 اسلام علیکم تو ہماری ملاقات پھر سے ہوتی ہے لیکچر نمبر 7 کے ساتھ ابھی ہم نے لیکچر پشلے دو لیکچر دیکھتے تھے جس میں 5 اور 6 تھا جس میں ہم نے فنکشنز کے بارے ہم بات کی تھی تو اب آپ نوٹ کریں گے کہ اگر آپ یہ 5 اور 6 کے اوپر آپ نے دیکھیں گے already کہ اب ہماری جو ماثیمیٹک سے تھوڑی سی ادوانس ہوتی جاری یعنی ہم نے جو پہلے لیکچر دیکھتے تھے شروع میں لیکچر 1 2 وغیرہ اس میں ہم نے بیسک دیفنیشنز اور کچھ بیسک ایڈیس تھے کنسپٹس ماثیمیٹکس کے جن کے بارے میں بات کی تھی ریل نمبرز اور کی کانٹیفکیشن اور مطلب ان کی کلاسیفکیشنز وغیرہ تو یہ ساری چیزت ہو چکی ہیں اور آپ آس آس آپ دیکھ رہے ہیں کہ آپ ہم فنکشنز کی بات کر رہے ہیں تو our ماثیمیٹکس is getting more and more complicated or maybe we should say it's getting more and more sophisticated یعنی complicated تو ضروری نہیں ہے کچھ لوگوں کو شاہد لگ رہا ہوں کہ ماثیمیٹکس complicated ہو رہی ہے لیکن again وہی بات ہے کہ practice makes perfect تو اگر آپ ہم work کر رہے ہیں جو سائن ہے آپ کو and if you're reading the text and if you're listening to the lectures properly also if you're doing some other kind of reading یعنی recommend میں یہ کروں گا کہ ہم تو باچید کر لیتے ہیں کالکلس وغیرہ کی اور topics کی لیکن اچھی بات ہی ہوتی ہے کہ اور زرام سے بھی آپ ماثیمیٹکس کے بارے معلومات حاصل کیجئے میرے ایک ٹیجر تھے انگلش کے تھے ایک چلی تو وہ کار کرتے تھے کہ the real learning اور 90% of the learning takes place outside of the classroom تو میرے خالصے بہت ساری ٹیچرز شہرز سے دیساگری کریں کسی ہتا کہ یہ بات شہرز نہ بھی سائی ہو لیکن میرے خالصے 90% کا فگر کافی بڑائے it's not necessarily true کہ 90% of the learning takes place اور education takes place outside the classroom لیکن certainly a big part of it تو یہ اس کو ضرور اپنے ذہن میں رکھیے کہ outside the classroom جو آپ کو ریڈنگ کرنی چاہیے وہ پیس ضرور کیجئے کیونکہ جب آپ خود بیٹکس چیز کے بارے میں غورہ فکر کرتے ہیں تو it becomes more clear اور بات زادہ واضح ہوجاتی ہے تو اب functions کے بارے میں ہم بات چیت کر چکے ہیں تو آئے آگے چلتے ہیں اس کے بارے میں اور بات کرتے ہیں کیا ہے تو functions کی کچھ جو پہلے ہم نے بات کی تھی ان کے بارے میں تھوڑا ساک ریکاب کر لیتے ہیں before we proceed with this lecture today's lecture تو ہم نے کیا بات چیت کی تھی لیکچر نمبر 5 میں دو لیکچر پہلے ہم نے basically define کیا تھا پہلے تو لیکچر نمبر 6 میں ہم نے define کیا تھا کہ function کیا ہوتا ہے لیکچر نمبر 5 میں ہم نے basically کچھ ہور چیزی دیکھی نہیں لیکچر نمبر 6 میں ہم نے کہا تھا کہ جی ایک definition دیتی ایک طرح سے ہم نے formalize کیا تھا کہ what is a function ایک relationship ہوتی ہے between 2 variables اور خاص کیسم کی relationship ہوتی جیسے ہم function کیا تھے اس کے بعد ہم نے کچھ examples دیکھی تھی ہم نے یہ دیکھا کہ جی straight lines کی جو ہم نے بات کی تھی کافی کچھر سے پہلے ایک لیکچر میں تو وہ ان کی equations ہم نے دیکھی تھی تو we saw in the previous lecture کہ those equations are actually functional relationships they define a functional relationship between the x variable and the y variable یہ x coordinate اور y coordinate کہلی جی اگر اس کو آپ جمیٹرکلی اس کے بارے میں بات کرتے ہیں so we saw کہ جی جو lines ہیں یہ ایک function define کرتی ہیں تو اس میں مرحب سے ایک جو تھوڑی سی بات دیکھن چاہیے ہوئی ہے کہ شاید آپ نے نوٹ کیاو کہ mathematics میں ہم نے جو کہا کہ ایک چیز ہم پہلے دیکھ چکیں اور پھر اس کو ہم نے ایک اور طریقے سے دیکھا ایک اور روشنی میں دیکھا تو mathematics میں عام طور پہ یہ ہوتا ہے یعنی جو محہت میںwig an اسی طرح سے ہوتی ہے کہ آپ کے پاس ایک already idea exists and you take that idea and say کہ اس کو دیکھتے ہیں ایک کسی اور نقتا ہan other سے بسکل تو ایسی طرح پر progress ایسی طرح سے ہوتی ہے اسی طرح سے جیسے یہ ہم نے دیکھا کہ جی straight line کی equation تھی اور ہم نے پھر دیکھا کہ it's actually a function تو a function کا idea اتوہاس پر ایک advancement ہے it's going to of course advance further ہمیں اس ساتھ خاص بھی سکتے ہیں اور پھر حب پر ہم فنگ chick پر بیس کرکے will start talking about other things تو یہ ایک طرح کی ایک نای درمانولوجی ہم نے دفعین کی تھی تو اس میں ہم نے پھر اس کے پر دیکھا کہ اس میں دو مین ایک ہوتی ہے اس کی فنگشن کی اور ایک رینج ہوتی ہے اور natural ڈomain ہوتی اور پر یہ دیکھا کہ رینج کیسے معلوم کر سکتے ہیں اور ڈomain کیسے معلوم کر سکتے ہیں تو یہ ساری چیزیں ہم نے آج ہم فنکشنز کے بارے میں اور باتے کرتے ہیں اس میں دیکھتے ہیں کہ جی ہم کچھ مزید ان کے ساتھ کچھ کھل دماشہ کر سکتے ہیں مہتمیٹیکلی you could say that تو آئیے دیکھتے ہیں سکین پر دیکھتے ہیں کہ what exactly are we going to talk about today تو آج بیسکلی ہم اوپریشنز دیفائن کریں گے فنکشنز پر جیسے کہ کچھ اوپریشنز نمبرز پر ہوتے ہیں یعنی ہم نے دیکھا تھا کہ نمبرز کے اوپر ہم نے اوپریشنز دیفائن کیے بھی تھے plus minus division اور اس کے لحوہ ملٹپلکیشن تو یہ ظاہر ہے ایک اچھا میں ان کو کہا رہا ہوں اوپریشنز ہیں لیکن یہ بھی ایک طرح کی نئی ٹرمانولوجی I think I've used it before لیکن just to sort of recall کہ یہ چیزے ہم بچمن سے جانتے ہیں جی ہم نمبرز کو آئیٹ کر سکتے ہیں یعنی ان کے درمان plus لکھ دیں تو اس کا مطلب ان کو جمع کر دیں minus لکھ دیں تو جی ان کو subtract کر دیں division کریں تو you get a ratio or a fraction اس کے لحوہ ملٹپلکیشن بھی ہمیں پتہا ہے کیا ہوتی ہے کیسے ملٹپلک کرتے ہیں نمبرز کو تو یہ سب چیزے اب ہم یہ تو ہمہاری second nature ہے we can do all these operations or mathematical operations on real numbers اب ہم دیکھتے ہیں کہ functions کے اوپر ہم کو ایسی operations ڈیفائن کر سکتے ہیں یا نہیں کیونکہ اب ظاہر ہے عجیب سا لائے ہے کہ جی functions تو equations ہوتی ہیں تو can we define the sum of equations or not تو we can do that actually and let's see what we're talking about ہم کہہ رہے ہیں کہ جی what we would like to do is to see if functions can be added we would like to see functions can be subtracted and we would like to see functions can be multiplied divided تو یہ تین چیزے یہ تو خیر same similar concept ہے جو ہم ریل نمبرز میں بھی دیکھا ہے you know addition, subtraction, multiplication and division تو اب ہم دیکھیں گے کہ we can actually do the same operations on functions اس کے لعان ایک نئی چیز functions ہم ڈیفائن کریں گے جو نمبرز میں ہمیں اس کا analogue نہیں ملتا تو وہ چیز کے لاتی ہے composition of functions تو یہ جو ہم کہہ رہے ہیں کہ functions can be composed with each other تو جو تین چیز کے لاتی ہے کہ functions can be composed with each other تو یہ ایک نئی دیفنشن ہوگی جو ہم لیے پہلے نہیں دیکھی ہے لیڈا ریاڈ مبرز میں یہ کم بہت ہون، کس پر یہ مسئلہ کی روحانی اور نئے اپرشن ہوگی کامپوزیشن کی اور یہ بھی بھی فرمیت پر دیخلی سکتے ہیں یہ چیزیں بھی ہم دیکھیں گے تو آئیے چلتے ہیں پھر مزید شروع کرتے ہیں اس لیکچر کو اور دیکھنے کیا کہا ہوں first of all the basic elementary operations on functions which are addition, subtraction, etc.. تو آئیے پر proceed کرتے ہیں تو example آپ کے سامنے ہے دو functions لے لیتے ہیں ایک ہے جی f of x equals x square اور دوسرہ جو function ہے وہ آپ کے پاس آجائے گا let's say we can take g of x to be just x تو یہ اب جو notation میں نے لکھی I hope you remember that recall it from the previous lecture کہ f of x میں نے جب لکھا تو this is not saying f multiplied by x is equal to x یہ بیسکل اگر آپ کو یاد ہو کہ ایک طرح کا طریقہ ہے ہم نے equation سیکھی تھی جس میں ہم لکھتے تھے y is equal to x تو اب ایک طرح سے میں نے ایک نئی notation بیچ میں ڈال دیے y equal x کی بجائعہ میں کہہ رہا ہوں کہ y is equal to the new notation f of x which is also equal to x تو یعنی y کو ایک نئے لے بل دے دی ہے میں نے f of x کا تو اس کو پرتے ہم ایسا یہاں یہاں یہاں بیسکل ایڈیہ یہ کہ جب y equals x لکھا تھا ہمارے پاس تو ہم کہنا چاہ رہے ہیں کہ y is a function of x and that's why we have this notation I hope you recall this from the previous lecture تو آئیے اب اس اجامپل کے باپس چلتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ ہم ان دو function کو جو ہم نے لکھے ہیں یہاں if we can add those two functions تو یہ دو functions ہیں آپ کے پاس تو ان کو ہم add کرنا چاہتے ہیں تو کسی طرح سے plus کا sign ایک بیچ میں لگاتے ہیں ان کے so let's write down f of x plus g of x تو اب سمپل سی نچرل سی ایک بات ہے ایک انٹویٹیولی کلیر آئیے اس میں کوئی خاص بہت زبادہ سبات نہیں ہوگی اگر میں اس جو میں نے سٹیٹمن لکھی f of x plus g of x کو دیفائن کر دوں as x square plus x تو یہ میں نے کیا کیا میں نے کچھ بھی نہیں کیا رہی لی ہے mathematically speaking I have done nothing phenomenal میں نے ایک نچرل سی بات کو یعنی ایک نچرل سی جو ایک دماغ میں بات آتی ہے اس کو میں نے ایک دیفائنشن کی طال پر بناکے لکھ دیا ہے یعنی میں نے کہا کہ اگر میں نے پاس دو فنکشنز ہیں f of x اور g of x میں ان کو آئٹ کرنا چاہتا ہوں تو نچرلی ایک دم سے خوایش ہوتی ہے کہ جب میں ان کو آئٹ کروں f of x plus g of x تو ان کو بیسیکلی جو فومولازیں ان کے ان کو بس میں آئٹ کر دوں کیونکہ یاد رکھیں کہ جو x variable ہے آپ کے functions میں اور equations میں جو ہوتا ہے وہ ہے تو variable it is the independent variable when you talk about this x in terms of functions but it always represents a real number یا it can also represent some other variable اور جو other variable ہوگا also of course will represent a real number eventually یعنی جتنے بھی variables ہیں they will basically eventually turn into real numbers تو جب میں کہتا ہوں x square plus x تو I can do it very naturally because eventually I will be plugging in values for x they will be real number values اور جب numbers میں ڈالوں گا تو I can add real numbers تو یہ اس طرح سے میں اس دیفنیشن کو formulate کیا ہے یعنی دماغ میں رکھا میں نے اپنے back of my mind میں کہ these will eventually be real numbers تو let's just define the addition of functions as the addition of the formulas that define the function تو in this case of course we have f of x plus g of x is defined as x square plus x تو آگے دیکھتے ہیں ایک اورہای زمبل کر لیتے ہیں یا اس کے بارے میں actually ایک زمبل سے پہلے تھوڑی سی اور بات چیت کرتے ہیں یہ جو نوٹیشن ہم اس میں تھوڑا سس کو formalize کر لیتے ہیں یعنی تھوڑا سا ایک definition کی form and property تو نوٹ کیجئے کہ میں ایک تھوڑی سی جو میں نے f of x plus g of x کہا تو اس میں یہ بھی نوٹ کیجئے کہ جو result آیا تھا x square plus x that was actually in a sense a new function تو ظاہر ہے نمبر کے بارے میں تو میں نے کہا کہ eventually we will call all the x's numbers so we can define it as such لیکن really at the function level جو ہم بات کرتے ہیں تو we have basically what we have done when we added the two functions is we have defined a new function you know it is going to be just like when you add two real numbers you get a new real number similarly when you add two functions you get a new function and you denote that new function as f plus g تو اس کو میں سکین پہ لکھتا ہوں اس کی notation تھوڑی سی کلیر ہو جاتی ہے سکین پہ یہ آپ کے پاس لکھا ہے جی کہ the sum of two functions is denoted as f plus g پرانتسیز f plus g پرانتسیز اس کے کلوز کر دیجی اور ساتھ میں پرانتسیز میں x ڈال دیں اور یہ آپ کا نیا فنکشن ہوگا f plus g of x اس کو آپ دفائن کریں گے as the original the function f of x the original f of x that is given to you plus the function g of x تو آپ نے ایک طرح سے ایک مطلب ہم نے دیکھا f of x plus g of x کے معنی کیا ہے جس میں ہم نے ان کے فرملس کو ڈال دیا لیکن just for notations sake ہم ایک نئی notations ڈیفائن کرتے ہیں جب بھی ہم دو functions کو ڈال کریں گے کوئی بھی ہوں f or g کیلیز اس example میں جیسے ہیں they could be k and f for example or any kind of letter could be used تو ہم اس کو لکھیں گے as f plus g of x پہلے f of x ایک فنکشن g of x دوسرا فنکشن اور ان کا جو ڈالشن ہوگی ایک نیا فنکشن ہوگا and you'll get a new function اور اس کی notations جو ہم لکھیں گے f plus g of x یہ ایک طریقہ ہے جس طرح اور کافی نیچلس ہے جس طرح جس طرح استعمال کرتے ہیں آپ ایک plus کی جو ہے ایک طرح کی definition دے سکتے ہیں for functions now you've seen how to add functions تو ہم دیکھتے ہیں کہ اور کیا کچھ کر سکتے ہیں functions کے ساتھ اچھا اس کے ساتھ اچھا اس میں میں ایک تھوڑا سا ایک formally ایک اس کی definition لکھتا ہوں اس کی ان کے اوپر جو آپ کو میں نے ہم نے ابھی تو یہ دیکھا کہ f plus g کیا چیز ہوتی ہے تو آئیے دیکھتے ہیں کہ f minus g کیا کیسے دیفائن کیا جا سکتے ہیں ظاہر ہے جب f plus g ہو سکتے ہیں تو f minus g بھی ہونا چاہیے اسی طرح سے f multiplied by g بھی ہونا چاہیے کچھ نہ کچھ اور f divided by g بھی کچھ ہونا چاہیے ایک دیکھتے ہیں کہ ان کو ہم کیسے دیفائن کریں گے اسکرین پہ چلتے ہیں یہاں پہ ڈیفینیشن for operations on various operations on functions ہے سمجھرلی ہم کہ سکتے ہیں کہ اگر مجھے دو functions subtract کرنے تو I define a new notation which is f minus g of x اور اس کو میں دیفائن کروں گا f of x minus g of x یعنی جو original functions ہوں گے میرے پاس f or g ان کو استعمال کرتے ہیں میں اس کو دیفائن کر سکتا ہوں سمجھرلی I can define the product of two functions یہاں پہ اس کی notation ہوگی f times g of x which is defined as the product of the functions f of x and g of x تو f of f times g of x is equal to f of x times g of x آخری جو ڈیفینیشن ہوگی وہ ہوگی کہ ڈیفائن کے بارے میں ہوگی میں ڈیفائن کروں گا f divided by g of x as the division of the functions f of x and g of x یعنی f over g of x will be defined as f of x over g of x تو یہ اپریشنز ہیں جو ہم بڑے ایرام سے دیفائن کر سکتے ہیں ہم نے ایک ایک اجامبل دیکھی پہلے ایک اس کی جس میں ڈیشن ڈیفائن کی تھی میں بلکہ آپ سکوں گا کہ you should try some examples by yourself ڈیشن ہوگی کچھ problems ڈیشن ہوگی ڈیشن ہوگی ڈیشن ہی چیز دیفائن کر دیئے ڈیشن ہی چیز دیفائن کر دیئے لیکن دیکھیں کہ مجھے کی بات کیتی ہیں کہ it's looks impressive کیونکہ ہم نے بہتی نیشلی ایک نئی چیز دیفائن کر دیئے تو دیکھتی ہے اس کی جیس میں ڈیشن ہوگی تو سکن پر میں لکھ دیتا ہوں یہ چھوڑا سی فکٹ اور اس کے بعد چھوڑا سی بات کرتے ہیں یہ جو فکٹشن ہے f plus g f minus g اور f times g تو ان کی دومائنز جہوںگی we will say that the domains are defined as the intersection of the domains of the functions f and g یعنی جو آپکہ عرجل فکٹشن ہے ان کی کچھ دومائنز ہیں تو ان دومائنز کی اگر آپ انترسکشن لیں گے تو that intersection will define the domain of your new functions namely f plus g f minus g and f times g تو ان تینوں فکٹشن کی جو دومائن ہوگی it will be the domain which will result when you intersect the domains of the respective functions f of x and g of x تو ان دونوں کو انترسکت کیجئے تو ان کی دومائنز کو تو آپ کے پاس دومائن آجائے گی ان تینوں فکٹشن کی f divided by g کے بارے میں کہہ سکتے ہیں اس کے بارے میں یہ کہ سکتے ہیں کہ f divided by g تو f divided by g اس کی دومائن بھی وہی ہے جو پہلے ہم نے دیفائن کی تھی پشلے فنکشن کے لئے یعنی دومائن of f over g is the intersection of the domains of f and g except for the points where g of x equals zero تو I think pretty elementary pretty straight forward کیوں کہ ظاہرے جو divide آپ کر رہے ہیں جو فنکشن کو ہم نے دیفائن کیا تھا f divided by g of x as the division of f of x and g of x یعنی f of x divided by g of x تو نوٹ کیجے کہ ہمیشہ جو فنکشن ہے لیکن جب اس کے x variable come value دیتے ہیں تو result is always a number تو اگر وہ number zero ہو جائے تو کیا مسئلہ ہوگا تو I hope you remember very elementary idea کہ division by zero is not allowed تو of course ہم یہ ہی چاہیں گے کہ g of x can never be zero اور پھر ہم یہی کریں گے کہ ظاہرے g of x فنکشن ہے تو اس کی ایک دومائن ہے تو as such ہوسکتا ہے جی of x پر کوئی رسٹکشن نہ ہو کہ وہ zero یعنی اس کو allowed ہو کہ وہ zero ہو لیکن جب ہم اس کی بات کریں گے f divided by g کی تو اس میں ہم یہ کہیں گے کہ جی of x کے جو نمبر وہ x values جہاں پر جی of x zero ہوتا ہے ان کو ام Exclude کر دیتے ہیں کیونکہ ذاہرے ہونہ division by zero takes place and that is not desirable تو یہ ہمالی definitions ہے ان کی کچھ بات چیت کرتے ہیں مزید تھوڑیسی تو یعنی کہ اب یہ ایک example کر لیتے ہیں ہم نے جیسے بات چیتو کر لیتے ہیں کہ بھی domains کیسے دیفائن کرتے ہیں انٹرسیکشن کی تو let's do a very simple example ہم f plus g ایک function دیفائن کرتے ہیں given two functions f of x and g of x اور اس کے بعد دیکھتے ہیں اس کی domain جو ہے وہ یعنی انٹرسیکشن بنتی ہے original functions کی کہ نہیں یاد رکھیے کہ ابھی ہمیں f times g کی بھی ایک example دیکھنے جو میں شروع میں دکھانا چاہتا تھا لیکن پھر یہ domain کا مسئلہ کھڑا ہو گئے اس کو پہلے دیکھ لیتے ہیں and then we'll talk about what it means to say to define a function as f times g ایک example دیکھتے ہیں example ہے آپ کے سامنے جناب f of x equals one plus the square root of x minus two یہ آپ کا پہلے function ہوگیا ہے f of x اور دوسرہ function آپ لیلی جی g of x equals x minus one تو آپ یہاں پر ان کو ان دونوں function کو سمال کرتے ہیں آپ ایک function ملانا چاہیں گے f plus g of x اور ظاہر ہے وہ ہم نے دیکھا کہ it's defined as the sum of the functions f of x and g of x تو ان کے جو formulas آپ کے پاس ہیں ان کو ایٹ کر دیجئے تو یہ آپ کے پاس آتی ہے equation one plus square root of x minus two that's the function f of x plus the function g of x well that's just x minus one تو ہاں سیمپلیفکیشن کیجئے بیسکالجیبرہ سے تو result آتا ہے x plus the square root of x minus two تو یہ آپ کی equation آجاتی آپ کے پاس formula آجاتا ہے for the function f plus f plus g of x تو ہاں یہ تو ہم نے دیفائن کر لیا کہ جی formula اس کا ہے اور ہم نے دیفائن کر لیا اس کو new function کو اس کی domain دیکھ لیتے ہیں کیا ہے ابھی ہم نے دیفائن کی تھی جب آپ ایٹشن کرتے ہیں functions کی یہ subtraction یہ سب کچھ تو اس میں ان کی domain کی intersection جو ہے وہ new function کی domain بنے گی تو آئی دیکھتے ہیں کہ domain ہے کیا اور new function کی کیا ہوگی نوٹ کیجئے کہ جو f of x function ہے اس میں آپ کے پاس ایک square root involved ہے تو square roots کے بارے میں جب ہم بات کرتے ہیں تو یہاں درکھیں کہ جیشت آپ نے بلکہ دیکھا بھی ہوگا اور اگر نہیں دیکھا تو ابھی میں بتا رہتا ہوں کہ square root جب آپ لیتے ہیں کسی number کا تو وہ number ہی نہیں ہو سکتا یعنی کہ اگر آپ square root of negative 1 لیں گے تو that will be undefined basically in terms of real numbers اس کی خیر مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھے مجھےych that when you square it you get negative one. تو اسی لیے اسی ریزن کے why سے ہم کہیں گے کہ square root of negative one is undefined. تو آئی بھب دیکھتے ہیں ماzeed کے دومایوں کے بارے میں کھا کہسکتے ہیںwith this rule in mind. یہاں پہاں کھر چونکلہ ہماں پہاں پہاں سکورڈ of x-2 ہے تو ہمارے پاس restrixion یہ ہے ایک طرح کی نیچلدومایل بنتی آپ کے پاس ہے وہ نگیٹف نہیں ہونا چاہیے تو یہ دیکھلی جیے کہ یہ x minus 2 negative کب ہوگا well سیمپل سی بات ہے جب آپ کے پاس 0 سے کم اس کی value آئی گی تو یہ نگیٹف ہوگا نوٹ کریں کہ اگر x کو میں 2 کر دیتا ہوں تو میرے پاس رزلٹ آتا ہے 0 which is perfectly defined I can always take the square root of 0 but what happens if I plug in a number less than 2 یعنی for example 1 plug in کرتا تو میرے پاس رزلٹ آتا ہے negative inside the square root so this is the place where I will have a problem so مخصد یہ کہنے گا کہ any number less than 2 in this case will give you a square root of a negative number so therefore we will define the domain as for this function as the domain of f is the interval bracket 2 comma positive infinity تو یعنی مخصد یہ کہ آپ 2 کے علاوہ 2 کو بھی x کے اندر ڈال سکتے ہیں value کے طور پہ لیکن اسے چھوٹا کوئی number سمال نہیں کر سکتے لیکن یہ دیکھیں کہ 2 سے کوئی بڑا number ڈالیں تو that's okay we get a defined result and that's perfectly fine تو یہ ہم infinity تک کر سکتے ہیں لہذا ڈomain آتی ہے f of x کی the interval 2 comma infinity with 2 included تو یہ تو آپ کی ڈomain آگی f کی اب دیکھتے ہیں کہ گی کی کیا ڈomain ہے گی کی طرف دیکھتے ہیں گی جو function ہے وہ ہے بڑا سمبل سا اس میں فارملہ ہے اس کا x minus 1 تو نوٹ کریں کہ اس میں تو کوئی مسئلہ نہیں ہے اس کے اندر نہ کوئی division by 0 ہوگی نہ کوئی negative square root ہوگا سمجھ لی آپ number values ڈالتے جائیں گے x کے لیے اور آپ کے پاس number values ڈالتے جائیں گی g of x کے لیے جسے y بھی کہتے ہیں تو لہذا ہم لکھ دیتے ہیں ڈomain of g is it's a natural domain and that is the interval minus infinity to positive infinity تو یہ آپ کو اس دو ڈomains آگییں آپ کے پاس f of x کی ڈomain بھی آگیے اور ساتھ میں g of x کی بھی ڈomain آگیے آپ اصل مقصد ہے معلوم کرنا ڈomain of f plus g of x تو اس کو سکین پہ دیکھتے ہیں تو ڈomain of f plus g جو ہے اس کو میں لکھوں گا as the intersection of the intervals 2 comma infinity positive infinity and the interval minus infinity to positive infinity تو اس میں اگر آپ تھوڑا سا نوٹ کریں غور کریں کہ اس کی جو انٹرسیکشن ہوگی وہ ہوگا پہلہ والا انٹرول جو ہے کیوں کہ which is namely the interval 2 comma infinity with 2 included تو یہ آپ I hope you can convince yourself آپ کو یادہ انٹرسیکشن کی definition کیا ہوتی ہے کہ the intersection of these two will be 2 comma infinity positive infinity کیوں کہ negative infinity سے جو انٹرول positive infinity تک جا رہا ہے اس میں سارے نمبریں included ہیں اب اس کے سپسیٹ کے ساتھ آپ انٹرسیکشن لے رہے ہیں تو انٹرسیکشن اگر آپ کو یادہ it is just the انٹرسیکشن آپ جب دو انٹرولس کی لیتے ہیں اگر دو سیٹس کی تو آپ those elements دیکھتے ہیں جو دونوں سیٹس میں کومن ہیں تو یہاں پہ چونکہ 2 or positive infinity والا انٹرول contain ہے it is a subset of the other انٹرول تو ہم چھو دہرے سارے elements جو دونوں میں ہوں گے وہ چھوٹے والے subset میں ہوں گے and that is why we get the result 2 and positive infinity as the intersection of these 2 انٹرولس تو یہ تو آپ کے پاس آگی دومین f plus g کی تو note کی جے کہ it is a little bit complicated کیوں کہ آپ کو انٹرسیکشن کی definition جو ہے وہ یادہ رکھنی پڑتی ہے اس کے لہاں it is pretty elementary کیوں کہ it is just the intersection جو بھی آپ کے پاس انٹرولس ہیں انٹرسیکشن لے لی جے انٹرسیکشن کی definition یہ کہ it is the it is a new set when you take the intersection of 2 sets you get a new set which contains the all the elements that are in both sets any common to both sets تو وہ I think it is pretty elementary اس کو استعمال کرتے ہمیں دیکھا کہ ہمارے پاس ایک دومین آگئی for the function f plus g of x تو یہ جو بڑی اسان سی I think ڈیمپل تھی آگے کچھ اس کی آپ ہوتھ نیجی کرسکتے ہیں where you can look at functions like f minus g and ڈیسٹرہ I am ڈیکھتے ہیں جو ہم نے شروع میں بات میں کی تھی کہ let us look at an example where you multiply 2 functions آپ کے پاس function انٹرسیکشن کیا آپ f of x equals 3 times the square root of x اور ساتھ میں g of x which is just defined as the square root of x تو یہ دو function ہماری پاس ہیں f or g ان کا ہمیں product define کرنے ہمیں ڈیمپل تھی مال کرتے بھی ہمیں ایک function ڈیفائن کرنے f times g of x تو زیرے وہ ہم نے ڈیفانیشن دیکھیں کہ it will just be the product of these two functions تو ہی دیکھتے ہیں کہ وہ product کیا ہوگا product آپ کے پاس آئے گا جی آپ کہتے ہیں کہ you want to find f times g of x that is defined as f of x times g of x well that's just equal to the product of 3 times square root of x and square root of x اگر آپ square root of x کو ملٹپلائے کریں اس کے اپنے ساتھ تو you're really basically squaring it square or square root ایک دوسرے کو اندو کر دیتے ہیں لہذا result آتا ہے 3x تو یہ آپ کے پاس function آگیا which is 3x تو یہ ہم نے example دیکھی کہ آپ نے product معلوم کیا یعنی ایک product function ڈیفائن کیا using two individual functions separate functions اور ایک نیا product آگیا آپ کے پاس product function آگیا f times g of x تو اب اس کے domain بھی معلوم کر لیتے ہیں اپنے example تو دیکھلی کہ آپ کیسے define کر سکتے ہیں معلوم کر سکتے ہیں product function اس کے کچھ domain کی بات کرتے ہیں تو آئی اسکین پہ میں کچھ چیزے لکھتا ہوں یہاں پہ سب سے پہلے تو یہ دیکھیں کہ جو function آپ کے پاس آئے ہے 3x اس کی natural domain کیا یعنی خدرتی طور پہ اس کی domain کیا بنتی ہے دیکھیں فار ملہ جہاں بڑا سیمپلس آئے اس میں کوئی division by zero نہیں ہے کوئی square roots نہیں ہیں تو we have no problems of that type تو لہذا اس کی domain ہے وہ بیسکل انٹرول ہے minus infinity سے لے کر positive infinity تک تو یہ تو آپ کا ایک natural domain ہے اب یہ جو domain آئی ہے اس میں تھوڑا سا دیکھیں گا کہ جو آپ کی یہ تو اس کی natural domain ہے 3x کی لیکن آپ اس کی domain تو define اسے کرتے ہیں چونکہ 3x جو result آئے یہ آپ کے پاس دو function کے product لینے سے آئے تو really اس کی جو domain ہوگی وہ تو intersection ہونی چاہیے own original functions کی domains کی تو آئے دیکھیں کہ وہ دو domains کی intersection ہے کیا اگر آپ کے دو functions جو original تھے f of x or g of x تو اس میں note کیجئے کہ جو f of x ہے اس کی کیا domain ہوگی اس میں square root involved ہے تو آپ negative numbers نیہ سائن کر سکتے x کو لیکن اس کے لعا آپ 0 سائن کر سکتے اور سارے numbers positive جو ہیں تو بیسکل اس کی جو domain ہوگی وہ ہوگی 0 included all the way to positive infinity جو function g of x ہے اس کی بھی exactly وہی domain ہوگی f of x or g of x میں فرق سے فتنہ ہے کہ f of x is multiplied by a 3 and that doesn't really do into the domain so what we get is that the domain of f and g is the same and namely that is the interval 0 included all the way to positive infinity تو یہ تو تھوڑی سی problem ہوگی آپ کے پاس جو original functions ان کی جو domain ہے وہ تو individually ایک ہی ہے اور intersection لیں گے تو ظاہرے وہی result آئے گا تو intersection جب ان کی domains کی آپ لیتے ہیں تو you get the result 0 to infinity as the domain for your new function right f times g لیکن ہم نے دیکھا بھی کہ f times t f times g جو ہے function اس کی domain تو سارے real numbers ہیں تو what's going on I mean like how can we reconcile these two things تو اس میں کوئی بہت بڑا مسئلہ نہیں ہے situation کچھ یہ ہے کہ اگر میں ایک نیا function کیا لگتا آپ کے لئے میں کہتا ہے کہ ایک نیا function ہے h of x equals 3x یہ ایک نیا function ہوتا اس کی domain جو تھی وہ natural domain ہوتی from negative infinity to positive infinity یہاں پہ بھی ہمارے پاس ایک function ہے 3x لیکن ہم نے اس کو حاصل کیسے کی ہے how did we get this 3x we got this 3x by taking the product of two functions یہاں پہ کچھ distinctions آئیں گی domain پہ اس والے 3x کی جس کو میں f times g کہا رہوں تو اس کی ظاہر سی بات ہے کہ جو domain ہوگی وہ intersection ہوگی original two functions کی اور لہذا ہم لکھیں گے کہ the domain for f times g of x is just the interval 0 to positive infinity تو یہاں پہ ہم نے distinguish کیا ہے basically between the idea کہ آپ کے پاس ایک original function by itself given ہو لیکن اگر اور اس کی کوئی domain ہو تو وہ ایک چیز ہوتی ہے لیکن اگر وہی function آپ کے پاس as a result آتا ہے of taking the product ایک product of two different functions اور ظاہر ہے جب اس کی آپ domain معلوم کرنا چاہیں گے تو آپ دیکھیں گے domain کی individual two functions کی domain کی intersection کو تو وہی function جو آپ کے پاس پہلے تھا by itself تو اس کی domain different ہو جائے گی تو یہ restrictions کلاتی ہیں جس کے بعد ہم نے پہلے بھی بات کی تھی کہ we are going to restrict the domain اور somehow alter it keeping in mind کہ جو ہمارا function already exist سپرٹلی یا it's a result of the product of two functions تو I hope that's kind of clear اور اب آگے چلتے ہیں ایک notation ہوتی ہے جو میں دیفائن کروں اس کو میں لکھ دیتا ہوں دیکھتے ہیں کیا ہے یہ یہ notation ہے اگر میں لکھوں جیسے میں product لیتا ہوں ایک function کا with itself یعنی I want to have the I have a function f of x and I want to take the product of that function with itself تو we will have f of x multiplied by f of x itself اور جس for notation say just to make things easier I will write this as f to the power of x تو یعنی میں نے ایک نئی notation privacy بسیل کیا ہی انڈرڈیول کیا ہے which will help us later on اب یہیک example دیکھیں گے جو ہم شاہت پہلے بھی دیکھ چکے ہیں اور ہمیں سمہ جائے گا کہ ہم نے وہ example جو پہلے ہم نے القام نسبہ باتا تا جو دیکھی تھی وہ کیوں استعمال کر دیتی ہے سویو غوٹی بیسکلی ایک نئی چیز دیفائن کیے کہ اگر ایک فنکشن ہے اس کا اسی کے ساتھ پروڈک لیں تو پہلے جیسے اف اور جی کا لیا تھا تو اف times جی لکتے تھے ہم یہاں پہاں اف times اف کو بیسکلی لکتے گے اف to the power 2 یا اف squared of x سیمبرلی اگر میرے پاس یہی فنکشن ایک ہوں اف of x اور اس کا میں n times پروڈک لینا چاہتا ہوں یا کہہ لی جی کہ میں n product لینا چاہتا ہوں اس کا یہ نہیں میں کہوں کہ جی f of x times f of x times f of x all the way to the product we take the product all the way to f of x and many times اس کو میں لکھوں گا as f to the power n of x ای اس کن پر میں لکتا ہوں کہ یہ بیسکلی product ہوگا f of x times f of x times f of x all the way to the last term would be f of x and this product will be taken n times تو this would basically be written as f to the power n of x تو جس طرح بالکل میں نے تھوڑی دے پہلے لکھا تھا کہ f times f is f to the power 2 of x اسی طرح سے f times f times f all the way to nt f تو وہ میں لکھ دوں گا f to the power n of x یہ چھوٹ کچھ نہیں نوٹیشن تھی کچھ اگرہ یاد ہو آپ کو کہ کچھ ٹرگنومیٹرک function ہوتے شہدہ ٹرگنومیٹری میں آپ نے پر آو میں ایک فنکشن یہاں پر لکھتا ہوں ایک سی چیز کی جو ابھی ہم نے بات کی نوٹیشن کی یہ ایک سیمپل ہے سائن of x میرے پاس اگر فنکشن ہے یعنی f of x equals سائن of x اب میں اس کا پروڈٹ اسی کے ساتھ لینا چاہتا ہوں تو I want to take سائن of x times سائن of x رزلٹ میں لکھ سکتا ہوں as sign of x quantity squared لیکن یہ جو نوٹیشن تھی میرے پاس اس کو استعمال کرتا ہوں میں لکھوں گا اس کو as سائن squared x تو یہ نوٹیشن پہلے ہم دیکھ چکیں نوٹ کیجئے کہ سائن squared x جو نوٹیشن ہے یہ بتا رہی ہے کہ میں نے پروڈٹ لیا ہوں سائن کا with sign itself it's not the same thing as sign of x squared یعنی sign with the quantity x کے اوپر آپ سکتا ہوں that's a totally different function یہ سائن squared x just telling you that this is a function x multiplied by with itself تو یہ تھوڑی سی نوٹیشن تھی very important یادر کیے اور اس کے بارے میں ہم استعمال کریں گے نوٹیشن تو we'll see why we need it آپ آگے چلتے ہیں functions کے بارے میں مزید بات کرتے ہیں اب جو نیا ایک جو ایک اور topic ہے lecture کا basically major topic وہ جو ہم نے last شروع میں دیکھتی ایک operation ابھی تک ہم نے plus define کر دیا minus define کر دیا product define کر دیا division b define کر دیا functions اب ہم ایک نئے function ایک نئے operation define کر دیا on functions تو یہ ایک ایسی operation ہوگی جس کو ہم کہتے ہیں composition of functions لیکن اس کا analogue آپ کو real numbers میں نہیں ملے گا it's a totally different thing تو یہاں پر تھوڑی سی آپ دیکھیں گے that functions have a world of their own release they have their own lives they don't always depend on real numbers تو یعنی اور یہی وہ بات میں شروع میں آپ سکے تھی کہ mathematics میں progress ایسا ہوتی کہ آپ کچھ know an ideas اور پھر آگے چلکے وہ ideas اپنی ایک طرح کی جان پکر لیتے ہیں کہہ سکتے ہیں and they become you know things entities in their own right تو اسی طرح یہ composition جوگی آپ دیکھیں گے it's a very interesting operation on functions اچھا تو یہ میں define کر دیتا ہوں کہ composition ہوتی کیا آپ کو یاد ہوگا کہ بلکہ ابھی تک ہم تھوڑی دل پہلے بھی idea discuss کیا تھا کہ جو جب functions کی بات ہوتی ہے تو اس کو ہم values assign کرتے ہیں تو اب ہم values تو assign کر رہے ہیں اور ہم نے دیکھا کہ ہم ان کو اس کو numerical values ہی assign کرتے ہیں really ہمارا مقصد eventually یہ ہوتے کہ x کو number value دال کے دیکھیں اور اس کا result دیکھیں کیا آتا ہے output لیکن ہم نے یہ بھی دیکھا تھا کہ ہم variable بھی ڈال سکتے ہیں x کی جگہ i.e. x already variable but we can always replace it with a new variable or some kind of expression involving variables وہ ہم نے one shed دالا تھا تو ایک result آیا تھا kind of interesting you got a new function basically out of that تو اسی طرح سے اب ہم یہ کریں گے composition میں کہ ہم 2 functions ہوں گے ہمارے پاس f of x and g of x and we will use one of the functions as a value for the independent variable of the other one تو this is exactly the idea of composition of functions تو اس کو میں ایک example برے خال سے ہم کر لیتے ہیں because some many students get a function اسے تھوڑی سے پرشانی ہوتی ہے تو میرے خال سے رائط from the start we should just do an example or it's a theory الو جائی کہ what we are trying to do آگی دیکھیں remember an example کوچا ایسے ہے کہ آپ کے پاس function دیاوائی f of x equals x cubed ساتھ میں function دیاوائی g of x equals x plus 4 تو what we want to do is we want to compose f with g or اس کی نوتیشن زہر بہن before we do the example let's just ہم ایک نیا حوالے کی pewn پہلے بیٹیingle کا car جو فنکشن ہے جو فنکشن ہے جو فنکشن ہے اس کو as a value pass کریں for the independent variable for the function x f of x تو یہ رزالت آئے گا f of g of x which is f f جو فنکشن ہے وہ کیوب کرتا ہے ہر چیز کو لہذا اگر ہم اس کو g of x کی value دے دیں گے تو ہمارے پاس رزالت آئے گا g of x quantity کیوبڈ لیکن ہمیں پتا ہے جو فنکشن کیا اس کا فرمیلہ کیا وہ فرمیلہ ہے x پلس فور لہذا ہم وہ یہاں پر دال دیتے ہیں تو ہمارے پاس رزالت آتا ہے x پلس فور تو the power 3 تو اس اگر میں آپ نے دیکھا میں بل کے دیفائن بھی کرے کیا اس اگر میں کیا کہ کام پوزیشن ہوتی کہ ایک سرکل جی of x اس کو دیفائن کرتے ہیں جب میں لکھتا ہوں f circle g of x تو مخصد کہانے کا یہ کہ جو فنکشن f ہے اس کے ڈیپینڈنڈ ڈیو فرمیل کو آپ value پاس کی جی ہے the function g of x اور جو بھی اس کا فرمیلہ ہے وہ اس میں رپلیس کر دیں x میں جو کہ f کے f کا ڈیپینڈنڈ ڈیو فرمیل ہے یہاں پر کچھ ڈیو فرمیل ہیں وہ تھوڑا سی مکس ہو جاتے ہیں یعنی we have too many x's around but that's okay you know this is something we should get used to as long as you know the definition and what the idea is آپ کنفیوز ہونے کی اس میں کوئی میرے حال سے زیادہ کنفیوز نہیں ہوں گے کیونکہ as long as you know the definition you're okay تو اس اگنپر لہاں میں دیکھا کہ ایک f of x function تھا جو کیوب کرتا تھا چیز کو it used to کیوب any number or any value you give x لہذا آپ ہم یہاں پر ہم نے چونکہ جی of x کستمال کیا تھا as a value for x in the function f of x تو ہمہاں پر سیزلت آئے ہے کہ جو function جی of x ہے وہ کیوب ہو گئے لہذا رزلٹ نکلہ تھا جو نئے function ہمہاں پر سے دیفائن ہوا f of g of x یہ f composition g of x تو وہ تھا x plus 4 to the power 3 تو یہ تھوڑا سا شہب کمپلکیٹ لگے again اسی کی examples کیجیے this is a very good idea very important idea later on it's used a lot actually the probably the one of these idea جو ہم کالکلس میں دیکھ رہے ہیں جو کہ modern maths مستمال ہوتی ہے یعنی phd level mathematics میں the composition is a very important idea تو آئی آگی چلتے ہیں دیکھیں اس کے بارے میں اور بات کرتے ہیں تو ہم نے دیکھا کہ ہم نے ایک نئی operation define کی functions کے اوپر call the composition of functions تو ہمیں دیکھا کہ ہم کیسے ایک نیا function define کلے تھے using two functions or not by adding or subtracting in any way but a totally new way of doing it تو یہ of course اس کی practice کرنا پڑے گی تھوڑے سی لیکن یہاں پہ کچھ اور issues بھی ریز ہوتی ہیں مثال کتاب جیسے پہلے بھی ہم نے جب addition subtraction وغا را کی تو ہم نے پوچھا کہ بھی یہ composition جو ہم نے کی ہے ساری operations اور نئے functions ہم نے بنائے تو what were the domains of those functions تو ہم نے دیکھا تھا کہ انٹرسیکشن جاتے ہیں respective functions کی ان کا جو انٹرسیکشن تھا وہ آپ کے پاس آپ اس کو استعمال کرتے تھے define کرتے تھے as the domain of the new function تو کیا ایسی کوئی چیز ہم اس میں بھی کریں گے composition میں اپسوز کی بات ہے کہ اتنی سیمپل بات نہیں ہے کیونکہ جب آپ کمپوز کرتے ہیں دو functions کو تو ان دو individual functions جو آپ کے پاس ہیں ان کی جو domains کی انٹرسیکشن ہے وہ اس نئے function کی domain نہیں ہوتی بلکہ ایک تھوڑا ڈیفننٹلی ڈیفائن کرنا پڑے گا آئی دیکھتے ہیں وہ ڈیفنیشن کیا ہے for the domain of f composed with g of x یہاں پہ دیکھئے کہ ہم کہیں گے کہ the domain of the new function f circle g consists of all x in the domain of g for which g of x is in the domain of f its a little bit complicated definition ڈیفنیشن ہے یہاں پھرشان ہوگئے لیکن جو ہم سوشتیں اس کے بارے میں لکھا کیا ہے لیکن let's go back to the screen and let me write down something else ڈیفنیشن دیکھی کے for the composition of two functions کے the domain of f circle g or f compose with g consists of all x in the domain of g for which g of x is in the domain of اس کا مطلب کیا ہے یعنی نوٹ کیجئے کہ in order to compute f of g of x you first need to compute g of x for an x from the domain of g then one needs to basically take that g of x and use it and check if that g of x is in the domain of f to compute f of g of x تو یعنی بیسیکلی زائر ہے جب آپ ہم functions ہوتے ہیں ہم domain کی بات کرتے ہیں جب ہم values pass کرتے ہیں x کو variable کو تو question ہی ہوتا ہے کہ بھی یہ جو x value ہم نے variable کو pass کیے کوئی value doesn't matter if it's a number or whatever تو اس کی domain میں بھی ہے کہ نہیں تو وہی ہم ڈیلیہ یہاں پر استعمال کر رہے ہیں کہ جب آپ f of g of x computer کرتے ہیں پہلے آپ کو compute کرنا ہوتا ہے ہم نے example بھی دیکھی کہ اس میں g of x کیا ہے تو g of x کو جب compute کریں گے تو اس کا مطلب ہے آپ g of x کے اندر جو x ہے اس کو کوئی value pass کر رہے ہیں تو وہ value ظاہرہ domain of g سے آنی چاہیے جب آپ کے پاس وہ value pass ہو گئی g میں تو ایک result آ گیا اس result کو آپ پھر f میں pass کرتے ہیں as a value to the x in the f function تو اب یہ بھی یہاں پہ چکنا ہوتا ہے کہ یہ جو نئی value یہ f کی domain میں ہے کہ نہیں تو یہی سف ایک concept ہے بیسیکلی سیمپل سا idea تھوہاں سا سوچنا پڑتا ہے تھوہاں سا convoluted ہو میرے خال سے ہوگا یہ لیکن it's a very understandable idea تو محال سے example کرتے ہیں اس میں دیکھتے ہیں کہ یہ ہو کیا رہا ہے example سے پہلے میں صرف یہ ایک ضرور کہتا چلوں کہ جو composition ہے functions کی یہ اس کو اس طرح سے imagine کیجے کہ آپ جب real life میں جوطے پہنتے ہیں when you put on your shoes what do you do? you basically compose two functions to get the result یعنی دو functions کیا ہے سب سے پہلے آپ socks پہنتے ہیں you put on your socks then you put on your shoes تو socks are your f function right I'm sorry socks are your g function and your shoes is your f the putting on your shoes is your f function تو جو پہلے function ہوتا ہے یہ جس کو inner function کیا ہے جیسے ہم نے notation میں بھی دیکھا کہ جی پہلے آتا ہے پیانتسیز کے سب سے پہلے تو وہ it's the same thing is putting on your socks and then f is the function where you put on your shoes تو یہ ایک natural سا یعنی abstract لی تو ہم نے define کر دی ہے لیکن we see it in real life again and again so this is you know a composition of functions when you put on your shoes and I hope you see that تو آئی ایک example کرتے ہیں abstract example کہلیجے and let's see if you can get a better idea of what we are talking about ایک سامل آپ کے سامنے سکین پہا رہیے اس کو ہم دیکھ لیتے ہیں یہ ہے آپ کے پاس دو function دیے میں f of x equals x square plus 3 g of x equals the square root of x اب آپ composition لینا چاہتے ہیں f کی g کے ساتھ you want to find f composed with g of x or in other words f of g of x تو result آئے گا f function جو ہے وہ پہلے جو بھی آپ اس کو value دیں گے x variable کو اس کو square کرتے اور پھر result میں 3 add کر دیتے ہیں تو آپ کی یہاں پہاں x کو value دے رہے ہیں if the function g of x تو آپ کا result آئے گا g of x quantity squared plus 3 اب g of x کی function کہاں میں formula پتا ہے وہ ہے square root x تو اس کو ہم substitute کر دیتے ہیں یہاں پہاں replace کر دیتے ہیں تو ہم اپنی result آتا ہے square root of x quantity squared plus 3 اور اس کو simplify کریں تو یہ صرف بنا جاتا ہے x plus 3 تو I think this example was more easy to follow اب یہاں پہاں ہم نے دیکھلی I hope this clears کے composition ہوتی کیسے اب domain کی بات کرتے ہیں کہ can we find the domain of this new function we got the composition if you remember was x plus 3 تو ہی دیکھتے ہیں کہ اس کی domain کیا ہونی چاہیے سب سے پہلے نوٹ کریں کہ domain of g the function g of x is the interval 0 to positive infinity ظاہرے square root function ہے اس میں آپ 0 بھی دال سکتے ہیں اور کوئی بھی positive number ڈال سکتے ہیں infinity تک لیکن negative numbers نہیں دال سکتے تو اس کی domain بنتی ہے 0 to positive infinity f جو function ہے اس کی domain تو very simple see اس کے اندر کوئی بھی value ڈالیں گے آپ x کی تو آپ کے پاس کوئی 0 سے division نہیں ہوگی یا کوئی negative square root نہیں آئے گا لہذا f function کی جو domain ہے وہاں ہے interval minus infinity to positive infinity آپ سوال یہ ہے کہ what is the domain of f of g well domain of f of g یا f compose with g consists of all x in the interval 0 to infinity which is the domain of the function g such that g of x lies in the interval minus infinity to positive infinity تو یہ وہی definition ہے جو ہم نے بھی تھوڑے دیر پہلے جس کے بارے میں بات چیت کی تھی تھوڑے سی مشکل لگی تھی اپنی بہت ہی بہت سکلیر کہ میں کہنا کیا چاہ رہا تھا یعنی آپ نے پہلے دیکھا ہے کہ جی of x کی domain کیا ہے اس کے اندر آپ نے بیسکلی معلوم کیا کہ وہ کنسے x ہیں جو اس function کو define رکھتے ہیں تو ہمارے پاس ایک انٹرول آگیا تھا اب آپ نے دیکھا کہ یہ آپ کے پاس تو انٹرول آگیا اب وہ کنسا انٹرول ہے جس میں g of x کی values وہ اس f function کی domain میں لائے کریں گی تو آئی اس کو پھر سے دیکھلتے ہیں کہ جو آپ نے دیکھا domain of f consist of all x in 0 to infinity such that g of x lies in minus infinity to positive infinity well that interval that domain that she looking for is going to be the interval 0 to positive infinity یعنی ظاہر ہے اگر کوئی x 0 infinity میں لائے کرتا ہے positive infinity میں such that g of x lies in the interval minus infinity to positive infinity then that interval is going to be just 0 to positive infinity اچھا in general note کیجے کہ آپ یہاں پر ہم نے ابھی تک دیکھا کہ f composed with g لیکن عام طور پہ اس کا جو اگر میں g composed with f کروں تو result عام طور پہ برابر نہیں آئے گا یہ اس طرح سے مجھن کر لیجے کہ جیسے میں نے کہا کہ آپ پہلے socks پہنتے ہیں then you put on your shoes right that's one composition one way اس کو اولت کریں گے تو result different آئے گا پہلے you take off your shoes then you take off your socks تو it's not the same result as the first one تو یہ تھوڑیسی ایک کاویت ہے یعنی ایک طرح کی warning جس کو مدنظر اکھی it's not in general true میں ایک سکرین پہ بھی لکھ دیتا ہوں کہ f composed with g is not equal to g composed with f in general اچھا آپ ایک چیز اور دیکھ لیتے ہیں کہ اگر کوئی فنکشن آپ کے پاس ہے تو how do we decompose it can we somehow decompose it go backwards and break it into more functions یہ ایک سمپل دیکھتے ہیں اس کے بارے میں یہاں پر ایک فنکشن ہے h of x equals x plus one quantity squared یعنی پہلے ہم x میں one add کرتے ہیں تو ہمہیں پاس آجاتا ہے x plus one تو پھر اس x plus one کو ہم square کرتے ہیں تو basically ہمارے پاس اس فنکشن کو h of x کو I can decompose it and I can write this as the composition of two functions namely f of x which is equal to x plus one g of x which is x squared and then notice that with these two functions I can write h of x as g of f of x تو یہ ایک طریقہ تا ڈھا نکہ composition تو ہم نے دیکھلی any how do we compose two given functions to get a new function but sometimes you're given a function and you can break it into smaller functions here's another example یہاں پہاں آپ کے پاس ایک فنکشن ہے x squared plus one to the power 10 اس کی میرے پاس ایک دو دیکھاں پاس ہی ہے یہ بھی ایک بہت ہے جب آپ دیکھاں پاس کرتے ہیں تو آپ پاس ہی نہیں ہی ہی دیکھاں پاس ہی ہے دو دیکھاں پاس ہی ہے ایک سمپل ہے جی اس فنکشن کی دو دیکھاں پاس ہی ہے x squared plus one quantity squared quantity to the power 5 اس کو میں لکھتا ہوں f of g of x اور اس کے سبکتف فنکشن کیسے بریکہ میں اسی فنکشن کو میں ڈھا جنل فنکشن ہاں پہلے سکتا ہوں as x squared plus one quantity cubed the whole quantity raised to the power 10 over 3 یہاں پہ دیکھیے کہ I have two different compositions of the same function تو یہ کچھ ہماری آچ کی ہم نے باچید کی کیسے composition وغیرہ دیکھی last topic was about decomposition تو though as a recap what did you talk about we talked about operations on functions we talked about adding subtracting dividing and multiplying functions we looked at that those actually operations give you different new functions we talked about the domains of these new functions you get and at the end we talked about composition of functions and their domains ہم نے دیکھا how to decompose functions یا نہیں اگر آپ کے پاس already a function given ہے how to break it apart تو I hope my house will be complicated this composition part تو again go and do the homework practice makes perfect and I will see you next time lecture number 8 کے ساتھ تو تبتہ کے لیے جادت thank you so much Allah Hafiz