 Et merci en particulier aux organisateurs d'avoir organisé ces deux journées pour Jean-Marc et Jean-Pierre. On l'a tous bien connu ici. Ce dont je vais parler, c'est un travail en commun en cours avec Peter Scholze, donc ce n'est pas loin d'être fini. Alors, le contexte c'est le suivant. Je vais prendre Jay, un groupe réductif sur le nombre pédique. Je vais fixer un en premier L, différent de p, qui va me servir pour les coefficients. Donc les coefficients des représentations, des représentations galoisiennes, etc. ont un valeur dans un anneau lambda qui va être soit, on va regarder soit des représentations au modulo L. Donc à ce moment-là, ce sera fL bar, ou de caractéristique 0, QL bar. On va regarder la représentation à coefficient dans lambda. Donc ce n'est pas du languance pédique, c'est du languance classique. Alors, qu'est-ce qu'on fait avec Scholze ? On est en train de faire à Pi, un certain objet Pi, une représentation de gccupé. On associe un certain paramètre de l'anguance Phi Pi, comme ceci. Donc qu'est-ce que c'est Pi ? C'est une représentation lisse irréductible du groupe des Qp points de G. Donc à coefficient dans lambda, G connexuée. Donc lisse, ça veut dire, comme d'habitude, que le stabilisateur de tout vecteur est un seul groupe ouvert. Et qu'est-ce que c'est Phi Pi ? Donc c'est un paramètre de l'anguance, qui va être de groupe du veil de Qp à valeur dans le duel de l'anguance de G, sur fL bar ou QL bar. Mais ce n'est pas un paramètre qu'on espère, c'est seulement le paramètre semisimple. Ce que j'entends par là. Donc c'est le semisimplifié du paramètre de l'anguance conjecturale associé à Pi. Donc typiquement, qu'est-ce que ça veut dire cette histoire de ce paramètre semisimple ? Donc en caractéristique 0, donc si lambda est QL bar, et bien dans la classification de veils de ligne des paramètres de l'anguance, on fait, on remplace l'opérateur de monoremi n par 0, d'accord ? Donc on semisimplifie. Donc typiquement, par exemple, dans ce cadre-là, le paramètre de l'anguance semisimple de la représentation de Steinberg est égal au paramètre de l'anguance de la représentation triviale. Donc on n'arrive pas à distinguer avec nos techniques ces deux représentations. C'est une première approche, on en trouvera. C'était bien la peine de venir. Oui, il faut trouver une astuce, mais on va trouver une astuce. Donc Vincent Laforgue a le même problème dans son cadre et corps de fonction. Alors, on s'est démontré très peu de choses de plus sur cette construction, mise à part que, bien sûr, pour les torres, c'est la bonne chose, c'est donné par la théorie du corps de classe locale. Et bien sûr, on s'est aussi démontré que c'est compatible à l'induction parabolique. Donc on part. Oui, c'est la même chose pour Jalen aussi. On s'est aussi démontré que c'est la bonne chose pour Jalen. Alors, comment la méthode c'est la suivante ? Comment est-ce qu'on construit cette chose-là ? Alors, ça se fait via un procédé de géométrisation où on va géométriser ces représentations d'ici réductibles d'Ijé de Cuppé. Alors en gros, l'idée c'est la suivante. On va apprendre donc Röp, l'âme d'Ajé Cuppé. Donc par, ça signifiera toujours les représentations lisses, tout est lisse ici. D'accord ? A coefficient de lambda du second pédic. En gros, l'idée c'est que c'est des systèmes locaux. Donc je mets des guillemets pour l'instant sur un classifiant qui est un point divisé par J'Cuppé. Donc je mets des guillemets. Je vais vous expliquer plus en détail ce que ça veut dire. Donc ça va être la première étape de cette construction de géométrisation. Donc je vais vous parler. Alors qu'est-ce que ça veut dire ? Un point divisé par J'Cuppé. En fait dans la théorie des représentations lisses des groupes réductifs pédiques on connaît déjà une occurrence de ce type de construction ce qui est le point de vue des topologues en quelque sorte, je dirais, sur ce chant classifiant. Les topologues dirait qu'un point divisé par J'Cuppé, je mets encore des guillemets, et bien c'est l'immeuble de Brouhattitz, du groupe J divisé par J'Cuppé. Ferme les guillemets, d'accord ? Tout simplement, c'est le fait que l'immeuble de Brouhattitz est contractible, d'accord ? Et donc ce point de vue là, c'est le point de vue de Schneider-Stuller. Mais c'est pas ce qu'on va faire aujourd'hui. C'est juste pour rappeler le point de vue de Schneider-Stuller qui dit que, en gros, je ne vais pas rappeler ce que c'est d'intervier le Schneider-Stuller, cette catégorie d'orientation lisse, c'est la même chose que des systèmes locaux sur les maps de Brouhattitz. Donc c'est un point de vue qui permet de démontrer beaucoup de propriétés sur la structure homologique, d'agébre homologique de cette catégorie d'orientation lisse de J'Cuppé. Oui, qui va rien, bien sûr. Mais c'est un point de vue où il n'y a pas d'arithmétique, bien sûr. On ne va pas construire l'orientation galoisaine avec ça. Donc c'est pas ce qu'on va considérer aujourd'hui. Il doit y avoir un lien entre les deux qu'il faut regarder un jour. Alors, ce n'est pas ce qu'on va regarder ici. Ici, on va regarder une chose un peu plus compliquée. On va dire qu'un point divisé par J'Cuppé, et là je vais donner une définition précise de cet objet dans mon cadre. Alors je vais mettre un souligné, souligné dans la notation visuelle pour dire qu'il faut associer un faisceau localement constant. Donc, qu'est-ce que le point ici ? D'abord, le point ici, c'est le spectratique de Fp bar, qui est l'objet final du topos proétal sur le site des espaces perfectoïdes de caractéristique P sur Fp bar. Alors, ça veut dire qu'on va tester tout sur des Fp bar espaces perfectoïdes. C'est un champ classifiant. Les objets de test vont être des espaces perfectoïdes de caractéristique P. Et le point, c'est ce spa Fp bar qui, lui, n'est pas perfectoïde. C'est-à-dire que l'objet final n'est pas représentable dans ce site. C'est un petit détail. Oui, oui, tout c'est analytique. Tout c'est analytique comme... Voilà. Donc, spa Fp bar n'est pas perfectoïde. Bon, c'est un petit détail. Et donc, cet objet, eh bien, ceci classifie les GQP soulignés. Le souligné signifie qu'on va tenir compte de la topologie localement péadique de GQP. GQP souligné, torseur proétal. Alors plus précisément, qu'est-ce que c'est GQP souligné ? Si je le teste sur un espace perfectoïde de caractéristique P, GQP souligné, c'est le groupe. Féceau en groupe. Des fonctions continues. De l'espace topologique de S à valeur d'en GQP. Donc, il faut voir, comme on travaille avec des espaces perfectoïdes et non pas des espaces rigides usuels, l'espace topologique de S peut très bien être un espace profini. On peut avoir un des ensembles de composants de connex qui sont profinis. Voilà. C'est un faisceau. Ça fait partie des résultats de base qu'il faut démontrer. Alors, le premier résultat, ça paraît être un objet abstrait, mais on a donc un point divisé par GQP testé sur un objet S. C'est le groupe ouïde des GQP torseurs proétales, c'est entendu, sur S. D'accord ? Donc un des premiers résultats absolument non évident et difficile, déjà, cette théorie, ça paraît être des objets abstraits, c'est GQP torseurs. C'est que si on a un torseur proétale au-dessus de S perfectoïdes, donc a priori, c'est un revêtement galoisien entre guillemets de groupe GQP souligné, a priori, cet objet T, ce torseur est un objet abstrait. Alors, T est représentable. Donc, c'est des objets qui sont en fait assez concrets entre guillemets. D'accord ? C'est vraiment des espaces principaux homogènes des espaces perfectoïdes sous l'action de GQP qui tiennent compte de la topologie GQP. J'ai pas envie d'entrer dans les détails, etc. Voilà. D'accord ? Alors, je vais vous donner un exemple concret, parce que ça, c'est abstrait, parce que vous en avez déjà vu dans la vie, en fait, des torseurs proétales. Moi, j'en vois depuis moins 15 ans, s'il n'y avait pas des perfectoïdes à l'époque. Donc, je vais vous prendre un exemple, c'est ce que c'est qu'un GQP torseur. J'ai prendre G, le groupe linéaire en N variable, gelon, cor, surcuper. Et je vais regarder l'espace de l'ubinate X, une déformation d'un groupe formel pÉdivisible de dimension 1 et de hauteur. Ça, c'est un espace de l'ubinate. C'est ce qu'on appelle un espace de l'ubinate. Donc, c'est ces objets qui sont utilisés, typiquement par recette et lore, pour montrer la correspondance de l'ambiance locale pour GLM surcuper. Donc, ça, c'est isomorph, au spectre formel. Alors, j'ai le W d'AFP bar et il y a des séries formelles en N-1 variable. Il n'y a pas de choix de coordonnées canoniques sur ces espaces d'éformation, mais c'est isomorph, fait ce genre de choses. Voilà. Donc, je pars de ça. Et maintenant, je vais regarder la fibre générique de cet espace de l'ubinate. Donc, XÉTA. Donc, cet isomorph fait une boule pÉdivisible d'un éthique ouverte en N-1 variable. Je vais nous laisser ça X. On a cette boule ouverte. Et, sur cet espace de module d'éformation, on peut regarder le module de tête de la déformation universelle. Donc, c'est un ZP faisceau localement constant et on peut trivialiser sa monosomie. Donc, on rajoute des points de torsion à la déformation universelle et on obtient, en niveau infini, un espace perfectoïde X-infini. Donc, c'est un espace de l'humidité à un niveau infini avec un revêtement galoisien pour étale finie de groupe GLN de ZP. On peut même montrer que la monosomie est égale à l'exactement GLN de ZP. Voilà. Alors, ce n'est pas GLN d'occupé. Et maintenant, on peut regarder ce qu'on appelle l'application des pariodes de grossopkins vers l'espace projectif de dimension L-1. Je l'appelle PIDRAM depuis longtemps depuis ma série d'exposé en 2005 l'autre salle de l'IHS. Donc, ça, c'est l'application des périodes de grossopkins qui est un analog périodique des applications de périodes graphites donc qui est donnée par la filtration de deux rames de la déformation universelle sur la comologie de deux rames de la déformation universelle. Filtration de votre part. C'est surjectif, c'est un trame non évident dû à la faille de grossopkins et ici, le groupe, c'est un revêtement proétal de groupe GLN d'occupé. On peut maintenant souligner si vous voulez, vers plus beau. D'accord? Donc, ça veut dire que les fibres de cette application de périodes de grossopkins sont exactement les orbites de Hecke sur cet espace de lebinite. Voilà. Donc, voilà un exemple de revêtement proétal, donc de torseur proétal sous l'action de GLN d'occupé. Alors, qu'est-ce que ça nous dit, ça? Bah, ça nous dit que si on prend l'espace projectif en dimension L-1, j'ai prendre une notation tout de suite coupé-brève, ça va être de compléter l'expansion maximale non ramichée d'occupé. Donc, si je prends cet espace régi d'un éthique projectif sur coupé-brève et que je le bascule en caractéristique P, donc quand je bascule un espace perfectoïde, je prends un espace perfectoïde et quand je bascule un espace rigide, je tiens un diamant plus généralement, c'est un espace algebraique pour la topologie proétale en caractéristique P, eh bien, j'ai construit un morphisme absolument non trivial, parce qu'on peut montrer que ce revêtement est absolument non trivial, la mozromie est pleine vers ce chant classifiant du GLN. Voilà. Donc, c'est pas un objet formel a priori, déjà. J'ai l'impression quand on définit que c'est un objet purement formel et abstrait, j'ai construit un morphisme absolument non trivial du diamant de l'espace projectif vers ce chant classifiant. Tout est en caractéristique P. Donc, c'est l'idée. Dès qu'on a... Au-dessus, c'est en caractéristique 0. Mais là, je bascule tout en caractéristique P. C'est l'idée. Dès qu'on a un truc en caractéristique 0, on bascule. La termologie basculement est tendue à Jean-Marc, qui est la perfecte traduction de Tilté. Alors, une remarque c'est que sur l'espace de Lébine, donc si je regarde D sur Qp, c'est la gébra-division d'un variant sur N. Vous savez bien, vous avez entendu parler que sur l'espace de Lébine Tate, il y a une action de l'unité de l'ordre maximal de D. D'accord? Puisque ceci agisse sur le groupe formel P-divisible que l'on déforme. Donc, ça agisse sur l'espace de déformation. Et en fait, cette application de période ici, de Grossopkins, ici une action de D étoile, ici une action de D étoile en fait naturellement. Donc, il y a la représentation naturelle, une action naturelle des unités de la gébra-division sur l'espace projectif. Cette application de période commute à ces actions. D'accord? C'est l'action de D sur le module de données de la déformation universelle. Donc, en fait, cette application, puisque l'application de période commute à l'action de D étoile, ça se factorise vers le champ quotient. Si vous voulez savoir ce que ça veut dire exactement en tout temps détail, il faut vraiment avoir très bien compris l'article étale commodity of diamonds. C'est champ quotient de l'espace projectif diamant, divisé par D étoile. D'accord? Donc, cette application de l'espace projectif tilté vers le classif indialaine se factorise par sa quotient, naturellement. D'accord? Pourquoi est-ce que je vous parle de ça? Parce qu'on vient de construire quelque chose d'absolument non trivial du point de vue des programmes de l'anglante, qui est la chose suivante. Je pars de l'espace projectif et le moisin je le tilt. J'ai un diamant. Je divise par des étoiles. Donc, j'ai construit une première flèche qui est la flèche. Il existe ici dans ce diagramme vers un point divisé par gelaine d'occupée. J'ai une flèche aussi évidente vers un point divisé par des étoiles. D'accord? Et je vais envoyer ce truc-là sur un point. On tracte tout. Voilà. Donc, j'ai construit une correspondance entre le classifiant de gelaine d'occupée comme bout apologique et le classifiant de des étoiles. Cette correspondance, c'est la correspondance de Jacques et l'anglante en quelque sorte. Je ne dis pas pourquoi. Mais je pensais déjà, je réfléchissais déjà à ça bien avant les perfectoïdes, mais maintenant, on peut donner un sens à ce genre d'objet et cette correspondance est en fait un ouvert, une correspondance plus grosse qui est une correspondance d'éque dont je vais parler Voilà. Alors, si vous voulez, vous pouvez l'écrire aussi au méga diamant. Au méga, c'est l'espace de Drinfeld divisé par gelaine d'occupée. Ça, c'est les tourgumels. Voilà. C'est pour l'espécialiste. Ok. Voilà. Donc, c'est tout ce que je veux dire. C'est que la géométrie c'est tout ça pour vous convaincre que ça ne prouve pas des objets abstracts, c'est des objets qui sont liés à la rythmétique usuelle des espaces de modules qui interviennent Ok. Ça va trop vite. Donc, ça, ça va être une correspondance associée à mu mu c'est 1, 0, 0. Donc, ici, peut-être je vais dire donc, sur l'espace de Drinfeld omega, vous avez une tour de revêtement infinie de l'espace de Drinfeld qui est la tour de revêtement Drinfeld de groupe d'étoiles comme ceci et ceci commute à l'action de Jalen QP et donc, ça donne lieu à deux flèches comme ceci et comme ceci c'est l'inverse de la construction de Drinfeld pour l'espace de l'abinite cette isomorphisme entre les deux tours dit que ces deux champs classifiants sont isomorphes et les flèches ici sont renversées L'espace à droite et que musique est quoi comme espace ? Je vais en parler après c'est un champ classifiant c'est un champ non pas un champ classifiant ok bon je sais que vous êtes effrayés mais bon, c'est comme ça ok j'arrête sur les champs classifiants on fait un résumé donc on veut définir ces champs classifiants on sait leur donner un sens comme ceci pour utiliser un procédé de géométrisation de la correspondance de l'anglance ok, donc revenons à l'anglance un petit peu moins la géométrie enfin, l'anglance locale je vous ai dit on veut construire l'anglance la correspondance de l'anglance locale puis donner son paramètre semi-simple pour un groupe réductif G on va faire une petite variante parce qu'on sait que d'après Vogan qu'il ne faut pas considérer le groupe réductif G tout seul mais il faut considérer G et simultanément toutes ces formes intérieures ça c'est un point de vue qui a émergé il y a quand même assez longtemps dans le programme de l'anglance c'est que le monde point de vue ne veut pas regarder la correspondance de l'anglance pour le groupe G tout seul mais simultanément pour toutes ces formes intérieures pur alors c'est quoi une forme intérieure pure ? c'est la donnée disons d'un c'est le tordu de G par un certain cossic lexy ou la classe du cossic lexy et dans le hachein galoisien le CUP à coefficient d'anglance si G est un élément du hachein CUP à coefficient d'anglance il s'envoie vers le hachein CUP G à joint et donc il définit une forme intérieure de G d'accord ? alors en général ce n'est pas sur le rectif typiquement projet à l'aile bien sûr donc on n'a pas beaucoup de forme intérieure en général comme ceci alors c'est pour ça qu'on va aller un peu plus loin donc il faut compter enfin tous les Jexy même s'ils sont isomorphes pour tous les classes d'oxys dans le hachein CUP G parce que bien sûr cette application de la comologie galoisienne de G vers celle de G à joint n'est pas injective ok alors on va considérer en fait non pas le point de vue de Vogan mais un point de vue qui a émergé après le point de vue de Kotwitz et plus généralement maintenant de Caleta qui dit qu'on va pas considérer toutes les formes intérieures pure de G mais quelque chose de plus gros on va considérer les formes étendues formes intérieures étendues pure de G alors c'est quoi une forme intérieure étendue pure de G alors je ne sais pas si on avait entendu parler donc ça vient de la tirée des dieux de Nemanine on constate que pour le groupe GLN toutes les formes intérieures de GLN peuvent être obtenues comme groupe de tomorphismes d'un isocrystal isocline surcuper d'accord donc c'est la chose suivante avec les clupis bref comme tout à l'heure le complété de l'extension maximale non ramifiée d'occuper avec son Frobenus Sigma comme d'habitude et j'ai gardé cet ensemble qui a été introduit et étudié en détail par CodeBit qui intervient partout dans l'étude de la géométrie modulopale et variété de Chimura BG donc c'est les classes de Sigma conjugaison dans G'écupé bref donc ce que j'appelle Sigma conjugaison c'est la conjugaison tordu c'est-à-dire un élément B dans G'écupé bref est équivalent à GB non pas G-1 mais G-6 donc on torde par Frobenus et cet ensemble BG ça s'identifie au classe d'isomorphisme de G'iso-crystaux donc l'iso-crystale milite d'une G structure donc le petit B dans G'écupé bref étant la matrice du Frobenus cristallin en quelque sorte et donc tu regardes ça semble de CodeBit des classes de Sigma conjugaison dans G et si j'ai un élément B comme ceci dans G'écupé bref associé à B et le groupe des automorphismes du G'iso-crystale associé qu'on a de G'in-10B donc c'est le Sigma central de l'auteur de l'auteur tordu de l'auteur de B petit B et en général en toute généralité c'est une forme intérieure dans ce groupe de Lévis non pas de G mais de la forme intérieure quasi déployée de G c'est un détail ok voilà donc c'est un objet qui apparaît partout lorsqu'on utilise la géométrie des watts et de chimoires globales ou locales etc etc etc ok et donc on a cet ensemble de G'iso-crystaux donc si G' c'est un groupe simplectique c'est à dire qu'on prend des iso-crystaux polarisés des choses comme ça et dedans donc je suis en train d'essayer de vous expliquer ce que c'est qu'une forme intérieure étant du pur de G G étoile c'est la la forme la forme intérieure quasi déployée de G c'est ça mais c'est pas en forme intérieure pure ou c'est pure ? en général non en général non c'est sûrement la forme pas déployée canadienne alors donc bon je vais parler après donc j'ai parlé de terreur d'iso-crystaux donc pour GLN toutes les formes intérieures de GLN se tiennent comme groupe d'automorphisme d'un iso-crystal isocline exercice en cas du demémanique d'accord ? et donc je viens de prononcer le mot isocline donc j'ai alors dans la théorie de Kodwitz ça s'appelle basique il n'a pas de formes GLN il n'a pas de formes ah ! de formes intérieures pure ? il n'a pas de formes intérieures pure mais il en a plein qui sont étendues pure d'accord ? c'est pour ça c'est une des raisons pour laquelle on veut aller au-delà de Vogan parce que si on n'a pas GLN on va pas très loin alors on va regarder le sous-ensemble basique de l'ensemble de Kodwitz donc qu'est-ce que c'est ? bla bla bla et bien alors le mot basique c'est synonyme de isocline mais sauf que bon pour GLN c'est la même chose pour un groupe G Kodwitz ça s'appelle ça basique donc c'est l'ensemble des G isocristaux donc isocline je mets des guillemets je pourrais donner un exposé d'une heure sur la structure de l'ensemble de Kodwitz j'ai dû le faire ça il y a 15 ans 12 ou 10 ans je sais pas mais c'est-à-dire une façon de le dire tel que ce groupe Jb un Tb comme ceci donc le groupe Jb est le plus gros possible c'est-à-dire est une forme intérieure de G et non pas d'un Lévis de G étoile et donc les Gb la collection des Gb parce que B parcourt les classes basiques dans G c'est exactement les formes intérieures étendues pure intérieure étendue de G alors vous avez envie de dire pourquoi c'est généraliste le point de vue de Vogan ouais on a tout tu prends, tu défais un dessin, t'as ta pente alors on retrouve tout si le centre de G est connex mais pour Asseline on retrouve bien alors juste un point je lui dis Kodwitz c'est plus général que Vogan la raison est la suivante c'est que en fait la homologie galoisienne de G de Kb s'injecte dans le lieu basique l'ensemble basique de Kodwitz et tout simplement parce qu'on peut voir cette homologie galoisienne comme l'ensemble des G isocrystaux alors je mets des guillemets racines de l'unité comme dirais Edward c'est-à-dire le polygone de Newton associé et le polygone trivial d'accord et donc si on regarde quand on met une G structure c'est des isocrystaux à polygone trivial on obtient l'achomologie galoisienne du Kb donc on a une interprétation d'achomologie galoisienne en termes de G isocrystaux non mais pas de twist ça dépend ce qu'on veut dire par là, j'ai pas de définition oui alors c'est plus fort que panne 0 que isocline effectivement pour j'allais nous on retrouve Iber 90 ok donc voilà donc je vous ai parlé de champ classifiant d'un groupe réinductif PLI que c'était sympa pour géométriser ce que je veux géométriser qu'il y avait un lien avec des espaces de modules qu'on a déjà vu qui interviennent dans le programme de l'anglais du fait qu'en fait il fallait pas seulement considérer le groupe G mais toutes ses formes étendues pure au sens de Kodwitz et maintenant, donc du coup maintenant, l'idée c'est qu'on va regarder non pas le classifiant non pas un point divisé par gqp souligné mais union disjointe sur tous les classes de sigma conjugaison basique d'engets d'un point sens perfectoïde c'est pas fb bar divisé par gdqp voilà, donc ça c'est le bon objet tout ça pour vous dire que c'est le bon objet qu'on va utiliser pour géométriser et d'ailleurs, déjà dans la correspondance de jaquée l'anglance qui est là-haut vous avez une gélène cupée et des étoiles donc il y a les deux qui apparaissent il y a pas seulement gélène mais il y a aussi des étoiles qui apparaissent c'est lié à ça il faut considérer tout ça c'est d'union disjointe sans classifiant ok, ok ah, justement, on y vient d'ailleurs, dans deux ans je donne les Hellenberg lecture à Columbia j'espère que jaquée va survivre à ce diagramme donc alors qu'est-ce que je peux effacer on va faire des sons on va effacer tout ici on va me dire, il n'y a pas beaucoup de géométrie dans les champs classifiant, c'est vrai même si je vous ai exibé un diagramme là-haut c'est sympathique avec des espaces de libeline tête donc il y a beaucoup de géométrie mais quand même on va grossir notre champ il est trop petit je vais expliquer pourquoi ce champ est trop petit et effectivement, Luc l'a remarqué parce qu'il n'y a pas de correspondance de VQ c'est un ouvert, un champ plus gros je notais X, ce champ ce champ perfectoïde donc on va rajouter de la géométrie là-dessus là, il va vraiment avoir un objet absolument non trivial je vais parler donc on va remplacer X ce champ par un objet plus gros dont X sera un ouvert qui est un champ de G fibré sur la courbe bun J et ça va être enfin le bon objet dont je vais parler alors pourquoi est-ce qu'on veut remplacer X par bun J pour deux raisons une première raison, c'est qu'on veut ça va servir de compactification en quelque sorte du champ classifiant, qui est ici X c'est-à-dire du union du juin de champ classifiant ça va permettre de compactifier X en un sens, entre guillemets pour obtenir des résultats de finitude comologique pour quand on applique des correspondances de VQ dont j'ai parlé après et effectivement sur bun J je vais vous parler d'une action de certaines correspondances de VQ qui ne laisse pas stable l'ouvert X donc cette raison-là est encore plus importante que la première mais la première aussi est très utile d'accord, donc si on revient au tout début de mon exposé je vous avais dit, un point de vue sur le classifiant de JQP, c'est l'immeuble de Brouillatis divisé par JQP bon c'est pareil, quand on compactifie l'IBM de Brouillatis, on rajoute des composantes associées à ce groupe parabolique là on va rajouter des strats de Ardenna Rassiman dans ce mistable on fait dégénérer le polygon Ardenna Rassiman alors c'est parti alors c'est parti Fébar Perfectoid je vais vous dire ce que c'est très vaguant parce que je peux donner un cours là-dessus donc un S, un objet test pour mon champ budget Fébar Perfectoid, et bien en ce moment-là on peut définir X indice S qui est un espace-addict surcuper celui-là vit en caractéristique 0 c'est la courbe relative c'est-à-dire associé à S c'est la famille de courbes X, K, S donc K, S est le corps résiduel en petit S je pense que S est un petit S par cours grand S pour chaque point un petit S de grand S on a une courbe X associé à ce corps Perfectoid résiduel en petit S et celle-ci c'est celle qu'on a étudié avec Jean-Marc qui fait l'objet typiquement de notre asterisque en commun et donc Olivier vient de m'apprendre que le dernier article de Jean-Marc vient d'être publié sur l'effet sur la courbe aujourd'hui alors pour chaque S ici on a une famille de courbes paramétrées par S en quelque sorte même si elle est en caractéristique P alors que S est en caractéristique 0 C'est un peu compliqué mais on a un espace-addict qui est occupé comme ceci associé à chaque S c'est fonctionnel en S et quand grand S est un corps Perfectoid donc un point Perfectoid c'est la courbe qu'on a étudié avec Fontaine donc celle-ci a de très belles propriétés notériennes tout ça celle-ci est très compliquée, ça ne l'est pas je me donnerais quand même rapidement la définition de l'XS non c'est un espace-addict c'est un espace-addict ok je ne sais plus c'est le cas d'accord non en fait la vraie définition de toutes les propriétés arriveront dans l'article avec Scholz c'est pas bien rédigé dans la littérature mais on peut par exemple jeter un coup d'œil une note qu'on va trouver de l'arbitre gayman sur l'anglant géométrique qu'on avait fait avec Scholz Gaetz Gory et Villonnen donc il y a des notes qu'on trouve sur internet à Chicago j'ai dû donner quelques indications sur la construction de l'XS j'ai dû donner aussi des... je ne sais pas on l'a trouvé sur ma page web il y avait une école d'été et ça il y a quelques temps il serait temps que ça soit écrit proprement et ça le sera dans l'article avec Scholz oui là je suis vraiment désolé mais vous pouvez vous dire c'est la... et cela c'est publié dans la service c'est la version schématique dans le livre de la version schématique oui mais là c'est la version hadic mais la version hadic vous pouvez la lire dans les actes de la conférence en l'honneur de l'Homon où je montre que tout ça est bien définit en hadic aussi et je démontre un théorème gaga d'équivalence entre faisceaux cohérents sur la version schématique et la version hadic donc peu importe non c'est pas localement un produit c'est ça qui est pervers et qui est perturbé de Rheinfeld c'est que S est de caractéristique P et l'objet est de caractéristique P donc c'est pas un produit c'est pas... non mais c'est en quelque sorte cibré au-dessus de S oui bien sûr mais c'est pas de soin mula c'est pas de calentribial non c'est pas de calentribial bon je pourrais parler 10 heures de ça ça existe et donc comme budget c'est les gé fibrés principaux comme dirais les géomètres différentiels les gé torseurs sur cet espace hadique on peut donner un sens à ça par exemple le point de vue de Tanakyan et le fait que ceci forme un champ pour ce qu'on appelle la vétopologie de Scholze alors là on oublie la topologie proétale on peut utiliser une topologie plus compliquée qu'est la vétopologie de Scholze et déjà un théorème difficile qui apparaîtra dans l'article de Scholze alors le temps de descente assez complexe dans le cas classique le fait que les champs de fibrés sont des champs FPQC c'est évident mais dans ce cas-là c'est pas évident alors un petit mot parce qu'à pareil c'est un champ extrêmement abstrait même si vous savez bien que c'est la courbe je vais vous dire un peu le théorème de structure qu'on démontre avec Scholze mais là c'est G c'est pas le GQP C'est G ah oui ça c'est G mais G comme groupe algebraique donc si G égale GLN c'est des cibres évectorales les faits sont localement libres alors je vais vous dire le lien entre GQP et là c'est surprenant c'est là où il y a une différence fondamentale entre le cas classique dans le cas classique dans le cas classique les automorphismes du G est fibré c'est G comme groupe algebraique mais ici ça va être GQP dans le cas classique c'est un groupe connex et là ça va être un groupe localement profilé localement totalement discontinue alors je vais vous dire je vais vous dire alors on démontre un suivant avec Scholze alors d'abord c'est un théorème qui était pas avec Scholze qui est dans l'article déjà que ça s'est publié qui est que l'ensemble de code Vitz en fait vous avez parlé des G ésocristaux précédents s'identifient au point du champ de GFibre d'accord donc en première approximation au niveau des points on oublie tous les problèmes de famille tout ça juste au niveau des points de ce champ c'est en ce champ enfin les GFibre géométriques c'est ensemble de code Vitz donc je vous ai parlé tout à l'heure de notions d'iso-clean, basique ici et bien du point de vue géométrique ça va correspondre à la notion de semistabilité autant sans ordre d'un harraf simane de la tia botte c'est pour vous n'importe quel genre pardon alors justement elle est donc là-dedans dans cette notion donc les éléments basiques vont correspondre au GFibre semistable au GFibre semistable donc pareil c'est une notion de basique ou d'iso-clean c'est une notion purement arithmétique sur les polygones de Newton et ici c'est une notion purement géométrique donc ça permet d'interpréter agrablement du point de vue géométrique des notions d'arithmétique ok alors second point donc on va regarder justement les GFibre semistables le sous champ des GFibre semistables donc c'est une condition point par point les GFibre sur Xs que je peux décomptir sur chaque point ça devient semistable ceci est un voire c'est absolument pas évident c'est un résultat difficile de quel de la il y a élu dans bunge c'est un sous champ ouvert de bunge et ouf on retombe sur nos pattes parce que c'est l'union de champ classifiant dont j'ai parlé avant c'est le champ que j'avais appelé X-Cotique donc la gère brésiluelle en un point semistable est un champ classifiant et euh ok parce que j'ai encore d'un place ailleurs euh j'ai écrit en abat bon on peut calculer les components de connex mais vous en fichez on va s'en faire pour aujourd'hui euh troisième point disons c'est que ce champ là qui a priori un champ abstrait on peut mettre des cartes explicites dessus on s'est inspiré les travaux de Greenfield Simpsons pour mettre certaines cartes explicites pour la la vétopologie de Cholse pour démontrer que bunge et en fait alors c'est pas une sans il n'y a pas de bonne notion de licité dans le cas perfectoïde mais donc c'est elle comogiquement lisse de dimension 0 et on démontre que le dualisant de bunge est le système local trivial placé en degré 0 c'est quand même extrêmement difficile à démontrer ça si vous cherchez sur le web vous avez trouvé mon exposé c'est lié à mon exposé ce qu'il appelle le critère jacobien de licité pour les diamants algébriques alors c'est alors là on parle de champ donc c'est un peu plus compliqué comme tu le sais disons que ce ne soit pas un champ ça soit un diamant ou un espace perfectoïde c'est à dire qu'il y a une dualité de verdier relative et satisfaite donc on peut définir ça il y a du travail on parle dans les détails pour aujourd'hui ça sera dans notre article c'est vraiment très complexe mais intuitivement ça veut dire que la dualité de verdier relative est satisfaite universalement sur chaque base oui bien sûr c'est pour ça que c'est plus compliqué d'institut de faire ça oui bien sûr sans des champs c'est pour ça que c'est plus compliqué si tu se rappelles l'article c'était Olson Laszlo c'est ce genre de problème mais on peut définir ça voilà il y a des cartes explicites tout ça non non le petit 2 le petit 2 est plus facile et c'est essentiellement un exercice à partir du KGLN pour les et dans le KGLN c'est essentiellement un exercice après les travaux de Caliallu qui sont déjà assez difficiles notamment la semi-continuité du polygon d'Arna Araciman est très technique à démontrer ok alors donc on a une description de toutes les strates d'Arna Araciman c'est des champs classifiant c'est beaucoup plus compliqué donc maintenant j'en viens à ma correspondance de l'anglance au cadre je vous ai dit on la construise ce paramètre de l'anglance on le construit via un procédé de géométrisation donc le classifiant de GQP comme groupe topologique donc je mets un souligné s'injecte comme un ouvert est un ouvert si l'injection ouverte l'ambunge ça a un ouvert du lieu semi-stable qui correspond à petit b égale 1 dans cette décomposition ok et donc si je regarde la catégorie dérivée de la représentation lisse de GQP comme si on en l'a dit toujours ceci je peux la plonger dans la catégorie dérivée des faisceaux étales sur bonne G action dans lambda ok un complexe de faisceaux un complexe de représentation PI je mets un point pour signifier que j'ai un complexe représentation lisse question dans lambda donc une représentation je peux la voir comme un système local sur ce classifiant ça a un sens on peut donner ça FP. un système local étal juste une remarque dans le cas QL bar c'est pas prendre des faisceaux pro étales condensés solides je ne veux pas en parler et on peut l'étendre par zéro d'accord c'est stupide on voit la théorie de représentation du groupe à lisse des groupes préductifs du groupe PI d'IQP on la plonge tout simplement par extension par zéro on la voit comme un sous-objet c'est de la catégorie des faisceaux étales des complexes de faisceaux étales sur bunge c'est un facteur direct il y a une section canonique évidemment ok et donc maintenant j'en viens aux correspondances de EQ qui sont liées aux diagrammes que j'ai écrits tout à l'heure avec l'espace de l'ubilite on n'a pas encore toute la géométrie pour construire les paramètres de l'anglance mais là on va la voir avec les correspondances de EQ donc ce champ bunge est équipé de correspondances de EQ qui sont les champs de modification de fibré alors c'est la chose suivante c'est un champ EQ qui est une correspondance entre le champ de gé fibré bunge et bunge croit un objet ça ça devient encore plus compliqué divin dans un cas classique on regarde les champs de modification entre deux fibrés le long des diviseurs de quartiers sur la courbe donc ça va être le divin de quartier qui est qualifié par un divin 1 sauf que dans le cas classique le divin d'une courbe c'est la courbe elle-même mais là c'est pas ça donc le divin 1 ici c'est un Tour M qui est dans mon article elle donne à l'UNS qui est coupable c'est un spac coupé diamant divisé parfois au béni sur la puissance Z parce qu'il faut voir que la courbe elle vit en caractéristique 0 c'est sur coupé on a une correspondance j'utilise notation russe h3 et que croit support c'est le support de la modification qui est dans divin 1 donc c'est l'espace de module où on prend deux gé fibrés un dans bunge et un dans bunge ici et on prend une modification le long d'un divisor de quartier de 2°1 sur la courbe et fixer ici c'est un champ sympathique entre guillemets et alors bon parce qu'on est fou et sanglé donc on va on va prendre un ensemble fini I l'ensemble fini I et on va faire des fessaux de factorisation à la belline sondrine fell comme va sur la fog on va fixer, on va regarder des champs et que la vis I et on va modifier le long du support d'une union finie de I diviseur de quartier de G de I diviseur de quartier de G sur la courbe ok, ça c'est bien entendu donc on prend deux gé fibrés, on prend pour chaque élément de I un diviseur de quartier de G sur la courbe et on regarde des modifications le long de l'union sur tous les diviseurs de quartier de G dès que c'est pari lorsque I varie alors il se trouve que ceci ici c'est une fibration étale localement trivial pression étale localement trivial au-dessus de div 1 on regarde sur div 1 ils ont à la puissance I en quoi en B dorame Grasmagnan F fin de G, à la puissance I donc ça c'est la B dorame Grasmagnan F fin de Scholl, ce qu'il a introduit il y a quatre ans à Berclé cinq c'est bien connu c'est OM1 pardon, tu dis qu'il faut prendre la diagonale d'un truc GR, c'est une fibration, laisse-moi réfléchir deux secondes non, c'est divin à la puissance I ça dépend oui on prend I égale 1 si vous voulez moi j'ai pas envie il y a un morphisme vers un truc on va tirer en arrière t'as raison sûrement c'est la 10 déboville la slow bref et on a un théorème avec Scholl C qu'on démontre de cet aqué géométrique c'est que les faisceaux pervers sur la B dorame Grasmagnan F fin de G la no B dorame de Fontaine intervient par complétion elle le long d'un divire de quartier de Grasmagnan c'est là qu'intervient la no B dorame et donc on va regarder des faisceaux qui sont L plus G équivariant à support quasi compact L plus G c'est le groupe de la C positive donc c'est le L B plus c'est G entre guillemets de B plus dorame guillemets je prends chaque classifiant on munisse un produit de fusion c'est la partie la plus dure du travail c'est le cas de la avec Scholl C et ça nous définit une catégorie mononiale symétrique c'est la symétrique qui est très dure la priorité de commutativité la contrainte de commutativité dans le produit de fusion donc c'est l'utilité des théorèmes d'aciclicité locales en géométrie péadique donc il y a un exposé de Scholl C aussi sur youtube là dessus ceci c'est la même chose que les représentations à coefficient dans l'ambedat de G ok donc ça ça géométrise le dual de l'anglance de G ok donc du coup qu'est ce qui se passe ? je reviens à ma correspondance de Hecke donc si j'ai I finis à l'ensemble fini si j'ai W une représentation du L groupe de G à la puissance I eh bien je vais pas associer donc via cette propriété de fibrations localement triviales ici avec cette acquis géométrique donc j'ai une représentation de LGL à la puissance I par cette acquis géométrique ça va me donner un faisceau pervers sur une grasse panienne bédorama fine à la puissance I et je vais pouvoir la transférer via cette fibration localement triviale en un faisceau complexe de faisceau d'un homogène interception associé à W sur le champ de Hecke faisceau étale accouciant dans l'emblas ouais tu le pousses en avant c'est une torsion en fait il y a un torseur canonique là dessus en grasse panienne affine je prends le produit tordu avec et là j'utilise la propriété de perversité qui dit qu'on peut descendre localement les faisceaux pervers il y a un millon de trucs que je ne parle pas voilà mais essentiellement on utilise cette acquis géométrique parce que là j'ai une correspondance abstraite une correspondance homologique donc ça me fournit un noyau fournit en quelque sorte un noyau qui veut dire une correspondance homologique donc là il faut avoir une notion de provencité sur certains objectifs alors et là dessus oui alors c'est pas très dur dans ce cas là effectivement alors parce que les orbites sont finies donc c'est des cellules de choubert affine et donc il n'y a pas de difficulté dans ce cas là c'est juste quand on a un objet même aussi un tordu soit-il et quand on a un groupe qui agit dessus et qu'il y a un nombre fini d'orbites eh bien automatiquement si on veut en fait regarder les faisceaux équivariants sur ce groupe qui on demande d'être connex eh bien les images directes et ça et ça et ça et ça sont automatiquement localement constantes sur toutes les strates donc après il faut définir en fonction d'une perversité il faut montrer il y a juste à montrer une propriété de finitude donc là il faut travailler mais automatiquement ça va être localement constant le long d'une stratification fixée on n'a pas besoin de passer à la limite sur toutes les strates il y a une perversité autodouale oui il y a une perversité autodouale on prend la définition en copiant la perversité usuelle sur les grâce maniennes affinées usuelles qui interviennent dans les travaux de Mirkovic Villonin et compagnie on recopile la définition donc c'est pas la difficulté la difficulté c'est la contrainte de commutativité pour définir le produit de fusion là c'est vraiment ah ouais j'arrête tout de suite ouais c'est vrai t'as raison il me reste une minute non mais j'ai quasiment fini donc maintenant je vais écrire un truc ici alors c'est que le groupe fundamental entre guillemets de div 1 à la puissance i div 1 voilà comment je vais écrire div 1 à la puissance i c'est le pien de div 1 à la puissance i en fait c'est le groupe de vagues le coupé à la puissance i bon et ça c'est ce qu'on appelle le laine de dreamfelters qui utilise la courbe partout donc c'est le fait que les piens committent au produit dans des cas non propres bien c'est non trivial bref on a une interprétation galoisienne des systèmes locaux sur div 1 à la puissance i systèmes locaux étal donc c'est là que je vous parle de paramètres de l'anglance depuis le début mais il faut les apprentations galoisiennes donc on va construire donc le groupe de galois va intervenir ici ok donc maintenant je suppose que j'ai i fini j'ai w l'emparation de l à la puissance i lg à la puissance i action dans l'ambd ok j'ai gamma une collection d'éléments du groupe de vagues le coupé j'ai une correspondance scomologique qui va me définir un opérateur et là alors là on suit Vincent Laforgue en quelque sorte lui il apparaît s'il n'est pas à l'heure d'excursion pourquoi pas donc donné par le par cette correspondance scomologique donc de d h bunge dans d h bunge ceci et donc ben vous avez un f ici un complexe de faisceau étal vous lui appuyez la correspondance donnée par votre noyau donc vous prenez hop quoi support donc on pousse en avant donc on prend le tirant en arrière on applique le noyau qui est donné par ce complexe d'intersection donc ça c'est c'est somme sur x de f bon bref il manque un truc parce que là on a un fixeau sur bunge en la puissance i et donc là on utilise le petit gamma et je trouve que par des résultats assez techniques c'est là que la propriété de compactification de bunge intervient on peut définir la trace de l'action de gamma là-dessus pour obtenir pour tuer donc on a un faisceau sur ce produit on peut tracer l'action de galois pour obtenir seulement un faisceau sur bunge voilà et ça ça définit un opérateur d'excursions là-dessus mais je vous ai dit que la théorie d'apprentation liste de gqp était facteur direct sur la catégorie des faisceaux étals sur bunge et donc ça définit automatiquement des opérateurs d'excursions comme ceci lorsque i w gamma varie de la catégorie dériver l'apprentation de gqp action dans lambda dans elle-même c'est facteur direct donc on a une inclusion on applique l'opérateur de ne pas géométriquement par ses correspondances avec eux et on re-projette il y a une section lorsque i w gamma varie s'informalise de façon à la forgue ceci permet de définir le paramètre semi simple d'une représentation irréductible si vous voulez savoir où on est avec Scholes dernier mot 30 secondes on a pour vous pour vous ajouter donc actuellement la version de la conjecture de géométrisation qui avait annoncé il y a 5 ans et la suivante c'est que la catégorie des faisceaux étals sur bungee à coefficient dans lambda est équivalente alors après choisir une donnée de whitaker j'ai quasi déployé la catégorie dérivée des faisceaux à comogie quasi cohérente sur le champ condensé sur le champ condensé des paramètres de l'anglance