first line on this screen the one line before this one are exactly the same thing تو ہم f of x between l minus epsilon or l plus epsilon کو لکھ سکتے ہیں as the absolute value of f of x minus l less than epsilon اچھا اور اس کے بعد آخری چیز جو اور ہم تھوڑی سی compactly لکھنا چاہیں گے وہ سپسٹ ہے جو ابھی ہم نے تھوڑی دیر پہلے دیکھا تھا ای مانس دلتہ کاما ای یونین دی انٹرول ای کاما ای پلس دلتہ اس کو اگر اگر آپ اپ کنوانسٹ ہوں گے کہ we can rewrite this as the absolute value of x minus a is between 0 and delta تو اس کی کنوانسٹ ہونے کی لیے اس بات سے بھی یہ ہے کہ آپ وہ جو پکچر ابھی میں نے بنائی تھی اس پر آپ دیکھیں ٹھوڑا سا خور کریں تو یہ کچھ ٹھوڑا سا ہم نے بیسکل یہ کیا ہے کہ انفارمال سی ڈیفنیشن سے شروع کیا ہم نے اور آسطا آسطا ہم اس کو فارملائس کر رہے ہیں ہم اس کے اندر زیادہ سے زیادہ سیمبالوجی لہاں رہے ہیں ماثیمٹیکل تاکے لہذا ہم اس سے بیسکل بھی کنوانسٹ ہوں گے تو اس دیفنیشن now بیسکل لیتا ہوں گے یہاں کب ہے کہ ڈیفنیشن کے مجھے بھی بیسکل بھی سکتے ہیں ہمی関انی نام میں ڈیفنیشن اس سے بہت کچھ ہوں گے ایسا地eto رہتے ہیں ڈیفنیشن جناب آپ کے سامنے ہے یہاں لیتا ہمی کبین کیا ہمی سکتے ہیں ہمی庶 کے بہت کبین کبین your ڈیفنیشن کیا ہوسکا آپ کیا سکتے ہیں کہے ڈیفنیشن سے کبانی نام میں کبین کچھ بھی معلومات کے لئے ڈیفنیشن سے ڈیفائن کے لئے کسی اندریبال میں بے حکہ ایک کتاب کے لئے سوچ ہے ایک کتابیہ جو اتنانہ باتی ہے ڈیفائن سے ڈیفائن کا لن kein سانی ہے ڈیفائن میں بن according ڈیفائن کے لئے ڈیفائن کا نمی ڈیفائن کو ممزد ہے ڈیفائن میں بھیوکعدی کیا ڈیفائن میں بہت سکتا ہے ڈیفائن میں وقتڈ novelty ڈیفائنے ہیں ڈیفائن کے لئے ڈیفائن کے لے سچتی بات خود کہ ڈلٹا کے بین میں جو سکتی ہے تو اس کو دبارہ بنائی بات اور ڈیلٹا کے بین میں سکتی ہے کہ اس کو بیس ہم نے اسی پہ کیا اسی ساری ترمانولوجی پہ جو بھی دیکھ ہم نے استعمال کیے تو اس کو this is also in your text book of course وہ ہی بات ہے کہ میں نے تو یہاں بول دیا اپنی کوشش بھی کی کے سامجھ جائے آپ and I'm sure most of you have understood kind of most of what I was saying لیکن یہ کہ آپ ہوتھ بھی پڑھیں گے اس کو تو it'll make more sense our practice of course وہ ہی بات ہے practice makes perfect so it'll take some time but it will make sense eventually اچھا جی تو definition تو ہو گئی limits کی ہم نے formal mathematical definition دے دیے finally اب اس کی اس کو استعمال کرتے ہیں let's see if we can use this definition to actually look at some limits that we computed informally پہلے ہم نے intuitive sort of approach لے کے کچھ limits calculate کیے تھے ان کو justify کرتے ہیں and prove کرتے ہیں using this formal mathematical definition so let's look at the screen here's an example اس میں یہ ہے کہ example ہے جی کہ prove that limit as x goes to 2 of the function 3x minus 5 equals 1 اچھا یہاں پہ ایک point چھوٹا سا یہ ہے کہ اب جب ہم formal definition استعمال کریں گے limit کی تو there won't be any concept of approaching from the left or from the right کیونکہ وہی ساری بات ہے کہ جب میں نے interval کی notation تو وہی بات ہے کہ your interval ایسے چھوٹا ہوتے but shrinks from both sides یا نہیں وہ left سے بھی shrink ہو رہا ہے right سے بھی ہو رہا ہے so automatically it's included in this definition کہ you're approaching 2 from the left and the right تو وہ اب اس formal definition میں ہم اس کے بارے میں زیادہ پرشان نہیں ہوں گے we'll just compute the limit and prove it actually that this is actually true so let's go back and see what we can do with this تو یہ پروف کرنا ہے کہ limit as x goes to 2 of 3x minus 5 equals 1 well by definition of limit that we just saw we will show that given any epsilon greater than 0 we can find a delta greater than 0 such that absolute value of 3x minus 5 minus 1 is less than epsilon if x satisfies the absolute value of x minus 2 then it's between 0 and delta تو یہاں پہ اڑنٹفائے کر لیتے ہیں کہ what is what basically یا نہیں جب ہم نے کہ کہ l کی بات ہوتی definition میں ایک l تھا نمبر وہ کیا یہاں پہ وہ ہے 1 یا نہیں ایک طرح سے ہمیں اس میں ہمیں پروف کرنا ہے کہ the limit is actually 1 تو ہمیں 1 دیا ہوا ہے so we can use it in the definition and the definition was f of x minus 1 and the absolute value of f of x minus l should be less than epsilon so here f of x is your function 3x minus 5 and minus l is where you write minus 1 because that's what the definition is and similarly delta کیا چیز ہے well delta تو ہم معلوم کریں گے this is just some number bigger than 0 جو ای تھا وہ کیا ہے وہ یہاں پہاں ہے 2 یعنی x approaches a ہوتا تھا تو یہاں پہاں a کی value 2 ہے تو وہ ہم نے ڈال دی ہے this definition میں as the absolute value of x minus 2 تو یہ آپ کی ہوگے ڈیمپل اس کو proceed کرتے ہیں let's work out what we can do so the task basically is to find a number delta which will work for any epsilon greater than 0 مطلب کیا مطلب work which will work for any epsilon greater than 0 مقصد یہ ہے کہ ہم ایک ایسا delta دھونیں جو جس کو استعمال کرتے ہوئے ہم a کے بہت قریب لیا ہے x کو such that epsilon جو ہے وہ بہت قریبا جائے l کے I'm sorry epsilon جو ایسا ہوتا جو f of x کو بہت قریب لیا ہے l کے تو let's go back and work out the details of this whole exercise is this example یہاں پہاں آپ دیکھیں we can play around with this a little bit what we had from the definition was that absolute value of 3x minus 5 minus 1 is less than epsilon if absolute value of x minus 2 is between 0 and delta this implies that if you simplify the stuff in the first absolute value you get that 3x minus 6 in the absolute value should be less than epsilon کیوں کہ وہ 5 or minus 1 minus 5 کو آپ نے subtract کیا ایک دوسرے کے ساتھ تو آپ کے پاس minus 6 آگیا if again وہ کندشن next value جو وہ اسی رہے گی if absolute value of x minus 2 is between 0 and delta well this can be re-written as آپ یہاں پہاں چھوٹا سا رول جو hopefully آپ کو یاد ہو absolute value والے لیکچر سے for the second lecture تا ہمارا کہ جو constant ہوتا ہے اس کو ہم یعنی جو نوٹ کریں کہ 3x minus 6 میں 3 is common تو اس کو میں لکسکتا ہوں as the absolute value of 3 times x minus 2 in the absolute value تو یہاں پہاں میں بریک کر سکتا ہوں اس کو as the absolute value of 3 times the absolute value of x minus 2 this is just وہ جو رول ہم نے دیکھتا کہ the product the absolute value of the product is the same as the product of the absolute values وہ یہاں پہاں میں اپلائے کیا ہے لیکن مزے کے باز آئے گی ہے کہ absolute value of 3 کیا ہوگی by definition is just 3 3 times the absolute value of x minus 2 is less than epsilon if x minus 2 absolute value is between 0 and delta یہاں پہاں پہاں پہاں تھوڑی سی اور simplification ہے تو آپ کے پاس results آئے گا absolute value of x minus 2 is less than epsilon over 3 if absolute value of x minus 2 is between 0 and delta تو یہ تھوڑی سی simplifications کیا ہے میں نے بیسک Algebra استعمال کرتے ہوئے تو اب ہمارے پاس کچھ یا نہیں جو ڈیجنل پروبلم تھی اس کو ہم نے تھوڑا سیمپلفائے کر لیے اب مقصد یہ کہ یہ جو ہمارے پاس last statement آئی تھی جس میں ہم نے لکھا تھا کہ absolute value of x minus 2 is less than epsilon over 3 if absolute value of x minus 2 is between 0 and delta اس کو استعمال کرتے ہم کیا کر سکتے ہیں let's go to the screen the question now is to find a delta that makes a statement true اب مزیقی بات یہ ہے کہ note that the first part of the statement depends on the second part for being true یا مقصد یہ کہ جو پہلہ پارٹ وہ دپنٹ کرتا ہے delta کی اوپر یعنی جو statement ایسا یہ نا کہ if something is true تو جو پہلہ پارٹ وہ follow کرتا ہے if and then some statement تو اگر second statement true ہوگی تو یعنی choice ہماری جو یہاں پر second value کو true کرنے کے لئے we have to make a choice of delta and that choice of delta will determine the trueness of the first part یعنی اس کو true کر دیگی تو اب یہاں پر ہی کرتے ہیں کہ let's make delta epsilon over 3 تیکیجی in the second part in the second inequality جو دلتا جہاں پر ہمیں دوننے ابھی اس کے بارے میں دیکھتے ہیں کہ epsilon over 3 کیوں کہا میں نے دلتا کو اگر delta epsilon over 3 ہے then basically what do I get because I have from the last screen جو ہم نے لکھتا وہ اسی کو میں لکھتا ہوں تو اس میں یہ ہوگا کہ absolute value of x-2 will be less than epsilon over 3 if x-2 absolute value is between 0 and epsilon over 3 یعنی یہاں پر delta کی بجائے میں نے epsilon over 3 لکھ دیا ہے چونکہ that's the choice I made for my delta تو اب کیا کہ سکتے ہیں اس کے بارے میں well اس کے بارے میں یہ کہ سکتے ہیں کہ چونکہ delta epsilon over 3 ہے تو ہماری سیکن جو سٹیٹمنٹی ہے جو ان کوالتی تھی یا ایک پوری سٹیٹمنٹی اس میں یہ تھا کہ absolute value of x-2 was confined between 0 and delta تو delta کو اگر میں نے epsilon over 3 کر دی ہے تو ظاہری سی بات ہے کہ پہلی سٹیٹمنٹر true ہو گئی نا I mean that's the thing basically جو پہلہ پارت تھا سٹیٹمنٹ کا for being true اگر میں نے absolute value of x-2 کو less than epsilon over 3 define کر دی ہے by making a choice for the value of delta then from that part 1 follows immediately I think you can all see that's pretty obvious اور اس طرح سے ہم نے proof کر دی ہے that the limit as x goes to 2 of 3x-5 equals 1 تو اس example میں ہم نے proof کر دیا ایک ایسی چیز جو ہم نے relatively دیکھی تھی کہ true ہے تو اب اس کو definition کو استعمال کرتے ہوئے concrete جو mathematical definition دی we have proved that the limit was exactly what we wanted to be تو یہاں پہ ایک point یعنی اس example سے بھی بازے ہو جائے گا کہ سارا مخصد یہ ہوتا ہے کہ اگر میں کوئی بھی epsilon نمبر آپ کو دیتا ہوں یعنی کوئی epsilon وہی نمبر ہے جو basically confine کرتا ہے f of x اور l کو تو وہ کوئی بھی نمبر میں آپ کو دوں تو I should be if the limit exists یعنی اگر limit ہے تو اس میں ایک ایسا delta مطلب دھونا جا سکتا ہے جو اس کو valid کر دے یعنی in the sense کی جیسے اگر آپ اس کو اسی example کو دیکھیں کہ epsilon کی ایک definition ایک بات ہے کہ بھی epsilon تو ہی ہمارے پاس اور وہ confine کر رہا ہے f of x اور l کو now can you find but the thing was that that confinement will be true if you can find a delta on the x axis which will confine x and the number a in an appropriate interval یعنی وہ delta confine کرے گا تو مقصد یہ کہ اگر کوئی بھی میں آپ کو آپ مجھے epsilon دیتے ہیں in the y direction میں تو اسی epsilon to corresponding to that epsilon I should be able to find a delta at the bottom and the x axis such that this confinement here is true اور وہی مزے کی بات وہی ہے کہ اگر اس طرح سے دیکھا جائے کہ epsilon and delta کی value اگر میں epsilon بہت چھوٹا کر دوں تو میرے پاس ایک اور نیا دیلٹا ایسا آنا چاہئے کہ وہ بھی چھوٹا ہو جائے اور یہ کنفائنمنٹ ادھر والی true رہے اور چھوٹا کریں گے تو آپ کو ایک اور چھوٹا دیلٹا مل جانا چاہئے جو اس کو true کر دے اور اس طرح آپ مزید چھوٹا کرتے ہیں تو وہی اللیمٹ کا концept ایک طرح سے یہاں بھی ظاہر ہو رہا ہے نا کہ جو ہم نے کہا تھا کہ was a limiting value تو آپ جیسے ایسے چھوٹا کر رہے ہیں y کی طرف y کی درکشن میں اپنے انٹرول کو اس سے corresponding آپ نیچے ایک ایسا نمبر دھون سکتے ہیں delta جو x کی انٹرول کو بھی چھوٹا کر دے that is the point that is the whole idea and the definition of the limit basically تو I hope this was clarified by this example a little bit تو اچھا ہم نے یہ تو اس اگر میں کر لیا کہ ایک proof کیا کہ جی کوئی اگر میں آپ کو کلیم کر رہا ہوں کہ یہ limit ہے of a certain function as x goes to some number تو you can prove it using this definition یہ ایک ایسا کرتے ہیں جس میں آپ proof کریں کہ limit جو کلیم کر رہے ہیں کہ limit exist کرتا ہے وہ غلط ہے so let's dis prove something let's do an example like that let's go to the screen اچھا جی تو screen پہ آپ کے سامنے an example ہے ایک function کی f of x equals the number 1 if x is bigger than 0 basically it's greater than 0 and it's also then it's equal to minus 1 if x is less than 0 تو یعنی یہ piecewise function ہے اس کی different pieces کی different domains ہیں جب x اسے بڑا ہے 0 سے تو یہ آپ کا آتا ہے 1 کی بڑا بر اور اگر یہ چھوٹا ہے 0 سے تو یہ آتا ہے minus 1 کی بڑا بر یہاں پہاں سوچیں گے میں ہاں سے جو bright students وہ سوچ رہا ہوں گے کہ یہاں پر definitions میں اس function کی 0 اگر x0 کی بڑا بر تو وہ نہیں دیا اس کی اسوچ دیفنیشن کیا ہوگی اس کا مطلب ہے اگر نہیں دیا تو ظاہر ایسی بات ہے f of x is not defined at x equals 0 لگتا تو یہ کیونکہ اگر ہوتا تو اس میں دومین میں شامل ہوتا تو وہی سارا مقصد ہے کہ اب ہمیں شو یہ کرنا ہے کہ show that the limit as x goes to 0 of this function f of x does not exist یعنی اب ہم disproof کریں گے کوئی چیز تو how do we do that well suppose that the limit exists and it's the number l تو یہاں پہ میں employ کر رہا ہوں تکنیگ جیسے ہم کہتے ہیں ہم طور پہ prove by contradiction یعنی مقصد یہ ہوتا ہے کہ آپ کو جو چیز prove کرنیے اس کا opposite assume کرنے کہ وہ true ہے اور پھر کچھ ایک argument دیں mathematical اور اس argument کی conclusion جوگی وہ بالکل observed ہوگی it'll make no sense it'll contradict some kind of a mathematical point or reasoning which we know to be wrong اور لہاں جیسے کا مطلب یہ ہوگا کہ جو زمشن ہم نے کیتی کہ جو بات صحیح وہ غلط ہے and that's exactly how you prove it تھوڑا سا انٹرسٹلنگ and it's a twisted جی کہتے ہیں کہ ناک اس طرح پکڑیں یا اس طرح پکڑیں تو mathematics میں عام طور پر ناک اس طرح پکڑی جاتی ہے تو make there a habit we should always do that تو let's look at this example in detail اب یہاں پر یہ شو کرنا ہے کہ it does not exist as x goes to 0 of this function so we suppose that the limit exists and we call it L so we can write down that the limit as x goes to 0 of the function f of x is L and with that in mind we can use this definition جو ہم نے تھوڑا دیر پیلے دیفائن کیتی لیکیتی ہم کسک تنکے for any epsilon greater than 0 we can find a delta greater than 0 such that f of x minus L absolute value is less than epsilon if x minus 0 absolute value is between 0 and delta یہاں پر لیمیٹ کی value کوئی نمبر ہمیں نہیں معلوم کیا ہے وہ لیکن so we'll call it L لہذا وہ definition میں ڈال دیا اور جو point آپ اپروچ کر رہیں a that happens to be 0 in this case لہذا وہ ساری values میں definition میں ڈال دیا and that's what we have and we continue with this now in particular notice that epsilon چونکہ ایک ایسا نمبر ہے جو open to choice ہے well it's open to choice in the sense کہ کوئی بھی epsilon میں آپ کو دوں تو آپ مجھے ایک delta دھونکے دے سکتے ہیں جو یہ ساری condition سیرسفائی کرے تو یہاں پر اس کا مطلب ہے کہ میں آپ کو epsilon equal 1 دے سکتا ہوں میں آپ سے کہتا ہوں کہ here's epsilon and it's equal to 1 and the task is to find a delta greater than 0 such that absolute value of f of x minus L is less than 1 if x minus 0 absolute value is between 0 and delta تو یہاں پر epsilon کی open choice ہے وہ میں آپ کو دیے and now you have to find well if this is true if the limit actually exists then I should be able to find a delta greater than 0 such that this condition is satisfied from the definition اچھا بھی آپ پر نوٹ کیجے کہ جو condition ہے delta پر یہ x پر x minus 0 پر وہ یہاں ہے کہ x minus 0 absolute value میں 0 delta کی درمیان confined ہے لیکن نوٹ کریں کہ اگر میں x کو value دیتا ہوں delta over 2 اور سبسٹوٹ کرتا ہوں اس last equation میں جو in equality میں جو میں نے پڑی تھی تو میرے پاس آتا ہے absolute value of delta over 2 minus 0 well that's just the absolute value of delta over 2 which is of course delta over 2 کیونکہ delta over 2 positive ہے is between 0 and delta تو ظاہر سی باتا delta over 2 is less than delta but it's certainly bigger than 0 تو یہ سرسائی کر پیس in equality کو similarly اگر میں x کو value دیتا ہوں minus delta over 2 تو اور سو سبسٹوٹ کرتا ہوں اس میں x میں in the absolute value تو I get so I get absolute value of minus delta over 2 minus 0 but that's just equal to minus delta over 2 if I take the absolute value of that I just get delta over 2 and certainly 0 is between 0 is less than delta over 2 and that is bigger than delta تو یہ بھی سرسائی کرتا ہے اس ریکوارمنٹ کو اس in equality کو اچھا اب یہ بھی کہا جا سکتا ہے کہ اب چونکہ ہم نے یہ دو نمبر لیے x کو values دین delta over 2 کی تو یہاں پر دیکھئے کہ اسی کو اگر میں function کے اندر دالتا ہوں اس x value کو پوزیوہ لیے دیکھنا چاہتے ہیں x equals delta over 2 تو اپسلوٹ value of f of delta over 2 minus l will be less than 1 سردنلی اور سمجھللی f of minus delta over 2 minus l will be and in the absolute value will be less than 1 لیکن مخصد کیا پرولم کیا پرولم یہ کہ delta over 2 is a positive نمبر and negative delta over 2 is negative اس کی وجہ یہ کہ delta was taken to be a positive نمبر remember it's greater than 0 سو we have the case that f of delta over 2 will equal 1 by definition of the function f of x remember that it was equal to 1 if x was greater than 0 and certainly delta over 2 is greater than 0 سمجھللی f of minus delta over 2 will equal to minus 1 by definition of the function because negative delta over 2 is less than 0 1 minus ل will be less than 1 and the absolute value of minus 1 minus ل will be less than 1 well this just implies that L is a number which is between 0 and 1 and also L is a number that is between negative 2 and 0 اچھا جی تو یہ تو بہت سارا Mathematics جو ہم نے کر لی اس میں before we move on to any details آخری بات کیا کی میں نے لکھی تھی اس میں یہ نکلی کہ ل جو لیمٹ ہے جو ہم نے اسم کیا تھا کہ exist کرتا ہے وہ ایک ایسا نمبر ہے جو 0 اور 1 کی درمی آنے اور سمجھللی minus 2 اور 1 کی درمی آنے تو اس میں problem کیا problem یہ کہ ایسا کوئی نمبر ہی نہیں there is no number that satisfies both of these inequalities requirement یہ کہ ایسا نمبر ہوگا جو دونوں کو satisfy کرے گا یعنی اگر 0 and 1 کی درمی آنے تو it's on the right-hand side of the x-axis before 1 لیکن دوسری requirement یہ کہ it's on the left-hand side start somewhere on the left-hand side it's less than minus 2 and less than 1 تو آپ ہودی اس کو draw کر کے دیکھلیجی on the real number line اور نوٹ کریں کہ ایسا کوئی number exist نہیں کرتا so this is the contradiction یعنی جو ہم نے اسم کیا تھا کہ کوئی لیمٹ exist کرتا ہے l وہ یہاں پر contradict ہو رہا ہے کیونکہ there is no such number which satisfies the limit this is a contradiction and therefore the limit does not exist and we have disproved the claim that the limit was that the limit actually existed تو یہ یہاں پر ہم نے کیا کہ یہاں پر ہم نے delta epsilon جو والی دیفنیشن تھی عم طور پر اس کو ہم کہتے ہیں delta epsilon definition of limits اس کو استعمال کرتے ہوئے ہم نے ایک چیز disprove کیا actually پروف تو ہم کر چکے ہیں پروف کرنا صحان بھی ہوتا ہے میرے خال سے تعلق حکر ہے لہذا بہت ایک ہے اسا ہی یہ بہت اس میں خیال ایک بہت انہوں کو سال سکتا ہے یا آپ جائے کہ آپ اپنے سال中 پر اپنے اس کے آپ کو یہاں پر ساکتے ہیں سوی کی reste جو جائے انہوں کو اس باہار بھی ہم نے اس کے اندر کچھ ہے اس میں تو وہی بات کیا اب یہ بیسکی پوائنٹ کی لیکٹر کا کہ یہاں ہم نے دیئے وہ ہے یہ میں نے شروع میں کہتا ہے کہ یہ ہم نے فائنٹ اف ہارٹ نہیں تھا میں نے چاہتا ہے کہ میں نے صرف درانے کے لیے نہیں کہتا تھا آپ کو مقصہ صرف یہ تھا کہ یہ بہت ایک ٹیکنکل دیفنیشن اس کے اندر بہت ساری چیزیں ایک ساتھ ہو رہی ہیں یعنی لوجیک بہت ساری استعمال ہو رہی ہے اور ملٹپل لوجیک بیسکل تو اس میں یہ کہ تھوڑا ٹائم لے گا سمجھنے میں اس دیفنیشن کو میں نے جب ماثیمیرکس پرنی شروع کی تھی تو it took me میرے خالصے میں ماسترس کا رہا تھا توپکنے جا کے سمجھا ہے کہ یہ دیفنیشن ہے کیا تو from that point of view if you already understand it you're very good آپ بڑے زبزہ سٹوڈنٹ ہے keep it up it's very good لیکن اگر سمجھ نہیں آئیے تو it's okay go over it practice کیجی homework assignment آپ کو دیئے اس میں practice کریں گے تو it'll become more and more clearer اس میں یہ بات یادہ ہوں کہ اس دیفنیشن کو جو ماثیمیٹکل دیفنیشن ہے لیمٹ کی کوئی ڈیر سو سے دو سو سال لگیتے تھے finally a final definition بننے میں لیمٹ کی یعنی جب نیوٹن وغارہ نے calculus وغارہ کا کام شروع کیا تو they had this kind of intuitive idea of what a limit should be اور وہی اپوز تھی ان کی جو ہم نے شروع میں اپروز لیتی لیمٹ کے بارے میں لیکن یہ ایک ماثیمیٹشن تک کوشی I think French mathematician in the 1800's early 1800's and late 1700's ہی اس بیسیکلی the fellow who is credited for finally defining rigorously what a limit is basically اور calculus کی بہتی چیزیں انہیں rigorously mathematically defined کی concrete لی ان میں سے ایک لیمٹ کی دیفنیشن بھی تھی اور اس کو کافی time لگہ لوگوں کو assimilate کرنےم تو خیل یہ تھوڑی سی حصی بھی تھی اس لیمٹ کی idea کی point یہ ہے کہ don't give up this is basically the beginning تھوڑی practice کیجیس کی and it should work out nicely ہمورک problems آپ کے سامنے do those ہمارے لیکچر یہیں پہ ختم ہو جاتا ہے hopefully it went well اس میں یہ ہے کہ keep practicing email me اور it'll take time to understand this technical definition تو اب یہاں پہ اس کو ختم کر لیتے ہیں I'll see you next time then thank you for your time and good office