 Je vais parler de choses, donc dénoncées certainement assez élémentaires avec des méthodes relativement classiques. Donc je vais commencer tout simplement par énoncer le théorème dont je voudrais parler aujourd'hui. Puis je vais passer un certain temps à discuter les heuristiques qu'il y a derrière. Donc le théorème est le suivant, K est un corps de nombre et on se donne deux courbes elliptiques sur K. E et E prime, c'est mieux. Donc deux courbes elliptiques définies sur K. Alors ils existent, donc on considère leur réduction du loupé où P varie dans les places finies de K. Donc il existe une infinité de places, P de K, de places finies, telles que les... Donc on part de E et E prime de courbes elliptiques qui ne sont pas isogènes, même sur K bar a priori, on les réduit modulées au P. On trouve une infinité d'isogénie donc exceptionnelle entre E et E prime, telles que les réduction de E et E prime modulées au P. Donc je vais dire géométriquement isogène, c'est-à-dire qu'elles ne sont peut-être pas isogènes modulées au P mais elles deviennent après une extension finie du corps résiduel. Voilà, donc c'est l'énoncé. Donc je vais passer un certain temps à discuter la motivation. Peut-être une première chose qu'il faut remarquer, donc si E et E prime ne sont pas isogènes sur K bar, alors on regarde, ce sont vraiment des déplaces exceptionnelles au sens où la densité de ces places est nulle. Donc c'est vraiment un terme de densité zéro et ça c'est du hauteur homme de Falkings et le hauteur homme de Chibotare. Donc le terme de Falkings qui caractérise les classes d'isogénie des courbes elliptiques en fonction de l'action du groupe de Galois absolu de K bar sur K sur leur module de tête. Donc si les courbes elliptiques ne sont pas isogènes, cette densité est nulle. Donc on ne va pas pouvoir les trouver directement par Chibotare. Donc c'est la première chose. Je voudrais discuter des énoncés un peu plus généraux. La première chose qu'il s'agit d'un énoncé, en fait c'est pas tout à fait un énoncé de courbes elliptiques, modulo le théorème de Tate ou de Ring sur les classes d'isogénie de courbes elliptiques sur les corps finis, dont je parlerai dans un tout petit moment. Donc c'est un énoncé en fait sur le motif, sur la représentation galoisienne disons, qui est disons H1 de E sur K bar, QL, Tenseur H1 de E prime, K bar, QL. Donc on a cette représentation galoisienne. Puis on regarde les différents frobenus en les différentes places de paix qui agissent là-dessus. Puis on se demande, donc l'énoncé revient à demander que certains frobenus et des points fixes supplémentaires par rapport à ce qui est prévu donc par l'action du groupe de galois global. Donc c'est cette chose-là et évidemment quand on le dit comme ça, c'est un énoncé en fait qui a une généralisation naturelle que je ne sais pas prouver à l'heure actuelle, sur donc des motifs de poids 2 plus généraux. Donc je vais expliquer néanmoins cette condition. Plus généralement on s'attend à quelque chose, un énoncé semblable, pour donc une représentation galoisienne de poids 2. Alors il y a une condition, une numérique pour que cette chose-là marche qui apparaîtra évidemment dans la preuve et qui va apparaître tout de suite dans un cas un peu différent. C'est qu'on a besoin de h2o égale 1. Donc ici c'est évidemment le cas puisque les cours bulletiques ont vu qu'on marde au cours des bulletiques mais c'est cette condition qui est essentielle. Alors je voudrais expliquer pourquoi c'est essentiel parce que la raison est qu'en fait ce résultat est connu, le résultat le plus général dans sa version non part représentation galoisienne mais théorie de Hodge. Donc ce résultat est connu en théorie de Hodge. Donc le résultat que je vais énoncer d'un moment qui est la généralisation du théorème pour le cas de poids 2 avec h2o égale 1. Donc je vais l'énoncer exactement en théorie de Hodge. Donc un énoncé général est bien connu en théorie de Hodge et c'est vraiment la motivation pour cette énoncé. C'est la chose suivante donc c'est un théorème qui je pense a été d'abord démontré par Marc Green et non publié puis qui a été redécouvert ensuite par Keiji Ogizou et qui a eu une autre démonstration un peu plus difficile par Borchert, Katsarkov, Pentef et Schaeffert Baron. Donc c'est la chose suivante donc delta et le disqu'unité complexe. Au lieu de travailler sur spec au cas, on travaille sur le disqu'unité complexe et au lieu de se donner une représentation galoisienne comme celle-ci on se donne une variation de structure de Hodge, donc hq. Je vais regarder vraiment juste la variation de structure de Hodge, une variation de structure rationnelle. Donc c'est une variation de structure de Hodge sur delta non trivial donc il y a vraiment de la variation de poids 2 avec h2o égale 1. Alors le lieu de Hodge, le lieu de notaire F7 de hq qui est par définition donc l'ensemble des points du disqu'unité tel que la dimension du h1 1 en S. Donc j'ai une variation de structure de Hodge, donc en chaque point de delta je prends la fibre, j'ai une structure de Hodge de poids 2 et je peux regarder l'ensemble de ces classes de Hodge. Donc c'est l'analogue des invariants sous galois, donc c'est une représentation galoisienne. Donc c'est la partie de type 1 1 qui se trouve aussi être rationnelle. Donc dans le complexifier qui est dans la raison rationnelle. Donc je regarde le lieu de notaire F7 c'est l'ensemble des points où il y a plus de classes de Hodge qu'attendues. Donc strictement supérieurs à la variante générique en un point très général par exemple. C'est cette chose là, donc le lieu de notaire F7 qui est vraiment analog ici. Ce lieu de notaire F7 c'est dense dans delta pour la topologie transcendante complexe. Donc c'est ce terme là et c'est vraiment l'analogue. C'est non trivial ou non iso-trivial ? On est sur delta qui est simplement connexe. Ah c'est pas delta star ? Non c'est vraiment une petite variation. Il n'y a pas du tout de dégénérescence là-dedans. Donc la variante là j'ai donné l'éoncécomologie que j'avais donné un théorème géométrique qui est vraiment la variante du résultat de Greene au guizot et la suivante. Donc on a l'exemple courant de ces structures de Hodge de poids 2 avec de H2O1. C'est le second groupe de comologie d'une surface K3. Donc la variante est la suivante. On n'a pas besoin de polarisation pour cette énoncé là effectivement. Donc on prend une famille de surface K3 donc pareil sur le disque unité et je vais supposer qu'elle est non trivial. Donc c'est une vraie déformation. Alors le lieu de neuter left shades de Pi donc qui est défini de la même manière mais de façon géométrique. On parle de théorème sur les termes de la classe 1-1. Ce groupe là, dans le cas qui nous occupe, c'est le groupe de Néron-Severi, des fibres. Des fibres du morphisme Pi. Donc c'est l'ensemble des S dans delta tel que le rang du Néron-Severi de la fibre est strictement plus grand que le rang... Alors ce que je vais dire X-gène. Donc c'est soit de la fibre générique géométrique soit d'un point très général mais on est plutôt dans une situation complexe. Donc c'est dans delta. Bien entendu ça couvre via une construction de coumeur par exemple le cas où on prend deux familles de courbe elliptique et on regarde au-dessus de delta et on regarde les points, elles deviennent isogènes. Ça couvre ce cas là. C'est la variante dans ce cas là. Il y a toute raison de croire de supposer que la variante coordonnante est dénoncée, mais je ne sais pas la montrer. Donc j'aurais juste montré pourquoi c'est dénoncé et en fait pas du tout difficile à démontrer. Donc dans sa version théorie d'Ordge une esquise de preuve. Donc on a une variation de structure d'Ordge. Donc on dispose donc le premier objet c'est un système local au-dessus du disque unité et puis on dispose aussi d'un système d'un faisceau cohérent et donc courbé, H-C qui part définition donc je pars du système local et je l'entends souris avec le fiole structurel de delta au-dessus de delta. Donc j'identifie ce faisceau cohérent qui est localement libre à son espace total. C'est vraiment l'espace total d'un fibré vectoriel et là-dedans on a donc la théorie d'Ordge donc comme on parlait juste à l'instant on décompose ce fibré vectoriel en trois parties qui sont pas... la décomposition n'est pas holomore évidemment mais il existe quand même et en particulier on dispose donc d'un sous-fibré qui est le fibré des formes de type I-I, des classes de type I-I et la théorie d'Ordge, je nous dis que la décomposition d'Ordge évidemment est invariante par conjugaison complexe donc j'ai un sous-fibré vectoriel réel h1r qui est inclus dans hc donc qui vit lui aussi au-dessus de delta. Maintenant voilà donc la numérologie donc pourquoi on suppose h2o1 la numérologie est la suivante si je regarde la dimension de l'espace total h1 donc c'est vraiment fibré vectoriel réel je regarde la dimension réelle ça c'est évidemment la dimension de h1r réel en zéro de la fibre en zéro plus la dimension de la base donc plus de je suis en train de regarder la dimension réelle bien sûr et c'est la dimension de la fibre du système local en zéro voilà c'est ça c'est le point clé de la démonstration mais alors pourquoi c'est le point clé parce qu'il y a une troisième donnée qui est sous-entendue dans cette construction c'est qu'on a une application de transport parallèle puisqu'on a un système local ici on a une application de transport parallèle que je vais appeler phi le transport parallèle qui va prendre donc un élément de hc et le transporter sur la fibre spéciale donc h11 je vais prendre h1r il va aller dans la fibre spéciale h2r0 c'est l'application de transport parallèle et donc cette application de transport parallèle va être entre deux espaces qui ont la même dimension réelle et l'hypothèse qu'on parle d'une variation de structure de Hodge non trivial nous dit exactement que l'image de phi contient un ouvert si hq est non trivial c'est impliqué que l'image de phi est un ouvert de la fibre spéciale et bien sûr comme q est danse dans r c'implique que l'image de phi intersectée avec la comogis rationnelle ne serait-il pas zéro on peut montrer qu'il contient un ouvert dense mais je dis juste qu'il contient un ouvert non vide un ouvert non vide effectivement donc en tout cas il contient énormément de points rationnels et alors quels sont ces points si on analyse l'image de phi ce sont des points sur une petite déformation de la fibre spéciale sur un point proche de la fibre spéciale qui vivent dans le h1n de cet autre fibre et qui sont aussi dans la comogis rationnelle donc ça correspond exactement donc au classe de Hodge dans le h1n et dans la rationnelle dans une fibre donc en juin c'est de cette façon-là dont on trouve énormément d'éléments dans le lieu de notaire live chat donc en analysant un tout petit peu plus la preuve que je donne là on trouve facilement la densité donc c'est un énoncé qui n'est pas très difficile et c'est une motivation donc pour essayer de démontrer une version arithmétique de ce résultat évidemment c'est une démonstration tout à fait transcendante puisqu'on est obligé de passer de 2 points mais c'est à ma connaissance pas possible de passer d'une place à une autre de ce fait qu'au cas par transport parallèle alors je voudrais donner quand même il y a une autre heuristique il y a une heuristique qui vient de la théorie des nombres qui est une heuristique à la langue trôteur qui explique pourquoi pourquoi il est raisonnable de s'attendre aux théorèmes que j'ai énoncés dans ce genre dénoncé et quelles sont les hypothèses de différenciabilité ou d'analyticité que l'on fait parce qu'il en faut quand même une variation de structure de hodge évidemment pour moi la filtration de hodge est censée être holomorque donc ça va aussi l'un qu'on veut mais on aurait besoin d'un tout petit peu moins on a besoin juste de pouvoir calculer la différenciel de l'application des périodes ça c'est la chose dont on a besoin donc c'est un quelque chose qui suffirait pour moi ils sont bien plus régulaires donc l'heuristique en théorie des nombres est la suivante je pense que dans la salle il y a des gens qui sont bien plus bien plus spécialistes je pourrais donner l'heuristique dans le cas de poids 2 h2o1 je vais faire l'estimation dans le cas de deux courbes elliptiques c'est très légèrement plus simple donc supposons qu'à égal q pour fixer les idées alors on a nos deux courbes elliptiques e prime sur q non isogène sinon le résultat est trivial et donc on fixe un nombre de premiers p donc les réduction modules op de e et e prime sont isogènes si et seulement si les traces du Frobenius le nombre de points si vous préférez les traces du Frobenius en p agissant sur donc le module de tait h1 puis évidemment h1 de e prime q bar q l si ces deux traces sont égales tout à fait alors l'heuristique que je vais donner c'est qu'en fait il est raisonnable de s'attendre à ce que les courbes que la coïncidence arrive sur le corps de base d'une infinité de fois mais la démonstration que je donnerais ne fournit pas ça donc si les traces du Frobenius sont égales elles sont isotènes tout à fait on peut vraiment s'attendre à ce résultat plus fort j'ai absolument qu'une idée ça n'a pas l'air de sortir de la stratégie de preuve donc c'est voilà si les traces du Frobenius en p sont égales donc ça c'est dû à deux rings et ces traces on les connaît quand même assez bien donc ces deux traces il s'agit d'entier entre deux racines de p et deux racines de p donc ce sont des entiers ap plus petits que deux racines de p pareil à ceci la courbe elliptique e prime et en fait on sait aujourd'hui beaucoup mieux on a la conjecture de Satotate qui est au moins sur Q par exemple et prouvée qui est même prouvée pour 2 pour des perres de courbes elliptiques c'est que ces nombres entiers se sont répartis de manière uniforme alors pour une distribution de probabilité légèrement différente mais pardon donc Satotate donc plus donc ce sont des théorèmes qui sont durs je pense que j'ai oublié des gens si je donne si je fais une liste de noms donc c'est dû à beaucoup de monde ici donc c'est les nombres ap sur les racines de p sont uniformément répartis mais donc suivant la loi de Satotate évidemment dans moins un 1 et puis même les distributions sont indépendantes c'est dû à Michael Harris je pense les distributions sont indépendantes donc si on est optimiste la probabilité que e prime soit isogène modulée au p elle est de l'ordre donc qui dépend la loi de distribution elle est en 1 sur racine de p donc la probat que e est isogène de disons e sur fp est isogène prime sur fp et à peu près égal à 1 sur racine de p à une constante près et la somme des inverses 1 sur racine de p diverge donc comme la somme 1 sur racine de p diverge on s'attend au résultat donc un résultat effectivement un petit peu plus fort que celui que j'ai énoncé et vraiment cet heuristique là marche avec donc pour empoids 2 et h2o c'est juste ça qui dépend donc voilà alors le résultat que j'ai démontré un tout petit peu plus faible que l'infinité et d'autre part évidemment de cet heuristique donc l'infinité pour les noms de premier p où on a cet isogène exceptionnel elle ne sort absolument pas donc les résultats que je vais énoncer sont effectifs on peut en sortir quelque chose d'effectif mais qui ne se compare pas du tout aux densités attendues par contre peut-être ce qui est un tout petit peu favorable par rapport au cas où on est là c'est que tout ce que je fais est complètement géométrique donc en particulier ne dépend pas du corps de base or il me semble enfin ces énoncés là sont assez sensibles au corps de base notamment ils demandent souvent l'existence d'une place réelle c'est quelque chose qu'on ne voit pas du tout c'est un énoncé complètement géométrique c'est une démonstration complètement... J'ai eu l'impression qu'au début t'avais dit ta densité c'était zéro ah oui pardon alors évidemment la densité c'est zéro mais ensuite on peut demander une estimation de la croissance disons qui sort de cet heuristique voilà et donc je montrerais tout d'ailleurs il apparaîtra dans la preuve que la démonstration devrait s'étendre un certain point technique tout à fait difficile en dimension supérieure avant de la démonstration je voudrais quand même donner une conséquence du résultat pour une courbe elliptique c'est la chose suivante disons une variante qui est ni plus forte ni moins forte qu'un théorème d'Elkis c'est la chose suivante donc soit E cette fois-ci une courbe elliptique sur K qui n'a pas de multiplication complexe alors une des un des deux énoncés suivants est vraie donc au moins un des deux énoncés suivants est vrai et on s'attend à ce qu'ils soient tous les deux vrais alors c'est la chose suivante regardons donc on s'intéresse aux réductions de E modulo P que peut-il se passer donc quand on réduit le modulo P soit E super singulière soit E a de la multiplication complexe et quand E a de la multiplication complexe on a un invariant qui est le corps quadratique imaginaire de la multiplication complexe et si on est parfaitement optimiste on peut s'attendre à ce qu'on ait une infinité de place super singulière et d'autre part que tous les corps de multiplication de quadratique imaginaire apparaissent chacun une infinité de fois donc c'est l'énoncé le plus optimiste donc une de ces deux choses là est vraie donc un des deux énoncés est vrai donc E a une infinité de réduction super singulière donc ce qui est connu dans le K ou K E a une place réelle par elkis donc l'autre possibilité que quelle que soit pour tous corps grand K quadratique imaginaire E a une infinité de réduction qui ont multiplication complexe par grand K on pourrait même un petit peu raffiner et étudier un petit peu l'ordre qui apparaît on peut faire des choses mais alors la démonstration est très simple à partir du théorème il faut donc le point 1 soit faux et on prend E prime donc c'est un énoncé qui est évidemment un variant par extension finie de petit K donc je peux changer de base et prendre E prime une courbe elliptique qui a multiplication complexe par grand K et on applique le théorème à E et E prime les réduction de E prime elles sont très simples une fois sur deux est la réduction super singulière mais elle peut pas être isogène trop souvent à E moduloper puisque je suppose que le 1 est faux et l'autre K est prime à réduction qui reste CM par grand K et si E est isogène à une courbe CM par grand K E a CM par grand K donc voilà c'est complètement alors c'est un petit peu frustrant parce que évidemment c'est un énoncé qui ne dit pas quel K est vérifié mais le mot CM ça veut dire l'élection définie sur le corps géométriquement dans l'énoncé il faut toujours changer le corps résiduel donc CM par grand K ici c'est géométri... c'est après extension le point 2 tout à fait CM par grand K après changement du corps résiduel on peut pas à aucun moment contrôler le corps de Mal par rapport à LQ les 2 courbes elliptiques pour avoir une infinité de places super singulaires en commun tout à fait on sait pas si elles sont super singulaires ou pas on contrôle très mal je sais pas contrôler où elles sont super singulaires où apparaît la réduction on peut tirer ça apparaît de manière un peu plus précise dans la démonstration du terrain on peut voir soit quoi on s'attend mais je sais rien démontrer je sais absolument pas je suis pas sûr qu'on s'attend parce que 1 il y a des consentes qui... 2 est une conjecture de langues et crotères si on trouve un contre-exemple 1 on a un vrai résultat sans ça malheureusement c'est ça peut-être je sais pas comment je reprends donc je voulais passer un petit peu de temps pour expliquer parce que peut-être la façon dont il faut voir je vais expliquer la démonstration la stratégie de la démonstration c'est exactement un énoncé qui se place dans des conjectures qui sont très difficiles et qui justement c'est à ma connaissance le seul énoncé un petit peu géométrique qu'on peut formuler c'est très peu arithmétique donc la stratégie est très simple je vais commencer par donner donc la stratégie de preuve et puis j'expliquerai comment on mène chaque étape donc pour fixer les idées c'était quelque chose qui était complètement géométrique pour fixer les idées les notations dans cet exposé c'est pour avoir des nombres rationnels mais c'est juste pour avoir qu'une seule place à l'infini par exemple c'est un peu plus simple d'avoir des notations trop compliquées et donc on est en train de travailler avec deux courbes elliptiques sur Q et on s'intéresse à leur réduction donc évidemment on travaille en fait sur Z donc on dispose de X de 1, l'espace de module la compatification de lignes rapoportes de l'espace des modules des courbes elliptiques sur Z donc c'est cet objet là évidemment bien connu on a le variant J qui le rend isomorphapéen de Z et puis je vais quand même introduire la fibre sur C donc la fibre sur C c'est tout simplement le demi-plan de point carré auquel on a ajouté la pointe à l'infini co-scienté par gama de 1 à 2 et j'ai toujours noté taux la coordonnée sur H et d'autre part donc on s'intéresse aux isogénie entre deux courbes elliptiques on dévisse un petit peu et on s'intéresse aux isogénie cycliques de degré N donc on dispose de la correspondance de Q X 0 de N donc c'est l'espace qui paramètre au moins dans un certain ouvert les isogénie cycliques qui est une isogénie cyclique de degré N ça s'envoie donc en projetant sur le premier et le second facteur sur X de 1 et on note donc TN la correspondance induite la correspondance de Y donc tout ça est sur Z donc quel est en fait l'énoncé donc peut-être comme je suis en train de noter les notations de donner les notations donc c'est cette correspondance à B degré E N donc E N c'est c'est un calcul donc c'est N fois le produit des 1 plus 1 sur P une P divise N bien c'est le degré de la correspondance de Y donc quel est l'énoncé dans cette notation donc E et E prime sont deux courbes elliptiques sur Q donc c'est des Q points de X de 1 en les étendant des Z points en des diviseurs dans la surface arithmétique X de 1 et on est en train de regarder la chose suivante quand N varie donc E E prime correspond à 2 diviseurs donc je vais appeler Y et Z dans X de 1 donc ce sont des fermés et on est en train de regarder la chose suivante donc on demande à ce que E et E prime deviennent anisogènes après réduction modulopée donc on regarde l'union sur tous les N sur tous les N donc on regarde l'intersection de Z de l'intersection des sous-chémas de Z et de l'image de Y par la correspondance de Y donc on regarde cette intersection ces deux diviseurs n'ont pas de composantes communes puisque je suppose que Primes ne sont pas géométriquement isogènes c'est un résultat évident donc cette chose là est une union de points fermés et donc on se demande donc j'attrape celui de donc on demande cette chose là évidemment on comprend tout de suite donc il y a une seule chose à faire c'est de calculer les degrés arithmétiques donc ce qui est suffisant bien sûr c'est que quand N tend vers l'infini c'est que la limite supérieure des cardinaux de Z inter Tn et toi y tend vers l'infini on a gagné donc je ne compte pas de multiplicité ici je regarde vraiment juste cette chose là comme une union de points fermés qui est une infinité de points donc ce n'est pas une notation extraordinaire à priori on a très peu de contrôle là-dessus par contre l'objet sur lequel on a un contrôle c'est ce qui intervient dans les hauteurs donc la chose suivante enfin un calcul de hauteur qui est dû ici c'est celui à polaco-n et Pascal Auticier c'est la chose suivante donc on regarde non pas ce nombre de points sans multiplicité c'est évidemment une très mauvaise une très mauvaise, un objet très difficile à contrôler par contre on peut regarder le degré arithmétique de l'intersection au sens de la théorie de l'intersection c'est un zéro cycle supporté sur l'intersection donc je vais écrire je vais rappeler la définition dans un moment et cette chose là on peut beaucoup mieux la contrôler évidemment il faut avoir un tout petit peu attention ce degré là il faut prendre en compte les places à l'infini donc il faut supprimer donc quelque chose une contribution archimédienne qui est alors ce que je vais noter le log de sz appliqué atn y ce que je dis à part là c'est l'intersection archimédienne très bien, cette chose là se comporte comme un vrai nombre d'intersections et on comprend très bien la façon dont il croit donc il y a un facteur 6 équivalent quand même temps vers l'infini à 6 fois donc il y a cette constante alors quelles sont les nombres qui doivent intervenir c'est le degré de la correspondance donc géométriquement on a ce en qui intervient et puis on est dans une situation globale donc on a la croissance des coefficients qui définissent la correspondance de la queue qui intervient donc cette chose là croit comme 6 en log n donc vous voyez on a un terme géométrique un terme arithmétique et ce qui va nous sauver c'est que place par place l'intersection ne voit pas le fait qu'on est dans une signification globale donc va voir tendance à croître comme en donc on va avoir besoin de beaucoup de place pour absorber l'intersection globale donc j'ai écrit les termes peut-être donc le terme non archimédien c'est tout simplement la chose suivante le degré un arithmétique d'un zéro cycle p mettons effectif ou enfin p qui est le degré de la somme de la somme de nipi c'est la somme dny fois le log du cardinal du corps résiduel donc c'est la première chose donc c'est le degré arithmétique et le terme archimédien en fait c'est le même vous voyez en train de regarder ces multiplicités-là correspond à des distances péadiques si on regarde le terme archimédien c'est ces termes-là alors qu'est-ce que c'est la section z donc c'est une section du haut de 1 en fait et c'est la fonction qui définit sur h par la formule suivante z de taux c'est donc je vais essayer de pas faire le 10 donc c'est la fonction pour pas que ce soit trop lourd donc vous voyez on a x1 on a p1 donc sur p1 on a le fibré haut de 1 quand on le tire en arrière sur x1 on obtient le fibré des formes modulaires de poids 12 et qu'est-ce qu'on a de regarder z c'est la fonction qui s'annule en le point complexe correspondant à z justement donc c'est la fonction z-j de taux qui s'annule quand j de taux égale z fois delta standard de poids 12 donc on est en train de regarder essentiellement à ce delta qui intervient presque comme une normalisation on est en train de regarder en prenant moins log on est en train de regarder le log des distances des éléments donc donc on a grand z donc grand z c'est peut-être remettre j'ai peut-être pas donné des notations tout à fait donc j'ai grand z j'appelle grand c'est une notation un peu que j'aime bien parce qu'elle est suggestive c'est le point je vois le j invariant c'est le j invariant de e prime voilà donc je note grand z pour le diviseur et petit z pour le nombre complexe voilà j'oublie un petit peu maintenant dans ce calcul d'intersection les courbes elliptiques elles-mêmes je l'ai fait disparaître donc voilà et évidemment quand je l'applique à T a une étoile de Y c'est le produit sur tous les éléments de l'orbite de Hecke de chaque terme évidemment le nombre d'intersections doit être additif ce qui est dans le log ou être donc voilà donc on a cette chose là et nous ce qu'on veut montrer c'est que le nombre des pays qui interviennent le nombre des la taille du support de ce zéro cycle tant vers l'infini avec n ou au moins pour une certaine suite de n bien choisi et donc pour ça on doit montrer que chaque terme individuel que les termes vraiment chaque place croissent moins vite que le terme global, y compris le terme sur la place archimédienne donc ça qu'il faut contrôler et donc l'idée de bas c'est qu'évidemment chaque terme local ne peut pas voir le terme global en log n donc doit croître juste en e n donc on va essayer de faire ça en fait on a une heuristique qui est bien meilleure qui est la chaussiante donc je continue avec des heuristiques mais elles deviennent plus utiles cette fois-ci donc je vais décrire ce qui se passe à la place archimédienne évidemment dans tout dans toute cette histoire on a traité les places archimédiennes et les places archimédiennes on les traite par des méthodes similaires les différences sont juste techniques j'ai commencé à quelle heure en fait je suis 35 ok très bien donc à la place archimédienne on voit très bien on comprend c'est bien le terme donc on a donc ce moins log c'est la section sz appliquée à l'orbite de hecke y et cette orbite de hecke sur c par donc je voudrais estimer ça donc par un résultat de Closel O et Ulman tn étoiles de y disons la partie complexe donc l'orbite de hecke de la courbe elliptique de la courbe elliptique e l'ensemble des courbes qui sont isogènes par une cyclique de degré n et l'étiquet distribué pour la mesure invariante sur x21c alors évidemment si j'applique ce résultat directement à cette fonction donc vous voyez on applique on est en train de regarder la somme de la fonction moins log de valeur absolue de sv norme de sv sur l'orbite de hecke donc ça se compare à une intégrale est ce que c'est un point d'interrogation équivalent à e n donc le nombre de points dans l'orbite fois l'intégrale sur h bar sur gamma de 1 2 alors il faut juste écrire donc ce que c'est donc le log alors je remplace la norme vous voyez toujours la normalisation avec une puissance 6 le z moins j de taux fois donc delta fois donc la partie imaginaire d taux à la puissance 6 puis d x d y sur y2 petit z des fixés petit z des fixés donc z et les deux points sont fixés et je fais juste varier le n donc je regarde cette chose là je compare la somme de Riemann à l'intégrale et évidemment ça c'est e n fois une certaine constante donc cette intégrale elle a une singularité et bien sûr et en taux et en j de taux égale z mais l'intégrale la voit pas l'intégrale converge donc on s'attend bien sûr à ce que ce soit ce que ce soit de cette formelasse qui est exactement ce qu'on souhaite c'est négligeable devant le terme de terme dominant bien sûr c'est pas une démonstration puisque on ne peut pas appliquer les résultats des Q-distribution à des fonctions qui ont des singularités donc le problème c'est la singularité de la fonction dans l'intégrale en j de taux égale z autrement dit même si l'orbite de Hecke est tout à fait et bien équil distribué il se pourrait avoir des points dans l'orbite de Hecke des éléments des taux dans l'orbite de Hecke tn étoiles y donc la partie complexe tel que y de taux moins z est extrêmement petit, beaucoup plus petit que n laisse prévoir mais si c'est Q-distribué on peut avoir une très bonne approximation qui ferait diverger la somme de Raymanici qui ferait vraiment qu'elle absorberait tout le terme en n l'organe c'est possible ça ne contredit pas l'EQ-distribution donc ça nous donne une stratégie raisonnable sachant que ces phénomènes exactes se retrouvent au place archimédienne avec les mêmes les mêmes phénomènes c'est de contrôler cette mauvaise provenance je vais réécrire je vais descendre ce qui est tout le temps donc il y a 3 choses à faire c'est une 3 choses à faire pour contourner ça donc il y a une première chose que je vais essentiellement pas discuter c'est traiter les places de mauvaise réduction qui sont un peu différentes dans la forme ici dessus mais ça c'est très facile tout simplement parce que dans le cas des places de mauvaise réduction quand on a un énoncé géométrique on peut changer de base on a en fait des courbes de taites et calculer ces isogénie l'existence de ces isogénie ou non ça se lient directement sur la forme de la courbe de taites donc c'est un calcul immédiat ils font juste vérifier j'imagine que c'est pas là où t'as vraiment besoin de changer de corps non c'est pas essentiel je dis juste que elle est sous cette forme de toute façon cette stratégie ne voit que quelque chose de géométrique on est en train de compter le nombre de points fermés donc on n'a pas de contrôle sur ça, à ma connaissance donc la deuxième chose c'est quand même d'appliquer les cuites distribution donc appliquer les cuites distribution que ce soit donc au place archimédienne où tout va bien ou au place non archimédienne où on a un petit peu de choix si on utilise des résultats qui montrent qu'au place les plus difficiles sont les places supersingulières on a quand même de les cuites distribution ou de faire des choses beaucoup plus élémentaires, des ersatz en faisant un tout petit peu de géométrie des réseaux donc on applique les cuites distribution et alors qu'est-ce que ça nous donne ça nous amène au point 3 qui reste à faire ça nous dit que donc regardons la place archimédienne dans cette intégrale on voit que la seule singularité est en z égalgie de taux donc la partie 3 c'est contrôler le 2 on applique les cuites distribution à une fonction à cette fonction oui c'est ça on applique oui on a une singularité en g de taux égal z donc on oublie donc on met une constante autour de ça et on applique les cuites distribution ailleurs donc on applique les cuites distribution pour dire que la seule contribution dans cette somme-là ou dans les termes locaux qui pourraient dépasser en log n viennent des termes qui correspondent à des points d'orvidium qui sont des très bonnes approximations d'un point donné donc de ce point z donc le 3 c'est contrôler les pires approximations de z par un point de donc tn étoile donc je donne encore une fois que les résultats sur c il faut faire un petit peu attention il faut choisir n un petit peu soigneusement il faut choisir en même temps pour toutes les places etc donc je voudrais expliquer cette dernière partie encore une fois la partie 2 il y a une technologie suffisante pour la traiter donc regardons donc je voudrais expliquer ce que je vais montrer que pour une majorité d'anti n donc pour une majorité de n donc je vais montrer que j de t moins z donc c'est le terme qui m'intéresse et plus grand donc t appartient à l'orbite directe alors je voudrais montrer tout simplement que ça n'approxime pas mieux qu'une certaine puissance de n donc pour un certain d on peut prendre si on suit les calculs on peut prendre d égale 4 on peut prendre d égale 5 c'est-à-dire que ça soit plus grand que n-4 par exemple donc je vais montrer c'est que l'approximation de z par des points d'orbite directe et au mieux polynomial quitte à enlever un ensemble pas trop gros d'entier grand n c'est un problème et c'est combinatoire je vais le montrer je vais donner la stratégie puis ensuite il faut juste la suivre donc partons d'un entier n au hasard prenons n au hasard grand le bc ah c'est celui-là oui oui c'est ça ça fait donc prenons n grand et puis donc je vais prendre n1 et puis il peut se trouver donc donc supposons supposons qu'on ait n grand et puis supposons qu'il soit mauvais donc qu'il correspond à une très très bonne approximation de z donc supposons qu'il existe au moins pardon z-j de to1 soit vraiment très petit donc c'est plus petit que n puissent se moindre avec des très très grands et ça rate complètement donc évidemment évidemment s'il n'en existe pas on a gagné par hypothèse très bien donc si celui-là marche pas on peut le jeter donc on en prend un deuxième n2 donc tous ces n sont un peu du même ordre de grandeur on fixe un espèce d'ordre de grandeur dans lequel on travaille pareil z-j de to2 il est très petit lui aussi alors qu'est ce que ça signifie géométriquement on a pris notre courbe elliptique e on a pris 2 isogénie différentes qui sont en fait très très proches d'une courbe elliptique fixée donc on peut oublier notre courbe elliptique paramétrée par z en fait ça nous dit que e donc disons donc e et e prime sont très proches au sens de leur géant variant de 2 courbes elliptiques cm simplement c'est la seule manière dont ça peut arriver si on a 2 isogénie différentes de e qui sont très très proches c'est que e est presque cm et même donc si on si on contrôle le d on le prend c'est très très grand ça va forcer quand même comme e et e prime évidemment on peut supposer qu'au moins l'une des deux n'est pas cm sinon le résultat est facile donc on peut supposer que les discriminants du groupe des endomorphismes de ces courbes cm est très gros qui t'apprend des approximations très très grandes a forcé d'avoir des discriminants très très gros il y a qu'un nombre fini de courbe elliptique dont le discriminant du groupe des endomorphismes de l'anneau des endomorphismes bien sûr mais qu'est ce que c'est la conséquence du fait de courbes elliptiques cm que je vais appeler disons f et f prime c'est pas très bon nom pour des courbes elliptiques mais ça veut dire que le réseau homme de mf prime un discriminant lui aussi très très grand si f et f prime ont des discriminants très très grands donc en particulier ça veut dire que le cardinal de cette chose-là de de hommes intérieurs des morphismes de f dans f prime de 6 clics de degrès ce qui m'intéresse puisque maintenant je suppose que e et e prime sont très très proches de ces 2 courbes cm f et f prime donc trouver des isogénie de e qui sont des courbes isogénaux qui sont très proches de e prime c'est la même chose que trouver des morphismes entre e et f prime 6 clics de degrès c'est cette chose-là c'est à peu près égal donc on a 2 courbes elliptiques cm la croissance en n de cette chose-là est comme n évidemment puisqu'on a un réseau de grande 2 mais c'est comme n mais le discriminant arrive donc c'est alors si je ne me trompe pas c'est n sur la racine carré du discriminant mais en tout cas c'est très petit devant n donc c'est nettement plus petit que n disons il y a des termes correcteurs qui sont en racine de n etc mais donc ça veut dire que pour beaucoup de choix d'anti-n il n'y a pas dans nos morphismes entre 6 clics de degrès entre ces 2 courbes donc comme je finis je ne vais pas l'écrire au tableau donc pour une grande majorité de n une proportion 1-1 sur la racine delta il n'y a pas 10 osgénies 6 clics de degrès n qui envoient eux sur une courbe très très proche de e prime donc on a quitté à enlever relativement peu d'anti-n on a effectivement montré qu'il n'y avait pas de très bonne approximation puis comme j'ai contrôlé les densités on peut faire ça évidemment à toutes les places et conclure de cette manière alors je voudrais juste dans la minute qui reste dire que ici on fait donc c'est dénoncé suffisant pour déduire le théorème il y a quand même une chose qui est frappante c'est qu'on doit enlever un certain nombre de grantaines dans cette méthode et c'est pas du tout clair que ce soit possible parce que vous voyez on est parti de 2 courbes elliptiques qui étaient définies sur le circuit sur un cordon fixé et on regarde c'est un espèce de résultat d'approximation diophancienne donc qui est appliqué à leur giens variant alors évidemment il va avoir une hauteur qui est un peu compliqué à faire mais il est tout à fait envisageable qu'on ait une version du théorème de rod qui montre que sans condition sur n les approximations peuvent pas être trop bonnes donc on est en train de regarder des approximations entre 2 anti-algébriques alors évidemment naïvement les hauteurs et les degrés sont tendance à être très très grands mais il est pas inconcevable en fait qu'on ait pas du tout besoin de faire cette astuce un peu voilà de contrôler comme ça donc il y a un problème derrière qui est peut-être pas tout à fait inintéressant d'approximation diophancienne disons que je ne connais pas la réponse merci Merci, il y a des questions une argument c'est d'argument de Ziegler qui montre qu'il ne peut pas y avoir trop trop de contraignants et ces arguments sont juste non connus pour ne pas être effectifs vous voyez celui des bontés par exemple il y a aussi deux exceptions vous ne pouvez pas les manjouer là parce qu'il n'y avait pas d'énergie manue il y avait pas d'énergie manue il y avait pas d'énergie manue est-ce que vous pouvez vraiment tirer les sacs et les manjurations vous voyez si ça fait peur et que c'est ça oui mais on en exclut deux donc je peux montrer que parmi j'ai l'impression que la taille des noms de preuves tout à fait mais ça nous démajorant sur la taille des haines qui marchent puisqu'on en exclut au plus donc tu veux juste juste c'est bon c'est j'ai pas mené une question est-ce que l'erreur des sacs et les manjurations ou la fonction de récaveille excusez-moi récaveille il y a cette condition on passe à des c'est le fait que ce soit géométrique on contrôle pas les traces du Frobenif directement on contrôle les traces sur une extension et du coup c'est cette obstruction là qui est vraiment construite dans la stratégie je vois pas du tout comment l'aborder autrement si tu prends trois cours pour ton heuristique ça a l'air d'être des sommes de l'air surpris ça a l'air de diverger tout à fait voilà c'est un problème il y a 4 cours tu ne s'apportes pas du marge à ma connaissance on ne connait pas de variétés abéliennes qu'il y a qu'un nom de fini de place super singulière même en dimension très très grande or ce genre de considération pointe vers le fait donc non non non c'est vraiment c'est quelque chose donc c'est donc évidemment ça a dénoncé sur la théorie de l'intersection de certaines variétés de Shimura il s'agit des variétés de Shimura où les sous variétés spéciales sont des diviseurs c'est exactement ça on ne dit absolument rien sur des cas qui seraient couverts par les bonnes heuristiques mais qui n'aurait pas cette géométrie derrière je ne sais absolument rien