 – Merci beaucoup. Alors peut-être que je vais faire le contraire de Serre. Les mauvais esprits vont dire que ça veut dire que je vais faire un mauvais exposé. Mais je vais surtout ne parler que des mathématiques qui ont été faites depuis que je suis né. Donc voilà, bien sûr que d'une toute petite partie. Alors je vais commencer en parlant d'un sujet qui est très à la mode, c'est la géométrie arithmétique. Alors la géométrie arithmétique, qu'est-ce qu'il y a ? Bon, alors, ben écoutez, justement, si vous ne me laissez pas parler, donc la géométrie arithmétique, c'est un sujet, c'est justement ce que je m'apprêtais à dire. C'est que c'est un sujet qui est très à la mode parce que c'est quoi ? C'est l'étude. Alors en quoi ça consiste ? Ça consiste en l'étude des systèmes d'équation polynomial à coefficient entier. Et comme vous voyez, précisément, ça fait un certain temps que c'est à la mode parce que c'est vraiment les équations diophenciennes. Alors dans le langage d'aujourd'hui, c'est les schémas de type fini sur Z, dans le langage de Breton-Dick, et dont Jean Benoît a déjà parlé, donc ça va me permettre d'aller plus vite que ce que je pensais. Donc vous voyez que vous donnez M, un polinome, en N variable, à coefficient dans Z. Alors, eh bien ça définit ce qu'on appelle un schéma affin de type fini sur Z. C'est-à-dire que c'est la même chose que dès que vous regardez l'anneau, qui est le quotient de l'anneau des polinômes, parle les M polinômes que vous êtes donnés. Par l'idéal, on s'entraie par les M polinômes. Alors quand vous avez un schéma comme ça, vous pouvez regarder, ça c'est le point de vue fontoriel dont on parle les amulés. Vous pouvez regarder les points de X à valeur d'en grand air qui sont simplement, si hier n'importe quel anneau commutatif, c'est simplement les solutions du système d'équation polynomial dans le grand air. Mais vous pouvez le redire en termes d'homomorphisme d'anneau, c'est l'homomorphisme de l'anneau grand air. Alors, donc c'est ça un schéma type fini sur Z, comme ça, personne ne peut dire qu'il ne sait pas ce que c'est. Et un schéma affin de type fini sur Z, et pour avoir les schémas généraux, il faut recoler un nombre fini d'ouvert affin. Alors là, il faut bien sûr introduire le plus de technologie, parler de l'espace topologique sous jacin à un anneau et du faisceau d'anneau qui correspond. Mais je vais pas faire ça. Ok. Alors, bien sûr, ce que je dis, c'est sur un anneau, c'est sur Z, mais on peut remplacer Z par n'importe quel anneau l'an d'ail. On a à ce moment-là la notion de schéma de présentation fini. Si l'anneau n'est pas notérien, avec la façon dont j'ai défini ces présentations, il n'est pas type fini. Si l'anneau n'est notérien, c'est la même chose. Et voilà. Et donc en particulier, si vous voulez, en quelque sorte, la théorie de Galois, ça consiste à regarder un cas très particulier de ça, qui est le cas où l'anda est un corps, et M égalène est galin, et en plus, peut-être polinométriéductible. Alors, bon, excusez-moi. Non, c'est bon. Alors, ce dont je vais parler, dans ce sujet, il y a eu énormément de résultats, absolument spectaculaires ces dernières années. Mais bien sûr, il y a eu aussi beaucoup de choses qui se sont passées depuis la fin de la 2e guerre. En un sens, le sujet a démarré avec les choses dont j'ai envie de parler. On démarrerait avec l'énoncé par veille des conjectures de veille en 1949, et les résultats qui ont effectivement été démontrés par Deling en 1974, et les résultats les plus spectaculaires, mais les résultats Deling, c'est quand même un résultat spectaculaire, il y en avait aussi d'autres, ont un peu démarré en quelque sorte avec cet article de Barry Meiser, qui s'appelle Deforming Galois représentations, qui apparaît en 1989. La déformation des représentations de Galois, c'est le sujet de l'exposé des Mertens. C'est un article tout à fait extravagant pour moi parce que ça a eu une influence considérable sur tout ce qu'on a fait ces dernières années. Et le contenu de l'article, c'est essentiellement à dire, mais vous savez tout ce que c'est que déformer des choses, et les représentations galoisiennes, ça se déforme comme le reste, ce que personne n'avait observé, n'avait remarqué jusque-là, pour autant que je le sache. Alors, ok. Donc je voudrais faire un petit dessin pour expliquer ce que, pour beaucoup de gens aujourd'hui, autour de quoi tournent la plupart des questions de géométrie arithmétique aujourd'hui. Mais en un sens, ce petit dessin, c'est le programme de Langlands. C'est du moins la partie, je vais dire ça comme ça, la partie du programme de Langlands qui intéresse précisément les arithméticiens et rendu aussi plus précis ce que nous l'avions fait Langlands au début. Alors le dessin, qui est un dessin que l'on voit souvent dans les colloques où quelqu'un parle de géométrie arithmétique, c'est qu'il y a trois ronds comme ça, et au milieu il y a un carré. Alors dans le carré, il y a les fonctions L. Et je ne sais pas pourquoi, c'est toujours là que je mets les motifs. Là, il y a les représentations galoisiennes qui sont en fait des représentations éladiques. Quand on a déjà commencé à parler de l'exposé précédent. Et là, il y a les représentations automorphes. Et en fait ce qui ne se passe, c'est qu'en principe, à chaque fois qu'on a un motif, si tu tentes qu'on sache ce que c'est, on peut lui associer théoriquement une fonction L. La plupart des représentations... Alors je suis travail sur Q. Donc mon corps de base, ça va être le corps des normes rationnels. On peut faire ça dans des cadres plus généraux, mais pour simplifier, je me restreigne à ce cas-là. Alors oui, donc à certains types de représentations galoisiennes qui sont les représentations géométriques que j'espère avoir le temps de définir, on peut associer une fonction L aux représentations automorphes aussi. Et en fait, ce qu'on espère, ce qu'on a envie de faire, c'est de savoir faire un dictionnaire entre motifs et certains types de représentations galoisiennes, entre motifs et certains types de représentations automorphes, entre représentations automorphes et certains types de représentations galoisiennes. Et quand on dit dictionnaire, ça veut dire que la garantie qu'on ne s'est pas trompé quand on est passé d'un objet à l'autre, c'est que la fonction L est la même. Alors la dernière partie qui est là, ça je ne vais pas du tout parler de l'aspect d'analyses harmoniques, de l'aspect représentation automorphes. Côté vraiment l'anglone, ça s'est exposé à Michael Harris qui va suivre le mien. Donc mon objectif, c'est un peu d'arriver à définir les représentations galoisiennes et expliquer comment, quand on a un représentant galoisien de Q, on peut lui associer une fonction L. Bon, je me suis rendu compte en préparant l'exposer, c'est que c'était vraiment très optimiste de penser qu'on allait avoir le temps de dire quelque chose de raisonnable sur les motifs. Alors moi, je vois quelque chose qu'on n'est pas ce que vous voyez. Est-ce que vous pouvez me remettre... Voilà, c'est le petit truc qu'il y est là, mais c'est un peu petit quand même. Est-ce que c'est possible de me mettre plus grand, mais plus personne qui écoute la technique ? Ah merci. Enfin, non, non, non, non, non, c'est pas ça. Le texte de... Voilà, merci. Voilà, OK. Alors, est-ce que c'est vraiment, j'en suis déjà là ? Oui. Alors, l'objet, l'objet le plus simple là-dedans, qui est le plus concret, qui est le plus élémentaire en quelque sorte, c'est les fonctions L. Les fonctions L, c'est des autres... Donc, le cerf, on a déjà parlé. Et comment ? Je n'ai pas écrit. Oui, d'accord. Mais oui, c'est pour ça que je suis obligé de travailler. Alors, donc, je vous rappelle, les fonctions L, c'est certains types de séries d'hériclaire, essentiellement à l'origine d'une série d'hériclaire, je pense. Tout cet exposé, je suis malheureux parce que c'est évident que la grande majorité des gens de la salle savent pertinemment tout ce que... savent très bien tout ce que je vais raconter, et que tant que vous allez passer votre temps à dire si ça avait été moi qui l'avais raconté, je refais ça mieux. Et autrement. Donc, alors, donc, on se donne une suite de noms complexes. On regarde la série de sum de n sur n puissance S pour s noms complexes. Donc, n puissance S, ça veut dire, et puissance exponentielle de moins S, plutôt de n. Et comme vous le savez, quand vous donnez à nos complexes S, ou bien quand la série ne converge jamais, ou bien il converge toujours, ou bien il y a une absice de convergence, c'est à dire que là, elle va converger pour partir réel de S plus grand qu'un certain nombre réel Sigma 0, et diverger pour partir réel de S strictement plus petit. Et dans le domaine de pour partir réel de S strictement plus grand que Sigma 0, bien sûr, on obtient une fonction holomorph. Et donc, dans les fonctions L qui nous intéressent, on s'attend, mais on s'est loin de savoir démontrer toujours. C'est d'ailleurs l'intérêt des représentations automorphes sexuelles qui, en général, permettent de démontrer que ces fonctions ont un prononcement analytique dans tout le plan complexe, ou un prononcement méromorphes, tout le moins, et ça tissent éventuellement une équation fonctionnelle. Alors, bon, je vais donner les exemples de fonctions L. Et le premier exemple pour le moment, enfin, c'est une chose qui m'intéresse, c'est que c'est la fonction zeta d'un schéma de type fini sur z. Alors, quand vous avez un schéma x de type fini sur z, vous pouvez former ce produit, ce qu'on appelle un produit holérien, un sur un moins norme de x à la puissance, moins S. Alors, il faut peut-être, pour les non-experts que je dis rapidement, ce que ça signifie, les points fermés, je vais l'expliquer pour un schéma affin, c'est bien suffisant, parce que, après les autres, ça se recalle. Les points fermés de x, c'est les idées au maximum de l'anneau grand temps. Et quand vous avez un point fermé, vous regardez l'anneau A sur x, qui, par définition, de ce que c'est qu'un point fermé est un corps, mais comme le schéma était type fini sur z, c'est un corps fini, donc il a un nombre d'éléments, que c'est ça qu'on appelle nx. Alors, ce qui se passe, c'est facile à voir, c'est que, comme il y a qu'un nombre fini, c'est qu'en fait, il y a qu'un nombre fini de points fermés, de normes plus petites qu'à n'importe quoi fixés à l'avance, et du coup, ça veut dire que ce type de produit est le rien, vous pouvez le développer formellement, en une vraie série de diriculés comme ça, si vous voulez, et là, maintenant, les arènes, dans ce cas-là, les arènes sont des entiers, non négatifs, positifs ou nuls. Et c'est facile de voir que ça converge dès que la partie réelle de S est plus grande que la dimension de x, du schéma x. Alors, premier exemple, bien sûr, un exemple dont il a déjà été question, c'est la fonction zeta-drimane, qui consiste à prendre le schéma de type fini sur z, le plus simple, qui est spec z lui-même, donc l'anneau, c'est z. Il n'y a pas de zéro polinaux, mais zéro équation. Alors, c'est facile de voir que ce que vous trouvez, c'est la fonction zeta-drimane, bien sûr, parce que les idées au maximum de z, ça correspond au nom de premier. Vous avez ça. Alors, la deuxième exemple, et si je me suis rendu compte de ça, j'étais gêné en préparant cette exposé par le fait qu'il n'y ait pas eu avant d'exposer sur les conjectures de veille et que je vais avoir du mal à parler sérieusement d'autres choses. En fait, c'est vraiment tellement crucial dans toute l'histoire du sujet, pas seulement dans l'histoire que c'est difficile, mais on peut en parler un peu. Donc, la deuxième exemple, c'est la fonction zeta d'une variété sur un corps fini. Alors, pour simplifier, je me limite, mais il y a beaucoup de choses qu'on pourrait dire sans l'hypothèse que c'est projectif hélices, et je vais me simplifier, limité au cas où x est sur Fp, donc c'est un schéma de type fini sur z, mais qui est tué par P, et puis qui vérifie certaines propriétés pour un projectif hélices que je vais pas décrire. Alors, dans ce cas-là, les corps résiduels, bien sûr, sont tous des extensions finies de Fp, ce qui fait qu'on peut réécrire la fonction zeta, un petit zeta avec de x et de s, égal grand zeta de x et de p moins s, ou grand zeta ou grand z, comme vous voulez, de x et de t. Maintenant, c'est une série formelle, la coefficient dans z, qui a une interprétation qui peut... C'est un exercice, pas complètement trivial, mais quand même, qui ça peut s'écrire comme étant l'exponentiel de cette somme de n égal à un fini de nu n tn sur n. Nu n, c'est le nombre de points, vous voyez, quand vous avez votre corps Fp, vous pouvez regarder les points de x à valeur d'un Fp puissant saine, bien vous appelez nu n, il n'y a qu'un nombre finit de point, d'un puissant nu n, donc vous avez cette formule. Donc, ce qu'on est en train de regarder, c'est combien il y a de points sur les variétés de tes corps finis. Alors, donc la conjecture de veille, qui a été démontrée par Deligne en 74, comme je l'ai dit, il y avait avant, c'est d'une part que cette fonction, qui a l'air d'être une fraction rationnelle, est en fait une série formelle, est en fait une fraction rationnelle, et ça, ça a déjà été démontré par Dwork en les années 60, et l'autre chose, c'est que, oui c'est ça, donc c'est qu'en fait, cette fonction doit s'écrire comme, cette fraction rationnelle peut s'écrire plus précisément, comme un quotient comme ça, P1, P3, P2D-1D, cette dimension, divisé par P0, P2D, où chaque PM est un polinôme à coefficient dans Z, et dans les racines, si je peux dire, bien sûr c'est pas les racines, mais c'est les racines du polinôme où on remplace T, on a insurté, on multiplie par la puissance de T qu'il faut, et c'est donc que l'ANDA et MI sont ce qu'on appelle des P nombres de veilles de poids M, disons, c'est-à-dire qu'ils vérifient cette propriété, c'est-à-dire que quand vous êtes dans les complexes, vous pouvez écrire ce polinôme comme un produit polinôme du premier degré, comme le polinôme de départ, la coefficient dans Z et l'ANDA et MI sont des éléments algebraiques, qui sont dans Cuba, donc vous avez le choix, vous pouvez dire qu'à chaque fois que vous appliquez un automorphisme de Galois ou un thomorphisme de C ou un élément du Galois de Cuba sur Q, la valeur absolue de Sylvain de l'ANDA et MI est égale à la puissance M-Saudre. Alors, vous voyez que cette conjecture est une généralisation, c'est-à-dire que c'est des résultats de veilles dont a parlé Jean Benoît Bosse dans l'exposé précédent, qui concerne le cas des courbes, des variétés, vous avez du cas des courbes. Ok. Alors, bon, alors maintenant, je voudrais parler de représentation éladique. Alors, bien sûr, vous voyez ce sujet, je ne sais pas de quel côté que je regarde. Vous voyez ce que j'arrive comme ça. Donc voilà, donc on se donne un nombre premier L et on se fixe un corps F et une clôture séparable Fs du corps F. Donc si vous n'avez pas séparable, vous pouvez mettre algébrique en supposant que le corps F est de caractéristiques zéro, que c'est un corps fini. C'est les seuls corps auxquels j'en ai. Et donc vous avez le groupe des automorphismes de Fs qui laissent fixer F, qui est le groupe de Galois absolu de GF. Et donc ce que j'ai appelé une représentation éladique de GF, c'est la donnée d'un espace vectoriel de dimension finie sur pas forcément sur QL, mais peut-être sur une extension finie du corps QL des normes éladiques. Donc j'appellerais E, et qui est munie d'une action linéaire continue du groupe de GF. Alors, ce donné, l'application linéaire continue, ça veut dire quoi ? Bien sûr, une fois que vous avez donné l'action linéaire, ça veut dire que vous donnez un automorphisme, le groupe GF, donc le groupe des automorphismes sur cet espace vectoriel. Une fois que vous avez choisi une base, vous pouvez identifier ces groupes au groupe des matrices carréinversibles à des lignes et des colonnes et coefficient dans E. Et donc qu'est-ce que ça signifie qu'ils continuent ? Bah les deux groupes sont des groupes topologiques, de façon naturelle. Et donc j'ai expliqué ici, juste dans le cadre de ZL, mais ce n'est pas difficile à voir, comment le généraliser. Ça veut dire que d'une part, vous pouvez choisir que qui t'a remplacé Rho par la conjugaison près, vous pouvez supposer qu'en fait, l'image de Rho est à valeur dans le sous-groupe GLD de ZL, des matrices carréinversibles à coefficient dans ZL. C'est la première chose. Une fois que vous avez ça, vous pouvez réduire le modulo L puissance saine pour tout-en. Et vous avez donc un homomorphisme de GF dans ce groupe fini, qui est le groupe des matrices carréinversibles à coefficient dans ZL modulo L puissance saine ZL. Et vous voulez que ce morphisme se factorise à travers le groupe de galois d'une extension finie galoisienne de votre corps. Voilà, c'est ça la condition. Alors exemple, on en a vu dans l'exposé de Serre, on en a vu aussi dans l'exposé précédent. Si vous avez... Tu n'en as pas tant que ça dans ton exposé, finalement. Est-ce qu'on a vu des représentations erladiques ? Je ne me souviens pas vraiment. Il n'y aurait plus à voir des représentations abéliennes. Moi, j'attendais à ce qu'il y en ait. Mais en tout cas, de toute façon, je ne les ai pas mis comme exemple, donc je suis sauvé. Et en revanche dans l'exposé précédent, vous avez vu comme exemple qu'en vous avez une variété abélienne, une co-élyptique ou en général une variété abélienne, vous pouvez fabriquer, il y a son module de tête. Donc Jean-Benoît a expliqué ce que c'était. Donc c'est un module libre sur ZL. Donc quand vous rendez elle, inversez, vous obtenez une représentation erladique, parce qu'il y a une action de Galois qui est continue. Bon, la dimension de cette représentation, c'est deux fois la dimension de la variété abélienne. Du moins, comme l'a expliqué Jean-Benoît, c'est-il-elle les premières caractéristiques ? Alors, et bien ce qui s'est passé, c'est que pour précisément, pour démontrer les conjectures de veille, Arthine et Grottendick, alors l'Arthine dont je parle, c'est Mike Arthine qui est le schiste, Émile Arthine dont on a déjà beaucoup parlé. On introduit la comologie étale. Et donc ça donne un autre exemple. C'est une vaste généralisation des modules de tête des variétés abéliennes. C'est ce qu'il y a à chaque fois qu'on a une variété projective et lisse pour fixer les idées sur un corps F, un entier M on peut regarder, alors je ne vais pas les définir, on peut définir des groupes de comologie étale erladique, que cette notation est un peu compliquée, parce qu'en fait, ce qu'il faut faire, c'est d'abord étendre, changer de base, passer du corps F au corps algebraiquement, c'est probablement que le F est S, et après on peut calculer cette comologie. Mais ce n'est pas le truc là, il munit une action naturelle, continue, de fait, on ne peut pas réaliser une caméra, c'est-à-dire, une « compagnie GF, c'est-à-dire la direction dans laquelle je vais donner le résultat vidéo. L'autre exemple, voilà c'est que la caméra S, est une caméra L qui est une caméra de la photo de l'entente. Donc, la caméra F s'est réelée sur un corps F, qu'une caméra B qui est une caméra A, en fait, elle était d'accord, donc c'est pas mal, donc c'est un camps de table d'apprentissage que je rentre dans le vif du sujet. Alors, les représentations éladiques de GQ, vous voyez, c'est, a priori, ça a l'air d'être une tâche impossible de faire des représentations éladiques de GQ. Parce que, comme l'a très bien expliqué Yvandré dans son introduction, la rythmétique, plus ou moins, s'intéressait à GQ. Mais les GQ, depuis tant qu'on s'y intéresse, on connaît que deux éléments. Ils sont l'élément neutre et la conjugaison complexe. Comment on t'en connaît d'autres ? – Il y a conjugaison près, mais... – Oui, il y a conjugaison près, d'accord. – Il y a conjugaison par quoi ? – Il y a conjugaison par quoi près, dit Yvandré. Donc, il faut passer à travers ça. Et quand on fait des représentations éladiques, on a des techniques pour passer à travers qui sont résumées par cette phrase de Richard Taylor que j'ai prise, c'était d'abord une façon de signaler l'importance de Richard Taylor dans le sujet. C'est son exposé au congrès international. Donc, in my opinion, the most interesting question about GQ is to describe it. Together with this dish... Il faut faire attention, il y a un piège. Distinguish this group. Il ne faut pas le traduire par ce groupe distingué. Parce que les sous-groupes, ils sont remarquables, mais ils ne sont pas avariants. Donc, ils ont pas conjugaison. Donc voilà. Donc, il dit qu'il faut faire quand on s'intéresse à GQ, il faut s'intéresser au sous-groupes GQ, GR, GQP, UQP et au Frobenius. Les Frobenius, on en a enfin, si je puis dire, entendu parler dans l'exposé précédent. C'est quand même... Et c'est effectivement ce qu'on va faire. Alors, vous voyez... Alors, je vais d'abord expliquer ce que c'est que toutes ces bêtes pour les gens qui ne savent pas. Ces bêtes, on peut les expliquer avec ce petit dessin. Le corps Q, il est contenu pour chaque nombre premier P. Il se plonge dans le corps des nombres péadiques. Vous voyez, il y a un jeu, ça qui est important. Il y a des QL et des QP. C'est bien sûr. Ça veut dire que j'ai regardé une présentation élatique avec un nombre premier L fixé, et puis j'avais fait maintenant varié P. Alors, donc, j'ai Q qui est contenu dans QP. QP, ça contient les anti-épéadiques, ZP. Et ça, c'est un anneau local dont le corps résilable est SP. Alors, je peux choisir une culture agébrique QP-bar de QP. Si je suis déjà donné une culture agébrique Q-bar de Q, je peux choisir un plongement de Q-bar dans QP-bar. Je peux aussi faire regarder ZP-bar qui est la fermeture intégrale de ZP dans QP-bar. C'est des éléments de QP-bar qui sont racines de polynomunitaires, un coefficient dans ZP. Et c'est de nouveau un anneau local dont le corps résiduel est FP-bar, une culture agébrique de FP. Alors, ceci, ça implique. Vous voyez que quand vous avez un élément de GQP que vous faites agir sur Q-bar, contenu dans QP-bar, donc GQP, groupe absolu de QP, eh bien, sa restriction à Q. Alors, Q-bar, c'est un élément du groupe de galois absolu de Q. Donc, vous avez GQP qui s'identifie à un sous-groupe fermé, si vous aimez la topologie, de GQ. Mais comme Yves-André l'a dit, ce n'est pas bien défini parce qu'il faut avoir choisi un plongement pour que ce soit bien défini. Voilà. Alors, donc on a ce groupe-là, qu'on comprend un peu mieux, mais on n'a pas tellement d'éléments vraiment explicites dans un groupe de galois local, encore que c'est beaucoup plus facile d'écrire le groupe de galois. Et puis, en revanche, ce groupe GQP, il opère sur QP-bar, c'est son métier, mais ZP-bar est stable par GQP, donc ça opère sur ZP-bar. Et le dital maximal est stable, donc ça opère sur FP-bar. Et donc ça fait un flèche de GQP dans le groupe de galois absolu de FP. ZF est des surjectives, le noyau, c'est ce qu'on appelle le groupe d'inertie en P, qui s'appelle YQP. Voilà. Et enfin, alors, le dernier élément de la citation de Tellor, c'est que si X est dans FP-bar, c'est qu'il y a un élément. Alors je ne sais pas si dans la citation de Tellor, quand Tellor parle du Frobenius, il veut dire le Frobenius arithmétique ou le Frobenius géométrique. Alors le Frobenius arithmétique, c'est celui dont il a déjà été question dans l'exposé précédent. C'est l'automorphisme qui est le plus naturel en un sens, mais pour les gens qui font des géométrages ébriques, ils aiment bien regarder l'autre. Le Frobenius arithmétique, c'est l'application qui envoie X au XP. Ici, mon corps, je parle de l'FP. Et donc, on est dans l'élément d'un groupe, on peut aussi regarder son inverse. C'est ça qu'on appelle le Frobenius géométrique. Alors, voilà. Alors, ce qui se passe, c'est que si c'est pas facile d'écrire les représentations élétiques de GQ, c'est très facile de décrire les représentations élétiques de GFP, une groupe de galois absolue de FP ou de n'importe quel four fini de manière générale, parce que ce groupe-là est très simple. En fait, le Frobenius engendre un sous-groupe, c'est un élément d'ordre infini, donc il engendre un sous-groupe isomorphisé, mais ce sous-groupe est dense. Ce qui signifie que quand vous vous donnez une représentation continue de GF, disons dans GLD de ce corps éladique E, et bien quand vous regardez l'image de... Alors, j'ai pris le Frobenius géométrique, parce que c'est ça qui m'arrange. Vous regardez la matrice, vous avez une matrice carrée à des lignes et des colonnes. Un question dans ce corps fini, c'est quand même pas très difficile. Quand vous avez, cette matrice détermine complètement haut. Alors bien sûr, et réciproquement, la question étant donnée une matrice comme ça, est-ce que quand est-ce que ça va définir une représentation éladique de GFP ? Eh bien, c'est facile de voir qu'il faut pouvoir... Bien sûr, dès que la matrice est inversible, ça s'étend à une représentation linéaire du groupe engendré par le Frobenius, mais il faut pouvoir l'étendre à son adhérence. Donc c'est un problème de par continuité. Donc il faut voir, ça revient à dire que les valeurs propres de Alpha sont des unités. Vous pouvez le dire autrement en disant que le polinome caractéristique de Alpha est à coefficient dans l'anneau des entiers de E, et que son déterminant est une unité. Alors, voilà, OK. Et donc, voilà. Et alors, il y a encore mieux que ça, c'est que si on s'intéresse qu'une représentation semisimple, c'est-à-dire qu'ils peuvent s'écrire comme somme directe de représentation irréductible, ce qu'on fait souvent dans ces cas-là. Alors, on peut remplacer la représentation par sa semisimplifiée, c'est-à-dire par la somme directe des représentations simples qu'on a dans un quotient de Jordan-Holder, qui est bien défini à isomorphisme près. Et la semisimplifiée de la représentation haut, on n'a pas besoin de connaître la classe de conjugaison de Alpha, qui définit la représentation isomorphisme près, mais il suffit de connaître le polinome caractéristique de Alpha. Et où est-ce qu'il revient au même ? Et c'est ça que le polinome P qu'on associe à la représentation haut. En général, qui est le polinome péro de T, qui est le déterminant de 1 moins Alpha T qu'on a déjà vu dans l'exposé précédent, 1, si vous aimez par 1, c'est la maîtrise unite. Voilà. Mais j'ai dit que je voulais faire des fonctions L, alors on peut, ça a l'air d'être un peu tordu de vouloir faire ça, de remplacer un polinome qui est simple, qui est une chose simple par une fonction L, mais ça va être très utile dans la suite. On peut, bien sûr, se donner ce polinome, se donner la fonction L que j'ai définie par la formule qui est là. C'est exactement la même chose. Ça revient au même. Alors avec ce petit parenthèse, bien sûr, c'est que le polinome, il a coefficient dans grand E ou dans OE. Une fonction L, j'ai envie d'avoir des nombres complexes. Alors pour donner un sens à ça, il faut choisir un plongement de E dans C. Sinon, on sait pas faire. OK. Alors, OK. Donc je vais revenir sur les conjectures de veille. Donc Cx, c'est une variété projective lisse sur Fp. Eh bien comme je vous l'ai dit, on peut regarder la comologie étale et l'addict de cette variété. Alors, eh bien ce qui se passe, c'est que le polinome caractéristique de Frobenius, enfin, ou le polinome que j'ai défini comme tout à l'heure, le polinome associé à la représentation éladdique en question, c'est indépendant de L, et du moment que L, c'est différent de T, et de P, pardon. Et donc c'est simplement ça, le polinome PxM qu'on ont en a besoin dans les conjectures de veille. Donc voilà. Et donc le résultat de l'INX, c'est vraiment, enfin c'est un parti qui est écrit ici, parce qu'il y a d'autres résultats dont je peux parler, c'est que vraiment ce polinome, la propriété qu'on veut, c'est de savoir que les valeurs propres sont vraiment des normes de veille de PxM. Alors, oui, et en particulier bien sûr, vous pouvez écrire du coup la fonction zeta de la variété dont j'ai partie tout à l'heure. Si vous souvenez de la façon de s'écriver, vous voyez qu'elle va s'écrire comme, à chaque fois que vous avez un polinome numérateur, ça va vous définir, ça va être remplacé par la fonction L associé, et à chaque fois que vous avez un polinome numérateur, par l'inverse, donc vous avez une espèce de produit alterné des fonctions L, des représentations fournies par la comologie étale et l'ethique. Voilà. Alors, bon, alors, j'ai dit que j'avais pas le temps de parler de motifs sérieusement, et comme vous voyez au tableau, je ne l'en dirais pas plus. Donc si on a F qui est un corps, en fait, la théorie des motifs, c'est vraiment une idée formidable de Grotonnik, et le mot motif a deux sens. Il a, enfin, c'est vraiment un mot aussi qui est magnifique pour ce truc. Et d'une part, le fait que, si vous voulez, c'est ce qu'on veut garder, c'est un espèce d'esquisse de variété algébrique qu'on regarde, quelque sorte, mais c'est aussi des choses... La théorie des motifs, ça n'a jamais bien marché, mais ça a motivé des quantités de travaux absolument fantastiques. Et ça n'a jamais bien marché, mais on a fait à la place des choses, par exemple, des travaux de Wozowski sur la catégorie dérivée, dans la catégorie motif mix, c'est des choses fantastiques aussi, donc je ne peux vraiment pas parler ici. Alors, ce que je veux dire, c'est quand même que l'idée sous-jacente aux motifs, c'est que vous avez les variétés algébriques qui sont projectives, lisses sur un corps, et donc ça fait une catégorie, mais qui n'est pas très jolie. Et alors, on voudrait utiliser des correspondances algébriques ou des choses comme ça pour fabriquer, à partir de ça, une catégorie tanakienne, Zameuli a parlé de catégorie tanakienne dans tout le monde, c'est ce que c'est ici, c'est parfait, Q linéaire et que j'appelle MFQ, qui va être la catégorie des motifs purs sur F, il y a aussi des motifs mix, mais je ne vais pas en parler. Alors, on voudrait aussi que disposer d'un facteur, pour chaque monde premier, il y a différents de la caractéristique de F, qui soit, c'est un fonteur fibre, comme on dit, c'est un truc fonteur, qui va de cette catégorie, qui est une catégorie tanakienne Q linéaire, dans la catégorie des représentations éladiques de GF, qui est une catégorie tanakienne Q linéaire. Et alors, c'est ça qu'on voudrait savoir faire, et en fait, il y a des défis, tout marche bien modulant à toutes ces conjectures standards, que ce n'est toujours pas démontré, donc, on sait quand même faire des choses qui permettent de jouer avec ça, et je ne vais pas être plus précis. Ce qu'on veut, bien sûr, c'est que... Oui, alors, une des choses qu'on espère, c'est cette conjecture de tête, dont on n'a pas parlé Jean Benoît, c'est qu'il peut s'exprimer de façon savante comme ça. C'est-à-dire que quand on a un motif, vous voyez, donc, qu'est-ce que c'est que... Alors, il y a deux choses. Comme vous voyez, quand vous passez ça en termes de foncteur, vous avez l'image. Vous voyez, vous avez un foncteur d'une catégorie Q linéaire, dans une catégorie Q linéaire. Alors, les gens qui connaissent les catégories tanakiennes savent que ça s'étend, qu'on peut définir la catégorie Q linéaire, déduite par extension des scalaires de la catégorie des motifs à coiffir dans Q. Et ce qu'on veut, c'est que le foncteur qu'on... Et le foncteur HL devient un foncteur comme ça, maintenant, de cette catégorie Q linéaire, dans l'autre catégorie Q linéaire. Et ce qu'on veut, c'est que ce foncteur soit pleinement fidèle. Autrement dit qu'un motif, une fois qu'on a remplacé des coefficients Q par les coefficients QL, ce soit la même chose qu'une représentation HLADIQ d'un type apprécié. Et donc, c'est la façon, là, peut-être la plus avante d'énoncer cette conjecture. Donc, je dois dire qu'elle a été démontrée pour les variétés abéliennes. Alors, si c'est les conjecteurs comme ça, pour tous les corps de type fini sur un corps premier, sinon, c'est faux, j'espère que c'est ça que je lui ai dit, oui, c'est ça. Et quand on est... Donc, ça a été démontré pour les variétés abéliennes. Donc, sur les corps finis, c'est par tête, sur les corps de nom, parfait. Ok. Alors, donc, exemple, quand même, je vais quand même donner... Donc, je ne vais pas rien dire de plus sur les motifs, mais je vais quand même donner un exemple à l'exemple. L'exemple où ça marche vraiment bien, c'est quand vous avez une variété abélienne, c'est un motif qui est, comme on dit, alors les motifs, cette catégorie qui est graduée par le poids, la variété abélienne, si on normalise les choses correctement, enfin, c'est une question de point de vue, c'est un motif pur de poids moins un. Et sa réalisation éladique, c'est ce que j'ai appelé VL2A. Alors, normalement, on sait le faire en un sens, mais en un sens assez faible quand même, on sait quand on a une variété projective lisse, X, et un anti-M, il y a un motif qui est le motif HM2X, qui correspond, et dont la réalisation éladique va être précisément le MIM groupe de comologie éladique, le variétaire. Alors, donc, ce que je vais faire maintenant, ouais, c'est ça, dans le temps qui me rêve, c'est que je voudrais essayer d'expliquer deux choses. Il y a, bon, j'ai dit qu'il y avait cette histoire qu'on s'attendait à ce que les motifs, ce soit la même chose qu'une fois qu'on passe des pu à QL, que certains types de représentation éladique. Alors, je voudrais donc jurer, une des choses que je voudrais faire, c'est donner une description conjecturale des représentations éladiques fournies par la comologie de variété agébrique, autrement dit de l'image essentielle du foncteur dont j'ai parlé dans le cas de Q, bien sûr. Alors, pour ça, il faut que, et puis aussi expliquer comment ce type de représentation peut associer une fonction L. Alors, quand on parle de P, ouais, donc si on se donne à l'ombre premier, je veux dire qu'une représentation éladique est d'oublier du groupe de Galois absolu de QP et non ramifié. Donc, je rappelle que tout à l'heure, il y avait cette suite exacte, une groupe d'inertie qui a sous-groupe fermé un variant du groupe de QP, du GQP qui s'en met sur GFP. Donc non ramifié, s'il y est occupé, l'opère trivialement. Alors, quand vous avez une représentation non ramifiée, c'est la même chose que de dire que, ah, c'est parce qu'apparemment, dès que j'écris, ça éteint le truc en haut, là. Il y a un truc magique terrible. Donc, il ne faut pas que j'écris, alors. Merci. Voilà, OK. Alors, on dit qu'une représentation est non ramifiée, si, pourtant, ça se voit très bien, le petit tableau qui est là. Voilà, si le groupe d'inertie opère trivialement, et vous voyez donc que, du coup, c'est la même chose, c'est une représentation de GQP qui est non ramifiée, que se donnait une représentation, bien sûr du co-scient GFP, donc une représentation éladique de ce groupe de Galois, dont on a vu que ça, c'était pas malin, on savait très bien ce que c'était. Alors, donc, quand vous avez en particulier, quand vous avez une représentation comme ça, on s'est lui associé, ce polinome caractéristique et cette fonction L que j'ai définie tout à l'heure, sauf que ça s'appelait pas W, ça s'appelait Rho, mais ça revient au même. Voilà. Alors, maintenant, alors, je me donne v qu'une représentation éladique, c'est pas écrit mais de GQ, groupe de Galois absolu de Q. Alors, pour tout nombre premier P, il n'y a pas de doute que si vous prenez, donc le groupe GQP opère sur V, donc vous avez une représentation de GQP. Vous pouvez prendre la partie fixe par IFP, c'est un sous-espace vectoriel en général, et qui est non ramifié. Donc, on peut associer, pour chaque nombre premier P, on peut définir un espèce de LP de V et de S par cette formule-là, en disant que c'est simplement le L de V de IFPS. Et, OK, alors, on peut le faire, c'est au va voir qu'il n'est pas forcément toujours la bonne chose à faire. On peut quand même le faire. Mais, alors, il y a deux choses que je veux dire. Donc, la première, c'est ça. C'est que si vous donnez un S, alors si vous donnez un sous-ensemble fini, l'ensemble des nombres premiers, bon, même s'il n'est pas fini, d'ailleurs, cette formule à un sens, vous pouvez définir cette fonction L. Ah oui, je l'ai dit tout à l'heure, sauf erreur que j'avais dit que je plongeais eux. Alors, bien sûr, je ne l'ai peut-être pas dit une fois pour toutes. Mais je plonge eux dans C, sinon, effectivement, je suis très malheureux. Donc, voilà. Alors, on fait ça. Donc, on a une fonction LP de V de... On a une fonction LS de V de S qui définit quel que soit l'ensemble S. C'est le produit des fonctions LP pour P des panneaux S. Alors, le théorème de Chebotareff, dont il a déjà été question, c'est un truc vraiment magique, parce que vous voyez que cette représentation, elle vous dit que, en fait, si vous avez une représentation qui est non ramifiée en or d'un nombre fini de nombre premier, et ça va toujours être le cas pour les représentations qui proviennent de la géométrie asébrique, à ce moment-là, cette représentation est déterminée par les Frobenius. Oui, bien sûr. Ah oui, la représentation V est semisimpe. Mais les représentations locales ne sont pas forcément. Il y a un truc un peu vicieux de la météraison. V elle-même... Oui, alors oui, j'aurais dû l'écrire, effectivement. Alors, oui. Donc là, dans la dernière phrase, le théorème de Chebotareff implique que si V est non ramifié en or d'un nombre fini de nombre premier, ce n'est semisimpe. Et si S est fini, alors V est déterminé par cette fonction L. Donc bien sûr, j'aurais pu aussi dire prendre les polynômes caractéristiques de tous les Frobenius sauf un nombre fini. Ça les termine pareil. Mais donc vous voyez qu'on ne sait pas écrire explicitement une représentation galoisienne éladique parce que l'écrire, ça veut dire savoir écrire explicitement. C'est un homophys de certains groupes dans un autre. Ça veut dire savoir écrire explicitement les éléments du groupe de gauche. Mais on la connaît quand même parfaitement bien. Dès qu'on connaît cette fonction L, qui est un objet de nature quand même assez élémentaire. C'est une brave série d'hériclaire. Alors, qui peut-être ne converge nulle part, mais elle existe au moins formellement. Les coefficients sont importants de fin de vue là. Alors on va voir qu'il assure dans les bons cas qu'elle va converger. Alors, OK. Alors, qu'est-ce que je veux dire ? Oui, comme une fois, il me reste tout ça qui m'inquiète. Oui, d'accord. OK. Donc voilà. Donc je prends X. Donc si j'ai X, une variété projective lisse sur le corps Q, donc je vais donner un exemple. Et donc je prends le motif qui est ce H m de X, tout à l'heure, peut-être qu'il n'existe qu'en un certain sens, mais ça peut importe. Donc à chaque fois que j'ai un nombre premier L, alors là, la caractéristique de Q, c'est zéro. Donc il n'y a pas de restriction sur L. Je peux regarder sa réalisation éladique, H L de M. Donc ça comme le M-M groupe de comélogie étale à l'addict de la variété X. C'est une représentation éladique dont la dimension que j'appelle petit R, en fait, c'est l'M-M nombre de bêtis de la variété. C'est indépendant de L. Alors une autre chose qu'on sait faire à cause des théorèmes de comparaison, des théorèmes de changement de base et des choses de ce genre, toute la théorie de la comélogie étale, on sait que quand vous avez une variété, c'est facile de voir qu'elle a bonne réduction au-delà d'un ensemble fini de place. Dans toutes les places où elle a bonne réduction, donc si on s'appelle S l'ensemble fini, des places de mauvaise réduction, eh bien en dehors de cet ensemble, des noms premiers de la réduction, en dehors de cet ensemble fini, eh bien HL2M pour un L fixé et non ramifié. Alors attention, pas en dehors de S. Mon dehors de S, il faut rajouter à chaque fois... Ah, c'est pas P, c'est L. J'ai fait la même erreur que... Je fais piégé comme ça. Donc c'est non ramifié en dehors de S union L. Bien sûr, ça fait ça, c'est une piège classique. Donc tout le monde tourne dehors, c'est bien. Et voilà, et en outre, vous voyez ce qui se passe, c'est que si P n'est pas dans cet ensemble S, eh bien la fonction LP de HLMS ne dépend pas de L, de L différent de P, bien sûr. Et donc on peut définir LP de M et de S par cette formule-là. Alors en conjecture, on s'est démontré dans, par exemple pour les variétés abéliennes, on ne sait pas démontrer en général, qu'en fait, c'est un phénomène général, c'est-à-dire que si vous définissez que la fonction, vous regardez un L toujours différent de P, oui, c'est ça, et vous regardez la représentation HL de M. Et vous, bien sûr, peut-être ramifiez, mais vous prenez la farcige partifixe par l'inertie. Donc c'est non ramifié, donc vous pouvez définir un facteur local LP de HLMS. Que ce truc-là est indépendant de L différent de P. Donc, vous voyez, donc si cette conjecture est vraie, et quand une fois on le sait pour les variétés abéliennes, pour entendre des choses de ce genre, ça permet de définir la fonction L du motif M par cette formule-là. Mais vous voyez que la fonction L d'une variété en général, je les ai finies tout à l'heure comme la fonction zeta d'une variété, par des formules qui vont regarder les points fermés. Mais si on veut couper les motifs en morceaux, on a besoin de représentations éladiques, ou moi, je sais pas faire autrement, c'est pas sûr. Alors je voudrais quand même vous faire remarquer ici deux choses. C'est d'abord que... Bon, peut-être que je le ferai à la fin. Alors maintenant pour finir, il me reste pas beaucoup de temps. D'ailleurs, ce qu'on veut faire, c'est pouvoir définir maintenant la fonction L de la représentation HLMS de façon à ce que ce soit la même que la fonction L du motif. Vous voyez, l'obstacle, c'est qu'avec ce que je vous ai raconté, on sait définir les facteurs LP pour P différents de L. On sait pas définir LP pour P égal L. Et il faut, et je voudrais aussi vous expliquer ce que c'est que les... Conjecture allemand, les représentations éladiques géométriques de GQ, c'est-à-dire qu'elles sont celles qui proviennent vraiment de la géométrie égiprique. Alors pour ça, on a vraiment besoin de la théorie de HHP, et ce n'est pas dans les... Qu'est-ce qu'il me reste ? 5 minutes ? 10 minutes ? 1, 2... En fait, ça ne fait pas beaucoup plus de 5 minutes. Ok, et que je vais pouvoir vous expliquer ce que c'est. Donc je vais dire très brièvement qu'on fabrique des corps. Vous voyez, donc il y a des anneaux plutôt. Donc B-doram, c'est un corps qui contient QP, qu'on appelle le corps des périodes péadiques. On l'appelle B-doram parce que ça permet de faire des théorèmes de comparaison péadique contre la comélogie de doram et la comélogie étale péadique. Et ce corps est muni d'une action de GQP et contient un sous-anneau qui se fabrique à partir, lui, de la comélogie cristalline, qu'on appelle pour cette raison B-crisse, et qui lui-même contient QP. Alors le groupe de Galois de QP-bar s'occuper opère sur B-doram, et B-crisse est stable par ça. Et en plus, B-crisse est équipé d'infrobénus, c'est-à-dire d'un endomorphisme occupé à l'gebre qui commute à l'action de Galois. Alors une fois qu'on a ça, eh bien on peut définir des QP-espace vectoriels. C'est des QP-espace vectoriels parce que je travaille sur QP, sinon ça serait plus compliqué, qui s'appelle des crises de V et des dorames de V. Donc ce qui se passe, c'est que dans chaque cas, en étant l'escalaire d'occuper à soit B-doram, soit A-crisse, le groupe de Galois opère des deux côtés, on prend la partie fixe. C'est pas difficile de voir, la condition de savoir un peu plus de choses sur B-doram et B-crisse, que si on décupe l'escalaire vectoriel de dimension finie, d'un dimension est au plus celle de V. Ok, alors ça permet de définir ce que c'est qu'une représentation de dorame, c'est si la dimension de D-dorame de V est égal à la dimension de V. Ok, alors donc la définition de ce qu'on appelle une représentation géométrique de GQ, c'est une représentation qui est non ramifiée en dehors d'un nombre fini, de nombre premier, et qui est de dorame en L égale P. P égal à L, j'aurais dû le dire d'ailleurs, parce que c'est une représentation éladique, j'aurais dû le dire, en P égal à L. Bon, c'est, on dirait, à l'égale P ou P égal à L, c'est pas très différent, mais ça aurait été comme qui va dire. Alors, ok. Et à ce moment-là, eh bien, on peut définir, ça fonctionne sur L par la formule qui est écrite ici, sauf que le L P en P égal à L n'est pas le même que celui que je vous ai parlé tout à l'heure. Ça, c'est pas la bonne définition. Alors c'est la bonne définition pour les motifs d'artine, pour les représentations de la... Parce qu'elles sont malade les deux choses qu'on incite, c'est-à-dire quand l'action de l'inertie est finie sur la représentation V elle-même. Mais quand c'est pas le cas, c'est pas la bonne définition, et donc la bonne définition, ça consiste au lieu de travailler avec la représentation V pour calculer le facteur local en P égal à L, travailler avec des crises de V, et d'utiliser à la place du Frobenus qu'on connaissait, le Frobenus que j'ai appelé Phi. Et donc ça donne cette formule. Alors, c'est très bien, c'est la fin de ce que j'ai écrit. Donc il me reste plus qu'à faire quelques conclusions. Et vous voyez, la conclusion, il y a plusieurs choses. D'abord c'est que la conjecture générale, bien sûr, c'est que les représentations géométriques sont exactement celles qui proviennent de la géométrie à gibrication. Vous êtes précis. Par exemple, vous donnez... Alors il y a les représentations géométriques semi-simples. Si vous avez une représentation géométrique irréductible, eh bien on s'attend à ce qu'elle devienne, à ce qu'elle soit qu'elle apparaisse comme un facteur direct ou un sous-caution, mais conjectur allemand, ça devrait être la même chose de la comologie étale et ladique d'une variété propre et lisse sur cul. C'est ça que c'est conjecture très générale. Ce genre de conjecture est bien sûr totalement inabordable. La seule espoir, c'est d'arriver au côté automorphe. Et c'est ce qui a vraiment été fait sur cul pour GL2. En ce moment-là, c'est vraiment les formes modulaires qui interviennent de façon naturelle. Et du coup, la conjecture pour GL2 est pratiquement démontrée. Bon, je ne vais pas rentrer dans les détails, mais c'est énormément de choses. Et ça pourrait dire pour les représentations de dimension 2. Alors, ce que je veux dire aussi, c'est que pour terminer, c'est la chaude suivante. C'est que vous avez vu apparaître dans ce que j'ai raconté, outre le fait que quand on a une représentation qui est raisonnable, c'est-à-dire nos ramissions lors d'un sang fini de place, on peut mettre la main dessus parce qu'en principe, elle est déterminée par sa fonction L. Vous voyez aussi que c'est un sens de comparer une représentation L avec une représentation L primatique. Et ça, c'est quelque chose d'assez fascinant. On va dire qu'elles sont équivalentes, je ne sais pas comment il faut dire, si elles ont la même fonction L. Alors, je dois dire aussi que je n'ai pas eu le temps dans cet exposé de parler de représentation du groupe de Weidling et qu'il y a des façons où on peut mettre, donner des conditions beaucoup plus fortes d'équivalence. On demande, c'est-à-dire que quand on a une représentation qui est géomnétrique pour chaque nombre premier P, y compris P et Galel, on sait lui associer une représentation du groupe de Weidling. Et donc, on veut que la représentation du groupe de Weidling soit la même, c'est une condition plus forte. Bon, alors, je vais peut-être m'arrêter là. Il y a-t-il des questions ? Oui ? J'ai un projecteur de Fontaine-Mezer. Oui. Donc, on ne fait aucune hypothèse en L de Ram, mais on ne fait aucune hypothèse du tout sur les autres... C'est non ramifié dans une finie place. Mais on ne demanderait pas sur la taille des Frobenius. Bon, alors ça, c'est sûrement ça qui est très... C'est justement... Alors, je vais dire, je vais trahir l'histoire de la conjecture comme ça, on va voir qu'il y a des... Parce que quand il y a eu le Séminaire sur les périodes théadiques à Bure, il y avait Barry Mezer qui était là, et je lui ai dit tout ça, on a quand même... Maintenant, on sait comment ça va avoir beaucoup de choses sur les représentations éladiques qui prennent la géométrie agébrique et on a envie de dire que quand on a une représentation qui satisfait les conjectures de Veil et qui est de Ram en paix, alors qu'elle provient de la géométrie agébrique. Et la contribution de Barry, donc c'est vraiment lui qui a fait la contribution la plus importante, c'est de dire, mais il a réfléchi un moment, il m'a dit, mais il faut qu'on ne peut pas mettre... Il faut virer cette condition, la condition sur les Frobenius, parce que si on garde la condition sur les Frobenius, on ne peut rien démontrer, parce qu'on ne peut pas déformer cette condition. Ça ne se déforme absolument pas. Et alors à ce moment-là, on a commencé à regarder un peu tous les deux. Il avait déjà, bien sûr, fait des choses de déformation non-potation galoisienne, il avait détruit, et ça paraissait très raisonnable. Et tout nous a fait peur en nous disant que... Parce qu'il y a, bien sûr, une conséquence de la conjecture, c'est que ça n'existe pas, qu'il n'y a pas de représentation éladique non-ramifiée d'un groupe de galore d'un coordonnable. En me disant que tu allais nous faire un contre-exemple, et puis, bon, je dois reconnaître que tu es assez vite changé d'âge. Sinon, on n'aurait jamais osé publier la conjecture. Et donc voilà, c'est vraiment le point essentiel et c'est la raison pour laquelle les gens arrivent à démontrer des choses. Parce que tant que si on le garde la condition des poids de... Enfin, des nombres de veilles, on ne peut plus déformer rien, donc on ne peut pas travailler. Ah non, mais du coup, ça, bien sûr, la fonctionnelle disparaît. Mais à la fin, il y a quand même des forbes automorphes qu'ont défonctionnelles, donc on est content. On va remonter son baisse en pire. Oui ? Ok. Alors moi, j'ai une question un peu vague. Est-ce qu'il existe un analogue mixte de ce que vous avez dit de votre exposé ? Oui, il existe un analogue qui n'est pas publier dans l'article qu'on a fait avec Barry, parce que Barry avait peur des motifs mixtes, donc je n'ai pas réussi à le convaincre de publier. C'est-à-dire qu'effectivement, ça peut se dire très simplement, comme étant que, par exemple, la catégorie définie par Woski, quand on étend les scalaires à QL, ça devrait être la catégorie des rivets, de la catégorie des représentations éladiques géométriques. C'est une façon de le dire. Alors, on risque pas grand-chose parce que personne ne risque de le démontrer, mais personne ne risque de le faire à contre-exemple, non plus. Donc, ce n'est pas très intéressant. Ce qui est beaucoup plus intéressant, c'est quand on a une représentation éladique donnée, ils vont décider de montrer qu'elle progne, vraiment, parce qu'elle est exactement ce qu'elle a fait veille pour démontrer le veil. Wise, pour démontrer que... démontrer fermat, enfin démontrer que la polarité des courbes elliptiques. Vous pouvez passer sur Darbou. Je ne sais pas où est Darbou. Est-ce que ça, ce n'est pas Darbou, ça ? Il y a-t-il des questions dans le fil d'Arbou ? Si, c'est ça Darbou. Non, ce n'est pas Darbou, ça. Non, ce n'est pas Darbou, ça. Il n'y a plus personne. T'entends quelque chose ? Non, il n'y a pas de questions. Ils sont tous partis manger. Bon, mais écoutez, il semble qu'il n'y a pas de questions dans le fil d'Arbou. C'est pareil, il est raisonnable, d'ailleurs.