 Seguimos con los polinomios si vamos a definir el concepto de grado. Empezamos con la definición. Se ap un polinomio no nulo, es decir, diferente de cero, y suponemos que admite la expresión siguiente tal que el coeficiente a n es diferente de cero. En este caso se dice que el polinomio p tiene grado n. En otras palabras el grado de un polinomio es igual al exponente más grande en su expresión. Ejemplos, el grado de x más x cuadrado más x 7 es igual a 7. A continuación ya que 1 es igual a x a la potencia cero deducimos que el grado de p es igual a cero. Y por fin ya que x es igual a x a la potencia 1 deducimos que el grado de p es igual a 1. Proposición, sean p y q polinomios de grado n y m respectivamente, entonces el grado de p más q es inferior al máximo de n y m y el grado de p veces q es igual a n más m. Consideramos un ejemplo, sea p igual a x al cuadrado más 3 y q igual a x cubo más 2x más 1. Notamos que el grado de p es igual a 2 y el grado de q es igual a 3. Entonces calculamos la suma y notamos que en efecto el grado es igual a 3, es decir el máximo de 2 y 3. Y por otro lado ya que el producto de p y q es igual a x5 más 5x cubo más x2 más 6x más 3 deducimos que el grado de p veces q es igual a 5, lo que corresponde a la suma de 2 y 3. Antes de seguir con la demostración, vamos a considerar el caso del polinomio nulo, del polinomio p de x igual a cero. Por definición el grado de cero es igual a menos infinito y por convención el máximo de menos infinito y n es igual a n y la suma de menos infinito y n es igual a menos infinito. Así que el grado para cualquier polinomio q de q veces cero y q más cero es consistente con la proposición de arriba. Seguimos con la demostración sean p y q dos polinomios no nulos y asumimos que los coeficientes a, n y b, m son diferentes de cero. Primero consideramos la expresión del producto y vemos que el exponente más grande corresponde a n más m y entonces ya que a, n, b, m es diferente de cero por su posición, podemos concluir que el grado del producto es igual a la suma de los dos grados. Por otro lado para la suma distinguimos tres casos según los valores de n y m. Para los dos últimos casos ya que el coeficiente del exponente más grande es diferente de cero concluimos que el grado de p más q es igual al máximo de m y n. Para el caso restante notamos que no podemos determinar si a, n más b, n es igual a cero y entonces lo único que podemos afirmar con certeza es que el grado es inferior a n y m y ya que son iguales es inferior al máximo de los dos. En todos los casos hemos demostrado que el grado de p más q es inferior al máximo de n, m. Pregunta, os damos un momento para verificar si las afirmaciones siguientes sobre el grado son ciertas, ven, espero que hayáis visto que todas las afirmaciones son ciertas y acabamos con un ejercicio. Os pedimos demostrar que si dos polinomios tienen grados diferentes entonces el grado de la suma es igual, es igual al máximo y no solo inferior. Es un caso particular del teorema que hemos visto y lo hemos tratado en la demostración si os acordáis.