 Alors, je vais parler de quelque chose qui n'est pas complètement nouveau, c'est un peu plus dur, structure de fruiteur exponentiel. Alors, pour commencer, je vais donner une définition et des motivations, des questions que je veux regarder. D'abord, la définition, ça va juste être celle de fruiteur exponentiel. Donc, un fruiteur exponentiel, c'est quoi ? C'est un fruiteur qui va partir d'une catégorie additive, et qui n'a plus qu'un module gradué. Là, c'est la catégorie additive. Puis, on l'amunit d'un morphisme. Je note V et W, les objets typiques de la catégorie A, parce que A, ça va souvent, enfin, pour les applications que vous considérez, ça va être la catégorie des espaces vectoriels, par exemple. Voilà. Donc, il y a un isomorpisme qui doit être associatif dans le sens évident. Et puis, gradué éconocatif. Et puis, on doit aussi avoir une unité. Donc, il va être un isomorpisme de K, de Z. Et puis, on doit avoir un action de l'unité aussi. Aditive. Et K, c'est un anocomutatif. Alors, doit l'exposer, K sera un anocomutatif. Et puis, bien souvent, ce sera un corps. En général, K les donne un anocomutatif. Et puis, quand j'aurai des anneaux qui ne sont pas nécessairement commutatifs, je l'appellerai K. Et l'étoile, c'est pour dire gradué. Voilà. Donc, ça, c'est pas très structureur, assez simple. Donc, on trouve dans la nature, pas mal d'exemples de ce genre de foncteur, dont j'en ai donné. Donc, d'abord, il y a des exemples de structureurs-là qui viennent de construction universelle en algèbre. Donc, par exemple, on peut prendre le foncteur qui va la catégorie des groupes aveilliens dans les groupes aveilliens. Et puis, qu'il y a un groupe aveillien A associé à Z, A, le groupe associé. Ça vérifie le Z modul libre sur A. Ça vérifie bien ses propriétés. Voilà. Donc, ça, c'est le groupe. Bien sûr, on a des choses comme, par exemple, si je vais de la catégorie du K modul, j'ai K modul gradué. Et puis, il y a un certain K modul V, j'associe, donc, je n'offre comme ça l'algèbre, gradué commutatif libre sur B. Ah non, il ne faut pas bouger, parce que tout est calculé. Ah oui, pardon. Donc, V, V, V, c'est un K modul. Et ensuite, V, c'est un K modul. Gradué ? Non. Ah oui, gradué, c'est un K modul pour que... Sinon, la graduation concentre en 32°0. Et le gradué commutatif libre, c'est aussi alterné dans le cas... C'est-à-dire, les gradués commutatifs, avec les carrés d'un père, et qu'avec zéro ? J'impose juste la relation. Là, il y a un seul tout moment dans l'exposé, peut-être, où ça va apparaître la différence entre strictement gradué commutatif avec les carrés qui sont durs et l'autre, version où j'impose juste que ça commute à un signe près. Ça ne va pas changer grand-chose. Vous pouvez prendre... Je dirais à quel moment on a besoin de... On a besoin. Donc, on peut faire la même chose avec, par exemple, un gamma qui est l'algèvre à puissance divisé libre. Et ça, c'est des objets très classiques. Donc, un autre exemple. Je peux vous montrer un petit peu ? Pas tant plus. Donc, vous avez des exemples qui proviennent de l'intopologie. Donc, exemple typique, vous provoquez un corps, et puis vous regardez le facteur qui va des groupes habiliens dans les cas que vous devez graduer, et puis qu'il y a un groupe habilléat. A, à ceci, un autre exemple très classique, la co-homologie simulière, ou l'homologie simulière, ce que vous voyez, de l'espace de l'Helene-Herbacke par N, un coefficient d'entrée. Et puis, vous pouvez faire des variations sur cet exemple standard en plaçant, ici, des espaces d'Helene-Herbacke par n'importe quel fauteur d'un d'autres qui committent au cours du lit. Et puis, l'homologie simulière, par une théorie généralisée avec un morceau de cadets. Donc, là, il faut quelque chose pour avoir exactement l'action du produit d'un souriat. On peut prendre l'homologie à la place. Bon, peut-être que l'homologie, c'est mieux que la homologie. C'est pour ça qu'on ne se pose pas de problèmes sur l'existence de cardinalité, de commutation de l'homologie et de l'utilité. Donc, on peut prendre ça. Vous pouvez avoir également des exemples qui proviennent de groupes algébriques. Alors, je donne un exemple tout simple, mais on peut faire des choses plus compliquées. Donc, là encore, vous prenez 4 raccords. Et puis, vous pouvez regarder le fauteur qui va des cas espaces vectoriels dans les cas module dans les cas espaces vectoriels gradés. Et puis, qu'il y a fait à ceci, l'achomologie irrationnelle. Donc, c'est l'achomologie en tant que groupe algébrique du groupe V+. Donc, du groupe additive sous-jacent à l'espace vectoriel V, la compagnie ici, on ne va pas. Et ça, c'est un groupe à expériences de V. Et puis, là, bon, évidemment, vous pouvez faire d'autres groupes algébriques qui dépendent, fontoriellement, de V, et prendre la comologie comme ça. Et puis, vous aurez également des facteurs exponentiels. Et puis, vous avez aussi des constructions d'agébres homologiques qui peuvent donner des facteurs exponentiels. Donc, l'achomologie irrationnelle, c'est de définir avec des coches M qui sont des fonctions rationnelles ou réguliers. C'est de dire des fonctions réguliers, pas meromorphes, mais on le prépare. Non, réguliers. Quand on dit rationnel, c'est fonctions rationnelles au sens réguliers. Donc, vous pouvez faire de la construction d'agébres homologiques. On produise des nouveaux facteurs exponentiels à partir d'un facteur exponentiel connu. Donc, par exemple, si vous prenez K à un corps, on est comme élu, par exemple, un facteur exponentiel. Et puis, vous pouvez considérer le facteur exponentiel où vous avez un produit sur le facteur exponentiel. Donc, de la manière suivante, vous épousez la cause de l'isomorphisme qui donne la définition. Et puis ici, vous prenez l'application canonique qui va de l'épouse V dans V qui est une identité sur chaque recteur. Ça vous fait un produit. Donc, E, c'est une algébre. En particulier, vous pouvez calculer son homologie d'orchide. Donc, ça, ça vous fournit un facteur exponentiel de la valeur de V. Et puis, bon, c'est juste un extrait du catalogue de tous les exemples qu'on peut avoir. Il y en a d'autres. C'est pour dire qu'un tas de constructions classiques donnent des facteurs exponentiels. Donc, c'est des facteurs qui sont intéressants. Le fait d'avoir remarqué que ces constructions classiques donnent des facteurs exponentiels, c'est à chaque fois des choses tout à fait classiques. Alors, je vais donner un petit laine qui dit encore une autre relation des facteurs exponentiels avec une autre notion. Donc, ce laine, je pense qu'on peut l'attribuer à Franck-Jouffre et Lander sous-finis de Squash & Co, peut-être. En tout cas, c'est l'un que j'ai appris. Donc, c'est si vous prenez un facteur exponentiel et puis vous considérez les applications suivantes. Donc, U, je vais considérer tout à l'heure. Qu'est-ce que l'une de ces maps est innable ? Ceci ? Regarde. C'est... Ok, c'est la seule map. Donc, c'est la seule map qui map... Ensuite, vous pouvez construire une co-multiplication. Vous avez une unité et puis une antipode. Et donc, tout ça, ça vous fait une structure d'adjacent de haut. Donc, si on définit ça, alors, émitative et dépendant contentiellement de... Ok, donc, on voit que c'est fortement lié aussi à la théorie des adjacents de hoffre, des facteurs exponentiels. Et donc, les problèmes qui se posent naturellement, depuis que je veux parler d'un exposé, c'est quelles sont les relations entre la structure de l'adjacent de hoffre ? On a juste évalué sur... Alors, souvent, je ne vais pas prendre un pas. Ça va être la compagnie d'une camodule projectif, camodule projectif sur un anneau R, camodule projectif de ce film. Le point, votre définition de l'espondentiel, tu as mis des hypothèses, de naturalité, du produit ou de film ? Oui, le film, c'est une transformation naturelle. Je suis tout en foncteur... Et puis, transformation naturelle ? Oui, naturelle envers W. Ah oui, bon, c'est réimplicit, mais... Bon, c'est important que tu sois naturel. D'accord, entre moi et ici, ça ne dépend pas naturellement, et puis même, on ne peut même pas faire toutes ces constructions. Oui, c'est bon, c'est bon. Voilà, donc, souvent, la plupart du temps, ce qui m'a intéressé, c'est lorsque A, la catégorie additive, c'est la catégorie des modules... projectif de type UNI sur un nano R, qui est déjà suffisamment compliqué pour donner des quelques résultats intéressants. Et donc, les questions, c'est quels sont... Donc, ça, c'est ce que je regarderai dans la deuxième partie, quels sont les relations entre la structure de E et la structure du fonteur exponentiel de E2R, et la structure du fonteur exponentiel E. Et puis ensuite, ce dont je veux parler dans la troisième partie, c'est qu'elle a rapport à la structure de E et la structure du fonteur sous-jacent, où j'ai oublié le phi et j'ai oublié le fonteur, qui va de la catégorie R, dans le cas du numérique. Étant donné, bon, et bien entendu, le 2, on peut le poser que... que là-dessus, autrement, il faut avoir des informations sur la catégorie A et sur les générateurs, éventuellement, la catégorie A, etc., pour pouvoir dire des choses un peu intéressantes. Alors, pour les applications pratiques, il y a également une variante qui m'intéresse. Je vais parler tout de suite quelle est la variante avec les fonteurs polinomio-strict. Maintenant, au lieu de considérer des fonteurs qui voient aller d'une catégorie additive dans les cas modules gradués, je vais considérer les fonteurs strictement analytiques. Donc, je vais écrire P, Omega, ça, c'est-à-dire, analytique. Le P se rappelle du fait que, en fait, s'ils ne sont pas analytiques, mais juste polinomio, c'est les fonteurs strictement polinomio-strictement-deur et sous-cline. Donc, j'écris ça, c'est la catégorie des fonteurs strictement analytiques. Alors, je vais vous expliquer ce que c'est, parce que je ne suppose pas que tout le monde connaît ça. Alors, pour vous expliquer ce que c'est, je vais vous donner une liste de propriétés qui sont plus parlantes que la définition, je pense. Alors, la première propriété, c'est qu'on a un facteur de bi, qui va de cette catégorie des fonteurs strictement analytiques dans la catégorie des facteurs de des cas modules projectiles dans les cas modules. Bon, je ne suppose pas qu'un fonteur soit de la bière. Voilà. La deuxième, donc, l'idée de ce fonteur là, c'est-à-dire que, en gros, vous pouvez imaginer un fonteur strictement analytique comme un brave fonteur, qui va des cas modules projectiles qui finissent dans les cas modules, et puis qui est équipé d'une certaine structure strictement analytique mais on peut y penser à l'intérieur de ça. Alors ensuite, vous avez une décomposition en poids classiquement dix ans de degrés, mais comme il y a trop de choses qui finissent par s'appeler degrés, je préfère appeler poids. Surtout qu'en plus, dans les calculs logiques, les poids des fonteurs ne comptent pas pour les graduations, les côtés gradués commutatifs, etc. Donc je préfère appeler poids comme ça, c'est clair qu'on doit parler de signe de cosu. Donc, si vous avez un fonteur F sur la forme, donc j'écris WK de F, la composante homogène de poids K, c'est pour K positif ou nul. Donc vous avez toujours une décomposition comme ça, unique. Et par ailleurs, entre deux fonteurs omega de F, entre le poids K d'un fonteur et puis un autre, et le poids L, entre deux genres de showdowns que vous avez aucun morphisme nonu, si K est différent de F. Donc tout se sépare, selon les composantes de poids, donc on peut toujours considérer en particulier tous les modules, toutes les applications naturelles, toutes les transformations du morphisme ici entre fonteurs estlectomores analytiques, sont compatibles avec le poids, ils préservent les poids, il n'y a pas de mélange de poids. Donc c'est quelque chose assez facile à manier. Ensuite, si K est encore infini, si vous avez F modèles de poids D, si K est encore infini, première chose, U est un fonteur, c'est un pongement de catégorie. Il est pleinement fidèle. Donc, qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que vous pouvez vraiment penser à vos fonteurs secteurs polymueux comme étant certains fonteurs comme ça. Et donc U est un pongement de catégorie, et puis en plus on a une description très concrète donc elle peut-être je peux vous le donner. F est strictement polinomial, strictement analytique. Homogène de poids D ça veut dire la même chose que quand vous regardez l'effet sur les morphismes, ça c'est une application poliniale polinom de degré A au sens polinom entre modules, c'est les modules projectifs de type UNI donc il n'y a aucun problème à définir ce que c'est par polinom. Ça vous donne une vision concrète si K est encore infini. Homogène. Oui oui, homogène. A quoi ça sert ces fonteurs ? Donc maintenant la propriété suivante ça veut dire pourquoi je suis intéressé par ce genre de choses donc c'est lié aux représentations des groupes et des groupes algébriques discrets ou algébriques. Si vous prenez un fonteur en général un fonteur F qui va de fonteurs des câbles modules projectifs de type UNI dans les câbles modules vous prenez un fonteur F ici et puis vous l'évaluez vous regardez F vous vous souvenez que c'était un fonteur donc par fonctorialité les endomorphismes de K puissance agis sur ce K module. Et comme les endomorphismes agis en particulier les endomorphismes inversibles agis et donc vous avez la autre chose que GLN DK module. GLN de K module c'est juste une représentation sur K de GLN de K GLN de K c'est gros discrets. Maintenant en ce qui se passe directement à l'analythique c'est qu'ils sont fabriqués de façon à ce que si vous faites la même opération vous avez un GLN de K module mais cette fois l'action est rationnelle c'est-à-dire que si vous voulez même si on est sur des corps et puis ça c'est de dimension finie c'est des fonctions régulières essentiellement qui donnent l'action. Je note pareil le gros discrets du groupe LGBT et ça c'est le groupe DK. Evidemment toutes les représentations ici il y a des tas de représentations des groupes discrets qui ne viennent pas de représentation du groupe algébrique de la même manière qu'il y a des tas de foncteurs ici qui ne proviennent pas de foncteurs strictement analytiques Vous avez des foncteurs d'oubli bien sûr ici où j'oublie simplement là c'est le foncteur DK. Donc j'oublie les actions de tous les autres groupes avec les autres coefficients et puis ici c'est juste j'oublie la structure strictement et puis c'est pas tout à fait correct mais on peut regarder ce diagramme et avoir une assez bonne idée de ce que c'est que ce truc là en disant que ça c'est un genre de diagramme de pullback. C'est pas correct hein mais si vous avez jamais vu ça ça vous donne une bonne idée pour l'exposer. Et puis alors je vais finir par un exemple de chose entre inais subtile Donc c'est pas exactement un pullback ? Non. Et si on y pense comme ça on a une bonne idée de l'information qui est contenue dans la catégorie. C'est comme ça que j'y pense, d'accord ? Tout en sachant que ce n'est pas vrai. Et puis je vais peut-être mettre des guillemets parce que quand on les connaît évidemment c'est les choses de base mais voilà. Donc vous prenez un cas encore et vous prenez hier ici ça c'est le foncteur de torsion de problemus c'est le foncteur qui est évalué par les puissances p puissances R et N de V et puis c'est juste le foncteur qui est revendré par l'image d'un V et revendré par le V p puissances R ça c'est un pullback Donc ça c'est un foncteur strictement polinomien je vais pas donner d'exemple des exemples classiques P est la caractéristique du corps Pe est la caractéristique du corps donc exemple vous pouvez prendre des puissances symétriques ou les puissances divisées donc ça c'est la composante homogène de poids P des puissances symétriques homogène de poids P la gèvre extérieure ça vous convient des foncteurs qui en fait vivent ici ils sont homogènes de poids, je devrais qu'ils les indexent ok donc il y a beaucoup de constructions classiques de base d'algènes linéaires vos fourmices des foncteurs strictement polinomien ou strictement analytiques et donc voilà une autre une autre construction des gens qui ne travaillent pas caractéristiques les connaissent bien on peut prendre à l'intérieur de ça des géants sous espaces vectoriques en général par les puissances P et puissances R et M ça dépend fortoriellement de V la construction de Provenus et si M4 égale Fp donc là R peut être n'importe quel nombre entier positif ou nul maintenant si K égale Fp j'ai eu le foncteur identité pour tout l'air mais ce foncteur là c'est les noyaux c'est un foncteur homogène de poids P de puissances R donc ceux là en particulier ne sont pas isomorphes dans les foncteurs strictement analytiques bon alors ça c'est un exemple de ce qui peut se passer donc j'ai des foncteurs de poids différents qui ici deviennent les mêmes il y a aussi des exemples c'est la structure à trouver de foncteurs qui ont le même poids qui sont homogènes de même poids qui n'ont pas de morphismes entre eux ici et qui se deviennent isomorphes c'est pas très difficile on peut même fabriquer des choses comme ça qui sont pas loin d'être des foncteurs simples quelle est la différence entre strictement analytiques et strictement polinomiaux alors les foncteurs de Friedland de la Sousseline qui étaient strictement polinomiaux c'est juste que ici ils imposaient que la décomposition soit super finie et ce qui fait que bon comme il n'y a que des polinomiaux homogènes dans certains points c'est borné c'est comme un polinome alors que là c'est comme voilà donc il n'y a rien de il n'y a rien de créatif dans le monde c'est normalité c'est juste pour indiquer qu'on va prendre des sommages la manipulation de tableau commence à être c'est la partie compliquée de l'exposé bon il essaie de ne pas qu'il y a rien dans la tableau parfait alors donc voilà pour la variante et bien sûr on peut faire un défoncteur exponentiel strict donc la définition que j'ai écrite tout à l'heure peut s'appliquer au lieu de prendre des foncteurs de A dans des câbles du gradué vous prenez des foncteurs analytiques strictes de gradué et la définition marche encore donc définition de foncteur exponentiel d'un sens dans le cadre et puis bien sûr vous avez les mêmes questions qui peuvent se poser les mêmes problèmes de structure qui sont encore en tableau un peu plus haut alors c'est pas terrible question de vie oui oui est ce que vous pouvez préciser la définition dans ce cadre alors c'est juste un foncteur exponentiel strict fini de un isomorphisme a fui de E2V dans E E2V alors il faut que ce soit un morphe de foncteur exponentiel strict à deux variables on imagine qu'on peut faire des foncteurs exponentiel strict à deux variables analytique strict un morphe de foncteur analytique strict à deux variables et puis avec une unité avec une graduation pardon qu'est ce qu'il y a une graduation ici comme tous les morphe respectent comme les graduations, il y a des graduations qui sont implicites il y a des choses parce qu'il y a le poids et la graduation il y a le poids et la graduation ce qui sont différents oui tout à fait, qui sont différents c'est pas priori, qui sont différents ok voilà et il y a une autre chose intéressante un autre problème encore intéressant c'est qu'est ce qui se passe avec le foncteur d'oubli si vous prenez le foncteur d'oubli vous avez les foncteurs exponentiels strict la catégorie des foncteurs exponentiels strict donc c'est cela sur k et puis ici vous avez les foncteurs exponentiels au sens ordinaire avec par exemple avec à la source les cabodules j'espère que tout le monde comprend mes notations et si vous avez le foncteur d'oubli que mon foncteur exponentiel est strict quelle soit le propriété de ce foncteur évidemment ici les foncteurs exponentiels strict j'ai insisté là dessus, on a une décomposition en poids en plus de la décomposition par rapport au degré et c'est pas du tout clair que ici tous les foncteurs puissent avoir une décomposition avec des quoi il y a des foncteurs qui n'aiment pas une décomposition avec des quoi donc ils sont pas dans l'image mais à part ces choses idiotes qu'est ce qu'on peut dire alors allons-y par exemple je vais donner des émencés alors pour comparer les foncteurs exponentiels strict et les adjectifs de HOP le foncteur exponentiel, pardon, les adjectifs de HOP et puis je vais donner quelques exemples les adjectifs de HOP sont toujours bicomutatives gradules bicomutatives gradules oui ou abélien alors la première chose c'est que si vous prenez la catégorie des foncteurs exponentiels ordinaire pour le sens le plus ordinaire qui va de la catégorie des câbles du projet type d'entitie et puis vous évaluez sur carb c'est ce que j'ai raconté au tout début donc E vous obtenez une agence de HOP bicomutatives gradules c'est en forme d'indices qui sont censées être transparents et alors ici on pourra le faire de même un anneau catholique et puis évaluer sur Père plutôt et là c'est un anneau commutatif dans l'exposé et pour les applications c'est souvent encore mais pas pour c'est vrai R j'impose pas que ce soit forcément le même anneau R pour donner la convention du plus exposé quand je dis R, l'anneau n'est pas forcément commutatif mais bon alors donc on a l'évaluation comme ceci bien sûr et puis alors ça peut pas être évidemment une équivalence de catégorie ne serait-ce que parce que ici déjà on n'oublie quelque chose d'important on n'oublie que déjà j'ai une action de R sur cet objet simplement à cause de la fonctionnalité de donc en fait au minimum je vais dans les armes modules comme ça et donc proposition si vous n'oubliez pas qui est très facile à démontrer mais une fois qu'on l'a remarqué ça permet de faire certaines choses je vais vous donner un exemple c'est une équivalence de catégorie c'est pas très difficile en fait un foncteur exponentiel qu'est-ce que c'est je nous ai dit en fait quand on avait un foncteur exponentiel on avait une famille d'ajub d'offres qui dépendaient fonctoriellement de la variété maintenant si on regarde le morphisme phi qui dit que O2V dans ce R2W c'est l'isomorph à O2G plus W ce morphisme phi en fait est compatible avec la structure d'ajub de offres et il veut simplement dire qu'un foncteur exponentiel je peux le voir également c'est la même chose qu'un foncteur additif d'abord qu'un foncteur de la catégorie dans un jet d'offres je peux réduire une structure additive mais alors ici j'ai une structure additive le poids du temps sortiel comme je suis dans un jet d'offres bi-commutative, c'est juste un foncteur additif et puis c'est pas trop difficile les foncteurs additifs c'est une catégorie additive avec des idées de potence indées donc on peut appliquer le théorème d'Ellenberg-Wex, la classification des foncteurs additifs et ça donne ça c'est-à-dire un algebre de propagation avec c'est-à-dire ce qui dit que un foncteur additive de cette catégorie additive c'est équivalent à la catégorie des R2W dans la catégorie classification de l'application des foncteurs additifs pour Ellenberg-Wex, s'ils le font entre modules sur des anneaux mais ça marche dans un cadre très général ça date des années 50 en particulier donc on connaît très bien on comprend bien la relation entre ces deux types d'objets alors j'ai promis des applications donc je vais essayer de promis au fur et à mesure que je donne des théorèmes je vais essayer de donner des petits exemples qui expliquent pourquoi ça peut être intéressant d'avoir une théorie un peu générale des foncteurs exponentiels pour répondre à un certain nombre de questions donc je vais donner un exemple ici alors l'exemple 1 c'est vous prenez vous prenez le foncteur qui va des f2 d'espaces vécoréennes dans la f2 d'espaces vécoréennes et puis qu'il y avait un souci alors on l'apprend z sur 6z pour qu'on t'en sourise sur le corps sur l'anoméco-efficient de BV voilà donc on regarde ça et ce foncteur là est autoduel c'est un théorème qui est dû à couillette dans sa thèse et donc c'est pas du tout la même chose c'est pas de cette manière là qu'il a démontré mais voilà une démonstration c'est-à-dire j'applique la dualité pour peut-être mettre V dual comme ça ça devient co-variant comme foncteur on applique la dualité à l'intérieur et à l'extérieur la dualité des f2 d'espaces vécoréennes on retombe sur le même foncteur comment ça se voit démonstration essentiellement j'arrive dans les f2 modules les f2 modules dans les f2 il n'y a rien à dire c'est les f2 modules deux fois l'identité égale 0 c'est pas une catégorie mystérieuse donc je regarde la f2 que j'obtiens je regarde la f2 ça c'est f2 xx avec la diagonale calculée par couillette donc delta2x x1 à 1 plus 1 sans x plus x2 sans x2 ça c'est un espace vector du dimension 4 je regarde l'espace dual je dualiste toutes les opérations et puis ça c'est une action de photo dual c'est quoi, k2 ? c'est la deuxième catégorie de Morava vous pouvez préciser encore ce qu'il y a en f2 modules dans la catégorie c'est un f2 module un f2 module dans la catégorie d'un f2 module ça veut dire que j'ai un f2 module j'ai un morphisme d'un f2 en 2h les ordres de morphisme comme un f2 en ordres de morphisme comme un f2 c'est f2 modules dans ces ordres de morphisme ça veut dire que ces ordres de morphisme sont caractéristiques les identités ça veut dire 2 fois l'identité c'est clair dans le sens d'addition dans le sens d'addition qu'est la convolution de morphisme d'Ajab D'Op l'addition dans l'Ajab Bicomettatif c'est la convolution des morphismes d'Ajab D'Op qu'on obtient avec la code diagonale je branche les deux morphismes et puis ensuite la multiplication donc la code diagonale vous suivez par la multiplication elle a augmenté exactement c'est tout à fait ça donc cet Ajab D'Op est autodial et c'est fini voir quel est autodial c'est un calcul que je ne vais pas vous faire ça prend quelques lits quelle est la puissance ton cul y sont cul c'est x4 il faut tuer c'est un peu mieux sinon ça ne colle pas très bien merci voilà donc voilà un peu de choses avec des remarques complètement élémentaires voilà ce que l'on peut faire alors maintenant un théorème à un point élémentaire c'est ce qui se passe avec le compteur Expansiel Strict donc si je regarde un compteur Expansiel Strict je vous ai dit je peux l'évaluer sur K et j'obtiens un nouveau Ajab D'Op traduit Bicomettatif sur K bien sûr j'ai l'action des éléments de K sur l'anneau des endomorphistes mais c'est pas ça que j'ai regardé alors je vais quand même me souvenir donc je me suis posé que K est parfait j'ai besoin que K est parfait pour l'instant mais je suppose que c'est pas en fait archi nécessaire mais on sait bien que les Ajab D'Op sur les corps qui ne sont pas parfaits c'est plus compliqué alors... il n'y a rien en caractéristique 0 il n'y a pas d'intéressant caractéristique P alors je vais dire P positif comme ça ça ira plus vite en caractéristique 0 vous avez que les puissances ségétriques des endécomposables en caractéristique P il y a des choses intéressantes donc on arrive là-dedans j'ai pas retenu toute l'information mais j'ai retenu ça par contre il y a une autre structure qui est importante c'est celle des poids donc je mets ici Omega pour dire que j'ai une deuxième graduation que la graduation par le poids voilà et donc j'ai une belle morpheus d'évaluation et maintenant vous avez un théorème qui nous dit que cette fois c'est vraiment un théorème parce que la démonstration ne fait pas de ligne qui vous dit que c'est un équivalent de catégories alors je ne vais pas donner la démonstration peut-être si il y a des gens qui ont des questions je donnerai des précisions mais essentiellement l'ingrédient principal ça repose sur la théorie des puissances divisées par les Ajab D'Op et suite de puissances divisées donc des choses qui doit être des années 70 c'est très bien compris voilà alors qu'est-ce qu'on peut faire avec ça avec ça on peut répondre aux questions sur les relations entre les fonteurs strictement homoméo exponentiel et les fonteurs exponentiels au sens ordinaire et la réponse c'est surprenant au moins pour moi parce qu'on obtient ce genre d'application exemple 2 donc si vous regardez E, je prends K égale Fp pour simplifier mais sur un corps parfait quelqu'un on comprend complètement ce qui se passe le fonteur U est complètement compris mais sur un corps parfait quand je prends un corps premier c'est particulièrement particulièrement simple donc la donnée de décomposition un fonteur exponentiel Fp extra vectoriel Fp extra vectoriel graduée est équivalent à la donnée une structure strictement polinomiale ça pour moi c'était un peu évident donc en gros qu'est-ce que ça vous dit ça vous dit que parce qu'il faut bien voir la décomposition en poids qu'est-ce que c'est je vous ai dit les folcteurs strictement analytiques c'était des folcteurs qui étaient reliés aux actions de GLN agébriques quand je pense à la décomposition en poids je suis juste en train de regarder de penser les folcteurs si je pense que la décomposition en poids je suis juste en train de retenir l'information qui est donnée par l'action des homothécies de GLN donc ce truc-là vous dit que si je connais l'action des homothécies de GLN je connais l'action de tout GLN sur mon fonteur je n'y croyais pas vraiment et alors comment on voit ça et le temps de joues pas drôles là-dedans le temps diagonale joues pas drôles là-dedans non pourquoi on le récupère oui on le récupère on récupère tout on appartient juste des homothécies c'est un peu bien là sur KLégalFP c'est très facile parce que ici on a une équivalence de catégorie comme ça et puis elle factorise à travers j'ai créé une diagramme commutative avec les folcteurs de B si vous avez les choses non strict et puis ici vous avez l'évaluation et si vous avez l'évaluation donc ici vous avez FP hop ici vous avez l'oubli du poids et comme si vous avez des équivalences de catégorie alors en général en général c'est le plus compliqué que ça tout le monde il n'y a pas de poids c'est l'oubli du poids donc en général qu'est-ce qu'il se passe quand le corps est pas juste FP mais un peu plus gros il peut y avoir plusieurs fonteurs il y a certaines distributions de poids qui ne peuvent pas provenir de fonteurs strict et de plus il peut y avoir éventuellement oui c'est essentiellement ça et donc il y a une action du corps sur la catégorie ici et en force de cette action on prend exactement tout ce qu'il se passe et l'action du groupe de Galois correspond essentiellement à précomposer les fonctions essentielles par détention de fromites et encore peut-être que je parlais de la définition de FP, hop, étoile, omega oui donc ça c'est Zadjab de hop alors il y a bico mutative aussi bico mutative sur car qui sont gradués bien sûr et gradués commutatives et puis omega c'est pour dire qu'en plus j'ai des compositions en poids et FP c'est un excès et FP c'est les FP modules dans cette catégorie donc ça veut dire juste que les anneaux d'endomorphisme dans cette catégorie des objets que je considère ça c'est la sous-catégorie pleine ah c'est ça que les anneaux d'endomorphisme dont les objets sont ceux dont les anneaux d'endomorphisme sont caractéristiques je peux me dire que la convolution de l'identité des formes et celles de maisons exactement c'est ça voilà pour les compositions en poids de la facture exponentielle de la composition quelconque il faut avoir compétibilité avec l'action non bien sûr quand je dis des compositions en poids ici il faut que la multiplication, la commutification etc toutes les opérations préservent les poids non mais des compositions en poids d'un facture exponentiel c'est une composition quelconque et compatible avec il faut juste que la décomposition en poids il faut juste que ce soit gradué par rapport au poids c'est bi-gradué avec une graduation par rapport au degré une graduation par rapport au poids c'est dénoncé la première partie de dénoncé qu'est ce que c'est que la décomposition en poids ça veut dire un relève donner une décomposition en poids ça veut dire que dans chaque degré j'écris EI égale la somme des trucs en poids et que les opérations sont compatibles ça veut dire la même chose la donner un relèvement ici bon alors peut-être que je vais pas comme le port presse il y a des résultats supplémentaires qui sont ensuite qu'est ce que je peux oublier de la structure de la structure de l'algerbe de HOP sur E et quand même réussir en ayant oublié une partie de la structure de l'algerbe de HOP reconstituer est-ce que parfois je peux reconstituer le facture exponentiel en général c'est non c'est ce que je vais dans le catégorie ça marche par exemple les factures qui sont des agents gradués comme d'autatifs connex une fois que j'ai oublié la commodification, la fonctionnalité etc pour cela on sait que et avec quelques petites hypothèses on arrive à reconstituer le facture exponentiel partir de ça et c'est utile dans certains calculs l'idée c'est qu'il y a certains calculs qu'on sait faire non fonctionnellement et gratuitement on récupère la fonctionnalité par exemple pour calculer les barres constructions littérées par exemple sur deux factures exponentielles et puis ces deux factures exponentielles ils sont mis au connex et puis ils sont isomorphes en tant qu'algèbres et non fonctionnellement alors l'homologie des constructions barres soit isomorphes, fonctionnellement donc c'est gratuit bon je vais passer ça je voudrais donner encore une application peut-être un petit peu plus intéressante et surtout je voudrais parler donc ça c'est la partie facile qui est qu'est ce qui se passe entre la relation entre un facture exponentiel et le facture subjacent ou j'oublie la structure exponentie donc il reste 5 minutes pour parler de ça donc c'est juste un facture subjacent donc ici je vais appeler F ma catégorie de facture soit la catégorie de facture de la catégorie additive de la camodule de l'avant ou la catégorie de facture strictement indique sur K il y a un facture de B qui n'est pas le même facture du B là je vais mettre la note A celui-là qui va dans les factures graduées donc O2E c'est E mais avec oubli du morphisme, avec oubli le phi donc ici un facture expensé c'est un truc d'E et la question c'est qu'est ce que je peux dire là-dessus alors là c'est un petit peu plus compliqué on peut quand même dire des choses mais j'ai pas de réponse totalement définitive donc une des choses je vais donner un premier énoncé qui est élémentaire et qui permet de faire des choses qui permet de retrouver des résultats connus de manière assez simple je vais vous expliquer ça je vais vous donner de l'application et après je vous expliquerai les questions qui restent donc je vais vous donner un exemple d'énoncé facile octogène alors avec des factures expensées strictes alors propositions donc vous avez un facture expensé strict alors ce genre de relations ici ce genre de questions que je m'intéresse il y a des questions de théorie de représentation j'espère que mon exemple va vous convaincre de ça alors j'ai un facture expensé strict et puis je regarde sa décomposition en poids et puis je constate sur sa décomposition en poids que j'ai personne entre les poids zéro et plus puissance alors comment on démontre ça c'est pas très difficile vous filtrer le facture expensé pour voir sa filtration d'augmentation pour regarder le gradué le gradué ça mérifie les mêmes choses et puis le gradué c'est un facture d'une algèbe symétrique et puis les indécomposables d'un facture expensé sont forcément des factures additives donc ça doit être quelque chose comme l'attention propéduse et donc le gradué de ce truc-là est un facture d'un facture d'algèbre gradué commutatif libre sur des factures de qu'on comprend sur les factures qui sont au moins la torsion R donc j'ai cette factorisation-là facilement pour le gradué et puis après je l'utilise le fait que les factures précomposées par la facture de torsion de promenus forment une catégorie épaisse des factures strictement analytiques et c'est fini qu'est-ce qu'on peut avoir comme application de ça donc je l'expliquais un théorique de Cohen, Hammer et Nakano donc ça c'est un article de 2010 un peu plus recent donc ce qu'il est intéressé c'est la théorie de représentation du groupe symétrique alors Cohen c'est Fred Cohen donc vous allez tout de suite voir pourquoi Hammer et Nakano c'est le théoricien des représentations donc qui s'intéresse à la représentation du groupe symétrique et donc ce qu'il les intéressait c'est de calculer ce genre de choses-là l'homologie du groupe symétrique à coefficient dans ce genre de représentation ici le groupe symétrique agit par permutation des produits tensoriels évidemment comme l'action est compatible avec l'action de GLM ici il y a une action de GLM de GLV puis il se trouve que comme tout est bien algébrique c'est bien une représentation polinomiale de GLV donc une grosse partie de leur article du côté technique c'est pour réussir à calculer ce genre de choses-là et puis après comme on a l'action de GLV on peut séparer par exemple avec l'action du tort diagonale on peut séparer des tas de bouts ici à l'intérieur qui correspond à la homologie de Simon à coefficient dans des facteurs directs ici et puis après avec l'action de GLV il diluise des tas de choses qui étaient incondues sur la homologie du groupe symétrique et puis il dilue des modules qui sont reliés donc ils vont calculer ça et donc la méthode de calcul 100 caratastiques p 100 caratastiques 0 il n'y a rien de fou c'est un gros fini donc la la méthode de calcul déjà en poursuit le théoricien des représentations qui disait qu'ils étaient très intéressés par le résultat de l'article j'ai écras par les méthodes pourquoi ? parce que la méthode de calcul c'est essentiellement relier ça à l'homologie depuis x pour x un espace tel que l'atomologie révite de x à p2 et puis donc à partir de ça on peut récupérer tous ces tous ces trucs là en même temps quand ils font le calcul ici il s'est gradué mais la graduation ne les intéresse pas et ensuite ce genre de choses là récupèrent tout cela pour tous les n en même temps et ensuite l'action de GLB ici qui permet de séparer notamment les différents bouts pour les différents n puisque ça correspond au module de l'action du temps dégonal par exemple ensuite l'action de GLB et récupérer à partir des opérations d'ailleurs la chauffe sur ce genre de choses pour les gens qui font des modules sur le groupe symétrique de manière assez technique et combinatoire voir un espace comme ça plus les opérations d'ailleurs la chauffe c'est assez effrayant d'ailleurs la chauffe oui il y a deux autres donc je ne suis pas à la place des douteurs mais on voit qui a contribué donc c'est certainement fait de coréne qui a contribué cette partie-là pour faire le calcul et donc voilà ça s'apposa et à la fin ce dont il se serve le résultat qui est utile utile pour l'intervénère présentation c'est essentiellement le résultat suivant le corollaire suivant puis le calcul c'est le corollaire suivant c'est que si vous regardez la comologie c'est de la forme une certaine somme directe de module de la forme SG2V penseur une certaine représentation qui est ordue par la torsion de produit alors pourquoi c'est utile étudier la structure des fauteurs exponentielles la base est graduée par contre du côté topologie que V est graduée puisque c'est la comologie d'un espace mais du côté représentation on suffit de la fabriquer de V c'est pas celle-là qui est intéressante donc la définition de la gemme symétrique ça dépend de non ici c'est non gradué j'ai pas mis plus ou moins donc c'est vraiment la gemme symétrique c'est la gemme symétrique c'est différent non plus que non si on parle la gemme verte le problème à V n'est pas non c'est bon c'est bon c'est bon je me fais embrouiller ça fait parfaitement sens c'est détenseur D comme GSV module d'accord et le D n'a pas à voir avec le N ici ça c'est un représentation polynomiale et la somme ici donc c'est une certaine somme de représentation de ce type-là avec GSV qui agit ici voilà je prends l'écho invariant sous l'action du boxymétrique c'est-à-dire le puissance symétrique détenseur quelque chose d'autre et le M dépend de D et puis je vais écrire D positif comme ça vous aurez une je ne dis pas exactement ce que c'est de tout là c'est un puissance symétrique avec des puissons d'une action de sigmarin sur V tesoriel N est-ce que V est gradué en utilisant la règle de Cousoulo ? non V est sans graduations c'est sans graduations donc je vais finir juste en disant que en fait c'est un résultat au moins le corollaire est facile à obtenir et en fait le calcul général est facile à obtenir à partir du calcul donc vous lisez la réponse et puis et puis à partir de ce calcul-là on peut trouver essentiellement parce que dans un M vous avez des descriptions comme algèbres et ce truc-là c'est un agèbre symétrique gradué connex et donc on peut récupérer le fructeur exponentiel derrière ah oui donc l'idée maintenant c'est que si vous faites la somme pour tous les N donc de ces trucs-là ça c'est un fructeur exponentiel strict comme tous les fructeurs exponentiels il peut s'écrire donc ça je vais appeler ça H2B H2B quand c'est une algèbre de hove ça s'écrit et puis ça ça c'est un fructeur exponentiel qui n'a rien entre 0 et 2 parce que essentiellement tout ce qu'il comprend entre poids à 0 et B c'est un fructeur exponentiel qui n'a rien entre 0 et 2 et ce qu'il comprend entre poids à 0 et B c'est pris dans cette partie-là et ça ça se voit de manière très facile bon et voilà et donc si on fait ça on récupère le corollaire sur la forme des représentations sans faire aucun calcul et ensuite on peut également récupérer les calculs avec d'autres termes de souffle voilà je vais m'arrêter donc on va prendre d'abord quelques questions à Tunis puis ensuite à Pat est-ce qu'il y a des questions ? oui deux petites questions pour me récréer vous partez de catégories adéptives c'est-à-dire est-ce que là à chaque fois on voit plutôt la catégorie de zamodule dans le cas de la catégorie de zamodule si on prend un corps c'est quoi la catégorie des fructeurs exponentiels c'est la catégorie de zamodule donc c'est la catégorie des cas d'espace éclair si on prend est-ce que ça donne quelque chose de particulier si on prend ici r égale z c'est ça la question ? une z à oui si on prend r égale z ça donne ça d'accord en z module c'est rien une z à jeppe c'est juste un anneau donc si vous mettez a d'ici vous aurez ici juste la catégorie des ajebes de hock bicomutative graduée vous n'avez plus le problème de module dans cette catégorie si on prend une catégorie un quelconque alors là par contre on est ennuyé il faut savoir des choses sur la catégorie parce que en général c'est pas sûr qu'elle est déjà elle serait bien gentille si elle avait plusieurs anomfini de générateur additif on sait pas exactement comment on peut recoller on comprend les facteurs exponentiels sur toutes les subcategories additifs générées par un léger mais on comprend pas forcément bien comment ça se recolle donc avec un a quelconque donc ça c'est avec les z mais par contre avec un a quelconque une catégorie additif quelconque qui n'est pas module projectif là alors là je ne sais pas déjà classifier les facteurs juste additifs de a dans le cas module c'est tout évident donc si on connait a après ray je peux rien dire si on connait rien sur a de plus spécifique donc au départ dans la catégorie il faut parler de somme et de produit et la somme est la même chose comme on arrive parce que pour la catégorie c'est clair qu'on a la somme et le produit c'est la même chose et donc la géreté en sorrière et la géreté exérieure je me préfère par rapport à somme et sinon classification oui oui on peut dire classification oui dans le sens où on a montré que ces choses là ces objets qui interviennent comme ça c'est la même chose que ces objets là qui sont relativement bien compris qui font partie des mathématiques classiques donc c'est dans le sens ça bon et puis avec une catégorie 1 quelqu'un que je ne sais pas classifier d'autres questions questions ici pas d'autres questions ici merci est-ce qu'il y a des questions à Paris il y a eu déjà pas mal de questions mais je peux avoir des questions r n'est pas nécessairement commutative non et le morphe de la module c'est actuellement sur l'autre côté c'est l'opposite oui exactement c'est sur la droite c'est sur la droite c'est sur la gauche mais je ne voulais pas dire quelque chose sur la gauche, sur la droite, sur le côté pas sur la gauche le point est que au début quand j'ai écrit il y a un article qui n'est pas complet c'est toujours des notations et puis dans le proof magique c'est sur la droite ok, pas d'autres questions bon, s'il n'y a pas d'autres questions on remercie le rater