 En 1975, Benoît Mandelbrot invente le mot « fractal » qui permet enfin de mettre un nom à tous les monstres nés des mathématiques durant les deux siècles qui ont précédé. Des objets qui sont beaucoup trop périguliers pour être analysés par la géométrie classique. Sous le terme « fractal », on regroupe les objets autosimilaires où l'image se retrouve à l'identique à toute échelle, comme le triangle de Serpinski, l'éponge de Menger ou même le chou Romanesco. On y trouve aussi des objets manquant cruellement de lister, comme le mouvement bronien, les fonctions de Weierstrass ou même les courbes de la bourse. Au milieu de toutes ces fractales, on y retrouve un roi incontesté, l'ensemble de Mandelbrot. Il s'agit d'une fractale dont la complexité semble infinie, mais qui est pourtant régie par une formule considérablement plus simple, Z au carré plus C. Ça tombe bien, j'ai 2 minutes pour en parler. Avant de parler de ces fractales, il est nécessaire de parler dans les grandes lignes des nombres complexes. En temps normal, pour parler des nombres complexes, on dit qu'il existe un nombre I dont le carré est égal à moins 1, que c'est très bizarre parce que les nombres négatifs n'ont pas de racine carré mais que si on regarde bien, c'est certes bizarre mais pas absurde pour un mathématicien. Bon, plutôt que partir sur ces considérations algébriques, je vais parler seulement de leurs géométries. En simplifiant, on peut dire qu'un nombre réel, c'est un nombre que l'on peut placer sur un axe, l'axe des nombres réels. Un nombre complexe, c'est comme un nombre réel, sauf qu'il n'existe pas que sur un seul axe mais sur deux, l'axe des réels et l'axe des imaginaires. Ainsi, un nombre complexe est un nombre composé de deux nombres réels, sa partie réelle et sa partie imaginaire. On pourra les noter sous la forme A plus IB ou A désigne la partie réelle et B désigne la partie imaginaire. Mais les nombres complexes restent avant tout des nombres, on peut entre autres les additionner, les multiplier ou même les mettre au carré. Additionner deux nombres complexes, c'est plutôt facile puisqu'il suffit d'ajouter d'un côté les parties réelles et de l'autre côté les parties imaginaires. Graphiquement, ajouter un nombre complexe à un autre nombre se traduira par une translation. Par exemple, ajouter un à un nombre complexe correspond à un déplacement d'un cran vers la droite. Rajouter trois plus deux I, ça sera un déplacement de trois unités vers la droite et de deux unités vers le haut. Pour la multiplication de deux complexes, c'est un peu plus tordu puisqu'on a besoin de leurs normes et de leurs arguments. D'un côté, il y a l'argument des nombres complexes. L'argument, c'est l'angle formé entre le nombre et l'axe des réels. Pour multiplier deux nombres complexes, on commencera par additionner leurs arguments. De l'autre côté, il y a la norme qui correspond à la distance entre le nombre complexe et l'origine du repère. Quand on multiplie deux nombres complexes, on multipliera ces deux normes. Finalement, pour multiplier deux complexes, il faut ajouter les arguments et multiplier les modules. Du coup, et c'est ça qui nous intéressera, pour multiplier un nombre complexe par lui-même, il faudra doubler son argument puis mettre au carré sa norme. Maintenant que l'on a défini ces deux opérations, on peut regarder ce qu'il se passe quand on applique un nombre complexe d'une fonction. Prenons par exemple l'application z au carré moins trois quarts et partons par exemple d'un nombre un plusi. On va donc commencer par élever ce nombre au carré, c'est-à-dire que son argument qui vaut 45 degrés est doublé et que son module qui vaut racine de deux est mis au carré. On tombe alors sur le nombre d'argument 90 degrés et de module deux, c'est-à-dire le nombre complexe 0 plus 2i. Il ne reste plus qu'à ajouter moins trois quarts et on tombe donc sur le nombre moins trois quarts plus 2i. Mais cette opération peut la répéter à partir du point emplenu. On double l'argument, on met le module au carré et on ajoute moins trois quarts. On tombe alors sur moins 4,2, moins 3i. On peut répéter l'opération encore, et encore, et encore. On comprend bien qu'en répétant ces opérations, on obtiendra des nombres qui s'éloigneront de plus en plus de l'origine du repère. Faisons un deuxième essai, en partant cette fois-ci du nombre un plus 0,5i. On double l'argument, on met le module au carré, on ajoute moins trois quarts, on obtient 0 plus i. On répète l'opération, on obtient moins 1,75 puis 2,31 puis 4,6 et ainsi de suite. Encore une fois, on finit par obtenir des nombres de plus en plus grands. On dira alors que les nombres 1 plus i et 1 plus 0,5i génèrent des suites non bornées. Mais ce n'est pas toujours le cas. Prenons comme point de départ le nombre 1 plus 0,2i. On applique une première fois l'application pour z au carré moins trois quarts, on double l'argument, on met le module au carré puis on ajoute moins trois quarts. On obtient alors 0,21 plus 0,4i. En recommençant, on obtient moins 0,87 plus 0,17i. On recommence encore et encore et encore et encore. Cette suite ne se comporte pas du tout de la même façon que dans les deux exemples précédents, puisque cette fois-ci les points ne s'éloignent jamais vraiment de l'origine du repère. On dira alors que la suite est bornée. En fait, les points du plan complexe se divisent en deux catégories. Ceux qui génèrent une suite non bornée et ceux qui génèrent une suite bornée. Du coup, on peut s'amuser à mettre en noir les points qui génèrent une suite bornée et en couleur les autres. En procédant ainsi pour un grand nombre de points, on obtiendra en première approximation quelque chose comme ça. Mais en procédant des calculs un peu plus précis, on obtient plutôt un résultat comme celui-ci. Et si on s'applique à varier les couleurs en fonction du temps que met la suite à diverger, on obtient plutôt quelque chose comme ça. Cette figure, c'est ce que l'on appelle un ensemble de Julia. Dans le cas précédent, il s'agit de l'ensemble de Julia de la fonction z au carré moins trois quarts. Il donne une assez bonne idée de ce qui apparaît assez naturellement dans le domaine de la dynamique complexe. Cet ensemble est une fractale caractérisée par une certaine autosimilarité. Quelle que soit la distance depuis laquelle on l'observe, elle présentera toujours la même forme globale. Et je rappelle que tout ça n'est obtenu qu'à partir de l'anodine formule z au carré moins trois quarts. Évidemment, la première chose que l'on a envie de faire, c'est de changer de formule pour voir ce que cela donne. En particulier, on peut voir ce que cela donnera si, au lieu de moins trois quarts, on prend un autre nombre complexe. Par exemple, avec la formule z au carré moins 039 moins 059i, en appliquant la même procédure que précédemment, on obtient ceci. La figure est un peu plus complexe, mais garde toujours son statut de fractale, puisqu'elle est identique quelle que soit l'échelle choisie. En prenant plutôt la formule z au carré moins 012 plus 075i, on tombe sur une autre fractale de Julia, connue sous le nom de lapin de Doudi, à cause de son immanquable ressemblance avec un herbivore aux grandes oreilles. On peut obtenir des fractales un peu différentes en prenant l'application z au carré moins i. On obtient alors ce que l'on appelle une fractale d'Andrite, qui rappelle les prolongements des neurones. Enfin, on a un résultat un peu différent en prenant par exemple z au carré plus 01 plus 065i, puisque cette fois-ci, la fractale que l'on obtient n'est pas composée de un seul morceau. D'ailleurs, on peut trier les fractales de Julia de formule z au carré plus c selon deux catégories, celles qui sont connexes, c'est-à-dire qui ne forment qu'un seul morceau, d'un seul tenant et les autres. On peut maintenant faire comme tout à l'heure, écolorer en noir les points c pour lesquels la fractale de Julia de formule z au carré plus c est connexe, c'est-à-dire d'un seul morceau, et en couleur les autres. On obtient alors ceci. On peut voir ça comme une carte des fractales de Julia, où chaque point correspond à un ensemble de Julia. Cette ensemble porte le nom d'ensemble de Mandelbrot, et est pour bien des raisons la fractale la plus importante des mathématiques. Cette carte des fractales est-elle même une fractale, puisqu'elle présente encore une fois de l'autosimilarité. Même si cela ne saute pas aux yeux au premier abord, l'ensemble de Mandelbrot présente des copies de lui-même un peu partout. Par exemple, ici, ou bien ici. Mais ce qui fait le succès de cette fractale, c'est sa structure en bourgeon et en antenne. Déjà, il y a le bulbe central, en forme de cardioïde. Sur cette cardioïde, se greffent différents bourgeons de taille variable, sur lequel se grefferont d'autres bourgeons et ceux jusqu'à l'infini. Mais ce qui est vraiment génial, c'est qu'à chaque bourgeon correspond une certaine multiplicité. On dira par exemple que ce bulbe est de multiplicité 3, celui-ci de multiplicité 4 et celui-là de multiplicité 5. Je ne vais pas détailler le sens profond et mathématique de ces multiplicités, mais simplement montrer une chose. Si un bulbe est d'une certaine multiplicité, alors on y trouvera attaché des antennes de la même multiplicité. Par exemple, les antennes autour du bulbe de multiplicité 3 formeront des motifs en forme de Y. Autour de celui de multiplicité 4, les antennes formeront des motifs en X. Et autour de celui de multiplicité 5, les antennes formeront des étoiles. Les multiplicités se retrouvent aussi dans les fractales de Julia qui leur correspondent. Si une fractale de Julia provient d'un bulbe de multiplicité 3, alors elle le présentera à sa frontière que des points de multiplicité 3. Ce qui signifie que l'autosimilarité se présente toujours dans les ensembles de Julia de ce bulbe par paquet de 3. Si je prends maintenant des fractales de Julia dans un bulbe de multiplicité 4, ça sera par paquet de 4 que se regroupons ces formes. Et puisqu'il existe des bulbes pour n'importe quelle multiplicité, on peut facilement retrouver des bouquets de Julia de multiplicité 5, 6, 7 ou bien pire. En fait, on peut définir plus simplement l'ensemble de Mandelbrot, sans faire appel aux ensembles de Julia. L'ensemble de Mandelbrot, c'est en fait l'ensemble des points complexes C tels que l'iterration de la fonction Z au carré plus C ne diverge pas lorsque l'on part de 0. Autrement dit, l'ensemble de Mandelbrot n'est construit qu'à partir de la simple formule Z au carré plus C. Et c'est cette formule qui, à elle seule, produit un objet d'une complexité extraordinaire dont les mathématiciens n'ont pas encore percé tous les secrets. On peut retrouver sur Internet des logiciels permettant d'explorer l'ensemble de Mandelbrot. Par exemple, le logiciel XAOS que j'ai utilisé pour faire cette vidéo permet d'explorer très simplement les ensembles de Mandelbrot et les ensembles de Julia, qui c'est ce que vous y trouverez.