 Merci Fabrice, et je voudrais remercier les organisateurs pour cette invitation. Je voudrais... La motivation de ce travail vient de... Je suis un analyste numérique, et je suis particulièrement intéressé dans les systèmes numériques qualitatifs, depuis longtemps. Je vais expliquer cela en plus de détails, mais j'ai voulu trouver des résultats concernant les comportements numériques appliqués aux équations de laser, les équations de transport non-inertiennes. Lors de ce temps, c'est fait par l'effet de l'endodamping. La première chose que j'ai faite était d'ouvrir le paper de Mouo Villani, et l'idée était d'ajouter deux paramètres supplémentaires, les paramètres discrets, le temps et l'espagne. Vous ne voulez pas faire cela, bien sûr. J'ai essayé de trouver un exemple simple où vous pouvez étudier les comportements numériques pour l'endodamping, dans un moyen plus simple. C'est un modèle de laser HMF. C'est le plus simple modèle de laser. Je vais expliquer cela. La deuxième motivation est que j'ai voulu jouer avec l'instructeur de l'équation de laser et essayer de faire des formes normes. En fin de compte, c'est une technique complète. Il n'y a rien à faire avec les systèmes dynamiques. Mais je vais donner une interprétation de l'endodamping en termes de formes normes. Ok. C'est l'introduction. Je vais commencer avec quelque chose très basique, pour introduire les notations. Quand vous avez un système dynamique, vous pouvez être intéressé à l'incomputation des trajectories ou à l'incomputation des solutions statistiques. Et de la pointe numérique de vous, c'est très différent. Parce que vous devez résoudre un ODE. Vous n'avez pas de pointe. Mais pour les systèmes dynamiques, vous pouvez aussi associer l'équation de transport. Ce qui signifie que vous regardez les statistiques de la solution, donc l'évolution de l'observable sur le système dynamique, vous terminerez avec l'équation de Louisville. Dans le cas de Hamiltonian que je vais considérer dans le reste de la parole, l'équation de transport peut être faite de cette façon. Ici, c'est le micro-canonical Poisson-Braquet, X et V. X est la variable espace et V est la variable de la vélocité. Si vous avez un système dynamique, c'est Hamiltonian, vous pouvez l'écrire de cette façon. J, ici, est un symplectique de 2 matrices. Et parce que c'est la diversité essentiellement l'équation de Louisville et l'équation de transport sont les mêmes. Et vous pouvez l'écrire de cette façon. Dans les mécaniques classiques, typiquement, vous avez un Hamiltonian avec une partie kinétique, une partie quadratique et une partie potentielle. Et puis, l'équation de transport est élevée de cette façon. Et ici, vous reconnaissez l'équation de transport de l'équation de transport qui apparaît dans l'équation de Blasov. Donc, ce sont les équations de transport si vous avez un fixé Hamiltonian. Mais, si vous voulez faire des simulations sur un système très large, et que l'enquête devient extrêmement large, essentiellement, vous ne pouvez pas utiliser des solvers pour l'équation de PDE. C'est juste impossible. Parce que vous ne pouvez pas résoudre l'équation de transport en dimension plus que 10, essentiellement. Et donc, vous devez relier aux autres modèles. Vous faites quelque sorte de homogenisation et vous vous rendez avec des modèles de hiérarchie, des modèles de Blasov, etc. Et dans beaucoup de cas, je vais vous donner quelques exemples. Ensuite, vous avez pour cette équation non linéaire de transport. Donc, ça juste signifie que vous aurez une équation d'extrême dimension ici, qui signifie que c'est de dimension 1 ou 2. Mais le Hamiltonian n'est plus constant en termes de f. Donc, le Hamilton h ici dépend de la fonction f. Donc, typiquement, l'équation non linéaire de transport est considérée comme ceci. Et l'Hcal est une énergie. Et souvent ce Hamilton est le dérivé fraîchier de la fonction d'utilisation. Donc, quand vous inquiétez des mécaniques classiques, vous inquiétez une structure de poisson. Donc, les très premiers exemples sont les equations de 2D de l'euler en G2 mais en 2 dimensions, pour sûr. Donc, en 2 dimensions, si vous regardez l'équation de l'euler comme ça, si vous imposez la divergence 3, vous êtes Hamiltonien et c'est le magique de dimension 2. Donc, si vous avez juste la vorticité de vous, vous pouvez réécrire l'équation de cette façon. Donc, la vorticité est transportée par le fil de la vélo. Et puis, si vous vous écoutez, c'est-à-dire que vous êtes Hamiltonien et la Hamiltonienne est juste inverse de la place de omega. Donc, l'équation de l'euler peut être écrite de cette façon, dans une façon condensée. Et il a la structure présentée avant, dans le sens que c'est la derivation fraîchée de l'énergie. Donc, c'est quadratique dans ce sens. Et en fait, il y a quelque chose très étrange dans toutes ces choses. Parce que si vous avez un Hamiltonien vector-field, en fait, si vous définissez cet opérateur, donc, vous utilisez le poisson marquette, un opérateur transport. Puis, si vous regardez le commutateur de deux gars comme ça, si vous regardez d'un opérateur associé, c'est le même que le commutateur de les deux opérateurs. Donc, en fait, toute cette équation a la laxpair. Ou, la laxpair est juste créée par cet opérateur. Probablement, juste dire que vous ne pouvez rien faire avec cette laxpair. Donc, c'est le même que si vous utilisez cet opérateur. C'est juste dire que vous avez laxpair. Donc, c'est intégrable. Vous avez laxpair. Mais c'est tout. Donc, maintenant, toutes ces équations, donc, toutes ces équations, written this way, a la laxpair. Je pense que c'est plus, plus sympathique, mais ils wives assez carrément vous disait que c'est plus, très intéressant. Donc, notamment dans ce regard, vous кожuez un peu plus. En même temps, je suis certain que voilà. à l'intérieur de l'équation non-linéaire de transport. Et donc, une autre façon d'écrire cette équation est juste de dire que pour tout le fonctionnel, l'évolution de l'évolution de l'évolution est juste donnée par le poisson raquette avec le h, où l'h est considéré par le Hamiltonian. Et donc, c'est juste un opérateur d'ad. Donc, c'est un très beau structeur que vous avez pour les fluides et pour l'équation de l'évolution. Bien sûr, l'énergie est préserve. Et si vous regardez tous les observables qui sont faits de g de f, c'est-à-dire de g de f, alors, en fait, le fraîchier-dérivatif est g prime et g prime de f communique avec f. Donc, ils justent le cancer. Donc, vous avez un nombre infinitaire de invariants, qui, d'un point de vue numérique, est, bien sûr, compliqué. Donc, en particulier, vous avez toutes les normes Lp. Donc, dans le cas de Vlasov, le h fonctionnel, donc, l'h de f est v, v squared divided by 2 plus le potentiel qui dépend de f. Et il dépend de f par une convolution ici dans la variable x. Donc, vous avez un kernel ici, p. Et l'équation de Vlasov-Pouesson, donc, p est juste liée à l'inverse de l'opérateur de la place de la place. Et l'énergie, donc, l'énergie fonctionnelle, c'est le nombre de deux termes. Donc, c'est le premier. Donc, le fraîchier-dérivatif est juste v squared. Et c'est le deuxième. Le fraîchier-dérivatif est celui-ci. Et c'est radiculé en f. Mais, d'un point de vue de la dynamique de Hamiltonian, c'est le, vous pouvez voir, vous pouvez voir la partie quadratique comme une perturbation d'un flow intégrable. Je vais revenir à ça plus tard. Ok, donc, je voudrais dire quelque chose sur le temps de discretisation de cette équation. Donc, comme je l'ai dit, le flow de cette équation est essentiellement exponentiel. Parce que si vous vous souvenez, si vous êtes ici, donc, d t g est equal à h de g. Et si vous, c'est à dire que, je veux dire, c'est à dire qu'on donne un sens à cette exponentielle. Et généralement, vous devez troncher. Donc, ça peut être dans le sens de l'expansion asymptatique. Mais si vous voulez faire des numériques, dans un sens, c'est le même que solver, imaginez que maintenant, y est une grande matrice, c'est le même que solver ça. Et vous imaginez que c'est, si c'est une équation, c'est un lit groupe, pour exemple, parce que A a une structure, pour exemple, c'est une matrice. Et vous avez plein de méthodes. C'est la première, c'est, pour exemple, de freiner ici, cet homme ici, et de solver l'expansion. Et au niveau de l'expansion, ça signifie que si vous avez fn de xv, qui est supposé être l'approximation de la solution exacte à l'époque n-tau, vous freinez ça et vous solvez cette équation en commençant en fn, et ensuite vous terminez avec fn plus 1. Donc, c'est typiquement le type de méthode que vous utilisez. Et donc, formulement, essentiellement, vous pouvez écrire ça. C'est essentiellement ça. Donc, le problème ici, c'est comment vous computez ce qui est ici l'expansion. Donc, comment vous computez la solution de cette équation. Donc, si vous fixez h, comment vous computez ceci ? Je veux dire, la solution, vous savez ce que c'est. Vous utilisez des caractéristiques comme dans le premier slide, et vous avez la solution. Le problème c'est comment vous computez. Et ce sont, ce sont essentiellement les trois manières pour faire ça. Ainsi, vous êtes complètement discrétisés. Donc, h est donné, vous voulez avoir une solution de cette équation dans un peu de temps, par exemple. Donc, vous vous discrétisez complètement en temps en utilisant des différences fines, des méthodes spectrailles. Mais ensuite, essentiellement, vous avez des problèmes parce que c'est un ordinateur. Donc, si vous discrétisez, vous aurez une très sérieuse restriction dans le temps. Vous pouvez utiliser une méthode particulière. Essentiellement, vous dropez quelques particules et vous laissez-les évoluer par la flèche et vous essayez d'avoir des informations. Donc, le problème est dans l'indicatif de la particule parce que vous avez un nois statistique. Et vous avez une méthode semi-lagrangienne donc l'idée est maintenant que vous fixez la flèche et vous utilisez des caractéristiques pour bouger la pointe de la flèche et ensuite vous projectez la flèche. Et le problème principal ici c'est que si YJ est la pointe de la flèche et si vous laissez cette pointe évoluer par la flèche vous n'aurez pas fini dans la flèche. Donc, vous devez faire une interpellation. Et quand vous faites une interpellation vous créez une viscosité numérique et vous perdez complètement l'instructeur de Hamilton. Et donc, typiquement, vous allez obtenir tau à p qui est essentiellement la précision de votre scheme et un erreur spécifique qui accumule de cette façon qui est due à la interpellation parce que chaque étape vous faites une interpellation d'erreur ou de l'air Delta X. Mais vous pouvez jouer avec cet air et en fait vous utilisez une très haute haine. Donc, une méthode semi-agrangerie est en un sens très proche de... Sorry, j'ai juste... OK. Donc, OK. Je vais revenir à cette suite. OK. Donc maintenant, je vais parler de la flèche Poisson et de la flèche et de la flèche Chémeth équations. Donc, ici, je voudrais mentionner une référence très intéressante par Court en 1952. Vous savez ce que c'est, Nader? Nous étions en train de lire avec Nicolas Crozet. Nous étions en train de lire une littérature sur les équations de la flèche. OK. Donc, ces différentes références. Et je pense que c'est entre Jordanski et Arseneyev, ou entre Arseneyev et Arseneyev, je n'en souviens pas. Vous avez une référence sur le papier par Court et puis cette référence disparaît. Et vous n'avez jamais vu cela encore dans la littérature. Et cet homme est un astronaumeur en Basel. Je ne suis pas sûr si il est mort. Il a perdu vous, je pense. Et il est probablement... Si il y est, il est probablement plus que 100. Et il a écrit beaucoup de boules mais tout en allemand. Donc, il y a un papier par Court où vous avez la provenance de l'existence de l'équation. Très bien. 52. OK. Donc, si vous avez un autre nom pour mentionner, c'est un moment. Vous n'avez pas vu un référence russe ? Bien sûr. Bien sûr, bien sûr, bien sûr. C'est la même chose ? Parfait Mouser, oui. OK. Juste... Je n'ai oublié Parfait Mouser pour voir si quelqu'un l'a mentionné. Merci. OK. Donc, l'existence de Théoréme que je veux juste mentionner est que je vais travailler dans ces espaces. Donc, ce sont les standards de régularité dans le sens de l'existence. Mais je vais aussi contrôler le moment. Oui. Comment on dit ? Le soutien de ce sens. Le soutien de la fonction. Et en fait, donc ici, typiquement, ce sont les résultats que vous avez. Essentiellement, c'est... c'était le premier écrit par Pierre Dugan. Donc, si vous commencez dans une norme de norme de haut de saubolèfe, alors que vous avez de l'alimentation dans la norme de saubolèfe, dans un index de la basse, et que vous vous abondez dans cette norme pour un bon temps. OK. Donc, essentiellement, si vous êtes smooth suffisamment, vous avez de l'existence dans la haute saubolèfe. Et si vous voulez faire une analyse numérique, c'est suffisant. Parce que si vous voulez avoir une convergence de prouves, c'est suffisant. Donc, ici, je vais juste Write down ce que sont les best schemes pour les equations de Vlazov Poisson. Je pense que c'est basé sur cette décomposition entre le frein de frein, c'est-à-dire le flow linéaire et le flow non linéaire. Et comme dans beaucoup d'exemples, en fait, vous pouvez les solider explicitement jusqu'à la discrétisation supérieure. Donc, pour celui-ci, c'est clair. C'est juste une solution exacte. Et pour celui-ci, c'est comme dans l'équipe de Schrodinger, vous avez, si vous regardez la partie non linéaire, en fait, le modulus est constant. Si vous le solvez tout seul. Et ici, c'est le même. Si vous regardez cette équipe sans la vitesse ici, en fait, vous pouvez prouver que cette pi est constante parce que c'est juste... Ça ne dépend pas ici. Si vous changez vous pour vous plus quelque chose qui dépend sur X, alors ça ne change pas. Donc, vous avez deux solutions exactes. Et ensuite, vous pouvez faire des spittings de haute order. Donc, vous combinez ces deux et vous utilisez la formulae de Bäcker-Kambelle et vous pouvez déployer une méthode de très haute order. Donc, essentiellement, vous augmentez l'erreur du temps. Donc, vous décrivez l'erreur du temps. Et si vous utilisez la semis Lagrangian méthode, vous pouvez utiliser la haute order de Lagrangian interpolation. Donc, l'air de delta X à l'air peut être essentiellement arbitraux. L'air large. Et c'est 17 qu'il est utilisé. OK. Donc, typiquement, donc, ces deux slides, juste pour finir, pour parler de l'analyse numérique. Donc, dans un sens, il y a un CRM qui produisent beaucoup de papiers. Le CRM est que si vous avez le PDE qui est localement de l'air et bien posé, pardon, bien posé dans un espace H.S. Et si vous utilisez une méthode une méthode d'ordre classique d'ordre P, d'ordre P, vous avez que l'air de temps T minus une solution numérique dans H.S. est boundé par une constance qui dépend de la finie de temps tau P. Et, bien sûr, quelque chose n'est pas dans H.S. plus 100 $. Ok, donc S. S. plus S. Donc, c'est une expérience typique pour un PDE. Vous fixez la finie de temps. La finie de temps est un paramètre de discretisation. Et donc, T n'est pas la finie de temps. Donc, vous fixez la finie de temps. Vous perdez des régularités ici dans l'estimage et ensuite vous avez une convergence. Mais et si vous comparez avec le cas de la mécanique classique, c'est dans les mécaniques classiques, bien sûr, H.S. et H.S. Prime peuvent être comparés. Mais donc, c'est intéressant seulement si vous voulez compter exactement une trajectoire qui était qui était faite dans l'IT, par exemple. Donc, si vous voulez envoyer les satellites à la Terre ou à la Cité Bombe, vous devez être très précis. J'espère. Je ne sais pas. Et mais bien sûr, cette constance ici est exponentielle de exponentielle de exponentielle de T dans certains cas. Je veux dire, dans le cas classique, c'est juste de exponentielle de T. Mais vous pouvez avoir une très grande constance ici à ce niveau. Et si vous voulez compter la trajectoire ici, ça signifie que pour un long temps, ça signifie que vous devez prendre une exponentielle de exponentielle de minus T. Donc, vous ne pouvez pas. Donc, maintenant, si vous voulez augmenter le temps, c'est une question beaucoup plus délicate. Vous savez que vous verrez la trajectoire, mais vous voulez avoir un global fonctionnement de la flow qui est réservé. Et c'est la histoire de cette question, en fait. Donc, c'est commencé spécialement dans l'astronomie et dans la dynamique moléculaire. Parce que dans la dynamique vous avez des tonnes de... de possibles trajectories. Vous avez des molécules qui se movent partout. Donc, vous ne pouvez pas les protéger. Absolument pas. Mais ce que vous voulez savoir, c'est la property globale de la moléculaire. Donc, ce que vous voulez savoir est plus... Donc, ce qui est plus important pour les physiciens est, est-ce que j'ai une préservation de l'énergie? Est-ce que j'ai une préservation du moment? Est-ce que j'ai une stabilité de la solution périodique? Et donc, dans les années 90, c'était ces intergratifs simplectiques dans le cas de... des mécaniques classiques qui étaient plus et plus utilisés. Et c'était seulement dans les années 90 que l'on comprenait pourquoi vous avez un comportement beaucoup mieux pour intergratifs simplectiques. Et la preuve de cela, c'est-à-dire que l'important ici est que si vous utilisez les simplectiques intergratifs, en fait, c'est un... c'est un très vieux... je veux dire, il revient à Mozart en 68, qui dit que, si vous imaginez que vous avez une map comme celle-ci, qui est close à l'identité, et simplectique, et simplectique. Et puis, essentiellement, Phi tau... coïncide avec l'exacte flow, Phi tilde à temps taux, où Phi tilde ici est la solution d'un système hamiltonien. Donc c'est un système hamiltonien. Donc, si vous imaginez que vous avez une discrète mais simplectique trajectorie, ce que Mozart a dit, c'est que, vous pouvez, en fait, interpréter cette trajectorie en utilisant un flow hamiltonien indépendant de la temps, parce que vous pouvez aussi... vous pouvez toujours faire ça si vous amènez des temps dépendants ici. Mais, indépendant de la temps, c'est beaucoup plus difficile. Et vous devez payer ça par un terme exponentiel. Et donc, Mozart a juste écrit dans ce papier 68, ok, ça fonctionne. Et puis, il y a un grand déterminateur de la fin de l'année 18 et de la fin de la année 19 qui a évoqué ce que, qui a évoqué très grandement les estimations avec le terme exponentiel, je veux dire, le terme de Wayne Main, et puis, il a également été évoqué par Heirer et Lubish en fin de l'année 19. Donc, ça signifie que si vous avez un simplectique intégrateur, vous avez une énergie. Vous avez une énergie modifiée qui est close à la même chose. Et cette énergie si vous avez une énergie présente, vous pouvez jouer. Vous pouvez utiliser l'énergie méthode si vous voulez évoquer une stabilité dans le sens de Lyapun. Vous pouvez faire une théorie de la théorie de la fin de l'année. Et ça a été évoqué pour un pédé semi-linéaire comme Schrodinger et Wayne. Donc, essentiellement par moi et Benoit et Dario donc, en ce cas, vous avez aussi essentiellement une extension d'un CO2 PDE mais vous avez besoin d'un condition CFL. Vous avez une restriction entre le temps et le espace et le contrôle du espace. Et dans toutes ces choses, vous avez des résonances numériques qui apparaissent. Et les résonances numériques vous pouvez les comprendre très facilement. Imaginez que vous avez quelque chose comme ceci donc plus peut-être plus une non-linéarité et Lambda est une grande métrique. Si vous voulez comprendre le comportement de ceci le problème est de regarder les résonances possibles de cette Lambda juste dans le cas linéaire donc dans la théorie KM ou si vous faites un peu d'avagé essentiellement vous devez contrôler tous ces sortes tous ces sortes de gars. Ils doivent être différents d'eux. Mais en fait le objectif si vous faites des analyses numériques ce n'est pas ceci mais c'est pourquoi au niveau de la flow c'est exponentiel de tau tau times Lambda mais vous fixez la tau. Donc essentiellement c'est c'est la map. Bien sûr, ici en ce cas c'est l'exacte flow mais imaginez que vous avez deux matrices comme ici et vous appréciez ceci par ceci. Donc en fait vous n'avez pas seulement ces résonances mais toutes les résonances qui viennent ici et maintenant vous êtes sur un cercle donc vous avez beaucoup plus de résonances possibles. Ce n'est pas ceci mais plus comme tau multiplié par Lambda 1 plus LambdaP doit être allé d'une pi donc vous avez des résonances spéciales et c'était la situation. Et donc maintenant le next goal est d'extender cette équipe non-linear de transport. Donc la première question est qu'est-ce qui est l'analogue d'une théorie perturbée comme la théorie KM d'avagé qu'est-ce qui est l'analogue pour les équipements de laser ? Si vous avez si vous avez une équipe non-linear non-linear Schrodinger si vous regardez les solitons vous avez besoin d'énergie pour prouver la stabilité orbitale donc vous avez besoin qu'est-ce que nous avons besoin pour les équipements de laser ? Donc maintenant je vais vous montrer des comportements typiques de l'équipe non-linear de transport. Donc la première c'est donc je vais juste considérer l'équipe Euler et je vais commencer avec le flow de Kolmogorov. Le flow de Kolmogorov je pense que c'est celui-là. Donc il est known d'être instable. Donc vous commencez avec votre schema semi-lagrangienne. C'est en verticité. Ok, donc le schema numérique est perdu. Vous avez la création de petites structures mais elles sont quittées par la dissipation numérique. Et puis vous end-up avec quelque chose et cette chose est très particulière parce que ça ressemble en période. Donc c'est c'est c'est malin. C'est comme un van Karnman. Allez. Et puis c'est extrêmement stabil. Parce que vous voyez, vous pouvez... Donc vous allez à ce moment 1000. Donc c'est extrêmement stabil. Donc ça signifie que c'est probable qu'ils existent. Parce que maintenant nous sommes vraiment la équipe Euler. Et pas les stocks naviers parce que c'est la ville numérique. Parce que c'est la dissipation numérique. Parce que maintenant dans un sens dans ce temps intervalle vous pouvez appliquer un résultat de conversion et prouver que maintenant vous avez une solution de l'Euler. Je veux faire ça, bien sûr. Donc vous avez il semble que vous avez beaucoup de solutions pour l'équipe Euler et et qu'elles sont stabiles. Il y a un autre exemple qui est celui-là. C'est celui-là. Donc au début j'ai pour des raisons personnelles j'ai collé deux gauchons sur un almost flat almost flat sheer flow. Et puis si vous laissez ça évoluer vous avez le même comportement qui est intervallant. Pour certaines raisons que je ne peux pas expliquer la solution des femmes localisées et vous avez une solution périodique c'est plus délicat mais ce n'est pas plus dans la direction X ou Y c'est plus comme une solution tournante mais vous avez une stabilité. Et donc si vous regardez maintenant C'est périodique dans les deux axes. Bien sûr, oui. Dans les deux axes. Et ce sont les plots de la transformation de de la transformation de cette solution. Donc vous regardez la mode et l'évolution de la mode en respectant le temps. Donc en rouge c'est l'absolute valeur de la mode et en bleu et en gris ce sont les vrais et les vrais et les imaginaires. Donc vous voyez que vous avez une période turbulente et puis c'est complètement stabil et complètement périodique. Et si vous faites une analyse fréquentée en utilisant quelques outils des outils numériques vous pouvez compter la période et voir que c'est complètement périodique. Et si vous inquiétez la taille de la mode donc mode 21 mode 31 ce que vous pouvez observer c'est que la période ici la période turbulente est plus long. Donc c'est typiquement un phénomène typiquement pour la convergence qui signifie que la vitesse de convergence dépend de la taille de la mode sur le niveau de la mode. Donc on va faire une conjecture. Donc la plupart c'est le bon chose de la conjecture c'est que vous pouvez dire que la plupart des solutions dans un sens sont réellement nommées pour les solutions périodiques. Et en fait la première question c'est si nous avons des solutions périodiques et en fait c'est très facile de construire des solutions périodiques pour les équipements. C'était surprise je n'étais pas il n'était pas existant mais c'est un remarque stupide mais si vous comparez avec l'équipement de Schrodinger où vous devez utiliser KM ou Nechmozart pour les solutions périodiques ici vous avez juste un flux vous avez juste un flux avec une partie flat donc ça explique donc vous avez un flux chiant comme ça avec une partie flat donc ici c'est 0 Omega est 0 dans cette zone et puis vous complète complète par périodique boundary condition et ici vous collez un invariant un état stationnel de la 2D Euler avec un support compact sur l'air 2 et puis il tourne à une vitesse qui dépend en fait du flux parce que ici c'est V vous êtes dans une région comme ça que vous avez et ça signifie que la vitesse ici est constante et dans cette direction donc vous pouvez construire Toray de toute dimension dans la 2D Euler bien sûr la question de savoir si c'est stable ou pas c'est beaucoup plus compliqué OK donc maintenant pour la case pour la case pour la case alors dans cette case on peut en fait prouver ce que nous attendons c'est probablement l'un des exemples où on peut prouver quelque sorte de résultat donc un peu moins pour quelque chose mais c'est essentiellement par le fait que si vous regardez si vous regardez cet opérateur ici DT plus VDX c'est complètement intégrable et vous avez et vous avez un peu d'impôt donc c'est l'impôt d'impôt et c'était prouvé essentiellement par Mouan Villani la première fois que c'est stable si vous parz non-linear perturbation pour la case alors j'aimerais vous montrer ce que c'est OK donc j'ai juste expliqué ce slide donc si vous regardez le frein donc la solution de cette équation alors la solution est explicite si vous compute la norme de la solution alors vous avez ça va à l'infinité quand le temps va à l'infinité donc vous avez création de oscillations mais si vous regardez en Fourier alors vous avez c'est un solitaire en Fourier en fait une coefficient de Fourier c'est juste un weight solitaire qui s'éteint à la vitesse K et l'impôt d'impôt c'est juste dire que si vous regardez cet objet parce que f est smooth f0 est smooth alors vous avez ce détail alors vous converge à 0 donc quand t va à l'infinité mais à la vitesse ici ça dépend de la vitesse donc c'est essentiellement ce que nous observons pour l'équation mais dans un état plus compliqué pour Euler parce qu'on s'est convergé à des solutions périodiques alors ici on s'est convergé à des états stationnels mais je vais vous montrer un peu ce que ça veut dire ok donc ici je commence avec une solution qui est essentiellement celle-ci signes pour x multiplié par une Gaussian dans v et puis je laisse je laisse la évolve donc ici c'est dans x et v donc x est ici et v est ici donc ok vous avez une création de petites structures délicates pour interpréter des problèmes numériques ici que vous pouvez voir mais en Fourier c'est juste deux boubles et le lampeur c'est juste de dire ok si vous fixez ici la mode 0,2 c'est juste une scale donc si vous fixez la mode alors à un moment donc vous voyez rien parce que la paquette a juste disparu donc la convergence juste signifie que si vous fixez un niveau par exemple cette ici puis hop vous cliquerez vers 0 en ce cas juste parce que la paquette flèche ok donc maintenant c'est pour la flèche donc ce qui se passe dans le cas de l'HMF HMF Blasov 1 Blasov Poisson donc si vous tournez sur la non-linérité si vous tournez sur la non-linérité donc vous avez un phénomène similaire mais vous avez création de modes dans x donc ce sont les modes dans x donc essentiellement vous avez ce c'est la mode plus et minus 4 donc vous créez plus et minus 8 et la mode 0 et la mode 0 n'est pas dame donc si vous n'avez pas dépendance sur x vous n'avez pas faim pour vous donc c'est c'est juste une illustration du résultat que que vous que vous vous cliquerez vers quelque chose que c'est essentiellement que ça dépend seulement de v donc vous avez ce changement non-linérité mais mais en fin c'est plus ou moins comme la flèche et donc ça me rend beaucoup le fact que si vous perturbe complètementLe système GORD en mécanique classique alors essentiellement vous retirez le micro deriv rhetoric bref il n'y avait à bere suitable donc Le fruits de la mode pour nous est si on aocc 되어 non-linérité Jefin rem reflex le Il n'y a que l'une mode, ce n'est pas le inverse de l'opérateur de la place. En ce cas, je vais vous montrer le genre de choses que nous observons. En ce cas, c'est exactement la même picture que pour le case de Vlazov Poisson. C'est vraiment la même chose. Mais c'est beaucoup plus simple. C'est un modèle beaucoup plus simple. C'est juste un petit résultat qui concerne l'existence de l'équation de Vlazov et de l'équation de Euler. Je vais juste expliquer ceci. C'est-à-dire que si on travaille sur la non-linearity, si on travaille sur des étapes stabilisées qui dépendent seulement de V, on acte comme le frein de frein. C'est ce que ça veut dire. Il y a une extension dans le cas de Euler, mais pour le frein de frein. Ce n'est pas pour l'élection de l'élection, mais pour la question de Nader et Jacob. Je vais juste expliquer. Il y a beaucoup de choses à dire. Je vais juste expliquer la stratégie. Vous avez cette Vlazov-HMF équation, et vous regardez à cette fonction. Vous allez juste prendre la pullback. Vous travaillez. L'air est une perturbation d'un étapes stabilisées qui dépendent seulement de V. C'est un étapes stabilisé. Vous vous mettez le frein de frein. C'est ici que vous regardez. C'est G. C'est juste en termes de... Si vous considérez que l'énergie est la somme de H, la totale de l'énergie est la somme de H0 plus epsilon P. C'est juste l'intégrale de V2 x F, et celui-là est l'intégrale de F. C'est juste ceci. C'est un opérateur de scattering. Vous write-down l'équation pour cette V, et vous voyez que si vous imaginez que la totale est la somme de H0, ça change la potentiale par un potentiel dépendant de temps, et ça dépend de la temps de cette façon. Vous reconnaissez l'exacte flow de la partie non-linear. C'est ce que ça veut dire. C'est que c'est... J'ai une slide sur ça. Si vous voulez avoir des estimations sur ce terme, et le résultat final est un résultat de scattering. C'est un résultat de scattering, dans le sens que quand T va à l'infinité, ça a un limiter. Ça dépend de l'extrême. L'originalité de l'HMF est que nous pouvons travailler avec la régularité de Sobolev. Je ne vais pas entrer dans ces détails, mais dans le Mouen-Vilanie, et puis Bédrosion, Mouen, et MassMoudi, vous utilisez Gevray, ou l'analytique régularité. Dans le cas de l'HMF, parce que vous avez un kernel très smooth, vous pouvez utiliser Sobolev. C'est essentiellement l'idée. Vous n'avez pas d'exponential decay, ça dépend de la régularité de Sobolev. Mais c'est un résultat de scattering. Ça signifie qu'en fait, ce gars a un limiter. Et j'aimerais... Donc ce résultat implique l'endodamping dans le sens que si vous retournez à l'original variable, donc si vous reposez ce g, et si vous retournez à l'original variable, et si vous regardez les 4 ans, vous avez le même dégât que pour le frein. C'est-à-dire que si c'est la solution de l'équation de Vlasov, c'est essentiellement ce que les résultats de scattering disent, que f de h0 plus epsilon p, pour l'équipe large, c'est le même que le frein. Plus ou moins. Si vous commencez avec un f, ici vous aurez un modifié, qui est essentiellement une autre façon d'écrire le résultat de scattering. Mais pour le cas de NLS, par exemple, ce gars est très bien défendu. C'est juste d'exponentialité de i, t, delta, donc vous pouvez l'invertir. Dans le cas de Vlasov, ce gars est mieux vu dans Fourier que dans X et V. Donc je ne vais pas vous expliquer l'idée dans beaucoup de détails parce que je voudrais, essentiellement, l'idée est celui-là, si vous regardez cette équation, si vous oubliez ETA, c'est une équipe non linéaire, mais une équipe non linéaire transportée. Il dépend de G seulement par cette coefficient. Gk, qui est le transformateur Fourier de G, K est dans X et V, Gk, Kt. Et l'argument c'est si Gk est stable, c'est smooth. Ensuite j'ai un Gk de G hat. Donc j'ai un Gk en T donc ici j'ai essentiellement 1 over T en front de ce gars donc je peux faire l'invertissement intégral et quand je peux faire l'invertissement intégral j'ai des régularités et c'est un argument bootstrap. Donc ça c'est essentiellement donc ensuite vous devez cuire une norme pour expliquer ce argument bootstrap qui est essentiellement la même que vous utilisez pour Euler. Mais seulement avec un peu de stages. Ok, donc maintenant j'aimerais expliquer cela en termes de formes normales parce que j'ai cherché pour une transformée normale pour deux ans juste pour découvrir qu'en fait maintenant la idée est ok vous pouvez voir que l'équation est une perturbation de l'invertissement intégral et ensuite vous essayez de poursuivre l'équation homologique donc vous pouvez essayer de réduire l'équation. Pour exemple, pour changer cela par une h tilde à naught et une epsilon square c'est ce que vous devez faire en théorie KM et en fait la meilleure option est d'utiliser cette transformation ici phi h0 minus m et phi h0 plus epsilon p plus m donc essentiellement cet homme à la time m large large time m donc en fait si vous essayez de trouver la meilleure change de variable vous allez arriver avec cette transformation mais à la time large m large et l'effet de cela est contenu dans cette formule donc si vous regardez si vous imaginez que c'est une transformation exactement comme normales formes vous préservez la structure et donc vous regardez la forme de l'énergie après la transformation donc essentiellement vous computez mais cet homme préserve cette énergie et h0 c'est préservé par cette flotte donc essentiellement la nouvelle énergie est cette donc vous avez juste changé p par p composé avec la flotte libre et p composé avec la flotte libre dans la forme de la case c'est un objectif très bon parce que vous avez cette jk de KM parce que c'est la time à la droite donc vous voyez que si la flotte large alors cet homme est très petit donc l'effet de la flotte libre c'est d'éloigner la non-lénérité et si vous essayez de faire des iterations de cela alors vous choisirez la flotte d'exemple pardon pour cette numérologie mais c'est excellent pour la minus 1 que cet homme est la flotte de la flotte à la droite de l'identité ce que vous pouvez imaginer si vous allez c'est-à-dire, si vous voyez une flotte de la flotte de l'identité alors vous voyez un petit peu la non-lénérité mais pas trop donc vous êtes encore plus près de l'identité parce que la flotte est plus petite mais vous êtes encore plus large donc donc vous pouvez, essentiellement vous pouvez aller vers M equals M7 et puis vous pouvez éterrir le processus parce que ici c'est l'évolution après un temps après un temps M et ici, en ce cas, la non-lénérité est la flotte et puis vous pouvez faire exactement comme des iterations de KM mais c'était la première prouve mais malheureusement nous avons trouvé la norme en fin et la norme est direct vous n'avez pas besoin d'avoir toute cette machine mais j'aime cette machine donc j'aime présenter parce que ça pourrait être aidant dans certains cas à utiliser ces choses et à espérer avoir quelque chose comme Birkhoff donc pour un temps long mais vous ne pouvez pas faire exactement la convergence peut-être il y a un cas où c'est plus flexible ok essentiellement quand nous avons obtenu ces résultats nous avons obtenu les résultats pour les schemes numériques mais j'aimerais finir avec quelque chose bizarre je trouve ça bizarre c'est si vous commencez donc c'est encore HMF mais vous commencez avec un trop large dans le cas de focus et vous commencez avec un trop large data initial donc essentiellement comme pour Euler vous commencez avec quelque chose instable et vous end-up avec quelque chose périodique en temps ici si vous faites ça vous observez ce genre de picture et cette picture est essentiellement cette celle-ci c'est bien connu ok donc c'est l'espace face de la pandémie et en fait ici c'est un bad simulation vous avez trop de viscosité numérique et il se termine qu'il existe 4 HMF des étates stationnelles qui sont sous cette forme V2 plus M0 donc il y a des gars qui sont stabilisés dans le sens de Lyapunov et donc il y a une espèce pour faire pour prouver le même résultat autour de ces étates stationnelles pourquoi ? parce que dans 2D tout le monde est intégrable donc si vous regardez puis vous pouvez le mettre pour une action angle variable et c'est l'intégrabilité de la pandémie et dans 2D essentiellement localement vous pouvez toujours faire ça c'est pourquoi peut-être 2D Euler est intégrable peut-être c'est parce de ça et si vous regardez Omega si vous regardez Omega comme fonction de A c'est quelque chose comme ça donc A est positive et c'est quelque chose comme ça c'est Omega of A donc essentiellement dans les bonnes variables le flow libre est A et Theta plus T Omega A qui ressemble beaucoup comme la TV que nous avons mais avec Omega ce n'est pas linéaire si nous n'avons pas de plate part ici nous pouvons attendre des dégâts mais le seul problème est ici quand vous êtes proche de l'héremonique parce que quand vous êtes proche de l'héremonique vous ne pouvez pas vraiment vous ne pouvez pas avoir damping donc ça signifie que vous avez à moins pour cet homme vous avez un damping qui est bloqué à 1 over T2 vous ne pouvez pas avoir d'exponential c'est 1 over T2 parce que de ce point ici c'est ok parce que Omega il bouge donc vous êtes complètement bloqué mais près de l'origine près de l'héremonique vous avez des problèmes je vais arrêter voilà, merci on a le break après donc on peut prendre du temps pour quelques questions le crochet le poisson vous pouvez avoir un crochet vous pensez qu'il y a quelque chose dans la régulière financière ? oui mais oui et non ce qui signifie je ne sais pas mais ce qui est sûr c'est que si on a n0 mode alors ici on perd 4 régulière index donc ici on perd quelque chose qui dépend de n0 donc après ça vous pouvez essayer d'optimiser mais je ne veux pas jouer ce jeu pour moi, le plus intéressant c'est si vous êtes entre HMF et Euler donc si vous allowz le colonel pour dépendre un peu sur la vitesse peut-être pas trop peut-être avec du support compact mais il y a un monde d'essentiel on a regardé 1 mais vous avez une vraie singularité dans l'équation Euler parce que le colonel dépend de v sur x et c'est un singular dans x et v donc ça pourrait être une vraie modèles mais je ne sais pas si il y a des physiques intéressés par des modèles merci