 Donc j'ai recopié le titre du cours, catégorie syntactique pour les motifs de Norie, donc l'objet du cours est principalement d'expliquer le contenu d'un article que j'ai écrit là, donc il est signé de Lucca Barberi-Vialet, Olivia Caramello et moi-même. Donc la première chose que je dois dire avant de commencer, c'est que les contributions des trois signataires ne sont pas égales, c'est-à-dire que en fait tout le travail de recherche de découverte et de rédaction a été fait par Olivia Caramello. Bon, elle a voulu que Barberi-Vialet et moi signant, parce que ce travail n'aurait pas existé sans nous. Donc c'est moi qui lui est introduit à la gébrique, qui continue à le faire d'ailleurs. Et nous avons parlé des centaines d'heures, donc je l'ai écouté, éventuellement je faisais des remarques, mais c'est vraiment elle qui a fait toute la recherche. Et puis, je dis, le travail n'aurait pas existé sans Barberi-Vialet non plus, parce qu'il trouve son origine dans une question posée par Barberi-Vialet à la suite d'une conversation avec moi et tout à l'heure je vais expliquer un peu la question initiale de Lucca. Voilà. Donc je vais expliquer principalement le contenu de cet article qui en fait se place dans un contexte qui s'appelle la théorie des taux post-classifiants, qui est une théorie qui existe depuis les années 70, mais que les géomètres agévéristes en général ne connaissent pas du tout. Et en fait, dans le cadre de cette théorie, les ingrédients utilisés par Olivia sont vraiment des ingrédients de base de la théorie qui existe depuis plusieurs décennies. Donc je vais être amené évidemment à introduire ces ingrédients. Je m'intéresse principalement aux géomètres agévéristes, c'est-à-dire des personnes qui ne les connaissent pas. C'est d'ailleurs pour cette raison que Olivia pensait que ce serait mieux que ce soit moi qui fasse le cours, étant donné que je n'en connais pas beaucoup plus que les géomètres agévéristes et qu'il y a quelques années je ne connaissais absolument pas ces choses-là. Voilà, donc les ingrédients sont des ingrédients de base qu'on peut trouver en particulier, ils sont tous en fait contenus dans cet article qui fait quelques dizaines de pages qui s'appellent taux post-theoretiques background qu'on peut trouver sur le site d'Olivia, mais on peut aussi les trouver dans des livres sur la théorie des taux post-classifiants. Et puis j'espère que dans l'exposé 3, j'aurai un peu de temps pour parler d'un autre article qui est un article programmatique beaucoup plus sophistiqué, donc écrit par Olivia, mais qui lui aussi comme l'autre trouve son origine dans la question posée par Barberi Vialet. Donc là, contrairement au précédent, c'est un article beaucoup plus sophistiqué qui s'appuie sur un bon nombre de travaux antérieurs d'Olivia sur la théorie générale des taux post-classifiants. Alors, voilà, j'ai prononcé plusieurs fois cette expression, taux post-classifiants. Donc ici, il y a deux choses à dire, c'est que d'abord pour les résultats que je vais présenter, en fait, on n'a pas besoin de savoir ce que c'est ni ce que c'est qu'un taux post-heoretique technique, ni ce que c'est qu'un taux post-classifiant. Donc, les objets appelés taux post-classifiants n'interviennent pas dans le travail, mais ce qui intervient, c'est des constructions qui servent à construire les taux post-classifiants et qui ici sont reprises ou des variantes de ces constructions dans le contexte que je vais expliquer. Alors, donc ne serait-ce que pour comprendre un peu le paysage général, je vais tout de même, donc au cours des exposés, je vais tout de même parler de cette notion. Alors d'abord, je le dis en termes général et très vagues. Donc de quoi s'agit-il ? Donc c'est une construction extrêmement générale qui est une construction qui part de la logique, c'est-à-dire de la notion de théorie. Théorie du premier ordre est même techniquement pour être précis la notion de théorie géométrique du premier ordre. Et donc cette construction, dont la première idée remonte à Bretendic lui-même, cette construction associe à une telle théorie un taux post, un taux post au sens de Bretendic, qui vérifie en particulier la propriété suivante, c'est que les points de ce taux post au sens de Bretendic s'identifient au modèle de la théorie. Quand je dis les modèles, je veux dire d'abord ici les modèles ensemble-istes, c'est-à-dire les ensembles du type de structure définie par la théorie. La manière dont il faut comprendre ça, c'est que quand on a une théoriste, c'est-à-dire une présentation logique, on s'intéresse aux objets qui rentrent dans le cadre de cette théorie. Donc c'est le passage d'une présentation logique au contenu mathématique de la théorie et ceci s'incarne mathématiquement dans le passage d'une théorie au sens de la logique, une théorie formelle, à son taux post classifiant. Alors, en particulier, il peut se produire que des théories différentes et des taux post classifiants équivalents. Ce qui signifie que des théories différentes ont le même contenu mathématique et en fait tous les travaux d'Olivia sont consacrés à l'étude de ceci, qu'elle pense à quelque chose de très important et c'est la raison pour laquelle j'ai été convaincu par ce qu'elle m'expliquait. C'est que, en géométragérique ou dans le programme de l'anglance, en fait beaucoup de problématiques consistent à essayer de relier des théories différentes. Et donc, en fait, cette théorie générale des taux post classifiants propose un cadre mathématique général pour penser ce genre de relations. Donc depuis plusieurs années, j'en avais parlé à un certain nombre de géomètres algébristes que je connaissais. Et bon, il y en a un, à savoir Berberi Vialet, à qui j'avais parlé de ça aussi, à la fois de la théorie générale des taux post classifiants et de certains travaux spécifiques d'Olivia Caramello. Et donc, en fait, c'est un peu un hasard parce que Berberi Vialet m'avait invité à Milan pour faire un cours sur le formule de poisson, transformation de fourrier, quelque chose de tout à fait différent. Un soir, il m'avait invité à Dinez, je l'avais parlé de ça. Et quelques mois après, j'ai eu la surprise de recevoir un message de Berberi Vialet. On n'avait pas communiqué entre temps. Il m'avait dit qu'il avait réfléchi à ce que j'avais dit. Et donc, voilà ce qu'il proposait, que j'ai écrit là. Il disait qu'il devrait exister ce qu'il a appelé un taux post motivique. C'est lui qui, dans son message, introduit ce mot-là, taux post motivique. Ce qu'il veut dire par là, c'est un taux post classifiant les théories homologiques. Alors, qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire qu'il attendait, donc, dans son message, qu'il voudrait les choses suivantes. D'abord, que les points de ce taux post, soit les modèles d'une théorie générale des théories homologiques, autrement dit, les points de ce taux post, soient les théories homologiques. Que les motifs soient les objets abéliens du taux post, donc les foncteurs de réalisation qu'on attend des motifs vers les différentes théories homologiques, ça se réinterprète simplement comme les foncteurs fibres. Quand on a un taux post, c'est un point d'un taux post, il y a un foncteur fibre associé. Et enfin, la dernière propriété qu'il voulait, c'est que la propriété universelle qui caractérise et définit les taux post classifiant, j'expliquerai plus tard ce que c'est, donc il voulait que cette propriété universelle, soit la propriété universelle qui définit les motifs de Nauri. Donc voilà ce qu'il y avait dans le message de Lucas. En fait, il me disait aussi qu'il commençait à réfléchir là-dessus avec un professeur de Milan spécialiste de logique catégorique et de taux post. Bon, et puis, ce qui s'est passé, c'est que pendant une année, ils n'ont pas avancé, même ce professeur a conclu que le programme était impossible. Donc, Barberi Vialet, sur mon conseil, s'est tourné vers Olivia, qui a commencé par apprendre beaucoup de jeu maîtres à Gébrique, on partait la construction de Nauri, de manière vraiment profonde. Et puis, à un moment, elle s'est mis à écrire, donc d'abord l'un des textes et puis ensuite l'autre. Et elle nous envoyait les états successifs des textes et en fait, Lucas et moi n'avons contribué à recevoir les textes, on n'a jamais rajouté une ligne. Donc tout ça pour dire que le travail est vraiment d'elle, même si, encore une fois, elle a... Enfin, nous avons parlé probablement pendant des centaines d'heures. Voilà. Donc voilà pour le contexte général. Alors maintenant, je dis tout de suite qu'elle sera le plan du cours. Donc le plan du cours, donc aujourd'hui, je veux simplement donner les énoncés. La prochaine fois, c'est-à-dire dans une semaine, je donnerai les démonstrations, au moins l'essentiel des démonstrations. Donc en particulier, je serais amené à expliquer les ingrédients de la théorie des taux post-classifiants qui rentrent dans les démonstrations. Et puis, l'exposé 3, dans deux semaines, je voudrais dresser une liste de questions qui se posent dans l'état actuel du travail. Et en fait, des questions qui portent sur, disons, les propriétés générales des foncteurs comologiques. Voilà. Alors pour aujourd'hui, voilà, je vais donner les énoncés. Donc il y aura trois paragraphes. Donc d'abord, je vais rappeler la construction de Norie. Donc Norie a proposé une construction qui permet de construire une catégorie abélienne culinaire, qui est un candidat pour être la catégorie des motifs. Donc je vais d'abord appeler la construction de Norie. Le paragraph 2, ça sera la réinterprétation et généralisation de Caramello. Donc c'est quelque chose qui contient en particulier la construction de Norie, mais vous verrez que même dans le cadre que Norie avait considéré, la construction de Caramello est complètement différente. C'est-à-dire qu'on construit les mêmes objets ou plus exactement des objets équivalents, des catégories équivalentes, mais d'une manière complètement différente. Et puis troisièmement, ça sera l'application aux motifs. Voilà. Donc ça, c'est le plan d'aujourd'hui. Alors d'abord, donc la partie 1. Donc je vais rappeler ce que la construction de Norie, qu'en fait, il avait expliqué à l'IHS lors de la conférence grotendique qui était en 2008, pour l'occasion des 80 ans de grotendique. Il y avait un exposé 2009, oui, parce qu'il y a un peu de retard, janvier 2009, et donc il y avait un exposé de Norie, et Norie dans cet exposé, on peut trouver les vidéos sur le site de l'IHS, donc Norie avait expliqué cette construction. Alors je vais donner tout de suite le théorème de Norie, enfin le premier théorème de Norie qui est une construction générale, donc je vous le dis en théorème 1 de Norie, donc c'est une construction générale en théorie des catégories. Alors, les ingrédients, c'est encarquois, si vous préférez, en grave orientée, donc on a des objets et des flèches, les flèches ont un objet source et un objet but, mais on ne suppose même pas que c'est une catégoriste, c'est-à-dire on ne suppose pas nécessairement que les flèches se composent. Voilà, d'autre part, un anneau notérien. C'est même qu'un grave orientaire ou ça un autre ? Oui, c'est un grave orienté, pardon. Il y a un condition de finitude ? Non, c'est simplement que les objets et les flèches soient éléments d'un ensemble, on a besoin de cette hypothèse, mais ça peut être fini, la construction est extrêmement générale. Voilà, donc on a R, un anneau notérien, et T est une représentation de secarquois dans les R modules de type fini, que je note comme ça. Donc représentation, ça veut dire simplement qu'à chaque objet on associe un R module de type fini et à chaque flèche on associe un homomorphisme entre de tels modules. Oui, oui, oui, on parle d'anneau commutatif. Alors, donc le terrain de nourrisse est qu'il existe une catégorie, qu'on va noter CT, donc c'est une catégorie abélienne et R linéaire, donc c'est la première donnée. La deuxième donnée, c'est une représentation du même carquois à valeur dans cette catégorie, donc une représentation au même sens. Et enfin, un foncteur qu'on va noter FT, qui va de cette catégorie dans la catégorie des R modules de type fini. Donc ici vous avez un foncteur entre deux catégories abélienne, R linéaire. Donc on va demander que ce foncteur et aditif, R linéaire, exact et fidèle. Pardon ? Pourquoi tu prends pas FT les R modules ? J'ai pas tout dit. C'est sûr que... Voilà, donc il existe une catégorie telle que... Alors la première propriété évidemment, c'est qu'il y a factorisation. Donc ça veut dire qu'on part de notre diagramme D. On va dans les R modules de type fini, donc à travers T. Et on veut que le composé, donc ici vous avez T tilde A, là vous avez CT et là vous avez FT, donc on veut que ce composé soit égal à T. Donc ça c'est la première propriété. Alors évidemment, effectivement, la catégorie des R modules vérifie cette propriété. Mais ce qu'on demande en plus, c'est que c'était soit universel pour cette propriété. Alors qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que si on se donne une autre catégorie abélienne R linear avec une autre représentation de D dans cette catégorie et un foncteur ici... Donc un foncteur F dont on suppose qu'il est exact et fidèle. Donc toujours la même propriété. Et tel que bien sûr, le composé soit égal à T. Donc sous ces hypothèses là... Soit égal à l'isomorphisme prévu. Soit égal. Alors, donc ici l'hypothèse c'est que le composé de ces deux foncteurs, le composé de ces deux foncteurs soit égal à ce foncteur. Égal, égal. Égal exactement. En revanche, la conclusion, ce qu'on veut, c'est que sous ces hypothèses, sous ces hypothèses, il existe ici un foncteur, un foncteur évidemment additif, R linear, exact, qui en fait va être nécessairement exact et fidèle, tel que les triants qui sont ici, sont commutatifs à isomorphisme pré. C'est les deux triants qui sont ici, sont commutatifs à isomorphisme pré et on veut que ce foncteur soit unique à isomorphisme pré. Voilà, donc le théorème, la construction générale de nourris, c'est cette construction là. L'objet, donc il existe une catégorie universelle associée à la représentation thé qu'on a choisie. Alors... Dans tout ça, on pourrait remplacer des par la catégorie qu'il a aujourd'hui. Absolument, oui, bien sûr. Cela dit, donc c'est tout à fait vrai, cela dit, formellement, c'est pratique de pouvoir considérer l'écart quoi. Je vais d'ailleurs tout de suite, enfin on va le voir immédiatement, parce que je veux quand même dire un mot de la construction de nourris lui-même. Donc je vais donner quelques indications sur la démonstration. Bien sûr je ne donne pas la démonstration en entier, mais je veux quand même donner des indications sur le procédé de construction. Alors, donc en fait, dans le procédé de construction, il y a plusieurs étapes. La première étape, c'est de considérer le K ou D ou le KD est fini. Alors, voyez que si vous vous étiez limité aux catégories, vous auriez pas pu prendre dans une catégorie des sous-catégories finies. En revanche, si vous avez des K, là, il n'y a aucun problème pour prendre des sous-ensemble finis à la fois de l'ensemble des objets et l'ensemble des flèches. Alors, donc le premier cas, c'est quand D est fini. Alors, dans ce cas-là, Noury considère l'algebra des endomorphismes de T. Donc comme il n'y a qu'un homophilie d'objets et que l'image de chaque objet est un R module de type fini, l'algebra des endomorphismes de T, c'est aussi un R module de type fini en tant que module sur R. Et dans ce cas-là, Noury montre qu'on peut prendre pour céter la catégorie des modules sur cet algèbre. Alors, les modules qui sont de type fini sur R. Autrement dit, les modules de type fini sur R munis d'une action de cet algèbre. Donc, cette catégorie-là répond à la question posée. Alors, une autre marque qu'on peut faire, c'est que si on a deux diagrammes, deux carquois D1 et D2, avec D1 inclus dans D2, eh bien, il y a un foncteur canonique qui va de CT1. Donc CT1, c'est ce que je prends pour T1, c'est la restriction de D à D1 et ici, la restriction de T à D2. Donc, dans ce cas-là, il y a un foncteur canonique qui va de l'une vers l'autre et ça, ça vous donne la construction dans le cas général. Maintenant, vous prenez le cas général. Alors, qu'est-ce que ça va être que CT? La catégorie va être définie par limite inductive. Sur tous les sous-diagrammes des primes de D, tous les sous-diagrammes finis des primes de D, de la catégorie, c'est des primes qui est déjà définie. Pardon? Oui, oui, absolument. Oui, oui, tout à fait. Ils sont tous, ils sont exacts. Ils sont d'induction ou quoi? C'est quoi que ce foncteur? C'est une tensorisation par un b-module? Oui, c'est une tensorisation. Alors, il y a tout de même un cas où les choses peuvent être dites de manière beaucoup plus concrète. C'est le cas où R est encore. Alors, si R est encore, d'abord, si D est fini, vous avez que la catégorie des modules sur un de R qui sont de type fini, donc ici, ça veut dire sur un de T qui sont de dimension finie sur K, cette catégorie-là, elle est égale à la catégorie des commodules sur la coalgèbre duale. Ça donnait une structure de module sur cet algèbre. C'est la même chose que se donner une structure de commodule sur cet algèbre. Sur cette coalgèbre, pardon, qui est simplement l'espace vectoriel duale muni de la structure de coalgèbre. Dans ce cas-là, si on a D1 inclus dans D2, l'avantage de passer au commodule, c'est qu'on a une flèche qui va dans le bon sens, ce qui permet de former quelque chose qu'on va noter en général, si D n'est plus fini, on peut tout de même former quelque chose qu'on va noter comme ça, qui est simplement la limite inductive sur les déprimes finies contenues dans D des coalgèbres associés aux restrictions. Dans ce cas-là, la catégorie CT, c'est simplement la catégorie des commodules sur cette coalgèbre, qui sont deux dimensions finies sur le corps de base K. Voilà ce que Nori a démontré en général dans sa construction catégorique. Tu peux dire en vue quel est le problème qui se passe si je ne prends pas des modules des dimensions finies. Si je m'intéresse à des théoriques homologiques, j'aurai des détecteurs vectoriels de dimension finie. Pour le voir, il faut rentrer dans les démonstrations, mais on a vraiment besoin de base Si on considère les choses sur un corps, par exemple, on voit qu'on a vraiment besoin que le duale du duale soit l'espace de départ. Je vais expliquer la construction de Caramello, qui est complètement différente, et qui, elle, fait disparaître toutes les hypothèses de dimension. C'est-à-dire que ça n'apparaît plus. Au niveau anneau, tu peux enlever de l'eutérien et finir. Non, on a vraiment besoin... Peut-être des hypothèses en plus, des dimensions globales finies, si tu veux faire d'habitualité. Je ne suis pas... Écoutez, je ne peux pas... C'est difficile de dire qu'une chose est impossible, mais en tout cas, quand on regarde la construction de Nori et les arguments qui sont donnés, on utilise vraiment de manière essentielle les hypothèses de type fini. Toutes coalgèbres sont limitées à du type de coalgèbre de dimension finie ? Oui, absolument. Donc là, on le voit pour cette coalgèbre-là. Elle est construite comme telle, mais toutes coalgèbres, ce qui, bien sûr, n'est pas le cas d'une algèbre. Voilà. Donc ça, c'est la construction catégorique. Et bien sûr, le propos de Nori, c'est d'appliquer ça au schéma. Donc c'est maintenant ce que je vais expliquer. Donc dans le cas général, on peut considérer un T comme un pro, peut-être comme un pro à non et prendre ça comme des modules sur le pro à non, ce sera la même chose, je pense. Oui, oui. Action de la pro à non sur un module type fini ? Au sens des pro-objets peut-être ou au sens des pro. Vous en savez plus que moi. Là, j'ai simplement recopié ce qu'on trouve dans Nori. Alors, là, encore une fois, on est avec une construction de théorie des catégories. Et le propos de Nori, c'est d'appliquer ça pour définir ou pour proposer une définition de catégorie des motifs. Et même de motifs mixtes, en fait, c'est ce qu'il a en tête. Alors, donc pour ça, évidemment, on a besoin d'un carquois D. Ça doit être un carquois défini à partir des schémas. Alors, on va voir ce que, immédiatement, Nori choisit de faire. Et puis, T, donc la représentation de ce carquois doit être définie par un foncteur homologique. Alors, évidemment, le foncteur homologique est un coefficient dans un certain nano-R, ou un cor ou un nano-notérien. Et puis, dans la chez Nori, on a vraiment besoin de l'hypothèse que les choses soient de type finies. Bon, et par ailleurs, évidemment, on veut construire une catégorie des motifs qui soient abéliennes, c'est-à-dire Z-linaires ou Q-linaires. Et pour cette raison, évidemment, on voudrait prendre R égale Z ou Q. Mais ici, on se retrouve avec le problème qu'on a besoin d'une représentation dans les modules ou les espaces vectoriels de type finies. Et c'est la raison pour laquelle Nori choisit le foncteur homologique de Betty. Donc chez Nori, le foncteur homologique qu'il prend, c'est le foncteur de Betty. Pour cette raison que je viens de dire. Alors, bon, maintenant, il faut définir un carquois associé au schéma. Donc, on va poser ça en définition. D'abord, on se donne un corps de base pour les schémas qu'on va considérer. Donc, un corps de base K. Et comme on veut prendre la homologie de Betty, il faut prendre un corps de base contenu dans C. Alors, pour définir le carquois D, d'abord, il faut préciser ce que sont les objets. Alors, les objets, ça va être des triplets, où X est un schéma de type finie sur K. Alors, éventuellement, on peut mettre des conditions restrictives, comme par exemple la condition de l'icité. Bon, là, disons qu'on fait ça, schéma type finie sur K. Y, c'est un sous schéma fermé de X. Et Y, c'est un entier positif ou nul, qui va correspondre au degré de la comologie. Alors, je peux déjà dire ce que c'est que la représentation T, appliquée à ces objets, ça va leur associer l'homologie. En fait, lui, il prend l'homologie de Betty de degré Y, de X relativement à Y. C'est le foncteur qui l'a en tête. Regardez l'homologie relative. – L'homologie et les yeux à singuliers. – Oui, absolument. A coefficient dans Z ou dans Q. Voilà. Mais ça a déjà un sens dans Z. Alors, il faut aussi définir les flèches du carquois. Alors, chez Nori, il y a deux types de flèches. D'abord, il y a un objet Y plongé dans X, et puis Y prime plongé dans X prime. Bien sûr, il y a une notion de morphisme géométrique de tel diagramme. C'est simplement un carré commutatif de schéma, comme ça. Chaque fois qu'on a un tel carré commutatif, Nori lui associe formellement une flèche du carquois. Donc, il y a des flèches du carquois qui sont indexées par ses carré commutatifs. Et puis, il y a un autre type de flèche qui sont les flèches de bord. On sait que les flèches de bord sont associées à des triplets de schéma emboîtés les uns dans les autres. Dans une telle situation, pour chaque tel triplet de schéma emboîté, donc Z plongé dans Y plongé dans X, Nori lui associe formellement une flèche qui va de XYI dans le triplet YZ-1. Voilà, donc c'est pour tout y au moins égal à 1. Et alors, vous voyez que ça a un sens d'associer... Disons que T est effectivement une représentation, c'est-à-dire l'homologie de bêtis associe des homomorphismes aussi bien aux flèches de ce type, c'est-à-dire les flèches de functorialité que les flèches de bord. Donc c'est le choix que fait Nori. Et il applique le terrain précédent. Donc à partir de ces données-là, il construit une catégorie CT qui est abélienne, culinaire, munie d'un functeur exact et fidèle vers les Q espaces vectorielles de dimension finie et tel que l'homologie de bêtis se factorise à travers cette catégorie. Et donc, ce que dit Nori, par exemple vous pouvez regarder la vidéo de son exposé à l'IHS, il dit bah voilà, c'est un candidat pour les motifs. Alors, donc à l'appui de cette affirmation, enfin de cette proposition de construction de Nori, on connaît aujourd'hui des résultats qui sont tout de même assez frappants. Alors, le premier résultat que je veux citer, donc c'est un théorème, théorème 3 qui est dû à Joseph Ayub et Luca Barbieri-Vialet. En fait, quand Luca m'a envoyé ce message là où il posait ses questions, il venait d'écrire cet article avec Ayub et donc il était vraiment très intéressé par la construction de Nori. Donc le théorème c'est le suivant, c'est qu'on prend cette définition, la définition 2, mais on la limite, limitons le carquois des 6 dessus au triplet x,y,y tel que, alors il y a deux situations à envisager, la première situation c'est on considère seulement y égale 0. On considère que l'homologie de degré 0. Et la deuxième situation c'est on considère y égale 0 ou 1. Donc on regarde seulement l'homologie de degré 0 ou l'homologie de degré 1. Donc vous voyez, simplement on ne prend pas tout le carquois que j'avais dit là, on prend un sous-carquois en limitant les ensembles d'objets. Alors... Non, il n'y a pas de bord. Dans le cas 0, il n'y a pas de bord. En revanche, dans le cas 1, il y a un bord. Quand vous considérez qu'il y a plusieurs variantes, par exemple, des chemins à être finis, ça pourrait être des chemins à séparer Absolument, absolument, il y a plusieurs variantes. Il y a la même chose dans tous les variantes. Oui, donc on peut démontrer des propriétés comme ça, c'est-à-dire, par exemple si vous vous limitez au schéma lisse ou si vous prenez des chemins plus généraux, vous allez trouver des catégories équivalentes. Il y a, de toute façon, des foncteurs à cause de la propriété universelle qui catérise les catégories CT et vous pouvez démontrer que, disons que cette définition a une stabilité assez grande. Mais effectivement, quand on veut étudier la théorie de manière systématique, il faut voir la dépendance de la théorie par rapport au diagramme D. Et la question de trouver quelles sont les bondés est vraiment une question importante. En particulier, d'ailleurs, dans cet article-là, la recherche des toposmotiviques, c'est-à-dire la recherche d'un bon topos qui classifie les théories homologiques, dans cette recherche-là, il y a en particulier la recherche d'un bon D. Alors, je parlerai si j'ai le temps de l'exposer trois. Alors ici, voilà, donc on limite ces dégrammes à ça. Et alors, le théorème de Hayoube et Barbery-Vialet, c'est le suivant. Donc il y a deux choses. Si vous prenez, si vous imposez la condition I égale 0, alors CT, à équivalence près, c'est la catégorie des zéro motifs d'artine sur speck de k. C'est-à-dire la catégorie des faisceaux constructibles de z-modules sur speck k pour l'atopologie étale. La deuxième partie, donc ça c'est la partie évidemment la plus élémentaire. Et ensuite, si vous prenez, si vous imposez la condition I au plus égale 1, eh bien, vous trouvez pour CT la catégorie de la catégorie abélienne des un motifs de deux lignes. Donc c'est une catégorie qui consiste en cd complexe de longueur 2 de schéma en groupe abélien. Ou z est une variété semi-abélienne sur speck k. Et f est un faisceau constructible de z-modules de type fini sur speck k muni de l'atopologie étale. Autrement dit, dans ces deux situations, on trouve vraiment le bon objet. Si vous vous admettez des torsions aussi. Oui, absolument. On admet de la torsion. Dans ces cas, la catégorie c'est pas exactement ces flèches, mais dans la catégorie de rivet en quelque sorte. Parce qu'on peut diviser par un truc fini dans les deux côtés, donc ce n'est pas... Les flèches ne sont pas les flèches de complexe probablement, mais je ne sais pas. Parce que si on a les motifs usuels de lignes, où f est sans torsion, les motifs sont les motifs de complexe, mais je pense que si vous admettez des... Je vous renvoie à l'article de Ayub et Barbery-Vialet. Je pense que le renoncer, c'est vraiment ça. C'est-à-dire qu'ils montrent que la catégorie c'était, c'est la catégorie de ces complexes. Je vous renvoie à l'article fin, le module finitiel de F, qui mope, qui injecte dans la variété semi-obéline. Et vous croyez sur les deux côtés, alors vous pourrez avoir le même objectif. Donc il faut être que vous considérez que les morphismes ne sont pas complexes, mais dans certains paroles. Écoutez, je vous renvoie à l'article. Donc on a ces deux renoncés. Avec une remarque qu'on peut faire, c'est la suivante, c'est que vous êtes parti de l'homologie de Betty. Donc vous pouvez dire, si on considère seulement l'homologie de Betty, il n'y a pas d'arithmétique dedans. En fait, ici vous la retrouvez. C'est-à-dire l'arithmétique, en fait, elle est dans le diagramme des départs. Voilà, donc il y a ce théorème de Ayub et Barbieri-Vialet. Et puis il y a un autre théorème, disons, qui est une autre illustration de l'intérêt de la construction de nourris. Alors c'est un théorème qui est énoncé pour la première fois dans un article de Konsevich. Je pense que Konsevich lui-même m'a dit qu'il avait parlé avec Nori, qui était venu à l'IHES. Et puis, dans l'article de Konsevich, il n'y a pas tellement plus que les renoncés. Donc pour la démonstration, c'est un texte, enfin ça a été fait beaucoup plus récemment par Annette Huber et son co-laborateur qui s'appelle Müller-Star, on croit. Alors le théorème c'est le suivant. Vous prenez, vous partez de cette catégorie de ce diagramme CT, on part de CT. Et puis pour être précis, on inverse formellement la multiplication par le motif de l'efshed. Donc le motif de l'efshed, c'est quoi ? C'est le triplet GM1 avec le degré 1. Donc on inverse formellement la multiplication par ça. Et donc c'est-à-dire qu'on n'a pas rapport aux carquois de D dont on était partis, on a un carquois plus riche où il y a davantage de flèches. Voilà, donc on fait ça. Et donc ici l'assertion c'est la suivante. C'est qu'une fois qu'on a fait ça, CT se trouve muni non seulement d'une structure de catégorie abélienne mais même de catégorie tanachienne et sur lequel l'homologie de Betty est un foncteur fibre. Et donc vous avez un groupe de galois motivique associé, qui est parfaitement bien défini. Bon d'autre part, avec les notations de ces auteurs, vous avez quelque chose que vous avez, P, qui est l'algèbre, alors une énorme algèbre, des périodes formelles de Konsevich et Zagier. Et bon, ça a un sens de regarder ceci géométriquement, de regarder son spectre. Et donc le théorème, c'est que ceci est un torseur. Le spectre de cet algèbre est un torseur sur le groupe motivique associé au motif de nourrie. Donc là encore, c'est une illustration du fait que les motifs de nourrie ont vraiment un contenu arithmétique très profond. C'est un jevre, voilà, dont vous refiez de réalisation vers les complexes. Oui, oui. Oui, tout à fait, oui. Oui, oui, parce que les périodes, on peut... Oui, on peut... Voilà, donc ça, c'était ce que je voulais rappeler sur la construction de nourrie. Alors, donc c'est la fin du paragraph 1. Et maintenant je passe au paragraph 2. Le produit, c'est un problème dans cette catégorie là. Il est vraiment pas au point de l'arterreur. Oui, parce que, oui, oui, parce que le problème, c'est quand on a deux objets, x, y, y, y, y, y, y, y prime, évidemment on aimerait bien définir leur produit comme x fois x prime, y fois y prime, y plus y prime. Le problème, c'est que c'est pas la formule de l'FChat. Donc pour cette raison, il va falloir montrer qu'on peut restreindre le diagramme D à des triplets x, y, y, telles que l'homologie relative de x relativement à y est concentrée en le degré y. Voilà. Donc techniquement, c'est assez compliqué. Et donc là je ferais peut-être un commentaire d'ailleurs là-dessus tout à l'heure avec la construction de caramello. Voilà. Donc c'est le paragraphe 2. Alors bon, c'est plutôt réinterprétation. Voilà. Donc dans ce paragraphe, il y a des dénoncés auxquels on va arriver. C'est-à-dire on va construire une catégorie qui est caractérisée par une certaine propriété universelle. Et puis vous verrez, à la fin, il y aura deux théorèmes importants. Ce théorème d'existence et puis un théorème qui étudie la dépendance par rapport au foncteur T qu'on choisit. En fait, les deux théorèmes sont, à mon avis, également importants. Mais en fait, tout aussi important est la construction elle-même, le procédé de construction. Alors ici, je me trouve avoir la situation, ce procédé de construction est à la fois très élémentaire pour tes catégories sciences. Ils utilisent une sorte de Béhabat, de la théorie des topos classifiants. Et pour les géomètres agébristes, c'est quelque chose que la plupart ne connaissent pas du tout et que moi-même j'ignorais complètement encore il y a quelques années. Donc je m'adresse aux géomètres agébristes et en essayant d'expliquer ces choses qui pour eux sont nouvelles, mais qui pour des catégories sciences sont vraiment très élémentaires. Alors donc je vais présenter le procédé de construction et ensuite je donnerai les propriétés des objets construits de cette manière-là. Donc d'abord, évidemment, il faut un point de départ de la construction. Alors le point de départ, il est le même que tout à l'heure, c'est-à-dire qu'on a un carquois D et une représentation dans les R modules. Alors ici, R est un anneau arbitraire, un anneau commutatif, il n'y a plus d'hypothèse, ne notait rien. Et ici on prend les modules qu'il soit de type fini ou pas, il n'y a aucune hypothèse de taille non plus. Donc il n'y a d'hypothèse ni sur R, ni sur le type de module qu'on considère. Non, je pense pas, enfin en tout cas, pas du tout de manière triviale, parce qu'on va le voir immédiatement. Alors, donc ça c'est le point de départ. Ensuite, pour la construction, il y a plusieurs étapes, donc je vais énumérer ces étapes. L'étape 1, j'ai dit tout de suite que en fait c'est la plus importante. Alors l'étape 1, ça consiste à faire la chose suivante. On part de la représentation T et on va lui associer une théorie qu'on va appeler la théorie régulière de T. Donc on va noter ça avec un T double bar, éventuellement avec la représentation en indices, ou bien peut-être que j'oublierai l'indice, ça sera la théorie du modèle. Donc vous voyez qu'en mathématiques on a l'habitude de faire l'inverse, c'est-à-dire on a une théorie définie par des actions, et ensuite on considère les objets qui vérifient ces actions. Et là on va faire le contraire, c'est-à-dire qu'on part d'un objet qui est la représentation qui est donnée au départ, et on va lui associer une théorie. Donc une théorie c'est un ensemble d'actions, c'est-à-dire un ensemble de propriétés. Ce qu'on va mettre comme axiom, c'est toutes les propriétés vérifiées par la représentation. Alors je vais expliquer, bien sûr je vais le faire, je vais dire en terme précis ce que c'est. Alors là pour ceux qui connaissent, peut-être pour Gabbert qui connaît tout en particulier, donc le terme régulier, enfin le terme plus précis, on va associer à T sa théorie dans ce qui s'appelle le fragment régulier de la logique du premier ordre. On sait toujours qu'il y a des petits variantes dans le devrage sur la logique, par exemple la théorie du premier ordre ça pourrait être en plusieurs sortes, et dans certains livres on n'admet pas les mots... Donc je vais préciser tout de suite, alors donc une théorie ça consiste en un langage, et les logiciens habituellement ils disent pas langage, ils disent signature, un langage et des actions. Alors d'abord... Est-ce que tu se dis que c'est boulet ? Non je pense que c'est boulet, c'est pas... Non non, mais de toute façon je vais préciser exactement. Alors donc langage, d'abord, ou signature, j'introduis le mot parce que... Il y a quand même des gens ici qui connaissent de la logique, donc langage ou signature, donc on va la noter L comme ça. Alors je vais dire ce que c'est. Alors ce langage il va consister d'abord en des sortes. Alors ça c'est un mot de logicien. Qu'est-ce que ça veut dire ? Les sortes ça veut dire des noms d'objets. Autrement dit ensuite ça va permettre de... On va vouloir considérer les modèles de cette théorie dans des catégories, et là ça voudra dire considérer des objets de la catégorie indexés par les sortes. Par exemple quand vous dites, je sais pas la théorie des groupes, vous dites soit g, un groupe, donc là vous avez une sorte qui est g. Voilà, qui va vous permettre de nommer l'objet que vous allez considérer. Voilà donc sortes également d'objets, alors les sortes, elles vont être indexés par les objets du carcoy D. On choisit une sorte par objet de D. C'est plutôt des noms, des types d'objets ou des noms ? Non, c'est des noms d'objets. C'est-à-dire qu'ensuite un modèle, ça va consister en une collection d'objets disons grand thème indice petit D ou petit D décrit l'ensemble des objets de D. Puis ensuite il va y avoir des structures supplémentaires sur cette collection d'objets. Vous voyez que la représentation de thé elle-même, elle associe à chaque objet de D un R-module. Donc on a un R-module pour chaque objet de D. Donc là on s'offre la possibilité de faire ça dans n'importe quelle catégorie. Ah ok, I confuse the elements of the model and ok. Je parle pas des modèles, mais les modèles ensuite consister en des objets, des flèches, etc. et toutes ces choses là ont besoin d'être nommées. Donc ce qu'on introduit dans le langage c'est les noms qu'on peut utiliser pour définir ces objets. Pour définir ces modèles. Alors donc ça c'est les... voilà. Donc d'abord j'avais une sorte par objet de D. Ensuite il y a dans le langage des symboles de fonction. Alors ça veut dire quoi ? Là c'est des noms de flèches. Quand on va considérer les modèles de cette théorie dans une catégorie on voudra nommer les flèches. Et donc nommer à partir des noms de flèches donc on appelle ça des symboles de fonction que je vais introduire tout de suite. Alors ici il faut faire attention parce qu'il y a plusieurs familles de symboles de fonction. D'abord on en veut un pour chaque flèche de D. Pour chaque flèche du quart-quadet j'introduis un symbole de fonction. Autrement dit un nom de flèche. Ensuite j'en introduis un pour chaque objet D. Alors qu'est-ce que c'est que ce symbole de fonction associé à chaque D ? Alors il faut voir quand je dis symbole de fonction ensuite les flèches peuvent être définies sur des objets ou sur des produits d'objets. Donc là le symbole de fonction il va aller... Donc ça il faut le comprendre comme D fois D vers D et qu'est-ce qu'il va servir à modéliser va servir à modéliser l'addition dans l'objet indexé par D. La loi d'addition. Je veux une flèche pour chaque objet MD indexé par un objet de D. Je veux mettre sur MD une loi d'addition. Je veux pouvoir le faire. Donc pour ça je me donne un nom de fonction un symbole de fonction comme disent les logiciens qui va servir à nommer la loi d'addition sur cet objet. C'est-à-dire une flèche qui va aller de MD fois MD dans MD. Parce que j'ai besoin de structures linéaires. Là je suis en train d'essayer de formaliser en termes rigoureux la notion de structures linéaires sur les objets que je vais regarder. Alors donc il y a ça et puis sur les objets il n'y a pas seulement l'addition il y a aussi la multiplication par les scalaires. Donc il me faut aussi un symbole de fonction pour chaque pair d'air constitué d'un objet de D et d'un élément de l'anneau air de coefficient. Donc ça va symboliser ça va servir à nommer quoi ? Ça va servir à nommer la multiplication par air par A. La multiplication par A dans l'objet indexé par D. Donc voilà. Donc là on aura à la fois l'addition et la loi et la structure linéaire la multiplication par les scalaires et puis une chose qu'il ne faut pas oublier c'est ce qu'on appelle un symbole de constante donc c'est un cas particulier de symbole de fonction quand la source et la famille de sorte vide. Donc ça ça veut dire quoi ? Ça va servir à... Donc c'est un symbole de constante symbole de constante pour chaque encore une fois pour chaque objet de D et ça va servir à désigner quoi ? Ça va servir à désigner l'élément zéro dans l'objet indexé par D. Donc on peut l'appeler zéro là c'était plus et puis là c'était la multiplication par A. Voilà. Donc là on se donne un langage où il y a à la fois des noms d'objets et des noms de flèches qui vont servir à modéliser la structure linéaire. Voilà. Donc ici vous avez vous avez le langage. J'ai terminé avec le langage que je veux. Une chose que vous pouvez remarquer c'est que le langage à la signature de la théorie ne dépend pas de la représentation T. Il ne dépend que du carcouadet. Donc ça c'est important ne dépend pas de la représentation D. C'est-à-dire si vous vous donnez deux représentations, par exemple deux foncteurs comologiques différents sur le même carcouat constitué de schéma eh bien le langage de la théorie ici va être le même. En revanche la théorie elle-même c'est-à-dire les actions qu'on va mettre pour définir la théorie va dépendre de la représentation T. Il faut donc choisir des actions les actions vont consister toujours en des implications donc c'est une famille d'implications entre des formules exprimées dans le langage. Alors il faut préciser ce qu'on entend par formule. Alors ceci se fait en plusieurs étapes alors la première étape ça consiste à regarder ce qu'on appelle les termes de langage. Donc là les mots que j'introduis c'est des mots de logiciens donc pour les logiciens je suis en train de dire des choses très viales pour les géomètres algébristes pour au moins un certain nombre d'entre eux je sais que c'est nouveau en tout cas ça l'était pour moi Alors qu'est-ce que c'est que les termes de L ça consiste en des familles finies de variables donc c'est une famille de variables famille finie de variables et où chaque variable où chaque variable est associé à une sorte bien sûr vous pouvez avoir plusieurs variables associées à la même sorte donc si vous voulez vous représentez cette chose là les sortes vont servir à nommer des objets et les variables vous pouvez les voir par exemple si vos objets sont des ensembles les variables vous les voyez comme des éléments variables des ensembles en question sauf que les formules qu'on va écrire vont prendre un sens dans n'importe quelle catégorie donc famille finie de variables ou puis ensuite il y a les fonctions enfin c'est à dire les symboles de fonctions en ces variables donc si vous avez un symbole de fonctions qui est défini qui correspond à un produit d'objets donc indexé par un produit de nom le symbole de fonctions vous pouvez le voir comme des fonctions en ces variables pour le moment on est en train de faire des choses purement formelles et puis ce que vous pouvez faire aussi éventuellement c'est composer les fonctions c'est à dire vos fonctions sont des fonctions en un certain nombre de variables et elles prennent leurs valeurs dans quelque chose les valeurs elles-mêmes vous pouvez les voir comme une variable donc vous pouvez substituer donc ici on s'autorise des substitutions c'est à dire des compositions c'est à dire on peut avoir des répétitions variables on a besoin en fait si on veut être rigoureux on doit se donner au départ en quelque sorte un ensemble une collection de variables un ensemble de variables assez grands dans lequel on va pouvoir écrire toutes les formules dont on a besoin j'ai compris que un terme est une expression faite par des règles et donc j'ai compris que chaque variable c'est un terme dans votre convention oui absolument chaque variable est un terme et chaque ensemble finit le variable est un terme et maintenant quant aux substitutions non, est-ce que chaque ensemble finit le variable est un terme ou seulement un variable est un terme non non vous avez raison donc simplement ce qu'on veut autoriser c'est évidemment des symboles de fonction en plusieurs variables mais dans l'image elle est une seule variable et la constante est un terme mais est-ce qu'on autorise d'avoir un terme si vous avez un terme il y a certains variables qui sont effectivement dans le terme et il y a peut-être d'autres est-ce qu'on admet sur le mal la famille minimale c'est-à-dire qui sont vraiment dans le terme par exemple si vous avez X plus Y les variables sont X et Y ou X et Y et Z non ça pourrait être aussi non non vous pouvez autoriser en fait si on veut être rigoureux chaque terme va être dans un certain contexte et le contexte consiste en un nombre fini de variable c'est à dire qu'on va regarder la fonction comme définit sur un donc sématiquement ça sera définit sur un certain produit vous voyez on veut s'autoriser à pouvoir par exemple avoir une fonction de seulement deux variables définit sur un produit de n facteur correspondant à n variable pour le moment ce que je veux faire c'est je vais introduire les choses disons de manière un peu intermédiaire entre je voudrais être compris donc pour cette raison je suis pas parfaitement rigoureux je reprendrai ça dans l'exposé 2 voilà donc je veux aller dans le sens de la définition formelle mais de manière un peu imagée les personnes qui ne connaissent pas la logique comprennent alors donc ensuite après les termes il y a ce qu'on appelle les formules atomiques alors c'est quoi c'est les termes plus les relations d'égalité vous voyez jusqu'ici on n'avait que des fonctions mais ici on introduit quelque chose d'autre qui est une relation d'égalité alors une relation de manière générale c'est quelque chose qu'on pense comme un sous-objet dans un produit donc là la relation d'égalité c'est simplement la diagonale dans le carré de quelque chose donc relation d'égalité entre variable vous avez un produit de 2 facteurs identiques avec 2 variables différentes et la relation d'égalité c'est demander que les 2 variables soient égales entre variable ou entre terme de même sort bien sûr quand vous avez des termes donc ils sont à valeur dans certaines sortes et pour pouvoir parler d'égalité il faut que les sortes soient les mêmes alors l'étape suivante c'est de regarder est-ce que les combinaisons de la haine de ces relations sont de formules atomiques ou pas de formules atomiques à fond est-ce que les formules atomiques sont des formules atomiques en ajoutant les choses suivantes d'abord vous allez rajouter quelque chose que vous appelez la formule de vérité les formules définissent toujours des sous-objets dans un objet composé d'un produit donc la formule de vérité désigne toujours la formule de vérité dans l'angage de la logique est normalement notée comme ça ici c'est un peu embêtant parce que t est aussi notre présentation mais bon voilà et alors on autorise des combinaisons avec donc combinaisons avec les combinaisons avec les combinaisons avec les combinaisons avec les combinaisons avec les conjonctions donc c'était la question d'offaire alors les conjections finitaires donc c'est-à-dire les conjonctions binaires ou les conjonctions d'un nombre fini de formules d'une part et puis on autorise également les combinaisons avec le quantificateur existentiel en une partie des variables alors quand on va vouloir considérer c'est-à-dire interpréter regarder les modèles dans des catégories évidemment les conjonctions finitaires vont s'interpréter comme des intersections de sous-objet et le quantificateur existentiel vont s'interpréter comme des images par projection c'est-à-dire vous avez des formules qui sont donc interpréter sémantiquement ça va être des flèches, définissent sur un produit ces flèches ces formules définissent des sous-objets et le quantificateur existentiel en une partie des variables ça consiste à regarder la projection de ce produit où on oublie certains défacteurs et on regarde l'image de notre sous-objet voilà donc ça c'est des formules régulières et puis le dernier terme dont on a besoin c'est ce qu'on appelle les séquents réguliers alors les séquents réguliers ça consiste en des implications entre formules donc les logiciens notent les implications de cette manière-là par ce symbole ici phi et psi sont deux formules régulières donc ceci signifie implication et ici phi et psi c'est deux formules régulières au sens qu'on a dit dans les mêmes assembles de variables oui absolument donc c'est pour ça qu'ici on note en indice le x de flèche donc ça veut dire qu'on est en train de considérer deux formules en les mêmes variables alors qu'est-ce que ça veut dire considérer une formule en des variables donc cette famille de variables il lui correspond un produit d'objet alors la formule elle-même définit un sous-objet et interpréter cette implication ça veut dire simplement qu'on demande que le sous-objet définit par phi est contenu dans le sous-objet définit par psi c'est ça ce que ça va vouloir dire donc voilà ici on a définit tout ce dont on a besoin pour définir notre la théorie régulière de t alors vous voyez maintenant j'ai donné de définition générale de la théorie régulière oui donc donc quand même qu'est-ce que c'est qu'une théorie régulière bah ça consiste à décider qu'un certain nombre de séquents réguliers sont des actions de la théorie une théorie est définie en disant que telle telle telle et telle séquents réguliers sont des actions alors ça permet de poser la définition suivante non c'est pas que donc c'est-à-dire euh euh non bien sûr dans la logique du premier ordre vous pouvez envisager les négations mais il se pas dans la logique régulière c'est-à-dire les négations n'appartiennent pas au fragment régulier la logique du premier ordre et donc ici la théorie régulière de la représentation t qu'on va tout de suite définir ne s'exprime absolument pas en termes de négation il n'y a pas d'inégalité il n'y a pas de signe différent il y a uniquement des égalités donc voilà quelle est la définition donc je pense que c'est le nom c'est 5 euh alors qu'est-ce que c'est que la théorie régulière de la représentation t donc elle est écrite dans le langage L on a fait remarquer que ce langage lui ne dépend que du carpois et elle est définie de la manière suivante c'est-à-dire qu'un séquen régulier euh un séquen régulier donc ceci est un séquen régulier en sens qu'on vient de dire est un axiom est un axiom de cette thé, pardon donc le langage contient aussi les symboles logiques pour les opérations bouleards et les quantificateurs ici il y a seulement dans le langage lui-même vous voyez que vous avez seulement l'existentiel et l'intersection vous n'avez pas par exemple de quantificateur universel donc encore une fois on limite on dit très précisément le type de formule qu'on autorise alors il faut comprendre à quoi ça correspond donc se donner des familles de variables ça veut dire considérer des produits maintenant les symboles de fonctions ça consiste à considérer des fonctions là-dessus des flèches là-dessus qui sont autorisées donc les flèches associées aux éléments aux flèches de D ainsi que l'addition la multiplication par les scalaires et les compositions donc qu'est-ce que ça veut dire ? ça veut dire qu'on regarde on va interpréter ça dans les espaces vectoriels ou dans les R-modules de manière générale et ce qu'on regarde c'est quoi ? c'est les flèches associées à D les homomorphismes qui sont autorisées puis leur combinaison linéaire voilà ce qu'on regarde concrètement c'est-à-dire la catégorie R et les actions oui la catégorie R linéaire engendrée on regarde ça mais attention bon donc je vais quand même terminer l'énoncé ensuite j'explique donc on dit qu'un tel séquen régulier et un action de T si et seulement si il est vérifié par la représentation T de D dans les R-modules alors qu'est-ce que ça veut dire ? considérer un tel séquen donc on a un ensemble finit de variable X donc cet ensemble finit de variable enfin les variables dans cet ensemble sont associées à des sortes les sortes sont des objets de D donc à chaque objet de D est associé à un R-module prendre la famille de variable ça veut dire considérer le produit de ces R-modules maintenant sur ce produit de R-module on a deux formules chaque formule est définie par une collection chaque formule est définie par à partir des flèches de D on regarde leurs images dans la catégorie des R-modules puis on les compose et on regarde la formule ça veut dire regarder le sous-objet qu'elle définit donc cette condition-là c'est-à-dire que le sous-objet définit par phi est contenu dans le sous-objet définit par psi vous voyez que ces deux sous-objets sont des sous-objets du même objet produit puisque les deux formules sont écrits dans les mêmes variables est-ce que c'est symbolique que vous avez désigné ici pour l'implication c'est-à-dire que votre langage c'est à autre chose parce qu'il y a de... non, il n'est pas... formellement, il n'est pas dans L on distingue vraiment entre les formules et les séquents c'est dans le métal langage voilà, exactement c'est un métal langage il n'est pas dans L ce qui existe dans L c'est... on a dit les sortes, les sabolles de fonctions tout ça c'est dans L et puis ensuite voilà, il n'y a pas d'appli... et en particulier donc des applications internes donc ça a un sens dans la logique du premier ordre mais ici dans la logique régulière il n'y en a pas encore une fois, on a mis les symboles conjonction et quantificateur existentiel et rien d'autre pas d'implication non, non, ça fait partie de la logique du premier ordre mais c'est plus restreint encore une fois c'est des formules d'un type très particulier oui, l'implication ne fait pas partie de L oui voilà mais je dis en tout cas ce que ça veut dire concrètement je considère que telle implication entre deux types c'est que l'implication est un type de formule d'un type très particulier mais en première ordre logique vous avez des propositions opérations et quantifiers et vous avez tous les formules je considère qu'une telle implication entre deux formules est un axiom de la théorie si et seulement si quand j'interprète ces formules par la représentation T alors le sous-objet définit par la première est contenu dans le sous-objet définit par la seconde et c'est ça que j'appelle ou c'est ça qu'Olivia appelle plutôt la théorie de la représentation T qu'est-ce que c'est un signe de sentiment que l'interprétation pense en ce symbole par un symbole d'implication et qu'on met des symboles quelques soins pour toutes les variables qui sont libres pour lesquelles il n'y a pas d'accentiel implicitement il n'y a pas de recours pour toutes les variables je propose qu'on fasse une pause le X ici c'est implicitement un quantificateur universel sur toutes les variables on fait 10 minutes de pause donc on a terminé avec l'étape 1 donc l'étape 1 c'est à consister partant de la représentation T à lui associer sa théorie régulière voilà donc maintenant on a une théorie du premier ordre qui en fait est-ce qu'on appelle une théorie régulière ça veut dire que tous ces actions sont des séquents réguliers et alors l'étape suivante ça va consister donc en fait l'étape suivante c'est une construction tout à fait standard c'est une construction tout à fait standard de la théorie des topos classifiants ou plus exactement une variante d'une construction standard donc ça consiste à associer à cette théorie régulière ce qu'on appelle donc on veut lui associer une catégorie donc tu es défini par des objets des flèches ce qu'on appelle la catégorie syntactique régulière de la théorie voilà donc voyez les étapes d'abord on associe une théorie, ensuite on associe la théorie une catégorie donc c'est une définition il faut définir cette catégorie alors évidemment une catégorie c'est définie par des objets et des flèches il faut dire ce que sont les objets donc là c'est la définition de cette catégorie syntactique régulière alors les objets eh bien par définition c'est les formules alors pas n'importe quelle formule les formules régulières FI écrite évidemment chaque formule est écrite en une suite finie de variable et alors quand je dis ça bien sûr on peut penser que quand on a une formule on peut toujours remplacer renommer les variables donc on a deux formules qui sont identiques juste par substitution près des variables on les considère comme équivalentes donc les objets ce sont les formules régulières à équivalence près l'équivalence vous l'en dire simplement les échanges de variable et si on ajoute des variables super flux ça donne les mêmes formules ou pas vous avez dit qu'on peut ajouter ajouter des variables qui n'interviennent pas dans le terme est-ce que ça donne le même formule non non ça donne non non c'est quelque chose de différent et le formule de vérité c'est dans l'ensemble v de variable ou dans l'ensemble quelconque de variable je pense que c'est dans l'ensemble v de variable alors donc les objets sont les formules régulières donc concrètement c'est simplement des suites de symbole alors et l'émorphisme alors évidemment l'émorphisme ça doit aller d'une formule écrite dans des variables x vers une formule écrite dans des variables y alors comme on a on a dit qu'on prenait les formules à équivalence près on a le droit de changer les noms des variables on peut supposer on suppose ici que les deux ensembles de variable sont 10 joints on peut toujours faire ça quitte à renommer alors qu'est-ce que c'est qu'hémorphisme d'une formule phi écrite dans les variables x dans la formule psi écrite dans les variables y rec et bien par définition c'est une classe d'équivalence de formule de formule régulière theta en les deux variables c'est quelque chose que sémantiquement c'était comme un graphe alors formule régulière mais attention de formule régulière qui sont démontrablement fonctionnel alors je vais dire tout de suite ce que ça veut dire ce que ça veut dire justement c'est que le fait d'être démontrablement fonctionnel c'est quelque chose qui est définie par la théorie et qui va impliquer que quand j'interprète la formule justement elle définit un graphe alors qu'est ce que ça signifie démontrablement fonctionnel ça signifie que les séquences suivantes il y a trois séquences sont démontrables dans la théorie alors le premier séquence c'est que theta en donc la perte de variable x y implique phi et psi donc voilà la projection s'envoie dans le sous-objet définit par phi que multiplie le sous-objet ça c'est la première formule la deuxième formule en la variable x c'est le fait qu'il existe un y tel que la propriété theta soit vérifiée autrement dit si vous avez quelque chose au départ eh bien c'est quelque chose à une image parce que dans le graphe vous pouvez trouver un élément ça existe pour le moment d'au moins une image et puis le troisième séquence c'est le fait que cette image est unique donc ça veut dire quoi ? ça veut dire que si on regarde theta de x y et theta de x y prime donc ici on a choisi un ensemble de variables y prime qui est simplement les variables y mais renommées on leur a donné d'autres noms ceux-ci impliquent en les trois paquets de variables y y prime ça implique nécessairement que le paquet de variables y est égal au paquet de variables y prime donc c'est le fait qu'il y a une seule image ça c'est l'existence quand on regarde un élément de la source eh bien il a dans le graphe il y a un élément au dessus de lui au moins un et puis là il y en a un seul donc c'est quelque chose qu'en suite on va interpréter une telle formule nécessairement on va définir un graphe donc ça c'est... alors j'ai dit donc ici j'ai expliqué ce que veut dire démontrablement fonctionnel et équivalent ça veut dire que deux formules sont équivalentes ça veut dire si on a deux formules theta et theta prime dire qu'elles sont équivalentes c'est dire que theta implique theta prime et theta prime implique theta sont démontrables dans la théorie alors ce qu'on entend par démontrables dans la théorie ça veut dire que ça se déduit des actions par les règles habituelles d'inférence du métal-langage donc il faudrait préciser quelles sont ces règles mais pour ça le calcul des séquents c'est un calcul sur les séquents sur les séquents ah donc c'est pas... mais on a le théorème de complétude c'est-à-dire que les trucs démontrables c'est le son d'existence ceux qui sont vérifiés dans chaque modèle en général non mais ici alors ici il va se trouver que le... comme vous avez vous êtes parti de T vous lui avez associé une théorie donc la théorie de T comme elle est associée comme c'est l'ensemble des propriétés vérifiées par un modèle par construction elle est complète en tant que théorie régulière ouais, voilà c'est vraiment parce que c'est la théorie d'un modèle mais... en général non en général si vous prenez une théorie quelconque une théorie régulière vous lui associez sa sa catégorie syndactique bon la théorie n'a aucune raison d'être complète puis là toute façon elle n'est pas complète en tant que théorie du premier ordre ici oui nécessairement encore que non non je suis en train de dire des bêtises d'ailleurs parce que malgré tout dans la théorie on n'a pas les négations donc du coup c'est non non j'étais en train de dire des bêtises ce que les modèles c'est simplement que des relations d'inclusion soient vérifiées donc par exemple si vous associez à tous les objets vous associez zéro ça vous définit un modèle parce que toutes les relations d'inclusion sont vérifiées mais en revanche ce qui est vrai c'est qu'une propriété va être démontrable si elle seulement si elle est vérifiée par t bon écoutez là faudrait pas que je perds trop de temps donc voilà donc donc démontrable dans la théorie ça veut dire encore une fois qu'il se déduit des actions par les règles habituelles de la logique alors bon je laisse en exercice le fait que c'est vraiment une catégoriste c'est à dire qu'on peut composer les flèches et puis on a même mieux que ça donc c'est un lème le lème 7 qui dit la chose suivante donc ça c'est à cause de cette catégorie ah oui alors attention parce qu'ici j'ai oublié quelque chose d'important c'est de être régulier en exposant parce que quand on a une théorie on peut aussi lui associer sa catégorie satactique tout court et c'est pas la même chose que la catégorie satactique régulière et ici il y a le fait que toutes les formules qu'on a prises sont des formules régulières que ça soit au niveau des objets ou au niveau des flèches une autre marque importante que je dois faire c'est que les objets la catégorie ne dépendent que du langage parce que les objets c'est les formules régulières et la notion de formules régulières c'est une notion dans le langage en revanche les morphismes dépendent de la théorie puisque ils sont soumis à la condition que ces trois séquences soient démontrables dans la théorie donc les objets ne dépendent que du langage donc ici pour nous ils ne dépendent que de D alors que les morphismes dépendent des actions mais donc ils dépendent de T de la représentation de T alors le LEM c'est de dire que cette catégorie est additive R linéaire donc ça c'est plus ou moins automatique parce que j'ai mis des morphismes dans l'addition de multiplication par les scalaires et alors vous allez me dire pourquoi est-ce que l'addition est commutative elle est parce qu'elle est dans T T est à valeur dans les R modules rappelons que tout ce qui est vrai dans T est vrai dans la théorie donc du coup vous avez tous les actions qu'il faut pour les propriétés habituelles qui définissent la linéarité donc cette catégorie est additive R linéaire et elle est régulière donc il y a une notion de catégorie régulière alors ça veut dire quoi ? ça veut dire deux choses ça veut dire premièrement qu'elle a des limites je veux dire limites projectives finies arbitraires non seulement les produits mais les produits fibrés elle a des limites finies et elle a des images c'est-à-dire que toute flèche d'un objet dans un autre objet se factorise à travers un plus petit sous-objet du but et alors il y a une propriété supplémentaire des images c'est le fait que la formation des images commute avec les changements de base donc c'est ça quand ces deux propriétés là sont vérifiées on dit que la catégorie est régulière donc ici notre catégorie additive R linéaire régulière vous voyez qu'elle est donc du fait qu'elle a des limites projectives finies arbitraires elle est pas très loin d'être abélienne ce qui lui manque pour être abélienne c'est l'existence de caution par les relations d'équivalence non pour le moment non non non non donc on donne les formules on les donne les variables dans un certain ordre donc d'accord encore une fois je veux pas faire quelque chose de parfaitement rigoureux je veux faire quelque chose de compréhensible pour le moment j'espère que je suis compréhensible on a cette catégorie additive R linéaire régulière donc l'étape suivante c'est de la rendre abélienne c'est l'étape 3 il y a une étape qui est tout à fait standard en théorie des catégories quand on a une catégorie régulière de lui associer ce qu'on appelle son effectivisation donc c'est l'étape 3 effectivisation de la catégorie syntactique régulière de notre théorie donc l'effectivisation justement c'est ça qu'on va noter c'était donc donc c'est la définition 8 bon c'est une définition générale on prend une catégorie régulière au sens que j'ai dit qui est encore écrit au tableau et on lui associe son effectivisation donc c'est une nouvelle catégorie déduite de la précédente et bien ce qu'on fait c'est qu'on rajoute formellement l'éco-sion des relations d'équivalence donc les objets c'est des pairs où le premier est un objet de la catégorie c et le deuxième c'est une relation d'équivalence donc une relation ça veut dire quoi ? ça veut dire un sous-objet e est un sous-objet alors il s'écrive comme ça logicien ou les catégoriciens écrivent comme ça donc e est plongé comme sous-objet dans x yx et vérifie les propriétés habituelles des relations d'équivalence donc le fait que ce soit reflexif symétrique, transitif bon j'écris pas donc voilà ça c'est les objets et les flèches donc si j'ai qu'est-ce que c'est qu'une flèche dans yf et bien ça va être une relation c'est-à-dire un sous-objet r du produit des deux alors qu'il vérifie les actions qu'il faut donc ça veut dire quoi ? ça veut dire que si on compose r avec e on obtient r et c'est aussi le composé de f avec r la deuxième chose c'est que la relation e considérée comme un sous-objet et contenu dans le composé de la relation opposée de r, voyez r c'est contenu dans xy, la relation opposée c'est le sous-objet correspondant de yx donc e doit être contenu dans ce composé là et puis le composé de r avec l'opposé de r lui est contenu dans f voilà donc ça c'est la définition formelle de l'effectivisation on a simplement rajouté formellement des quotients de relation d'équivalence et donc ici on a un lm qui doit être le lm 9 donc c'est la chose suivante c'est que bon cette construction est générale pour une catégorie régulière mais on l'applique à la catégorie syntactique régulière de la théorie qu'on avait voilà donc ceci est l'effectivisation de ça et alors là qu'est ce qu'on a ? on a que cette catégorie et abélienne autrement dit elle garde les propriétés de régularité mais en plus il y a des quotients des relations d'équivalence et d'autre part elle est munie de deux choses d'une part il y a une représentation de d dans cette catégorie qui consiste simplement si vous avez un objet de D évidemment vous pouvez lui associer des objets de la catégorie syntactique régulière puis de l'effectivisation et de même pour les flèches donc vous avez bien une représentation voilà donc ça c'est la première chose et puis elle est également munie d'un morphisme FT qui va dans la catégorie tel que le le composé des deux est égal à la représentation T de départ sous quelle condition on peut définir l'effectivisation d'un catégorie et montrer que c'est abélienne est ce que c'est de catégorie régulière dans le sens que vous devez donner ou est ce que c'est plus compliqué que ça ? là vous voyez je regrette beaucoup qu'Olivia soit pas là parce qu'elle en fait elle s'est blessée c'est fait une entorse assez grave donc là elle est immobilisée elle peut pas marcher j'espère qu'elle sera là la semaine prochaine mais c'est elle qu'on aurait pu répondre à ce genre de questions donc l'effectivisation ça consiste à rajouter les conscience et relation d'équivalence donc moi il me semble en rajoutant ces conscience c'est pas comme ça qu'on va pouvoir récupérer l'existence des produits fibrés donc il faut que les produits fibrés soient déjà là pour qu'ensuite ouais donc c'est pour ça je pense que pour que l'effectivisation soit une catégorie abélienne vous avez besoin de partir d'une catégorie qui est déjà au moins à des limites finies donc je pense que les conditions si on n'a pas ces hypothèses ça marche pas pour qu'on a besoin des images dans la catégorie si on ajoute je ne sais pas c'est un question oui on a besoin des images pour composer les relations on peut pas composer les relations parce qu'il faut faire un produit fibré et après prendre une image pour que ça devienne une relation sur le produit ouais c'est juste l'effectivation plus générale qui marche pour des catégories pas régulières mais celle ci marche pas pour des catégories régulières donc vous voulez prendre la logiciale j'imagine voilà alors voilà donc on a ce l'aime et puis bon après après ce l'aime eh bien on arrive à l'étape 4 qui consiste à démontrer à énoncer d'abord à démontrer les résultats donc c'est l'étape 4 alors comme j'ai dit tout à l'heure il y a 2 théorèmes donc le premier théorème c'est un théorème donc un théorème 10 qui généralise celui de de nourrie donc voilà on part de notre représentation avec encore une fois aucune hypothèse sur l'anneau R il est commutatif et unitaire mais par ça il n'y a aucune hypothèse ni sur R ni sur la catégorie de module et donc dans cette situation on a construit cette catégorie CT avec la représentation de D dans CT et le foncteur alors la première assertion du théorème c'est que ce foncteur que j'ai noté CT CT dans R mode est exact et fidèle alors la raison pour ça bon j'espère évidemment d'expliquer avec plus de détails la fois prochaine dans les démonstrations je les donnerai la fois prochaine mais la raison elle est évidente c'est que vous avez donc CT et définie à partir de la catégorie syntactique de la théorité la théorie de la représentation T autrement dit tout ce qui est vrai pour la représentation T une chose est vraie pour la représentation T si et seulement si elle est vraie dans la théorité et c'est pour cette raison que ce foncteur est exact et fidèle autrement dit tout ce qui est vrai ici se reflète là et réciproquement alors ça c'est la première assertion on a déjà dit qu'il y avait factorisation et puis la deuxième propriété c'est l'universalité alors je recopie le dessin tout à l'heure donc on a D à valeur dans R mode donc ici CT on a la factorisation à travers la catégorie CT et puis on suppose qu'on se donne une autre catégorie avec une autre factorisation par un autre foncteur exact et fidèle et alors dans ce cas là l'assertion en fait c'est une universalité qui est qui non seulement est sans hypothèse mais qui en plus est légèrement meilleur que celle de Nori à savoir que il existe ici un foncteur rendant le diagramme commutatif pas commutatif à isomorphisme prêt commutatif tout court c'est-à-dire que ce foncteur est égal au composé de celui-ci et de celui-là et ce foncteur là est égal ce foncteur là composé avec celui-ci est égal à celui-là c'est commutatif vraiment au sens strict donc ça veut dire en particulier la chaussure c'est que si vous vous placez dans la situation de Nori c'est-à-dire celle où R est notérien et vous avez un foncteur à valeur dans les modules finis et bien bien sûr la catégorie construite par Olivia Caramello est équivalente à celle de Nori mais elle lui est pas isomorphe c'est pour ça qu'elle vérifie des propriétés enfin cette propriété qui est légèrement meilleure et en fait quand on regarde les démonstrations de Nori qui sont donc des démonstrations d'Ajéblinère et bien on se rend quand on regarde en détail ce qu'il a fait on se rend compte qu'il est en train d'essayer de faire quelque chose de syntactique dans avec de la sémantique vous avez dit que c'est équivalent donc je préciserais ce que veut dire cette dualité cette distinction fondamentale entre syntaxe et sémantique mais bon là c'est juste une remarque enfin voilà toujours est-il qu'on a cette théorème et alors non mais l'hypothèse c'est le vous voyez donc d'abord on a cette factorisation sur la confusion il existe ce S mais c'est donné donc on se donne une factorisation et donc il existe un foncteur disons X qui est unique il existe un unique oui oui absolument vous avez raison il existe un unique foncteur rendant le diagramme commutatif strictement commutatif ah strictement commutatif voilà alors donc ça c'est le premier théorème et maintenant il y en a un second qui à mon avis est au moins aussi important donc c'est la chose suivante c'est que vous voyez que cette construction est extrêmement générale et donc ensuite on peut faire varier à la fois les représentations T et les diagrammes D et si on a en tête évidemment les motifs vous voyez que en géométrie à Gébrique on a plein de foncteurs comologiques donc on va pouvoir appliquer ça et associer à chaque foncteur une catégorie qui est un candidat pour être la catégorie des motifs donc évidemment on se pose la question est-ce que c'est les mêmes alors donc on a un critère général pour ça alors il y a deux parties la première partie c'est quand vous vous autorisez à faire varier à la fois vous considérez donc R est fixé mais vous considérez deux représentations de deux carquois différents ça peut être les mêmes mais vous ne supposez pas qu'ils sont égaux et donc vous avez deux catégories universelles associées c'était et c'était prime et vous pouvez vous demander est-ce que ces catégories sont équivalentes c'est une question qui est intéressante pour les motifs parce que vous pouvez très bien imaginer que vous puissiez construire les motifs la même catégorie de motifs de plein de manière différente en partant de diagrammes de géométrie à Gébrique différents alors là la réponse c'est que c'était et équivalent à c'était prime si et seulement si leur théorie donc tt et tt prime sont ce qu'on appelle morita équivalente alors qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire donc ici je donne des termes ça veut dire que leur topos classifiant donc la fois suivante je préciserai ce que ça veut dire mais leur topos classifiant donc e t et e t prime donc c'est deux topos de gros techniques associés aux deux théories t et t prime sont équivalents alors donc bon ici comme je n'explique pas je n'ai pas expliqué ce que c'est que les topos classifiant de théorie c'est un énoncé qui est un peu obscur dis-je, je l'ai écrit pour la raison suivante c'est que vous voyez qu'on a fait toute une construction ou à aucun moment n'est intervenu la notion de topos à aucun moment mais est-ce que l'équivalence entre c et t et t prime c'est comme catégorie air linéaire oui oui tout à fait c'est un peu bizarre parce que si on a un automorphisme de air et on change donc le topos ne voit pas comme le topos abstrait ne voit pas ça on obtient du topos équivalent avec cette torsion alors que il n'y a pas de équivalence air linéaire mais seulement avec automorphisme alors il semble qu'il s'est contradictoire non tout à fait un automorphisme de air non, un automorphisme de air lui donc on obtient un thé par un automorphisme de air si vous avez une définition de topos associé donc ce sera le même topos pour moi le topos équivalent le topos équivalent mais il semble je ne sais pas non on a une équivalence air linéaire non, je ne suis pas sûr si on a bon, si le résultat est vrai alors comme le topos est équivalent vous vous affirmez que les catégories sont air équivalents mais est-ce que le topos classifiant les deux théories sont équivalents si vous avez seulement un automorphisme de air il semble que si vous avez par automorphisme de air vous obtenez deux théories équivalentes je ne suis pas sûr si vous avez une notion qui est définie à partir de données si vous avez des transports de structure normalement on s'attende que si on fait des choses comme d'objections des ensembles de base on peut un automorphisme de air par exemple ça va transformer une combinaison linéaire en une autre combinaison linéaire et la combinaison linéaire va définir un certain sous-espace et l'autre combinaison linéaire par exemple je ne suis pas sûr que les relations d'inclusion soient préservées non moi j'ai écouté bon on pourra parler de ça après je voudrais terminer de toute façon je démontrerai cette assertion la fois prochaine on en parlera après de toute façon pour aujourd'hui c'est pas est-ce que c'est un topos abmoni de certain structure ou pas ? non c'est un topos il n'y a pas d'autres structures que de topos c'est un topos de rotandix c'est une catégorie d'un certain type donc par définition un topos de rotandix c'est une catégorie équivalente à la catégorie des faisceaux sur un site des faisceaux d'ensemble sur un site et donc ici quand je dis que les deux topos sont équivalents ça veut dire équivalents en tant que catégorie il n'y a pas d'autres structures donc ici la remarque que je voulais faire encore une fois c'est que dans tout ce que j'ai dit jusqu'à présent il n'y a pas de topos donc en particulier jusqu'à présent dans la construction je n'avais pas parlé de topos classifiants je n'avais pas parlé d'équivalence de Morita mais il n'empêche que ici c'est deux catégories que vous avez construites à partir de deux foncteurs comologiques différents sur deux carquois différents et vous avez que ces catégories sont équivalents si et seulement si leurs théories associées sont équivalentes en sens de Morita cette notion-là sans que vous l'ayez mise a priori donc ça c'est la première partie du théorème et la deuxième partie qui en fait pour ce que je veux dire aujourd'hui plus parlante la deuxième partie du théorème c'est que cette fois on considère deux représentations T et T prime du même carquois et donc vous avez deux catégories associées munis chacune d'une représentation de D et vous pouvez vous demander est ce que ces deux catégories sont équivalentes avec leur représentation donc évidemment ici vous demandez quelque chose de plus fort qui n'aurait pas eu de sens dans la situation de 1 et donc l'assertion c'est que ceci est vrai si et seulement si les deux théories de T et T prime sont les mêmes autrement dit tout ce qui est démontrable dans l'une est démontrable dans l'autre alors on peut même expliciter ce que ça veut dire concrètement vous devez comparer des sous-objets définis par des formules régulières donc des formules régulières c'est des combinaisons linéaires de composés de flèches associées à des flèches de D donc supposez que vous ayez une telle écriture une telle formule vous pouvez l'interpréter dans T et l'interpréter dans T prime ça vous définit 2 sous-objets donc vous l'interprétez dans T vous l'interprétez dans T prime et vous obtenez 2 sous-objets du même produit pardon vous obtenez 2 sous-objets l'un d'un produit d'espace associé par T à votre ensemble de sortes et puis ici c'est un sous-objet dans le produit des espaces associés par T prime à la même collection de sortes bon et puis vous avez une autre formule Phi qui elle aussi s'interprète à la fois dans T et dans T prime et donc l'égalité des théories c'est de dire que le sous-espace définit par Phi est contenu dans le sous-espace définit par Psi si et seulement si pardon le sous-espace définit par Phi via T est contenu dans le sous-espace définit par Psi via T si et seulement si le sous-espace définit par Phi dans T prime est contenu dans le sous-espace définit par Psi dans T prime les relations d'inclusion par des formules entre sous-objets définis par des formules identiques doivent être les mêmes dans T et dans T prime c'est ça la signification de l'égalité des théories alors voilà et donc maintenant qu'on a ces deux théorèmes et bien le troisième paragraphe qui va être beaucoup plus rapide c'est simplement l'application au motif alors on va considérer ça veut dire qu'on s'intéresse au schéma sur un corcat complètement arbitraire en particulier de caractéristiques arbitraires dans la construction de nos rues on avait dû prendre un sous-corps de C parce qu'on avait besoin de prendre l'homologie de Betty quelque chose de dimension finie sur Q mais ici on ne va plus avoir besoin de ça donc on prend un corps arbitraire et de la caractéristique peut être 0 ou un nombre premier ou P et on va prendre pour coefficient Q ou éventuellement Z ensuite donc dès on va prendre évidemment un carquois construit avec les schémas sur ce corps de base qu'on a choisi donc je vais tout de suite préciser ce qu'on peut faire sachant qu'il y a énormément de choix possible voilà et puis pour T on va prendre donc T ça va être à valeur dans les Q espaces vectorielles ou éventuellement dans les Z modules c'est-à-dire les groupes abéliens et évidemment ce qu'on va vouloir prendre pour T c'est un foncteur comologique ou homologique alors et la seule chose dont on a besoin sur ce foncteur c'est qu'il soit on a besoin d'un foncteur à coefficient de caractéristique 0 mais vous voyez tout de suite que comme on n'a plus d'hypothèse sur la dimension on peut très bien prendre un foncteur comologique dont les coefficients naturelles sont dans un corps beaucoup plus gros que Q donc par exemple vous allez pouvoir prendre comme foncteur comologique par exemple la comologie alladique ou la comologie péadique si vous êtes en caractéristique P la seule chose que vous demandez c'est d'avoir des coefficients de caractéristique 0 éventuellement en ciel d'ailleurs si vous savez les définir alors maintenant qu'est-ce qu'on peut dire donc ça c'est l'idée générale maintenant qu'est-ce qu'on va vouloir dire sur les objets de D dans les objets de D on va toujours y avoir une partie géométrique et puis une partie d'indice alors la partie géométrique qu'est-ce que ça peut être ça peut être simplement les schémas éventuellement les schémas d'un certain type vous pouvez vous limiter au schéma lisse au schéma projectif disons les schémas ou un certain type de schéma ou alors on peut faire comme nourrie regarder des paires de schémas ou éventuellement on peut regarder des diagrams plus compliqués l'indice qu'est-ce que ça peut être d'abord vous aurez de toute façon besoin d'au moins un indice qui va être le degré des espaces de comologie ou d'homologie vous pouvez aussi éventuellement avoir un autre indice de torsion à la tête c'est-à-dire que considérer non seulement la comologie par exemple la coefficient d'un QL mais dans QL tordu par J vous pouvez faire ça et puis vous pouvez aussi envisager éventuellement d'avoir un indice binaire je veux dire un indice qui peut prendre deux valeurs de considérer simultanément l'homologie et la comologie c'est-à-dire si l'indice prend la première valeur bah l'espace associé ça sera l'espace de comologie si l'indice prend la deuxième valeur l'espace associé ça sera de l'homologie ou de la comologie à support compact vous pouvez très bien considérer les deux voilà donc ça c'est pour voilà des choix possibles pour les objets de D euh euh euh et alors là oui si vous avez une remarque que je peux faire quand on a deux indices c'est que bon si par exemple vous avez un objet X vous pouvez lui associer l'HI l'addict de X bar à coefficient en QL tordu par J vous pouvez faire ça mais une chose que vous pouvez envisager de faire aussi c'est de lui associer les groupes de comologie motive X c'est-à-dire les groupes de chose supérieure de bloc alors si on veut que ça correspond il faut mettre les CHJ de X et ici avec un 2J-Z disons à coefficient en Q alors vous allez me dire oui les groupes de chose supérieure c'est beaucoup trop gros c'est dimension infinie sur Q mais on s'en moque disons que nous on n'a pas besoin de dimension finie et puis là donc ça aussi ça va être de dimension finie sur QL donc de dimension infinie sur Q mais peu importe pourquoi pas mais pour le moment tel que c'est écrit dans l'article oui alors là donc en fait ça c'est aussi une observation que je ferai certainement dans l'exposé 3 si j'ai le temps c'est que donc là c'est une observation qui a trait à 7 articles motivique donc qui est la recherche d'une bonne axiomatisation pour les théories comogiques et en particulier d'un bon topos classifiant et alors là Olivia développe beaucoup de réflexion sur qu'est-ce qu'on pourrait attendre d'un tel topos pour pouvoir affirmer que justement par exemple tous les foncteurs comologiques ont la même théorie associée donc et donc disons c'est vraiment ça c'est un travail de recherche en cours c'était juste pour faire le point mais donc en particulier il y a la recherche d'un bon D et à un moment donc il y a des calculs qui sont faits disons à partir de l'idée que le topos classifiant d'avoir une certaine forme et de fait que le topos classifiant enfin doit vérifier certaines propriétés ça se traduit d'une certaine manière du côté syntactique et alors du coup même en fait quand Olivia a trouvé ça elle savait même pas ce que c'était qu'une catégorie dérivée mais ici il y a une condition qui brusquement apparaît que donc la condition qui apparaît dans les calculs c'est que on veut classifier des théories comologiques ou les les images l'image de toute flèche est définissable c'est-à-dire l'image de toute flèche doit pouvoir être écrite par des équations donc Olivia l'a trouvé ça elle a raconté ça tout de suite à Barbieri-Vialet et à moi immédiatement on lui a répondu c'est la structure triangulée c'est-à-dire le fait de pouvoir compléter n'importe quelle flèche en un triangle distingué donc ça veut dire que même si vous avez pas mis au départ les structures triangulées en fait au cours des calculs vous le voyez apparaître comme une nécessité donc ça veut dire qu'en fait donc Olivia pense aujourd'hui que c'est le D lui-même c'est-à-dire le truc syntactique qui doit être muni au départ d'une structure de catégorie triangulée donc si vous regardez dans son article il y a un dernier paragraph qui s'appelle la structure triangulée syntactique où elle construit donc une catégorie triangulée du côté syntactique qui va se réaliser dans toutes les théories comologiques qui en un sens est en un monde toutes les théories comologiques mais la raison derrière cette construction ça veut dire que dans l'état actuel de la recherche de cette recherche la structure triangulée apparaît vraiment comme une nécessité moi je le voyais plutôt à l'arrivée bah non disons maintenant encore une fois c'est un travail en cours donc bon ni moi ni même Olivia ne savons jusqu'où ça ira mais disons dans l'état actuel des choses voilà bon alors bon oui donc j'ai dit on peut regarder également la comologie motivique donc là j'ai parlé des objets de dé et puis ensuite il y a les flèches et alors évidemment on va mettre en flèches de dé tout ce dont on sait que ça induit des homomorphismes entre espaces de comologie donc bien sûr les flèches de fonctionnalité entre objets ou entre paires ou éventuellement entre diagrates plus riches mais également on peut faire comme nourris introduire des flèches qui correspondent aux homomorphismes de bord voilà donc on peut faire tout ça et puis ensuite pour D pour T comme représentation T on peut prendre n'importe quel foncteur comologique à coefficient de caractéristiques zéro donc ça peut dire l'homologie ou la comologie de Betty la comologie de Durham si on est à l'addict la comologie donc si on a caractéristiques P la comologie P-addict c'est à dire cristalline ou rigide ou enfin la comologie motivique donc vous pouvez considérer tous ces foncteurs et maintenant pour chacun de ces foncteurs comologique je vous prenais T égal Betty ou Durham si la caractéristique est zéro ou L-addict ou P-addict donc ça veut dire cristalline ou rigide donc ça c'est si la caractéristique de K est égal à P ou bien j'ai dit également la comologie motivique les groupes de choses supérieures de bloc donc vous prenez n'importe quel de ces T avec un diagramme fabriqué comme j'ai dit mais encore une fois il y a un très grand choix et donc dans toute telle situation vous associez à D muni de la représentation T vous associez à ça une catégorie abélienne R linéaire donc ça veut dire ici Q linéaire ou éventuellement pour Z linéaire si vous avez considéré les choses que vous avez vu ici dans Z qui est universel au sens qu'elle vérifie le terrain qu'on a énoncé tout à l'heure donc évidemment la question et puis vous pouvez considérer cette catégorie comme un candidat pour être une catégorie de motifs motifs mixtes et donc ici il y a plein de questions qui se posent d'abord comme j'ai parlé de comogies motiviques il y a une première question qui se pose qui est un peu indépendant voilà donc c'est la suivante c'est que vous voyez vous considérez les foncteurs de comogies motiviques donc les groupes de choses supérieures de bloc vous avez maintenant une catégorie abélienne culinaire associée par ailleurs vous savez quelque chose qu'ils ont appelé la catégorie triangulée des motifs dans laquelle les groupes de choses supérieures de blocs s'interprètent comme des groupes de momorphismes et une question posée depuis des années c'est est ce que cette catégorie triangulée de Wolgotzki peut s'écrire comme la catégorie dérivée d'une certaine catégorie abélienne donc là vous voyez que vous avez un candidat vous avez une catégorie abélienne qui vous est fournie par la comologie motivique elle-même donc ça c'est une question sur laquelle je reviendrai dans l'exposé 3 justement l'exposé des questions parce qu'on peut malgré tout préciser cette question voilà donc ça c'est la première chose et puis la deuxième chose c'est de vous dire bon ben voilà j'ai tous ces foncteurs de comogies c'est le cas de Norrie on voit bien qu'il y a un foncteur naturel oui il y a un foncteur naturel oui justement c'est ce que j'expliquerai dans l'exposé 3 c'est-à-dire qu'on peut construire un foncteur naturel qui va de la catégorie de Wolgotzki vers la catégorie dérivée de cette catégorie abélienne et la question c'est est-ce que c'est une équivalence et pour quelle version de la catégorie de Wolgotzki c'est la catégorie ? je préciserai j'écris ça dans mes notes voilà donc là aujourd'hui bon tout ça je l'ai écrit donc je le dirais dans deux semaines voilà aujourd'hui je sais plus que j'ai écrit j'ai motivé est-ce que vous considérez ça comme un foncteur sur les variétés les ou le déperre de variétés normalement c'est il y a un sous on peut considérer ça pour à l'ouvert d'un variété sinon il y a l'homologie je donnerai des définitions précises je pense que c'est avec des schémalises si mon sonir est exact on part de schémalises comme fait Wolgotzki lui-même je pense qu'il y a des définitions précisées je pense que c'est avec des schémalises si mon sonir est exact on part de schémalises c'est Wolgotzki lui-même bon écoutez je préciserai les choses pour l'instant c'est simplement une remarque une remarque qui imprécise mais donc voilà donc ces catégories associées on a ces catégories associées voilà tous ces foncteurs donc on peut dire que c'est la définition 12 dans toute telle situation il y a une catégorie habélienne culinaire associée voilà du simple fait qu'on s'est débarrassé de la condition de dimension finie et puis enfin le résultat auquel je voulais arriver c'est le suivant donc c'est un corollaire donc c'est l'énancé 13 donc corollaire du théorème 11 de tout à l'heure c'est-à-dire quand est-ce qu'on a les mêmes catégories de motifs alors donc on se donne encore une fois un corps de base arbitraire et puis les coefficients qui peuvent être Q ou Z voilà et donc on regarde un carquois comme j'ai dit donc il y a beaucoup de choix possibles de carquois toute façon le théorème va être vrai quel que soit le carquois c'est-à-dire des schémas qu'on a regardé et on considère non pas un mais une famille donc ça ce que je note comme ça c'est un ensemble de bons foncteurs comologiques donc ça veut dire qu'ils sont dans la liste que j'ai mis là donc tous il faut que ça soit que ça aille dans les Q-espace vectoriel ou dans les Z-modules éventuellement donc voilà j'ai toute une famille par exemple je considère tous les foncteurs de comologie alladique pour tous les L possible alors les conditions suivantes sont équivalentes alors la première condition c'est que ces foncteurs comologiques se factorisent à travers une catégorie de motifs au sens où on l'entend généralement donc ça veut dire qu'il y a une unique catégorie de motifs donc je ne sais pas on va l'appeler M avec une représentation de D dans M tel que chaque T se factorise comme ça donc chaque T se factorise un foncteur qui va de F-T même si ça j'ai pas dit que c'était C-T simplement on demande qu'il y ait une catégorie abélienne culinaire M muni d'une représentation de D et à travers laquelle se factorisent tous les foncteurs comologiques qu'on regarde et alors ce qu'on demande c'est que bien sûr comme vous regardez dans les livres ce qu'est demandé les motifs on demande que ces foncteurs soient exacts et fidèles les foncteurs de réalisation donc ça c'est la première condition dans l'énoncé du corollaire la deuxième condition c'est que les catégories C-T donc celle de la construction tout à l'heure la construction d'Olivia avec les représentations de D dont elles sont munies donc toutes ces choses là sont équivalentes et la troisième condition c'est que les théories des différents foncteurs T les théories régulières sont toutes égales voilà donc l'énoncé c'est l'équivalence entre ces trois choses et ensemble de bonnes de bonnes foncteurs comologiques donc c'est un ensemble simplement de représentations mais j'ai dit ça parce que évidemment on veut l'appliquer aux foncteurs comologiques qu'on connaît et dans lesquels on a confiance les foncteurs eladiques, péadiques bétis, d'orames etc si on prend l'ensemble V de foncteurs comologiques non mais dans ce cas là le théorème est vide oui non mais d'accord donc je prends un ensemble non vide donc voilà donc donc le corollaire c'est l'égalité de ces trois conditions alors l'équivalence de 2 et 3 c'est le théorème de tout à l'heure le fait que 2 implique 1 c'est évident parce que dans ce cas là vous prenez M égale CT puisque c'est toutes les mêmes et donc ce qui vous reste à démontrer 1 implique 3 ça résule de quoi ? ça résule de l'hypothèse que les foncteurs ici sont tous exacts et fidèles donc ça veut dire que quand vous avez 2 formules vous pouvez les interpréter à la fois ici et là et la relation d'inclusion à ce niveau là c'est la même qu'à ce niveau ci puisque le foncteur est exact et fidèle les relations d'inclusion entre sous-objet sont les mêmes ici et là c'est-à-dire si vous avez 2 formules qui définissent 2 sous-objets ici ces mêmes formules définissent ici les 2 sous-objets images et vous avez que les 2 sous-objets ici sont contenus l'un dans l'autre si et seulement si leurs images sont contenus l'un dans l'autre parce que bon comme les foncteurs exacts et fidèles présèrent les intersections donc déjà vous vous ramenez au cas vous savez que le premier objet c'est la question est-ce qu'ils sont égaux autrement dit, est-ce que leur quotient est zéro comme le foncteur exact et fidèle vous le voyez sur les images donc ça veut dire que les propriétés qui définissent la théorie T vous les lisez aussi bien ici c'est-à-dire dans la catégorie d'arrivée de T que dans M donc s'il y a un M qui est commun ça veut dire qu'ils ont toute la même théorie et donc voilà donc ce que disent corollaires en fait formulés en termes un peu provocants c'est que si les motifs existent les motifs on peut les voir comme des objets de logique plus exactement c'est-à-dire connaître la catégorie des motifs c'est équivalent à connaître la théorie qu'on suppose commune à tous les foncteurs comologiques alors ça, ça pose évidemment beaucoup de questions d'abord bon effectivement on a envie quand on pose assez relation d'inclusion je pense que tout le monde croit qu'elles sont communes aux différents foncteurs et donc ça veut dire qu'on croit effectivement que les différents foncteurs ont la même théorie associée et là vous pouvez vous demander ça fait partie des questions d'abord comment est-ce qu'on pourrait démontrer ou essayer de démontrer que ces théories sont communes aux différents foncteurs et puis à supposer qu'elles le soient qu'est-ce que c'est que cette mystérieuse théorie commune à tous les foncteurs comologiques est-ce qu'on peut en dire quelque chose est-ce qu'à la limite on pourrait expliciter ces actions ou non donc c'est des questions qui sont posées ou est-ce qu'on pourrait a priori deviner la forme des actions qui définissent cette théorie conjecturale commune à tous les foncteurs comologiques donc ça fait partie des questions qui sont posées voilà et puis alors évidemment donc on est enfin c'est enfin en tout cas il faut essayer de travailler sur cette question de se demander si ces théories ont effectivement les mêmes foncteurs comologiques associés pardon les mêmes théories associés et bon bah ça c'est enfin l'une raison d'être ou la raison d'être principale de cet article qui est beaucoup plus sophistiqué ce que j'explique aujourd'hui les démonstrations que je vais donner la fois prochaine c'est des choses qui du point de vue de la théorie des catégories des topos classifiants sont tout à fait élémentaires en revanche donc quand on commence à se demander enfin essayer de cerner ce que pourrait être le topos motivique donc là il y a des choses beaucoup plus sophistiquées qui interviennent et pour le moment on sait pas du tout si ça peut aboutir ou pas mais j'essaierai d'oxiger le temps dans l'exposé 3 j'essaierai d'expliquer quelque chose au moins pour donner une idée de ce qu'on peut essayer de faire parce que vous voyez que cette théorie des topos classifiants donc c'est une théorie qui existe depuis les années 70 donc il est extrêmement général qui est assez fascinante enfin au moins pour moi mais qui n'a pratiquement pas été développé depuis cette époque et je pense que la raison est la suivante c'est que on sait associer un topos classifiant à n'importe quelle théorie donc c'est une généralité extraordinaire mais quand on a le topos associé à une théorie comment l'étudier ? et là donc Olivia consacrée toute son énergie à ça et donc quand on regarde par exemple ce qu'elle a fait ou ce qu'elle essaie de faire on voit apparaître des propriétés des topos qui ne sont pas du tout les mêmes que celles considérées habituellement par exemple en geometry quand on utilise les topos comme pourvoyeur d'un variant homologique et donc on est habitué à faire avec les topos un certain nombre de choses donc quand vous étudiez les topos que vous voulez étudier les topos comme topos classifiants donc c'est les mêmes objets c'est les mêmes topos en sorte de retenniques vraiment les mêmes mais vous allez vous intéresser à des propriétés complètement différentes donc je voudrais donner une idée disons si j'ai le temps dans l'exposé 3 j'essaierais de donner une idée donc normalement les topos en géométriage de brix sont associés de sites comme le site etat le site cristallin etc donc si souvent ce sont des topos cohérents donc il y a des conditions de finitude est-ce que dans votre contexte les topos sont parfois mais pas toujours donc ça dépend il y a une notion de théorie cohérente dans les topos classifiants vont être automatiquement des topos cohérents mais il y a beaucoup de théories intéressantes qui ne sont pas cohérentes donc effectivement ça c'est une propriété qui a un sens et un intérêt donc j'espérais donner un peu plus