conomic description last time we talked about K-map how do we map and simplify we concentrated some of product expressions لہذا before we start our discussion on mapping standard product of some expressions onto a k-map let us quickly revise the topics which we did last time. Last time basically my discussion start with the k-map say we have 3 variable k-maps 4 variable بھی ہو سکتے ہیں 5 variables بھی ہو سکتے ہیں اس میں 3,4,5 variable k-maps کیوں use ہوتے ہیں basically to simplify Boolean expressions having 3 variables 4 and 5 variables دو طریقے ہم نے دیکھتے تھے to specify 3 variable k-map row format بھی ہو سکتے ہیں column format بھی ہوگا 3 variable k-map میں اور کارناف مپ میں basically 8 cells ہیں representing 8 mint terms یا 8 max terms اسی طرح جو 4 variable k-map ہے کارناف مپ ہے اس میں 16 cells ہیں it is organized in the form of 4 rows and 4 columns of course each of those 16 cells represent 16 mint terms یا 16 max terms of that expression. Next time ہم نے یہ گا تھا having shown the carnaf maps ان میں ہم نے کچھ information ڈالنی ہے کیسے ڈالیں گے basically ہمارے پاس دو forms میں expression ہوتی ہیں ایک جو form ہے standard sum of product form. Standard sum of product form میں جو expression ہے اس میں different mint terms ہوں گے so جو بھی mint terms آپ کے پاس ہیں ان کو corresponding cells میں as one mark کر دیں جو mint terms نہیں وہ 0 ہوں گے so after having marked the k-map appropriate k-map 3 variable یا 4 variable depending on the domain of the expression آپ آپ کیا کریں گے grouping کریں گے so you form groups you start by forming the largest group so آپ پہگر let's say 3 variable کا k-map ہے the largest possible group which you can form is a group of 8 cells so 8 سلکہ ہوگا اس کے بعد آپ کوچھ کریں گے 4 سلکہ کوئی اگر گروپ بھن جائے پھر 2 سلکہ اور 1 سلکہ گروپس ہم نے بتایا تھا there's no limit کے کتنے ہونے چاہیں جتنے بھی آپ کے پاس ones ہیں اور وہ گروپس form کر سکتے ہیں تو اتنے گروپس بھن جائیں گے اس میں اب ضروری نہیں ہے کہ 3-4 گروپس جو ہیں وہ علادا علادا سے ہوں کچھ overlap بھی کر رہے ہوتے ہیں پر ان میں سے ایک چیز آپ یاد رکھے گا different overlapping جو گروپ ہیں ان میں سے اتنیسٹ ایک سلکہ ہوگا جو دونوں میں نہیں ہے اسی لی آپ دو انڈیپنرٹ گروپ بھن رہے ہیں اگر کوئی ایک one جو ہے دونوں گروپ میں ہے تو of course different گروپ بھانے کا سوالہ نہیں بیادہ ہوتا so basically after having mapped the k-maps گروپ بھنایا گروپس جو ہیں basically آپ کو simple product terms دے رہیں اس کے بعد ہم نے discuss کیا تھا کہ اگر آپ کے پاس standard expression نہیں ہے some of product form میں تو پھر کیسے کریں گے آپ کے پاس non-standard some of product form کے expression ہے تو basically دو طریقے ہیں یہاں تو اس کو standardize کر لیں وہی جو رول ہم نے پڑا تھا ای پس ای بار use کرتے ہوئے standard آجائے گی standard جب expression آگی آپ مپ کردے کے مپ میں اگر آپ یہ نہیں کر رہے تو آپ ڈریکلی بھی جو non-standard some of product form expression ہے وہ کے مپ میں مپ کر سکتے ہیں اس میں وہ کیسے basically آپ نے let's say پہلی term اٹھائی وہ آپ term جو ہے k-map میں جہاں جہاں جہاں بھی جو بھی cells ہیں جن میں وہ term common ہے یا نظر آ رہی ہے وہ در آپ one mark کر دیں گے اس میں so ultimately جتنی بھی non-standard terms ہیں آپ کی some of product expression میں وہ آپ نے once کے طور پہ مکر دی کے مپ میں اس کے بعد وہی process ہے گروپس بنائیں گروپس جو ہیں آپ کو ایک simple product term کے سورت میں ایک expression دے دے گا اس کے بعد ہمیں بات کی تھی کہ truth table جو ہے basically جب بھی آپ کوئی second بناتے ہیں اس کا پہلے آپ فک function table یا truth table بناتے ہیں جس میں some inputs دیے ہوتے ہیں اور cost bonding outputs دیے ہوتے ہیں اگر آپ کے پاس truth table ہے یا function table ہے then you don't need to first write an expression اور پھر اس کو مپ کریں I'm directly بھی اس کو مپ کر سکتے ہیں k-map میں دیکھیں تو let's say 8 input combination بیسکلی 3 variables ہیں اس کے 8 outputs ہوں گی k-map کنساں use کریں گے 3 variable کا k-map use کریں گے so her input combination کی ہر جو output ہے 1 z 0 ہوں گے وہ درکلی آپ k-map میں مپ کرنے اس کے بعد کیا کریں گے وہی آپ دوبارہ گروپنگ فرم کریں گے ایک expression آ جائے گے آپ کے باس last topic ہم نے پشتا ہوا دسکلس کیا تھا don't care states let's suppose آپ کے پاس کو ایک 5 variable کا یا 6 variable کا کوئی circuit ہے 5 6 variables except کر رہے ہو سکتا ہے ان میں سے کچھ variables use نہ ہو رہے ہوں پھر کیا کریں گے اس میں بیسکلی ہم نے کہا تھا own unused states کو don't care سے ربزن کرنے سو جو unused states ان کا کیا کرنے بیسکلی وہ don't care states ہیں output میں او در ہم 1 بھی مطنی کرتے ہیں 0 بھی مطنی کرتے ہیں او در ہم x symbol ڈال دے دیں اس میں فائدہ کیا ہو رہے جب اس پورے function table کو ہم مپ کرنے کا نفط مپ میں تو او در ہمارے پاس cells میں 0's بھی آنگے 1's بھی آنگے اور xb آئے گا next step ہوتا ہے simplify کرنے کے لیے ہم نے groups بنانے ہم دیکھیں گے کہ اگر ایک بڑا گروپ بھن رہے by setting those x's to 1's then we do that so let's suppose اگر ہم x کو 0 رکھتے تو ہمارے گروپ 4 کا بھن رہا اس میں اگر ان x کو ہم 1 کردیں تو 8 کا گروپ بھن رہا ہے so we will set those x's to 1's اور 8 cell کا گروپ بن جائے گا جو ہمارے پاس ایک simpler product term دے دے گا so in summary جو cross ہیں جو don't care states ہیں ان کو 0 سے بھی ربزن کیا جا سکتے ہیں one سے بھی کیا جا سکتے ہیں depending upon the information in the kind of map so یہ تو تھی بات special lecture کی today we start with mapping the product of some forms of expression directly into the k-map او در سے simplify کیسے کریں گے اس میں generally تریکہ ہی ہے جو آپ نے some of product form کی expression کے ساتھ دیوز کیا تھا okay let us just recall the product of some form of expression اس میں کیا ہوتا ہے بسکلی product of sums ہم نے کیا تھا so آپ کے پاس some terms ہے ان کو آپ نے ساروں کو and کر دیا ہوا right now standard اگر آپ کے پاس product of some expression ہے اس میں جو یہ some terms ہے ان کو کیا کہتے ہیں بسکلی ان کو max terms کہتے ہیں اس میں ہے so آپ کے پاس standard جو product of some form of expression ہے اس میں آپ کے پاس max terms ہے so اگر آپ کے پاس 3 variable expression ہے product of some form کی اس میں کتنے maximum 8 ہو سکتے ہیں اسی طرح 4 variable کی product of some expression ہے اس میں کتنے max terms ہو سکتے ہیں سولہ ہو سکتے ہیں اس میں now it is possible will normally سارے max terms نہیں ہوتے کسی expression میں پہلے دو ہوں گے یا کوئی or different combination ہوں گے اب یہ جو max terms ہے ان کو کیسے آپ مپ کریں گے کے مپ میں basically let's just consider an example let us suppose that you have a 2 variable expression this میں inputs are 0011011 اس کی پہلی جو term ہے max term جو ہے a plus b right یہ ایک some term ہے اور یہ ہی آپ کے expression میں present ہے اب اس کو آپ کی مپ میں کیسے express کریں گے now if you remember mint terms جو ہے وہ output میں کیسے represent کرتے ہیں once کی صورت میں max terms جو ہے وہ output میں کیسے represent کرتے ہیں 0 کی صورت میں so just remember this when you map a product to some expression in the k-map تو جو بھی max terms present ہے اس کو آپ as 0 مارک کریں گے corresponding cell میں جو k-map کے cell میں right so یہ جو example میں دیتی دو variable کی پہلہ max terms جو ہے وہ موجود ہے باقی max terms نہیں ہے so کسی cell جو ہوگا جس میں آپ 0 مارک کریں گے cell جو ہے a bar b bar باقی جو ہے سارے cells کیا کریں گے جن میں max terms نہیں ہے وہ سارے ones کر دیں گے اس میں so after having mapped the expression اس کے بعد کیا کرنا basically اب grouping پے آ جائیں گے so before we have a look at the grouping thing let us map the standard product of some expression onto a k-map so let us have a look at some examples how can we consider the standard product of some expression having a domain of three variables what is the size of k-map or the kharn of map which you would use to simplify this expression now since the domain is of three variables therefore you would be using a three variable kharn of map now by looking at the expression which has four some terms a plus b plus c bar the ایک ڈھانان اسے س pratique م legislature نمال تع求 صوری ڈھانی ادوار ہوتے ہیں۔ ایک بれ بیک ہے، ایک پہلات انہیں因ورگی تھے۔ اس میں Discovery منظور peacefully day night ہے ،竹ان بل میں پیان میں اנסج نہیں ہوتا ہے۔ اس میں بھی کوئی بھی آپ کے مپ use کر سکتے ہیں کولم format یا رو format دونوں سے آنسر ایک ہی آئے گا پرشلی لیکشر میں جس طرح میں بات کی تھی نوان سٹینڈڈ جو ہیں سم of product terms جو ہیں وہ آپ ایکسپریس کر سکتے ہیں کے مپs پے اسی طرح آپ نوان سٹینڈڈڈ پروٹٹ آف سم terms جو ہیں آپ کے مپ پے مپ کر سکتے ہیں ایدھر ہم دسکتنی کریں گے with experience you can use them تھوڑا سا ڈیفکلٹ ہے زرا product of some forms کو کے مپ میں پرزن کرنا بہرحل آپ کر سکتے ہیں اس میں okay now having mapped a product of some expression onto a کے مپ next ڈپ کیا کرنا ہے basically وہی groups form کرنا اس میں groups up کس size کے form کریں گے اور کن cells کو use کریں گے basically the procedure is the same you would form groups of 8 4 2 1 multiples of 2 4 variable کا k map ہے then you can form the largest group of 16 cells last time جب ہم بات کی تھی some of product form میں groups جو آپ نے بنے تھے 1 کے groups بنے تھے اس case میں product of some form میں آپ گروپس بنائیں گے 0 cells کے جن cells میں 0 ان کی groups بنائیں گے اس میں once جو ہم کو چھوڑ دیں گے اس میں so groups again جو ہیں they can be formed row wise column wise they can be square they can be rectangle and جسا ہم نے بات کی تھی product power of 2 ہونا چاہیے so 6 12 14 type a group نہیں ہوں گے اس میں so let us have a look at some examples which show us how we can form groups for different expressions کنسٹر a 3 term product of some expression map to a 3 variable column based کا نف مپ a single group of 2 cells and a group of 1 cell are formed the first group of zeros comprising of cells 0 and 4 forms the some term b plus c the second group comprising of cell 3 forms the some term a plus b bar plus c bar the simplified product of some expression has 2 terms ہمی terms did the original expression have basically you see 3 zeros in the کا نف مپ so the original expression had 3 max terms the simplified expression has basically 2 some terms consider now the 4 term product of some expression mapped to the 3 variable row based کے مپ 3 variable row based کے مپ کیوں جو use کریں basically ڈین ویریبل کی expression ہے so you don't need to use a 4 variable کے مپ 2 گروپس of 2 cells each and a 3rd group of single cell are formed the single cell group comprising of cells 0 forms the some term a plus b plus c the 2nd group of zeros comprising of cells 5 and 7 forms the some term a bar plus c bar the 3rd group of zeros comprising of cells 6 and 7 forms the some term a bar plus b bar now the product of some expression which has been simplified has 3 some terms a plus b plus c the 2nd term a bar plus c bar the 3rd term a bar plus b bar original terms کتنی تھیں کتنے max terms تھے original expression میں 4 max terms تھے کیسے پتہ لگ رہا ہے کے مپ میں اگر آپ دیکھیں آپ کو چار زیروز چار سیلز میں نظر آ رہا ہے consider another example of a 3 variable product of some expression it has to be simplified so a 3 variable kind of map is used now 2 گروپس of 2 cells are formed the 1st group of zeros comprising of cells 0 and 1 form the some term a plus b the 2nd group of zeros comprising of cells 0 and 4 forms the some term b plus c now the simplified expression has only 2 some terms a plus b and b plus c the original expression as can be seen from the kind of map had 3 max terms so of course this the expression has been simplified consider the 3 some product of some expression map to the 3 variable grow based k map 1 گروپ of 2 cells and another group of single cell are formed the 1st group of zeros comprising of cells 0 and 1 forms the some term a plus b the 2nd group comprising of cell 6 forms the some term a bar plus b bar plus c how many terms does the simplified expression have on 2 some terms a plus b and a bar plus b bar plus c how many terms did the original expression have 3 terms specified by zeros in 3 cells now consider an example of a 4 variable k map consider the 5 term product of some expression map to the 4 variable k map 3 گروپس of 2 cells are formed the 1st group of zeros comprising of cells 4 and 5 forms the some term a plus b bar plus c the 2nd group of zeros comprising of cells 0 and 4 forms the some term a plus c plus d the 3rd group of zeros comprising of cells 2 and 10 forms the some term b plus c bar plus d so the product of some expression simplifies to 3 terms 3 some terms a plus b bar plus c a plus c plus d and b plus c bar plus d how many terms did the original expression have basically 5 max terms which are indicated by 5 zeros in the turn off map consider another example of a 4 variable k map used for mapping product of some expressions the 8 term product of some expression is mapped 2 groups of 4 cells and 1 group of 2 cells are formed the 1st group of zeros comprising of cells 0 1 4 and 5 forms the some term a plus c the 2nd group of zeros comprising of cells 1 5 9 and 13 forms the some term c plus d bar the 3rd group of zeros comprising of cells 2 and 10 forms the some term b plus c bar plus d the product of some expression that has been reduced has 3 some terms a plus c c plus d bar b plus c bar plus d how many max terms did the original expression have it had 8 terms specified by zeros marked in the k map consider the last example of the use of a 4 variable k map to map product of some expression 3 groups of 2 cells and 1 group of a single cell are formed the 1st group of zeros comprising of cells 4 and 5 forms the some term a plus b bar plus c the 2nd group of zeros comprising of cells 5 and 7 forms the some term a plus b bar plus b bar the 3rd group of zeros comprising of cells 1 and 9 forms the some term b plus c plus دی بار. The fourth group comprising of cell 14 forms the sum term a bar plus b bar plus c bar plus d. So the sixth term product of some expression having of course six max terms is reduced to a four sum term expression. The four sum terms are a plus b bar plus c, a plus b bar plus d bar, b plus c plus d bar, and a bar plus b bar plus c bar plus d. We have seen several examples of mapping the product of some expression directly onto a k-map. اس کو ذاہر summarise کرنے. Groups کے sizes کتنے ہوں گے. اگر three variable k-map ہے the largest group would be of eight cells. اگر سارے max terms present ہیں تو output کیا آئے گا basically zero ہوگا one نہیں ہوگا one remember اگر eight cells ہوتے for a three variable expression standard جو ہے the sum of product form میں اس کا output one آنا تھا for a product of some expression three variable expression ہوں سارے eight max terms available ہیں eight cells بنیں گے a group of eight cells بنے گا output ہمیشہ zero ہوگی whatever the inputs a b c جو مرزی چینج کرتے ہیں output ہمیشہ zero ہوگے now in a three variable کارنف مپ اگر آپ کا چار سلس کا گروپ بنتا ہے جن میں چار zero's ہیں تو آپ کے پاس کتنے سمٹرم کتنے ویریبل کے سمٹرم آئے گی basically ایک ویریبل کی آئے گی اگر three ویریبل کارنف مپ ہے اس میں دو سلس کا گروپ بن رہا ہے اس میں then you will you will get a some term of two variables and similarly a single cell group in a three ویریبل کارنف مپ would give you a some term of کتنے ویریبل کیا three variables کیا now let us talk about a four variable کارنف مپ four variable کارنف مپ میں of course 16 سلس ہوتے maximum max terms کتنے ہو سکتے ہیں 16 کے 16 ہو سکتے ہیں تو آپ کے پاس ایک گروپ of 16 cells output کیا ہوگی ہمیشہ zero ہوگی whatever the inputs اس سے چھوٹا نیکس جو کتنے سائس کا ہو سکتا ہے basically 8 سلس کا ہوگا 8 سلس میں سارے zero ہونے جائیں because we are talking about product of some expression so 4 ویریبل کارنف مپ having a group of 8 cells would give you a some term of how many terms variables a single variable اگر آپ کا چار سلس کا ایک گروپ بن رہا ہے how many variables are you going to have you are going to have a some term of 2 variables 2 سلس کا ایک گروپ بن رہا ہے again you would have a some term of 3 variables and اگر ایک سنگل سل کا گروپ بن رہا ہے 4 ویریبل کارنف مپ میں you would have a some term of 4 variables سو یہ روز جنولی یادرکھے گا so more less یہ روز آپ کے اپلائے ہو رہے ہیں some of product form میں way rules آپ کے اپلائے ہو رہے ہیں product of some expression now let us talk about converting from one form to the other that is converting from a some of product form expression into a product of some form of expression if you look at a car in a map 3 ویریبل 4 ویریبل 5 ویریبل کا بھی قیاسکھے ہوئے یہ 2 ویریبل کا بھی now a car in a map would have zeros and ones اگر آپ گروپ بنا لیں جو ونز کا ہے تو پھر آپ کے پاس کیا آ رہا ہے آپ کے پاس expression آ رہی ہے some of product form کی اگر اسی کارناف مپ میں بجائے one جانا ہے ان کا گروپ بنا ہے zero's کا گروپ بنا لیں آپ کے پاس کیا آ رہی گی وہی function آئے گا represented in product of some form اگر یہ جو اب دو expressions آ رہی ہیں ایک جو ہے some of product form میں دوسی expression جو ہے product of some form میں بیسکلی ان کو اگر آپ implement کریں of course ڈو دفن سرکٹس بنیں گے ان کا جو result ہے یا جو function ہے دونوں کا ایک جیسا ہوگا right so بڑی آسانی سے ہم ایک expression کو دوسری expression کی form میں represent کر سکتے ہیں using k maps فائدہ کیا تھا ہم نے کیا بات کی تھی پرشیطفہ بیسکلی کوئی بھی ایک function ہو سکتا ہے اس کے کچھ جو اس کے منٹم سے وہ زیادہ ہے as compared to its max terms so اگر max terms کی form میں expression آپ implement کریں using logic gates آپ کا circuit جو سیمپل ہو سکتا ہے اس میں اگر main terms کی form میں implement کریں circuit آپ کا ہو سکتا ہے complexo تو آپ بڑی آسانی سے switch کر سکتے ہیں in one form or to the other implement circuits let us have a look at an example which show this implementation that is will you switch from one form to the other consider the four variable carn of map use to simplify the product of some expression the carn of map has been used before to simplify the products of some expression their groups of zeros were which resulted in a four term expression using that same carn of map now groups of ones are formed instead of groups of zeros so two groups of four cells and three groups of two cells are formed the first group of ones comprising of cells zero to eight and ten forms the product term b bar d bar the second group of ones comprising of cells two three ten and eleven forms the product term b bar c the third group of ones comprising of cells twelve and thirteen forms the product term abc bar the fourth group of ones comprising of cells thirteen and fifteen forms the product term abd the fifth group of ones comprising of cells two and six forms the product term a bar cd bar now considering the simplified product of some expression obtained from this game map if it is multiplied together you will receive terms b bar d bar plus b bar c plus abc bar plus abd plus a bar cd bar which is of course equivalent to the sum of product form of the expression in the last example we just saw an example where we were able to convert from a standard sum of product form into a product of some form using the k-map k-map اگر آپ کے پاس ہو آپ اسانی سے ایک form یا دوسی form میں آپ expression آپ نکال سکتے ہیں اس میں now in the last lecture we mentioned that you can also directly map the contents of a truth table onto a k-map اِدھر بھی کیا کر سکتے ہیں yes بالکل کر سکتے ہیں truth table کے جو output سیں zeros and ones they have nothing to do with a sum of product expression or a product of some expression او تو جو آپ ماب کرلتے ہیں k-map میں اُدھر سے جب آپ expression نکالتے ہیں تو وہ آپ کی some of product form ہوسکتی ہیں or product of some form ہوسکتے ہیں so simply you have a function table اُس کے output سیں وہ آپ ڈیریکٹلی k-map میں ڈالتے ہیں now if you are interested in an expression in the form of product of some then you group zeros اُس کو جب سمفلیفائے کریں گے آپ کو product of some form expression آجائے گی اگر آپ some of product form کی expression میں интересتے ہیں then you group ones اور وہ جو ones ہیں وہ آپ کو product terms دے دیں گے let us talk about a five variable کارناف مپ five variable کارناف مپ کہاں use ہوگا basically expressions having five variables five variables کارناف مپ کے کتنے سیلز ہوں گے basically it's two raised to power of five 32 سیلز ہوں گے now 32 سیلز کا کارناف مپ بنانا پیبر پہ بھی بڑا مشکل کام ہے اس میں کافی بڑا سیلز ہو جائے گا اس میں so اس کو کیسے بنائیں گے اور دوسی باتی ہے now in a 32 سیلز کا کارناف مپ جب بہت سارے گروپس بنیں گے وہ دوسرے یہ بھی ریلائز کرنا کہ کون سا گروپ کہاں بن رہا ہے وہ بھی مشکل ہو جائے گا so to represent a 32 bit five variable کارناف مپ in a concise اور a compact form you would use to four variable کارناف مپ کیسے بزن کریں گے basically let's suppose you have a four variable کارناف مپ جس کے چار روز ہیں چار column ہیں اس کارناف مپ کو آپ کہتے ہیں کہ یہ basically a equals to zero variable کے لیے that means a zero ہو تو یہ وال آپ مپ آپ کے پاس ایک identical map ہوگا again of 16 cells 16 rows 16 rather four rows and four columns اور اس مپ کو آپ کہیں گے for a equals to one so that means you have to four into four maps ایک جو مپ ہے a equals to zero کے لیے استعمال ہو رہے دوسرا a equals to one کے لیے استعمال ہو رہے a four into four کے دو آپ کے پاس مپs ہیں total cells کتنے ہو گے 32 but you are representing in two dimensions اب نیکس کام کیا کرنا ہے basically آپ کے پاس کوئی بھی function ہے یا کوئی بھی expression ہے اس کو simplify کرنا ہے you would first of all map that function or that expression onto the five variable کے مپ تو جو one's ہیں یا zero's ہیں دونوں maps میں آجائیں گے a equals to zero جو مپ ہے اور a equals to one والا مپ دونوں میں آجائیں گے groups کیسے form کریں گے again group کا وہی rule ہے basically powers of two تو سب سے بڑا گروپ کیسا اس کا ہو سکتا ہے اس کیس میں basically 32 cells کا تو 16 cell اوپر والے 16 cell نیچے والے they form a complete group of 32 cells اگر سارے 32 cells one's ہیں آپ کے پاس کیا output آئے گی؟ اگر آپ some of product form کی بات کر رہے ہیں basically the output would be one so a b c d e five variables ہیں کوئی بھی input combination ہو آپ کا output ہمیشہ one رہے گا if you have a group of 16 cells تو آپ کے پاس expression کیا آئے گی let's say 16 ones ہیں آپ some of product form میں interested ہیں تو آپ کے پاس ایک product term آئے گی؟ جس کا ایک ہی variable ہوگا again you have a group of 8 cells پھر کتنا ہوگا basically 2 variables ہو جائے گی similarly you will have a group of 4 2 کا بھی ہوگا اور 1 cell کا بھی ہوگا groups جو ہیں basically now 2 dimension میں form ہو رہے ہیں اوپر بھی کچھ one's ہوں گے نیچے بھی ہوں گے so you could have 2 cells let's say in the upper plane 2 cells in the lower plane so if you have 2 ones in the upper 2 cells and 2 ones in the lower 2 cells you form a group of 4 right so a group spans both the planes let us now have a look at an example where you are going to be seeing different groups let us first consider a 5 variable carnaught map it has 2 planes of 16 cells each the first plane where variable a is equal to 0 has cells 0 to 15 as shown on the carnaught map the second plane where a اوپر 1 has cells from 16 to 31 let us consider the plane a is equal to 0 there are cells marked with 6 ones now let us consider the other plane a is equal to 1 the plane a is equal to 1 has 8 cells marked with 1's now how many groups are formed and what are the sizes of different groups let us have a look starting with a equal to 0 map the cells 1 and 5 form a group of 2 cells these 2 cells along with the cells 17 and 21 in map a equals to 1 form a group of 4 cells this group of 4 cells represents the term b bar d bar e now consider the cell 2 in map a equals to 0 cell 2 does not form a group with any adjacent cells therefore it is a group of single cell having the product term a bar b bar c bar d e bar it has 5 variables now consider the cells 10 and 11 in map a equals to 0 these 2 cells form a group of 4 with adjacent cells 26 and 27 in map a equals to 1 therefore the group of 4 cells represents the product term b c bar d similarly the cells 10 and 14 in map a equals to 0 and cells 26 and 30 represent a group of 4 cells representing the product term b d e bar now considering the map a equals to 1 these the 4 cells 16 17 20 and 21 represent the product term a b bar d bar the cell 25 along with cell 27 in map a equals to 1 represents the product term a b c bar e we have looked at an example of a 5 variable carnav map groups اس میں اسی طہنہ ربزن کرتے ہیں جس طہنہ ہم نے 3 variables and 4 variables میں گیا تھا group sizes بھی ہم نے بتایا تھا powers of 2 ہونا جائے now it is difficult to perceive a 2 dimensional carnav map اس میں غلطی کے امکان زیادہ ہیں اس میں so you have to be very careful when you use a 5 variable carnav map now let us talk about simplifying a 5 variable carnav map کیسے کریں گے again بالکل exactly وہی طریقہ جو پہلے آپ 3 variable and 4 variable کے ساتھ کرتے رہے ہیں سو کیا ہوگا وہی گروپس بنائے گروپس different cells کے 2 کا 4 کا 8 کا 16 کا 32 کا سب سے پہلے کونسر گروپ ہنا چاہیے تھی لارجسٹ گروپ اگر 32 کا بھنتا ہے fine ideally 32 کا نہیں ہوگا so you start by forming a group of 16 cells 16 کا بھنتا ہے اس کے بعد 8 کا یا مزید 16 کا گروپ بھن سکتا ہے so you start with the largest group and you go towards the smallest جی بات تین میں رکھے گا کہ ہر جو گروپ ہے اس میں یونیک ونز ہونے چاہیے اس میں کوئی ایسا گروپ نہیں ہو جو ونز ہیں ملٹپل گروپس میں آرہا ہوں اور یونیکنس نہیں ہو تکہ ہر گروپ میں یونیک کومنیشن اف ونز کا ہونہ جو رہی ہے again 5 variable جو carnav map ہے یہ آپ some of product forms کے ایک سیرشن تو نکال سکتے ہیں by forming groups of ones کیا آپ some form کے ایک سیرشن بھنا سکتے ہیں yes you can of course وہی جو گروپس آپ بھنا رہے ہیں once کے اب 0 کہ اگر گروپس بھنا دیں اس میں تو آپ کے پاس product of some form کی تم میں ایک سیرشن آجائے گا آپ کے پاس some تمزانی شروع ہو جائیں گے اس میں now we have talked about simplifying expressions شروع ہم نے بات کی تھی bullion algebra کے rules اپنے apply کرنے ہیں اس کے بعد ہم نے بات کی تھی کہ آپ نے carnav maps کے through کرنے سو carnav maps provides you with an easier a systematic way of simplifying expressions 6 variable کی اگر expression آپ کے پاس ہو تو carnav map سے کر پہنے گے ہم نے بھی بات کی کہ 5 variable کا جو carnav map ہے اس کو بھی بھانا زرا 32 جس کے سازیں بڑا مشکل ہو جاتے تو 2 اسی طرح اگر 6 ساتھ variable کا ہوگا تو وہ virtually impossible ہو جاتا ہے انشان لام next لیکچر میں بات کریں گے ایک نئے طریقے کی which we use to simplify expressions of more than 5 variables اور وہ جو طریقہ ہے وہ ایک programming کا طریقہ basically you can program a computer اور وہ آپ کو simplified expressions اس میں تو وہ manually basically نہیں کیا جاتا ہے تو program form میں method کو use کیا جاتا ہے تو پہلے یہ تو ہم بات کریں گے next لیکچر میں we have been talking about simplifying expressions and implementing this سرکت ابھی تک جتنے بھی ہم نے examples دیکھی اس میں output جو تھا سرکت کا کتنے outputs تھے بیسکلی ہم ایک ہی output کی بات کر رہے ہمارے پاس 4 inputs ہیں جس سے 16 input combinations ہیں output ہم نے 1 ہی رکھا ہے 3 variables ہیں 8 input combinations ہیں output ہمیشہ 1 ہی رہا ہے جس کی value 1 ہو سکتی ہیں 0 ہو سکتی اس میں now practical circuits do have more than a single output اس کے 4 output ہو سکتے ہیں 5 ہو سکتے ہیں 3 ہو سکتے ہیں 2 ہو سکتے ہیں 10 ہو سکتے ہیں اس میں now اس کسنگے circuits کو کیسے ہم منایں گے اس کا function پہلے کیسے رپرزنٹ کریں گے اس کو implement کیسے کریں گے اس میں so 2 چیزیں so پہلے تو ہم بات کرتے ہیں کہ اس کے output جو ہے circuit کی جو different outputs ہیں ان کو represent کیسے کریں گے a function table کی form function table جب بھی ہم کو مل جا گا بنا لیں گے اس کے بعد ہم نے کیا کرنے basically we have to simplify that function table using a kind of map because of map ہمیں کیا دے گا simplified expressions ہوں گی simplified expressions ہم circuit بنا دیں گے اس میں now we are going to consider an example example کنسی ہے جو ہم نے شروع میں کلکچر میں بات کی تھی seven segment displays جو آپ railway station جائیں او در آپ کو a digital clock نظر آئے گی بسوں میں سامنے digital clock نظر آتی ہے digital clock میں کیا ہوتا a seven segment display display digit ہوتا ایک digit ہے جو ایٹ کی form میں ہے اور اس پہ آپ different digits 0 to 9 display کر سکتے ہیں اس میں this seven segment display کو اگر آپ وار سے دیکھیں اس میں seven segments ہیں اس لئے اس کو seven segment display گاتے ہیں اس کا دیگرام بھی ہم دیکھیں گے بہرل اس میں تین horizontal segments ہیں اور چار vertical segments ہیں so اگر کوئی بھی digit let's say digit 3 display کرنا ہے تو وہ تین horizontal segments ہیں ان کو اون کرتے ہیں اور دو جو right side پہ vertical segments ہیں ان کو اون کرتے ہیں you see a digit 3 similarly اگر digit 0 display کرنا ہے تو اوپر والا segment جو horizontal segment ہے اور نیچے والا horizontal segment ہے اس کو اون کر دیں گے اور دو جو vertical segments ہیں left side پہ اور دو vertical segments جو right side پہ ان کو بھی اون کر دیں گے you see a digit 0 right so when you need to display any number between 0 to 9 you would be turning on a combination of these segments کتنے segments ہم نے بتائیں اگر ان کو count کریں تو یہ آپ کے پاس 7 segments آجاتے ہیں right so let's suppose جو اوپر والا horizontal segment ہے وہ کن numbers کے لیے اون ہوگا let's say 0 اگر آپ display کرنے تو اس segment کو اون کرنا پڑے گا one کے لیے اون کرنا پڑے گا نہیں one کے لیے اون نہیں کرنا پڑے گا اسی طرح اگر آپ 2 display کرنے وہ segment کو اون کرنا پڑے گا 3 کے لے بھی کرنا پڑے گا 4 کے لے نہیں کرنا پڑے گا and so on so basically you first of all need to implement a function table of this 7th segment display function table میں کتنے inputs ہوں گے اور کتنے outputs ہوں گے now these 7th segment display ہے اس کو let's say آپ 3 display کرنا چاہر ہیں تو binary code کیا بھی جنگے basically آپ bcd code بھی جنے کیونکہ ہم نے بتایا گا bcd code جو ہے number 0 سے 9 تک display کرتا ہے so bcd code میں جو number ہے 1 0 1 0 جو 10 represent کرتا ہے وہ exist نہیں کرتا یا وہ basically invalid ہے right so 4 bit کے numbers starting from 0000 to 1001 ہم بھی جنگے اور ان سے ایک output جنریٹ ہوگی یا multiple outputs جنریٹ ہوگی جو 7 segment کو کنٹرول کریں گی so آپ کا جو circuit ہے اس کے 4 inputs ہوں گے جا آپ bcd number بھی جنے outputs کتنے ہوں گے اس کے ساتھ outputs ہوں گے جو ہر segment کے ساتھ connect ہوگا so let's suppose you display the number 0 input پہ کیا بھی جنگے 0000 output پہ کیا آنا چاہئے basically جو 7 segment display اگر آپ دیکھیں اس میں جو بیچ والا segment ہے جس کو segment g کہتے ہیں وہ off ہوگا باقی segment سارے جویں چھیک چھے وہ on ہونے چاہئے تو جو circuit کی output ہے جس کے 7 outputs ہیں ان میں سے چھے جو outputs ہیں وہ ones ہونے چاہئے ایک جو output ہے وہ 0 ہونا چاہئے اسی طرح let's suppose you need to display the number 1 on that 7 segment display آپ کے circuit کے input پہ کیا ہوگا bcd number 0001 output پہ کیا ہوگا output as we have just said 7 outputs ہیں ان میں سے 2 segment جویں وہ on کرنے باقی 5 segments off کرنے so وہ جو 2 segments ہیں which represent the number 1 they are going to be turned on باقی 5 segments they are going to be zeros or turned off let us try to implement the functions for this particular circuit which has 4 inputs and 7 outputs let's represent the 7 outputs with symbols small a small b small c d e f n g these 7 symbols represent the 7 segments of a 7 segment display کتنے function tables ہونگا آپ کے خیال میں function table ہم نے جسے شروع میں بات کی تھی ہر function table کا ایک ہی output ہوگا multiple inputs ہو سکنے اگر 3 variable inputs ہیں 3 inputs ہیں 3 variables ہیں 8 combinations of inputs ہونگی output ہمیشہا ہون ہوگا اس پڑکل سرکٹ میں 7 output ہیں so آپ کو 7 different function table بنانے ہوگا each function table would give you the output for each segment so segment a کیلئے ایک function table ہوگا segment b کیلئے لیہ دا ہوگا اسی طرح c d e f n g ان سارے function tables میں inputs کتنے ہونگے کتنے variables ہونگے آپ کے سرکٹ کے inputs کتنے ہیں 4 bit b c d number ہے so function tables جتنے بھی 7 آپ کے بنیں گے input combinations 4 ہونگی input combinations کتنے ہو جائیں گی 16 ہونگی now since we are using a b c d number to display a digit on the 7 segment display ان میں سے کون سے combinations don't care ہونگی یا کبھی آئیں گی نہیں یا invalid ہونگی کبھی آپ use نہیں کریں گے basically وہی بی c d والی بات ہے 0 سے لے کے 9 تک valid numbers ہیں 10 11 12 13 14 and 15 وہ invalid ہیں کبھی بھی آپ input پر apply نہیں کریں گے so function table میں in inputs کے لیے output پر کیا ہوگا x ہوگا جو باقی پہلے 10 combinations 0 to 9 ان کے output پر کیا ہوگا basically 0s and 1s ہونگے 1 کیا رپزنٹ کرے گا 1 basically would represent the number for which that particular segment has to be turned on so for example آپ کا function ہے for segment a جو top horizontal segment ہے آپ نے number 0 display کرنا ہے so function table جو ہوگا for segment a output پر a آرہ for combination 0000 the output would be a1 so let us have a look at all these function tables اس کے بعد ہم use کرتے ہیں function table کی جو information ہے to map it directly into a k-map or k-map سے ہم expressions extract کریں گی آپ کی خال میں کتنی expressions آئیں گی سات آپ کے پاس function tables ہیں سات kind of maps ہونگے کتنے variable کی ہونے جائیں گے چار variable کی ہونے جائیں گے سات کے maps چار variable کے expressions کتنی آجائیں گی of course 7 kind of maps ہیں 7 expressions آئیں گی circuit کیا پھنے گا سات different circuits پھنے گے جو جن ساروں کی inputs جو ہیں وہ 4 inputs کے ساتھ connected ہونگے ان سارے circuits کے ساتھ circuits کی outputs جو ہیں وہ ہر segment کے ساتھ connected ہونگا لیکن ہم آپ کے پاس function table ہونگا اور پھنے کارن of maps ہونگا ہمیں 7th segment display ہونگا اسی شیپ like the number 8 اسی 7th segments ہونگا can be lit in different combinations to display any digit between 0 to 9 the 7th segments are identified by segment numbers a, b, c, d, e, f, n, g the 3 horizontal segments starting from the top are a, g and d respectively the 2 vertical segments on the right side are segments b and c the 2 vertical segments on the left side starting from the top segment are segments f and a now to display the numbers 0 to 9 different sets of segments are turned on for example to display 0 segments a, b, c, d, e and f are turned on to display the number 1 segments b and c are turned on to display the number 2 segments a, b, d, e and g are turned on to display the number 9 segments a, b, c, d, f and g have to be turned on now the next thing which you need to determine is for which combination of digits does the segment a needs to be turned on for example segment a is turned on when numbers 0, 2, 3, 5, 6, 7 and 8 are displayed segment d for example is turned on when the numbers 0, 2, 3, 5, 6 and 8 are displayed similarly different sets of segments are selected to display different digits the segment display circuit basically can be considered to be 7 different circuits having 4 inputs and 1 output the 4 bit input of the circuit accepts b, c, d numbers and the output controls a single segment before implementing the 7 circuits function tables for each of the 7 circuits have to be prepared let us have a look at the function tables consider the function table for segment a it has 4 inputs which represent the b, c, d number 4 bit b, c, d number the total possible input combinations are 16 since the b, c, d number has valid states from 0, 0, 0, 0 to 1, 0, 0, 1 therefore the remaining states starting from 1, 0, 1, 0 to 1, 1, 1, 1 are represented by x that means don't care now let us look at the output of the function table the output is represented by small a instead of f why because small a represents segment a now when the number 0 is displayed segment a should be turned on therefore the output is set to 1 similarly when numbers 2 and 3 are displayed segment a should be turned on therefore at the output you have 1s similarly for numbers 5, 6 and 7 the output is 1 and for numbers 8 and 9 the output is again 1 let us have a look at the function table for segment b function table for segment b is similar to the function table for segment a again 4 inputs and a single output the output is of course represented by b which represents segment b now for the input combinations 0, 1, 2, 3 and 4 the outputs are 1 that means for the numbers 0, 1, 2, 3 and 4 segment b has to be turned on similarly for displaying number 7, 8 and 9 segment b again has to be turned on so in the function table the output for numbers 7, 8 and 9 b is set to 1 the remaining 6 outputs are set to x which means don't care these states would never occur let us look at the function table for segment g the 7th segment again 4 inputs single output the output is represented by g representing the segment g of course now you see 1s for the input combination 2, 3, 4, 5, 6, 8 and 9 this means that segment g has to be turned on for these combination of inputs remaining combination of inputs do not require the segment g to be turned off therefore they are set to 0s again the states 1, 0, 1, 0 to 1, 1, 1 are don't care they are marked as axis or crosses in the function table now in order to implement the function table we need to find the simple expression for segment a how do we do that we directly map the function table for segment a to a 4 variable carnaff map why a 4 variable because the domain of the expression is 4 bit bcd number is being used now if you have a look at the 4 variable carnaff map for segment a several groups are formed the expression is simplified to give the following terms a plus c plus bd plus b bar d bar if the function table for segment b is mapped to a separate 4 variable carnaff map we obtain the simplified expression b bar plus c bar d bar plus cd finally when the function table for segment g is mapped to again a separate 4 variable carnaff map we get the simplified output as a plus bc bar plus cd bar plus b bar c we have looked at 3 function tables for the segment a b and g similarly we have looked at 3 carnaff maps where we have simplified the 3 function tables a b and g those 3 carnaff maps we have got 3 different expressions 3 different expressions will implement using logic gates every circuit will have one output which will connect segment a's expression the output of its circuit which will connect with segment a the same circuit will implement for segment b its output will connect with segment b similarly the circuit which will implement for segment g has to be connected to the output of segment g these circuits inputs will connect and they will be connected to the bcd input which is the 4 bit number next time we will look at another circuit the same function tables will make multiple outputs i hope you have understood the carnaff map method of simplifying expressions next lecture we will look at another method which we will use to solve expressions having more than 5 variables انشاء اللہ اگلی تفہ ملتے ہیں خدا حافظ اسلام علیکم