 Ok, donc ce que je vais expliquer c'est que, en fait, je pense qu'il est assez dans la ligne de cette conférence parce que tout de suite ce que je vais présenter est la succession de modèles métriques, essentiellement. Et je veux dire, si nous nous suivons assez clôtement, éventuellement, nous allons obtenir quelque chose qui va se displayser, si vous voulez, dans la version euclide, qui va se displayser le temps spatial mais avec une couple de gravité à un modèle standard. En fait, un petit avancement du modèle standard. Et tout ce qui va arriver d'une question très simple mathématique. Et la question simple mathématique sera, comment pouvons-nous encoder une comparte four dimensionnelle, sphère géométrie. Comment pouvons-nous encoder ça ? C'est une question très simple mathématique. Et ce que j'ai envie, j'ai envie d'avoir une réponse qui encode dans l'esprit des mécaniques quantes. Donc, ce sera exactement dans l'esprit de ce que nous avons discuté hier soir, par exemple dans le discours de Maxime, etc., de quantisation. Et, je veux dire, pour étudier le stage, je vais commencer par des considérations très simples, donc la première équation, et je vais l'écouter, sera la suivante. Ce sera l'équation suivante entre les opératoires, u star du, c'est equal à d plus 1, où ce joint de soi n'est pas boundé. Et u est unitaire. Donc, on regarde cette équation. Et ce que nous regardons, en fait, c'est les présentations irréducibles de cette équation. Donc, si nous regardons cette équation avec l'unité d, de la rejointe de soi, on voit que si j'ai un élément lambda dans le spectrum de d, cela implique que lambda plus 1 est aussi dans le spectrum de d. Pour nous, il y a une raison obvious que d est equivalent à d plus 1, par une interéquivalence. Donc le spectrum doit être invariant à l'addition de 1, et bien sûr, sous la substitution de 1, pour la même raison. Et ce que cela veut dire, cela veut dire que si je regarde une présentation irréducible, automatiquement, dans cette présentation irréducible, le spectrum va consistir d'une progression arithmétique. Donc, à l'intérieur de la ligne réelle, parce que l'opérateur nous a jointés. Donc, je veux dire, le spectrum de d va nécessairement être, dans une présentation irréducible, de la forme n plus alpha, où n belongs à cela. Donc, si vous voulez z plus alpha, en simple termes, où alpha est un numéro de modulo 1, ce dont je ne m'en souviens pas. Et quand vous avez cela, vous savez que, si c'est irréducible, aussi ces valeurs eigenes seraient simples. Et si je prends une vector eigen, donc si je regarde l'équation d d des valeurs eigenes, en, pour la valeur eigen n, est equal à n en. Alors, ce qui se passe, c'est que si j'applique u à en, donc si j'applique u à en et si j'applique d à cela, et si j'utilise cette équation, je trouverai immédiatement que d de u en, parce que je peux permette u et d par ajouter 1, sera en fait equal à n plus 1 times u en. Donc, ce qui veut dire, c'est que l'un est en train d'utiliser des valeurs eigenes par 1. Et quand la représentation est irréduciable, c'est très facile de montrer qu'en fait, vous allez générer toute la représentation juste par prendre la vector e0 et ensuite le changer en arrivant et en arrivant. Donc, ce sera vous dire qu'en fait, il n'y a que une sorte de représentation irréduciable d'exception de l'alpha de z. Donc, c'est une série intégrable. L'opérateur d est comme ça, avec la base obviante d en, d en est equal à n plus alpha. Je dois mettre l'alpha, mais n plus alpha en. Et qu'est-ce que la U ? La U est une shift, donc u en est equal à en plus 1 pour n. Maintenant, quand vous avez cette représentation irréduciable de l'alpha, vous avez trouvé les représentations irréduciables mais qu'est-ce que cela signifie géométriquement ? Qu'est-ce que cela signifie par passer en Fourier qu'en fait, h est également equal à l'espace de l'alpha 2 sur s1 avec la mesure d'alpha d'alpha que l'opérateur d est donné à l'alpha d'un par l'alpha d'alpha d'alpha et que l'action de l'opérateur U, mais généralement de la fonction de la vue donc si je prends une fonction f de theta, f de vue si vous voulez, cette fonction va acte par multiplier en par multiplier une vector en fait, l2 vector, psi et si je l'évalue à theta ce sera juste f de l'exponential i theta times psi of theta donc si vous voulez, l'algebra acte par multiplier d'opérateurs et l'opérateur d elle-même est de la différence maintenant vous fallez dans quelque chose qui est très familier dans la géométrie non-competitive qui est ce qui s'appelle le spectrel triple c'est-à-dire que vous avez un algebre A qui est l'algebra de la fonction de la vue vous avez un algebre H qui est ici et vous avez un opérateur D cet opérateur D vous dit ce qu'est la métrique pourquoi ? parce que comment vous computez les distances entre les points ? d'abord, les points sont élevés par le spectre donc ici c'était le spectre de la vue mais généralement c'est le spectre de l'algebra comme l'algebra d'opérateurs donc les points sont élevés par le spectre et la distance la distance entre deux points teta 1 et teta 2 ok il sera élevé par le supermode de l'évaluation de la fonction à teta 1 minus l'évaluation à teta 2 avec la condition que la fonction ne varie pas très vite c'est-à-dire que cet opérateur D est énormement moins que 1 ok donc ce que vous pouvez voir dans cet exemple dans cet exemple très simple c'est que ce qu'on découvre complètement de cette équation de cette équation d'opérateur c'est la pleine géométrie du cercle de lengths de pi et il n'y a que 1 donc ce que vous découvrez c'est le cercle de lengths de pi avec une compétition complète d'une géométrie juste de ce data opérateur le cercle est très simple et bien sûr que vous voulez aller plus loin le next example c'est le suivi le 1er exemple c'est un exemple où ce qui sera évident c'est que vous allez gagner quelque chose d'actuellement en utilisant les matresses c'est-à-dire si vous voulez, plutôt que ici obtenir l'algebra de fonction de la vue qui était l'algebra commutatif je vais, depuis le début mettre dans mon algebra les 2x2 matresses donc maintenant je vais prendre le suivi je vais prendre l'algebra M2C et je vais faire le remarque que si l'algebra M2C est contenu dans d'autres algebras ok, alors ce que vous pouvez faire vous pouvez mettre un élément de A c'est un exercice très simple vous pouvez mettre un élément de A je le appelle un petit A A11 x E11 plus A12 plus A21 E21 plus A22 E22 où les Eij sont les matresses donc par exemple E12 serait la matresse 00001 ça serait E12 et vous pouvez le trouver d'autres et où les Eij maintenant sont dans le commutatif donc ils sont dans le commutatif de M2C ok, alors c'est un fact général, vous pouvez le faire comme exercice et maintenant ce que nous allons faire nous allons essayer de trouver le plus simple possible algebras qui contient M2C mais non trivial et pour ça ce que nous allons faire, nous allons ajouter à M2C un symbole de ponctuation ok, donc je vais ajouter Jenny doit déjà reconnaître ce que je suis après donc je vais ajouter un symbole de ponctuation ok, et ce symbole de ponctuation je vais l'appeler Y et il va satisfaire les règles que Y est equal à Y-star et Y-star est equal à 1 ok, ce qui veut dire qu'il n'y a pas de gain en répétant Y c'est pourquoi je l'appelle un symbole de ponctuation je peux le mettre en comma seulement ok, donc maintenant nous allons mettre les mots nous allons mettre les mots nous allons mettre les mots comme AYB plus ok, vous savez nous allons mettre les mots comme ça nous allons mettre les mots comme ça et et puis, vous savez, quand vous travaillez comme ça avec les mots et tout vous pouvez définir un algebre nous allons en utilisant ces règles ici nous pouvons définir le trait de un élément comme un A11 plus A22 ok équivalentement vous pouvez définir le trait d'avirage sur les matrices 2x2 ok, et ce que nous allons avoir en fait nous allons avoir une autre condition qui est que l'avirage de Y est equal à 0 en autre chose, quand je write Y dans cet algebre qui contient un 2C je dois avoir un Y11 plus Y22 est equal à 0 maintenant, ce que ce qu'il est assez important c'est que si vous avez cet algebre, donc avez cet algebre prendre cet algebre qui est, si vous voulez un M2C avec Y avec cette condition et cet algebre est naturellement endaille avec une norme pourquoi est-ce que c'est vrai ? parce que vous pouvez prendre toutes ces représentations comme opérateurs dans l'espace et prendre les normes maximales que vous obtenez des représentations donc pour exemple, si je prends cet élément ici je vais définir sa norme comme la maximale le supermome de toutes les normes qu'il a dans les représentations je veux dire que c'est clairement bondé parce que quand vous prendre 2x2 matrices leur norme est bien sûr la même norme que les 2x2 matrices et quand vous prendre les autres éléments parce que Y2 est 1, ils sont aussi bondés donc c'est bondé et le sœur est que si vous prendre cet algebre avec cette norme vous obtenez des fonctions continues des fonctions continues sur les 2 sphères avec les valeurs de M2 of C l'algebra génére 2 valeurs de 2 sphères oui, oui donc cet abstract algebre quand vous avez completé vous obtenez ces fonctions continues de la 2 sphères avec les valeurs de M2 of C et les éléments smooths sont obtenus par seulement prendre les représentatives smooths ce qui est très clair vous prendre les fonctions smooths actuelles donc qu'est-ce que cela vous dit ? cela vous dit que si nous avons regardé pour la sphère vous savez, nous devons dire qu'on existe et cela et tout mais oui, ce qui est dit c'est que c'est plus simple d'actuellement prendre les matrices de fonctions sur les 2 sphères que sur les 2 sphères et bien sûr, si vous savez un petit peu des principaux de la géométrie non-computative vous savez que la présence de la géométrie non-computative dans les algebre matrices c'est un problème pour d'autres raisons parce que cela vous donne des sphères de la géométrie donc d'autres mots, vous savez cet algebre a des automorphismes mais il y a aussi, métriquement ce qu'on appelle la fluctuation de la géométrie et cela vous donne des sphères de la géométrie donc comment vous obtenez les matrices donc comment nous extensionsons cette relation vers là quand nous parlons de la sphère ok, donc ce que vous faites je dois dire que ce type de travail c'est de la géométrie et de Michel on a passé à la sphère de la géométrie ok, donc je vais juste expliquer maintenant, si vous avez le problème de la métrie comment vous obtenez la métrie bien, il se termine que vous obtenez la métrie en un très, très facile je veux dire, dans le plus simple possible de la métrie vous généralisez la condition qui était là par... d'abord, pensez sur la condition qu'il a été u star d'un commutateur c'est equal à 1 bien sûr, c'est la même équation maintenant si vous pensez un peu plus vous trouverez que en ce cas, vous pouvez avoir un autre entier dans le sérum et l'autre entier dans le sérum est que si maintenant vous ne considérez pas l'équation suivante qui est y d'un commutateur y mais maintenant je dois squareer et la raison pour laquelle je dois squareer c'est que je suis dans la dimension 2 et maintenant, je n'ai plus de temps d'écrire que c'est equal à 1 j'ai écrit que c'est equal à gamma qu'est-ce que gamma ? gamma est la chiralité sur la représentation de spin parce que maintenant, ce que vous obtenez comme une représentation réduite est la représentation de spin il y a un opérateur de chiralité parce que nous sommes dans une dimension de même et maintenant, l'équation qui, dans le cas de l'autre cas, est juste equal à 1 est toujours, dans le cas de même, equal à gamma où gamma est la chiralité donc ce que c'est en mathématiquement en parlant c'est quelque chose qui satisfait gamma square est equal à 1 gamma est equal à gamma star, bien sûr mais gamma d est equal à minus d gamma et gamma commute avec l'algebra donc gamma a est equal à a pour aucun élément de l'algebra a et qu'est-ce que l'incarnation de 1 ? qu'est-ce que l'incarnation de y c'est l'instantan je veux dire, c'est si vous voulez y est lié à une projection parce que y square est 1 donc il y a cette relation vous voyez, le y avec y square est 1 c'est très bien la même chose vous pouvez écrire y est equal à 2e minus 1 et puis, e est la projection et la projection correspondante sur les deux sphères est bien non formulaire donc maintenant ce que vous avez vous avez une translation et il se termine donc comme j'ai dit quelles sont les sphères donc ce n'est pas seulement la sphère c'est une solution, c'est magnifique parce que dans le cas de la circole nous avons seulement 1 circole mais dans le cas de la sphère nous avons tous les sphères la seule condition dans la sphère c'est que la forme de volume de la sphère est fixée c'est la seule condition donc ici si vous voulez nous avons tous les sphères tous les sphères avec la forme de volume fixée la forme de volume fixée ok ok donc c'est vraiment le start c'est vraiment le start je veux dire, c'est ce que la situation était je veux dire jusqu'à le début de 2012 ou quelque chose comme ça quand mon collaborateur Ali Shamseddin a regardé encore ces sphères de l'an 2000 et il est venu avec une idée et bien sûr, cette idée existait aussi implicitement aussi dans le travail avec Michel mais il est venu avec la suivante idée d'extender les dimensions de la sphère c'est que quand j'ai parlé de vous de M2 of C de 2x2 matrices et j'ai imposé cette condition étrange y est 0 en fait il y a un moyen conceptuel et le moyen conceptuel c'est qu'en fait j'ai secretly écrit y est equal à y mu times gamma mu où les gamma mu sont les 3 matrices ok vous voyez, bien sûr, toutes ces matrices sont 0 et donc j'ai tous les matrices 2x2 mais avec cette condition donc quand vous arrêtez y equals y mu gamma mu et bien sûr quand j'arrête je suis dans le même domaine que quand j'ai écrit l'élément A comme combinaison d'élémentaire matrices donc le y mu est assumé pour commuter avec le gamma mu donc si vous voulez que les y mu puissent utiliser le commutant de l'algebra généré par les gamma mu et puis ce que vous trouverez en fait, cela vous donnera la preuve pour le cas de la sphère parce que quand vous arrêtez la condition que y est equal à y star bien, cela vous donne que les y mu sont celles-ci jointes j'ai appelé les joints c'est trivial mais quand vous arrêtez la condition ce que vous trouverez c'est que vous savez si vous l'avez écrit en termes de matrices gamma vous aurez des termes cross vous aurez gamma mu gamma nu gamma nu gamma nu donc ce que cela vous dit est que les y mu commutent avec l'autre cela vous dit automatiquement que y mu y mu est equal à 0 donc c'est ce que vous avez et bien sûr et bien sûr maintenant le fait que y square est equal à 1 aussi vous dit une autre chose il vous dit que sigma y mu square est equal à 1 donc ce que vous avez vous avez des opérateurs commutant avec square adopt 1 donc bien sûr vous avez une map à la sphère vous avez une obvious map à la sphère donc ce que nous avons commencé par investir avec Alisham Seding Khamukanov nous avons commencé d'investir dans cette équation dans une dimension haute et aussi cette équation donc bien sûr nous avons aussi regardé l'équation y commutateur dy pour la puissance 2m donc je suis seulement en même cas et j'ai eu l'âge sur l'algebra cliford et c'est equal à gamma donc c'était une équation basique et je veux dire cette équation est assez intéressante pour vous dire pourquoi parce que quand vous commencez à parler de spectraal triples en général A, H, D l'opérateur D c'est un opérateur dirac qui a été défini par Attien Singer c'est eux qui ont vraiment défini le opérateur dirac pour se réunir c'est bien sûr qu'il n'y avait pas de physique mais le point c'est le suivi le point est que quand vous rachetez cette équation bien l'opérateur D c'est comme le momentum c'est un slash de toutes les compétences du momentum, il assemblant toutes ces compétences dans un objet single qui est très économique maintenant, c'était faible sur le côté des compétences que nous faisions même quand vous rachetez le objectif vous ne les assemblez pas mais maintenant, pourquoi les assemblant en un single parce que c'est ce que c'est donc maintenant, les ordinateurs sont assemblés en un single et je vais venir à la manière mathématique très vite donc nous avons investi dans cette condition et qu'a-t-on trouvé ce qu'on a trouvé avec cette équation est désappointé parce que, qu'a-t-on trouvé ? nous avons regardé cette équation nous avons regardé très rapidement cette équation et ce que nous pouvions faire bien sûr c'est de le faire pour la sphère donc si vous avez une sphère S2M ou même dimension exactement comme dans le cas de dimension 2 vous trouverez que pour une métrique qui a la même forme de volume sur la sphère, vous avez une solution très difficile mais oui, oui cette expectation est-elle dans le commutant ? non, c'est dans le commutant de la gamme amuse ok, donc commutant commutant de la gamme amuse ok vous voyez, la gamme amuse génère l'algebra C sur le commutant de C donc ce que vous pouvez faire, vous pouvez avérer si vous voulez, sur la unité de C c'est le meilleur, c'est une expectation conditionnelle donc c'est la condition de dimension 2 ou plus ? non, M est arbitraire M est arbitraire ok, donc bien sûr vous avez la sphère et la solution ce n'est pas un problème et vous avez toutes les métriques qui ont la même forme de volume ce n'est pas difficile à tout de voir mais maintenant, ce que nous essayons de faire, nous essayons de trouver une solution pour cette équation quand nous avons pris un manifold M et quand nous avons pris D sur ce manifold et tout et qu'a-t-on trouvé ? nous avons trouvé quelque chose qui était assez dévoilant parce que nous avons trouvé que si il y a une solution, Y pour cette équation, comme une fonction et tout sur M, donc en fait Y définit la map de M à la sphère S2M, ok, parce que de la compagnie évidemment il définit la map de M à la sphère et puis ce que nous avons trouvé c'est que le Jacobien de cette map n'est pas véné pourquoi ça n'est pas véné ? parce que, en fait, quand vous write cette équation, c'est une équation sur le Jacobien de la map Y et ce qui vous dit vraiment dans d'autres mots, cette équation c'est vraiment exactement dit à vous que quand vous reposez la forme de volume de la sphère vous avez la forme de volume de la manifold donc, bien sûr, ça implique que le Jacobien ne peut pas véné mais si le Jacobien ne peut pas véné ce que ça veut dire, c'est que vous avez un couvercle vous avez un couvercle smooth de la sphère maintenant la sphère, bien sûr, est simplement connectée donc, quand nous avons trouvé ça nous sommes assez désappointés parce qu'on a dit, je veux dire, bien sûr cette sphère va être de plonksise quand vous pensez physiquement je vais revenir à ça donc la sphère va être une sphère très petite donc, je me souviens, quand nous discutons avec Ali et Slava je disais, vous savez, sur ces petits boubles que vous faites quand vous êtes enfant ce que je disais, c'est que à l'époque, nous n'avons qu'à trouver une sphère de plonksise qui ressemble à une grande collection de boubles et, je veux dire, ce n'est pas très satisfacto depuis le point de vue de la physique donc, maintenant, il se trouve qu'il y a une solution magnifique pour ce problème de plus en plus de boubles avec un volume quantisé et donc un volume arbitralis mais afin d'expliquer la solution je dois faire un intermezzo par les mathématiques donc, il se trouve si vous voulez que pour trouver la solution après cet exemple, cet exemple concrète il se trouve qu'il ne faut pas sainter très bien sur ce qui était vraiment en train quand j'étais en train d'écrire ces équations et en fait, quand j'étais en train d'écrire cette équation, comme je l'ai dit j'étais en train d'utiliser le dirac opérateur le dirac opérateur mais ce qui est le sens du dirac opérateur en topologie c'est ce qu'il s'appelle c'est un cycle dans ce qu'il s'appelle la chiromologie et c'est une grande contribution de Michael Attia, en fait tu sais que Michael Attia avec Ersebrook ils ont inventé la théorie K après Grotendik, bien sûr ils ont transporté les idées de Grotendik de la théorie K pour la topologie mais dans la topologie, il y a quelque chose très bon qui est que quand vous avez une théorie chiromologie, comme la théorie K il y a automatiquement une théorie duale qui ici est appelée chiromologie maintenant, la grande découverte de Attia, et aussi le singer c'est Attia, je pense au début de l'écran c'est que les cycles chiromologiques sont en fait élevés par les représentations de Frédéric donc en particulier le dirac opérateur la façon dont vous devriez penser dans ces termes topologiques c'est de définir une classe chiromologique d'ailleurs, pourquoi parce que c'est satisfait, pourquoi il s'appelle y star et pourquoi il s'appelle la forme y equals 2e-1 donc pourquoi c'est une classe théorie K c'est un élément de classe théorie K c'est une classe théorie K et maintenant, l'équation dont vous avez écrit là-bas est une équation qui vous dit que vous avez une paire non-trivial entre chiromologie et la théorie K c'est un genre de rouleau de la théorie qui vous dit que les deux paires non-trivéliques maintenant, c'est trop naïf c'est pourquoi nous n'avons pas trouvé la solution et pourquoi c'est trop naïf c'est trop naïf pourquoi pourquoi c'est trop naïf c'est trop naïf parce que dans le travail de Suleyvan dans les années 70 et beaucoup d'autres personnes, mais surtout de Suleyvan's thesis donc, qu'est-ce que Suleyvan prouve ? vous voyez, quand vous faites géométrie vous avez plusieurs classes vous avez des manifolds mousses qui nous pensons qu'on comprend, au moins pour la définition ensuite vous avez ce qu'on appelle PL manifolds piecewise linear donc vous avez PL manifolds ok, ensuite vous avez toutes sortes de références et tout et puis ce que vous avez, c'est point carré dualité je ne vais pas écrire tous les étapes intermédiaires mais ce que vous avez point carré dualité inomologie point carré dualité space si vous voulez et c'est une ordinaire homologie maintenant, si vous voulez quand vous avez un espace qui est un manifold fermé, orienté vous savez, il a une propriété distinctive inomologie, qui est que il a point carré dualité et laissez-moi assumer que PI1 est trivial sinon vous devez prendre un groupe fondamental pour l'account assumer que PI1 est trivial donc ce que vous avez quand vous avez point carré dualité inomologie il y a un théorème de Spivak qui vous dit que vous pouvez prendre votre espace vous pouvez le mettre dans un espace nucléaire et vous pouvez le mettre dans un espace nucléaire d'une sorte que ça va avoir un genre normal bandel ok donc ça va avoir quelque chose comme des neighborhoods tubulaires si vous voulez, ça va avoir un bandel normal ok maintenant ce bandel normal en général, il ne sera pas un bandel vector il sera ce qui est appelé c'est quelque chose qui est un bandel inomotopiceur donc c'est comme un bandel sphère je veux dire, le bandel unit donc c'est quelque chose qui n'est pas linéaire microbandel dans le sens de mille noirs donc je veux dire pourquoi est-ce que c'est un bandel ? c'est un grand bandel parce que si c'était un vrai bandel puis René Thaum qui vous dit que vous appliquez un petit peu de transversalité et vous avez un manifold vous le coupez et vous avez un manifold donc si c'était un bandel vector tout le reste serait bien donc le whole issue ou si vous voulez d'abord improving la structure de ce côté à ce côté, mais je veux dire ce n'est pas le PL c'est le problème de transformer le microbandel, le normal microbandel en deux j'espère que c'est un bandel vector mais si c'est un bandel PL, c'est bien je veux dire que vous avez le droit parce que pour exemple dans dimension 4 PL et smooth c'est le même ok, donc je veux dire qu'est-ce que c'était la grande découverte de Denis Sullivan la grande découverte de Denis Sullivan si vous pouvez actually lift this microbandel to a true PL bandel it's exactly that you have k-homology you have a k-homology class ok, so the obstruction is in k-homology and what does it mean if you can lift it as a k-homology class well you pass to the orthogonal which is a tangent bundle and then what do you get you get two things no longer in homology you get point-caraduality in k-homology now you might think that these are nuances fancy nuances for topologists not at all, why because you see in topology there is a chain character which goes from k-homology to ordinary homology ok and when you compute the chain character of the fundamental class in k-homology you get point-caraduality and the point-caraduality classes of the manifold are not at all they are not given homotopically they can be extremely different for homotopic manifolds so they tell you the whole structure of the manifold essentially I mean at least rationally so in fact it's very very important for the manifold structure that you are able to lift the structure from ordinary homology to k-homology or why were we too naive before we were too naive before because we had forgotten the rule we are talking about k-homology not k-o-homology yeah or refers to orthogonal or refers to the nuance if you want that there is and how is this nuance translated when you look at Atia's version of k-homology by means of representations this nuance arises I mean this is explained in the book of Atia on k theory so the nuance between k and k-o nuance between k and k-o what is that it's an additional structure it's an additional structure on the Hilbert space h and what is this additional structure it's beautiful it has 3 meanings concretely it looks very trivial concretely it's a real structure real structure by means by what I mean I mean an operator J which is anti-linear anti-linear from H to H it satisfies that its square is plus or minus 1 I denote this by epsilon it satisfies some commutation with D I don't care about but it satisfies some commutation with gamma which I care about and which is also by plus or minus 1 now I am in the even case and this epsilon and epsilon double prime they actually distinguish between 4 different dimensions these dimensions will be valid modulo 8 they are valid modulo 8 they are related to the Clifford algebra classification and I mean there is a table don't ask me much about this table I don't know if I will remember it so there is epsilon there is epsilon double prime there is a dimension 0 dimension 2 dimension 4 and dimension 6 dimension 0 of course epsilon is 1 dimension 2 is very interesting because it has minus 1 and minus 1 dimension 4 has minus 1 and 1 and dimension 6 has 1 and minus 1 ok so that's what you get now what are the 3 meanings of J so this is extremely important so what are the 3 meanings of J 3 meanings J what are they so the first meaning of J is that unlike K theory which has just an even and a node incarnation the KO theory has 8 incarnations ok so I am only talking about the even ones, there are only 4 ones and they are governed by this whole of science ok so this is the first meaning this is the first meaning ok now so what is the second meaning the second meaning is well known to physicists the second meaning is that J is known to physicists as a charge conjugation operator ok in Euclidean, I am working in Euclidean so for physicists so for physicists J is a charge conjugation but ok this is not very surprising so far ok I mean you are sort of in well paved waters and so I mean you know but there is a third meaning and this third meaning is a key the big key ok and what is this third meaning it turns out that this J exactly with that notation is a core of Tomita's theory and what Tomita has found he has found a marvelous theorem which is that if you take an algebra in Hilbert space oh I sort of wild enough it's the most general what does it mean? well you have to assume that the algebra A acts in H ok and you don't want it to be all operators in H you don't want it to be too small either so what you ask is that it has a cyclic and separating vector ok if you don't know what this means it doesn't matter ok so you ask this condition that it has a cyclic and separating vector and then Tomita tells you that there is an operator J that does a kind of actric it sends the algebra to its commutant ok so I mean what Tomita tells you is that you have a J now which is an operator satisfying the same rules as here and which will be such that J, A, J inverse will commute with B for any A and B in the algebra so this means if you want in some sense that this operator J is restoring commutativity it's a resource it's a resource which is there and tells you that even though the algebra is not commutative you have this operator which is a substitute for commutativity which restores some commutativity sorry sorry sorry yeah sure 0 this is always 0 ok so now if you want now we understand that we were too naive when we were writing this equation this equation here we were too naive because we were not really telling that the space we are considering which is generated by say the components of the wise I mean the spectrum is a Poincaré duality manifold we are not telling it in kaomology which was a pity because we are the same language as kaomology so now we have to include in our picture and in the equation as well we have to include this operator J ok we need to include this operator J ok and this is what we did with Alisham Sedin and Slava Mukanov and and then what happens incredibly surprising I mean we were really incredibly surprised because you imitate what is done here you put in the J ok you imitate what I have done here you put in the J and what do you find well you find that because you put in the J ok because you put in the J then somehow if you want what is going on is that well and you know what we want is dimension 4 we want dimension equals 4 ok but it turns out that this dimension 4 doesn't allow you to write down the correct pathian when you look at the action for fermions and we want to correct this dimension 4 into dimension 2 ok ok ok so we would like 4 to become 2 everybody in string theory knows what to do, you add 6 plus 6 is equal to 2 but you lower 8 of course I mean you all know that ok and this dictates the structure you are looking for as far as J is concerned namely if you want to have that then what you need to have if you want is you need to have a situation like this where the real birth space if you want it will be, it will have 2 pieces I mean it will have a it will have a piece where well so I mean if you want a y it will satisfy now y4 is equal to 1 not y2 is equal to 1 there will be a piece in which y2 is equal to 1 and there will be a piece in which y2 is equal to minus 1 and these pieces will be intertwined by J so the J will flip the 2 pieces and the J will also satisfy the tomita condition of the commutativity so I mean from this you find a structure which emerges which is completely canonical and this structure actually gives you that if you want the type of Clifford algebra which I was using before that one with the gamma mus now if you want there will be 2 types of gamma mus there will be the gamma mu plus here and there will be the gamma mu minus here now how many of them there will be there will be 5 remember for the case of the two sphere we had 3 gammas so here there will be 5 gamma mus 5 of them there will be 5 of these gamma mu minus 5 of them ok and they will satisfy some rules the rules of the Clifford algebra and then then you have everything that you need to go you have everything that you need to go because you have the replacement for the gamma mus you will have the replacement easily for the y ok and you will write down a very similar equation which I will write down in short time but our great surprise came here our really great surprise came here because we looked in a table you can look in a table what do we need we need an irresistible representation of this gamma plus mu and an irresistible representation of this gamma minus mu ok you take a table of Clifford Algebras ok what do you find so you take for instance the book of Lawson any books of physics and you look at the Clifford Algebras and you look at the Clifford Algebras and we look for an irresistible representation of the gamma mu the gamma mu plus and the gamma mu minus 5 plus 5 5 plus 5, yes so you find an algebra which is C plus plus there are some C minus the C plus will correspond to an irresistible representation irresistible representation of the 5 plus of Cliff if you want of plus plus plus plus plus and the C minus will correspond to an irresistible representation of Cliff of minus minus minus minus now remember that our problem was a geometrical problem remember that our initial problem was a geometrical problem you look at tables what do you find un algebra une irresistible representation de 2x2 matrices peut-être que je suis en train de flipper les deux mais je ne pense pas que ça et celui-ci est en 4 of C maintenant à ce point nous sommes totalement mystifiés nous sommes totalement mystifiés parce que dans mon travail avec Shyam Cedin et Walter Seulekomm nous avons trouvé que l'algebra est marvellous pour encoder les transformations de la model standard avant la rébranquance c'est un peu différent de la model standard dans le sens que c'est asymptotiquement libre et c'est la plus petite extension de la model standard parce que le U1 est répliqué par un institut donc à ce point nous sommes totalement mystifiés totalement mystifiés parce que ce que ça veut dire c'est que vous demandez une question géométrique vous commencez d'une question mathématique une question géométrique et la réponse est regardez c'est beaucoup plus beau si vous n'avez pas des fonctions valides si vous avez des fonctions valides et ça vous donnera bien sûr les transformations de gaz et tout alors maintenant qu'est-ce que l'équation c'est un analog de cette équation vous savez de l'équation qui est très simple de dire c'est Z, dZ à la force 4 est equal à gamma cet Z est un peu plus compliqué parce que vous avez besoin d'utiliser le J donc n'oubliez pas qu'il y avait une relation entre le Y et la projection la projection était obtenue par prendre le Y est equal à 2e-1 donc similarellement c'est le Z le Z sera lié pas à E mais à E times G E donc si vous voulez le Z utilisez le J pour mettre la projection pas seulement dans l'algebra mais aussi dans le commutant ce qui est essentiel pour la radialité c'est le correct chose pour la radialité donc maintenant nous avons un problème géométrique nous avons un problème géométrique parce que maintenant avant nous avais cette obstruction que le Jacobien ne pouvait pas vénéche mais quand vous écoutez la nouvelle équation l'équation que j'ai évoquée ici vous n'aurez plus trouvé que le Jacobien de la map Y est equal à la forme de volume ce que vous trouvez est quelque chose plus subtile ce que vous trouvez est une équation différente vous trouvez que la forme de volume est encore peut-être élevé mais cela peut être élevé maintenant comme un summe de deux Jacobiens parce que maintenant vous avez deux maps vous avez la map si vous voulez la map Y plus qui vient de la plus donc vous avez une map Y plus sur la sphère S4, je dirais d'où vous êtes et vous avez aussi une map Y minus qui va sur la sphère et ce est la condition quand vous écoutez la condition vous trouvez que la condition est vraiment de la map Y plus la forme de volume de la sphère et vous ajoutez la sphère de la forme de volume de la sphère vous trouvez la forme de volume de la sphère de la map ok, donc c'est l'équation et maintenant à ce point avec mes deux collaborateurs nous avons un problème c'est vrai que si j'ai une forme et une forme je peux trouver deux maps sur la sphère pour que les summes de les Jacobiens de ces deux maps ne vont jamais vannuler je veux dire si ça ne vannue pas, c'est bien parce que par la sphère de la sphère vous pouvez faire une forme de volume qui a le même volume ce n'est pas difficile mais le problème est que ça ne devrait pas vannuer ok donc le problème est est-ce que ça va vannuer ou pas est-ce possible de trouver deux maps pour que ça ne vannue pas c'était un problème géométrique et ok alors j'ai pris un moment pour résoudre ce problème j'ai pris un moment pour résoudre ce problème j'ai eu l'aide de plusieurs géométres en particulier Simon Donaldson et aussi plusieurs géométres dans le Lyon et tout d'abord c'est toujours vrai que si j'ai pris c'est pas facile donc vous pouvez poser la même question dans tout le monde si vous êtes avec la sphère SN et si vous avez un manifold de la sphère SN est-ce possible de trouver deux maps pour la sphère SN d'une certaine façon les Jacobiens ne vannuent pas vous pouvez poser cette question je le dis dans dimension n selon les mathématiques principales si vous avez un problème vous devez généraliser et spécialiser pour un simple cas maintenant dans le cas de S2 M2 sera une surface compacte et c'est très facile car c'est toujours une surface ramifiée d'une sphère et si c'est une surface ramifiée c'est bien parce que vous avez un point de ramification mais ce que vous pouvez faire vous pouvez bouger le point de ramification par un petit morceau vous pouvez bouger d'où ils sont et puis des Jacobiens ne vannuent pas donc dans dimension 2 c'est clair dans dimension 3 quand vous regardez dans dimension 3 S3 c'est un peu plus compliqué parce que maintenant dans dimension 3 ce n'est pas tout en général si vous avez une map de dimension 3 à la sphère S3 le endroit où cette map va avoir des Jacobiens sera dans dimension 1 c'est une équation mais en fait c'est la beauté complexe l'analyse complexe vous dit que vous pouvez toujours trouver des couvres ramifiées où la ramification sera dans dimension 2 et c'est exactement parce que de l'analyse complexe parce que de la map si vous voulez z il y a z à la sphère c'est une équation complexe donc bien sûr mais ça n'a pas de problème parce que vous imitez l'équation complexe et puis vous avez la même chose typologiquement ce qui vous dit, c'est que vous pouvez premièrement trouver une map à la sphère S3 pour que le endroit où le déterminant déterminant vanishes où il ramifie sera dans dimension 2 en fait il sera un nôtre ou un lien il sera quelque chose comme un nôtre maintenant encore, ce que vous pouvez faire c'est que vous pouvez bouger ce nôtre à l'extérieur par un morphe oui oui oui, ce n'est pas encore le cas parce que dans dimension 4, maintenant vous avez un map de l'analyse M à S4 avec un petit peu d'une bonne chose vous allez faire cette map pour être ramifié dans dimension 2 ce code dimension 2 ce sera un surface dans M mais maintenant un surface dans M il a code dimension 2 et qu'est-ce que vous avez un n-2 plus un n-2 est equal à n c'est la même chose que dire que n est equal à 4 ok donc n est equal à 4 c'est vraiment un cas critique c'est vraiment un cas critique maintenant si vous commencez à regarder un peu plus en plus bien sûr, cela requiert de la géographie si vous commencez à regarder un peu plus en plus vous trouverez que ça ne fonctionne pas pour p2 of C donc si vous faites p2 of C si vous faites p2 of C p2 of M ce n'est pas possible pour trouver deux maps de p2 of C à la sphère S4 qui ont les propriétés que la somme de l'achacobien n'est jamais 0 et qu'est-ce que la preuve de ça la preuve n'est pas si difficile parce que c'est par la géographie de Lyon qu'est-ce que la preuve est si vous pouvez trouver un pare en fait vous pouvez trouver un pare d'open cover de votre manifold par deux sets open et comme si je prends ce pare cover, si vous voulez le bundle de tangents sera trivialisé sur les deux bien sûr, parce que le jacobien n'était pas venu sur les deux et puis cela implique que la somme de la somme de Lyon est en fait venu c'est un exercice donc si cela existe la somme de l'achacobien est equal à 0 c'est equal à 0 mais ce n'est pas vrai pour p2 of C quand vous regardez le space p2 of C c'est la somme de l'achacobien donc à ce point, on était assez inquiétant avec Ali on disait ok, peut-être que nous n'avons pas mais il y a un somme de l'achacobien je pense que c'est par cette géographie dans la Suisse bon, de toute façon je veux dire c'est un fact qui n'est pas si difficile de prouver que la somme de l'achacobien si la somme de l'achacobien est equal à 0 si la somme de l'achacobien la somme de l'achacobien est equal à 0 donc on dit ok, puis la structure n'est pas là donc la somme de l'achacobien signifie que la somme de l'achacobien est equal à 0 ok maintenant donc et puis on a trouvé la preuve que si la somme de l'achacobien est de la somme de l'achacobien pas seulement vous pouvez trouver 2 maps mais vous pouvez trouver 2 maps pour que la somme de l'achacobien soit de la somme de l'achacobien est de la somme de l'achacobien et c'est extrêmement important je vais vous donner une picture de ces maps donc 4, dans la dimension 4 donc le théorème que nous avons prouvé c'est que dans la dimension 4 donc dans la dimension 4 ok pour pour n'importe quel n n'est plus ou moins 5 il existe 2 maps phi et psi ou y plus ou minus y plus ou minus de la somme de l'achacobien et qui sont que la somme de l'achacobien est de la somme de l'achacobien plus la somme de l'achacobien c'est equal a ndalien plus la somme de l'achacobien de la somme de l'achacobien il est toujours différent avec la somme de l'achacobien de tous les cas et ce n'est pas le fruit le fruit est extrêmementufen en fait tout d'abord parce que l'achacobien choisit des géométres, que pour d'autres manifolds de dimension 4, vous pouvez l'utiliser comme un couvercle ramifié de la force sphère avec les cinq lèvres atmosphère. Donc ce que vous faites, c'est que vous l'utilisez comme une force sphère, vous l'utilisez comme une couvercle ramifié. Vous l'utilisez comme une couvercle ramifié avec les quatre lèvres atmosphère. Mais en fait, vous pouvez facilement ajouter autant de lèvres que vous voulez. Je vais vous montrer la picture. Mais puis vous êtes inquiétés parce que puis vous avez cette surface à l'intérieur, où le vénice Jacobien est, ce qui est de dimension 2, où le vénice Jacobien est. Mais c'est la beauté. Ce qui se passe, c'est que si vous faites un couvercle ramifié de la surface ici, il se termine si vous regardez closely que vous pouvez prouver que c'est parallèle. C'est venu de la structure sphère. Et parce que le couvercle ramifié a une dimension 2 homotopique et puis vous avez eu le couvercle ramifié. Donc tout est bien parce que le couvercle ramifié n'a pas une dimension 3 homotopique et puis une dimension 4 homotopique. Donc c'est très facile. Qu'est-ce que vous faites-vous ? Bien, puis vous appliquez un grand théorème de Valentin Poignardot. Valentin Poignardot prouve le suivant théorème par l'utilisation de la sphère. Il prouve que si vous utilisez une manifolde parallèle, l'open manifolde, l'open est crucial pour la dimension n. Et si c'est parallèlable, vous pouvez l'immerser dans l'arène dans la même dimension. Vous pouvez l'immerser dans l'arène dans la même dimension. Je ne suis pas resté. Donc maintenant, quand vous mettez les choses ensemble, ce que vous faites, vous utilisez ce process comme un moyen de coller les bables ensemble si vous voulez. Et puis, ce que vous avez, vous avez ce couvercle de l'original sphère par ces deux maps et vous avez le fait que l'un des Jacobiens n'est pas véné. Donc c'est le résultat principal. Maintenant, ça peut être, tout ça est un coincidence. Mais mon très, très fort belief est que ce que nous avons ici, ce que nous avons trouvé, si vous voulez, est un moyen de faire une géométrie bornée de très, très simples équations quantum mécaniques. Bien sûr, notre next step est de quantiser. Et, je veux dire, c'est lié à les modèles sigma. Je veux dire, parce que de la map à la sphère et tout. Et c'est ce que nous travaillons. Mais, mais en tout cas, si vous voulez, le framework est assez, assez intrigué, parce que c'est motivé par des mathématiques profondes pour comprendre ce qu'est le manifold. Et, et à la fin de la journée, quand vous utilisez l'action spectrale et tout ça, je veux dire, il récovers la couple de gravité pour que ce soit. Donc, je veux dire, c'est peut-être qu'il y a quelqu'un qui est rassurant à nous. Mais, ok, il y a aussi la possibilité de l'autre. Dimension 4. Dimension 4. Dimension 4 est crucial, bien sûr. Ok, donc je crois qu'on va arrêter ici. Oui. Juste, je n'ai pas obtenu ce nom de Valentin. Pouenaru. Pouenaru est un grand géométrique qui est vivant en France. Il est romanien. Il est immigré à France et il a travaillé pour plusieurs ans sur la conjecture de Pouenaru. C'est-à-dire que tous les non-compactes paralysables sont immersibles? Immersibles. Si c'est paralysable, c'est immersible dans la même dimension. Donc, tous les non-compactes libaient? Bien sûr, bien sûr. Bien sûr. Si nous voulons rêver un peu sur la quantisation, dans la classe PPL, si vous commencez par 3 régions que vous faites, vous avez une petite fraction qui est de smooth manifolds. Beaucoup sont quasi-manifolds et les deux sont singularités. Bien sûr. Mais vous vous interprétez des quantités qui sont singularités dans votre école. Ah, OK. Vous voyez, les singularités, je ne sais pas ce que je sais. Je n'ai pas complètement caractérisé les solutions. Ce que je sais c'est que les manifolds, qui sont ordinaryment smooth manifolds, sont des solutions. Mais je n'ai pas classifié toutes les solutions. Je l'ai prouvé le CRM, qui s'appelle le réconstruction CRM, qui vous dit les conditions extra pour obtenir une smooth manifold. Mais ma question est presque la même que d'avoir un terrain avec des boundaries. Oh, oui. OK. Pourquoi nous avons besoin de boundaries? Ou nous sommes aussi en train de penser. Bien sûr. Je veux dire, vous savez, pourquoi nous avons besoin de boundaries? Parce que le lien avec la quantité de gravité, bien sûr, ce n'est pas dans 4 dimensions. C'est de prendre deux manifolds de 3 dimensions et de prendre tous les co-bandes, les co-bandes entre les deux et faire le fonctionnel intégral sur ceci. Euclidean, Euclidean fonctionnel intégral. Pour cela, vous devez savoir le cas avec les boundaries. Donc, mais vous savez, je veux dire, nous sommes tous un peu léssés. Donc, je veux dire. Oui. Un petit détail. Oui. M2H est de dimension 16. Oui. En force de dimension 32, mais d'un point de 16. Oui. OK. Mais ce n'est pas ce qu'on a fait avec Ali avant qu'on a trouvé ça. Nous avons ces deux algebras, M2H et M4C. Et nous sommes disant, ce sera impossible de trouver un fonctionnel derrière ça. Parce que l'un est de dimension 16, l'autre est de dimension 32. Qu'est-ce que le raisin derrière ça ? Le raisin est que Clif, où est-il Clif ? Oui. Clif, Clif plus plus plus plus plus plus plus plus plus plus plus M2H. Mais vous avez besoin d'une présentation réduite, donc vous ne vous inquiétez pas. Peut-être une question. C'est le début de l'utilisation de cette mapie continuelle de S2 à M2C. Oui. Donc, est-ce que... Parce que... Arbitrarie continuelle map. C'est l'algebra de la mapie continuelle. S2 est un espace complexe. Si vous avez besoin d'une structure complexe, ou peut-être d'une surface limiter parce qu'il y a des compétences d'algènes. C'est un exemple spécifique d'une métrique par des structures de spin. C'est ça. Ça se généralise ? Oui, vous pouvez, vous avez tous les exemples possibles des operators d'algènes en particulier ceux qui viennent d'autres structures. Oui. Mais en général, une structure complexe ne vous donne pas une structure de spin. Elle donne une structure de spin C. Donc, cet exemple, vous l'avez utilisé ? Oui, bien sûr, bien sûr. Mais vous avez besoin de la structure de spin. Parce que de la J. Je veux dire, l'opérateur J est très, très important. Tout ce structure est extrêmement fort. Vous voyez. Et je veux dire, il tient beaucoup à Michael Atia. En fait, avec un ami, on a maintenant écrit, si vous voulez un long papier sur Michael Atia, ses contributions à la mathématique et en particulier, j'ai écrit une longue section sur la géométrie non-commutative. Comment ses idées ont joué le rôle crucial dans la géométrie non-commutative ? Ses idées sur la théorie, l'homologie et tout ça. Les gens ont fait ça pour le grand, mais c'est... C'était une grande, une très grande contribution que vous avez faite. Qu'est-ce qu'il y a d'autres questions ou commentaires ? C'est bien. Bien joué, bien joué.