 J'ai remercier les organisateurs de m'avoir invité à parler à cette conférence. Le but de cette exposé est de déterminer les extensions entre série principale péadique et moduloper d'un groupe productif péadique. Donc dans un premier temps je vais donner les résultats principaux résultats de cette exposé. Je vais commencer par fixer quelques notations pour tout l'exposé. On se donne F, une extension finie de Qp, et j'ai un groupe productif connex déployé sur F. Alors on fera les hypothèses suivantes sur G. On va supposer que le centre de G est connex et que le groupe dérivé de G est simplement connex. Donc par exemple GLN ou encore GSP2N. Je vais également fixer T et B, deux secondes de G, avec T, un torre maximal déployé sur F et B en borrel. Alors j'écrirai aussi T, B et G pour désigner les groupes de l'hypédique des F points, donc G2F, B2F, T2F. Je vais également noter N, le radical unipotent de B. Et B- sera le borrel opposé par rapport à T. Avant de dénoncer les théorèmes, je rappelle quelques notations. Si Q, je vais également définir les corps de coefficient pour mes représentations, donc E sera une extension finie de Qp, et je vais noter E, l'anneau de ses entiers, pieux, une uniformisante de OE, et Ke, le corps résiduel de OE. Maintenant étant donné un caractère continu de T dans OE-CROI, on considère l'enduit de continu, un de B-G de K. Et alors c'est une représentation continue unitaire admissible de G sur E. Donc c'est un E espace de banar, mais une action continue linéaire de G, et qui possède une norme invariante par G. J'utiliserai au lieu d'induire directement le caractère qui. On considérera parfois la normalisation suivante. On induirait le caractère qui. Epsilon-moisar ont theta, ou theta ou epsilon. Et le caractère cyclotomique, piadique, et theta désignent la somme des poids fondamentaux de G par rapport à B et T. Donc par exemple pour GLN, theta est le caractère du tort défini par puissance L-1, T-2, puissance L-2, jusqu'à T-L-1. Et je rappelle enfin, avant d'énoncer le théorème, que si W est un élément du groupe de veille de G-T, W de K est le caractère défini par W de K de T égale, qui est un représentant quelconque ? On fixe un représentant. Maintenant je vais donner les principaux résultats. Alors on va déterminer les extensions entre deux séries principales. On va faire des distinctions entre le K où F est égal à QP et le K où F est une extension stricte de QP, puisqu'on a des comportements différents dans ces deux cas-là. Alors tout d'abord je vais traiter le K où on suppose que F est égal à QP. Donc GLN de QP par exemple. Si on se donne deux caractères qui priment du tort dans OE-CROI continue. On va commencer par déterminer les cas où il n'y a pas d'extension, les cas d'annulation du extrins, c'est-à-dire les cas où il n'y a pas d'extension non cendée entre les séries principales, les induites de K et de QP, avec la normalisation. Alors cet espace est différent et non nul, si et seulement si, ou bien les deux caractères sont EGO qui priment égal K, dans ce cas-là on a des extensions, ou bien un second K, moins évident, qui est le K où QP est égal à Sα de K avec alpha une racine simple. Donc pour GLN, ce second K c'est le K où QP est le même caractère que K sur lequel on a effectué une transposition. Donc ceci donne exactement les cas d'annulation. Alors je rappelle que les extensions sont calculées dans la catégorie d'airplantation continue unitaire admissible de G sur E. Maintenant on va calculer la dimension de ce extin dans les cas où il n'y a pas annulation. Alors on va tout d'abord considérer le cas où QP est égal à Sα de K, soit alpha une racine simple. On suppose que Sα de K est différent de K, pour ne pas retomber dans le premier cas, et si c'est le cas, si Sα de K est différent de K, alors dans ce cas-là, le extin est de dimension 1. Donc à isomorphisme près il n'existe qu'une seule extension, il existe une unique extension non sendée pour toute la condition ici. On fixe une racine simple, et dans ce cas-là si Sα de K est différent de K, alors on a une extension. La question c'est s'il y avait un autre, maintenant le second cas où on peut avoir des extensions, c'est lorsque QP est égal à K et dans ce cas-là on va déterminer le extin sous une condition de généricité qui est la condition suivante si Sα de K est différent de K pour toute alpha racine simple. Alors en fait dans ce cas toutes les extensions entre les induites de K proviennent d'extensions entre les caractères. Donc on a un isomorphisme qui est induit par le fonteur exact d'induction, un isomorphisme comme ceci. Donc voilà pour le cas où F est égal à QP. Maintenant on va donner le résultat lorsque F est une extension stricte. Cette fois on suppose que F est différente QP dans ce cas en fait toutes les extensions entre les induites de deux caractères proviennent d'extensions entre ces caractères. Si on se donne Q, qui prime de T dans QC des caractères continuent. Alors on a un isomorphisme qui est induit par le fonteur Inde et donc en particulier si les caractères sont distincts il n'existe pas d'extensions non cendées entre eux. Donc en particulier deux séries principales distinctes n'ont pas d'extensions non triviales. Donc voilà les deux principaux résultats. Alors ces deux résultats, le cas F égal à QP et le cas F différente QP étaient déjà connus pour GL2 par Colmez et Merton pour GL2 QP et Broil et Pascunas particuliers pour GL2 de F et ils sont nouveaux par contre pour les autres groupes dans le cas général mais ils étaient attendus notamment par Broil Hertich et Merton dans le cas général. Alors la méthode que l'on va utiliser pour les montrer on va procéder par réduction modulo P puissance saine et dévisage et au passage on prouvera les théorèmes analogues modulo P c'est-à-dire dans la catégorie d'herpentation lisse admissible 2G sur le corps résiduel 2, sur KV. Alors s'il existe a priori en fait la condition de généricité du caractère on s'attend à ce qu'elle ne soit pas qu'elle ne soit pas qu'on ait encore ce résultat même sur la condition de généricité mais ce n'est pas démontré. Donc maintenant je vais passer à la démonstration des théorèmes 1 et 2 donc la première partie étant dénoncée des résultats Alors pour cela on va utiliser le foncteur des parties ordinaires des Merton et ainsi que c'est dérivé donc en caractéristique en caractéristique P donc je vais fixer A un anneau de la forme O sur P puissance M avec M en entier et on s'intéresse aux représentations lisse localement admissible 2G sur A localement admissible veut dire que tout vecteur engendre une sous-représentation admissible Alors dans un premier temps je vais rappeler la construction et les propriétés du foncteur des parties ordinaires ainsi que celle d'un delta foncteur Hord qui est un delta foncteur qui coincide avec le foncteur des parties ordinaires en degré 0 et puis dans un second temps je vais montrer comment on peut utiliser ce foncteur pour prouver les théorèmes 1 et 2 Alors je vais fixer N0 inclus dans N en sous-groupe ouvert compact et je vais noter T plus l'ensemble des éléments du tord qui stabilisent N0 par conjugaison donc c'est un sous-monoïde de T Maintenant 6V 6V est une représentation lisse du borrel de B Il existe une action de T plus de B par sur A Il existe une action dite de E que de T plus sur l'espace des N0 invariants Je ne vais pas détailler cette action mais elle intervient dans la définition du foncteur des parties ordinaires donc définition Le foncteur si on prend V une représentation lisse de G que je vais supposer localement admissible lisse localement admissible de G sur A Le foncteur des parties ordinaires nous déhorte B et définit par c'est donc le localisé des N0 invariants de V On rappelle que T plus agit sur V les N0 invariants de V Le foncteur des parties ordinaires est défini comme ceci en localisant en T plus Ce n'est pas la définition initiale du foncteur de Merton mais dans le cas où on a des représentations lisses localement admissible celle-ci est équivalente Les principales propriétés du foncteur des parties ordinaires sont Il est exact à gauche Il préserve l'admissibilité Bien sûr ici on obtient une représentation de T Et enfin c'est l'adjoint à droite du foncteur d'induction Donc on a un isomorphisme naturel et Merton définit un delta foncteur de HN orde pour N naturel qui en degré 0 coincide avec le foncteur des parties ordinaires Je vais donner la définition de H orde Oui on vérifie que tout ça en un isomorphisme canonique entre le foncteur des parties ordinaires et un autre sougroupe ouvert compact et celui-là ça ne dépend pas à isomorphisme unique près du choix du sougroupe ouvert compact Donc donc on définit voilà on a une action de T plus sur les N01 invariants et en fait de façon plus générale on peut montrer que que T plus agit sur tous les groupes de comologie de N0 à valeur d'en V et on définit en fait le NM HN orde B2V comme le localisé en T plus de HN de N0V Donc en degré 0 on retrouve bien la définition du foncteur des parties ordinaires et ceci est un delta foncteur sur la catégorie des représentations de G lisse localement admissible sur A dans celle des représentations de T lisse localement admissible sur A Maintenant la catégorie de représentation lisse localement admissible de G sur A c'est pour ça qu'on a choisi de se placer dans cette catégorie plutôt que dans la catégorie des représentations admissibles de G sur A donc on peut également dériver le foncteur des parties ordinaires qui est exact à gauche je vais noter HN orde B le NM foncteur dérivée droit du foncteur des parties ordinaires dans la catégorie des représentations lisse localement admissible de G sur A et la propriété universelle dérivée nous donne un morphisme de delta foncteur de RN dans HN orde B puisqu'il coïncide dans degré 0 émertonne conjecture que étoile est un isomorphisme autrement dit que le delta foncteur HN orde B et bien le delta foncteur c'est le delta foncteur dérivée du foncteur des parties ordinaires alors en général cette conjecture n'est pas démontrée mais par contre elle a été démontrée pour GL2 de F par donc émertonne et Pascunas en général on sait pas si ce morphisme est un isomorphisme mais puisque en degré 0 on a bien un isomorphisme alors par un lème d'algebra homologique en degré 1 on va avoir une injection donc R1 orde s'injecte dans et ceci le fait qu'il soit vrai pour GL2 et l'injection aussi dessous suffire pour calculer nos extensions alors pour calculer les extensions à schward on va utiliser la stratégie démertonne donc on utilise la relation d'adjonction si dessus et le fait que puisque le foncteur orde B est l'adjoint à droite d'un foncteur exact il préserve les injectifs donc la relation d'adjonction si dessus va nous donner une suite spectrale de Grotendik XT dans la catégorie d'herpentation de T qui nous permet donc de relier des extensions entre représentation du tord avec les extensions dans la catégorie d'herpentation de G entre l'induit de U et V donc pour tout U une représentation de T localement admissible sur A alors cette suite spectrale on considère la suite exacte des termes de bas de gré de cette suite spectrale que j'ai réécrit et alors on va faire apparaître donc en utilisant l'injection canonique de R1 dans H1 orde si dessus on voit que la place ici R1 orde par H1 orde cette suite là est encore exacte donc ce qui nous intéresse nous c'est de calculer les extensions entre une induite, une série principale et une autre série principale donc on peut écrire cette suite exacte avec U on va écrire cette suite exacte avec U un caractère que je normalise U égale qui prime Epsilon Monsard en Theta et V l'induit d'un caractère qui est qui prime sont des caractères lisses du tort dans la croix et on obtient donc orde V lorsque V est égal à une induite les parties ordinaires d'une induite nous redonne la représentation que l'on avait induite donc orde V avec V égal à l'induit de qui Epsilon Monsard en Theta nous redonne qui Epsilon Monsard en Theta ça c'est été montré par Emerton ici c'est le espace vectoriel qui nous intéresse ici c'est la partie qu'il nous reste à calculer H1 orde B de la 38 donc pour déterminer ce espace vectoriel il nous reste à calculer le fonteur H1 orde sur une induite et donc je vais donner ici le résultat de ce calcul que je démontrerais après alors sous l'hypothèse suivante puisque le calcul est un peu plus général on se suppose, on va calculer Hn orde on va calculer H1 orde dans le cas général et H0 le fonteur des parties ordinaires ce calcul était déjà connu pour faire des représentations modulopées je vais donner aussi le calcul des Hn orde sur une induite donc on suppose A égale Ke ou N inférieure ou égale A1 et on se donne un caractère lisse du tord dans la croix Hn orde de l'induit de qui Epsilon Monsard en Theta est égal à la somme directe sur tous les éléments du groupe de veille qui vérifie F sur Qp fois la longueur de l'élément égal à N des W de qui Epsilon Monsard en Theta donc en corollaire immédiat avec N égale 1 on obtient et c'est ici que la disonction entre le cas où F égale Qp et le cas où F est différent de Qp va apparaître on obtient que H1 orde de notre induite alors dans le cas où F est différent de Qp automatiquement on voit qu'il n'y a aucun élément du groupe de veille dont la longueur multiplié par le degré F sur Qp puisse être égal à 1 donc H1 orde d'une induite est égal à 0 si F est différent de Qp et si F est égal à Qp la condition ici devient qu'on somme sur les éléments du groupe de veille de longueur 1 donc ce qui revient à sommer les racines simples alpha les éléments de longueur 1 étant les réflexions simples donc là sommes sur l'ensemble des racines simples des S alpha de K en utilisant ce théorème je vais montrer plus tard déjà en utilisant ce théorème et cette suite exacte on peut démontrer les théorèmes 1 et 2 alors tout d'abord je vais démontrer une version modulopée des théorèmes donc je vais démontrer les théorèmes 1 et 2 leurs analogues dans la catégorie des représentations lisses admissibles de G sur A donc on va tout d'abord commencer par supposer A égale à Ke étant donné la suite exacte ici dessus et le résultat le corollaire ici si F est différent de QP automatiquement le hachin dans le troisième terme de la suite exacte et nul donc la première flèche non trivial est automatiquement un isomorphisme donc le théorème 2 la version modulopée du théorème 2 on obtient immédiatement si F est différent de QP on obtient directement le théorème 2 donc maintenant on va supposer que F est égal à QP et et on va prouver le théorème 1 modulo la version modulopée du théorème 1 alors dans ce cas je vais réécrire la suite exacte en tenant compte du corollaire ici je vais remplacer hachin en ordre par son expression ici la suite exacte devient somme sur alpha graphine simple des hommes qui priment F1 si F1 rond état dans s alpha de Q si F1 rond état donc automatiquement on obtient les cas d'annulation du théorème 1 c'est-à-dire si Q prime est différent de Q alors dans ce cas là il n'y a pas l'extension non cendée entre 2 caractères distincts de T c'est-à-dire que ce premier objet est nul si Q prime est différent de Q et si Q prime est différent de S alpha de Q pour toute alpha graphine simple le second est nul donc on obtient bien les cas d'annulation maintenant les cas où on n'a pas annulation on voit que si Q prime égale Q alors on a une injection de cet espace vectoriel dans celui-là et celui-là est du dimension non nul donc le extrême est différent de 0 et enfin le dernier cas c'est lorsque Q prime est différent de Q mais Q prime est égal à S alpha de Q avec alpha une racine simple dans ce cas là on utilise les résultats sur GL2 pour construire une extension non cendée à partir d'un sous-groupe de G isomorph à GL2 au produit de GL2 et d'un torre donc plus précisément notre racine simple alpha définit un sous-groupe qui est engendré par le torre et les sous-groupes radiciels qui correspondent aux racines alpha et moins alpha et nos hypothèses sur G nous permettent de conclure que GLFa est le produit de GL2 et d'un torre maintenant les résultats sur GL2 d'occuper nous disent que dans ce cas alpha s'identifie à l'unique racine positive de GL2 à travers cet isomorphisme pour GL2 pour GLFa on sait qu'il existe une extension non cendée entre qui avec comme sous-objet qui et avec comme caution S alpha de qui et avec comme caution et cette extension non cendée si on lui applique le fonteur d'induction parabolique en faisant une induction par étage comme ceci on va obtenir une extension non cendée dans le extend de G au milieu de la suite exacte donc on construit comme ça explicitement une extension non cendée et dans ce cas là le extend est non nul et non nul aussi donc on a comme ça les cas de déterminer les cas d'annulation maintenant on détermine la dimension il termine la dimension lorsque on n'a pas annulation donc le point 2 je vais fixer une racine simple alpha si qui est différent de S alpha de qui avec les hypothèses que l'on a faites sur G on peut montrer que S alpha de qui est également différent de S beta de qui pour tout racine simple beta différente de alpha et dans ce cas là en utilisant la suite exacte avec qui prime égal à S alpha de qui on voit que le terme de gauche est nul puisque qui prime est différent de qui et les termes de droit et la somme directe tous les termes de la somme directe sont nuls sauf celui qui correspond à à alpha pour beta différent de alpha les caractères sont distincts donc on en déduit que la dimension du terme du milieu est au plus égal à 1 comme on avait montré que qu'on avait pu construire explicitement une extension non cindée on en déduit que la dimension est exactement 1 et enfin 3 découle immédiatement de l'hypothèse si on suppose que S alpha de qui est différent de qui pour tout alpha racine simple alors le troisième terme de la suite exacte est nul ça c'est vrai grâce à l'hypothèse sur G le centre est en connexe S alpha de qui est différent de qui dans ce cas ça implique que si on a c'est sous cette hypothèse là si qui est différent de S alpha de qui tu comprends pas à qui tu comprends à S alpha de qui parce que tu ne changes pas à gauche c'est à dire que pour GLN ça se voit si on a fait une première transposition un endroit et qu'on obtient un caractère différent en faisant une autre transposition on ne peut pas retomber sur le premier pour le montrer comme le centre de G est connexe on peut montrer que S alpha de qui est différent de qui ça implique que qui est différent de 1 c'est un peu calculatoire mais c'est pas tout de suite il m'est dit mais ça c'est ça marche parce que le centre en fait il faut supposer que le centre de G est connexe et on utilise les copoies fondamentaux pour GLN qui est indifférente de qui si je fais ma permutation S alpha puis S beta je vais obtenir une permutation de ceci qui 2, qui 3, qui 1 et ces deux caractères sont différents si j'ai supposé qui 1, qui 2 ici on a qui et ici j'ai mis S beta de S alpha de qui donc enfin le troisième point découle immédiatement si on fait cette hypothèse de généricité alors dans ce cas le troisième terme est nul donc alors la première flèche est en isomorphisme alors pour montrer les résultats analogues sur des bannards on utilise la suite exacte ici on passe à la limite projective on obtient une suite exacte analogue et la démonstration est identique voilà alors avec le temps qui me reste je vais essayer de donner une idée de la démonstration du théorème 3 qui est donc le coeur du calcul preuve du théorème 3 un brièvement alors je vais fixer qui de T dans la croix lisse l'idée de la démonstration c'est d'utiliser une filtration de notre induite de 1 de qui de montrer que cette filtration induit une filtration des parties ordinaires dérivées de 1 de qui c'est à dire que cette filtration induit de 1 de qui et enfin de calculer le foncteur HNORD sur le gradué pour en dévissant en déduire le calcul de HNORD sur la filtration tout entière donc pour la filtration d'abord c'est une filtration classique qui découle de la décomposition de Brua la décomposition de Brua que j'ai écrit mais au lieu de regarder les double classes avec le borrel de chaque côté ici puisqu'on induit par rapport au borrel opposé et quand le foncteur des parties ordinaires s'applique sur des béros présentations on n'utilise pas les mêmes borrel de chaque côté ce qui ne change pas la décomposition de Brua on peut écrire comme ceci c'est W0 B W0 WB donc par contre ça inverse l'ordre de Brua puisque la filtration il s'agit pour tout entier R de poser de regarder la réunion pour les éléments du groupe de veille de longueur à fer ou égal à R de B-WB et ceci est ouvert dans G c'est un résultat classique et on obtient donc une filtration de G par des ouverts B-1 variant par translation à gauche et N0 un variant par translation à droite maintenant pour obtenir une filtration de mon induit 1 de qui je définis IR l'ensemble des éléments des éléments de mon induit qui dont le support est dans GR et j'obtiens une filtration de B par des sous B représentation alors pas expliqué on peut montrer que dans le premier temps on a une suite exacte en fait quand on applique le foncteur HNORD dans le premier temps on calcule le gradué de cette filtration on a une suite exacte la zone directe porte sur les éléments du groupe de veille de longueur N de longueur R alors je vais expliquer quelle est cette représentation donc ceci est une suite exacte courte de B représentation ceci je vais l'appeler VW pour la suite cette représentation le hame module sous la sens c'est l'ensemble des fonctions localement constante à support compact de NW que je définis comme ceci N inter W-1 W-N W-1 à valeur dans A et on a une action de B sur VW mais que je ne vais pas expliciter alors pour finir dans un premier on procède en deux temps dans un premier temps on montre que en appliquant le foncteur HNORD on a encore une filtration on a encore une suite exacte courte et pour calculer alors je ne vais pas pardon alors on montre en fait donc en comologie on va montrer que la comologie cette suite exacte n'est pas cindée mais cependant en comologie on peut montrer que le morphisme induit en comologie par cette flèche est encore injectif, on utilise l'éco chaine on regarde à la main on montre que c'est injectif et ensuite en localisant pour obtenir le foncteur HNORD le localisation pas préservée à l'exact étude donc on a une suite exacte comme ceci c'est la première étape dans un second temps il faut calculer le foncteur HNORD sur VW donc ça revient à calculer la comologie de N0 à valeur dans VW ainsi que l'action de EQ de T+, sur CA module et pour faire ça je ne suis pas très compte de l'expliquer mais on va regarder des dévissages de N je vais écrire W je donne une décomposition réduite W égale S1SLW pour ceci cette décomposition réduite va nous donner des dévissages une suite de sous-groupe de N chacun étant distingué dans le suivant et de co-dimension 1 et on calcule en fait la comologie de N0 et l'action de EQ par récurrence on commence par calculer la comologie de NW0 pour tout cas on note NS1SK0 l'intersection de NS1SK avec N0 et la fin de la preuve on procède par récurrence on calcule la comologie de NW0 pour commencer à valeur dans VW sur ces groupes de comologie on peut définir la comologie de T+, et après pour la récurrence on va utiliser la suite spectrale de Horschild Serre cette suite spectrale on peut montrer qu'elle va préserver les actions de EQ qu'on définit sur les modules de comologie et donc on va pouvoir en monter comme ceci grâce aux dévissages successifs pour en déduire la comologie de N0 à valeur dans VW et l'action de EQ alors je vais juste écrire qu'est ce qu'on trouve on trouve que HN Horde B VW étisonorph à W de qui ? et puis si elle est de moins un rond alpha W alpha W est un caractère algébrique on retrouve ceci si N degré de F surcuper facteur de L de la longueur de W et on trouve 0 sinon donc on voit que si on a ce résultat là alpha W donc c'est un caractère algébrique en fait c'est dans cette chaque sous-groupe ici et de co-dimension 1 dans le précédent en fait pour passer d'un sous-groupe au précédent au niveau des algèbes de L on va rajouter une racine alpha W c'est la somme des racines qui sont dans l'algebra de L de NS1 de N mais pas dans l'algebra de L de NW donc on trouve ceci et en utilisant notre suite exacte ici on voit qu'en fait HNN est nul sur le gradué de la filtration sauf en degré F F surcuper la longueur de W sauf en degré N euh oui non pardon le foncteur HNN va être nul sur tout le gradué de la filtration sauf lorsque N est égal à degré de F surcuper divisé par sauf en degré F surcuper divisé par N lorsque ceci est entier donc nos suites exactes elles sont triviales sauf pour R égale degré de F surcuper divisé par N HNN sur la linduite tout entière voilà je m'arrêterai il y a des questions ? à quel endroit exactement on va t'en intervenir ? le degré est arrivé pardon degré en fait ça va être ça va venir du fait que nos quotions ici les quotions successives ce sont des groupes ils sont isomorphes à ZP puissance le degré de F surcuper donc c'est ici c'est ici qu'on va que ça va apparaître c'est dans la dimension des quotions de cette filtration du dans le gradué en général si car prime égale c'est alpha k XN entre le C principal et non 0 pour N de degré de F surcuper sur les extes de longueur supérieure alors on peut montrer avec la conjecture des mertones on peut calculer les XN donc si la conjecture des mertones est vraie on va avoir que le XN entre 1 de W de K Epsilon en rond état et l'induite de K Epsilon en rond état et isomorphes à XN moins longueur de W fois le degré de F surcuper quantation de T de la représentation triviale donc c'est le ça c'est sous en supposant la conjecture des mertones et sous certaines hypothèses de généricité sur qui par exemple si on avait une extension d'encendée pour regarder un caractère l'induite d'un caractère et l'induite de ça de transposer si maintenant on regarde l'induite d'un caractère et l'induite de ce même caractère mais sur lequel on a effectué 2 transpositions le XN va être nul mais par contre le X2 lui sera de dimension 1 c'est déjà exact juste pour la conjecture N0 oui c'est déjà exact pour la conjecture N0 donc ça veut dire sur H0 par exemple donc peut-on voir pourquoi c'est l'invoyance ou l'invoyance c'est exact pour votre question il suffit de prouver ça si F est la conjecture et la conjecture et la conjecture oui donc suppose F est 0 sous cette règle ça veut dire F est une conjecture de C de N0 à R je vais faire pour N ce sera aussi simple parce que sinon il y a un cas particulier donc donc le point est de trouver un subset O Open Closed et l'invoyance de B minus et l'invoyance de B de N0 comme O contient le support de chaque élément dans l'image de F et O est contenu dans G R minus 1 donc on peut montrer ça en en utilisant l'autopologie de la conjecture et puis on peut définir une application de R minus 1 par cette c'est bien définit et N0 en équivalent et maintenant on a D donc R minus 1 et D R C equals R C D C equals R C F et R C parce que le support de chaque élément dans l'image de F est en O donc si on multiplie cette fonction par la fonction caractéristique d'O on ne change pas Utah est l'inclusion de R minus 1 Excuse-moi Sorry Oui on peut trouver un open mais pas pour la séquence exacte mais le point est que F est localement constant et N0 est compact donc il n'y a que 5 nombres de fonctions dans cette image Merci